Einführung in die mathematische Logik (V2A2)
Dozent
- Prof. Dr. Peter Koepke
- Dr. Philipp Lücke (Übungsbetrieb)
Zeit und Ort
- Vorlesung: Montags 14:15 - 16:00, Kleiner Hörsaal (Wegelerstraße 10) und mittwochs 13:30 - 15:00, Zeichensaal (Wegelerstraße 10). Beginn: 7. Oktober.
- Übungen: Montags 08:15 - 10:00, dienstags 12:15 - 14:00, mittwochs 16:15 - 18:00 und donnerstags 12:15 - 14:00, alle Termine im N 0.003. Beginn: 14. Oktober.
Inhalt
Durch Einführung von logischen Verknüpfungen ("und", "oder", "nicht") und Quantoren ("für alle", "es existiert") - oder entsprechende Symbole - lassen sich alle mathematischen Aussagen in eine streng formale Form bringen. Bekanntlich wird die Stetigkeit von Funktionen in der Analysis oft in einer epsilon-delta-Schreibweise mit Quantorensymbolen definiert. Mathematische Beweise können als Folgen von Aussagen aufgefasst werden, die sich durch logische Schlüsse aus Grundannahmen ergeben. Dabei haben einige Schlussweisen einen rein formalen, kalkülartigen Charakter als Umformung von Symbolfolgen.
Es wird ein vollständiger Beweiskalkül für die Logik (erster Stufe) angegeben, der dem üblichen mathematischen Schließen nahe steht. Durch die Formalisierung werden Aussagen und Beweise selbst zu mathematischen Objekten. Zentrales Ergebnis ist der Gödelsche Vollständigkeitssatz, der die formale Methode bestätigt: jede allgemeingültige mathematische Aussage kann im Beweiskalkül abgeleitet werden. Darauf aufbauend werden Beweisverfahren vorgestellt, die sich für Computer-basiertes automatisches oder interaktives Beweisen eignen.
Die Mengenlehre ist die allgemein akzeptierte Grundlage der Mathematik. Die Zermelo-Fraenkelschen Axiome der Mengenlehre lassen sich in der Logik erster Stufe formulieren. Wir werden sehen, wie sich die üblichen Grundbegriffe der Mathematik wie Zahlen, Relationen, Funktionen usw. in diesem Axiomensystem entwickeln lassen.
Da sich die Logik selbst in der Mengenlehre formalisieren lässt, kann man selbstbezügliche Aussagen wie "dieser Satz ist nicht beweisbar" bilden. Daraus ergeben sich die Gödelschen Unvollständigkeitssätze über Grenzen der formalen Methode.
Die Vorlesung setzt Grundkenntnisse aus dem 1. Studienjahr Mathematik voraus. Ein Skript wird während der Vorlesung bereitgestellt.
Die Vorlesung wird im Sommersemester 2020 mit einem Hauptseminar über automatisches Beweisen fortgesetzt.
Vorlesungsthemen
- Quantorensprachen
- Strukturen
- Interpretation von Formeln in Strukturen
- Formale Sprachen und Kalküle
- Beweiskalküle
- Konsistenz und Erfüllbarkeit von Theorien
- Der Gödelsche Vollständigkeitssatz
- Mengentheoretische Axiome
- Mengentheoretische Grundlegung der Mathematik
- Gödelsche Unvollständigkeitssätze
Übungen
| Zeit | Ort | Übungsgruppenleiter |
| Montag 8:15 - 10:00 | N 0.003 | F. Jäger |
| Dienstag 12:15 - 14:00 | N 0.003 | L. Gitin |
| Mittwoch 16:15 - 18:00 | N 0.003 | L. Schembecker |
| Donnerstag 12:15 - 14:00 | N 0.003 | A. De Lon |
Übungsblätter
Die Übungsblätter werden Freitags auf dieser Webseite hochgeladen. Die Abgabe erfolgt am folgenden Freitag. Sie können Ihre Lösungen mit bis zu zwei anderen Teilnehmern abgeben. Zur Teilnahme an der Klausur benötigen Sie mindestens 50% der möglichen Punkte.
Klausur
- Die 1. Klausur findet am Montag, 27.01.2020
um 14-16 Uhr im großen Hörsaal, Wegelerstraße 10, statt.
Einsicht: Mittwoch, 29.01.2020, 13:30-14:30 Uhr, Zeichensaal (Wegelerstraße 10). - Die 2. Klausur findet am Mittwoch 11.03.2020, 09:00-11:00 Uhr, im großen Hörsaal, Wegelerstraße 10, statt.
Wegen der Isolationsmaßnahmen gegen die Verbreitung des Corona-Virus wurde das Mathematik-Zentrum vor einigen Tagen geschlossen. Die Korrektur der Klausur wird leider erst möglich sein, wenn es eine sichere und praktikable Prozedur zur Durchführung gibt. Wir werden Sie dann über diese Webseite informieren. Gleiches gilt für die Klausureinsicht, die vermutlich noch wesentlich weiter verschoben werden muss. (Informationsseite der Universität Bonn zum Corona-Virus).