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Schulbuchverbesserungen

2025 in zugelassenem Schulbuch gefunden:

Kann es Autoren geben, die dies wider besseres Wissen, z.B. für Geld, schreiben würden? Oder bleibt nur die Möglichkeit zu glauben, dass die Autoren nicht verstanden, worüber sie schrieben? Knoten sind in der Seefahrt eine Einheit für Geschwindigkeiten, nicht für Kräfte. 1 Knoten = 1,852 Kilomenter pro Stunde. Die Autoren behaupten, dass die mit Stahlseilen verbundenen drei Schiffe mit drei verschiedenen Geschwindigkeiten in drei Richtungen fahren können. Physiker addieren stattdessen die in den Seilen übertragenen Kräfte.

Texte zu Themen der Schulmathematik - zu einer begründenden Mathematik

Diese Polyeder sind höchstens am Rande Schulstoff. Um sie zu verstehen, braucht man nur die Dreiecksgeometrie samt Pythagoras. Ich habe diesen Text geschrieben, weil mir Lehrer und Hochschulkollegen berichtet haben, wie viel Schwierigkeiten Abiturienten beim Lesen begründender Texte haben. Vielleicht kann die Behandlung eines so anschaulichen Themas helfen, sich wieder an das Lesen begründender Texte zu gewöhnen. Wegen der engen Verbindung zum Würfel wird auch die 3D-Vorstellungskraft verbessert. Zu Seite 8 Fig.12 Ikosaederkonstruktion: Parameter ändern (GeoGebra Programm) Als Ergänzung ein Programm, das Platonische Körper in Archimedische Polyeder verwandelt. (javascript mit Mausrotation und Anaglyphen)

Ein Vorwort.

Zunächst: Einzelverbesserungen behandelter Themen, die unmittelbar übernommen werden können. Dann: Zwei Zugänge zur Exponentialfunktion: a) Nach der Differentialrechnung rationaler Funktionen, durch Approximation (bis S.5) b) vor der Differentialrechnung mit Definition auch für irrationale Exponenten (S.8-10), mit diesem Zugang: Ableitung S.11, ln(x) S.12 Unterstützende TR-Experimente S.6. Wer die Berechnung von exp() und sin() versteht, kann auch verstehen, warum aus Newtons Bewegungsgleichungen quantitative Aussagen folgen.

Dieser systematische Text erklärt den Grenzwertbegriff sorgfältig. Es gibt berechenbare Grenzwerte, für die man mit dem 2000 Jahre alten Eudoxos Axiom auskommt. Und es gibt irrationale Grenzwerte, für die man die Vollständigkeit der reellen Zahlen braucht. In den Beispielen wird das Newtonverfahren besprochen, nebenstehendes Bild zeigt, was dabei schief gehen kann.

Dieser Text bespricht auf der Schule mögliche Anwendungen des Monotoniesatzes, zum Beispiel die Fehlerabschätzung der numerischen Integration mit dem Sehnentrapez oder dem Tangententrapez (nebenstehenndes Bild). Ein Beweis wird vorgeschlagen, der nur die Grenzwertdefinition der Ableitung benutzt (insbesondere keine Stetigkeit). Um die Lehrenden von der Leistungsfähigkeit des Satzes zu überzeugen, folgt (jenseits der Schule): Cantors beinahe-Gegenbeispiel (1 Seite) und zwei Beispiele (je 1 Seite) aus der numerischen Mathematik (Interpolation, numerische Integration).

Zunächst wird besprochen, was man über sin und cos (nicht) weiss, wenn man die Definition am Einheitskreis kennt, z.B. die Additionstheoreme auf Seite 2.
      Dann wird der Ableitungsbegriff vorausgesetzt, sin' und cos' hergeleitet und Konsequenzen aus der Kenntnis dieser Ableitungen gezogen. Der Text ist hoffentlich für sich allein lesbar.
      Für 10-stellige Genauigkeit in [-1,1] werden nur 9 Multiplikationen 10-stelliger Zahlen benötigt:
     

Dieser Anfang der Analysis folgt nicht dem Vorgehen der letzten 100 Jahre. Wie in meiner letzten Erstsemesteranalysis beginne ich mit Differentialrechnung. Da die verbreiteten Taschenrechner fast nur Approximationen ausgeben, halte ich das Verständnis von Approximationen für wichtiger als das von Grenzwerten. Ohne Grenzwerte, Vollständigkeit und Stetigkeit kommt man - unter Betonung von Approximationen - bis zu den Ableitungen der rationalen Funktionen und zu den Differentiationsregeln. Danach braucht man für Umkehrfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen zwingend die Vollständigkeit und damit Grenzwerte. Siehe dazu Text A3. Unter meinen Kollegen finden explizit nur der Analytiker Thomas Sonar (Sein Schulkommentar: Der langsame Tod der Analysis (2012)) und der Geometer Sebastian Hensel, dass dies ein guter Vorschlag für die Schule ist. Meine Erstsemester fanden das im WS 2002/3 auch.

Auf den ersten 6 Seiten versuche ich zu erklären, dass das Verhalten von Geraden im Unendlichen nicht experimentell zugänglich ist und, was anders sein kann, als das Parallelenaxiom es formuliert. Die Astronomie lehrt jedenfalls nicht, dass das Universum eine Euklidische Umgebung der Erde ist! Eigentlicher Schulstoff beginnt auf Seite 7. Ich lege besonderen Wert auf die logische Verknüpfung der zu entwickelnden Themen. Bild: Die Fluchtpunkte der Malerei führten zur Entdeckung der Projektiven Ebene.

Sie sind gute Übungsfelder für logisches Argumentieren. Animationen für vier Ellipsenkonstruktionen finden Sie hier. Diese Konstruktionen liefern die Tangenten mit. Dass die erzeugten Kurven die Ellipsengleichung erfüllen, folgt durch einfache Termumformungen.

Zahlenwerte für Flächeninhalte entstehen durch Vergleich mit einem Einheitsquadrat. Deshalb erkläre ich auf den ersten zwei Seiten, dass der Flächeninhalt von Rechtecken mit irrationalen Seitenlängen einigen Aufwand erfordert. Der Flächeninhalt derParabel ist hinzugefügt, weil die Argumentation mit ein- und umbeschriebenen Polygonen dieselbe ist wie beim Kreis - aber mit einem expliziten Ergebnis endet und nicht mit einer neuen Irrationalzahl.

Flächentreue Abbildung

1. Warum? 2. Abstände, 3. Dreiecke, 4. n-Ecke, 5. Landkarten, 6. Schnittpunktsätze, 7. Ellipsen, 8. Kurvenlängen, 9. Flächeninhalte, 10.Kurvenkrümmung, (11. Anhang) Als ich in Niedersachsen zur Schule ging, gehörte die sphärische Geometrie noch zum Schulstoff. Sie wurde abgeschafft, weil das Rechnen mit Tafeln der Logarithmen trigonometrischer Funktionen zu mühsam war. Inzwischen haben Taschenrechner das Multiplizieren mit Logarithmen und das Rechnen mit Funktionstafeln verdrängt, sodass sphärische Rechnungen nicht mehr mühsamer sind als Euklidische (wenn man die sphärische Geometrie kennt).

Multiplikationsspiele im Zahlenraum bis 121. Ist eine natürliche Zahl n<49 ein Produkt, so ist mindestens ein Faktor <7.

Zu einem geometrischen Problem, das experimentell nur mit extrem viel Geduld lösbar ist, wird durch Arbeiten mit linearen Termen ein Lösungsverfahren gewonnen. Der Text setzt voraus, dass Dreiecksseiten schon mal mit a,b,c beschriftet wurden.

Absolute und relative (= prozentuale) Fehler werden besprochen. Zusammen mit den binomischen Formeln sind Anwendungen möglich, die üblicher Weise erst im Kontext der Analysis auftauchen.

Mechanische Winkeldrittelung

Die benutzten Termumformungen sind von derselben Art, wie sie auf der Schule geübt werden. Auch mit den kubischen Polynomen werden keine komplizierteren Rechnungen gemacht als auf der Schule üblich. Falls das Polynom drei verschiedene reelle Nullstellen hat, werden diese mit Hilfe komplexer Zahlen berechnet. Diese Rechnung besitzt eine elementargeometrische Interpretation, die man schon vor Kenntnis der komplexen Zahlen verstehen kann, falls man sin() und cos() kennt.