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Schulbuchverbesserungen
Ich habe bisher alle Leserkommentare als Verbesserungen eingearbeitet - vielen Dank für die Unterstüzung. Ich werde das auch weiter versuchen.
Daher bitte bei erneutem Besuch Browser aktualisieren.
Ohne die ebenso ermutigende wie kritische Mitwirkung durch
Bernhard Krötz wären die verlinkten Texte nicht entstanden.
In dem Raum zwischen Schulalltag und Schulpolitik gibt es einen seit Jahrzehnten heftiger werdenden Streit. Die Stellungnahmen
reichen von funkelnden Heilsversprechen bis zu deprimierenden Gegenwartsanalysen. Vermischt ist das Ganze mit massiven wirtschaftlichen
Interessen. Ich kann mir nicht vorstellen, wie es in Deutschland zu einem Bildungskonsens kommen kann. Die unten verlinkten Texte sind
kein Beitrag zu diesem Streit. Sie sollen engagierten Lehrerinnen und Lehrern helfen, die abgestürzte Schulbuchliteratur
zu umgehen. Ich bemühe mich, so verständlich zu schreiben, dass auch frustrierte Studierende damit Lücken füllen
können. Zu meiner Schulzeit hätten Abiturienten diese Texte lesen können, daher hoffe ich, dass sie auch für
Wissenschaftsjournalisten interessant sind.
Meine mich motivierende Situationsbeschreibung:
Im Sport hat die Suche nach und die Förderung von Talenten außerordentliche Ausmaße. Auch in Musik hat noch niemand bestritten,
dass es Begabungen gibt und dass sie gefördert werden sollten. In beiden Fällen findet die Förderung außerhalb der
Schule statt, die Schule bietet nur etwas Gesundheitsunterstützung bzw. Allgemeinbildung. Leider hat sich zur Mathematik eine Mehrheitsmeinung
entwickelt, die Kinder vor "zu mathematischen" Themen schützen will. Das Wort Beweis gilt in diesem Zusammenhang schon als
zu mathematisch, also abschreckend. Ignoriert wird dabei, dass es Menschen, insbesondere schon Kinder, gibt, die an logischer Argumentation
Vergnügen haben. Aus diesen können später Studierende von MINT-Fächern werden. Aber, der Schutz vor zu mathematischen Themen
beraubt sie der Möglichkeit, die Voraussetzungen dafür zu erwerben. Denn wie sollen Brückenkurse an den Universitäten noch
einen sicheren Umgang mit logischer Argumentation beibringen, wenn das bis zum Abitur vermieden worden ist? Schlimmstenfalls
ist sogar das Vergnügen daran erloschen. - Ich glaube nicht, dass eine außerschulische Förderung, wie in
Sport und Musik, zu einer für ein Exportland ausreichenden Anzahl von in den MINT-Fächern studierfähigen Studienanfängern
führt.
Natürlich wird von der Politik formuliert, die Schülerinnen und Schüler sollten mathematisches Argumentieren lernen. Aber
diese Worte haben ihren Sinn verloren. Wenn zwei Personen auf einander einreden, um sich gegenseitig von ihrer Meinung zu überzeugen,
dann sagt man, dass sie "argumentieren". In einem mathematischen Argument kann dagegen nur verwendet werden, was mit Hilfe von Definitionen
als Voraussetzungen formuliert wurde und die Folgerungen müssen logische Folgerungen sein. Das kommt in den Schulbüchern
kaum mehr vor, in der Analysis überhaupt nicht. Aber Meinungen ändern sich im Laufe der Generationen oder schneller,
logische Folgerungen nicht. Die Naturgesetze auch nicht.
Deshalb sollte im Mathematikunterricht das logische Folgern großes Gewicht haben.
Ich habe meine Kritik so ausgedrückt:
Aus Schulbüchern - wirklich!
Die Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung hatten 2021 andere Prioritäten und wollten diesen Text nicht als Weckruf
an meine Kolleginnen und Kollegen publizieren.
Um der beschriebenen Abkehr von der Mathematik entgegen zu wirken, möchte ich zwei Sorten von Texten hier veröffentlichen.
Erstens Verbesserungen von missratenen Schulbuchbehandlungen wichtiger Themen, zweitens Korrekturen von falsch gesetzten
Schwerpunkten.
Ich bemühe mich um Vorschläge, die auch einzeln unmittelbar
übernommen werden können. Daher gibt es in den Texten Wiederholungen. Hier sind meine Analysis Beispiele und Anfänge zur Geometrie:
--------------- Analysis -----------------------
S1: Die Erfolge der Definition von Ableitungen und die Leistungsfähigkeit des Monotoniesatzes werden unterschlagen:
Was Newton geschaffen hat. (3 Seiten)
      Ein Vorwort.
V2: Die angebotene Behandlung der Exponentialfunktion hat mit Mathematik nichts mehr zu tun:
Verbesserung. (9 Seiten)
      Zunächst: Verbesserung behandelter Themen, so dass logische Folgerungen möglich werden.
      Dann: Zwei Zugänge zur Exponentialfunktion: a) Nach der Differentialrechnung rationaler Funktionen (bis S.5) und b) vor der Differentialrechnung (S.6-7), S.9: ln(x).
S3: Die Definition von Grenzwerten gehört zum Verständnis der reellen Zahlen:
Die Entwicklung der Grenzwertdefinition beginnt bei Archimedes. (4 Seiten + 6 Seiten Beispiele)
      Dieser systematische Text erklärt den Grenzwertbegriff sorgfältig. Es gibt berechenbare Grenzwerte, für die man mit dem 2000
Jahre alten Eudoxos Axiom auskommt.
      Und es gibt irrationale Grenzwerte, für die man die Vollständigkeit der reellen Zahlen braucht.
In den Beispielen wird das Newtonverfahren besprochen.
V4: Mir ist ein Rätsel, wie es dazu kommen konnte:
Das wird heute als "Integralrechnung" verkauft.
(Historische Einleitung, Kritik, Vorschläge) (5 Seiten)
      Sollte parallel zu den Schulbuchseiten gelesen werden, sonst glaubt man mir nicht.
S5: Dass dieses Werkzeug ignoriert wird, aber seine einfachsten Folgerungen als "anschaulich klare" Bagatellen auftreten,
ist ein ernstes Missverständnis:
Loblied auf den Monotoniesatz. (7 Seiten)
      Dieser Text bespricht auf der Schule mögliche Anwendungen des Monotoniesatzes und schlägt einen Beweis vor.
Um die Lehrenden von der Leistungsfähigkeit des Satzes zu überzeugen,
      folgt (jenseits der Schule): Cantors beinahe-Gegenbeispiel (1 Seite) und zwei Beispiele (je 1 Seite) aus der numerischen Mathematik.
(Interpolation, numerische Integration)
V6: Ohne sin und cos leider keine Beschreibung rotierender Räder und der auftretenden Beschleunigungen und Kräfte:
So schwierig war das doch gar nicht. (9 Seiten, 10 Figuren)
      Zunächst wird besprochen, was man über sin und cos (nicht) weiss, wenn man die Definition am Einheitskreis kennt.
Dann wird der Ableitungsbegriff vorausgesetzt, sin' und cos' hergeleitet
      und Konsequenzen aus der Kenntnis dieser Ableitungen gezogen. Der Text ist hoffentlich für sich allein lesbar.
S7: Anfang der Differentialrechnung mit Definitionen und logischer Argumentation:
Von der Kreistangente bis zum Monotoniesatz. (14 Seiten)
      Dieser Anfang der Analysis folgt nicht dem Vorgehen der letzten 100 Jahre.
Wie in meiner letzten Erstsemesteranalysis beginne ich mit Differentialrechnung.
      Ohne Grenzwerte, Vollständigkeit und Stetigkeit
kommt man bis zu den Ableitungen der rationalen Funktionen und zu den Differentiationsregeln.
      Danach braucht man für Umkehrfunktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen
zwingend die Vollständigkeit. Siehe dazu Text S3.
      Unter meinen Kollegen finden explizit nur der Analytiker Thomas Sonar
(Sein Schulkommentar: Der langsame Tod der Analysis (2012))
und der Geometer Sebastian Hensel,
      dass dies ein guter Vorschlag für die Schule ist. Meine Erstsemester fanden das im WS 2002/3 auch.
--: Ohne Ungleichungen bleiben von der Analysis nur schwammige Worte:
Hilfestellung zum Umgang mit Ungleichungen. (2 Seiten)
--: Man muss nicht alles beweisen, aber manchmal will man auf Fragen antworten:
Ein umwegloser Beweis des n-dim Schrankensatzes. (und des 1-dim Monotoniesatzes)(2 Seiten)
--: Schon 1986 habe ich versucht, in den Semesterberichten Propaganda für den Monotoniesatz zu machen:
Monotoniesatz und Transzendenz von e.
--: Meine letzte Analysis 1 (WS 2002/3) begann näher an der Schule als üblich und das Argumentationsniveau begann sanfter:
Analysis mit gleichmäßigen Fehlerschranken.
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--------------- Geometrie ----------------------
Objekte und Beziehungen in der Geometrie sind so vielfältig und die Geschmäcker der Mathematikinteressierten sind so verschieden,
dass ich einen für alle gültigen Königsweg durch die Geometrie nicht formulieren kann. Ich versuche, gegen das Eliminieren
von Beweisen aus dem Mathematikunterricht zu kämpfen, weil ohne sie gar keine Mathematik übrig bleibt. Der Text ist also ein Weg
durch geometrische Resultate, die ich schön finde und die ich mit logischen Argumenten verbunden habe. Das ist als Beispiel gemeint,
nicht als Empfehlung, es unbedingt ebenso zu machen.
G8: Leider führen nicht alle Wege nach Rom, aber wenigstens einige:
Anfangsargumente, Parallelenaxiom, Schnittpunktsätze, Strahlensatz. (15 Seiten, 22 Figuren)
      Auf den ersten 6 Seiten versuche ich zu erklären, dass das Verhalten von Geraden im Unendlichen nicht
experimentell zugänglich ist und, was anders sein kann, als
      das Parallelenaxiom es formuliert. Die Astronomie lehrt jedenfalls nicht, dass das Universum
eine Euklidische Umgebung der Erde ist!
      Eigentlicher Schulstoff beginnt auf Seite 7 (Mittelsenkrechte Seite 4). Ich lege besonderen Wert auf die
logische Verknüpfung der zu entwickelnden Themen.
G9: Die Aussagen der Kreisgeometrie sind nicht offensichtlich. Sie sind gute Übungsfelder für logisches Argumentieren.
Umfangswinkel, Sehnenprodukte, Gelenkvierecke, Ellipsen (10 Seiten mit Figuren)
      Animationen für vier Ellipsenkonstruktionen finden Sie
hier.
G10: Flächeninhalte vom Einheitsquadrat zu den Dreiecks- und Vierecksformeln (damit Strahlensatzbeweis)
und zu Kreis und Parabel (14 Seiten)
      Zahlenwerte für Flächeninhalte entstehen durch Vergleich mit einem Einheitsquadrat. Deshalb
erkläre ich auf den ersten zwei Seiten, dass der Flächeninhalt
      von Rechtecken mit irrationalen Seitenlängen einigen Aufwand erfordert. Der Flächeninhalt der
Parabel ist hinzugefügt, weil die Argumentation mit
      ein- und umbeschriebenen Polygonen dieselbe ist wie beim Kreis - aber
mit einem expliziten Ergebnis endet und nicht mit einer neuen Irrationalzahl.
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