Mathematisches Institut der Universität Bonn

Seminar über elliptische Kurven - Wintersemester 2013/14

Prof. Dr. Michael Rapoport
Dr. Eugen Hellmann
Kontakt: hellmann (ergänze @math.uni-bonn.de)

Elliptische Kurven gehören zum Schnittgebiet von algebraischer Geometrie und Zahlentheorie und sind faszinierende Objekte der modernen Mathematik. Man kann elliptische Kurven als Nullstellenmenge einer kubischen Gleichung

Y² = X³ + aX+b

im projektiven Raum definieren. Eine solche Kurve trägt die Struktur einer kommutativen, algebraischen Gruppe. In der Tat kann man elliptische Kurven äquivalent als glatte, projektive, eindimensionale, algebraische Gruppen (oder auch als glatte Kurven vom Geschlecht 1 mit einem ausgezeichneten Punkt) charakterisieren.
Über den komplexen Zahlen ist eine elliptische Kurve immer der Quotient von C nach einem Gitter - ein sogenannter komplexer Torus.
Die arithmetische Theorie elliptischer Kurven ist sehr reichhaltig und ist, obwohl elliptische Kurven schon lange bekannt und viel untersucht worden sind, immernoch Gegenstand aktueller Forschung.

Im ersten Teil des Seminars wollen wir auf die Theorie über den komplexen Zahlen eingehen und uns daraufhin im zweiten Teil mit der algebraischen Theorie von elliptischen Kurven befassen. Im letzten Teil soll es schließlich um arithmetische Fragestellungen in Verbindung mit elliptischen Kurven gehen.
Das Seminar schließt an die Algebra Vorlesung im letzten Sommersemester an und stellt ein Begleitseminar zu den Vorlesungen über algebraische Geometrie und algebraische Zahlentheorie dar.

Zeit und Ort

Dienstag 14-16h, Seminarraum 0.003

Programm

Das detaillierte Seminarprogramm (Update vom 9.9.2013 !!) findet sich hier.

Vorbesprechung

Die Vorbesprechung findet am Donnerstag den 18.07.2013 um 15h in Raum N 0.003 statt. Wer am Seminar teilnehmen möchte aber nicht zur Vorbesprechung kommen kann, kann sich (möglichst vorher) per E-Mail melden.

Literatur

Im wesentlichen richtet sich das Seminar nach den folgenden Quellen:

• R. Hartshorne : Algebraic Geometry, Springer
• J. H. Silverman: The arithmetic of elliptic curves, Springer

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Last modified: 09. 09. 2013, Eugen Hellmann