Quadratische Formen
S1G1 Bachelor Seminar (SS 2014)


D. Huybrechts und Andreas Krug

E-mail: huybrech@math.uni-bonn.de


Ort und Zeit:

Donnerstag 14:00-16:00 im Seminarraum 0.007 (Endenicher Allee 60)
VORBESRECHUNG: DIENSTAG 4.2. nach der Vorlesung, im WP Hoersaal

Inhalt:

Resultate der Linearen Algebra I zeigen, dass alle nichttrivialen Linearformen die selbe Normalform besitzen. In der Linearen Algebra II werden wir sehen, dass ueber algebraisch abgeschlossenen Koerpern alle nichtausgearteten quadratischen Formen ebenfalls die selbe Normalform besitzen. Ziel des Seminars ist es nun die Situation ueber anderen Koerpern und ueber dem Ring der ganzen Zahlen zu studieren.

Grundlage des Seminars ist der Klassiker:

  • J.-P. Serre: A course in arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7. Springer.


    • Vortragsliste:

    Titel Sprecher Datum
    Quadratische Formen, orthogonale Zerlegungen Lukas Meier 10.04.14
    Quadratische Formen ueber endlichen Koerpern Anna Arutjunova 17.04.14
    Grundlagen der p-adischen Zahlen Josua Raphael Sassen 24.04.14
    Die multiplikative Gruppe der p-adischen Zahlen Michael Stahlhauer 08.05.14
    Das Hilbert-Symbol, Teil 1 ??? 15.05.14
    Quadratische Formen ueber den p-adischen Zahlen Benjamin Roberto Valdez 22.05.14
    Das Hilbert-Symbol, Teil 2, und lokale Invarianten Benjamin Lehmann 05.06.14
    Quadratische Formen ueber den rationalen Zahlen Gabriel Aguine Chan 26.06.14
    Der Grothendieck-Witt Ring Xiaowen Dong03.07.14
    Unimodulare Gitter, Beispiele ???10.07.14
    Klassifikation indefiniter Gitter ??? 17.07.14






    Beschreibung der Vortragsthemen:

    Quadratische Formen, orthogonale Zerlegungen


    Geben Sie einen ausfuehrlichen Ueberblick ueber Kapitel 4,1 bis einschliesslich Theorem 1. Versuchen Sie dies mit Abschnitt 1.6 aus Kap. 4 zu mischen, wobei Theorem 4 zunaechst weggelassen wird. Ziehen Sie Konsequenzen aus Theorem 1, indem sie die quadratischen Formen ueber den komplexen und den reellen Zahlen klassifizieren, wobei wir den Traegheitssatz von Sylvester ohne Beweis verwenden.


    Quadratische Formen ueber endlichen Koerpern


    Geben Sie den Inhalt von Kapitel 1.1 und 1.2 moeglichst vollstaendig wieder. Klassifizieren Sie anschliessend alle quadratischen Formen ueber endlichen Koerpern, so wie es im Kapitel 4.1, Abschnitt 1.7 beschrieben ist.


    Grundlagen der p-adischen Zahlen


    Stellen Sie den Koerper der p-adischen Zahlen vor, und zwar so, wie es im Kapitel 2.1 und 2.2 beschrieben ist. Eventuell mag ein Vergleich mit den Laurent- bzw. Taylorreihen zur Veranschaulichung sehr hilfreich sein.


    Die multiplikative Gruppe der p-adischen Zahlen


    Beschreiben Sie die multiplikative Gruppe der p-adischen Zahlen, indem Sie sich an Kapitel 2.3 orientieren. Sie werden dafuer die Notation aus Kapitel 1.3 brauchen, den sie daher auch kurz vorstellen sollen. Auf den Beweis des Reziprozitaetsgesetzes (Theorem 6) wird verzichtet, doch auf die Bemerkung im Anschluss zur Berechnung des Legendre-Symbols sollte eingegangen werden.


    Das Hilbert-Symbol, Teil 1


    Stellen Sie Kapitel 3.1 so ausfuehrlich wie moeglich vor. Besonders die Bemerkung zum Schluss mag recht hilfreich sein.


    Quadratische Formen ueber den p-adischen Zahlen


    Geben Sie eine Klassifikation aller quadratischen Formen ueber den p-adischen Zahlen. Alles, was Sie dafuer benoetigen, finden Sie in Kapitel 4.2. Da der Abschnitt vergleichsweise umfangreich ist, wird man an der ein oder anderen Stelle wohl kuerzen muessen. Der Abschnitt 2.4 wird weggelassen.

    Literatur: A Course in Arithmetics


    Das Hilbert-Symbol, Teil 2, und lokale Invarianten


    Diskutieren Sie zunaechst die "globalen" Eigenschaften des Hilbert-Symbols, so wie in Kapitel 3.2 beschrieben. Definieren Sie anschliessend die lokalen Invarianten einer quadratischen Form ueber Q. (Kapitel 4, Abschnitt 3.1) Hierfuer brauchen wir auch die Begriffe und Ergebnisse aus Kapitel 4, Abschnitt 2.4. Fassen Sie alles noch einmal zusammen, so wie in der Bemerkung im Abschnitt 3.3 geschehen.


    Quadratische Formen ueber den rationalen Zahlen


    Stellen Sie das Hasse Prinzip vor und klassifizieren Sie die quadratischen Formen ueber Q. Alles Wichtige finden Sie in den Abschnitten 3.2 und 3.3 im Kapitel 4.


    Der (Grothendieck) Witt-Ring


    Stellen Sie das Monoid der quadratischen Formen vor. Schildern Sie nun, wie man aus einem Monoid eine Gruppe macht und veweisen Sie in diesem Zusammenhang das Wittsche Theorem. Definieren Sie nun den Grothendieck-Witt-Ring und den Witt-Ring. Interpretieren Sie deren Elemente und geben Sie Erzeuger an. Als Literatur empfiehlt sich Serre: Kapitel 4, Abschnitt 1.5, aber man vergleiche Kapitel 2.1 sowie das Kapitel 1 fuer das Wittsche Theorem im Buch 'Introduction to Quadratic Forms over Fields' von T.Y. Lam.


    Unimodulare Gitter, Beispiele


    Geben Sie den Inhalt von Kapitel 5.1 so gut wie moeglich wieder. Wichtig sind vor allem die Beispiele. Der Abschnitt 5 kann stark gekuerzt werden, weil analog schon Vortrag 9 gemacht.


    Klassifikation indefiniter Gitter


    Klassifizieren Sie alle indefiniten Gitter und beschreiben Sie die Grothendieck-Witt-Gruppe, so wie in Kapitel 5.2 und 5.3 beschrieben. Der Abschnitt 2.3 wird weggelassen.



    Dank an Sven Meinhardt. Das Programm folgt einem von ihm im SS 2012 abgehaltenen S1G1 Seminar.