Elementare Spezielle Funktionen

Seminar (S1G1)

Im Rahmen des Seminars befassen wir uns mit den elementaren speziellen Funktionen, welche sich aus konkreten Fragestellungen in der Analysis und der mathematischen Physik ergeben. Wichtige Beispiele hierfür sind die orthogonalen Polynome, Bessel-Funktionen, sphärische harmonische Funktionen sowie die Gamma-Funktion.

Polynome spielen in der Analysis und der Linearen Algebra eine wichtige Rolle, im Zusammenhang mit der Taylorentwicklung, sowie auch als Beispiel für einen Vektorraum. Vektoren lassen sich mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens aus der Linearen Algebra orthogonalisieren. Anwendung dieses Verfahrens auf Polynome führt auf die sogenannten Orthogonalpolynome.

Mit Hilfe von Orthogonalpolynomen lassen sich nun Funktionen in eine unendliche Reihe von Orthogonalpolynomen entwickeln. Ferner bestehen Beziehungen zu verschiedenen physikalischen Anwendungen, wie zum Beispiel bei der Untersuchung von Lösungen der Schrödinger Gleichung des Wasserstoffatoms. Orthogonalpolynome spielen eine wichtige Rolle bei der numerischen (näherungsweisen) Integration von nicht explizit integrierbaren Funktionen (Quadraturformeln).

Eine weitere Klasse von speziellen Funktionen, die Bessel-Funktionen, ergibt sich in der Physik bei der Untersuchung der Wellenausbreitung in runden Wasserbehältern sowie den Schwingungen der kreisförmigen Membran. Bessel-Funktionen treten ferner bei der Darstellung klassischer orthogonaler Polynome in Integralausdruck auf. Es besteht eine enge Beziehung zur Gamma-Funktion, welche eine unabhängige wichtige Rolle in der Zahlentheorie spielt.