Seminar Zahlen (SS 09)

Bachelor of Science Mathematik (S1G1)

Prof. Dr. Matthias Lesch, Mathematisches Institut, Be6/26
Benjamin Himpel, Ph.D., Mathematisches Institut, Be4/36

Beschreibung

Das traditionelle Zahlensystem ist die wichtigste Grundlage aller Mathematik.

In der ersten Hälfte des Seminars beschäftigen wir uns mit dem, was jeder Mathematiker einmal gehört oder gelesen haben sollte: der übliche Aufbau des Zahlensystems von den natürlichen Zahlen über ganze, rationale und reelle bis hin zu den komplexen Zahlen. Die komplexen Zahlen bilden den Ausgangspunkt für eine der großen mathematischen Schöpfungen des 19. Jahrhunderts, die Funktionentheorie. Die p-adischen Zahlen wurden Anfang des 20. Jahrhunderts mit der Absicht erfunden, die machtvolle Methode der Potenzreihenentwicklung, welche in der Funktionentheorie eine so beherrschende Rolle spielt, auch der Zahlentheorie zur Verfügung zu stellen.

Bei dem stufenweisen Aufbau des Zahlsystems wird jeder Schritt durch Probleme motiviert, die sich auf der vorherigen Stufe formulieren aber nicht lösen lassen. Das Zahlsystem der nächsten Stufe wird mit Hilfe mengentheoretischer Operationen als Erweiterung des vorhandenen Systems so konstruiert, daß die Ausgangsprobleme lösbar werden. Während beispielsweise x² + 1 = 0 im Körper der reelen Zahlen keine Lösung besitzt, erreichen wir auf diese Weise auch den Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht konstante, komplexe Polynom in den komplexen Zahlen hat mindestens eine Nullstelle.

Danach werden wir noch hyperkomplexe Zahlen (kurz "Algebren") kennenlernen, für die man entweder unendliche Dimensionen zulassen muss, oder Körperaxiome wie die Kommutativität oder die Assoziativität der Multiplikation oder die Möglichkeit der Division aufgeben muss. Ist die Division eindeutig ausführbar, so spricht man von Divisionsalgebren. Wir werden uns auf die klassischen Divisionsalgebren der Quaternionen und Oktaven konzentrieren.

Das Seminar folgt dem Buch Zahlen von Ebbinghaus et al. (Springer Verlag, 3. Auflage).

Zeit & Ort

Dienstags, 10:15-11:45 Uhr in LWK 008 (Endenicher Allee 60)
Erste Veranstaltung: 14.4.2009.
Vorbesprechung und Vortragsverteilung: am Dienstag, den 3.2.2009 um 16 Uhr s.t. im Hausdorffraum.

Bei Fragen wenden Sie sich bitte an Benjamin Himpel (Be4/36, ).

Vorträge

Wie halte ich einen guten Vortrag?

14.04.09Benjamin HimpelMengentheorie 1 Mengen, Quantoren, Konstruktion, Relationen, Zermelo-Fraenkelsche AxiomeLe§I.2-I.3, Ha§1-10, Eb§14 (Eb2)
21.04.09Tobias Simon JustenMengentheorie 2 Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz, Zornsches LemmaLe§I.3.4, Ha§14-17, Eb§14 (Eb2)
28.04.09Trung Hieu HoangNatürliche, ganze und rationale Zahlen 1 Definition von N, Arithmetik in NEb§1.2, Ha§11-13 (Eb2)
05.05.09Melanie HeidgenNatürliche, ganze und rationale Zahlen 2 Übergang von N nach Z und Z nach QEb§1.3-1.4
12.05.09Nadine PastuszkaReelle Zahlen 1 Dedekindsche Schnitte, FundamentalfolgenEb§2.2-2.3
19.05.09Marijo MilicevicReelle Zahlen 2 Intervallschachtelungen, Axiomatische BeschreibungEb§2.4-2.5
26.05.09Jennifer KrügerKomplexe Zahlen Definition, Eigenschaften, PolarkoordinatenEb§3.1-3.4, §3.6
09.06.09Sarah Marie JanzenWas ist π? Exponentialfunktion, Charakterisierungen und FormelnEb§5
16.06.09Finn Lasse BühnerDie p-adischen Zahlen 1 Zahlen als Funktionen, arithmetische BedeutungEb§6.1-6.2
23.06.09Julia SchüllerDie p-adischen Zahlen 2 Analytische Natur, Hauptsatz der lokalen RestklassenkörpertheorieEb§6.3-6.4
30.06.09Alexej GrinevQuaternionen 1 DefinitionEb§7.1
07.07.09Marc Michael SauerweinQuaternionen 2 Skalarprodukt, orthogonale GruppeEb§7.2-7.3
14.07.09Jonas PrielippCayley-Zahlen Alternative Divisionsalgebren, Existenz, Eigenschaften und EinzigkeitEb§9
21.07.09Marcel HaubrichNon-Standard Analysis Non-Standard Erweiterung von R, Differential- und IntegralrechnungEb§12

Literatur

[Eb]Ebbinghaus: Zahlen
[Eb2]Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre
[Ha]Paul Richard Halmos: Naive Mengenlehre
[Le]Matthias Lesch: Analysis Skript