Einführung in die Mathematische Logik  (V2A2)

Dozenten

• PD Dr. Philipp Schlicht
  
• Übungen: Adrian De Lon, Moritz Hartlieb, Sebastian Meyer, Thomas v. Campenhausen

Zeit und Ort

• Vorlesung:
  • Montags 14:15-16:00
  • Mittwochs 13:30-15:00
  Beginn: Montag, 12.04.
  Der Zoom-Link zur Vorlesung wird am Montag Vormittag hier veröffentlicht. Die Verknüpfung mit eCampus und basis ist in Arbeit.
• Übungen:
  • Montags 10:15-12:00, Thomas v. Campenhausen
  • Dienstag 12:15-14:00, Moritz Hartlieb
  • Donnerstag 16:15-18:00, Adrian De Lon
  • Freitag 14:15-16:00, Sebastian Meyer
  Beginn: Montag, 19.04.
  Die Eintragung in Übungsgruppen wird am per eCampus Montag nach der Vorlesung oder Dienstag stattfinden.

Ablauf

Die Vorlesung findet live zu den geplanten Zeiten via zoom statt; der Zoom-Link wird am kommenden Montag Vormittag hier veröffentlicht. Mindestens bis Pfingsten finden die Vorlesung und Übungen online statt.

Die Zoom-Links zu den Übungen werden nächste Woche auf eCampus verfügbar.

Die Sprechstunde des Dozenten ist Montags 16:00-16.45, und Mittwochs 15.00-15.45 via zoom.

Inhalt

Alle mathematischen Aussagen lassen sich durch Verknüpfungen und Quantoren als formale logische Aussagen schreiben. Zum Beispiel wird die Stetigkeit von Funktionen in der Analysis oft in einer epsilon-delta Schreibweise mit Quantorensymbolen definiert. Mathematische Beweise können als Folgen von Aussagen aufgefasst werden, die sich durch logische Schlüsse aus Axiomen ergeben. Dadurch können Beweise selbst mathematisch untersucht werden.

In dem Modul wird die logische Begründung der Mathematik durch Aussagen, Theorien und Beweise vorgestellt. Ein zentrales Ergebnis ist der Gödelsche Vollständigkeitssatz: `Wenn jedes Beispiel das A erfüllt auch B erfüllt, dann kann man aus A die Aussage B formal beweisen.

Ein wichtiges Thema ist die Unvollständigkeit von Axiomensystemen. Gödels Unvollständigkeitssätze zeigen, dass jede `sinnvolle' Axiomatisierung der natürlichen Zahlen manche Aussagen offen lässt.

Wir werden auch kurze Einleitungen in die Mengenlehre und Modelltheorie sehen. Die Mengenlehre bildet die Grundlage der Mathematik, und die Modelltheorie beschäftigt sich unter anderem mit Anwendungen der mathematischen Logik in der Algebra.

Wir möchten in den Übungsaufgaben konkrete Formalisierungen mit Hilfe von Natural Proof Checking (Software: Naproche) ansehen. Prof. Peter Koepke wird dazu im Rahmen der Vorlesung einen einleitenden Vortrag halten.

Die wichtigsten Informationen zur Vorlesung finden sie in diesem Überblick.

Vorkenntnisse

Die Vorlesung setzt Grundkenntnisse aus dem 1. Studienjahr Mathematik voraus.

Begleitseminar und andere Vorlesungen

Begleitend zur Vorlesung findet ein Hauptseminar über formale Mathematik und Mengenlehre statt. Es ist noch ein Vortrag zu vergeben; kontaktieren Sie bitte die Dozenten per Email.

Aufbauend auf der Vorlesung ist im Winter 2021 eine Vorlesung über Modelltheorie von Prof. Philipp Hieronymi geplant.

Vorlesungsthemen

• Strukturen und Formeln
  • Prädikatenlogik
• Axiome und Mengen
  • Ordinal- und Kardinalzahlen
  • Transfinite Induktion
• Formale Beweise
  • Hilberts Beweiskalkül
  • Vollständigkeit des Beweiskalküls (Gödel)
  • Kompaktheitssatz und Anwendungen
  • Testen von formalen Beweisen mittels Naproche in den Übungen
• Unvollständigkeit von Axiomensystemen
  • Gödels erster Unvollständigkeitssatz
• Modelltheorie
  • Satz von Löwenheim-Skolem
  • Axiomatisierbare Klassen von Strukturen
  • Quantorenelimination

Vorlesungsskript

Das aktualisierte Vorlesungsskript ist jeweils am Vormittag vor der Vorlesung hier (später auf eCampus) verfügbar.

Übungen

Die Übungsblätter werden wöchentlich am Freitag (oder Wochenende) auf eCampus hochgeladen. Die Deadline für die Abgabe auf eCampus ist Montags (eine runde Woche nach Ausgabe).
Sie können Ihre Lösungen mit einem anderen Teilnehmer zusammen abgeben. Getippte oder eingescannte Lösungen sind möglich.
Zur Teilnahme an der Klausur benötigen Sie insgesamt mindestens 50% der möglichen Punkte.