Einführung in die Mathematische Logik  (V2A2)

Dozenten

• Prof. Dr. Peter Koepke
  
• Dr. Peter Holy (Übungsbetrieb).

Zeit und Ort

Vorlesung: Montags 14:15-16:00 und mittwochs 13:30-15:00 im Kleinen Hörsaal, beide Wegelerstraße 10.

Übungsgruppentermine zur Auswahl: Do 8-10 N.007, Do 16-18 Kleiner Hörsaal Wegelerstraße, Fr 10-12 0.007

Inhalt

Durch Einführung von logischen Verknüpfungen ("und", "oder", "nicht") und Quantoren ("für alle", "es existiert") - oder entsprechende Symbole - lassen sich alle mathematischen Aussagen in eine streng formale Form bringen. Z.B. wird die Stetigkeit von Funktionen in der Analysis oft in einer epsilon-delta-Schreibweise mit Quantorensymbolen definiert. Mathematische Beweise können als Folgen von Aussagen aufgefasst werden, die sich durch logische Schlüsse aus Grundannahmen ergeben. Dabei haben einige Schlussweisen einen rein formalen, kalkülartigen Charakter als Umformung von Symbolfolgen.

In dem Modul wird die formallogische Begründung der Mathematik anhand von Formulierungen von Aussagen, Theorien und Beweisen, die aus dem ersten Studienjahr bekannt sind, vorgestellt. Es wird ein vollständiger Beweiskalkül für die Logik (erster Stufe) angegeben, der dem üblichen mathematischen Schließen nahe steht. Durch die Formalisierung werden Aussagen und Beweise selbst zu mathematischen Objekten. Zentrales Ergebnis ist der Gödelsche Vollständigkeitssatz, der die formale Methode bestätigt: jede allgemeingültige mathematische Aussage kann im Beweiskalkül erzeugt werden.

Die Mengenlehre ist die allgemein akzeptierte Grundlage der Mathematik. Die Zermelo-Fraenkelschen Axiome der Mengenlehre lassen sich in der Logik erster Stufe formulieren. Wir werden sehen, wie sich die üblichen Grundbegriffe der Mathematik wie Zahlen, Relationen, Funktionen usw. in diesem Axiomensystem entwickeln lassen.

In der Vorlesung und den Übungen wird besonderer Wert auf die Arbeit mit konkreten Formalisierungen gelegt. Die Vorlesung setzt Grundkenntnisse aus dem 1. Studienjahr Mathematik voraus.

Mitte Mai beginnt eine Arbeitsgemeinschaft zur Formalen Mathematik, in der die prinzipielle Formalisierbarkeit der Mathematik praktisch umgesetzt wird.

Die Vorlesung ist ein in sich abgeschlossenes Modul und nicht Bestandteil des turnusmäßigen Logik-Mengenlehre-Zyklus. Sie wird evtl. im Wintersemester mit einem Seminar fortgesetzt.

Vorlesungsthemen

• Quantorensprachen
• Strukturen
• Interpretation von Formeln in Strukturen
• Formale Sprachen und Kalküle
• Beweiskalküle
• Konsistenz und Erfüllbarkeit von Theorien
• Der Gödelsche Vollständigkeitssatz
• Mengentheoretische Axiome
• Mengentheoretische Grundlegung der Mathematik

Vorlesungsskript

Skript: pdf

Übungen

Die Übungsblätter werden Montags auf dieser Webseite hochgeladen, die Abgabe ist am folgenden Montag zu Beginn der Vorlesung. Sie können Ihre Lösungen mit maximal einem anderen Teilnehmer zusammen abgeben. Zur Teilnahme an der Klausur benötigen Sie mindestens 50% der möglichen Punkte. Bei Fragen zu den Übungen schreiben Sie eine Email an Peter Holy.

Übungsblätter

Blatt 1: pdf
Blatt 2: pdf
Blatt 3: pdf
Blatt 4: pdf
Blatt 5: pdf
Blatt 6: pdf
Blatt 7: pdf
Blatt 8: pdf
Blatt 9: pdf
Blatt 10: pdf
Probeexamen: pdf

Klausur

Die Klausur findet am 01.08., von 09:00-11:30 im Wolfgang-Paul-Hörsaal, Kreuzbergweg 28,
die Nachholklausur findet (geänderter Termin!!) am 12.09., von 09:00-11:30 im Grossen Hörsaal in der Wegelerstrasse 10 statt.

Klausureinsicht am Montag, dem 31.08. von 10:00-12:00 in N1.014.
Klausureinsicht für die Nachklausur am Mittwoch, dem 16.09. von 10:00-12:00 in N1.014.