Seminar über Elliptische Funktionen und Modulformen
(Hauptseminar Globale Analysis S2B3)

Dozent Prof. Dr. Matthias Lesch

Vorbesprechung: Montag 08.07.2013, 10:15 Uhr, Büro 1.033

Vorkenntnisse: Grundvorlesungen, Einführung in komplexe Analysis (Funktionentheorie)

Dieses Seminar schließt sich an meine im SS 2013 gehaltene Vorlesung über Funktionentheorie (Einführung Komplexe Analysis) an. Wir wollen uns in diesem Seminar die Theorie elliptischer Funktionen und Modulformen erarbeiten. Elliptische Funktionen sind doppelt periodische meroporphe Funktionen. Historisch sind sie entdeckt worden bei dem Versuch, Integrale von Quadratwurzeln von Polynomen 3. oder 4. Grades auszurechnen. Wir werden sehen, dass alle elliptischen Funktionen aus der Weierstrassschen p-Funktion gewonnen werden können. Aus ihr werden wir eine ganze Reihe weiterer interessanter Modulfunktionen gewinnen. Die Theorie der Modulfunktionen ist ein klassisches, dennoch hochaktuelles, Gebiet der Mathematik mit Verbindungen zu tiefliegenden offenen Problemen.

Vortragsthemen

Massgeblich für den Inhalt des Vortrages ist stets die erste angegebene Literaturquelle. Die weiteren Quellen sind lediglich als Ergänzungen zu verstehen.

Elliptische Funktionen

1. Perioden, elliptische Funktionen, Modulgruppe
   Perioden meromorpher Funktionen, Gitter, Jacobi's Lemma, Basis Lemma, primitive Perioden, Modulgruppe und Modulfunktionen, Fundamentalbereich der Modulgruppe
   [C], I ; [KK] I.1, II. 1,2; [BF] VI. 1,7
   
   vergeben an Armin Schäfers und Marco Wysietzki
   
   
2. Die p-Funktion
   Liouville-Sätze, p-Funktion, Gitterinvarianten, Additionstheorem, Charakterisierung elliptischer Funktionen
   [C], II, III, ; [KK], I. 2-5 ; [BF] V. 1-6
   
   vergeben an Bastian Karlhofer und Marius Behrmann
   
   
3. Produktentwicklungen
   ζ- und σ - Funktionen, Darstellungssatz für elliptische Funktionen in Termen der σ-Funktionen, Theta-Funktionen, Transformationsformel
   [C], IV, V. 1-2 ; [KK] I.6. 1-3, 7
   
   vergeben an Ferdinand Baarlink, Jan Lennartz und Bunlong Lay
   
   
4. Theta Funktionen
   Theta-Funktionen, Jacobi's Formel, Darstellung von Gitterinvarianten in Termen der Theta-Funktionen, Produkdarstellung der Theta-Funktionen, weitere Identitäten
   [C], V. 3-8; [KK] I 6.4.6
   
   vergeben an Ferdinand Baarlink, Jan Lennartz und Bunlong Lay
   
   

Modulformen

5. Modulgruppen, elementare Theorie der Modulformen
   Obere Halbebene, gebrochene lineare Transformationen, Fixpunkte, invariante Metrik, elliptische Modulgruppe, Untergruppen, elementare Eigenschaften modularer Funktionen, Beispiele
   [BF], V. 7, VI. 1; [KK] II, III. 1,2 VI. 2 bis Bemerkung 2.2
   
   vergeben an Monika Barthelme und Christoph Lampe
   
   
6. Die Modulfunktion
   Definition, Abbildungseigenschaften, Zusammenhang mit Gitterinvarianten, Theta-Funktionen und elliptische Integralen
   [C] VI; [BF] V. 8
   
   vergeben an Robin Suter und Niklas Lipski
   
   
7. Jakobische elliptische Funktionen und die Modulfunktion λ
   Jakobische Funktionen sn, cn, dn, Produktdarstellung, Modulfunktion λ, Satz von Picard
   [C] VII
   
   vergeben an Florian Schweiger und R. Obersheimer
   
   
8. Modulformen
   Gewichtsformel, Struktursatz der Algebra der Modulformen, Spitzenformen, absolute Invariante, Satz von Picard, Dedekin η-Funktion
   [KK] III. 3-7; [BF] VI. 2-5
   
   vergeben an Andreas Büsch
   
   
9. Dirichlet-Reihen mit Funktionalgleichungen
   In diesem Vortrag wird die auf Hecke zurückgehende Korrespondenz zwischen ganzen Modulformen und Dirichlet-Reihen mit Funktionalgleichung besprochen
   [BF] VIII. 2-3; [KK] IV. 4. 1-7
   
   vergeben an Oliver Fürst und Georg Linden
   
   
10. Hecke-Petersson Theorie
    Algebra der Hecke-Operatoren, Petersson-Skalarprodukt, Anwendungen
    [KK] IV. 1-3, IV 4.8.9
    
    vergeben an Leon Hendrian
    
    

Literatur

• [BF] R. Busam, E. Freitag "Funktionentheorie", Springer Verlag
• [C] K. Chandraresekharan "Elliptic functions", Springer Grundlehren, No. 281
• [KK] M. Koecher, A. Krieg "Elliptische Funktionen und Modulformen", Springer Verlag