Hauptseminar mathematische Logik (S2A2)/ Graduate seminar on logic (S4A3)
Organizers
- Prof. Peter Koepke
- Merlin Carl
- Dr. Philipp Schlicht
Time and place
Mittwoch 10-12, Beginn 27.10.2010, Seminarraum N0.008 (Nebengebäude im Hinterhof).
Contents
Konkrete Unvollständigkeit in der Arithmetik
Ein zentrales Ergebnis der modernen Logik ist der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz, der besagt, dass jede genügend starke Theorie unvollständig ist in dem Sinn, dass sie nicht jede Aussage entscheidet, die in ihrer Sprache formuliert werden kann. Die Aussagen, die Gödel dafür konstruierte, sind jedoch künstlich und weit entfernt von Problemen, die sonst in der Mathematik untersucht werden. Im Seminar werden wir mehrere Beispiele für "natürliche" Aussagen behandeln, die vom Standard-Axiomensystem der Arithmetik, der Peano-Arithmetik (PA), unabhängig sind. Die bekanntesten sind der Satz von Paris-Harrington, eine direkte Verstärkung des Satzes von Ramsey über endliche Graphen, den Satz von Goodstein zur Konvergenz bestimmter Folgen natürlicher Zahlen und der Satz von Matyasevich über die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen.
Teilnehmer sollten mindestens eine Vorlesung in Logik gehört haben und mit formalen Sprachen und formalen Beweisen vertraut sein.
Literatur: Marker, Model Theory: An Introduction, Kapitel 1,2 und 5, und Adamowicz, Zbierski, Logic of Mathematics, Kapitel 22.
A central result of modern logic is the Gödel incompleteness theorem stating that any sufficiently strong formal system is incomplete in the sense that it cannot decide every statement that can be formulated in its language. However, the statements constructed by Gödel seem very artificial and are far away from the kind of statements mathematicians usually consider. In our seminar, we will give several examples of "natural" statements independent of the standard axiomatization of arithmetic, Peano Arithmetic (PA). The most famous are the Paris-Harrington theorem, a straightforward strengthening of the well-known Ramsey theorem about finite graphs, the Goodstein theorem concerning convergence of certain sequences of natural numbers and Matiyasevich's theorem about solvability of diophantine equations.
Participiants should have completed at least one course in logic or set theory and be familiar with basic notions of formal languages and proof calculi.
Literature: Marker, Model Theory: An Introduction, chapters 1,2 und 5, and Adamowicz, Zbierski, Logic of Mathematics, chapter 22.
Programme
- 27 October Robert Kucharczyk Tarski-Vaught Test, Skolemfunktionen, Indiscernibles
- 03 November Veronika Goeck Partitionsrelationen und der Satz von Paris-Harrington
- 10 November Julian Schlöder Diagonale Ununterscheidbare aus Paris-Harrington
- 17 November Julian Schlöder Unabhängigkeit des Satzes von Paris-Harrington (von PA)
- 24 November Merlin Carl, Philipp Schlicht Cantor-Normalform, Konvergenz der Goodstein-Folgen
- 01 December Benedikt Mathes Satz von Wainer
- 08 December Kein Seminar wegen Dies Academicus