Hauptseminar Funktionalanalysis
Klassische gewöhnliche Differentialgleichungen (S2B1)

Dozenten Prof. Dr. Matthias Lesch, Dr. Boris Vertman.

Seminar findet mittwochs ab 12:15 bis 14 Uhr im Nebengebäude Seminarraum N0.003 statt.

Restplätze sind noch vorhanden, bei Interesse bitte kurze Email an Herrn Dr. Vertman oder Herrn Prof. Dr. Lesch.

In diesem Seminar wollen wir die klassische Theorie der linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung studieren. Eine Vielzahl von höheren Funktionen (zum Beispiel Besselfunktionen, Hermite-, Legendre- und Laguerre Polynome bzw. Funktionen) sind Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten. Die tieferliegenden Eigenschaften dieser Gleichungen ergeben sich erst, wenn man die Koeffizienten als analytische Funktionen einer komplexen Variablen betrachtet. Besonders relevant ist das Lösungsverhalten in der Nähe von isolierten Singularitäten der Koeffizienten. Die Seminarinhalte gehören zum Standardwerkzeug in der Globalen Analysis, zum Beispiel bei der Untersuchung elliptischer Operatoren in der Nähe von Singularitäten.

Vorkenntnisse: Inhalte der Vorlesung Analysis I, II, Lineare Algebra I,II. Des Weiteren werden die in der parallel laufenden Analysis III Vorlesung vermittelten Inhalte verwendet werden. Selbstverständlich sind Teilnehmer, die bereits Analysis III gehört haben, willkommen.

Vortragsthemen

• Die Matrixexponentialfunktion
  Duhamel-Formel, Volterra-Entwicklung, Campbell-Baker-Hausdorff Formel
  Literatur: Vorlage wird gestellt; vgl. auch Terry Tao Notes
  Vortrag vergeben an Andreas Büsch
  
  
• Floquet Theorie, Existenz- und Eindeutigkeitssatz im Komplexen.
  Literatur: Kapitel 18 IX, X, XI und Kapitel 21 in [W], Abschnitte 1.8,3.5,3.7 in [CL].
  Vortrag vergeben an Tobias Olbrich
  
  
• Isolierte Singularitäten.
  Literatur: Kapitel 22 in [W], Abschnitt 4.1 in [CL].
  Vortrag vergeben an Maximillian Fels
  
  
• Schwach singuläre Stellen, Differentialgleichungen vom Fuchsschen Typ
  Literatur: Kapitel 23 in [W], Abschnitt 4.2 in [CL].
  Ein recht kurzer Vortrag, der evtl. Teile des nächsten (sehr langen) Vortrages nach Absprache übernehmen sollte.
  Vortrag vergeben an Krisztian Simon (ersatzweise gehalten von Oliver Fürst)
  
  
• Reihenentwicklung von Lösungen
  Literatur: Kapitel 24 in [W].
  Vortrag vergeben an Oliver Fürst
  
  
• Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung (I)
  Literatur: Kapitel 25 in [W], Kapitel 6 in [Hi], Abschnitt 4.7 in [CL].
  Vortrag vergeben an Robin Suter
  
  
• Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung (II)
  Literatur: Kapitel 25 in [W], Kapitel 6 in [Hi], Abschnitt 4.7 in [CL].
  Vortrag vergeben an Zahra Rahmani
  
  
• Randwertaufgaben, Greensche Funktion
  Literatur: Kapitel 26 in [W], Abschnitt 4.1-4.2 in [CL].
  Im Gegensatz zu CL beschränke man sich auf den Fall 2. Ordnung.
  
  Vortrag vergeben an Constantin Eichenberg
  
  
• Das Sturm-Liouville Eigenwertproblem.
  Literatur: Kapitel 27 in [W], Abschnitt 4.3-4.4 in [CL].
  Evtl. Beweis des Entwicklungssatzes mittels Spektralsatz für kompakte Operatoren (diesen Satz lediglich zitieren).
  Vortrag vergeben an Niklas Lipski
  
  
• Beispiele diskreter Sturm-Liouville Probleme
  Fourierreihen, Orthogonalpolynome
  Literatur: wird noch bekannt gegeben.
  Vortrag vergeben an Andreas Grever
  
  
• Singuläre Randwerttheorie (I), Grenzpunkt- und Grenzkreisfall.
  Literatur: Abschnitt 9.1 und 9.2 in [CL].
  Vortrag vergeben an Christopher Kacwin
  
  
• Singuläre Randwerttheorie (II), Entwicklungssätze.
  Literatur: Abschnitte 9.3 und 9.4 in [CL].
  Vortrag vergeben an Danial Sanusi
  
  
• Beispiele kontinuierlicher Sturm-Liouville Probleme
  Laplace Operator auf der Halbachse, Besseloperator, Hankeltransformation.
  Literatur: wird noch bekannt gegeben, z.B. [L].
  Vortrag noch verfügbar
  
  
• Der Besseloperator auf [0,1] und auf der positiven Halbachse.
  Literatur: wird noch bekannt gegeben, z.B. [L].
  Vortrag noch verfügbar
  
  

Literatur

• [CL] E.A. Coddington, N. Levinson "Theory of ordinary differential equations", McGraw Hill (1955)
• [He] H. Herold "Differentialgleichungen im Komplexen", Göttingen (1975)
• [Hi] E. Hille "Ordinary differential equations in the complex domain", Wiley (1976)
• [W] W. Walter "Gewöhnliche Differentialgleichungen", Springer (1993)
• [L] M. Lesch "Operators of Fuchs type", arXiv:dg-ga/9607005