Determinanten elliptischer SG-Pseudodifferentialoperatoren

Elmar Schrohe, Hannover

Abstract

In Analogie zu der Konstruktion von Kontsevich und Vishik führen wir ein Spurfunktional TR auf der Algebra der klassischen SG-Pseudodifferentialoperaten auf ${\mathbb{R}}^n$ ein. Dies sind diejenigen Operatoren, deren Symbole $a=a(x,\xi)$ Abschätzungen der Form

$$\partial^\alpha_\xi \partial^\beta_x a(x,\xi) = O(\langle \xi... ...gle^{\mu-\vert\alpha\vert}\langle x\rangle^{m-\vert\beta\vert})$$

für geeignete $\mu, m\in\mathbb{R}$ erfüllen, und die darüber hinaus klassische Entwicklungen sowohl in $x$ als auch in $\xi$ haben.

Für einen parameter-elliptischen Operator $A={\rm Op}(a)$ in dieser Klasse mit $\mu>0$ und $m\ge0$ können wir die zeta-regularisierte Determinante $\det A$ definieren.

Im Fall $m=0$ stellt sich heraus, dass für Paare $(A_0,A_1)$ von Operatoren, die einerseits parameter-elliptisch sind, andererseits die Bedingungen von W. Müller zur Definition der relativen Determinante $\det(A_0,A_1)$ erfüllen, die Identität

$$\det(A_0,A_1)=\det A_0/\det A_1$$

gilt.

(gemeinsame Arbeit mit L. Maniccia und J. Seiler)