INFINITESIMALRECHNUNG IV

(FUNKTIONENTHEORIE I)

WERNER MÜLLER

Inhaltsverzeichnis

1. Holomorphe Funktionen 2 2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 5 3. Potenzreihen 14 4. Elementare Funktionen 16 5. Holomorphie und winkeltreue Abbildungen 21 6. Kurvenintegrale 25 7. Der Cauchysche Integralsatz 31 8. Die Integralformel von Cauchy 34 9. Potenzreihenentwicklung 37 10. Cauchysche Ungleichung und Maximumsprinzip 45 11. Konvergenzsätze 53 12. Laurentreihen 58 13. Isolierte Singularitäten 62 14. Der Residuensatz 66 15. Partialbruchentwicklung meromorpher Funktionen 72 16. Produktentewicklung ganzer Funktionen 77

Date: Sommersemester 1999.

1. Holomorphe Funktionen

Definition 1.1. Es sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ sei eine Funktion. f heißt in z_{0} ∈ U komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert

lim_{z→z_{0}} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} = lim_{h→0} \frac{f(z_{0} + h) − f(z_{0})}{h}

existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von f in z_{0} und wird mit f′(z_{0}) bezeichnet.

Wir erinnern uns daran, daß die Existenz des Grenzwertes

lim_{z→z_{0}} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}}

folgendes bedeutet: Es existiert ein a ∈ ℂ so, daß gilt:

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ U : |z − z_{0}| < δ ⇒ |\frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} − a| < ϵ.

Falls eine soches a existiert, ist a = f′(z_{0}).

Äquivalente Formulierung

Lemma 1.2. Eine Funktion f : U → ℂ auf einer offenen Menge U ist genau dann in z_{0} ∈ U komplex differenzierbar, wenn eine Funktion φ : U → ℂ existiert mit

1) φ ist in z_{0} stetig;

2) ∀z ∈ U : f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})φ(z).

Beweis: ⇒) Es sei φ : U → ℂ definiert durch

φ(z) = \begin{cases}\frac{f(z)−f(z_{0})}{z−z_{0}}, & z ≠ z_{0} \\ f′(z_{0}), & z = z_{0}. \end{cases}

Da f in z_{0} komplex differenzierbar ist, gilt

lim_{z→z_{0}} φ(z) = lim_{z→z_{0}} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} = f′(z_{0}).

Daher ist φ in z_{0} stetig und nach Definition von φ ist

f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})φ(z).

⇐) Wenn eine in z_{0} stetige Funktion φ : U → ℂ mit

f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})φ(z), z ∈ U,

existiert, so ist

\frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} = φ(z).

Da φ(z) in z_{0} stetig ist, existiert der Grenzwert

lim_{z→z_{0}} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} = lim_{z→z_{0}} φ(z) = φ(z_{0}).

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Folgerung 1.3. Wenn f : U → ℂ in z_{0} ∈ U komplex differenzierbar ist, so ist f in z_{0} stetig.

Beweis: Da f in z_{0} komplex differenzierbar ist, so existiert nach Lemma 1.2 eine in z_{0} stetige Funktion φ : U → ℂ so, daß

f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})φ(z), z ∈ U,

gilt. Daraus folgt

lim_{z→z_{0}} f(z) = f(z_{0}).

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Definition 1.4. Sei U ⊂ ℂ offen.

1) Eine Funktion f : U → ℂ heißt in z_{0} ∈ U holomorph, wenn eine Umgebung U_{0} ⊂ U von z_{0} existiert so, daß f für alle z ∈ U_{0} komplex differenzierbar ist.

2) f heißt holomorph auf U, wenn f für alle z ∈ U komplex differenzierbar in z ist.

Beispiele: 1) f(z) = z, f : ℂ → ℂ. Sei z_{0} ∈ ℂ. Dann ist

\frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} = \frac{z − z_{0}}{z − z_{0}} = 1.

Daher ist f in z_{0} komplex differenzierbar und es gilt f′(z) = 1 für alle z ∈ ℂ. 2)f(z) = \overline{z}. Sei z_{0} ∈ ℂ und z − z_{0} = re^{iθ}. Dann ist

\frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} = \frac{\overline{z} − \overline{z}_{0}}{z − z_{0}} = \frac{\overline{z − z_{0}}}{z − z_{0}} = \frac{re^{iθ}}{re^{iθ}} = e^{−2iθ}.

Daraus folgt, daß \frac{\overline{z−z_{0}}}{z−z_{0}} keinen Grenzwert für z → z_{0} haben kann. Wir haben damit ein einfaches Beispiel einer stetigen Funktion f : ℂ → ℂ gefunden, die nirgends komplex differenzierbar ist.

Einfache Eigenschaften

Satz 1.5. Seien f, g : U → ℂ in z_{0} ∈ U komplex differenzierbar. Dann gilt:

1) f + g ist in z_{0} komplex differenzierbar und

(f + g)′(z_{0}) = f′(z_{0}) + g′(z_{0}).

2) fg ist in z_{0} komplex differenzierbar und

(fg)′(z_{0}) = f′(z_{0})g(z_{0}) + f(z_{0})g′(z_{0}).

3) Sei g(z_{0}) ≠ 0. Dann ist f/g in z_{0} komplex differenzierbar und

(\frac{f}{g} )′ (z_{0}) = \frac{f′(z_{0})g(z_{0}) − f(z_{0})g′(z_{0})}{g(z_{0})^{2}}.

Beweis: Analog zum reellen Fall. Übung!

Satz 1.6. (Kettenregel) Seien U, V ⊂ ℂ offen und f : U → V, g : V → ℂ seien Funktionen. Es sei f in z_{0} und g in f(z_{0}) komplex differenzierbar. Dann ist g ∘ f in z_{0} komplex differenzierbar und es gilt

(g ∘ f)′(z_{0}) = g′(f(z_{0}))f′(z_{0}).

Beweis: Sei w_{0} = f(z_{0}). Aus Lemma 1.2 folgt, daß eine in z_{0} stetige Funktion φ : U → ℂ und eine in w_{0} stetige Funktion ψ : V → ℂ existieren so, daß

\begin{aligned}f(z) & = f(z_{0}) + (z − z_{0})φ(z), z ∈ U, \\ g(w) & = g(w_{0}) + (w − w_{0})ψ(w), w ∈ V. \end{aligned}

Weiter ist φ(z_{0}) = f′(z_{0}) und ψ(w_{0}) = g′(w_{0}). Daraus folgt

\begin{aligned}(g ∘ f)(z) & = g(f(z)) = g(f(z_{0})) + (f(z) − f(z_{0}))ψ(f(z)) \\ & = g(f(z_{0})) + (z − z_{0})φ(z)ψ(f(z)). \end{aligned} (1.1)

Nach Folgerung 1.3 ist f stetig in z_{0}. Daher ist ψ(f(z)) in z_{0} stetig. Hieraus folgt, daß die Funktion z ⟼ φ(z)ψ(f(z)) in z_{0} stetig ist. Aus (1.1) und Lemma 1.2 folgt damit, daß (g ∘ f)(z) in z_{0} komplex differenzierbar ist und es gilt

(g ∘ f)′(z_{0}) = φ(z_{0})ψ(f(z_{0})) = f′(z_{0})g′(f(z_{0})).
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Definition 1.7. Seien U, V ⊂ ℂ offen. Die Abbildung f : U → V heißt biholomorph, wenn gilt:

1) f ist bijektiv.

2) f und f^{−}1 sind holomorph.

Satz 1.8. f : U → V ist genau dann biholomorph, wenn gilt:

1) f ist holomorph und f′(z) ≠ 0 für alle z ∈ U.

2) f ist bijektiv.

3) f^{−1} ist stetig. Wenn f : U → V biholomorph ist, so ist

(f^{−1})′(f(z)) = \frac{1}{f′(z)}, z ∈ U.

Beweis: Übung!

Satz 1.9. 1) Jedes Polynom p(z) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}, z^{i} ist eine holomorphe Funktion p : ℂ → ℂ.

2) Es seien p(z), q(z) Polynome, q(z) ≢ 0, und U = {z ∈ ℂ | q(z) ≠ 0}. Dann ist p(z)/q(z) holomorph auf U.

2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Es sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ. Wir identifizieren ℂ mit der reellen Ebene ℝ^{2} mittels der Abbildung z = x + iy ⟼ (x, y) und betrachten f als Funktion von (x, y). Wir erinnern uns daran, daß f : U → ℂ in z ∈ U reell differenzierbar ist genau dann, wenn eine ℝ-lineare Abbildung T : ℂ → ℂ existiert so, daß gilt:

lim_{h→0} \frac{f(z + h) − f(z) − T (h)}{|h|} = 0.  (2.1)

Dann ist T = df(z) das Differential von f in z. Wenn f : U → ℂ in z ∈ U komplex differernzierbar ist, so existiert f′(z) und es gilt

lim_{h→0} \frac{f(z + h) − f(z) − f′(z) · h}{h} = 0.  (2.2)

Es sei T : ℂ → ℂ definiert durch

T (h) = f′(z) · h, h ∈ ℂ.

Aus (2.2) folgt, daß mit diesem T (2.1) gilt, d.h., f : U → ℂ ist reell differenzierbar und für df(z) gilt

df(z)(h) = f′(z) · h.

Es seien u, v : U → ℝ definiert durch

u(x, y) = Re f(x + iy), v(x, y) = Im f(x + iy), (x, y) ∈ U.

Dann ist

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).  (2.3)

Wenn f in z_{0} = x_{0} + iy_{0} komplex differenzierbar ist, so folgt, daß u und v in (x_{0}, y_{0}) reell differenzierbar sind. Insbesondere existieren in (x_{0}, y_{0}) die partiellen Ableitungen

\frac{∂u}{∂x} = u_{x}, \frac{∂u}{∂y} = u_{y}, \frac{∂v}{∂x} = v_{x}, \frac{∂v}{∂y} = v_{y}.

Es sei h ∈ ℝ. Dann ist

f′(z_{0}) = lim_{h→0} \frac{f(z_{0} + h) − f(z_{0})}{h}

= lim_{h→0} \frac{u(x_{0} + h, y_{0}) − u(x_{0}, y_{0})}{h} + i\frac{v(x_{0} + h, y_{0}) − v(x_{0}, y_{0})}{h}

= \frac{∂u}{∂x}(x_{0}, y_{0}) + i\frac{∂v}{∂x}(x_{0}, y_{0}).

Ebenso ist

f′(z_{0}) = lim_{h→0} \frac{f(z_{0} + ih) − f(z_{0})}{ih}

= lim_{h→0} \frac{u(x_{0}, y_{0} + h) − u(x_{0}, y_{0})}{ih} + i lim_{h→0} \frac{v(x_{0}, y_{0} + h) − v(x_{0}, y_{0})}{ih}

= −i\frac{∂u}{∂y}(x_{0}, y_{0}) + \frac{∂v}{∂y} (x_{0}, y_{0}).

Durch Vergleich dieser beiden Gleichungen erhalten wir

\frac{∂u}{∂x}(x_{0}, y_{0}) = \frac{∂v}{∂y} (x_{0}, y_{0}); \frac{∂u}{∂y}(x_{0}, y_{0}) = −\frac{∂v}{∂x}(x_{0}, y_{0})

Dies sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Es gilt also

f′(z_{0}) = u_{x}(z_{0}) + iv_{x}(z_{0}) = v_{y}(z_{0}) − iu_{y}(z_{0}).

Satz 2.1. Es seien U ⊂ ℂ offen, f : U → ℂ eine Funktion und z ∈ U. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1) f ist in z ∈ U komplex differenzierbar.

2) f ist in z reell differenzierbar und das Differential df(z) : ℂ → ℂ ist ℂ-linear.

3) f ist in z reell differenzierbar, und für u = Re f und v = Im f gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

u_{x}(z) = v_{y}(z), u_{y}(z) = −v_{x}(z).

Beweis: 1) ⇔ 2) Oben haben wir bereits 1) ⇒ 2) gezeigt. Es sei umgekehrt f reell differenzierbar in z und df(z) : ℂ → ℂ sei ℂ-linear. Dann existiert c ∈ ℂ mit

df(z)(h) = c · h, h ∈ ℂ.

Dann folgt aber

lim_{h→0} \frac{f(z + h) − f(z) − c · h}{h} = 0.

und daher ist f in z komplex differenzierbar mit f′(z) = c.

2) ⇔ 3) Das Differential df(z) ist gegeben durch die Jacobi-Matrix

(\begin{matrix}u_{x}(z) & u_{y}(z) \\ v_{x}(z) & v_{y}(z) \end{matrix})  (2.4)

Es sei T : ℂ → ℂ eine ℂ-lineare Abbildung. Dann existiert c ∈ ℂ mit T (h) = c · h. Es sei c = a + ib, h = h_{1} + ih_{2}, a, b ∈ ℝ und h_{1}, h_{2} ∈ ℝ. Dann ist

c · h = (ah_{1} − bh_{2}) + i(ah_{2} + bh_{1}).

Als Abbildung T : ℝ^{2} → ℝ^{2} hat T die Matrixdarstellung

T = (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) .  (2.5)

Wenn T umgekehrt eine Matrixdarstellung der Form (2.5) hat, so ist T : ℂ → ℂ komplex linear. Zusammen mit (2.4) folgt daraus, daß df(z) : ℂ → ℂ komplex-linear ist genau dann, wenn

u_{x}(z) = v_{y}(z), u_{y}(z) = −v_{x}(z)

gilt.

□

Es sei f = (f_{1}, f_{2}) : U → ℝ^{2} eine Abbildung einer offenen Menge U ⊂ ℝ^{2}. In Infini II haben wir folgendes hinreichendes Kriterium für die reelle Differenzierbarkeit von f bewiesen: Wenn die Funktionen f_{1}, f_{2} : U → ℝ in z ∈ U stetig partiell differenzierbar sind, so ist f : U → ℝ^{2} in z ∈ U reell differenzierbar. Zusammen mit Satz 2.1 erhalten wir daraus das folgende Korollar.

Korollar 2.2. Es sei U ⊂ ℂ offen, f : U → ℂ und f = u + iv, u, v : U → ℝ. Es gelte:

1) u, v sind in z ∈ U stetig partiell differenzierbar.

2) u_{x}(z) = v_{y}(z), u_{y}(z) = −v_{x}(z). Dann ist f in z komplex differenzierbar.

Wir führen jetzt den wichtigen Begriff des Gebietes ein. Eine offene Teilmenge U ⊂ ℂ heißt bekanntlich zusammenhängend, wenn folgendes gilt: Für alle offenen Teilmengen V_{1}, V_{2} ⊂ ℂ mit U = V_{1} ∪ V_{2} und V_{1} ∩ V_{2} = ∅, ist entweder U = V_{1} oder U = V_{2}.

Definition 2.3. Eine offene und zusammenhängende Teilmenge G ⊂ ℂ heißt Gebiet.

Korollar 2.4. Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ eine holomorphe Funktion mit f′(z) = 0 für alle z ∈ G. Dann ist f konstant.

Beweis: Es sei z = x + iy, u = Re f und v = Im f. Bei der Herleitung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen haben wir gezeigt, daß

f′(z) = u_{x}(z) + iv_{x}(z) = −iu_{y}(z) + v_{y}(z)

gilt. Wenn f′(z) = 0 für alle z ∈ G ist, so folgt daraus u_{x}(z) = u_{y}(z) = 0 und v_{x}(z) = v_{y}(z) = 0 für alle z ∈ G. Da G zusammenhängend ist, folgt daraus mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, daß u und v konstant sind.

□

Beispiele: 1) Die Exponentialfunktion e^{z} ist definiert durch

e^{z} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} .

Die Reihe konvergiert für alle z ∈ ℂ. Es sei z = x + iy, x, y ∈ ℝ. Dann ist

e^{z} = e^{x}e^{iy} = e^{x}(cos y + i sin y).

Daher ist

u := Re(e^{z}) = e^{x} cos y, v := Im(e^{z}) = e^{x} sin y.

Daraus folgt

\frac{∂u}{∂x} = e^{x} cos y = \frac{∂v}{∂y} und \frac{∂u}{∂y} = −e^{x} sin y = −\frac{∂v}{∂x}.

Damit haben wir gezeigt, daß die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten. Aus Korollar 2.2 folgt daher, daß e^{z} für alle z ∈ ℂ komplex differenzierbar ist und

(e^{z})′ = u_{x} + iv_{x} = e^{z}.

2) Es sei U = {z ∈ ℂ | Re(z) > 0} und

log(z) = \frac{1}{2} log(x^{2} + y^{2}) + i arctan (\frac{y}{x}) , z = x + iy ∈ U.

Für z = x ∈ ℝ^{+} stimmt log(z) mit der Logarithmusfunktion log(x) überein. Dies rechtfertigt die Bezeichnung log(z). Es sei

u(x, y) = \frac{1}{2} log(x^{2} + y^{2}) und v(x, y) = arctan (\frac{y}{x}) .

Dann gilt

\begin{aligned}\frac{∂u}{∂x} & = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{x} · \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^{2}} = \frac{∂v}{∂y}; \\ \frac{∂u}{∂y} & = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \frac{y}{1 + (\frac{y}{x})^{2}} = −\frac{∂v}{∂x}. \end{aligned}

Damit gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und aus Korollar 2.2 folgt, daß log(z) für alle z ∈ U komplex differenzierbar ist und es gilt

\begin{aligned}(log(z))′ & = u_{x}(z) + iv_{x}(z) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} − i\frac{1}{x^{2}} \frac{y}{1 + (\frac{x}{y})^{2}} \\ & = \frac{x − iy}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x − iy}{(x + iy)(x − iy)} = \frac{1}{x + iy} = \frac{1}{z}. \end{aligned}

In U ist log(z) der Hauptzweig der komplexen Logarithmusfunktion. Wir werden später zeigen, daß gilt

log(z) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} (z − 1)^{k} für |z − 1| < 1.

3) Ist f = u + iv : U → ℂ in der offenen Menge U holomorph, so gilt in U:

|f′(z)|^{2} = det (\begin{matrix}u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix}) = u_{x}^{2} + v_{x}^{2} = u_{y}^{2} + v_{y}^{2}.

Dies folgt aus

|f′(z)|^{2} = f′(z)\overline{f′(z)} = (u_{x} + iv_{x})(u_{x} − iv_{x}) = u_{x}^{2} + v_{x}^{2}

und u_{x} = v_{y}, u_{y} = −v_{x}. |f′(z)|^{2} ist also der Wert der Determinante der Jacobimatrix der Abbildung (x, y) ⟼ (u(x, y), v(x, y)). Insbesondere foglt daraus

det (\begin{matrix}u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix}) ≥ 0 für alle z = x + iy ∈ U.

Falls f′(z) ≠ 0, so ist die Determinante positiv.

Harmonische Funktionen

Aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erhält man eine notwendige Bedingung dafür, daß eine reelle Funktion u : U → ℝ der Realität einer holomorphen Funktion ist.

Satz 2.5. Es sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ holomorph. Für u = Re f und v = Im f gelte u, v ∈ C^{2}(U). Dann gilt

\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = 0 und \frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}v}{∂y^{2}} = 0.

Beweis: Da f = u + iv : U → ℂ holomorph ist, gilt in U:

\frac{∂u}{∂x} = \frac{∂v}{∂y} , \frac{∂u}{∂y} = −\frac{∂v}{∂x}.

Daraus erhält man

\begin{aligned}\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} & = \frac{∂^{2}v}{∂x∂y} , \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = −\frac{∂^{2}v}{∂y∂x} \\ \frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} & = −\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} , \frac{∂^{2}v}{∂y^{2}} = \frac{∂^{2}u}{∂y∂x}. \end{aligned}  (2.6)

Da u, v ∈ C^{2}(U) ist, folgt aus dem Satz von Schwarz:

\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = \frac{∂^{2}u}{∂y∂x}, \frac{∂^{2}v}{∂x∂y} = \frac{∂^{2}v}{∂y∂x}.

Aus (2.6) folgt damit

\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = \frac{∂^{2}v}{∂x∂y} − \frac{∂^{2}v}{∂y∂x} = 0

und

\frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}v}{∂y^{2}} = −\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} + \frac{∂^{2}u}{∂y∂x} = 0.

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Bemerkungen:

1) Die zusätzliche Annahme in Satz 2.5, daß u, v zweimal stetig differenzierbar sind, ist in Wahrheit überflüssig, da wir später zeigen werden, daß eine holomorphe Funktion f : U → ℂ beliebig oft komplex differenzierbar ist.

2) Der partielle Differentialoperator

Δ = \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}}

heißt Laplace-Operator. Mit Bemerkung 1) folgt aus Satz 2.5, daß für eine holomorphe Funktion f : U → ℂ der Realteil u = Re f und der Imaginärteil v = Im f der Gleichung

Δh = 0

genügen. Solche Funktionen h nennt man harmonische Funktionen. In der Theorie der partiellen Differenialgleichungen zeigt man, daß jede Lösung der Gleichung Δh = 0 unendlich oft differenzierbar ist.

Die partiellen Ableitungen \frac{∂}{∂z}, \frac{∂}{∂\overline{z}}

In ddiesem Abschnitt führen wir die partiellen Ableitungen nach z und \overline{z} ein. Sei U ⊂ ℝ^{2} offen und sei f : U → ℝ^{2} in z ∈ U reell differenzierbar. Dann existiert das Differential df(z) : ℝ^{2} → ℝ^{2}. Wie wir wissen, können wir das Differential durch die partiellen Ableitungen wie folgt ausdrücken:

df(z)\binom{h_{1}}{h_{2}} = h_{1}df(z)\binom{1}{0} + h_{2}df(z)\binom{0}{1} = h_{1} \frac{∂f}{∂x}(z) + h_{2} \frac{∂f}{∂y} (z).

Bezüglich der Indentifikation ℝ^{2} ≅ ℂ gilt

\binom{1}{0} ⟷ 1, \binom{0}{1} ⟷ i.

Daher ist für df(z), aufgefaßt als ℝ-lineare Abbildung von ℂ:

df(z)(1) = \frac{∂f}{∂x}(z), df(z)(i) = \frac{∂f}{∂y} (z).

Daher ist

\begin{aligned}df(z)(h_{1} + ih_{2}) & = h_{1} \frac{∂f}{∂x}(z) + h_{2} \frac{∂f}{∂y} (z) \\ & = \frac{1}{2} (\frac{∂f}{∂x}(z) − i\frac{∂f}{∂y} (z)) (h_{1} + ih_{2}) \\ & + \frac{1}{2} (\frac{∂f}{∂x}(z) + i\frac{∂f}{∂y} (z)) (h_{1} − ih_{2}). \end{aligned}  (2.7)

Für die Linearkombinationen der reellen Differentiale auf der rechten Seite führen wir eine neue Bezeichnung ein.

Definition 2.6. Die Wirtinger-Ableitungen sind definiert durch

\frac{∂}{∂z} := \frac{1}{2} (\frac{∂}{∂x} − i\frac{∂}{∂y} ) , \frac{∂}{∂\overline{z}} := \frac{1}{2} (\frac{∂}{∂x} + i\frac{∂}{∂y} ) .

Dies bedeutet folgendes: Sei f : U → ℂ reell differenzierbar. Dann ist

\frac{∂f}{∂z} := \frac{1}{2} (\frac{∂f}{∂x} − i\frac{∂f}{∂y} ) , \frac{∂f}{∂\overline{z}} := \frac{1}{2} (\frac{∂f}{∂x} + i\frac{∂f}{∂y} ) .

Aus (2.7) erhalten wir

df(z)(h) = h \frac{∂f}{∂z} (z) + \overline{h} \frac{∂f}{∂\overline{z}} (z), h ∈ ℂ.

Satz 2.7. Für eine Funktion f : U → ℂ und z_{0} ∈ U sind folgende Aussagen äquivalent:

1) f ist reell differenzierbar in z_{0};

2) Es existieren Funktionen φ_{1}, φ_{2} : U → ℂ, die stetig in z_{0} sind so, daß für alle z ∈ U gilt

f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})φ_{1}(z) + (\overline{z} − \overline{z}_{0})φ_{2}(z).

Dann ist φ_{1}(z_{0}) = \frac{∂f}{∂z} (z_{0}) und φ_{2}(z_{0}) = \frac{∂f}{∂\overline{z}} (z_{0}).

Beweis: ⇒) In Infini II haben wir gezeigt, daß f genau dann in z ∈ U reell differenzierbar ist, wenn eine Abbildung

Λ : U → Hom_{ℝ}(ℂ, ℂ)

existiert mit a) Λ ist stetig in z_{0};

b) f(z) = f(z_{0}) + Λ(z)(z − z_{0}). Sei ϕ_{1}(z) := Λ(z)(1) und ϕ_{2}(z) := Λ(z)(i). Dann ist

f(z) = f(z_{0}) + (x − x_{0})ϕ_{1}(z) + (y − y_{0})ϕ_{2}(z),  (2.8)

wobei z = x + iy und z_{0} = x_{0} + iy_{0} ist. Wir setzen

\begin{aligned}φ_{1}(z) : & = \frac{1}{2}(ϕ_{1}(z) − iϕ_{2}(z)), \\ φ_{2}(z) : & = \frac{1}{2}(ϕ_{1}(z) + iϕ_{2}(z)). \end{aligned}

Dann folgt aus (2.8):

f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})φ_{1}(z) + (\overline{z} − \overline{z}_{0})φ_{2}(z).

Da Λ in z_{0} stetig ist, sind φ_{1} und φ_{2} in z_{0} stetig. ⇐) Übung!

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Satz 2.8. Für eine Funktion f : U → ℂ und z_{0} ∈ U sind folgende Bedingungen äquivalent:

1) f ist in z_{0} komplex differenzierbar.

2) f ist in z_{0} reell differenzierbar und es gilt:

\frac{∂f}{∂\overline{z}} (z_{0}) = 0.

Beweis: Sei u = Re f und v = Im f. Dann ist f = u + iv. Aus Satz 2.1 folgt: f ist in z_{0} komplex differenzierbar genau dann, wenn f in z_{0} reell differenzierbar ist und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen u_{x}(z_{0}) = v_{y}(z_{0}) und u_{y}(z_{0}) = −v_{x}(z_{0}) gelten. Dies ist äuquivalent zu

\frac{∂f}{∂x}(z_{0}) = \frac{∂u}{∂x}(z_{0}) + i\frac{∂v}{∂x}(z_{0}) = −i (\frac{∂u}{∂y}(z_{0}) + i\frac{∂v}{∂y} (z_{0})) = −i\frac{∂f}{∂y} (z_{0}).

Diese Gleichung gilt genau dann, wenn

0 = \frac{∂f}{∂x}(z_{0}) + i\frac{∂f}{∂y} (z_{0}) ⇔ \frac{∂f}{∂\overline{z}} (z_{0}) = 0.

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Rechenregeln für \frac{∂}{∂z}, \frac{∂}{∂\overline{z}}

Seien f, g : U → ℂ reell differenzierbar.

1) \frac{∂}{∂z} , \frac{∂}{∂\overline{z}} sind ℂ-linear und es gilt die Leibnizregel.

2) \frac{∂f}{∂z} = \overline{\frac{∂\overline{f}}{∂\overline{z}}} , \frac{∂f}{∂\overline{z}} = \overline{\frac{∂\overline{f}}{∂z}} .

3) Wenn f reell ist, so ist \frac{∂f}{∂z} = \overline{\frac{∂f}{∂\overline{z}}} .

4) \frac{∂z}{∂z} = 1, \frac{∂z}{∂\overline{z}} = 0, \frac{∂\overline{z}}{∂z} = 0, \frac{∂\overline{z}}{∂\overline{z}} = 1.

5) \frac{∂^{2}f}{∂z∂\overline{z}} = \frac{1}{4}Δf.

6) \frac{∂(g ∘ f)}{∂z} = \frac{∂g}{∂w} · \frac{∂f}{∂z} + \frac{∂g}{∂\overline{w}} · \frac{∂\overline{f}}{∂z} , \frac{∂(g ∘ f)}{∂\overline{z}} = \frac{∂g}{∂w} · \frac{∂f}{∂\overline{z}} + \frac{∂g}{∂w} · \frac{∂\overline{f}}{∂\overline{z}} .

Beim Differenzieren können wir daher z und \overline{z} so behandeln, als ob z und \overline{z} unabhängige Variablen wären.

3. Potenzreihen

Satz 3.1. Es sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann ist f(z) in B_{R}(z_{0}) beliebig oft komplex differenzierbar und es gilt

f^{(k)}(z) = ∑_{n≥k} k!\binom{n}{k}a_{n}(z − z_{0})^{n−k}

für alle z ∈ B_{R}(z_{0}) und k ∈ ℕ.

Beweis: Es genügt den Fall k = 1 zu betrachten. Sei

g(z) = ∑_{n≥1} na_{n}(z − z_{0})^{n−1}.

Dann gilt für den Konvergenzradius R_{1} von g:

R_{1} = lim_{n→∞} sup \sqrt[n]{n|a_{n}|} = lim sup_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} = R.

Daher ist g : B_{R}(z_{0}) → ℂ stetig. Behauptung: f′ = g. O.B.d.A. sei z_{0} = 0. Sei a ∈ B_{R}(0) und sei

q_{n}(z) = z^{n−1} + z^{n−2}a + ⋯ + a^{n−1}.

Dann ist

z^{n} − a^{n} = (z − a)q_{n}(z).

Daraus folgt, daß

f(z) − f(a) = ∑_{n≥1} a_{n}(z^{n} − a^{n}) = (z − a) ∑_{n≥1} a_{n}q_{n}(z)

ist. Sei

φ_{1}(z) = ∑_{n≥1} a_{n}q_{n}(z).

Dann ist 1. f(z) = f(a) + (z − a)φ_{1}(z).

2. φ_{1}(a) = ∑_{n≥1} a_{n}q_{n}(a) = ∑_{n≥1} a_{n}na^{n−1} = g(a). Weiter gilt für |a| < r < R:

∥ a_{n}q_{n} ∥_{B_{r}(0)}= sup_{z∈B_{r}(0)} |a_{n}q_{n}(z)| ≤ |a_{n}|nr^{n−1}.

Daher ist

∑_{n≥1} ∥ a_{n}q_{n} ∥_{B_{r}(0)}≤ ∑_{n≥1} n|a_{n}|r^{n−1} < ∞.

Dies zeigt, daß φ_{1} auf B_{r}(0) normal konvergiert, und daher ist die Funktion φ_{1} : B_{r}(0) → ℂ stetig. Aus Lemma 1.2 folgt, daß f in a komplex differenzierbar ist und es gilt:

f′(a) = φ_{1}(a) = g(a).

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4. Elementare Funktionen

Mit Hilfe von Satz 3.1 können wir jetzt nicht rationale holomorphe Funktionen konstruieren.

1) Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion

exp(z) = e^{z} := ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} , z ∈ ℂ,

hat den Konvergenzradius ∞ und daher ist e^{z} auf Grund von Satz 3.1 eine auf ganz ℂ holomorphe Funktion. Eigenschaften:

1. ∀z, w ∈ ℂ : e^{z}e^{w} = e^{z+w}.

2. e^{z} ≠ 0 für alle z ∈ ℂ.

3. (e^{z})′ = e^{z}.

4. e^{x+iy} = e^{x}(cos y + i sin y), x, y ∈ ℝ

5. Es sei ℂ^{×} = ℂ \ {0}. Die Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ^{×} ist

surjektiv. Beweis: 1) folgt aus dem Cauchyschen Integralsatz. Aus 1) folgt e^{z}e^{−z} = 1. Daraus folgt 2). 3) ergibt sich mittels Satz 3.1 durch differenzieren der Exponentialreihe. 4) folgt aus 1) und der Eulerschen Formel. Zum Beweis von 5) sei w ∈ ℂ^{x}. Dann ist w = re^{iθ} mit r ∈ ℝ^{+}, θ ∈ [0, 2π). Aus Infini I wissen wir, daß exp : ℝ → ℝ^{+} ein Diffeomorphismus ist. Weiter ist log = exp^{−1}. Sei z = log r + iθ. Dann ist e^{z} = re^{iθ} = w.

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Sei

S_{n} = {z ∈ ℂ | 2nπ ≤ Im Re z < 2(n + 1)π}.

Dann induziert exp eine bijektive Abbildung

exp : S_{n} ⟶^{∼} ℂ^{×}.

Es sei (ℂ, +) die additive Gruppe und (ℂ^{×}, ·) die multiplikative Gruppe.

Lemma 4.1. exp ist ein surjektiver Homomoorphismus

exp : ℂ → ℂ^{×}

und es gilt

ker(exp) = {2πik | k ∈ ℤ}.

Beweis: Sei e^{z} = 1 und z = x+iy mit x, y ∈ ℝ. Dann ist |e^{z}| = e^{x} = 1. Daraus folgt x = 0 und e^{iy} = 1 = cos y + i sin y. Daher ist cos y = 1 und sin y = 0. Somit existiert k ∈ ℤ so, daß y = 2πk ist.

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Aus diesem lemma folgt, daß die folgende Sequenz exakt ist.

0 → 2πiℤ → ℂ ⟶^{exp} ℂ^{×} → 1.

2) Trigonometrische Funktion. Die Reihen

sin z = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{(2n + 1)}, z ∈ ℂ,

cos z = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n)!}, z ∈ ℂ

haben ebenfalls den Konvergenzradius ∞ und definieren daher auf ganz ℂ holomorphe Funktionen. Für die Ableitungen gilt

(sin z)′ = cos z, (cos z)′ = − sin z.

Wir geben noch einige Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen an.

i) e^{iz} = cos z + i sin z, z ∈ ℂ. Beweis: Durch Addition der Reihen. Daraus erhält man

cos z = \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{−iz}) sin z = \frac{1}{2i}(e^{iz} − e^{−iz}), z ∈ ℂ

ii) Für alle w, z ∈ ℂ gilt

sin(w + z) = sin w cos z + cos w sin z
cos(w + z) = cos w cos z − sin w sin z.

\begin{matrix}\{z ∈ ℂ | sin z = 0\} = \{nπ | n ∈ ℤ\} \\ \{z ∈ ℂ | cos z = 0\} = \{\frac{1}{2}π + nπ | n ∈ ℤ\}. \end{matrix}

Beweis: Es ist

\begin{aligned}2i sin z & = e^{−iz}(e^{2iz} − 1) \\ 2 cos z & = e^{i(π−z)}(e^{2i}(z − \frac{1}{2}π) − 1). \end{aligned}

Wir definieren schließlich tan z und cot z durch

tan z = \frac{sin z}{cos z} , z ∈ ℂ \ \{\frac{1}{2} + πℤ\}
cot z = \frac{cos z}{sin z} , z ∈ ℂ \ πℤ.

4) Logarithmus Wie wir oben gezeigt haben ist exp : ℂ → ℂ^{×} surjektiv und ker(exp) = 2πℤ. Daraus folgt, daß für jedes z ∈ ℂ^{×} unendlich viele w ∈ ℂ existieren mit e^{w} = z. Der Logarithmus ist also eine mehrdeutige Funktion. Definition: Sei z ∈ ℂ^{×}. Jedes w ∈ ℂ mit e^{w} = z heißt ein Logarithmus von z. Die Logarithmen zu einer Zahl z kann man leicht angeben. Sei z = re^{iφ} ∈ ℂ^{×}. Für n ∈ ℤ sei w_{n} = log r + i(φ + 2πn)). Dann gilt e^{w_{n}} = z und {w_{n} | n ∈ ℤ} = exp^{−1}(z). Für alle z ∈ ℂ gilt (e^{z})′ = e^{z} ≠ 0. Daher folgt aus dem Umkehrsatz, daß exp : ℂ → ℂ^{x} lokal umkehrbar ist.

Definition 4.2. Es sei G ⊂ ℂ^{×} ein Gebiet. Eine holomorphe Funktion λ : G → ℂ heißt Logarithmusfunktion oder Zweig des Logarithmus in G, wenn gilt

exp(λ(z)) = z, ∀z ∈ G.

Lemma 4.3. Sei G ⊂ ℂ^{×} ein Gebiet und λ : G → ℂ eine holomorphe Funktion. Folgende Aussagen sind äquivalent.

1) λ ist eine Logarithmusfunktion in G.

2) Es gilt λ′(z) = \frac{1}{z} in G und es existiert a ∈ G mit exp(λ(a)) = a.

Beweis: 1 ⇒ 2) Aus exp(λ(z)) = z folgt durch differenzieren 1 = exp(λ(z))λ′(z) = zλ′(z). Daraus folgt λ′(z) = \frac{1}{z}.

2) ⇒ 1) Sei g(z) = z exp(−λ(z)), z ∈ G. Dann ist g holomorph in G und

g′(z) = exp(−λ(z)) − z exp(−λ(z))λ′(z) = 0.

Aus Korollar 2.2 folgt, daß ein c ∈ ℂ^{×} existiert so, daß g(z) = c für alle z ∈ G. Daraus folgt exp(λ(z)) = cz. Da exp(λ(a)) = a, ist c=1.

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Existenz von Logarithmusfunktionen

Satz 4.4. Die Funktion

log z := ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} (z − k)^{k}

ist eine Logarithmusfunktion in B_{1}(1).

Beweis: λ(z) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} (z − 1)^{k} konvergiert für |z − 1| < 1. Aus Satz 3.1 folgt, daß λ(z) holomorph in B_{1}(1) ist und

λ′(z) = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1}(z − 1)^{k} = \frac{1}{1 + z − 1} = \frac{1}{z}.

Da log 1 = 0, ist e^{log 1} = 1. Aus Lemma 4.3 folgt daher, daß log z eine Logarithmusfunktion in B_{1}(1) ist.

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Hauptzweig des Logarithmus

Es sei ℂ^{−} = ℂ \ {x ∈ ℝ | x ≤ 0}. Für z ∈ ℂ^{−} ist z = |z|e^{iφ} mit −π < φ < π. Sei

log z := log |z| + iφ.

Satz 4.5. log : ℂ^{−} → ℂ ist eine Logarithmusfunktion und es gilt

log(z) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} (z − 1)^{k} für z ∈ B_{1}(1).

Beweis: Übung!

Definition: log : ℂ^{−} → ℂ heißt Hauptzweig des Logarithmus.

5) Potenzen Es sei a > 0, b ∈ ℝ. Dann gilt für die b-te Potenz

a^{b} = exp(b log a).

Wir können die Potenz auf zwei Weisen als Funktion auffassen. Einmal x ∈ ℝ^{+} → x^{b}, und zum anderen x ∈ ℝ ⟼ a^{x}. Wir benutzen diese Formel, um die allgemeine Potenz für komplexe a und b zu definieren.

Sei a ∈ ℂ^{×} und b ∈ ℂ. Weiter sei log a ein Logarithmus von a. Dann setzen wir wie oben

a^{b} = exp(b log a)

und nennen dies einen Wert der b-ten Potenz von a. Beispiel: Sei b = 1/n, n ∈ ℕ und a = 1. Dann ist log(1) = 2πik ein Logarithmus von 1 und

e^{2πik/n}, k = 0, …, n − 1,

sind die verschiedenen Werte von \sqrt[n]{1}. Entsprechend möchten wir jetzt z → a^{z} und z → z^{b} als holomorphe Funktionen betrachten. Dazu müssen wir wieder Zweige wählen.

Definition 4.6. Es sei G ⊂ ℂ^{×} ein Gebiet, log : G → ℂ ein Zweig des Logarithmus und w ∈ ℂ. Die Funktion

P_{w}(z) = exp(w log(z)), z ∈ G,

heißt Zweig der w-ten Potenz.

Lemma 4.7. Für P gilt:

1) P_{w} : G → ℂ ist holomorph.

2) P′_{w} = wP_{w−1}

3) ∀w, v ∈ ℂ : P_{w}P_{v} = P_{w+v}.

4) Für n ∈ ℕ : P_{n}(z) = z^{n}, z ∈ G.

Beweis: Übung!

Wenn wir für log(z) den Hauptzweig wählen, so bezeichnen wir P_{w}(z) auch mit z^{w} und nennen diese Funktion den Hauptzweig der Potenzfunktion. Beispiele: 1)

i^{i} = e^{i log(i)} = e^{iπ/2i} = e^{−π/2}

2) Es sei b = 1/n, n ∈ ℕ. Dann hat z^{1/n} die n-Zweige

exp(\frac{1}{n} log z), e^{2πi1/n} exp(\frac{1}{n} log z), …, e^{2πi \frac{n−1}{n}} exp(\frac{1}{n} log z)

5. Holomorphie und winkeltreue Abbildungen

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der geometrischen Charakterisierung holomorpher Funktionen. Es sei T : ℂ → ℂ eine ℂlineare Abbildung. Dann existiert c ∈ ℂ mit T (z) = c · z, z ∈ ℂ. Sei z = re^{iφ}, r ∈ ℝ^{+}. Dann gilt:

i) z ⟼ rz ist eine Streckung.

ii) z ⟼ e^{iφ}z ist Drehung um den Winkel φ. Diese Drehung ist durch die Matrix

(\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix})

gegeben. Hieraus folgt: T erhält Winkel. Der Cosinus des Winkels φ zwischen w ≠ 0 und z ≠ 0 ist gegeben durch

cos φ = \frac{⟨w, z⟩}{|w||z|}.

Sei T : ℂ → ℂ bijektiv, ℝ-linear.

Definition 5.1. T heißt winkeltreu, wenn gilt:

∀z, w ∈ ℂ : |w||z|⟨T (w), T (z)⟩ = |T (w)||T (z)|⟨z, w⟩.

Wir haben oben gesehen, daß jede ℂ-lineare Abbildung T (z) = c · z, z ∈ ℂ, winkeltreu ist.

Lemma 5.2. Es sei T : ℂ → ℂ eine ℝ-lineare, bijektive Abbildung. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1) T : ℂ → ℂ ist winkeltreu;

2) ∃a ∈ ℂ^{×} : Entweder ∀z ∈ ℂ : T z = az oder ∀z ∈ ℂ : T z = a\overline{z}.

3) ∃s > 0 ∀z, w ∈ ℂ : ⟨T z, T w⟩ = s⟨z, w⟩.

Beweis: 1) ⇒ 2) Da T winkeltreu ist, gilt

0 = ⟨i, 1⟩ = ⟨T (i), T (1)⟩.

Nach Voraussetzung ist T injektiv. Daher ist T (1) ≠ 0 und T (i) ≠ 0. Weiter gilt

\sqrt{2}⟨T (i + 1), T (i)⟩ = |T (i + 1)||T (i)|.

Daraus folgt |T (i)|\sqrt{2} = |T (i + 1)| und schließlich

|T (i)| = |T (1)|.

Sei a = |T (1)| und U = a^{−1}T. Dann ist U unitär. Daher existiert φ ∈ [0, 2π) so, daß entweder

U = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) oder U = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix})

gilt. Einer Drehung um den Winkel φ in ℝ^{2} entspricht die Multiplikation mit e^{iφ} in ℂ. Es sei c = ae^{iφ}. Dann folgt, daß entweder T (z) = c · z oder T (z) = c · \overline{z} ist. 2)⇒ 3) Es sei a ∈ ℂ^{×} so, daß T (z) = a · z oder T (z) = a\overline{z}. Dann ist

\begin{aligned}⟨T w, T z⟩ & = |a|^{2}⟨w, z⟩ oder \\ ⟨T w, T z⟩ & = |a|^{2}⟨\overline{w}, \overline{z}⟩ = |a|^{2}⟨w, z⟩. \end{aligned}

Sei s = |a|^{2} > 0. Dann folgt

⟨T w, T z⟩ = s⟨w, z⟩.

3) ⇒ 2) Sei s > 0 so, daß

∀z, w ∈ ℂ : ⟨T w, T z⟩ = s⟨z, w⟩.

Dann ist |T z| = \sqrt{s}|z| und daher ist T injektiv. Weiter ist

|w||z|⟨T w, T z⟩ = |w||z|s⟨w, z⟩ = |T w||T z|⟨w, z⟩.
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Definition 5.3. Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ eine reell differenzierbare Abbildung. f heißt winkeltreu in z ∈ G, wenn df(z) : ℂ → ℂ winkeltreu ist. f heißt winkeltreu, wenn f in jedem Punkt z ∈ G winkeltreu ist.

Eine Funktion f : G → ℂ heißt antiholomorph, wenn \overline{f} : G → ℂ holomorph ist.

Satz 5.4. Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ reell differenzierbar. Folgenden Aussagen sind äquivalent:

1) f ist holomorph in G oder antiholomorph in G und es gilt f′(z) ≠ 0 für alle z ∈ G bzw. \overline{f}′(z) ≠ 0 für alle z ∈ G.

2) f ist winkeltreu.

Beweis: 1) ⇒ 2) Für z ∈ G ist

df(z)(h) = h \frac{∂f}{∂z} (z) + \overline{h} \frac{∂f}{∂\overline{z}} (z).

Aus Satz 2.8 folgt:

f holomorph ⇒ \frac{∂f}{∂\overline{z}} ≡ 0
\overline{f} holomorph ⇒ \frac{∂\overline{f}}{∂\overline{z}} = \frac{\overline{∂f}}{∂z} ≡ 0 ⇔ \frac{∂f}{∂z} ≡ 0.

Daher gilt entweder

∀z ∈ G : df(z)(h) = \frac{∂f}{∂z} (z)h, h ∈ ℂ

oder

∀z ∈ G : df(z)(h) = \frac{∂f}{∂\overline{z}} (z)\overline{h}, h ∈ ℂ.

2) ⇒ 1) Für alle z ∈ G ist

df(z)(h) = h \frac{∂f}{∂z} (z) + \overline{h} \frac{∂f}{∂\overline{z}} .

Wenn f winkeltreu in a ∈ G ist, so ist entweder f\overline{z}(a) = 0 und f_{z}(a) ≠ 0, oder f_{z}(a) = 0 und f\overline{z}(a) ≠ 0. Es sei

g(a) = \frac{f_{z}(a) − f\overline{z}(a)}{f_{z}(a) + f\overline{z}(a)}.

Dann ist g : G → {±1} eine stetige Abbildung. Da G zusammenhängend ist, ist g ≡ 1 oder g ≡ −1. Daraus folgt: Entweder gilt

∀a ∈ G : f_{z}(a) = 0 und f\overline{z}(a) ≠ 0

oder

∀a ∈ G : f_{z}(a) ≠ 0 und f\overline{z}(a) = 0.

Aus Satz 2.8 folgt, daß entweder f oder \overline{f} in G holomorph ist.

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Orientierung

Um holomorphe und antiholomorphe Funktionen zu unterscheiden, benutzen wir die Orientierung von ℂ.

Definition 5.5. Es sei f : G → ℂ eine reell differenzierbare Funktion. f heißt orientierungstreu in a ∈ G, wenn det(df(a)) > 0.

Sei u = Re f und v = Im f. Dann ist die Jacobi-Matrix von f gegeben durch

(\begin{matrix}u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \end{matrix}) .

Daraus folgt

det(df(a)) = u_{x}(a)v_{y}(a) − u_{y}(a)v_{x}(a)

Es sei f : G → ℂ holomorph in a. Dann gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

u_{x}(a) = v_{y}(a), u_{y}(a) = −v_{x}(a).

Daraus folgt

det(df(a)) = u_{x}(a)^{2} + v_{x}(a)^{2} = u_{y}(a)^{2} + v_{y}(a)^{2} = |f′(z)| ≥ 0.

Wenn f′(z) ≠ 0, so ist det(df(a)) >. Wenn \overline{f} : G → ℂ in a ∈ G holomorph ist, so gilt

u_{x}(a) = −v_{y}(a), u_{y}(a) = v_{x}(a).

Daraus folgt

det(df(a)) = −(u_{x}(a)^{2} + v_{x}(a)^{2})
= −(u_{y}(a)^{2} + v_{y}(a)^{2})
= −|\overline{f}′(z)|^{2} < 0.

Daraus erhalten wir

Satz 5.6. Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ eine stetig reell differenzierbare Funktion. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1) f ist holomorph in G, und es gilt f′(z) ≠ 0 für alle z ∈ G.

2) f ist winkeltreu und orientierungstreu in G.

INFINITESIMALRECHNUNG IV 25

6. Kurvenintegrale

Wir entwickeln in diesem Abschnitt die Grundlagen der komplexen Integralrechnung. Definition 6.1. Eine Abbildung γ : [a, b] → ℂ heißt Integrationsweg, wenn γ stetig und stückweise stetig differenzierbar ist. Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ stetig. Sei

fdz := fdx + ifdy.

Dann ist ω_{f} = fdz eine stetige 1-Form auf G. Definition 6.2. Für einen Integrationsweg γ : [a, b] → ℂ sei

∫_{γ} f(z)dz := ∫_{γ} ω_{f}.

Es sei γ(t) = x(t) + iy(t), x(t) = Re γ(t), y(t) = Im γ(t). Dann ist

γ̇(t) = ẋ(t) + iẏ(t).

Lemma 6.3. Es gilt

∫_{γ} fdz = ∫_{a}^{b} f(γ(t))γ̇(t)dt.  (6.1)

Beweis: Nach Definition von ∫_{γ} ω_{f} ist

\begin{aligned}∫_{γ} fdz & = ∫_{γ} fdx + i ∫_{γ} fdy = ∫_{a}^{b} f(γ(t))ẋ(t)dt + i ∫_{a}^{b} f(γ(t))ẏ(t)dt \\ & = ∫_{a}^{b} f(γ(t))(ẋ(t) + iẏ(t))dt = ∫_{a}^{b} f(γ(t))γ̇(t)dt. \end{aligned}

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Bemerkungen 1) Sei

Z : a = t_{0} < t_{1} < … < t_{k} = b

eine Zerlegung und

ξ = {ξ_{i} | ξ_{i} ∈ [t_{i+1}, t_{i}], i = 0, …, k − 1}.

Menge von Stützstellen. Sei

I(Z, ξ, f) = ∑_{i=0}^{k−1} f(γ(ξ_{i}))(γ(t_{i+1}) − γ(t_{i})).

Dann gilt

∫_{γ} fdz = lim_{δ(Z)→0} I(Z, ξ, f),

wobei δ(Z) = max{t_{i+1} − t_{i} | i = 0, …, k − 1}. Man vergleiche dies mit dem Kurvenintegral auf Infini III, das definiert ist als das Integral von f über die Untermannigfaltigkeit Γ = γ([a, b]). Dieses Integral ist definiert als Grenzwert Riemannscher Summen der Form

∑_{i=0}^{k−1} f(γ(ξ))|γ(t_{i+1}) − γ(t_{i})|.

2) Mittels der Formel (6.1) kann man ∫_{γ} fdz definieren für eine stetige Funktion f : Γ → ℂ, wobei Γ = γ([a, b]).

Eigenschaften des Kurvenintegrals

Sei γ : [a, b] → ℂ ein Integrationsweg.

1) ∫_{γ} : C^{0}(G) → ℂ ist ℂ-linear.

2) Sei γ : [a, c] → ℂ Integrationsweg, a < b < c, γ_{1} = γ ↾ [a, b], γ_{2} = γ ↾ [b, c]. Dann ist

∫_{γ} fdz = ∫_{γ_{1}} fdz + ∫_{γ_{2}} fdz.

3) Sei ρ : [c, d] → [a, b] Diffeomorphismus. Dann ist

∫_{γ∘ρ} fdz = ϵ ∫_{γ} fdz.

ϵ = \begin{cases}1, & ρ′(t) > 0. \\ −1, & ρ′(t) < 0. \end{cases}

4) Für γ : [a, b] → ℂ sei γ^{−} : [a, b] → ℂ definiert durch

γ^{−}(t) = γ(a + b − t).

Dann ist

∫_{γ^{−}} fdz = − ∫_{γ} fdz.

5)

|∫_{γ} f(z)dz| ≤ L(γ) max_{t∈[a,b]} |f(γ(t))|.

6) Sei f_{n} : G → ℂ eine Folge stetiger Funktionen und f : G → ℂ sei stetig. (f_{n}) konvergiere auf Γ([a, b]) gleichmäßig gegen f. Dann ist

∫_{γ} f(z)dz = lim_{n→∞} ∫_{γ} f_{n}(z)dz.

Stammfunktionen

Definition 6.4. E sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ eine stetige Funktion. Eine Funktion F : U → ℂ heißt Stammfunktion von f, wenn F holomorph ist und F′ = f gilt. Wir sagen, f habe lokale Stammfunktionen auf U, wenn zu jedem z ∈ U eine Umgebung V ⊂ U von z existiert so, daß f | V eine Stammfunktion hat.

Lemma 6.5. Es sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ stetig. Dann hat f eine Stammfunktion auf U genau dann, wenn die 1-Form ω = fdz eine Stammfunktion auf U hat.

Beweis: ⇒) Sei F : U → ℂ holomorph mit F′ = f. Dann ist

f = \frac{∂F}{∂x} = −i\frac{∂F}{∂y} .

Daraus folgt

ω = fdz = fdx + ifdy = \frac{∂F}{∂x} dx + \frac{∂F}{∂y} dy = dF.

⇐) Sei F : U → ℂ reell differenzierbar und es gelte dF = ω. Dann ist

fdx + ifdy = fdz = dF = \frac{∂F}{∂x} dx + \frac{∂F}{∂y} dy.

Daraus ergibt sich

\frac{∂F}{∂x} = f = −i\frac{∂F}{∂y}

und damit ist

\frac{∂F}{∂\overline{z}} = \frac{1}{2} (\frac{∂F}{∂x} + i\frac{∂F}{∂y} ) = 0.

Auf Grund von Satz 2.8 ist F holomorph und es gilt:

F′ = \frac{∂F}{∂x} = f.

□

Wir können daher die Sätze über Pfaffsche Formen auf Kurvenintegrale anwenden.

Satz 6.6. Es sei f : U → ℂ eine stetige Funktion, die eine Stammfunktion F besitzt. Es sei γ : [a, b] → ℂ ein Integrationsweg mit γ(a) = z_{0}, γ(b) = z_{1}. Dann ist

∫_{γ} f(z)dz = F (z_{1}) − F (z_{0}).

Folgerung 6.7. Es sei f : U → ℂ eine stetige Funktion, die eine Stammfunktion besitzt. Für jeden geschlossenen Integrationsweg γ in U gilt

∫_{γ} f(z)dz = 0.

Satz 6.8. Es sei f : U → ℂ eine stetige Funktion, die lokale Stammfunktionen besitzt. Dann gilt für alle homotopen Integrationswege γ_{0}, γ_{1} : [a, b] → U mit γ_{0}(a) = γ_{1}(a) und γ_{0}(b) = γ_{1}(b):

∫_{γ_{0}} f(z)dz = ∫_{γ_{1}} f(z)dz.

Satz 6.9. Es sei G ⊂ ℂ ein konvexes Gebiet und f : G → ℂ sei stetig. Gilt für jedes abgeschlossene Dreieck △ ⊂ G:

∫_{∂△} f(z)dz = 0,

so hat f eine Stammfunktion.

Beweis: Sei a ∈ G. Für z ∈ G sei

γ_{z} : [0, 1] → ℂ

definiert durch

γ_{z}(t) = tz + (1 − t)a.

Da G konvex ist, ist γ_{z} : [0, 1] → G ein stetiger Weg mit γ_{z}(0) = a, γ_{z}(1) = z. Es sei

F (z) = ∫_{γ_{z}} f(w)dw.

Es seien z, z + h ∈ G und

γ_{z,z+h} : [0, 1] → G

sei der Weg

γ_{z,z+h}(t) = t(z + h) + (1 − t)z.

Auf Grund der Voraussetzung ist

F (z + h) − F (z) = ∫_{γ_{z+h}} f(w)dw − ∫_{γ_{z}} f(w)dw = ∫_{γ_{z,z+h}} f(w)dw

Da

f(z) = \frac{1}{h} ∫_{γ_{z,z+h}} f(z)dw,

folgt daraus

|\frac{F (z + h) − F (z)}{h} − f(z)| = |\frac{1}{h} ∫_{γ_{z,z+h}} (f(w) − f(z))| ≤ max_{w∈[z,z+h]} |f(w) − f(z)|.

Da f stetig ist, konvergiert die rechte Seite gegen 0 für h → 0. Daher ist F in z komplex differenzierbar und es gilt F′ = f.

□

Korollar 6.10. Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ sei stetig. Für jedes abgeschlossene Dreieck △ ⊂ G gelte

∫_{∂△} f(z)dz = 0.

Dann hat f lokale Stammfunktionen.

Beweis: Da G ⊂ ℂ offen ist, hat jeder Punkt z ∈ G eine konvexe Umgebung.

□

7. Der Cauchysche Integralsatz

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ eine holomorphe Funktion. Es sei

ω = fdz = fdx + ifdy.

Da f holomorph ist, gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, die äquivalent sind zu

\frac{∂f}{∂y} = i\frac{∂f}{∂x}.

Dies ist die Integrabilitätsbedingung für die 1-Form ω. Wenn f′ stetig ist, so folgt aus dem Lemma von Poincaré und Lemma 6.5, daß f lokale Stammfunktionen besitzt. Im allgemeinen folgt dies aus dem Lemma von Goursat.

Satz 7.1. (Lemma von Goursat) Es sei U ⊂ ℂ eine offene, konvexe Menge und f : U → ℂ sei holomorph. Dann gilt für jedes abgeschlossene Dreieck △ ⊂ U:

∫_{∂△} f(z)dz = 0.

Beweis: Wir zerlegen △ in vier Teildreiecke △_{1}^{1}, …, △_{1}^{4}, indem wir die Seitenmitten von △ miteinander verbinden. Dann gilt

∫_{∂△} f(z)dz = ∑_{i=1}^{4} ∫_{∂△_{1}^{i}} f(z)dz.

Es sei △_{1} eines der Dreiecke △_{1}^{1}, …, △_{1}^{4} so, daß | ∫_{△_{1}} f(z)dz| maximalen Betrag hat. Dann folgt

|∫_{∂△} f(z)dz| ≤ 4 |∫_{∂△_{1}} f(z)dz| .

Durch Iteration dieses Verfahrens erhalten wir eine Folge von Teildreiecken

△ = △_{0} ⊃ △_{1} ⊃ △_{2} ⋯

mit

|∫_{∂△} f(z)dz| ≤ 4^{n} |∫_{∂△_{n}} f(z)dz|  (7.1)

für alle n ∈ ℕ. Da alle △_{n} kompakt sind, existiert ein z_{0} ∈ △ mit

⋂_{n≥0} △_{n} = {z_{0}}.

Da f in z_{0} komplex differenzierbar ist, existiert nach Lemma 1.2 eine Funktion φ : U → ℂ mit

1) φ ist stetig in z_{0} und f′(z_{0}) = φ(z_{0}).

2) f(z) = f(z_{0}) + (z − z_{0})φ(z). Es sei

r(z) = φ(z) − φ(z_{0}).

Dann ist r stetig in z_{0}, r(z_{0}) = 0 und es gilt

f(z) = f(z_{0}) + f′(z_{0})(z − z_{0}) + (z − z_{0})r(z).

Da die lineare Funktion

l(z) = f(z_{0}) + f′(z_{0})(z − z_{0})

eine Stammfunktion besitzt, gilt für alle n ∈ ℕ:

∫_{∂△_{n}}(f(z_{0}) + f′(z_{0})(z − z_{0}))dz = 0.

Daraus folgt

|∫_{∂△_{n}} f(z)dz| = |∫_{∂△_{n}}(z − z_{0})r(z)dz|

≤ L(∂△_{n}) max_{z∈∂△_{n}}(|z − z_{0}||r(z)|)

≤ (L(∂△_{n}))^{2} max_{z∈△_{n}} |r(z)|.

Weiter ist

L(∂△_{n}) = \frac{1}{2}L(∂△_{n−1}) = ⋯ = 2^{−n}L(∂△).

Damit erhalten wir

|∫_{∂△_{n}} f(z)dz| ≤ C4^{−n} max_{z∈△_{n}} |r(z)|.

Zusammen mit (7.1) ergibt sich

|∫_{∂△} f(z)dz| ≤ C max_{z∈△_{n}} |r(z)|.

Da r(z) → 0 für z → z_{0} gilt, folgt daraus

∫_{∂△} f(z)dz = 0.
□

Zusammen mit Korollar 6.10 erhalten wir aus Lemma 7.1 den folgenden Satz von Goursat.

Satz 7.2. Jede holomorphe Funktion f : G → ℂ besitzt lokale Stammfunktionen.

Wir können daher den Satz über Homotopieinvarianz von Kurvenintegralen Pfaffscher Formen auf den vorliegenden Fall anwenden. Dazu führen wir noch den Begriff der freien Homotopie von Kurven ein.

Definition 7.3. Sei X ⊂ ℝ^{n}. Zwei geschlossene Kurven γ_{0}, γ_{1} : [a, b] → X heißen frei homotop in X, wenn es eine stetige Abbildung H : [a, b] × [0, 1] → X gibt mit

H(t, 0) = γ_{0}(t)
für alle t ∈ [a, b]}
H(t, 1) = γ_{1}(t)
H(a, s) = H(b, s) für alle s ∈ [0, 1].

Für s ∈ [0, 1] sei γ_{s}[a, b] → X die Kurve γ_{s}(t) = H(t, s). Dann sind alle γ_{s}, s ∈ [0, 1], geschlossene Kurven in X. Es sei x_{0} ∈ X und γ_{x_{0}} : [a, b] → X sei die Kurve γ_{x_{0}}(t) = x_{0} für alle t ∈ [a, b]. Eine Kurve γ : [a, b] → X heißt nullhomotop, wenn x_{0} ∈ X existiert so, daß γ frei homotop zu γ_{x_{0}} ist.

Definition 7.4. Es sei X ⊂ ℝ^{n} eine zusmmenhängende Teilmenge. Dann heißt X einfachzusammenhängend, wenn jede gelschlossene Kurve γ in X nullhomotop ist.

Satz 7.5. (Cauchyscher Integralsatz) Es sei U ⊂ ℂ eine offene Teilmenge und f : U → ℂ eine holomorphe Funktion. Dann gelten folgende Aussagen:

1) Sind γ_{0}, γ_{1} : [a, b] → U frei homotope geschlossene Integrationswege, so ist

∫_{γ_{0}} fdz = ∫_{γ_{1}} fdz.

2) Ist γ : [a, b] → U eine nullhomotoper geschlossener Integrationsweg, so ist

∫_{γ} fdz = 0.

3) Ist G ⊂ ℂ ein einfachzusammenhängendes Gebiet, so kann fdz wegunabhängig in G integriert werden. Es sei a ∈ U. Dann ist

F (z) := ∫_{a}^{z} f(ζ)dξ, z ∈ U,

eine Stammfunktion von f.

Der Beweis folgt im wesentlichen aus dem Satz über die Homotopieinvarianz von Pfaffschen Formen.

8. Die Integralformel von Cauchy

Satz 8.1. Es sei B = B_{r}(z_{0}) ⊂ ℂ eine offene Kreisscheibe. Dann gilt für alle z ∈ B

∫_{∂B} \frac{dζ}{ζ − z} = 2πi.

Beweis: Es sei h(z) := ∫_{∂B} \frac{dζ}{ζ−z}. Dann ist h′(z) = ∫_{∂B} = \frac{dζ}{(ζ−z)^{2}} . Dieses Integral verschwindet, da der Integrand die Stammfunktion ζ ⟼ \frac{−1}{ζ−z} hat. Also gilt

h(z) = h(z_{0}) = ∫_{B_{r}(0)} \frac{dζ}{ζ} = \frac{i}{r} ∫_{0}^{2πr} dζ = 2πi.

□

Satz 8.2. (Integralformel von Cauchy): Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, f : G → ℂ holomorph, B = B_{r}(z_{0}) eine offene Kreisscheibe mit \overline{B} ⊂ G. Dann gilt für alle z ∈ B

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂B} \frac{f(ζ)dζ}{ζ − z} .

Beweis: Es sei U ⊃ \overline{B} einfach zusammenhängend. Wähle z ∈ B und betrachte die funktion g : U → ℂ, die definiert ist durch

ζ ⟼ \begin{cases}\frac{f(ζ)−f(z)}{ζ−z} & für ζ ≠ z \\ f′(z) & für ζ = z. \end{cases}

Wegen der Holomorphie von f ist g stetig in z und holomorph auf U \ {z}. Nach dem Cauchy-Integralsatz gilt

\begin{aligned}0 & = ∫_{∂B} g(ζ) dζ = ∫_{∂B} \frac{f(ζ) − f(z)}{ζ − z} dζ \\ & = ∫_{∂B} \frac{f(ζ)dζ}{ζ − z} − f(z) ∫_{∂B} \frac{dζ}{ζ − z} = ∫_{∂B} \frac{f(ζ)dζ}{ζ − z} − 2πif(z). \end{aligned}

□

Satz 8.3. Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Ist f in eine Umgebung einer Kreisscheibe \overline{B} holomorph, so gilt für alle z ∈ B, n ∈ ℕ

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2πi} ∫_{∂B} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z)^{n+1}} .

Beweis: Ableiten der Cauchy-Integralformel ergibt

f′(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂B} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z)^{2}} .

\frac{f(ζ}{(ζ−z)^{2}} ist wieder eine holomorphe Funktion in ζ, also ist f′ wieder komplex differenzierbar.

□

Holomorphiekriterien

Satz 8.4. (Morera): Sei G ∈ ℂ ein Gebiet, f : G → ℂ stetig und für alle abgeschlossenen Dreiecke △ ⊂ G gelte

∫_{∂△} fdz = 0.

Dann ist f holomorph auf G.

Beweis: Nach dem Lemma von Goursat hat f lokal eine Stammfunktion F. Nach Definition ist F holomorph. Damit existiert F′′ = f′.

□

Satz 8.5. (Riemannscher Hebbarkeitssatz): Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet, z_{0} ∈ G und f : G \ {z_{0}} → ℂ holomorph. Ist f auf einer Umgebung U(z_{0}) \ {z_{0}} beschränkt, so existiert eine holomorphe Funktion f̃: G → ℂ mit f̃|(G \ {z_{0}}) = f.

Beweis: Die Funktion g : G → ℂ sei definiert durch

g(z) := \begin{cases}(z − z_{0})^{2}f(z), & für z ≠ z_{0} \\ 0, & für z = z_{0}. \end{cases}

Dann ist g holomorph auf G \ {z_{0}}. Weiter gilt

lim_{z→z_{0}} \frac{g(z) − g(z_{0})}{z − z_{0}} = lim_{z→z_{0}}(z − z_{0})f(z) = 0,

d.h., g ist in z_{0} komplex differenzierbar und daher ist g : G → ℂ holomorph. Es gilt g(z_{0}) = g′(z_{0}) = 0. Daher hat g in z_{0} eine Taylorentwicklung der Form

g(z) = ∑_{k=2}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}, z ∈ B_{r}(z_{0}).

Es sei

f̃(z) = ∑_{k=2}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n−2}.

Die Reihe konvergiert für z ∈ B_{r}(z_{0}) und definiert daher eine holomorphe Funktion f̃: B_{r}(z_{0}) → ℂ. Nach Definition gilt für z ∈ B_{r}(z_{0})\{z_{0}}:

f̃(z) = (z − z_{0})^{−2}g(z) = f(z).

Daher ist f̃ die gesuchte holomorphe Fortsetzung von f auf G.

□

9. Potenzreihenentwicklung

Im vorherigen Paragraphen haben wir gezeigt, daß eine einmal komplex differenzierbare Funktion beliebig oft komplex differenzierbar ist. Wir zeigen jetzt, daß holomorphe Funktionen sogar lokal in Potenzreihen entwickelt werden können.

Definition 9.1. Es sei U ⊂ ℂ offen. Eine Funktion f : U → ℂ heißt um z_{0} ∈ U in eine Potenzreihe entwickelbar, wenn gilt: Es existiert eine Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k} mit Konvergenzradius R > 0 und

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}, für alle z ∈ U ∩ B_{R}(z_{0}).

Es sei f : U → ℂ holomorph, z ∈ U, und

R = sup{r ∈ ℝ^{+} | B_{r}(z_{0}) ⊂ U}.

Sei r < R fest und sei γ = ∂B_{r}(z_{0}), wobei wir γ als positiv orientierte Kurve auffassen. Aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ, z ∈ B_{r}(z_{0}).

Weiter ist

\frac{1}{ζ − z} = \frac{1}{1 − \frac{z−z_{0}}{ζ−z_{0}}} · \frac{1}{ζ − z_{0}} = \frac{1}{ζ − z_{0}} ∑_{k=0}^{∞} (\frac{z − z_{0}}{ζ − z_{0}} )^{k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(z − z_{0})^{k}}{(ζ − z_{0})^{k+1}}

für alle z ∈ U mit |z − z_{0}| < |ζ − z_{0}|. Daraus folgt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} (∑_{k=0}^{∞} \frac{f(ζ)}{(ζ − z_{0})^{k+1}} (z − z_{0})^{k}) dζ, z ∈ B_{r}(z_{0}).

Sei z ∈ B_{r}(z_{0}) fest und q = \frac{|z−z_{0}|}{|ζ−z_{0}|}. Dann ist q < 1 für ζ ∈ γ und

\begin{aligned}|∑_{k=N}^{∞} \frac{(z − z_{0})^{k}}{(ζ − z_{0})^{k+1}} | & ≤ ∑_{k=N}^{∞} \frac{|z − z_{0}|^{k}}{|(ζ − z_{0})|^{k+1}} \\ & ≤ (ζ − z_{0})^{−1} ∑_{k=N}^{∞} q^{k} < (ζ − z_{0})\frac{1}{1 − q} q^{N}. \end{aligned}

38 WERNER MÜLLER

Daraus folgt, daß die Reihe ∑_{k=0}^{∞} \frac{(z−z_{0})^{k}}{(ζ−z_{0})^{k+1}} für ζ ∈ γ gleichmäßig konvergiert. Deshalb können wir die Reihe gliedweise integrieren:

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} (\frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f(ζ)}{(ζ − z_{0})^{k+1}} dζ) (z − z_{0})^{k}.

Sei

a_{k} = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f(ζ)}{(ζ − z_{0})^{k+1}} dζ.

Dann ist

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}

für alle z mit |z − z_{0}| < r. Aus Satz 8.3 folgt

a_{k} = \frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!}.

Daher ist

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!}(z − z_{0})^{k}, z ∈ B_{R}(z_{0}).

Wir haben damit den folgenden Satz bewiesen. Satz 9.2. Sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ holomorph. Dann kann f in jeder Kreisscheibe B_{r}(z_{0}) ⊂ U in eine Potenzreihe

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}

entwickelt werden und es gilt:

1) Für den Konvergenzradius R von ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k} gilt R ≥ d(z_{0}, ∂U).

2) ∀k ∈ ℕ:

a_{k} = \frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂B_{r}(z_{0})} \frac{f(ζ)}{(ζ − z_{0})^{k+1}} dζ.

für r < R. Bemerkung: Es sei R der Konvergenzradius von P (z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}. Dann gilt im allgemeinen nicht f(z) = P (z) für z ∈ B_{R}(z_{0}) ∩ U.

Satz 9.3. Es sei

P (z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}

in B_{R}(z_{0}) konvergent. Dann kann P in jedem z_{1} ∈ B_{R}(z_{0}) in eine Potenzreihe

Q(z) = ∑_{k=0}^{∞} b_{k}(z − z_{0})^{k}

entwickelt werden und es gilt

R(Q) ≥ R − |z_{1} − z_{0}|.

Beweis: Folgt aus 9.2, da P : B_{R}(z_{0}) → ℂ holomorph ist.

Satz 9.4. Es sei f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k} konvergent mit Konvergenzkreis B_{R}(z_{0}). Dann existiert keine in einer offenen Umgebung U ⊃ \overline{B_{R}(z_{0})} definierte holomorphe Funktion f̃: U → ℂ mit f̃|B_{R}(z_{0}) = f.

Beweis: Wir nehmen an, daß eine offene Menge U ⊃ B_{R}(z_{0}) und eine holomorphe Funktion f̃: U → ℂ existiert mit f̃|B_{R}(z_{0}) = f. Aus Satz 9.2 folgt dann, daß ein R′ > R existiert so, daß

f̃(z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!}(z − z_{0})^{k}

in B_{R′}(z_{0}) konvergiert. Dann ist aber R nicht der Konvergenzradius von f. Widerspruch.

□

Bemerkung: Dies gilt nicht im Reellen. Beispiel: Es sei f(x) = \frac{1}{1+x^{2}} . Es gilt

\frac{1}{1 + x^{2}} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}x^{2k}, |x| < 1.

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist 1. Andernseits ist f : ℝ → ℝ unendlich oft differenzierbar und sogar reell analytisch.

Satz 9.5. Sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ eine Funktion. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1) f ist holomorph.

2) f besitzt lokale Stammfunktionen.

3) f ist reell differenzierbar und \frac{∂f}{∂\overline{z}} ≡ 0.

4) Um jedes z_{0} ∈ U kann f in eine Potenzreihe entwickelt werden.

Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet. Eine Teilmenge A ⊂ G heißt diskret in G, wenn gilt: Für alle z_{0} ∈ G existiert ein r > 0 so, daß B_{r}(z_{0}) ∩ A endlich ist. Anders ausgeedrückt heißt dies: N ist diskret in G genau dann, wenn N keinen Häufungspunkt in G hat. Eine Teilmenge N ⊂ G, die in G diskret ist, kann Häufungspunkte auf dem Rande von G haben. Dann ist N nicht diskret als Teilmenge von ℂ.

Satz 9.6. (Identitätssatz) Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph. Folgende Aussagen sind äquivalent.

1) f(z) ≡ 0

2) Es existiert z_{0} ∈ G mit f^{(k)}(z_{0}) = 0 für alle k ∈ ℕ_{0}.

3) Es existiert eine nichtdiskrete Teilmenge N ⊂ G mit

∀z ∈ ℕ : f(z) = 0.

Beweis: 1) ⇒ 2) klar.

2) ⇒ 1) Sei z_{0} ∈ G mit ∀k ∈ ℕ_{0} : f^{(k)}(z_{0}) = 0. Sei

M = {z ∈ G | f^{(k)}(z) = 0, ∀k ∈ ℕ_{0}}

Dann gilt:

i) M ≠ ∅, da z_{0} ∈ M.

ii) M ist abgeschlossen in G. Um dies zu zeigen, bemerken wir, daß

M = ⋂_{k=0}^{∞} {z ∈ M | f^{(k)}(z) = 0}

gilt. Da f^{(k)} : G → ℂ stetig ist, ist jede der Mengen (f^{(k)})^{−1}(0) abgeschlossen. Daher ist M als Durchschnitt abgeschlossener Mengen ebenfalls abgeschlossen.

iii) M ist offen. Beweis: Sei z_{1} ∈ M. Dann existiert ϵ > 0 so, daß für alle z ∈ B_{ϵ}(z_{1})

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(z_{1})}{k!}(z − z_{1})^{k}

gilt. Da z_{1} ∈ M ist, ist f^{(k)}(z_{1}) = 0 für alle k ∈ ℕ_{0}. Daher ist f|B_{ϵ}(z_{1}) ≡ 0 und es folgt B_{ϵ}(z_{1}) ⊂ M. Damit haben wir gezeigt, daß M offen ist. Zusammengefaßt haben wir gezeigt, daß die Menge M eine nichtleere, offene und abgeschlossene Teilmenge von G ist. Da G zusammenhängend ist, folgt M = G.

1) ⇒ 3) klar.

3) ⇒ 2) Sei N eine nichtdiskrete Teilmenge von G für die f|N ≡ 0 gilt. Da N nichtdiskret ist, existiert ein Häufungspunkt z_{0} ∈ G von N. Daher existiert eine Folge (z_{k}) von Elementen aus N mit

z_{0} = lim_{k→∞} z_{k} und z_{k} ≠ z_{l} für alle k, l ∈ ℕ.

Wir zeigen jetzt mittels Induktion, daß f^{(k)}(z_{0}) = 0 für alle k ∈ ℕ_{0} ist. Induktion:

1) Es ist f(z_{0}) = lim_{k→∞} f(z_{k}) = 0.

2) Es sei f^{(k)}(z_{0}) = 0 für k = 0, …, n − 1. Dann existiert r > 0 mit

f(z) = ∑_{k=n}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}

für alle z mit |z − z_{0}| < r. Sei |z_{j} − z_{0}| < r. Dann ist

0 = f(z_{j}) = ∑_{k=n}^{∞} a_{k}(z_{j} − z_{0})^{k}.

Sei

g(z) = ∑_{k=n+1}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k−n−1}.

Die Reihe konvergiert absolut in der Kreisscheibe B_{r}(z_{0}). Daher ist g : B_{r}(z_{0}) → ℂ stetig. Insbesondere ist g in z_{0} stetig. Weiter ist

0 = a_{n} + (z_{j} − z_{0})g(z_{j}).

Da g stetig in z_{0} ist, folgt daraus:

a_{n} = lim_{j→∞}(a_{n} + (z_{j} − z_{0})g(z_{j})) = 0.

□

Korollar 9.7. Es sei G ⊂ ℂ Gebiet und seien f, g : G → ℂ holomorph. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1) f ≡ g

2) ∃z_{0} ∈ G: f^{(n)}(z_{0}) = g^{(n)}(z_{0}) für alle n ∈ ℕ_{0}.

3) ∃N ⊂ G mit a) N nichtdiskret in G.

b) f(z) = g(z) für alle z ∈ N.

Beweis: Satz 9.6 auf f − g anwenden.

Analytische Forsetzung

Es seien G ⊂ G′ ⊂ ℂ Gebiete und f : G → ℂ sei eine holomorphe Funktion. Aus dem Identitätssatz folgt, daß höchstens eine holomorphe Funktion g : G′ → ℂ existiert mit g|G = f. Wenn g existiert, so heißt g die analytische Fortsetzung von f nach G′. Bemerkung: Dies gilt nicht für reell differenzierbare Funktionen. Beispiel: Es sei

f(x) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{1−x^{2}}} & , |x| < 1 \\ 0 & , |x| > 1 \end{cases}

Dann ist f : ℝ → ℝ eine C^{∞}-Funktion, die nicht identisch Null ist, aber auf ℝ \ (−1, 1) verschwindet. Es sei f : G → ℂ holomorph und C ⊂ G sei eine Kurve. Dann ist f durch f|C eindeutig bestimmt. Daraus erhält man das sogenannte Permanenzprinzip, das besagt: ”Identitäten, die auf C gelten pflanzen sich auf G fort.” Beispiel: 1) Es sei f(z) = cot(πz), z ∈ ℂ \ ℤ. Dann ist f : ℂ \ ℤ → ℂ holomorph. Wie wir wissen gilt:

∀x ∈ ℝ: f(x + 1) = f(x).

Sei f_{1}(z) = f(z + 1). Dann gilt

∀x ∈ ℝ \ ℤ: f_{1}(x) = f(x).

Aus dem Identitätssatz folgt dann:

∀z ∈ ℂ \ ℤ: f(z) = f(z + 1).

2) Für die Exponentialfunktion gilt e^{x}e^{y} = e^{x+y} für alle x, y ∈ ℝ. Aus dem Identitätssatz folgt daher

∀z, w : e^{z}e^{w} = e^{z+w}.

Dies haben wir auf anderem Wege mit Hilfe des Cauchy-Produktsatzes bewiesen.

Werte holomorpher Funktionen

Satz 9.8. Sei G Gebiet und sei f : G → ℂ holomorph und nicht konstant. Für alle a ∈ ℂ ist

f^{−1}(a) := {z ∈ G | f(z) = a}

diskret und abgeschlossen in G (event. = ∅). Für jede kompakte Teilmenge K ⊂ G ist f^{−1}(a) ∩ K endlich.

Beweis: 1) Sei a ∈ ℂ. Da f : G → ℂ stetig ist, folgt, daß f^{−1}(a) abgeschlossen in G ist.

Wenn wir annehmen, daß f^{−1}(a) nicht diskret ist, so folgt aus dem Identitätssatz, daß f ≡ a ist. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Daher ist f^{−1}(a) diskret.

2) Sei K ⊂ G kompakt und a ∈ ℂ sei so, daß f^{−1}(a) ∩ K unendlich ist. Dann existiert eine Folge (z_{k}) in f^{−1}(a) ∩ K mit z_{k} ≠ z_{l}, k ≠ l. Da f^{−1}(a) ∩ K kompakt ist, hat (z_{k}) einen Häufungspunkt z_{0} in f^{−1}(a)∩K. Da aber f^{−1}(a) diskret ist, erhalten wir einen Widerspruch, d.h., f^{−1}(a) ∩ K ist endlich.

□

Bemerkung: Dies gilt nicht für reell differenzierbare Funktionen. Beispiel: Es sei

f(x) = \begin{cases}e^{−1/x^{2}} sin(1/x) & , x ≠ 0 \\ 0 & , x = 0. \end{cases}

Dann ist f ∈ C^{∞}(ℝ) mit f^{(n)}(0) = 0 für alle n ∈ ℕ. Es sei x_{n} = \frac{1}{πn}. Dann ist f(x_{n}) = 0 für alle n ∈ ℕ und es gilt x_{n} → 0.

2) Die Nullstellen einer holomorphen Funktion f : G → ℂ können sich gegen den Rand von G häufen. Beispiel: Es sei f(z) = sin (\frac{z+1}{z−1}), z ∈ ℂ\\{1\}. Dann ist \{\frac{nπ+1}{nπ−1} | n ∈ ℤ\} die Menge der Nullstellen von f und es gilt 1 = lim_{n→∞} \frac{nπ+1}{nπ−1}.

Nullstellen holomorpher Funktionen

Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ sei holomorph. Sei f ≢ 0. Dann folgt aus dem Identitätssatz, daß für alle z_{0} ∈ G ein m ∈ ℕ_{0} existiert mit

f(z_{0}) = f′(z_{0}) = ⋯ = f^{(m−1)}(z_{0}) = 0 und f^{(m)}(z_{0}) ≠ 0.

Definition 9.9. Für z ∈ G sei

o_{z}(f) := m = min{k ∈ ℕ | f^{(k)}(z_{0}) ≠ 0}.

o_{z}(f) heißt die Ordnung oder Vielfachheit von f in z.

Es gilt

f(z) = 0 ⇔ o_{z}(f) > 0.

Für f ≡ 0 setzen wir o_{z}(f) := ∞. Weiter sagen wir, daß f in z_{0} ∈ G den Wert w ∈ ℂ von der Ordnung m annimmt, wenn

o_{z_{0}}(f − w) = m

gilt.

Lemma 9.10. Für alle in z ∈ G holomorphen Funktionen f, g gilt:

1) o_{z}(fg) = o_{z}(f) + o_{z}(g).

2) o_{z}(f +g) ≥ min(o_{z}(f), o_{z}(g)). ′′ =′′ gilt genau dann, wenn o_{z}(f) ≠ o_{z}(g).

Beweis: Übung!

Lemma 9.11. Es sei f : U → ℂ holomorph. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1) f hat in z_{0} ∈ U eine Nullstelle der Ordnung n.

2) Für die Taylorentwicklung in z_{0} gilt:

f(z) = ∑_{k=n}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}, a_{n} ≠ 0.

3) Es existiert r > 0 mit B_{r}(z_{0}) ⊂ U und es existiert eine holomorphe Funktion g : B_{r}(z_{0}) → ℂ mit f(z) = (z − z_{0})^{n}g(z) und g(z_{0}) ≠ 0.

Beweis: 1) ⇒ 2) klar, da a_{k} = \frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!}.

2) ⇒ 3) Sei

g(z) = ∑_{k=n}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k−n}.

g(z) konvergiert in einer Kreisscheibe B_{r}(z_{0}) vom Radius r > 0. Daraus folgt, daß g : B_{r}(z_{0}) → ℂ holomorph ist und g(z_{0}) = a_{n} ≠ 0 gilt. Aus der Definition von g folgt: f(z) = (z − z_{0})^{n}g(z).

3) ⇒ 1) Es existiere eine holomorphe Funktion g : B_{r}(z_{0}) → ℂ so, daß f(z) = (z − z_{0})g(z) ist für alle z ∈ B_{r}(z_{0}). Aus der Leibnizregel folgt

f^{(k)}(z) = ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}n(n − 1) ⋯ (n − j + 1)(z − z_{0})^{n−j}g^{(j)}(z).

Für k < n erhalten wir daraus f^{(k)}(z_{0}) = 0 und für k = n folgt f^{(n)}(z_{0}) = n!g(z_{0}) ≠ 0.

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Existenz singulärer Punkte

Satz 9.12. Sei f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k} Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann liegt auf dem Rand von B_{R}(z_{0}) mindestens ein singulärer Punkt.

Beweis: Sei B = B_{R}(z_{0}). Annahme: Jeder Punkt w ∈ ∂B ist regulär.

Dann existiert zu jedem w ∈ ∂B ein r(w) > 0 und eine holomorphe Funktion g_{w} : B_{r(w)}(w) → ℂ mit

f(z) = g_{w}(z) für alle z ∈ B_{r(w)}(w) ∩ B.

Da ∂B kompakt ist, existieren K_{i} = K_{r(w_{i})}(w_{i}), i = 1, …, m mit

∂B ⊂ ⋃_{i=1}^{m} K_{i}.

Sei g_{i} : K_{i} → ℂ holomorph mit

g_{i} | K_{i} ∩ B = f | K_{i} ∩ B.

Es existiert ∃R_{1} > R mit B_{1} = B_{R_{1}}(z_{0}) ⊂ B ∪ K_{1} ∪ ⋯ ∪ K_{m}. Wir definieren f_{1}: B_{1} → ℂ wie folgt: Für z ∈ B sei f_{1}(z) = f(z). Für z ∈ B_{1} \ B wählen wir einen Kreis K_{j} mit z ∈ K_{j} und setzen f_{1}(z) = g_{j}(z). Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Kreises K_{j}. Denn es sei K_{i} ein weiterer Kreis mit z ∈ K_{i}. Da die Zentren von K_{i} und K_{j} auf ∂B liegen, folgt K_{i} ∩ K_{j} ∩ B ≠ ∅. Weiter ist g_{i}(z) = f(z) = g_{j}(z) für alle z ∈ K_{i} ∩ K_{j} ∩ B. Aus dem Identitätssatz folgt daher g_{i}(z) = g_{j}(z) für alle z ∈ K_{i} ∩ K_{j}. Damit erhalten wir eine holomorphe Funktion f_{1} : B_{1} → ℂ, die auf B mit f übereinstimmt. Auf Grund von Satz 9.4 ist dies aber nicht möglich. Daher ist unsere Annahme falsch, d.h., es existiert wenigstens ein singulärer Punkt auf ∂B.

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10. Cauchysche Ungleichung und Maximumsprinzip

Satz 10.1. (Cauchysche Ungleichung) Es sei f : U → ℂ holomorph und \overline{B_{r}(z_{0})} ⊂ U. Für z ∈ B_{r}(z_{0}) sei d_{z} = min_{|ζ−z_{0}|=r} |z − ζ|. Dann gilt für alle n ∈ ℕ_{0} und z ∈ B_{r}(z_{0}):

|f^{(n)}(z)| ≤ n!\frac{r}{d_{z}^{n+1}} max_{|ζ−z_{0}|=r} |f(ζ)|.

Beweis: Auf Grund der Cauchyschen Integralformel ist

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2πi} ∫_{∂B_{r}(z_{0})} \frac{f(ζ)}{(ζ − z)^{n+1}} dζ

für alle z ∈ B_{r}(z_{0}). Daraus folgt

|f^{(n)}(z)| ≤ \frac{n!}{2π} ∫_{∂B_{r}(z_{0})} \frac{|f(ξ)|}{|ζ − z|^{n+1}} dζ ≤ n!\frac{r}{d_{z}^{n+1}} max_{|ζ−z_{0}|=r} |f(ζ)|.

□

Korollar 10.2. Es gilt

|f^{(n)}(z_{0})| ≤ \frac{n!}{r^{n}} max_{|ζ−z_{0}|=r} |f(ζ)|.

Bemerkung: Es sei

M(r) = max_{|ζ−z_{0}|=r} |f(ζ)|.

Dann gilt für die Taylorkoeffizienten a_{n} = \frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!} die Abschätzung

∀n ∈ ℕ_{0} : |a_{n}| ≤ \frac{M(r)}{r^{n}}.

Korollar 10.3. Für d < r und alle z ∈ B_{r−d}(z_{0}) gilt:

|f^{(n)}(z)| ≤ \frac{n!}{d^{n+1}} rM(r).

Aus Satz 10.1 erhält man auch erste Aussagen über die Werteverteilung einer holomorphen Funktion.

Satz 10.4. Es sei f : U → ℂ holomorph und \overline{B_{r}(z_{0})} ⊂ U. Wenn

|f(z_{0})| < min_{|z−z_{0}|=r} |f(z)|

gilt, dann existiert w ∈ B_{r}(z_{0}) mit f(w) = 0.

Beweis: Wir nehmen an, daß f(z) ≠ 0 für alle z ∈ B_{r}(z_{0}) ist. Aus

|f(z_{0})| < min_{|z−z_{0}|=r} |f(z)|

folgt, daß f(z) ≠ 0 gilt für alle z ∈ ∂B_{r}(z_{0}). Daher ist f(z) ≠ 0 für alle z ∈ \overline{B_{r}(z_{0})}. Daraus folgt, daß eine Umgebung V von \overline{B_{r}(z_{0})} existiert mit f(z) ≠ 0 für alle z ∈ V. Es sei

g(z) = \frac{1}{f(z)}.

Dann ist g : V → ℂ holomorph. Aus Korollar 10.2 für n = 0 folgt

|g(z_{0})| ≤ max_{|z−z_{0}|=r} |g(z)|,

d.h.

\frac{1}{|f(z_{0})|} ≤ max_{|z−z_{0}|=r} \frac{1}{|f(z)|} = \frac{1}{min_{|z−z_{0}|=r} |f(z)|}.

Somit ist

|f(z_{0})| ≥ min_{|z−z_{0}|=r} |f(z)|.

Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Daher muß f wenigstens eine Nullstelle in B_{r}(z_{0}) haben.

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Satz 10.5. (Gebietstreue) Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Dann ist f(G) ⊂ ℂ wieder ein Gebiet.

Beweis: Da f stetig ist, ist f(G) zusammenhängend. Es bleibt zu zeigen, daß f(G) ⊂ ℂ offen ist. Es sei w_{0} ∈ f(G) und z_{0} ∈ G mit w_{0} = f(z_{0}). Aus dem Identitätssatz folgt, daß ein r > 0 existiert mit

f(z) ≠ 0 für alle z ∈ \overline{B_{r}(z_{0})} \ \{z_{0}\}.

Somit wäre f ≡ w_{0}. Da ∂B_{r}(z_{0}) kompakt ist, folgt daraus, daß ein ϵ > 0 existiert mit

|f(z) − w_{0}| ≥ 3ϵ > 0 für |z − z_{0}| = r.

Es sei |w − w_{0}| < ϵ. Dann gilt für |z − z_{0}| = r:

|f(z) − w| ≥ |f(z) − w_{0}| − |w − w_{0}| ≥ 3ϵ − ϵ = 2ϵ.

Für z = z_{0} ist aber

|f(z_{0}) − w| = |w − w_{0}| < ϵ.

Daraus folgt

|f(z_{0}) − w| < min_{|z−z_{0}|=r} |f(z) − w|.

Auf Grund von Satz 10.4 hat f(z) − w mindestens eine Nullstelle z_{1} ∈ B_{r}(z_{0}), d.h., f(z_{1}) = w. Damit haben wir gezeigt:

B_{ϵ}(w_{0}) ⊂ f(G),

d.h., f(G) ist offen.

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Gutzmersche Formel

Es sei

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}

in B_{R}(z_{0}) konvergent. Sei 0 < r < R und |z − z_{0}| = r. Dann ist

z = z_{0} + re^{iφ}, φ ∈ [0, 2π],

und daher ist

f(z_{0} + re^{iφ}) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}r^{k}e^{ik}φ

eine trigonometrische Reihe. Für die Funktion e^{ikφ} gelten die Orthogonalitätsrelationen.

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{i(m−n)φ}dφ = \begin{cases}0, & m ≠ n; \\ 1, & m = n. \end{cases}

Da f(z_{0} + re^{iφ}) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}r^{k}e^{ikφ} in [0, 2π] normal konvergiert, folgt

a_{n}r^{n} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(z_{0} + re^{iφ})e^{−inφ}dφ, n ∈ ℕ_{0}.

Es sei

M(r) := max_{|z−z_{0}|=r} |f(z)|.

Satz 10.6. (Gutzmersche Formel) Es sei f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z−z_{0})^{k} konvergent in B_{R}(z_{0}). Dann gilt für alle r < R:

∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|^{2}r^{2k} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(z_{0} + re^{iφ})|^{2}dφ ≤ M(r)^{2}.

Beweis: Wegen

\overline{f(z_{0} + re^{iφ})} = ∑_{k=0}^{∞} \overline{a_{k}}r^{k}e^{−ikφ}

gilt

|f(z_{0} + re^{iφ})|^{2} = ∑_{k=0}^{∞} \overline{a_{k}}r^{k}f(z_{0} + re^{iφ})e^{−ikφ}.

Da diese Reihe in [0, 2π] normal konvergiert, folgt aus den Orthogonalitätsrelationen:

∫_{0}^{2π} |f(z_{0} + re^{iφ})|^{2}dφ =

= ∑_{k=0}^{∞} \overline{a_{k}}r^{k} ∫_{0}^{2π} f(z_{0} + re^{iφ})e^{−ikφ}dφ

= 2π ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|^{2}r^{2k}.

Weiter ist

∫_{0}^{2π} |f(z_{0} + re^{iφ})|^{2}dφ ≤ 2πM(r)^{2}.
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Korollar 10.7. Die Reihe f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k} konvergiere in B_{R}(z_{0}). Es existiere 0 < r < R und m ∈ ℕ_{0} mit |a_{m}|r^{m} = M(r). Dann ist f(z) = a_{m}(z − z_{0})^{m}.

Beweis: Aus Satz 10.6 folgt

∑_{k≠m}^{∞} |a_{k}|^{2}r^{2k} ≤ 0.

Daher ist a_{k} = 0 für alle k ≠ m.

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Satz 10.8. (Maximum-Prinzip)

1) Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph. Wenn |f| in einem Punkt z_{0} ∈ G ein lokales Maximum hat, so ist f konstant in G.

2) Wenn G beschränkt ist und f auf \overline{G} stetig ist, so nimmt |f| das Maximum auf ∂G an:

|f(z)| ≤ max_{ζ∈∂G} |f(ζ)|, z ∈ G.

Beweis: 1) Sei z_{0} ∈ G lokales Maximum von |f| : G → ℝ. Sei

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − z_{0})^{k}

die Taylorreihe von f in z_{0}, die für |z − z_{0}| < R konvergiere. Es sei 0 < r < R so, daß \overline{B_{r}(z_{0})} ⊂ G und

|f(z_{0})| ≥ |f(z)| für alle z ∈ \overline{B_{r}(z_{0})}.

Aus Korollar 10.2 folgt

|a_{0}| = |f(z_{0})| ≥ max_{|z−z_{0}|=r} |f(z)| ≥ |f(z_{0})|,

d.h., es gilt

|a_{0}| = M(r).

Aus Korollar 10.7 folgt f(z) = a_{0} für alle z ∈ B_{r}(z_{0}) und aus dem Identitätssatz erhalten wir f ≡ a_{0}.

2) Die zweite Behauptung folgt aus der ersten.

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Satz 10.9. (Minimum-Prinzip)

1) Sei f : G → ℂ holomorph und |f| habe in z_{0} ∈ G ein lokales Minimum, so ist f(z_{0}) = 0 oder f ist konstant.

2) Sei G beschränkt und sei f stetig fortsetzbar auf \overline{G}. Dann hat f Nullstellen in G oder |f| nimmt sein Minimum auf ∂G an.

Beweis:

1) Wir nehmen an, daß f(z_{0}) ≠ 0 ist. Dann existiert ein r > 0 so, daß f(z) ≠ 0 für alle z ∈ B_{r}(z_{0}). Es sei g(z) = 1/f(z) für z ∈ B_{r}(z_{0}). Dann ist g : B_{r}(z_{0}) → ℂ holomorph und z_{0} ist ein lokales Maximum von |g(z)| = 1/|f(z)|. Aus Satz 10.8 folgt, daß f konstant ist.

2) Es sei G beschränkt und \overline{f} : \overline{G} → ℂ eine stetige Fortsetzung von f auf \overline{G}. Wir nehmen an, daß f keine Nullstellen in \overline{G} hat. Dann ist g(z) = 1/f(z) eine holomorphe Funktion auf G, die eine stetige Forsetzung \overline{g}(z) = 1/\overline{f}(z) auf \overline{G} hat. Aus Satz 10.8, 2) folgt:

|g(z)| ≤ max_{ζ∈∂G} |g(ζ)|, z ∈ G.

Daher ist

|f(z)| ≥ min_{ζ∈∂G} |f(ζ)|, z ∈ G.

Ganze Funktionen und Polynome

Definition 10.10. Eine holomorphe Funktion f : ℂ → ℂ heißt ganze Funktion. Es sei f : ℂ → ℂ ganz und z_{0} ∈ ℂ. Dann konvergiert die Taylorreihe

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!}(z − z_{0})^{k}

für alle z ∈ ℂ. Beispiele: e^{z}, cos(z), sin(z) sind ganze Funtkionen. Wir untersuchen das Verhalten von ganzen Funtkionen für |z| → ∞. Als erstes betrachten wir Polynome. Lemma 10.11. Es sei

p(z) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k}, a_{n} ≠ 0,

ein Polynom. Dann gilt 1)

|p(z)| ≤ (∑_{k=0}^{n} |a_{k}|) |z|^{n}, |z| ≥ 1.

2) ∀ϵ(0 < ϵ < 1) ∃ρ_{ϵ} ≥ 1 ∀|z| ≥ ρ_{ϵ} :

(1 − ϵ)a_{n}|z|^{n} ≤ |p(z)| ≤ (1 + ϵ)|a_{n}||z|^{n}.

Beweis: 1) Für |z| ≥ 1:

|p(z)| ≤ ∑_{k=0}^{n} |a_{k}||z|^{k} ≤ (∑_{k=0}^{n} |a_{k}|) |z|^{n}.

2) Sei p̃(z) = ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}z^{k}. Dann ist nach 1):

|p̃(z)| ≤ (∑_{k=0}^{n−1} |a_{k}|) |z|^{n−1}, |z| ≥ 1.

Sei 0 < ϵ < 1 gegeben. Sei

ρ_{ϵ} = max (1, \frac{1}{ϵ|a_{n}|} ∑_{k=0}^{n−1} |a_{k}|) .

Für |z| ≥ ρ_{ϵ} folgt

|p̃(z)| ≤ \frac{1}{|z|} (∑_{k=0}^{n−1} |a_{k}|) |z|^{n} ≤ ϵ|a_{n}||z|^{n}.

Hieraus folgt

\begin{aligned}(1 − ϵ)|a_{n}||z|^{n} & ≤ |a_{n}||z|^{n} − |p̃(z)| ≤ |p(z)| ≤ |a_{n}||z|^{n} + |p̃(z)| \\ & ≤ (1 + ϵ)|a_{n}||z|^{n}. \end{aligned}

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Die Umkehrung gilt ebenfalls.

Satz 10.12. Es sei f : ℂ → ℂ eine ganze Funktion. Es existiere n ∈ ℕ_{0}, R > 0 und M > 0 mit |f(z)| ≤ M|z|^{n} für |z| ≥ R. Dann ist f ein Polynom vom Grade ≤ n.

Beweis: Es sei

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k}

die Taylorentwicklung von f in 0. Die Reihe konvergiert für alle z ∈ ℂ. Aus Korollar 10.2 folgt

|a_{k}| ≤ r^{−k} max_{|z|=r} |f(ζ)| ≤ r^{−k}Mr^{n}, |z| ≥ R.

Für r → ∞ folgt daraus a_{k} = 0 für k > n. Daher ist

f(z) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k}.

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Korollar 10.13. (Satz von Liouville) Es sei f : ℂ → ℂ ganz und beschränkt. Dann ist f konstant.

Satz 10.14. (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes nichtkonstante komplexe Polynom p(z) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k} hat mindestens eine Nullstelle.

1. Beweis: Wir nehmen an, daß p(z) ≠ 0 für alle z ∈ ℂ ist. Es sei f(z) = 1/p(z), z ∈ ℂ. Aus Lemma 10.11 folgt:

|f(z)| = \frac{1}{|p(z)|} ≤ \frac{1}{(1 − ϵ)|a_{n}||z|^{n}} , für alle |z| ≥ ρ_{ϵ}.

Daher ist |f| beschränkt. Aus Korollar 10.13 folgt, daß f und daher p konstant ist. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. 2.Beweis: Es sei p(z) ein Polynom vom Grade n ≥ 1. Wir wählen in Lemma 10.11 ϵ = 1/2 und R ≥ max{1, ρ_{ϵ}} so groß, daß

|p(0)| < \frac{1}{2}|a_{n}|R^{n}

gilt. Dann ist

|p(0)| < min_{|z|=R} |p(z)|.

Aus Satz 10.4 folgt, daß p(z) eine Nullstelle in B_{R}(0) hat.

Satz 10.15. (Faktorisierungssatz) Jedes komplexe Polynom P (z) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}z^{k} vom Grade n ist eindeutig darstellbar als Produkt

P (z) = a_{n} ∏_{i=1}^{r}(z − z_{i})^{m_{i}},

wobei z_{1}, …, z_{r} ∈ ℂ paarweise verschieden sind, m_{1}, …, m_{r} ∈ ℕ und n = m_{1} + ⋯ + m_{r}.

11. Konvergenzsätze

Satz 11.1. (Weierstraßscher Konvergenzsatz) Es sei f_{n} : G → ℂ eine Folge holomorpher Funktionen, die auf jeder kompakten Teilmenge K ⊂ G gleichmäßig gegen f : G → ℂ konvergiert. Dann ist f holomorph und für alle n ∈ ℕ konvergiert die Folge (f_{k}^{(n)}) gelichmäßig auf kompakten Mengen gegen f^{(k)}.

Beweis: 1) Da f_{n} : G → ℂ eine Folge stetiger Funktionen ist, die auf kompakten Mengen gleichmäßig gegen f konvergiert, so ist f stetig. Sei △ ⊂ G ein abgeschlossenes Dreieck. Da die f_{n} holomorph sind, folgt aus dem Cauchy-Integralsatz

∫_{∂△} f(ζ)dζ = lim_{n→∞} ∫_{∂△} f_{n}(ζ)dζ = 0.

Aus dem Satz von Morera folgt, daß f : G → ℂ holomorph ist.

2) Es genügt zu zeigen, daß (f′_{n}) auf kompakten Mengen gleichmäßig gegen f′ konvergiert. Es sei \overline{B_{r}(z_{0})} ⊂ G und ϵ > 0. Aus Korollar 10.2 folgt

|f′_{k}(z) − f′(z)| ≤ C \frac{1}{r} max_{|ζ−z_{0}|=r} |f(ζ) − f_{k}(ζ)|.

Es sei k_{0} ≥ 0 so, daß

max_{|ζ−z_{0}|=0} |f(ζ) − f_{k}(ζ)| < \frac{r}{C} ϵ

für alle k ≥ k_{0} gilt. Dann ist

|f′_{k}(z) − f′(z)| < ϵ

für alle z ∈ B_{R}(z_{0}).

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Korollar 11.2. Es sei f_{n} : G → ℂ eine Folge holomorpher Funktionen und ∑_{n=0}^{∞} f_{k} konvergiere gleichmäßig auf kompakten Mengen. Dann gilt

1) f(z) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(z), z ∈ G, ist eine holomorphe Funktion in G.

2) Für alle k ∈ ℕ konvergiert ∑_{n=0}^{∞} f_{n}^{(k)}(z) gleichmäßig auf kompakten Mengen gegen f^{(k)}:

f^{(k)}(z) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}^{(k)}(z), z ∈ G.

Es sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ eine Funktion. Dann ist

∥ f ∥_{U}:= sup_{z∈U} |f(z)|.

Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} f_{n} von Funktionen f_{n} : G → ℂ heißt (lokal) normal konvergent, wenn jeder Punkt z ∈ G eine Umgebung U ⊂ G besitzt mit

∑_{n=0}^{∞} ∥ f_{n} ∥_{U}< ∞.

Satz 11.3. Es sei f_{n} : G → ℂ eine Folge holomorpher Funktionen und ∑_{n=0}^{∞} f_{n} sei normal konvergent. Dann ist f(z) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(z), z ∈ G, eine holomorphe Funktion f : G → ℂ und für alle k ∈ ℕ konvergiert ∑_{n=0}^{∞} f_{n}^{(k)} normal gegen f^{(k)}.

Beweis: Es sei z_{0} ∈ G. Dann existiert r > 0 mit \overline{B_{r}(z_{0})} ⊂ G. Aus Korollar 10.3 folgt, daß für alle k ∈ ℕ ein C_{k} > 0 existiert so, daß für alle holomorphen Funktionen g : G → ℂ gilt:

|g^{(k)}(z)| ≤ C_{k} max_{|ζ−z_{0}|=r} |g(ζ)|

für alle z ∈ B_{r/2}(z_{0}). Daraus folgt

∥ g^{(k)} ∥_{B_{r/2}(z_{0})}≤ C_{k} ∥ g ∥_{B_{r}(z_{0})} .

Daraus folgt, daß für alle k ∈ ℕ:

∑_{n=0}^{∞} ∥ f_{n}^{(k)} ∥_{B_{r/2}(z_{0})}≤ C_{k} ∑_{n=0}^{∞} ∥ f_{n} ∥_{B_{r}(z_{0})}< ∞.

Daher sind alle Reihen ∑_{n=0}^{∞} f_{n}^{(k)} normal konvergent. Daraus folgt, daß f = ∑_{n=0}^{∞} f_{n} holomorph ist und es gilt

f^{(k)}(z) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}^{(k)}(z), z ∈ G.

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Beispiele: 1) Die Gammafunktion Die Gammafunktion ist definiert durch

Γ(s) = ∫_{0}^{∞} t^{s−1}e^{−t}dt, Re(s) > 0.

Für n ∈ ℕ sei

f_{n}(s) = ∫_{1/n}^{n} t^{s−1}e^{−t}dt.

Dann ist f_{n} : ℂ → ℂ holomorph. Weiter ist

|f_{n}(s) − Γ(s)| ≤ ∫_{0}^{1/n} t^{Re(s)−1}e^{−t}dt + ∫_{n}^{∞} t^{Re(s)−1}e^{−t}dt.

Es sei ϵ > 0. Aus dieser Ungleichung folgt, daß für alle kompakten Teilmengen K der Halbebene Re(s) > 0 ein n_{0} ∈ ℕ existiert mit

|f_{n}(s) − Γ(s)| < ϵ für alle n ≥ n_{0} und s ∈ K.

Aus Satz 11.1 folgt, daß Γ(s) in Re(s) > 0 holomorph ist. Wie wir wissen, gilt die Funkionalgleichung

Γ(s + 1) = sΓ(s), Re(s) > 0.

Daraus folgt für k ∈ ℕ:

Γ(s) = \frac{Γ(s + k + 1)}{(s + k)(s + k − 1) ⋯ s}.

Daraus erhalten wir die analytische Forsetzung von Γ zu einer holomorphen Funktion

Γ : ℂ \ ℤ_{−} → ℂ, ℤ_{−} = {0, −1, −2, … }.

2) Die Riemannsche Zatafunktion Die Riemannsche Zetafunktion ist definiert als

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} n^{−s}, Re(s) > 1.

Es sei s = σ + it, σ, t ∈ ℝ. Dann ist

|n^{s}| = |e^{log n(σ+it)}| = n^{σ}.

Da ∑_{n=1}^{∞} n^{−σ} für σ > 1 konvergiert, ist

|∑_{n=1}^{∞} n^{−s}| ≤ ∑_{n=1}^{∞} n^{−σ}

für Re(s) ≥ 1 + ϵ normal konvergent. Aus Satz 11.3 folgt, daß ζ(s) in Re(s) > 1 holomorph ist.

Satz 11.4. ζ(s) kann zu einer holomorphen Funktion auf ℂ\{1} fortgesetzt werden. ζ(s) − 1/(s − 1) ist eine ganze Funktion. Es gilt die Funktionsgleichung

ζ(s) = π^{s−1/2} \frac{Γ (\frac{1−s}{2})}{Γ (\frac{s}{2})}ζ(1 − s).

Im Zusammenhang mit der Zeta-Funktion existiert die berühmte Riemannsche Vermutung:

ζ(s) ≠ 0 für Re(s) > 1/2.

Anders formuliert bedeutet dies, daß die nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) auf der Geraden Re(s) = \frac{1}{2} liegen. Es sei

π(x) = #{p | p Primzahl und p ≤ x}.

Der Primzahlsatz besagt

π(x) = \frac{x}{log x} + o(x), x → ∞.

Es sei

li(x) = ∫_{z}^{x} \frac{du}{log u}.

Dann kann man zeigen, daß die Riemannschen Vermutung genau dann richtig ist, wenn

π(x) = li(x) + O(x^{1/2} log x)

für x → ∞ gilt. Der Zusammenhang von π(x) und ζ(s) resultiert aus der Eulerschen Produktformel

ζ(s) = ∏_{p} (1 − \frac{1}{p^{s}} )^{−1} , Re(s) > 1,

wobei p über alle Primzahlen läuft.

2) Das Prinzip der analytischen Fortsetzung spielt in vielen Teilen der Mathematik und auch der Physik eine wichtige Rolle. So z.B. in der analytischen Zahlentheorie, der Darstellungstheorie Liescher Gruppen, der mathematischen Streutheorie, der Quantenfeldtheorie. Als Beispiel diskutieren wir hier die regularisierte Determinante eines elliptischen Operators. Es sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit ∂Ω ∈ C^{2}. Es sei

Δ = − ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}}

der Laplaceoperator. Aus der Greenschen Formel folgt, daß

Δ : C_{0}^{∞}(Ω) → L^{2}(Ω)

ein symmetrischer linearer Operator im Hilbertraum L^{2}(Ω) ist. Außderdem gilt

⟨Δφ, φ⟩ =∥ ∇φ ∥^{2}> 0

für alle φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω), d.h., Δ ist positiv definit. Es sei Δ_{D} die Abschließung von Δ in L^{2}(Ω). Dann existiert eine orthonormale Basis {φ_{i}}_{i∈ℕ} von L^{2}(Ω), die aus Eigenfunktionen von Δ_{D} besteht, d.h., es ist φ_{i} ∈ C^{∞}(Ω) und es gilt:

\begin{aligned}Δφ_{i} & = λ_{i}φ_{i}; \\ φ_{i}|∂Ω & = 0; \end{aligned}

für alle i ∈ ℕ. Dabei sind

0 < λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ ⋯ → ∞

die Eigenwerte von Δ_{D}. Es sei

ζ(s, Δ_{D}) = ∑_{i=1}^{∞} λ_{i}^{−s}.

Diese Reine konvergiert absolut für Re(s) > n/2. Daher ist ζ(s, Δ_{D}) eine holomorphe Funktion in Re(s) > n/2. Diese Funktion besitzt eine Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion in ℂ, die in s = 0 regulär ist. Dann definiert man die regularisierte Determinante von Δ_{D} durch

det Δ_{D} = exp (−\frac{d}{ds}ζ(s, △_{D}) |_{s=0}) .

Die regularisierte Determinante spielt z.B. in der geometrischen Analysis und der Quantenfeldtheorie eine wichtige Rolle.

12. Laurentreihen

Wir untersuchen Funktionen, die holomorph in einem Kreisring sind. Dazu benötigen wir Laurentreihen.

Definition 12.1. Eine Laurentreihe um a ∈ ℂ ist eine Reihe der Form

L(z) = ∑_{k=−∞}^{∞} a_{k}(z − a)^{k}.

L_{1}(z) = ∑_{k=−1}^{−∞} a_{k}(z − a)^{k} = ∑_{k=1}^{∞} a_{−k}(z − a)^{−k} heißt Hauptteil und L_{2}(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − a)^{k} heißt Nebenteil der Laurentreihe. Die Laurentreihe L(z) heißt konvergent in z_{1}, wenn L_{1}(z) und L_{2}(z) in z_{1} konvergieren. Dann setzen wir

L(z_{1}) := L_{1}(z_{1}) + L_{2}(z_{1}).

L(z) heißt gleichmäßig oder lokal gleichmäßig konvergent, wenn dies für L_{1}(z) und L_{2}(z) gilt.

Sei ρ Konvergenzradius von ∑_{n=1}^{∞} a_{−n}w^{n}, R Konvergenzradius von ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}. Dann gilt

∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} \begin{cases}konvergiert für & r = 1/ρ < |z − a| < R \\ divergiert für & |z − a| < r oder \\ & |z − a| > R. \end{cases}

∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} konvergiert normal auf kompakten Teilmengen von K_{a}(r, R). Sei r < |z − a| < R.

g(w) = ∑_{n=1}^{∞} a_{−n}w^{n}, |w| < ρ = 1/r,

konvergent, g : B_{1/r}(0) → ℂ holomorph. L_{1}(z) := g((z−a)^{−1}). ⇒ L_{1} : ℂ\\overline{B_{r}(a)} → ℂ holomorph und lim_{z→∞} |L_{1}(z)| = lim_{z→∞} |g (\frac{1}{z−a})| = lim_{w→0} |g(w)| = 0. Die Reihe

L_{2}(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}.

konvergiert für |z − a| < R. Daher istL_{2} : B_{R}(a) → ℂ holomorph.

Satz 12.2. Sei ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} konvergent für r < |z − a| < R. Dann exsistieren holomorphe Funktionen L_{1} : ℂ \ \overline{B_{r}(a)} → ℂ und L_{2} : B_{R}(a) → ℂ mit

L_{1}(z) + L_{2}(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}, r < |z − a| < R.

und lim_{z→∞} |L_{1}(z)| = 0. Diese Darstellung ist eindeutig.

Beweis: Wir müssen nur noch die Eindeutigkeit beweisen. Es seien f_{1}, g_{1} : ℂ\\overline{B_{r}(a)} → ℂ, f_{2}, g_{2} : B_{R}(a) → ℂ holomorph, lim_{z→∞} |f_{1}(z)| = 0 = lim_{z→∞} |g_{1}(z)| und

f_{1}(z) + f_{2}(z) = g_{1}(z) + g_{2}(z), r < |z − a| < R

⇒ f_{1}(z) − g_{1}(z) = g_{2}(z) − f_{2}(z). Sei

h(z) = \begin{cases}f_{1}(z) − g_{1}(z), & z ∈ ℂ \ B_{r}(a); \\ g_{2}(z) − f_{2}(z), & z ∈ B_{R}(a). \end{cases}

⇒ h : ℂ → ℂ holomorph, lim_{z→∞} |h(z)| = 0. Satz von Lionville ⇒ h ≡ 0 ⇒ f_{1} = g_{1}, f_{2} = g_{2}.

□

Holomorphe Funktionen in Kreisringen

Für 0 ≤ r < R ≤ ∞, a ∈ ℂ, sei

K_{a}(r, R) = {z ∈ ℂ | r < |z − a| < R}.

Satz 12.3. Sei f : U → ℂ holomorph und \overline{K_{a}(r, R)} ⊂ U. Dann gilt für alle z ∈ K_{a}(r, R) :

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=R} \frac{f(ζ)}{ζ − z} − \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=r} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ.

Beweis: Sei ϕ : U → ℂ definiert durch

ϕ(ζ) = \begin{cases}\frac{f(ζ)−f(z)}{ζ−z}; & ζ ≠ z; \\ f′(z); & ζ = z. \end{cases}

Dann gilt:

1) ϕ holomorph in U \ {z},

2) ϕ stetig in z. Riemannscher Hebbarkeitssatz ⇒ ϕ : U → ℂ holomorph. Für r ≤ ρ ≤ R sei γ_{ρ} : [0, 2π] → U

γ_{ρ}(θ) = a + ρe^{iθ}.

Dann sind γ_{r} und γ_{R} frei homotop. Cauchy-Integralsatz ⇒

∫_{|ζ−a|=r} ϕ(ζ)dζ = ∫_{|ζ−a|=R} ϕ(ζ)dζ.

Sei ρ = r oder ρ = R. ⇒

\begin{aligned}∫_{|ζ−a|=ρ} ϕ(ζ)dζ & = ∫_{|ζ−a|=ρ} \frac{f(ζ)}{ζ − z}; dζ − f(z) ∫_{|ζ−a|=ρ} \frac{1}{ζ − z} dζ \\ ∫_{|ζ−a|=ρ} \frac{1}{ζ − z} dζ & = \begin{cases}2πi, & ρ = R; \\ 0, & ρ = r. \end{cases} \end{aligned}

⇒

\begin{aligned}f(z) & = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=R} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ − \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=R} ϕ(ζ)dζ \\ & = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=R} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dξ − \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=r} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ. \end{aligned}

□

Satz 12.4. (Laurententwicklung) Es sei f : K_{a}(r, R) → ℂ holomorph. Dann kann f in K_{a}(r, R) in eine konvergente Laurentreihe entwickelt werden:

f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n} := ∑_{n=−1}^{−∞} a_{n}(z − a)^{n} + ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}.

Die erste Reihe konvergiert lokal gleichmäßig in ℂ \ \overline{B_{r}(a)} gegen den Hauptteil und die zweite Reihe konvergiert lokal gleichmäßig in B_{R}(a) gegen den Nebenteil von f. Die Koeffizieten a_{n} sind eindeutig bestimmt. Für alle n ∈ ℤ und r < ρ < R :

a_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=ρ} \frac{f(ζ)}{(ζ − a)^{n+1}} dζ.

Beweis: Sei r < r′ < ρ < R′ < R. Dann ist \overline{K_{a}(r′, R′)} ⊂ K_{a}(r, R). Aus Satz 12.2 folgt

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=R′} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ − \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=r′} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ. (12.1)

Weiter ist

\frac{1}{ζ − z} = \frac{1}{ζ − a} \frac{1}{1 − (\frac{z−a}{ζ−a})} = \frac{1}{ζ − a} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{z − a}{ζ − a})^{n} |z − a| < R′, |ζ − a| = R′

\frac{1}{ζ − z} = −\frac{1}{z − a} \frac{1}{1 − (\frac{ζ−a}{z−a})} = −\frac{1}{z − a} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{ζ − a}{z − a})^{n} |ζ − a| = r′, |z − a| > r′.

(∗) ⇒

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=ρ} \frac{f(ξ)}{(ζ − a)^{n+1}} dζ(z − a)^{n}

− ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=ρ} f(ζ)(ζ − a)^{n}dζ(z − a)^{−n+1}

= ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − a)^{n}, r′ < |z − a| < R′.

a_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−a|=ρ} \frac{f(ξ)}{(ζ − a)^{n+1}} dζ.

Dies gilt für alle r′, R′, r < r′ < R′ < R. Daher für r < |z − a| < R.

□

Beispiel: Sei f(z) = \frac{1}{(z−1)(z−2)} = \frac{1}{z−2} − \frac{1}{z−1}. Es gilt:

\begin{aligned}\frac{1}{z − 1} & = \frac{1}{z} \frac{1}{1 − \frac{1}{z}} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{z^{n}} , |z| > 1 \\ \frac{1}{z − 2} & = −\frac{1}{2} \frac{1}{1 − \frac{z}{2}} = − ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{2^{n+1}} , |z| < 2. \end{aligned}

Daher ist f(z) = − ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{2^{n+1}} − ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{z^{n}}; z ∈ K_{0}(1, 2).

13. Isolierte Singularitäten

Definition 13.1. Sei U ⊂ ℂ offen, z_{0} ∈ U, und f : U \ {z_{0}} → ℂ holomorph. Dann heißt z_{0} isolierte Singularität von f.

U \ {z_{0}} heißt punktierte Umgebung von z_{0}. Beispiele:

1) Sei f(z) = \frac{sin z}{z}, z ∈ ℂ \ \{0\}. Dann ist 0 isolierte Singularität.

2) f(z) = \frac{1}{z(z−i)^{2}} hat die isolierten Singularitäten 0 und i.

3) f(z) = e^{1/z} hat in z = 0 eine isolierte Singularität.

4) f(z) = cot πz, z ∈ ℂ \ ℤ, hat in jedem n ∈ ℤ eine isolierte

Singularität. Wir unterscheiden isolierte Singularitäten nach dem Verhalten von f in der Nähe der Singularität.

Definition 13.2. Es sei U ⊂ ℂ offen, z_{0} ∈ U, und f : U \ {z_{0}} → holomorph.

1) Es existiert eine offene Umgebung V von z_{0} in U so, daß f | V \ {z_{0}} beschränkt ist. Dann heißt z_{0} hebbare Singularität.

2) Es gilt lim_{z→z_{0}} |f(z)| = ∞. Dann heißt z_{0} Pol von f.

3) z_{0} ist weder eine hebbare Singularität noch ein Pol. Dann heißt z_{0} wesentliche Singularität von f.

Bemerkungen:

1) Wenn z_{0} eine hebbare Singularität von f : U \ {z_{0}} ist, so hat f nach dem Riemannschen Hebbarkeitsatz eine holomorphe Fortsetzung f̂: U → ℂ.

Satz 13.3. Sei f : U \ {z_{0}} → ℂ holomorph. Dann ist z_{0} ein Pol von f genau dann, wenn ein n ∈ ℕ, eine Umgebung V ⊂ U von z_{0} und eine holomorphe Funktion g : V → ℂ existieren mit g(z_{0}) ≠ 0 und

f(z) = (z − z_{0})^{−n}g(z), z ∈ V.

Beweis: ⇐) Es sei ϵ > 0 so, daß

|g(z) − g(z_{0})| < |g(z_{0})|/2

für |z − z_{0}| < ϵ. Dann ist

|g(z)| > \frac{1}{2}|g(z_{0})|, |z − z_{0}| < ϵ.

Hieraus folgt für |z − z_{0}| < ϵ:

|f(z)| = |z − z_{0}|^{−n}|g(z)| > \frac{|g(z_{0})|}{z}|z − z_{0}|^{−n},

und daher lim_{z→z_{0}} |f(z)| = ∞. ⇒) Da lim_{z→z_{0}} |f(z)| = ∞ ist, existiert eine Umgebung V ⊂ U von z_{0} mit f(z) ≠ 0 für alle z ∈ V \ {z_{0}}. Sei h(z) = 1/f(z), z ∈ V \ {z_{0}}. Dann ist h : V \ {z_{0}} → ℂ holomorph und lim_{z→z_{0}} |h(z)| = 0. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz kann h durch 0 zu einer holomorphen Funktion h̃ : V → ℂ fortgesetzt werden. Daher existieren n ∈ ℕ und eine holomorphe Funktion H : V → ℂ mit H(z_{0}) ≠ 0 und

h̃(z) = (z − z_{0})^{n}H(z).

Sei ϵ > 0 so, daß H(z) ≠ 0 für |z − z_{0}| < ϵ. Sei g(z) = 1/H(z) für z ∈ B_{ϵ}(z_{0}). Dann ist g(z_{0}) ≠ 0 und

f(z) = (z − z_{0})^{−n}g(z).
□

Definition 13.4. Sei n wie in Satz 13.3. n heißt Ordnung des Poles z_{0}.

Satz 13.5. Eine isolierte Singularität z_{0} von f : U \ {z_{0}} ist genau dann wesentlich, wenn für alle w_{0} ∈ ℂ eine Folge (z_{k}) in U \ {z_{0}} existiert mit lim_{k→∞} z_{k} = z_{0} und lim_{k→∞} f(z_{k}) = w_{0}.

Beweis: ⇐) klar. ⇒) Sei w ∈ ℂ. Wir nehmen an, daß r > 0 und ϵ > 0 existieren mit

|f(z) − w| ≥ ϵ für alle 0 < |z − z_{0}| < r.

Sei

g(z) := \frac{1}{f(z) − w}, z ∈ B_{r}(z_{0}) \ \{z_{0}\}.

Dann ist g : B_{r}(z_{0}) \ {z_{0}} → ℂ holomorph. Weiter ist

|g(z)| ≤ |f(z) − w|^{−1} ≤ ϵ^{−1},

d.h., g hat eine hebbare Singularität in z_{0}. Sei lim_{z→z_{0}} |g(z)| ≠. Dann ist

lim_{z→z_{0}} f(z) = lim_{z→z_{0}} \frac{1}{g(z)} + w = \frac{1}{g(z_{0})} + w

und daher hat f eine hebbare Singularität in z_{0}. Sei lim_{z→z_{0}} g(z) = 0. Dann ist

lim_{z→z_{0}} |f(z)| = lim_{z→z_{0}} |\frac{1}{g(z)} + w| = ∞,

d.h., z_{0} ist ein Pol von f. Dies ist ein Wiederspruch zur Voraussetzung, daß z_{0} eine wesentliche Singularität ist.

□

Satz 13.6. Es sei f : B_{r}(z_{0}) \ {z_{0}} holomorph und

f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n}

die Laurententwicklung von f in z_{0}. Dann gilt:

1) z_{0} ist hebbare Singularität von f genau dann, wenn a_{n} = 0 für alle n < 0.

2) z_{0} ist Pol genau dann, wenn eine k ∈ ℕ existiert mit a_{−k} ≠ 0 und a_{n} = 0 für alle n < −k.

3) z_{0} ist wesentliche Singularität, genau dann, wenn a_{k} ≠ 0 für unendlich viele k < 0.

Beweis: Übung!

Meromorphe Funktionen

Definition 13.7. Es sei U ⊂ ℂ offen, P ⊂ U eine diskrete Teilmenge und f : U \ P → ℂ holomorph. Wenn alle z_{0} ∈ P Pole von f sind, so heißt f eine meromorphe Funktion auf U.

Satz 13.8. f ist meromorph auf U genau dann, wenn für alle z_{0} ∈ U eine Umgebung V ⊂ U von z_{0} und holomorphe Funktionen g, h : V → ℂ existieren so, daß

f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}, z ∈ V.

Beweis: ⇐) Sei V ⊂ ℂ offen und seien g, h : V → ℂ holomorph. Sei z_{0} ∈ V. Dann existieren n, m ∈ ℕ_{0} und holomorphe Funktionen g̃, h̃ : V → ℂ mit g̃(z_{0}) ≠ 0, h̃(z_{0}) ≠ 0, und g(z) = (z − z_{0})^{m}g̃(z), h(z) = (z − z_{0})^{n}h̃(z). Sei f(z) = g(z)/h(z) und f̃(z) = g̃(z)/h̃(z). Sei r > 0 so, daß h̃(z) ≠ 0 für alle z ∈ B_{r}(z_{0}). Dann ist f̃: B_{r}(z_{0}) → ℂ holomorph und

f(z) = (z − z_{0})^{m−n}f̃(z), z ∈ B_{r}(z_{0}) \ {z_{0}}.

Daher hat f höchstens einen Pol in z_{0}. ⇒) Wenn z_{0} kein Pol von f ist, so ist g = f und h ≡ 1. Sei z_{0} Pol der Ordnung n von f. Dann gilt für |z − z_{0}| < ϵ:

f(z) = \frac{g(z)}{(z − z_{0})^{n}} .

□

Seien f, g meromorphe Funktionen auf U. P_{f}, P_{g} ⊂ U seien die Pole von f bzw. g. Wir definieren

(f + g)(z) = f(z) + g(z), z ∈ U \ (P_{f} ∪ P_{g}).

Dann ist f + g meromorph auf U. Ebenso wird f · g definiert. f · g ist ebenfalls meromorph. Wenn g ≢ 0, so ist 1/g meromorph.

Definition 13.9. Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet. Dann sei M(G) die Menge der in G meromorphen Funktionen.

Satz 13.10. M(G) ist ein Körper.

Beweis: Übung!

Riemannsche Zahlenkugel

Es sei ℂ̂ = ℂ ∪ {∞}. Es sei S^{2} = {x ∈ ℝ^{3} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1} die 2-dimensionale Einheitsspäre und

σ : ℂ̂ ⟶^{∼} S^{2}

die stereographische Projektion. Dadurch kann man die Topologie von ℂ zu einer Topologie von ℂ̂ forsetzen.

Definition 13.11. Eine Teilmenge M ⊂ ℂ̂ heißt Umgebung von ∞, wenn eine kompakte Teilmenge K ⊂ ℂ existiert mit ℂ\K ⊂ M. M ⊂ ℂ̂ heißt Umgebung von z ∈ ℂ, wenn ein ϵ > 0 existiert mit B_{ϵ}(z) ⊂ M.

Es sei (z_{n}) eine Folge in ℂ̂. Dann gilt:

z_{n} → ∞ ⇔ ∀N ∈ ℕ : ∃n_{0}ℕ : |z_{n}| ≥ N für alle n ≥ n_{0}.

Sei f meromorph auf U und sei a ∈ U ein Pol von f. Dann setzen wir

f(a) := ∞.

Damit erhlaten wir eine Abbildung f : U → ℂ̂.

Satz 13.12. Sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ̂ Abb. f ist eine meromorphe Funktion auf U ⇔ 1) f stetig 2) f^{−1}(∞) diskret in U 3) f : U \ f^{−1}(∞) → ℂ ist holomorph.

14. Der Residuensatz

Umlaufzahl einer Kurve

Für n ∈ ℤ sei γ_{n} : [0, 1] → ℂ die Kurve, die definiert ist durch

γ_{n}(t) = re^{int}.

Für n > 0 umläuft γ_{n} jeden Punkt z ∈ B_{r}(0) n-mal in positiver Richtung und für n < 0, |n|-mal in negativer Richtung. Andererseits ist

\frac{1}{2πi} ∫_{γ_{n}} \frac{1}{ζ}dζ = \frac{1}{2πi} ∫_{0}^{1} γ(t)^{−1}γ̇(t)dt = n.

Wir können daher das Integral

\frac{1}{2πi} ∫_{γ_{n}} \frac{1}{ζ}dζ

als Umlaufzahl von γ_{n} interpretieren. Wir verallgemeinern dies für eine beliebige geschlossene Kurve γ. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen. Es sei f : U → ℂ holomorph. Jede holomorphe Funktion g : U → ℂ mit

e^{g(z)} = f(z), z ∈ U,

heißt holomorpher Logarithmus von f in U. Wenn f einen holomorphen Logarithmus besitzt, so hat f keine Nullstelle in U.

Lemma 14.1. Es sei G ⊂ ℂ ein konvexes Gebiet und f : G → ℂ^{×} sei holomorph. Es sei c ∈ G fixiert und γ_{z} : [0, 1] → G ein Weg mit γ_{z}(0) = c und γ_{z}(1) = z. Es sei b ∈ ℂ so, daß e^{b} = f(c). Dann ist

g(z) = ∫_{γ_{z}} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)}dζ + b

ein holomorpher Logarithmus von f.

Beweis: Da G konvex ist, ist das Integral unabhängig vom Weg. Es gilt fg′ = f′. Daraus folgt (fe^{−g})′ = 0. Daher existiert a ∈ ℂ mit

f = ae^{g}.

Wegen e^{g(c)} = f(c) ≠ 0 folgt a = 1.

□

Aus Lemma 14.1 folgt

f(z) = f(c) exp (∫_{γ_{z}} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)}dζ) .

Satz 14.2. Es sei U ⊂ ℂ offen und zusammenhängend und es sei f : U → ℂ^{×} holomorph. Sei c, z ∈ U. Für alle Integrationswege γ : [0, 1] → U mit γ(0) = c, γ(1) = z gilt:

f(z) = f(c) ∫_{γ} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)}dζ.

Beweis: Es sei γ : [0, 1] → U ein Integrationsweg mit γ(0) = c und γ(1) = z. Wir wählen endlich viele Punkte 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = 1 und Kreisscheiben B_{1}, …, B_{n} in U, so daß der Weg γ_{k} := γ | [t_{k−1}, t_{k}] in B_{k} verläuft. Aus Lemma 14.1 folgt

exp (∫_{γ_{k}} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)}dζ) = \frac{f(γ(t_{k}))}{f(γ(t_{k−1}))}, 1 ≤ k ≤ n.

Daraus folgt

exp (∫_{γ} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)}dζ) = ∏_{K=1}^{n} exp (∫_{γ_{k}} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)}dζ) = ∏_{k=1}^{n} \frac{f(γ(t_{k}))}{f(γ(t_{k−1}))} = \frac{f(z)}{f(c)}.

□

Korollar 14.3. Es sei f : U → ℂ^{×} holomorph und γ : [0, 1] → U sei ein geschlossener Integrationsweg. Dann gilt

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)}dζ ∈ ℤ.

Beweis: Auf Grund von Satz 14.2 gilt exp (∫_{γ} \frac{f′(ζ)}{f(ζ)}dζ) = 1.

□

Definition 14.4. Es sei γ : [0, 1] → ℂ ein geschlossener Integrationsweg. Für z ∈ ℂ \ γ([0, 1]) sei

n(γ, z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{dζ}{ζ − z} dζ.

Satz 14.5. Es sei γ ein geschlossener Integrationsweg in ℂ. Dann gilt: 1) ∀z ∈ ℂ \ tr(γ) : n(γ) ∈ ℤ.

2) Die Funktion z ∈ ℂ \ tr(γ) ⟼ n(γ, z) ist lokal konstant.

3) Sei γ̃ ein geschlossener Weg in ℂ mit dem selben Anfangspunkt wie γ. Dann ist

n(γ + γ̃, z) = n(γ, z) + n(γ̃, z), z ∈ ℂ \ tr(γ + γ̃).

Insbesondere gilt n(−γ, z) = −n(γ, z) für z ∈ ℂ \ tr(γ).

Beweis: 1) folgt aus Korollar 14.3 mit f(ζ) = ζ − z.

2) n(γ, z) ist stetig in z. (Übung!)

3) Ist klar.

□

Die Mengen

Int(γ) := {z ∈ ℂ \ tr(γ) | n(γ, z) ≠ 0}

und

Ext(γ) := {z ∈ ℂ \ tr(γ) | n(γ, z) = 0}

heißen das Innere bzw. Äußere von γ.

Satz 14.6. Es sei U ⊂ ℂ offen und γ : [0, 1] → U sei ein geschlossener Integrationsweg. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1) Für alle holomorphen Funktionen f : U → ℂ gilt

∫_{γ} f(ζ)dζ = 0.

2) Für alle holomorphen Funktionen f : U → ℂ gilt

n(γ, z)f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ, z ∈ U \ tr(γ).

3) Int(γ) ⊂ U.

Beweis: Siehe R. Remmert ”Funktionentheorie”, S.228.

□

Definition 14.7. Es sei γ : [0, 1] → U ein geschlossener Integrationsweg mit Int(γ) ⊂ U. Dann heißt γ nullhomolog in U. Wenn in U jeder geschlossene Integrationsweg nullhomolog ist, so heißt U homologisch einfach zusammenhängend.

Definition 14.8. Es sei U ⊂ ℂ offen, A ⊂ U diskret und f : U \ A → ℂ sei holomorph. Für z ∈ U sei r > 0 so, daß B_{r}(z) \ {z} ∩ A = ∅. Dann heißt

res_{z}f := \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−z|=r} f(ζ)dζ

das Residuum von f in z.

Aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt, daß für jeden nullhomologen geschlossenen Integrationsweg γ in U mit n(γ, z) = 1, der durch keine Singularität geht und außer z keine Singularität von f umläuft,

res_{z}f = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} f(ζ)dζ

gilt. Wenn f in z holomorph ist, so ist res_{z}f = 0. Allgemein sei

f(ζ) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}(ζ − z)^{n}

die Laurententwicklung von f in z. Da

\frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−z|=r}(ζ − z)^{n}dζ = \begin{cases}1, & n = −1; \\ 0, & n ≠ −1, \end{cases}

folgt

res_{z}f = a_{−1}.

Satz 14.9. (Residuensatz) Es sei U ⊂ ℂ offen, A ⊂ U diskret und f : U \ A → ℂ sei holomorph. Dann gilt für jeden nullhomologen geschlossenen Integrationsweg γ in U, der keinen Punkt von A durchläuft:

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} f(ζ)dζ = ∑_{z∈A} n(γ, z)res_{z}f.

Beweis: Da γ in einer relativ kompakten Teilmenge K ⊂ U enthalten ist, gibt es endlich viele z ∈ A mit n(γ_{i}, z) ≠ 0. Es seien z_{1}, …, z_{m} ∈ A die Singularitäten von f mit n(γ, z_{i}) ≠ 0. Es sei M = A \ {z_{1}, …, z_{m}}. Weiter sei h_{i}(z) der Hauptteil der Laurentreihe von f um z_{i}. Da h_{i} auf ℂ \ {z_{i}} holomorph ist, ist

f − ∑_{i=1}^{m} h_{i}

holomorph in U \M. Weil γ in U und daher auch in U \M nullhomolog ist, folgt aus Satz 14.6

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} f(ζ)dζ = ∑_{i=1}^{m} ∫_{γ} h_{i}(ζ)dζ.

Sei

h_{i}(z) = ∑_{n=−1}^{−∞} a_{in}(z − z_{i})^{n}.

Diese Reihe konvergiert gleichmäßig auf tr(γ). Daher ist

\begin{aligned}∫_{γ} h_{i}(ζ)dζ & = ∑_{n=−1}^{−∞} a_{in} ∫_{γ}(ζ − z_{i})^{n}dζ = a_{i,−1} ∫_{γ}(ζ − z_{i})^{−1}dζ \\ & = 2πi n(γ, z_{i})res_{z_{i}}f. \end{aligned}

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Ist U einfach zusammenhängend, so ist jede geschlossene Kurve in U nullhomotop und daher auch nullhomolog. Dann gilt

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} f(ζ)dζ = ∑_{z∈A} n(γ, z)res_{z}f

für jede geschlossene Kurve γ in U, die durch keine Singularitäten geht. In vielen Anwendungen ist der Integrationsweg γ eine berandete Kurve.

Definition 14.10. Sei U ⊂ ℂ offfen und γ : [0, 1] → U ein Integrationsweg. Wir sagen, daß γ die Teilmenge V ⊂⊂ U berandet, wenn gilt:

1) ∂V = tr(γ)

2) n(γ, z) = 1 für z ∈ V und n(γ, z) = 0 für z ∉ \overline{V}.

Randzyklen von relativ kompakten, offenen Teilmengen V ⊂ U sind in U nullhomolog. Daher gilt:

Definition 14.11. Es sei U ⊂ ℂ offen, A ⊂ U diskret und f : U \ A → ℂ sei holomorph. Es sei γ der Randzyklus von V ⊂⊂ U und sei tr(γ) ∩ A = ∅. Dann ist

∫_{γ} f(ζ)dζ = 2πi ∑_{z∈A} res_{z}f.

15. Partialbruchentwicklung meromorpher Funktionen

Es seien p(z) und q(z) Polynome. Dann ist

f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}

eine rationale Funktion. Insbesondere ist f eine meromorphe Funktion mit endlich vielen Polen z_{1}, …, z_{m}. Es sei z_{k} ein Pol von f und

h_{k}(z) = ∑_{i=1}^{n_{k}} \frac{a_{k,i}}{(z − z_{k})^{i}}

sei der Hauptteil der Laurententwicklung von f in z_{k}. Dann existiert ein Polynom r(z) mit

f(z) = ∑_{k=1}^{m} h_{k}(z) + r(z).

Dies ist die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion f. Wir möchten dies auf beliebige meromorphe Funktionen in ℂ verallgemeinern. Dazu müssen wir Reihen ∑_{k=1}^{∞} f_{k} meromorpher Funktionen f_{k} betrachten.

Definition 15.1. Es sei U ⊂ ℂ offen und (f_{k}) sei eine Folge meromorpher Funktionen in U. Die Reihe ∑_{k=1}^{∞} f_{k} konvergiert kompakt in U, wenn zu jeder kompakten Teilmenge K ⊂ U ein k_{0} ∈ ℕ existiert so, daß gilt:

1) Für alle k ≥ k_{0} ist f_{k} holomorph in U.

2) ∑_{k≥k_{0}} f_{k} konvergiert gleichmäßig auf K.

Sei ∑_{k=1}^{∞} f_{k} eine kompakt konvergente Reihe meromorpher Funktionen in U. Sei

P = {z ∈ ℂ | ∃k ∈ ℕ : z ist Pol von f_{k}}

die Menge aller Pole aller f_{k}. Dann ist P diskret in U und die durch

f(z) = ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(z)

in U \ P definierte Funktion ist meromorph auf U mit Polen oder hebbaren Singularitäten in P.

Satz 15.2. (Satz von Mittag-Leffler) Es sei z_{0} = 0, z_{1}, z_{2} … eine endliche oder unendliche Folge paarweise verschiedener komplexer Zahlen mit

|z_{k}| ≤ |z_{k+1}|, k ∈ ℕ_{0},

ohne Häufungspunkt in ℂ. Für jedes k ∈ ℕ_{0} sei

h_{k}(z) = ∑_{i=1}^{n_{k}} \frac{a_{k,i}}{(z − z_{k})^{i}}

Dann existieren Polynome P_{k}(z), k ∈ ℕ, so, daß die Reihe

f(z) = h_{0}(z) + ∑_{k=1}^{∞} (h_{k}(z) − P_{k}(z))

in ℂ kompakt konvergiert. f ist eine meromorphe Funktion mit den Polen z_{0}, z_{1} … und den Hauptteilen h_{k} in z_{k}, k ∈ ℕ_{0}. Für P_{k} kann man das Taylorpolynom von h_{k} um 0 von hinreichend hohem Grad wählen.

Beweis: Für k ∈ ℕ sei

r_{k} = \frac{1}{2}|z_{k}|, B_{k} = B_{r_{k}}(0).

Dann gilt

B_{1} ⊂ B_{2} ⊂ ⋯; ⋃_{k=1}^{∞} B_{k} = ℂ.

Der einzige Pol von h_{k} ist z_{k}. Daher ist h_{k} in einer Umgebung von \overline{B}_{k} holomorph. Es sei

h_{k}(z) = ∑_{j=0}^{∞} a_{j,k}z^{j}

die Taylorentwicklung von h_{k} in 0. Die Taylorreihe konvergiert gleichmäßig für |z| ≤ r_{k}. Daher existiert n_{k} ∈ ℕ mit

|h_{k}(z) − ∑_{j=0}^{n_{k}} a_{j,k}z^{j}| < 2^{−k}

für alle z ∈ B_{k}. Wir setzen

P_{k}(z) = ∑_{j=0}^{n_{k}} a_{j,k}z^{j}.

Es sei R > 0. Dann existiert k_{0} ∈ ℕ mit

B_{R}(0) ⊂ B_{k} für alle k ≥ k_{0}.

Daraus folgt, daß für k ≥ k_{0} die h_{k} holomorph in B_{R}(0) sind und die Abschätzung

|h_{k}(z) − P_{k}(z)| < 2^{−k}, z ∈ B_{R}(0),

gilt. Daher konvergiert die Reihe

∑_{k≥k_{0}} (h_{k}(z) − P_{k}(z))

gleichmäßig auf B_{R}(0). Damit haben wir gezeigt, daß

h_{0}(z) + ∑_{k=1}^{∞}(h_{k}(z) − P_{k}(z))

kompakt in ℂ konvergiert und eine meromorphe Funktion f auf ℂ definiert. Für R > 0 gilt

f(z) = h_{0}(z) + ∑_{k=1}^{k_{0}−1} (h_{k}(z) − P_{k}(z)) + ∑_{k=k_{0}}^{∞} (h_{k}(z) − P_{k}(z)) .

Die unendliche Reihe ist holomorph auf B_{R}(0). Daher sind die Hauptteile von f in den Polen, die in B_{R}(0) liegen, genau diejenigen h_{k}, für die z_{k} ∈ B_{R}(0) ist. Da R beliebig war, folgt daraus die Behauptung.

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Satz 15.3. (Partialbruchzerlegung) Es sei f eine in ℂ meromorphe Funktion mit den Polen z_{0}, z_{1}, z_{2}, …, 0 = |z_{0}| ≤ |z_{1}| ≤ |z_{2}| ≤ ⋯ Es sei h_{k}(z) der Hauptteil von f in z_{k}, k ∈ ℕ_{0}. Dann existiert eine Folge (n_{k}), n_{k} ≥ −1, und eine ganze Funktion h, so daß gilt: Es sei P_{k} das Taylorpolynom der Ordnung n_{k} von h_{k} in 0. Dann konvergiert die Reihe

g(z) = h_{0}(z) + ∑_{k=1}^{∞}(h_{k}(z) − P_{k}(z))

kompakt in ℂ und es ist

f(z) = h(z) + g(z).

Durch f und (n_{k}) ist h eindeutig bestimmt.

Beweis: Aus Satz 15.2 folgt, daß f − g eine ganze Funktion ist.

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Es seien (z_{k})_{k∈ℕ_{0}}, z_{0} = 0, und (c_{k}) Folgen in ℂ. Wir konstruieren eine meromorphe Funktion in ℂ mit einfachen Polen in z_{k} und Residuen c_{k} in z_{k}. Es sei |z_{k}| ≤ |z_{k+1}|, k ∈ ℕ_{0}, und lim_{k→∞} z_{k} = ∞. Wir setzen c_{k} ≠ 0 für k ≥ 1 voraus. Die Taylorentwicklung von (z − z_{k})^{−1} um 0 ist

\frac{1}{z − z_{k}} = −\frac{1}{z_{k}} \frac{1}{1 − \frac{z}{z_{k}}} = −\frac{1}{z_{k}} ∑_{i=0}^{∞} (\frac{z}{z_{k}} )^{i} .

Wir wählen n_{k} ∈ ℕ so, daß

|\frac{1}{z − z_{k}} + \frac{1}{z_{k}} ∑_{i=0}^{n_{k}} (\frac{z}{z_{k}} )^{i}| < \frac{2^{−k}}{|c_{k}|}

für |z| ≤ \frac{1}{2}|z_{k}|. Dann folgt

Satz 15.4.

f(z) = \frac{c_{0}}{z} + ∑_{k=1}^{∞} c_{k} [\frac{1}{z − z_{k}} + ∑_{i=0}^{n_{k}} \frac{z^{i}}{z_{k}^{i+1}} ]

ist eine meromorphe Funktion in ℂ mit einfachen Polen in z_{k}, k ∈ ℕ_{0}, und res_{zk}f = c_{k}.

Partialbruchentwicklung von π cot(πz).

Wir betrachten den Fall z_{k} = k und c_{k} = 1, k ∈ ℤ. Für k ≠ 0 ist

|\frac{1}{z − k} + \frac{1}{k}| = \frac{|z|}{|k||z − k|}.

Sei |z| ≤ R und |k| > 2R. Dann ist |z − k| ≥ |k|/2 und daher

\frac{|z|}{|k||z − k|} ≤ \frac{2R}{k^{2}}.

Da ∑_{k=1}^{∞} k^{−2} < ∞, ist

f(z) = \frac{1}{z} + ∑_{k≠0} (\frac{1}{z − k} + \frac{1}{k})

kompakt konvergent und definiert daher eine meromorphe Funktion auf ℂ mit einfachen Polen in k ∈ ℤ und res_{k}f = 1. Weiter ist f(−z) = −f(z).

Satz 15.5. Es gilt

π cot(πz) = \frac{1}{2} + ∑_{k≠0} (\frac{1}{z − k} + \frac{1}{k}) .

Beweis: Die rechte Seite haben wir mit f(z) bezeichnet. Da π cot πz in ℂ \ ℤ holomorph ist und in k ∈ ℤ einen einfachen Pol mit Residuum 1 hat, ist

g(z) = π cot πz − f(z)

eine ganze Funktion. Weiter ist g(−z) = −g(z). Für π cot πz gilt die Verdopplungsformel

2π cot 2πz = π cot πz + π cot π (z + \frac{1}{2}) .

Es sei

s_{n}(z) = \frac{1}{z} + ∑_{k=1}^{n} (\frac{1}{z + k} + \frac{1}{z − k} ) .

Dann gilt

s_{n}(z) + s_{n}(z + 1/2) = 2s_{2n}(2z) + \frac{2}{2z + 2n + 1}.

Für n → ∞ erhält man daraus

2f(2z) = f(z) + f(z + 1/2).

Damit ist g(z) eine ganze Funktion, für die gilt g(−z) = −g(z) und

2g(2z) = g(z) + g(z + 1/2).

Insbesondere ist g(0) = 0. Wäre g ≢ 0, so existiert nach dem Maximumprinzip ein c ∈ ∂\overline{B_{2}(0)} mit |h(z)| < |h(c)| für alle z ∈ B_{2}(0). Da \frac{1}{2}c, \frac{1}{2}(c + 1) ∈ B_{2}(0), so folgt

|2h(c)| = |h (\frac{1}{2}c) + h (\frac{1}{2}(c + 1)) | ≤ |h (\frac{1}{2}c) | + |h (\frac{1}{2}(c + 1)) | < 2|h(c)|.

Dies ist ein Widerspruch zu h(c) ≠ 0. Also gilt

π cot πz = f(z).
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Durch Differentation erhält man

Satz 15.6. Es gilt

(\frac{π}{sin πz} )^{2} = ∑_{k∈ℤ} \frac{1}{(z − k)^{2}} .

16. Produktentewicklung ganzer Funktionen

Es sei p(z) ein Polynom vom Grade n ≥ 1. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, daß c ∈ ℂ, z_{1}, …, z_{r} ∈ ℂ und n_{1}, …, n_{r} ∈ ℕ existieren mit

p(z) = c ∏_{k=1}^{r}(z − z_{k})^{n_{k}}.

Wir möchten dieses Resultat für ganze Funktionen verallgemeinern. Dazu benötigen wir einige Resultate über unendliche Produkte.

Definition 16.1. 1) Sei (a_{k}) eine Folge in ℂ\{0}. Das Produkt ∏_{k=1}^{∞} a_{k} konvergiert und hat den Wert a, wenn

lim_{n→∞} ∏_{k=1}^{n} a_{k} = a

und a ≠ 0 gilt.

2) Sei (a_{k}) eine Folge in ℂ. Dann heißt ∏_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent, wenn a_{k} ≠ 0 für fast alle k und ∏_{a_{k}≠0} a_{k} existiert. Wenn wenigstens ein k existiert mit a_{k} = 0, so sei ∏_{k=1}^{∞} a_{k} = 0.

Wenn ∏_{k=1}^{∞} a_{k} konvergiert, so gilt lim_{k→∞} a_{k} = 1. Wir schreiben deshalb ein unendliches Produkt als

∏_{k=1}^{∞}(1 + u_{k}).

Notwendig für die Konvergenz ist lim_{k→∞} u_{k} = 0 und u_{k} ≠ −1 für fast alle k. Wir stellen einge einfache Resultate über konvergente Produkte zusammen.

Lemma 16.2. Für jedes k ∈ ℕ existiere ein Wert von log(1 + u_{k}) so, daß

∑_{k=1}^{∞} log(1 + u_{k})

konvergiert. Dann konvergiert ∏_{k=1}^{∞}(1 + u_{k}).

Beweis: Wenn ∑_{k=1}^{∞} log(1 + u_{k}) existiert, so ist wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion

lim_{n→∞} ∏_{k=1}^{n}(1 + u_{k}) = lim_{n→∞} ∏_{k=1}^{n} exp(log(1 + u_{k}))

= lim_{n→∞} exp (∑_{k=1}^{n} log(1 + u_{k})) = exp ∑_{k=1}^{∞} log(1 + u_{k}).

Lemma 16.3. Es sei (1 + u_{k}) ∉ ℝ^{−} für alle k ∈ ℕ und log bezeichne den Hauptwert des Logarithmus. Dann konvergiert ∑_{k=1}^{∞} log(1 + u_{k}) absolut genau dann, wenn ∑_{k=1}^{∞} u_{k} absolut konvergiert.

Beweis: Es gilt

log(1 + u) = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{u^{k}}{k} , |u| < 1.

Hieraus folgt

\frac{2}{3}|u| ≤ | log(1 + u)| ≤ \frac{4}{3}|u|,

für |u| ≤ 1/4. Daraus folgt die Behauptung.

□

Definition 16.4. Das Produkt ∏_{k=1}^{∞}(1 + u_{k}) heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ∑_{k=1}^{∞} u_{k} absolut konvergiert.

Definition 16.5. Es sei (f_{k}) eine Folge stetiger Funktionen auf einer offenen Menge U. Das Produkt ∏_{k=1}^{∞}(1 + f_{k}) konvergiert (punktweise) gegen die Funktion f : U → ℂ, wenn für alle z ∈ U gilt

∏_{k=1}^{∞}(1 + f_{k}(z)) = f(z).

Falls ∑ f_{k} absolut (lokal) gleichmäßig auf U konvergiert, so heißt ∏_{k=1}^{∞}(1+ f_{k}) absolut (lokal) gleichmäßig konvergent.

Lemma 16.6. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1) ∏_{k=1}^{∞}(1 + f_{k}) konvergiert absolut lokal gleichmäßig auf U.

2) Für jede kompakte Teilmenge K ⊂ U existiert k_{0} ∈ ℕ so, daß

∑_{k≥k_{0}} log(1 + f_{k})

auf K absolut gleichmäßig konvergiert.

Beweis: Die Behauptung folgt aus

\frac{2}{3}|f_{k}(z)| ≤ | log(1 + f_{k}(z)| ≤ \frac{4}{3}|f_{k}(z)|

für |f_{k}(z)| ≤ \frac{1}{4} und dem Majorantenkriterium. Weiterhin ist für beliebiges n ≥ k_{0}

\begin{aligned}∏_{k=1}^{n}(1 + f_{k}(z)) & = ∏_{k=1}^{k_{0}−1}(1 + f_{k}(z)) ∏_{k=k_{0}}^{n}(1 + f_{k}(z)) \\ & = ∏_{k=1}^{k_{0}−1}(1 + f_{k}(z)) exp (∑_{k=k_{0}}^{n} log(1 + f_{k}(z))) . \end{aligned}

Da exp lokal gleichmäßig stetig ist, folgt daß

lim_{n→∞} exp (∑_{k=k_{0}}^{n} log(1 + f_{k}(z)))

lokal gleichmäßig konvergiert.

□

Lemma 16.7. Es sei (f_{k}) eine Folge holomorpher Funktionen f_{k} : U → ℂ und ∏_{k=1}^{∞}(1 + f_{k}) konvergiere lokal gleichmäßig in U gegen f : U → ℂ. Dann ist f holomorph.

Beweis: Dies folgt aus dem Weierstraßschen Konvergenzsatz.

Definition 16.8. Eine Nullstellenverteilung in ℂ ist eine Menge N = {(a, n_{a})} von Paaren mit a ∈ ℂ und n_{a} ∈ ℕ, so daß |N| = {a | (a, n_{a}) ∈ N} diskret in ℂ ist.

Es sei f eine ganze Funktion. Seien z_{1}, z_{2}, … die Nullstellen von f und n_{k} = o_{z_{k}}(f), k ∈ ℕ, die Ordnung der Nullstelle z_{k}. Dann ist N_{f} = {(z_{k}, n_{k})} eine Nullstellenverteilung. Wir setzen

divf := N_{f}.

Satz 16.9. (Weierstraßscher Produktsatz) Es sei N = {(a_{0}, n_{0}), (a_{1}, n_{1}), … } eine Nullstellenverteilung mit 0 = |a_{0}| < |a_{1}| ≤ |a_{2}| ≤ · · ·. Es sei (p_{k}) eine Folge in ℕ so, daß die Reihe

∑_{k=1}^{∞} n_{k} [\frac{1}{z − a_{k}} + \frac{1}{a_{k}} ∑_{j=0}^{p_{k}} (\frac{z}{a_{k}} )^{j}]

lokal gleichmäßig konvergiert. Dann ist

f(z) : z^{n_{0}} ∏_{k=1}^{∞} [(1 − \frac{z}{a_{k}} ) exp (∑_{j=1}^{p_{k}+1} \frac{1}{j} (\frac{z}{a_{k}} )^{j})]^{n_{k}}

eine ganze Funktion mit N = divf.

Beweis: Es sei

0 = |a_{0}| < |a_{1}| ≤ |a_{2}| ≤ ⋯

Nach dem Satz von Mittag-Leffler existiert eine Folge (n_{k}) in ℕ so, daß

h(z) = ∑_{k=1}^{∞} n_{k} (\frac{1}{z − a_{k}} + \frac{1}{a_{k}} ∑_{j=0}^{p_{k}} (\frac{z}{a_{k}} )^{j}) = ∑_{k=1}^{∞} h_{k}(z).

eine meromorphe Funktion auf ℂ ist, deren Pole genau die a_{0}, a_{1}, ⋯ sind und deren Hauptteil in a_{k}

\frac{n_{k}}{z − a_{k}}

ist. Für k ∈ ℕ sei

u_{k}(z) = ((1 − \frac{z}{a_{k}} ) exp (∑_{j=0}^{p_{k}} \frac{1}{j + 1} (\frac{z}{a_{k}} )^{j+1}))^{n_{k}} .

Dann ist

u′_{k}/u_{k} = h_{k}.

Es sei R > 0. Wir wählen k_{0} ≥ 0 so, daß |a_{k}| > R für alle k ≥ k_{0}. Dann hat u_{k} für k ≥ k_{0} in B_{R}(0) keine Nullstellen. Deshalb existiert

v_{k}(z) = ∫_{0}^{z} \frac{u′_{k}(ζ)}{u_{k}(ζ)}dζ = ∫_{0}^{z} h_{k}(ζ)dζ

für z ∈ B_{R}(0) und es gilt

e^{v_{k}(z)} = u_{k}(z).

Da ∑ h_{k} konvergiert, konvergiert

∑_{k≥k_{0}} v_{k}(z) = ∑_{k≥k_{0}} log u_{k}(z)

gleichmäßig auf B_{R}(0). Daraus folgt, daß

∏_{k≥k_{0}} u_{k}(z)

gleichmäßig in B_{R}(0) konvergiert. Daher ist

u(z) = z^{n_{0}} ∏_{k=1}^{∞} u_{k}(z)

eine holomorphe Funktion. Weiter gilt

\frac{u′(z)}{u(z)} = \frac{n_{0}}{z} + ∑_{k=1}^{∞} h_{k}(z).

Nach dem Satz von Mittag-Leffler sind die Pole von u′/u genau die Punkte a_{0}, a_{1}, … und es gilt

res_{a_{k}} \frac{u′}{u} = n_{k}.

Dies bedeutet, daß u die Nullstellenverteilung N hat.

□

Satz 16.10. Es seien f und g ganze Funktionen. Dann ist divf = div g genau dann, wenn eine ganze Funktion h existiert so, daß

f = e^{h}g.

Beweis: Es sei η(z) = f(z)/g(z). Dann ist η eine ganze Funktion ohne Nullstellen. Nach Satz ?? existiert eine ganze Funktion h mit e^{h} = η.

□

Beispiele: 1) Sei f(z) = sin πz. Dann hat f einfache Nullstellen in k ∈ ℤ. Weiterhin konvergiert

∑_{k≠0} \frac{1}{z − k} + \frac{1}{k}

absolut und lokal gleichmäßig. Daher können wir im Weierstraßschen Produktsatz p_{k} = 0 wählen. Aus dem Weierstraßschen Produktsatz und Satz 16.10 folgt, daß eine ganze Funktion g_{0} existiert so, daß

sin πz = e^{g_{0}(z)}z ∏_{k≠0} (1 − \frac{z}{k} ) e^{z/k}.

Um g_{0} zu bestimmen, bilden wir die logarithmische Ableitung f′/f beider Seiten. Dies ergibt

π cot πz = g′_{0}(z) + \frac{1}{z} + ∑_{k≠0} (\frac{1}{z − k} + \frac{1}{k}) .

Aus Satz 15.5 folgt g′_{0} ≡ 0. Daher ist g_{0}(z) konstant. Weiter ist

lim_{z→0} \frac{sin πz}{z} = π.

Daraus folgt e^{g_{0}(z)} = π und wir erhalten Satz 16.11.

sin πz = πz ∏_{k≠0} (1 − \frac{z}{k} ) e^{z/k} = πz ∏_{k=1}^{∞} (1 − \frac{z^{2}}{k^{2}} ) .

Für z = 1/2 erhält man

1 = sin π/2 = \frac{π}{2} ∏_{k=1}^{∞} (1 − \frac{1}{(2k)^{2}} ) .

Daraus ergibt sich die Wallissche Produktdarstellung für π:

\frac{π}{2} = ∏_{k=1}^{∞} \frac{(2k)^{2}}{(2k − 1)(2k + 1)} = \frac{2 · 2}{1 · 3} · \frac{4 · 4}{3 · 5} · \frac{6 · 6}{5 · 7} ⋯

2) Durch Vergleich von Partialbruch- und Taylorentwicklung erhält man wichtige Zusammenhänge. Bekanntlich ist

\frac{z}{e^{z} − 1} = 1 − \frac{z}{2} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{B_{2k}}{(2k)!}z^{2k}.

Die Zahlen B_{2k} sind die Bernoullizahlen. Aus der Gleichung

(e^{z} − 1) (1 − \frac{z}{2} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{B_{2k}}{(2k)!}z^{2k}) = z

kann man die Bernoullizahlen rekursiv berechnen. Insbesondere sind alle B_{2k} rational. Für die ersten Bernoullizahlen erhält man

B_{2} = \frac{1}{6}, B_{4} = −\frac{1}{30}, B_{6} = \frac{1}{42}, B_{8} = −\frac{1}{30}, B_{10} = \frac{5}{66}, B_{12} = −\frac{691}{2730}.

Weiter ist

cot z = i\frac{e^{iz} + e^{−iz}}{e^{iz} − e^{−iz}} = i + \frac{2i}{e^{2iz} − 1}

und daher

z cot z = iz + \frac{2iz}{e^{2iz} − 1}

= iz + 1 − \frac{2iz}{2} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{B_{2k}}{(2k)!}(2iz)^{2k}

= 1 + ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} \frac{2^{2k}}{(2k)!}B_{2k}z^{2k}.

Daraus folgt

πz cot πz = 1 + ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} \frac{2^{2k}}{(2k)!}π^{2k}B_{2k}z^{2k}.

Andererseits ist nach Satz 15.5

πz cot πz = 1 + z ∑_{k≠0} (\frac{1}{z − k} + \frac{1}{k}) = 1 + z ∑_{k=1}^{∞} \frac{2z}{z^{2} − k^{2}} .

Aus

\frac{1}{z^{2} − k^{2}} = −\frac{1}{k^{2}} ∑_{j=0}^{∞} (\frac{z^{2}}{k^{2}} )^{j}

erhalten wir durch Einsetzen und Vertauschung der Summationsreihenfolge

πz cot πz = 1 + 2z^{2} ∑_{k=1}^{∞} (−\frac{1}{k^{2}} ∑_{j=0}^{∞} (\frac{z^{2}}{k^{2}} )^{j})

= 1 − 2 ∑_{j=1}^{∞} (∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2j}} ) z^{2j}

= 1 − 2 ∑_{j=1}^{∞} ζ(2j)z^{2j}.

Durch Vergleich mit der Taylorreihe erhalten wir

Satz 16.12. (Eulersche Relation)

ζ(2j) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2j}} = (−1)^{j+1} \frac{2^{2j−1}}{(2j)!} B_{2j}π^{2j}.

Insbesondere ist

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} ; ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} = \frac{π^{4}}{90}; ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{6}} = \frac{π^{6}}{945}.