INFINITESIMALRECHNUNG III

WERNER MÜLLER

Inhaltsverzeichnis

1. Gewöhnliche Differentialgleichungen 2 1.1. Reduktion auf Systeme 1. Ordnung 6 1.2. Vektorfelder und Integralkurven 7 1.3. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 10 1.4. Maximale Integralkurven 19 1.5. Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 22 1.6. Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 28 1.7. Anwendung auf Schwingungsprobleme 35 Literatur 36 2. Maß- und Integrationstheorie 37 2.1. Einleitung 37 2.2. Das Rechnen in \overline{ℝ} 39 2.3. Meßräume 40 2.4. Maße 46 2.5. Fortsetzung von Maßen 49 2.6. Das Lebesguesche Maß im ℝ^{n} 56 2.7. Integration 72 2.8. Konvergenzsätze 87 2.9. Das Integral positiver Funktionen 93 2.10. Vergleich mit anderen Integralbegriffen 96 2.11. Produktmaße 98 2.12. Die Tranformationsformel 111 2.13. Zylinder-, Polar- und Kugelkoordinaten 117 2.14. Die L^{p}-Räume 121 3. Integration auf Untermannigfaltigkeiten des ℝ^{n} 123 3.1. Der Maßtensor einer Untermannigfaltigkeit 126 3.2. Der Integralsatz von Gauß 142 3.3. Die Greensche Formel 156 4. Pfaffsche Formen 157

Date: Wintersemester 1998.

2 WERNER MÜLLER

1. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Die mathematische Formulierung vieler Probleme in Naturwissenschaft und Technik führt häufig zu Differentialgleichungen. Dies sind Gleichungen, in denen endlich viele Ableitungen einer unbekannten Funktion auftreten. Es handelt sich jetzt nicht mehr wie bisher um Gleichungen zwischen Zahlen sondern um Gleichungen zwischen Funktionen. Die Gleichungen enthalten endlich viele Ableitungen einer oder mehrerer unbekannter Funktionen. Das Ziel ist es, die Gleichungen zu ”lösen“, d.h., die Funktionen zu bestimmen, die der entsprechenden Gleichung genügen. Im allgemeinen ist es jedoch nicht möglich, eine Differentialgleichung explizit zu lösen, d.h., die unbekannte Funktion durch elementare oder algebraische Funktionen und deren Integrale auszudrücken. In diesem Kapitel lernen wir einige Grundzüge der Lösungstheorie für gewöhnliche Differentialgleichungen kennen. Beispiele: 1. Beim senkrechten Wurf eines Körpers der Masse m nach oben unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes F_{W} wirken das Gewicht G des Körpers und der Luftwiderstand der Bewegung entgegen. Somit gilt für die Geschwindigkeit v des Körpers nach dem 2. Newtonschen Gesetz

m\frac{dv}{dt} = −F_{W} − G.

Sei g die Erdbeschleunigung. Dann ist G = mg. Weiter ist F_{W} = av^{2}, wobei a eine Konstante ist, die von der Form des Körpers abhängt. Daraus erhält man die folgende Differentialgleichung für v

m\frac{dv}{dt} + av^{2} + mg = 0.

2. Auf eine elastisch aufgehängte Masse m wirke nach erfolgter Auslenkung x eine Dämpfungskraft F_{D} = c\frac{dx}{dt}. Die nach dem Hookschen Gesetz der Bewegung der Masse entgegenwirkende Kraft ist F_{H} = kx. Daraus ergibt sich nach dem Newtonschen Gesetz

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0.

Dies ist eine Differentialgleichung für die Auslenkung x(t).

3. Ein mechanisches System mit m Freiheitsgraden q_{1}, …, q_{m} sei durch die Lagrangefunktion

L(t, q, q̇)

gegeben. Die Bewegungsgleichungen des mechanischen Systems sind die Euler-Lagrange Gleichungen

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} − \frac{∂L}{∂q_{k}} = 0, k = 1, …, m.

Dies ist ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung. Als Lösung erhält man die physikalische Bahnkurve.

4. Es sei

H(t, q, p) = ∑_{k=1}^{m} p_{k}q̇_{k} − L(t, q, q̇)

die Hamiltonfunktion des obigen Systems. Die kanonischen Gleichungen des mechanischen Systems sind gegeben durch

\frac{dq_{k}}{dt} = \frac{∂H}{∂p_{k}} , \frac{dp_{k}}{dt} = −\frac{∂H}{∂q_{k}} , k = 1, …, m

Dies ist ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung.

5. Die Wärmeausbreitung in einem homogen Medium wird durch die Gleichung

\frac{∂}{∂t}u = a^{2}Δu + f

beschrieben. Dabei ist

Δ = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}}

der Laplaceoperator des R^{n}. Im Gegensatz zu den bisherigen Beispielen treten jetzt neben der Ableitung nach der Zeit auch Ableitungen in den räumlichen Koordinaten auf. Dies ist eine lineare partielle Differentialgleichung. Allgemeiner werden Prozesse der Wärmeausbreitung und der Diffusion in einem Medium durch die sogenannte Diffusionsgleichung beschrieben:

ρ\frac{∂u}{∂t} = div(p gradu) − qu + F (x, t).

Die Koeffizienten ρ, p und q werden durch das Medium bestimmt und F (x, t) bezeichnet die äußeren Kräfte. Bei dieser Gleichung handelt es sich wiederum um eine lineare partielle Differentialgleichung.

6. Die ungleichförmige Bewegung einer viskosen inkompressiblen Flüssigkeit wird durch die folgenden Gleichungen beschrieben:

\begin{aligned}ρ (\frac{∂v}{∂t} + v · ∇v) − μΔv + ∇p & = F (x, t), \\ div v & = 0. \end{aligned}

Das ist die Navier-Stokes-Gleichung. Dabei ist ρ die Dichte, μ > 0 der Viskositätskoeffizient, v = v(x, t) = (v_{1}(x, t), v_{2}(x, t), v_{3}(x, t)) der Geschwindigkeitsvektor, p = p(x, t) der Druck und F die äußere Kraft. Weiter ist

v · ∇v = ∑_{i=1}^{3} v_{i} \frac{∂v}{∂x_{i}} ,

Δ = ∑_{i=1}^{3} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}}

ist der Laplaceoperator,

∇ = (\frac{∂}{∂x_{1}} , \frac{∂}{∂x_{2}} , \frac{∂}{∂x_{3}} )

ist der Gradientenoperator, und

div v = ∑_{i=1}^{3} \frac{∂v_{i}}{∂x_{i}}

die Divergenz des Vektorfeldes v. Wegen des Termes v · ∇v ist die Navier-Stokes-Gleichung eine nichtlineare partielle Differentialgleichung. Dies ist der schwierigste Typ von Differentialgleichungen.

Gewöhnliche Differentialgleichungen kann man sowohl für reellwertige als auch für komplexwertige Funktionen betrachten. Mit Hilfe der Identifikation ℂ = ℝ ⊕ ℝ kann man jede Differentialgleichung über ℂ auf ein System von Differentialgleichungen über ℝ zurückführen. Wir beschränken uns deshalb auf die Diskussion des reellen Falles. Viele Resultate gelten völlig analog im komplexen Fall und können einfach übertragen werden. In manchen Fällen ist es jedoch von Vorteil, zur Behandlung bestimmter Differentialgleichungen zu den komplexen Zahlen überzugehen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung hat im allgemeinen die Form

\frac{d^{n}f}{dt^{n}} (t) = F (t, f(t), f′(t), …, f^{(n−1)}(t)), t ∈ I.  (1.1)

Dabei ist I ⊂ ℝ ein Intervall und F : I × ℝ^{n} → ℝ eine Funktion. Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine n-mal differenzierbare Funktion f : I → ℝ so, daß (1.1) gilt. Im allgemeinen muß keine Lösung existieren. Oft sind noch sogenannte Anfangswerte t_{0} ∈ I und (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} vorgegeben. Gesucht ist dann eine Lösung f von (1.1), für die die Anfangsbedingungen

f(t_{0}) = x_{1}, f′(t_{0}) = x_{2}, …, f^{(n−1)}(t_{0}) = x_{n}  (1.2)

erfüllt sind. Die Differentialgleichung (1.1) zusammen mit den Anfangsbedingungen (1.2) nennt man ein Anfangswertproblem. Wenn es sich bei der Gleichung (1.1) zum Beispiel um die Beschreibung eines physikalischen Vorganges handelt, so sind die Anfangswerte durch den Anfangszustand des entsprechenden physikalischen Systems festgelegt. In Beispiel 2 sind das der Anfangswert x(t_{0}) und die Anfangsgeschwindigkeit x′(t_{0}), die gegeben sein müssen. Häufig hat man es nicht nur mit einer einzelnen Differenialgleichung zu tun, sondern wie in den Beispielen 3 und 4 mit einem System von gew öhnlichen Differentialgleichungen. In impliziter Form hat ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen im allgemeinen die Form

\begin{matrix}F_{i}(t, f_{1}(t), f′_{1}(t), …, f_{1}^{(m_{1})}(t), ..., f_{n}(t), f′_{n}(t), …, f_{n}^{(m_{n})}(t)) & = 0, \\ i = 1, ..., n. \end{matrix}(1.3)

Es sei f = (f_{1}, …, f_{n}). Eine Lösung von (1.3) ist eine m_{n}-mal differenzierbare Abbildung f : I → ℝ^{n} so, daß (1.3) gilt. In einfachen Fällen kann man Differentialgleichungen direkt durch Integration lösen. Man spricht deshalb auch von der Integration einer Differentialgleichung, wenn man sie löst. Beispiele: 1. f′ = cf. O.B.d.A. kann man annehmen, daß f(x) ≠ 0 für alle x ∈ ℝ ist. Andernfalls folgt leicht, daß f = 0. Dann gilt

(log f)′ = \frac{f′}{f} = c.

Daraus folgt

log f = cx + b, b ∈ ℝ.

Somit hat die allgemeine Lösung die Gestalt

f(x) = Ce^{cx}, C ∈ ℂ.

2. \frac{d^{2}s}{dt^{2}} = g.

Durch 2-malige Integration erhält man

s(t) = \frac{g}{2}t^{2} + at + b

a, b ∈ ℝ, als allgemeine Lösung.

Im allgemeinen ist es natürlich nicht möglich, Differentialgleichungen auf diesem Wege zu lösen.

1.1. Reduktion auf Systeme 1. Ordnung. Wir ordnen der Differentialgleichung (1.1) das folgende System von Differentialgleichungen 1. Ordnung zu:

φ′_{1}(t) = φ_{2}(t), ; φ′_{2}(t) = φ_{3}(t), ; ⋮ ; φ′_{n−1}(t) = φ_{n}(t), ; φ′_{n}(t) = F (t, φ_{1}(t), …, φ_{n}(t)).  (1.4)

Es sei φ : I → ℝ eine Lösung von (1.1). Dann ist φ n-mal differenzierbar. Wir definieren die Funktionen φ_{i} : I → ℝ rekursiv durch

φ_{1} = φ und φ_{i+1} = φ′_{i}, i = 1, …, n − 1.

Dann sind φ_{1}, …, φ_{n} : I → ℝ differenzierbar und φ = (φ_{1}, …, φ_{n}) ist eine Lösung des Systems (1.4). Es sei umgekehrt φ : I → ℝ^{n}, φ = (φ_{1}, …, φ_{n}), eine Lösung von (1.4). Dann sind die Funktionen φ_{i} : I → ℝ, i = 1, …, n, differenzierbar und es gilt

φ_{k} = φ_{1}^{(k−1)}, k = 1, …, n

und

\begin{aligned}φ_{1}^{(n)}(t) & = F (t, φ_{1}(t), …, φ_{n}(t)) \\ & = F (t, φ_{1}(t), φ′_{1}(t), …, φ_{1}^{(n−1)}(t)), t ∈ I, \end{aligned}

d.h., φ_{1} : I → ℝ ist eine Lösung von (1.1). Wenn weiterhin Anfangswerte (t_{0}, x_{0}, …, x_{n−1}) für (1.1) gegeben sind, d.h., es gilt

φ_{1}^{(k)}(t_{0}) = x_{k}, k = 0, …, n − 1,

so entspricht dies den Anfangswerten.

φ_{k}(t_{0}) = x_{k−1}, k = 1, …, n,

des Systems (1.4). Damit haben wir folgenden Satz gezeigt.

Satz 1.1. Die Differentialgleichung (1.1) ist äquivalent zu dem System (1.4) von n Differentialgleichungen erster Ordnung in dem Sinne, daß für eine Lösung φ von (1.1) der Vektor (φ, φ′, φ′′, ..., φ^{(n−1)}) eine Lösung von (1.4) ist und umgekehrt, wenn (φ_{1}, ..., φ_{n}) eine Lösung von (1.4) ist, so ist φ_{1} eien Lösung von (1.1).

Ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung hat im allgemeinen die Gestalt

f′(t) = F (t, f(t)).  (1.5)

Dabei ist F : I × U → ℝ^{n} eine Abbildung, die auf dem kartesischen Produkt eines Intervalls I ⊂ ℝ und einer Teilmenge U ⊂ ℝ^{n} definiert ist. Dabei kann U z.B. eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit sein. Man nennt U den Phasenraum der Differentialgleichung. Eine Lösung ist eine differenzierbare Abbildung f : I → U so, daß (1.5) gilt. Das entsprechende Anfangswertproblem hat die Form

f′(t) = F (t, f(t)), f(t_{0}) = x_{0},  (1.6)

wobei t_{0} ∈ I und x_{0} ∈ U gegeben sind. Allgemeiner kann man den erweiterten Phasenraum betrachten. Dann ist U ⊂ ℝ × ℝ^{n} und F : U → ℝ.

1.2. Vektorfelder und Integralkurven. Die Differentialgleichung (1.5) kann man geometrisch interpretieren. Dazu führen wir den Begriff eines Vektorfeldes ein.

Definition 1.2. Es sei U ⊂ ℝ^{n} eine Teilmenge. Ein Vektorfeld auf U ist eine Abbildung v : U → ℝ^{n}. Wenn v eine C^{k}-Abbildung ist, so heißt v ein C^{k}-Vektorfeld.

Geometrisch deutet man ein Vektorfeld v dadurch, daß man sich an jedem Punkt x ∈ U den Vektor v(x) angeheftet denkt. Formal bedeutet dies, daß wir die Paare (x, v(x)), x ∈ U, betrachten. Physikalisch kann man ein Vektorfeld als das Geschwindigkeitsfeld einer zeitunabhängigen Strömung interpretieren, d.h., v(x) ist der Geschwindigkeitsvektor am Punkte x ∈ U. Beispiele: 1. Konstante Vektorfelder. Es sei v_{0} ∈ ℝ^{n} und v : U → ℝ^{n} sei die Abbildung v(x) = v_{0}.

2. Zentralfelder Es sei I ⊂ ℝ^{+} ein Intervall und K(I) die entsprechende Kugelschale mit Zentrum 0. Weiter sei a : I → ℝ eine Funktion und v : K(I) → ℝ^{n} sei definiert durch

v(x) = a(∥ x ∥) · x, x ∈ K(I)

Dies ist ein Zentralfeld. Ein Beispiel ist das Gravitationsfeld

v(x) = −\frac{x}{∥ x ∥^{3}} , x ∈ ℝ^{3} − \{0\}.

3. Rotationsfelder Auf einem Kreisring K(I) ⊂ ℝ^{2} mit Zentrum 0 sei

v(x) = a(∥ x ∥) · (−x_{2}, x_{1}),

wobei I ⊂ ℝ^{+} und a : I → ℝ eine Funktion ist.

4. Gradientenfelder Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ eine differenzierbare Funktion. Dann ist das Gradientenfeld grad fU → ℝ^{n} definiert durch

grad f(x) = (\frac{∂f}{∂x_{1}} (x), …, \frac{∂f}{∂x_{n}} (x)) , x ∈ U.

Definition 1.3. Es sei U ⊂ ℝ^{n}. Die Vektorfelder v_{1}, …, v_{n} : U → ℝ^{n} nennt man eine Basis der Vektorfelder auf U, wenn für alle x ∈ U die Vektoren v_{1}(x), …, v_{n}(x) eine Basis des ℝ^{n} bilden.

Es sei v_{1}, …, v_{n} ∈ ℝ^{n} eine Basis der Vektorfelder auf U und v : U → ℝ^{n} ein weiteres Vektorfeld. Dann existieren eindeutig bestimmte Funktionen f_{1}, …, f_{n} : U → ℝ so, daß

v(x) = ∑_{j=1}^{n} f_{j}(x)v_{j}(x), x ∈ U.

Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Offensichtlich ist die Menge der C^{1}-Vektorfelder gleich dem Raum C^{1}(U, ℝ^{n}) der C^{1}-Abbildungen v : U → ℝ^{n}. Dann ist C^{1}(U, ℝ^{n}) ein n-dimensionaler Vektorraum über C^{1}(U).

Definition 1.4. Es sei U ⊂ ℝ^{n} und v : U → ℝ^{n} ein Vektorfeld. Eine Integralkurve von v ist eine differenzierbare Kurve φ : I → U, die auf einem Intervall I ⊂ ℝ definiert ist so, daß gilt

\frac{dφ}{dt}(t) = v(φ(t)) für alle t ∈ I.

Deutet man v als Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit, so ist eine Integralkurve die mit Zeitplan versehene Bahnkurve eines mitgeführten Partikels. Beispiel: Wir betrachten das Rotationsfeld v(x, y) = (−y, x). Für eine Integralkurve φ = (φ_{1}, φ_{2}) gilt dann

φ′_{1} = −φ_{2}, φ′_{2} = φ_{1}.

Lösungen sind φ_{1}(t) = c cos t, φ_{2}(x) = c sin t. Die Integralkurven sind also die konzentrischen Kreise x^{2} + y^{2} = c^{2} mit Zentrum 0. Im geometrischen Sinne sind also die Lösungen des autonomen Differentialgleichungssystems

\frac{dφ}{dt}(t) = v(φ(t))

genau die Integralkurven des Vektorfeldes v. Bei gegebener Anfangsbedingung (t_{0}, x_{0}) bedeutet die Lösung des entsprechenden Anfangswertproblems, daß die Integralkurve φ : I → U zum Zeitpunkt t_{0} durch den Punkt x_{0} geht: φ(t_{0}) = x_{0}. Allgemeiner sei v : I ×U → ℝ^{n} eine C^{k}-Abbildung, wobei U ⊂ ℝ^{n} offen und I ⊂ ℝ ein Intervall ist. Für jedes t ∈ I ist dann v(t, ·) : U → ℝ^{n} ein Vektorfeld und wir können die Abbildung v als zeitabhängiges Vektorfeld interpretieren. Man nennt dies auch ein dynamisches System. Eine Integralkurve ist wiederum eine differenzierbare Abbildung φ : I → U so, daß

\frac{dφ}{dt} = v (t, φ(t)) für alle t ∈ I

gilt. Vektorfelder hängen eng mit dem Begriff der 1-parametrigen Transformationsgruppen von Diffeomorphismen zusammen.

Definition 1.5. Eine einparametrige Gruppe {g_{t} | t ∈ ℝ} von Diffeomorphismen einer offenen Menge U ⊂ ℝ^{n} ist eine differenzierbare Abbildung

g: ℝ × U → U, g(t, x) = g_{t}(x), t ∈ ℝ, x ∈ U,

so, daß gilt 1. ∀t ∈ ℝ: g_{t} : U → U ist ein Diffeomorphismus.

2. ∀t, s ∈ ℝ: g_{t+s} = g_{t} ∘ g_{s}.

3. g_{0} =Id.

Jede 1-parametrige Gruppe {g_{t} | t ∈ ℝ} von Diffeomorphismen von U erzeugt ein Vektorfeld v durch

v(x) = \frac{d}{dt}g_{t}(x)|_{t=0}.

Für x ∈ U sei φ : ℝ → U definiert durch

φ(t) = g_{t}(x), t ∈ ℝ.

Dann ist φ eine Integralkurve von

\frac{df}{dt} = v(f(t)),

die durch den Punkt x geht. Die 1-parametrige Gruppe {g_{t} | t ∈ ℝ} nennt man den Phasenfluß zum Vektorfeld v. Im allgemeinen existiert der Phasenfluß nur lokal, d.h., g_{t} ist nur für t ∈ I definiert und für t, s ∈ I mit t + s ∈ I gilt g_{t} ∘ g_{s} = g_{t+s}.

1.3. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. Es sei U ⊂ ℝ × ℝ^{n} eine offene Teilmenge und F : U → ℝ^{n} eine Abbildung. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen an F die Differentialgleichung

f′(t) = F (t, f(t))  (1.7)

Lösungen besitzt und ob diese durch die Vorgabe von Angangswerten eindeutig bestimmt sind. Beides muß im allgemeinen nicht der Fall sein. Eine Lösung von (1.7) ist eine differenzierbare Abbildung f : I → ℝ^{n} eines Intervalles I ∈ ℝ so, daß (t, f(t) ∈ U für alle t ∈ I und die Gleichung (1.7) gilt. Es sei (t_{0}, x_{0}) ∈ U. Dann lautet das entsprechende Anfangswertproblem

f′(t) = F (t, f(t)), f(t_{0}) = x_{0}.  (1.8)

Wir setzen jetzt voraus, daß F: U → ℝ^{n} eine stetige Abbildung ist. Die Konstruktion einer Lösung zu einem gegebenen Anfangswert (t_{0}, x_{0}) ∈ U führen wir auf die Lösung einer Integralgleichung zurück. Dazu führen wir noch folgenden Begriff ein. Es sei φ : [a, b] → ℝ^{n} eine stetige Abbildung und φ_{1}, …, φ_{n} seien die Komponenten von φ. Dann definieren wir das Integral von φ durch

∫_{a}^{b} φ(t)dt := (∫_{a}^{b} φ_{1}(t)dt, …, ∫_{a}^{b} φ_{n}(t)dt) .

Es sei (t_{0}, x_{0}) ∈ U und es sei f : I → ℝ^{n} eine Lösung von (1.7) mit f(t_{0}) = x_{0}. Aus dem Hauptsatz der Differential- und Intergralrechnung folgt dann

f(t) = ∫_{t_{0}}^{t} F (s, f(s))ds + x_{0}.  (1.9)

Dies ist eine Integralgleichung für die gesuchte Funktion f. Es sei umgekehrt f : I → ℝ^{n} eine stetige Funktion so, daß (t, f(t)) ∈ U für alle t ∈ I und (1.9) gilt. Dann folgt wiederum aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, daß f differenzierbar ist und (1.8) löst. Es genügt also, die Integralgleichung (1.9) zu lösen. Diese Gleichung interpretieren wir als Fixpunktgleichung im Raum C^{0}(I, ℝ^{n}) der stetigen Abbildungen von I nach ℝ^{n} und wenden zu ihrer Lösung den Banachschen Fixpunktsatz an. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen und Bezeichnungen. Es sei A ∈ Mat(n, ℝ). Dann sei

∥ A ∥= max_{i} ∑_{k=1}^{n} |a_{ik}|.

Definition 1.6. Es sei U ⊂ ℝ × ℝ^{n} offen und F : U → ℝ^{n} eine Abbildung. F heißt Lipschitz-stetig bezüglich x, wenn F stetig ist und ein L ≥ 0 existiert so, daß für alle Punkte (t, x), (t, x′) ∈ U gilt:

∥ F (t, x) − F (t, x′) ∥≤ L ∥ x − x′ ∥ .

F heißt lokal Lipschitz-stetig bezüglich x, wenn es zu jedem Punkt (t_{0}, x_{0}) ∈ U eine Umgebung U_{0} ⊂ U von (t_{0}, x_{0}) gibt, derart daß die Einschränkung F | U_{0} Lipschitz-stetig bezüglich x ist.

Das folgende Lemma ist ein hinreichendes Kriterium dafür, daß F lokal Lipschitz-stetig bezüglich x ist.

Lemma 1.7. Die Abbildung F : U → ℝ^{n} sei für alle (t, x) ∈ U nach x_{1}, …, x_{n} partiell differenzierbar, und die partiellen Ableitungen ∂_{x_{1}}F, …, ∂_{x_{n}}F seien auf U stetig. Dann ist F lokal Lipschitz-stetig bezüglich x. Genauer gilt: F ist Lipschitz-stetig bezüglich x auf jeder kompakten Teilmenge Q = I × K von U, wobei I ⊂ ℝ eine Intervall und K ⊂ ℝ^{n} eine konvexe Menge ist.

Beweis: Es seinen F_{1}, …, F_{n} die Komponenten von F. Weiter sei K ⊂ ℝ^{n} eine kompakte, konvexe Teilmenge und I ⊂ ℝ ein kompaktes Intervall so, daß Q = I × K ⊂ U. Dann existiert

M = max_{i,k} sup_{(t,x)∈I×K} |∂_{x_{i}}F_{k}(t, x)|.

und es gilt

sup_{(t,x)∈I×K} ∥ dF (t, x) ∥≤ nM.

Nach dem Schrankensatz ist L = nM eine Lipschitz-Konstante für F |Q.

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Lemma 1.8. Es sei g : I → ℝ setig und g ≥ 0 auf I. Es sei t_{0} ∈ I so, daß für alle t ∈ I gilt

g(t) ≤ A |∫_{t_{0}}^{t} g(s)ds| + B

mit von t unabhängigen Konstanten A, B ≥ 0. Dann gilt für alle t ∈ I

g(t) ≤ Be^{A|t−t_{0}|}.

Beweis: Es sei t > t_{0}. Wenn g(t) = 0 ist, so ist die Ungleichung richtig. Wir können daher g(t) > 0 voraussetzen. Es sei

G(t) := A ∫_{t_{0}}^{t} g(s)ds + B.

Dann ist G(t) > 0 und auf Grund der Voraussetzung ist

(ln G(t))′ = \frac{G′(t)}{G(t)} ≤ A.

Daraus folgt

G(t) ≤ G(t_{0})e^{A(t−t_{0})}.

Nun ist G(t_{0}) = B und auf Grund der vorausgesetzten Ungleichung ist g ≤ G. Daraus folgt die Behauptung. Der Fall t < t_{0} wird analog behandelt.

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Wir können jetzt die beiden Hauptsätze über dynamische Systeme beweisen.

Satz 1.9. (Eindeutigkeitssatz) Es sei U ⊂ ℝ × ℝ^{n} offen und F : U → ℝ^{n} sei lokal Lipschitz-stetig bezüglich x. Es seien φ_{1}, φ_{2} : I → ℝ^{n} zwei Lösungen von

f′(t) = F (t, f(t))

und für ein t_{0} ∈ I gelte φ_{1}(t_{0}) = φ_{2}(t_{0}). Dann gilt φ_{1}(t) = φ_{2}(t) für alle t ∈ I.

Beweis: Es sei I′ ⊂ I die Menge aller t ∈ I mit φ_{1}(t) = φ_{2}(t). Dann ist I′ ≠ ∅, und da φ_{1} und φ_{2} stetig sind, ist I′ abgeschlossen. Zu zeigen: I′ ist offen in I. Sei t_{0} ∈ I′. Dann existiert eine Umgebung J × V ⊂ U von (t_{0}, φ_{1}(t_{0})) so, daß F |J × V Lipschitz-stetig bezüglich x ist mit der Konstanten L. Sei ψ = φ_{2} − φ_{1}. Da ψ(t_{0}) = 0 ist, folgt aus (1.9) für alle t ∈ I ∩ J

ψ(t) = ∫_{t_{0}}^{t}(F (s, φ_{2}(s)) − F (s, φ_{1}(s))ds.

Wegen der Lipschitz-Stetigkeit von F |J × V folgt für alle t ∈ I ∩ J

∥ ψ(t) ∥≤ |∫_{t_{0}}^{t} ∥ F (s, φ_{2}(s)) − F (s, φ_{1}(s)) ∥ ds| ≤ L |∫_{t_{0}}^{t} ∥ ψ(s) ∥ ds| .

Aus Lemma 1.8 folgt ψ(t) = 0 für alle t ∈ I ∩ J, d.h., I ∩ J ⊂ I′. Daher ist I′ offen. Da I zusammenhängend ist, ist I′ = I.

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Bemerkung: Ohne die Lipschitz-Bedingung gilt der Eindeutigkeitssatz nicht. Beispiel: Es sei F : ℝ → ℝ definiert durch

F (x) = 2\sqrt{|x|}, x ∈ ℝ.

F ist in keiner Umgebung von 0 Lipschitz-stetig. Für s ≥ 0 sei

f_{s}(t) = \begin{cases}0, & t ≤ s; \\ (t − s)^{2}, & t ≥ s. \end{cases}

Dann ist f_{s} : ℝ → ℝ differenzierbar und es gilt

f′_{s}(t) = 2\sqrt{|f_{s}(t)|} = F (f_{s}(t)), t ∈ ℝ,

und f_{s}(0) = 0. Wir haben damit unendlich viele Lösungen für das AWP

f′(t) = F (f(t)), f(0) = 0,

gefunden.

Satz 1.10. (Picard-Lindelöf) Sei U ⊂ ℝ × ℝ^{n} offen und sei F : U → ℝ^{n} lokal Lipschitz-stetig bezüglich x. Dann gibt es zu jedem Punkt (t_{0}, x_{0}) ∈ U ein δ > 0, so daß das Anfangswertpoblem

f′(t) = F (t, f(t)), f(t_{0}) = x_{0},  (1.10)

auf I_{δ}(t_{0}) = (t_{0} − δ, t_{0} + δ) genau eine Lösung besitzt, d.h., es existiert genau eine differenzierbare Abbildung φ : I_{δ}(t_{0}) → ℝ^{n} so, daß (t, φ(t)) ∈ U für alle t ∈ I_{δ} und (1.10) gilt.

Beweis: Wir wählen a, b > 0 so, daß gilt

1. \overline{I}_{a}(t_{0}) × \overline{U}_{b}(x_{0}) ⊂ U,

2. F ↾ \overline{I}_{a}(t_{0}) × \overline{U}_{b}(x_{0}) ist Lipschitz-stetig bezüglich x. Wir setzen Q = \overline{I}_{a}(t_{0}) × \overline{U}_{b}(x_{0}). Es sei L die Lipschitz-Konstante von F | Q. Weiter sei δ > 0 so gewählt, daß

δ < min{a, L^{−1}, b ∥ F ∥_{Q}^{−1}}.  (1.11)

Wie wir oben gesehen haben genügt es, eine stetige Abbildung φ : I_{δ}(t_{0}) → ℝ^{n} zu konstruieren so, daß die Integralgleichung

φ(t) = x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} F (s, φ(s))ds  (1.12)

erfüllt ist. Wir führen die Konstruktion von φ auf den Banachschen Fixpunktsatz zurück. Dazu sei

M = \{ψ : I_{δ}(t_{0}) → \overline{U}_{b}(x_{0}) | ψ stetig\}.

Für ψ ∈ M sei die Abbildung P ψ : I_{δ}(t_{0}) → ℝ^{n} definiert durch

(P ψ)(t) = x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} F (s, ψ(s))ds.

Dann ist ψ stetig und es gilt

\begin{aligned}∥ (P ψ)(t) − x_{0} ∥ & = || ∫_{t_{0}}^{t} F (s, ψ(s))ds|| \\ & ≤ |∫_{t_{0}}^{t} ∥ F (s, ψ(s)) ∥ ds| ≤ δ ∥ F ∥_{Q}≤ b. \end{aligned}

Daraus folgt, daß P ψ ∈ M ist, d.h., P definiert eine Abbildung P : M → M. Mittels P lautet die Integralgleichung (1.12) jetzt P φ = φ. Die gesuchte Lösung ist ein Fixpunkt von P. Um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können, müssen wir in M eine Metrik einführen. Dies geschieht wie folgt: Für ψ_{1}, ψ_{2} ∈ M sei

d(ψ_{1}, ψ_{2}) = sup{∥ ψ_{1}(t) − ψ_{2}(t) ∥| t ∈ I_{δ}(t_{0})}.

Es ist leicht zu sehen, daß damit M zu einem metrischen Raum wird.

Lemma 1.11. (M, d) ist ein vollständiger metrischer Raum.

Beweis: Es sei (ψ_{k}) eine Cauchy-Folge in M. Für jedes t ∈ I_{δ}(t_{0}) ist dann

|ψ_{k}(t) − ψ_{l}(t)| ≤ d(ψ_{k}, ψ_{l}).

Daher ist (ψ_{k}(t)) eine Cauchy-Folge in \overline{U}_{b}(x_{0}). Da \overline{U}_{b}(x_{0}) kompakt ist, existiert ψ(t) ∈ \overline{U}_{b}(x_{0}) mit

ψ(t) = lim_{k→∞} ψ_{k}(t).

Da die Folge (ψ_{k}) gleichmäßig konvergiert, ist ψ : I_{δ}(t) → \overline{U}_{b}(x_{0}) auf Grund von Satz 6.43 aus Infini I stetig und daher liegt ψ in M. Weiter ist

lim_{k→∞} ψ_{k} = ψ,

wobei der Grenzwert bezüglich d zu verstehen ist. Damit haben wir gezeigt, daß (M, d) vollständig ist.

□

Weiter gilt für ψ_{1}, ψ_{2} ∈ M

d(P ψ_{1}, P ψ_{2}) = sup_{t∈I_{δ}(t_{0})} || ∫_{t_{0}}^{t}(F (s, ψ_{1}(s)) − F (s, ψ_{2}(s))ds||

≤ sup_{t∈I_{δ}(t_{0})} |∫_{t_{0}}^{t} ∥ F (s, ψ_{1}(s)) − F (s, ψ_{2})) ∥ ds|

≤ sup_{t∈I_{δ}(t_{0})} |∫_{t_{0}}^{t} L ∥ ψ_{1}(s) − ψ_{2}(s) ∥ ds|

≤ δL · d(ψ_{1}, ψ_{2}).

Auf Grund der Wahl von δ gilt δL < 1. Damit haben wir gezeigt, daß P : M → M eine Kontraktion ist. Der Banachsche Fixpunktsatz kann daher angewendet werden. Aus diesem Satz folgt, daß es genau ein φ ∈ M gibt mit P φ = φ. Dieses φ löst das Anfangswertproblem.

□

Bemerkung: Aus dem Banachschen Fixpunktsatz folgt, daß man die Lösung φ des Anfangswertproblems durch Iteration von P mit beliebigem Startpunkt erhält. Es sei z.B. φ_{0} die konstante Abbildung φ_{0} = x_{0}. Wir definieren rekursiv

φ_{k+1} = P (φ_{k}), k ∈ ℕ_{0}.

Dann konvergiert die Folge (φ_{k}) auf I_{δ}(t_{0}) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion φ, die Lösung von (1.10) ist. Dies ist die Picard-Lindelöf-Iteration zur Konstruktion von φ:

φ_{0} := x_{0}, φ_{k+1}(t) := x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} F (s, φ_{k}(s))ds, k ∈ ℕ_{0}.

Beispiel: Es sei v : ℝ^{2} → ℝ^{2} das Rotationsfeld:

v(x, y) = (−y, x).

Wir betrachten das AWP

\begin{matrix}x′0 − y, & x(0) = 1, \\ y′ = x, & y(0) = 0. \end{matrix}

Die Anwendung der Picard-Lindelöf-Iteration ergibt

φ_{1}(t) = \binom{1}{0} + ∫_{0}^{t} \binom{0}{1}ds = \binom{1}{t},
φ_{2}(t) = \binom{1}{0} + ∫_{0}^{t} \binom{−s}{1}ds = \binom{1 − t^{2}/2}{t},
φ_{3}(t) = \binom{1}{0} + ∫_{0}^{t} \binom{−s}{1 − s^{2}/2}ds = \binom{1 − t^{2}/2}{t − t^{3}/3!}
⋮

φ_{2k+1}(t) = \binom{1 − t^{2}/2 + ⋯ + (−1)^{k}t^{2k}/(2k)!}{t − t^{3}/3! + ⋯ + (−1)^{k}t^{2k+1}/(2k + 1)!}.

Die Komponenten von φ_{2k+1} sind die Taylorpolynome der Odrnung 2k + 1 von cos t bzw. sin t. Damit folgt, daß

φ(t) = \binom{cos t}{sin t}

die Lösung des AWP ist.

□

Aus dem Beweis von Satz 1.10 folgt: Zu jedem Punkt (t_{0}, x_{0}) ∈ U existieren δ > 0 und r > 0 so, daß für alle x ∈ U_{r}(x_{0}) das Anfangswertproblem

f′(t) = F (t, f(t)), f(t_{0}) = x,

eine eindeutige Lösung

φ_{x}: I_{δ}(t_{0}) → U_{2r}(x_{0})

besitzt. Wir erhalten damit eine Abbildung

φ : I_{δ}(t_{0}) × U_{r}(x_{0}) → U_{2r}(x_{0}),

die definiert ist als

φ(t, x) = φ_{x}(t).

Dies ist der lokale Fluß des dynamischen Systems. Für jedes x ∈ U_{δ}(x_{0}) ist t ∈ I_{δ}(t_{0}) → φ(t, x) die Bahnkurve, die durch x verläuft. Wir untersuchen jetzt die Abhängigkeit der Lösungskurve von der Anfangsbedingung.

Satz 1.12. Für alle t ∈ I_{δ}(t_{0}) und x, y ∈ U_{r}(x_{0}) gilt

∥ φ(t, x) − φ(t, y) ∥≤ e^{L|t−t_{0}|} ∥ x − y ∥ .

Beweis: Es seien x, y ∈ U_{r}(x_{0}). Wir setzen

v(t) =∥ φ(t, x) − φ(t, y) ∥^{2}, t ∈ I_{δ}(t_{0}).

Dann gilt

v′(t) = 2 ⟨φ(t, x) − φ(t, y), F (t, φ(t, x)) − F (t, φ(t, y))⟩ .

Daraus folgt

\begin{aligned}|v′(t)| & ≤ 2v(t)^{1/2} ∥ F (t, φ(t, x)) − F (t, φ(t, y)) ∥ \\ & ≤ 2v(t)^{1/2}L ∥ φ(t, x) − φ(t, y) ∥= 2Lv(t). \end{aligned}

Sei

u(t) = e^{−2L(t−t_{0})}v(t).

Dann folgt

u′(t) = −2Lu(t) + e^{−2L(t−t_{0})}v′(t) ≤ −2Lu(t) + 2Lu(t) = 0.

Für t ≥ t_{0} ist daher

u(t) ≤ u(t_{0}) =∥ x − y ∥ .

Daraus folgt

∥ φ(t, x) − φ(t, y) ∥≤ e^{2L(t−t_{0})} ∥ x − y ∥ .

Für t ≤ t_{0} setzen wir u(t) = e^{−2L(t_{0}−t)}v(t) und verfahren wie oben.

□

Die Stetigkeit der Lösungskurve φ(t, x) in den Anfangswerten kann man auch direkt aus dem Beweis erhalten, indem man den Raum M anders definiert. Wir wählen a, b > 0 so, daß

Q = \overline{I}_{a}(t_{0}) × \overline{U}_{2b}(x_{0}) ⊂ U

gilt und F |Q Lipschitz-stetig bezüglich x ist mit der Lipschitz-Konstanten L. Es sei δ > 0 wie in (1.11) gewählt. Dann sei

M = \{ψ : I_{δ}(t_{0}) × U_{b}(x_{0}) → \overline{U}_{2b}(x_{0}) | ψ stetig\} .

Wir versehen M mit der Metrik

d(ψ_{1}, ψ_{2}) = sup_{\begin{matrix}|t−t_{0}|<δ \\ |x−x_{0}|<b \end{matrix}} |ψ_{1}(t, x) − ψ_{2}(t, x)|.

Wie in Lemma 1.11 zeigt man, daß M eine vollständiger metrischer Raum ist. Für φ ∈ M sei

(P φ)(t, x) = x + ∫_{t_{0}}^{t} F (s, φ(s, x)) ds.

Dann ist P φ stetig und es gilt

\begin{aligned}∥ (P φ)(t, x) − x ∥ & = || ∫_{t_{0}}^{t} F (s, φ(s, x)) ds|| \\ & ≤ | ∫_{t_{0}}^{t} ∥ F (s, φ(s, x)) ∥ ds| ≤ δ ∥ F ∥_{Q}≤ b. \end{aligned}

Daraus folgt

∥ (P φ)(t, x) − x_{0} ∥≤∥ (P φ)(t, x) − x ∥ + ∥ x − x_{0} ∥≤ 2b.

Daher ist P eine Abbildung von M in M. Wie im Beweis von Satz 1.10 zeigt man, daß P : M → M eine Kontraktion ist. Es sei φ ∈ M der eindeutig bestimmte Fixpunkt von P. Die Funktion φ erhält man als Grenzwert der Picard-Lindelöf Iteration

φ_{0}(t, x) = x, φ_{k+1}(t, x) = x + ∫_{t_{0}}^{t} F (s, φ_{k}(s, x)) ds, k ∈ ℕ_{0}.

Für die Folge (φ_{k}) gilt dann d(φ_{k}, φ) → 0 für k → ∞. Nach Definition des Abstandes d folgt daraus, daß φ_{k}(t, x) gleichmässig in t und x gegen φ konvergiert. Auf Grund von Satz 6.43 aus Infini I ist φ daher stetig in x. Wenn man F : U → ℝ^{n} als differenziebar voraussetzt, so kann man entsprechend zeigen, daß die Lösungskurve φ(t, x) differnzierbar in x ist. Als ersten Schritt dazu zeigen wir

Satz 1.13. Es sei F : U → ℝ^{n} eine C^{2}-Abbildung. Dann ist die Lösungskurve φ(t, x) eine stetig differenzierbare Funktion von x.

Beweis: Es sei

F_{∗}(t, x) = d_{x}F (t, x).

Dann ist

F_{∗}(t, x) : ℝ^{n} → ℝ^{n}

eine lineare Abbildung. Da F eine C^{2}-Abbildung ist, so ist

F_{∗} : U → Hom(ℝ^{n}, ℝ^{n}) = ℝ^{n^{2}}

eine C^{1}-Abbildung und daher Lipschitz-stetig. Wir betrachten das folgende AWP:

\begin{aligned}\frac{dφ}{dt}(t, x) & = F (t, φ(t, x)), \\ \frac{dψ}{dt} (t, x) & = F_{∗}(t, φ(t, x)) ∘ ψ(t, x), \\ φ(t_{0}, x) & = x, ψ(t_{0}, x) = E. \end{aligned}

Die Picard-Lindelöf-Iteration ergibt

\begin{aligned}φ_{k+1} & = x + ∫_{t_{0}}^{t} F (s, φ_{k}(s, x)) ds, \\ ψ_{k+1} & = E + ∫_{t_{0}}^{t} F_{∗}(s, φ_{k}(s, x)) ∘ ψ_{k}(s, x) ds. \end{aligned}

Aus den Anfangsbedingungen folgt d_{x}φ_{0} = ψ_{0}. Durch Induktion zeigt man

dφ_{k} = ψ_{k} für alle k ∈ ℕ_{0}.

Die Folgen (φ_{k}) und (ψ_{k}) konvergieren gleichmäßig gegen φ bzw. ψ für |t − t_{0}| ≤ δ, |x − x_{0}| ≤ b. Daher konvergieren die Fogen (φ_{k}) und (∂φ_{k}/∂x_{j})_{k∈ℕ}, j = 1, ..., n, gleichmäßig. Nach Satz 8.21 aus Infini I ist φ(t, x) daher eine C^{1}-Abbildung in x.

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Mit etwas mehr Aufwand kann man folgenden Satz beweisen.

Satz 1.14. Es sei F : U → ℝ^{n} eine C^{k}-Abbildung. Dann ist die Lösung φ(t, x) des AWP

\frac{df}{dt} (t, x) = F (t, f(t, x)), f(t_{0}, x) = x,

eine k-mal stetig differenzierbare Funktion von x.

1.4. Maximale Integralkurven. Wie bisher betrachten wir ein dynamisches System

F : U → ℝ^{n}

mit einer stetigen Funktion F, die auf einer offenen Menge U ⊂ ℝ×ℝ^{n} definiert ist.

Definition 1.15. Es sei (t_{0}, x_{0}) ∈ U. Eine Integralkurve φ : I → ℝ^{n} von F mit φ(t_{0}) = x_{0} heißt maximal, wenn für jede andere Integralkurve ψ : J → ℝ^{n} von F mit ψ(t_{0}) = x_{0} gilt: J ⊂ I und ψ = φ|J.

Bemerkung: Es sei I ⊂ ℝ ein Interval und U ⊂ ℝ^{n} offen.Für eine maximale Integralkurve φ : J → ℝ^{n} von F: I × U → ℝ^{n} gilt im allgemeinen nicht J = I. Beispiel: Es sei F : ℝ × ℝ die Funktion

F (t, x) = 1 + x^{2}.

Wir betrachten das AWP

f′(t) = 1 + f(t)^{2}, f(0) = 0.

Die eindeutig bestimmte Lösung in einer Umgebung von 0 ist f(t) = tan t. Der maximale Definitionsbereich ist J = (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}).

Lemma 1.16. Wenn F (t, x) lokal Lippschitz-stetig bezüglich x ist, so hat jedes AWP (1.8) eine (und nur eine) maximale Lösung.

Beweis: Es sei X die Menge aller Intervalle I mit

1. t_{0} ∈ I.

2. Auf I existiert eine Lösung φ_{I} : I → ℝ^{n} des AWP

f′(t) = F (t, f(t)), f(t_{0}) = x_{0}.

Wegen Satz 1.10 ist X ≠ ∅. Sei

J = ⋃_{I∈X} I.

Sei t ∈ J. Dann existiert I ∈ X mit t ∈ I. Wir setzen

φ(t) := φ_{I}(t).

Es sei I′ ∈ X ein weiteres Intervall mit t ∈ I′. Dann gilt [t_{0}, t] ⊂ I ∩ I′. Aus dem Eindeutigkeitssatz folgt φ_{I}(t) = φ_{I′}(t). Damit ist

φ : J → U

eine eindeutig definierte Lösung des AWP. Die Kurve φ ist offensichtlich die maximale Lösung.

□

Satz 1.17. Es sei F : U → ℝ^{n} lokal Lippschitz-stetig bezüglich x. Weiter sei φ : (α, β) → ℝ^{n} eine maximale Integralkurve von F. Wenn β < ∞, so existiert zu jeder kompakten Teilmenge K ⊂ U und zu jedem ϵ > 0 ein τ ∈ (β − ϵ, β) mit (τ, φ(τ)) ∉ K. Analoges gilt für α > −∞.

Beweis: Wir nehmen an, daß ein γ ∈ (α, β) existiert so, daß für alle t ∈ (γ, β) gilt (t, φ(t)) ∈ K. Wir zeigen dann, daß φ stetig auf (α, β] fortgesetzt werden kann. Es sei

M := max_{(t,x)∈K} ∥ F (t, x) ∥ .

Dann gilt für alle t_{1}, t_{2} ∈ (γ, β):

\begin{aligned}∥ φ(t_{2}) − φ(t_{1}) ∥ & = || ∫_{t_{1}}^{t_{2}} φ′(s)ds|| \\ & ≤ |∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∥ F (s, φ(s)) ∥ ds| ≤ M|t_{2} − t_{1}|. \end{aligned}

Daher ist φ auf (γ, β) gleichmäßig stetig. Daraus folgt, daß φ eine stetige Fortsetzung auf [γ, β] hat. Damit hat φ eine stetige Fortsetzung φ̃ : (α, β] → ℝ^{n}. Für alle t ∈ (α, β) gilt

φ̃(t) = φ̃(t_{0}) + ∫_{t_{0}}^{t} F (s, φ̃(s))ds.

Wegen der Stetigkeit von φ̃ : (α, β] → ℝ^{n} gilt diese Gleichung auch für t = β. Damit folgt, daß φ̃: (α, β] → ℝ^{n} das AWP löst im Widerspruch zur Maximalität von φ : (α, β) → ℝ^{n}.

□

Mit anderen Worten besagt der Satz:

Wenn eine maximale Integralkurve nur endliche Lebensdauer hat, so verläßt sie jedes Kompaktum.

Für ein dynamisches System, dessen Definitionsbereich die spezielle Gestalt I × V hat, enthält der Satz die folgende Aussage:

Korollar 1.18. Es sei F: I×V → ℝ^{n} lokal Lipschitz-stetig bezüglich x und φ : (α, β) → V sei eine maximale Integralkurve von F. Ist β nicht der rechte Randpunkt von I, so existiert zu jeder kompakten Teilmenge K ∈ V und zu jedem γ ∈ (α, β) ein t ∈ (γ, β) mit φ ∉ K. analoges gilt für α.

Beweis: [γ, β] × K ist eine kompakte Teilmenge von I × V. Darauf kann Satz 1.17 angewendet werden.

□

Definition 1.19. Eine Abbildung F : I × ℝ^{n} → ℝ^{n} heißt linear beschränkt, wenn es stetige Funktionen a, b : I → ℝ gibt so, daß für alle (t, x) ∈ I × ℝ^{n} gilt

∥ F (t, x) ∥≤ a(t) ∥ x ∥ +b(t).

Satz 1.20. Es sei F : I × ℝ^{n} → ℝ^{n} linear beschränkt und lokal Lipschitz-stetig. Dann ist jede maximale Integralkurve von F auf ganz I definiert.

Beweis: Es sei (α, β) ⊆ I das Definitionsintervall einer maximalen Integralkurve φ. Angnommen, β ist nicht der rechte Randpunkt von I. Es sei t_{0} ∈ (α, β). Nach Korollar 1.18 ist φ : [t_{0}, β) → U unbeschränkt. Da φ eine Lösung ist, gilt

φ(t) = φ(t_{0}) + ∫_{t_{0}}^{t} F (s, φ(s))ds.

Aus der linearen Beschränktheit von F folgt für t ∈ [t_{0}, β)

∥φ(t) ∥≤∥ φ(t_{0}) ∥ + |∫_{t_{0}}^{t} ∥ F (s, φ(s)) ∥ ds|
≤ φ(t_{0}) ∥ + |∫_{t_{0}}^{t}(a(s) ∥ φ(s) ∥ +b(s)ds|

≤∥ φ(t_{0}) ∥ + sup_{s∈[t_{0},β]} |a(s)| ∫_{t_{0}}^{t} ∥ φ(s) ∥ ds + sup_{s∈[t_{0},β]} |b(s)||β − t_{0}|.

Aus Lemma 1.8 folgt, daß

∥ φ(t) ∥≤∥ b ∥_{[t_{0},β]} |β − t_{0}|e^{∥a∥_{[t_{0},β]}|β−t_{0}|}

für t ∈ [t_{0}, β]. Dies ist ein Widerspruch. Deshalb ist (α, β) = I.

□

1.5. Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung. Es sei jetzt 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung über 𝕂 hat die Form

f′(t) = A(t)f(t) + b(t),  (1.13)

wobei A : I → Mat(n, 𝕂) und b : I → 𝕂^{n} Abbildungen auf einem offenen Intervall I ⊂ ℝ sind. Seien A(t) = (a_{ij}(t)) und b(t) = (b_{i}(t)). Dann lautet (1.13) ausführlich

f′_{1}(t) = a_{11}(t)f_{1}(t) + ⋯ + a_{1n}(t)f_{n}(t) + b_{1}(t),
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
f′_{n}(t) = a_{n1}(t)f_{1}(t) + ⋯ + a_{nn}(t)f_{n}(t) + b_{n}(t).

Im Falle b = 0 heißt die Differentialgleichung homogen, andernfalls inhomogen.

Satz 1.21. (Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Es seien A und b stetig. Dann existiert für alle t_{0} ∈ I und x_{0} ∈ 𝕂^{n} genau eine auf ganz I definierte Lösung des Anfangswertproblems

f′(t) = A(t)f(t) + b(t), f(t_{0}) = x_{0}.

Beweis: Es sei

F (t, x) = A(t)x + b(t).

Dann gilt

∥ F (t, x) ∥≤∥ A(t) ∥∥ x ∥ + ∥ b(t) ∥,

d.h., die Abbildung

F (t, x) : I × 𝕂^{n} → 𝕂^{n}

ist linear beschränkt im Sinne von Defintion 1.19. Es sei [a, b] ⊂ I. Da A : I → Mat(n, 𝕂) stetig ist, existiert

L = max_{t∈[a,b]} ∥ A(t) ∥ .

Dann gilt für alle t ∈ [a, b] und x, x′ ∈ 𝕂^{n}:

∥ F (t, x) − F (t, x′) ∥=∥ A(t)(x − x′) ∥≤ L ∥ x − x′ ∥,

d.h., F (t, x) ist Lipschitz-stetig bezüglich x auf [a, b]×𝕂^{n}. Die Behautptung des Satzes folgt aus Satz 1.9, Satz 1.10 und Satz 1.20.

□

Korollar 1.22. Es seien a_{0}, ⋯, a_{n−1}, b : I → 𝕂 stetige Funktionen und x_{0}, …, x_{n−1} ∈ 𝕂 gegeben. Dann besitzt jedes AW P

\begin{aligned}f^{(n)}(t) & = ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}(t)f^{(k)}(t) + b(t), \\ f^{(k)}(t_{0}) & = x_{k}, k = 0, …, n − 1, \end{aligned}  (1.14)

genau eine auf ganz I definierte Lösung.

Beweis: Es sei

A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ & ... & ... \\ & & ... & 1 \\ & & & 0 \\ a_{0} & ⋯ & ⋯ & a_{n−1} \end{matrix})

und

b(t) = ( 0 ; ⋮ ; 0 ; q(t))

Nach Satz 1.1 ist die Lösung des AWP (1.14) äquivalent zur Lösung des AWP

φ′(t) = A(t)φ(t) + b(t), φ(t_{0}) = (x_{0}, …, x_{n−1}).
□

Korollar 1.23. Es sei L die Menge aller Lösungen der homogenen Gleichung

f′(t) = A(t)f(t)

auf I. Dann gilt:

1. L ist ein n-dimensionaler 𝕂-Vektorraum.

2. Es seien φ_{1}, …, φ_{n} ∈ L. Dann ist (φ_{1}, …, φ_{n}) eine Basis von L genau dann, wenn ein t_{0} ∈ I existiert so, daß (φ_{1}(t_{0}), …, φ_{n}(t_{0})) eine Basis von 𝕂^{n} ist.

Beweis: 1. Es seien φ_{1}, …, φ_{k} ∈ L und c_{1}, …, c_{n} ∈ 𝕂. Dann ist auch c_{1}φ_{1} + ⋯ + c_{k}φ_{k} ∈ L. L ist also ein 𝕂-Vektorraum. Es sei t_{0} ∈ I und α_{t_{0}} : L → 𝕂^{n} sei definiert durch α_{t_{0}}(φ) = φ(t_{0}). Aus Satz 1.21 folgt, daß α_{t_{0}} ein Isomorphismus ist.

2. Da α_{t_{0}} ein Isomorphismus ist, führt α_{t_{0}} Basen von L in Basen von 𝕂^{n} über.

□

Definition 1.24. Eine Basis φ_{1}, …, φ_{n} von L heißt Fundamentalsystem.

Es sei φ_{1}, …, φ_{n} eine Basis von L. Wir fassen φ_{1}, …, φ_{n} als Spaltenvektoren einer Matrix Φ auf: Φ = (φ_{1}, …, φ_{n}) : I → Mat(n, 𝕂). Φ heißt Fundamentalmatrix der homogenen Gleichung f′(t) = A(t)f(t). Für diese Matrix gilt offensichtlich

Φ′(t) = A(t)Φ(t).  (1.15)

Lemma 1.25. Für alle t ∈ I ist

det Φ(t) ≠ 0,

d.h., für alle t ∈ I ist Φ(t) invertierbar.

Beweis: Fogt aus Korollar 1.23,2).

□

Es sei φ ∈ L. Dann existieren c_{1}, …, c_{n} ∈ 𝕂 mit φ = c_{1}φ_{1} +⋯+c_{n}φ_{n}. Damit gilt

φ(t) = Φ(t) (c_{1} ; ⋮ ; c_{n})

Wir betrachten jetzt die inhomogene Gleichung

f′(t) = A(t)f(t) + b(t).  (1.16)

Es seien φ_{1} und φ_{2} Lösungen von (1.16). Wir setzen Ψ = φ_{2}−φ_{1}. Dann gilt

Ψ′(t) = A(t)Ψ(t),

d.h., Ψ ∈ L. Damit gilt für den Lösungsraum L_{inh} von (1.16)

L_{inh} = φ_{1} + L,

d.h. L_{inh} ist ein affiner Raum. Man gewinnt also jede Lösung von (1.16) aus einer speziellen (partikulären) Lösung durch Addition einer Lösung der homogenen Gleichung. Kennt man ein Fundamentalsystem φ_{1}, ⋯, φ_{n} der homogenen Gleichung, so kann man eine partikuläre Lösung von (1.16) mittels ”Variation der Konstanten” konstruiert werden.

Satz 1.26. (Variation der Konstanten) Es sei Φ eine Fundamentalmatrix der homogenen Gleichung f′(t) = A(t)f(t). Weiter sei

c(t) = ∫ Φ(s)^{−1}b(s)ds.

und

φ(t) = Φ(t)(c(t)).

Dann gilt

φ′(t) = A(t)φ(t) + b(t).

Beweis: Aus (1.15) folgt

φ′(t) = Φ′(t)(c(t)) + Φ(t)(c′(t))
= A(t)Φ(t)(c(t)) + Φ(t) ∘ P hi(t)^{−1}(b(t))
= A(t)(φ(t)) + b(t).
□

Wenn wir das Anfangswertproblem

f′(t) = A(t)f(t) + b(t), f(t_{0}) = x_{0},

lösen möchten, so müssen wir die Stammfunktion c(t) entsprechend festlegen. Die Lösung ist

φ(t) = Φ(t) (∫_{t_{0}}^{t} Φ(s)^{−1}b(s)ds + Φ(t_{0})^{−1}x_{0}) .

Konstruktion eines Fundamentalsystems

Wir betrachten zuerst den Fall, daß A(t) konstant ist. Es sei also A ∈ Mat(n, 𝕂) und

A(t) = A, t ∈ I.

Die Picard-Lindelöf-Iteration zur Lösung des AWP

f′(t) = A(f(t)), f(0) = x_{0},  (1.17)

ergibt

φ_{1}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} Ax_{0}ds = (E + tA)x_{0}p,

φ_{2}(t) = x_{0} + ∫_{0}^{t} A(E + sA)x_{0}ds = (E + tA + \frac{t^{2}}{2} A^{2})x_{0},

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

φ_{k}(t) = (E + tA + \frac{1}{2!}t^{2}A^{2} + ⋯ + \frac{1}{k!}t^{k}A^{k})x_{0}.

Für k → ∞ erhalten wir

φ(t) = lim_{k→∞} φ_{k}(t) = e^{tA}x_{0}.

Hierbei ist

e^{tA} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}}{k!}A^{k}.

Für die matrixwertige Exponentialfunktion gilt

\frac{d}{dt}e^{tA} = Ae^{tA}.

Daraus folgt

φ′(t) = Ae^{tA}x_{0} = Aφ(t).

Dies zeigt uns unabhängig von der Picard-Lindelöf-Iteration, daß φ(t) das AWP (1.17) löst. Diese Darstellung eignet sich z.B. zur Strukturuntersuchung von Differentialgleichungen. Sei z.B. A reell und schiefsymmetrisch. Dann verläuft jede Lösung von (1.17) auf einer Sphäre um 0, denn es gilt

e^{tA}(e^{tA})^{⊤} = e^{t(A+A^{⊤})} = E.

Daraus folgt, daß e^{tA} eine orthogonale Matrix ist und daher ist

∥ φ(t) ∥_{2}=∥ e^{tA}x_{0} ∥_{2}=∥ x_{0} ∥ für alle t ∈ ℝ.

Es sei v_{1}, …, v_{n} eine Basis von 𝕂^{n}. Wir setzen

φ_{i}(t) = e^{tA}v_{i}, i = 1, …, n.  (1.18)

Dann folgt aus Korollar 1.23, daß φ_{1}, …, φ_{n} eine Basis des Lösungsraumes L von f′(t) = A(f(t)) ist. Wenn A(t) nicht konstant ist, so können wir ähnlich verfahren, um ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung zu konstruieren.

Satz 1.27. Es sei B(t) eine Stammfunktion von A(t) auf I und es gelte A(t)B(t) = B(t)A(t) für alle t ∈ I. Dann ist die Lösung des AWP

f′(t) = A(t)f(t), f(0) = x_{0},

gegeben durch

φ(t) = e^{B(t)}e^{−B(0)}x_{0}.

Es sei v_{1}, …, v_{n} eine Basis von 𝕂^{n} und

φ_{i}(t) = e^{B(t)}v_{i}, i = 1, …, n.

Dann ist φ_{1}, …, φ_{n} ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung

f′(t) = A(t)f(t).

Beweis: 1. Wegen [A(t), B(t)] = 0 ist

\begin{aligned}\frac{d}{dt}e^{B(t)} & = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} \frac{d}{dt}(B(t)^{k}) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(k − 1)!}B′(t)B(t)^{k−1} \\ & = A(t) ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}B(t)^{k} = A(t)e^{B(t)}. \end{aligned}

Sei x_{0} ∈ 𝕂^{n} und

φ(t) = e^{B(t)}e^{−B(0)}x_{0}.

Dann folgt

φ′(t) = A(t)e^{B(t)}e^{−B(0)}x_{0} = A(t)φ(t),

und φ(0) = x_{0}. Damit ist φ Lösung des AWP.

2. Sei v_{1}, …, v_{n} ∈ 𝕂^{n} eine Basis und

φ_{i}(t) = e^{B(t)}v_{i}, i = 1, …, n.

Dann sind φ_{1}, …, φ_{n} Lösungen der homogenen Gleichung f′(t) = A(t)(f(t)). Da e^{B(0)} invertierbar ist, ist e^{B(0)}v_{1}, …, e^{B(0)}v_{n} ebenfalls eine Basis von 𝕂^{n}. Aus Korollar 1.23 folgt, daß φ_{1}, …, φ_{n} eine Basis des Lösungsraumes ist.

□

1.6. Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten. Im allgemeinen ist die Berechnung von e^{B(t)} schwierig und deshalb liefert uns Satz 1.27 kein effektives Verfahren zur Berechnung eines Fundamentalsystems. Wir nehmen jetzt wieder an, daß A(t) = A konstant ist. In diesem Falle kann man mit Hilfe der Jordanschen Normalform von A zu einem geeigneten Fundamentalsystem gelangen. Der einfachtste Fall liegt vor, wenn A n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Es sei v ∈ 𝕂^{n}, v ≠ 0, ein Eigenvektor von A mit Eigenwert λ. Weiter sei

φ_{v}(t) = e^{tλ}v.

Dann ist φ_{v} die Lösung des AWP

f′(t) = A(f(t)), f′(0) = v.

Wenn A n linear unabhängige Eigenvektoren v_{1}, …, v_{n} besitzt, so ist φ_{v_{1}}, …, φ_{v_{n}} ein Fundamentalsystem. Dies löst z.B. das Problem der Konstruktion eines Fundametalsystems für eine reelle symmetrische Matrix A. Wenn A nicht linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, so kann man ein Fundamentalsystem mit Hilfe von Hauptvektoren konstruieren. Wir müssen dazu allerdings zum Körper ℂ übergehen.

Definition 1.28. Ein Vektor v ∈ ℂ^{n}, v ≠ 0, heißt Hauptvektor der Matrix A zum Eigenwert λ, wenn ein k ∈ ℕ existiert so, daß

(A − λE)^{k}v = 0.

Die kleinste derartige Zahl k heißt Stufe von v.

Die Hauptvektoren der Stufe 1 sind genau die Eigenvektoren von A. Ferner gilt: Ist v ein Hauptvektor der Stufe k, so sind die Vektoren

v_{j} = (A − λE)^{k−j}v, j = 1, …, k,

Hauptvektoren der Stufe j. v_{1} ist ein Eigenvektor und v_{i}, i = 2, …, k, ist eine Lösung der Gleichung

(A − λE)v_{i} = v_{i−1}.

Aus dem Satz über die Jordansche Normalform folgt

Satz 1.29. Es sei A ∈ Mat(n, ℂ). Dann existiert eine Basis von ℂ^{n}, die aus Hauptvektoren besteht, wobei zu jedem k-fachen Eigenwert λ von A, k Hauptvektoren v_{1}, …, v_{k}, gehören mit Stufe(v_{j}) ≤ j.

Es sei v_{1} …, v_{n} eine solche Basis von Hauptvektoren. Dann ist

φ_{i}(t) = e^{tA}v_{i}, i = 1, …, n,

ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung

f′(t) = Af(t).

Wir untersuchen die Struktur dieser Basis. Es sei v ein Hauptvektor zum Eigenwert λ und der Stufe k. Dann ist

e^{tA}v = e^{tλ}e^{t(A−λE)}v = e^{tλ} ∑_{j=0}^{∞} \frac{t^{j}}{j!}(A − λE)^{j}v.

Da (A − λE)^{j}v = 0 für k ≥ j gilt, reduziert sich die Reihe auf eine Summe und man erhält

φ_{v}(t) = e^{tλ}p_{v}(t) mit p_{v}(t) = ∑_{j=0}^{k−1} \frac{t^{j}}{j!}(A − λE)^{j}v.

Dabei ist p_{v}(t) ein Polynom vom Grade ≤ k − 1, dessen Koeffizienten \frac{1}{j!}(A − λE)^{j}v Vektoren in ℂ^{n} sind.

Konstruktion eines Fundamentalsystems für ẋ = Ax

1. Es sei

det(λE − A) = ∏_{i=1}^{r}(λ − λ_{i})^{k_{i}}

die Faktorisierung des charakteristischen Polynoms von A in Linearfaktoren, wobei λ_{1}, …, λ_{r} die verschiedenen Eigenwerte von A sind.

2. Zu jedem Eigenwert λ_{i} der Vielfachheit k_{i} konstruiere man Hauptvektoren v_{i1}, …, v_{im_{i}} mit Stufe(v_{ij}) ≤ j. Es sei

φ_{ij}(t) = e^{tλ_{i}}p_{v_{ij}}(t), i = 1, …, r, j = 1, …, m_{i}.

Dann ist φ_{ij}, i = 1, …, r, j = 1, …, m_{i}, ein Fundamentalsystem.

Beispiel: Es sei

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Dann hat A den 3-fachen Eigenwert 1. e_{1} ist ein Eigenvektor, e_{2} ein Hauptvektor der Stufe 2 und e_{3} ein Hauptvektor der Stufe 3. Als Lösungen erhalten wir

\begin{aligned}φ_{1}(t) & = e^{t}e_{1} = e^{t} (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , \\ φ_{2}(t) & = e^{t}(E + (A − E)t)e_{2} = e^{t} (\begin{matrix}2t \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , \\ φ_{3}(t) & = e^{t}(E + (A − E)t + \frac{1}{2}(A − E)^{2}t^{2})e_{3} = e^{t} (\begin{matrix}3t + 2t^{2} \\ 2t \\ 1 \end{matrix}) . \end{aligned}

φ_{1}, φ_{2}, φ_{3} ist ein Fundamentalsystem. Wir betrachten jetzt eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten vom Grade n. Eine Gleichung dieser Art hat die Form

f^{(n)}(t) + a_{n−1}f^{(n−1)}(t) + ⋯ + a_{1}f′(t) + a_{0} = q(t), (1.19)

wobei a_{0}, …, a_{n−1} ∈ ℂ gegebene Konstanten und q : I → ℂ eine stetige Funktion ist. Dazu gehört die homogene Gleichung

f^{(n)}(t) + a_{n−1}(t) + ⋯ + a_{1}f′(t) + a_{0} = 0  (1.20)

Zur Abkürzung führen wir die Operatorschreibweise ein. Es sei

P (x) = x^{n} + ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}x^{k}.

Dann ist P (x) ∈ ℂ[x] ein normiertes Polynom vom Grade n mit komplexen Koeffizienten. Jedes solche Polynom definiert einen Operator

P (D) : C^{n}(I) → C^{0}(I)

durch

P (D)f = f^{(n)} + ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}f^{(k)}.

Wir können dann (1.17) und (1.20) wie folgt schreiben

P (D)f = q bzw. P (D)f = 0.

Es sei

A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ & ... & ... \\ & & ... & 1 \\ & & & 0 \\ −a_{0} & ⋯ & ⋯ & −a_{n−1} \end{matrix})

und

b(t) = ( 0 ; ⋮ ; 0 ; q(t))

Gegeben sei x_{0} = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℂ^{n}. Nach Abschnitt 1.1 ist die Lösung des AWP

P (D)f = q, f(t_{0}) = x_{1}, …, f^{(n−1)}(t_{0}) = x_{n},  (1.21)

äquivalent zur Lösung des AWP

φ′ = Aφ + b, φ(t_{0}) = x_{0}.  (1.22)

Es sei φ = (φ_{1}, …, φ_{n}) die nach Satz 1.21 eindeutig bestimmte Lösung von (1.22). Dann ist f = φ_{1} die eindeutig bestimmte Lösung von (1.21). Die Entwicklung von det(λE − A) nach der letzten Zeile ergibt

det(λE − A) = λ^{n} + a_{n−1}λ^{n−1} + ⋯ + a_{1}λ + a_{0} = P (λ),

d.h., das charakteristische Polynom von A stimmt mit P (λ) überein. Es sei λ ein Eigenwert von P (x) mit der Vielfachheit k. Es seien v_{1}, …, v_{k} Hauptvektoren von A zum Eigenwert λ mit Stufe(v_{j}) ≤ j. Weiter sei

φ_{j}(t) = e^{λt}P_{v_{j}}(t).

Dann ist φ_{1}, …, φ_{k} Teil des Fundamentalsystems von Lösungen der Gleichung

f′ = Af.

Es seien φ_{j} = (φ_{j1}, …, φ_{jn}) die Komponenten von φ_{j}. Nach Satz 1.1 sind φ_{11}, …, φ_{k1} Lösungen der Differentialgleichung

P (D)f = 0.

Weiterhin gilt φ_{ji} = φ_{j1}^{(i−1)}, i = 1, …, n. Da die φ_{1}, …, φ_{k} linear unabhängig sind, folgt daraus, daß die Funktionen φ_{11}, …, φ_{k1} linear unabhängig sind. Nach Konstruktion hat φ_{j1} die Form

φ_{j1}(t) = e^{λt} ∑_{i=0}^{k−1} a_{ji}t^{i}.

Auf Grund der linearen Unabhängigkeit von φ_{j1}, …, φ_{jk} ist die Matrix (a_{ji}) invertierbar. Daraus folgt, daß

e^{λt}, te^{λt}, …, t^{k−1}e^{λt}

linear unabhängige Lösungen von

P (D)f = 0

sind. Wenn wir diese Konstruktion für jeden Eigenwert λ_{i} von P (x) durchführen, so erhalten wir ein Fundamentalsystem von Lösungen der Gleichung

P (D)f = 0.

Damit haben wir folgenden Satz bewiesen.

Satz 1.30. (Fundamentalsystem) Es sei

P (x) = ∏_{j=0}^{r}(x − λ_{j})^{k_{j}}

die Faktorisierung von P (x), wobei die Nullstellen λ_{1}, …, λ_{r} paarweise verschieden sind. Für 1 ≤ i ≤ r sei

φ_{ij}(t) = t^{j}e^{λ_{i}t}, 0 ≤ j ≤ k_{i} − 1.

Dann sind die Funktionen φ_{ij}, i = 1, …, r, j = 1, …, k_{i} − 1, ein Fundamentalsystem von Lösungen der homogenen Differentialgleichung

P (D)f = 0.

Korollar 1.31. Es seien t_{0} ∈ I und (x_{0}, …, x_{n−1}) ∈ ℂ^{n} gegeben. Dann besitzt das AWP

P (D)f = 0, f^{(k)}(t_{0}) = x_{k}, k = 0, …, n − 1,

genau eine Lösung.

Beweis: Der Beweis folgt unmittelbar aus Satz 1.1 und Satz 1.30.

□

Beispiel: y^{(4)} −3y^{(3)} +3y′′ −y′ = 0. Für das charakteristische Polynom gilt:

P (λ) = λ^{4} − 3λ^{3} + 3λ^{2} − λ = λ(λ − 1)^{3}.

Damit λ_{1} = 0, λ_{2} = 1, k = 0 und k_{2} = 3. Aus Satz 1.9 folgt, daß

1, e^{x}, xe^{x}, x^{2}e^{x}

ein Fundamentalsystem dieser Differentialgleichung ist. Zur Konstruktion einer particulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

P (D)f = q

kann man die Methode der Variation der Konstanten anwenden. Aus Satz 1.26 ergibt sich unter Verwendung von Satz 1.1 der folgende Satz.

Satz 1.32. (Variation der Konstanten) Es sei y_{1}, …, y_{n} eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung P (D)y = 0 der Ordnung n. Dann gilt:

1) Für jede stetige Funktion q : I → ℂ hat das Gleichungssystem

(\begin{matrix}y_{1} & y_{2} ⋯ & y_{n} \\ y_{1} & y′_{2} ⋯ & y_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ y_{1}^{(n−1)} & y_{2}^{(n−1)} ⋯ & y_{n}^{(n−1)} \end{matrix}) (u_{1} ; u_{2} ; ⋮ ; u_{n}) = (0 ; ⋮ ; 0 ; q)  (1.23)

eine Lösung u_{1}, …, u_{n}.

2) Sind U_{1}, …, U_{n} Stammfunktionen auf I zu u_{1}, …, u_{n}, so ist

y_{0} = U_{1}y_{1} + ⋯ + U_{n}y_{n}

eine Lösung der inhomogenen Gleichung P (D)y = q.

Beispiel: y′′ + y = \frac{1}{cos x}. Ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung y′′ + y = 0 sind y_{1}(x) = sin x und y_{2}(x) = cos x. Wir müssen nun die Gleichung

(\begin{matrix}sin x & cos x \\ cos x & − sin x \end{matrix}) (\begin{matrix}u_{1}(x) \\ u_{2}(x) \end{matrix}) = ( 0_{\frac{1}{cos x}})

lösen. Wegen der Orthogonalität der Matrix ergibt sich

(\begin{matrix}u_{1}(x) \\ u_{2}(x) \end{matrix}) = (\begin{matrix}sin x & cos x \\ cos x & − sin x \end{matrix}) ( 0_{\frac{1}{cos x}}) = (\begin{matrix}1 \\ − tan(x) \end{matrix}) .

Als Stammfunktion zu u_{1} = 1 und u_{2} = − tan x wählen wir

u_{1}(x) = x und u_{2}(x) = ln | cos x|.

Als particuläre Lösung der Differentialgleichung ergibt sich

y_{0}(x) = x sin x + (ln | cos x|) cos x.

Reelle Lösungen Die Koeffizienten a_{0}, …, a_{n−1} der Differentialgleichung

P (D)f = y^{(n)} + a_{n−1}y^{(n−1)} + ⋯ + a_{0}y = 0  (1.24)

seien reell. Wir interessieren uns jetzt für reelle Lösungen y : I → ℝ.

Lemma 1.33. Es sei y : I → ℂ eine komplexe Lösung von (1.24). Dann sind Re(y) und Im(y) ebenfalls Lösungen von (1.24).

Beweis: Es sei y = u + iv, wobei u = Re(y) und v = Im(y). Dann gilt für alle k ∈ ℕ_{0} :

y^{(k)} = u^{(k)} + iv^{(k)}.

Aus P (D)y = 0 folgt dann

[u^{(n)} + a_{n−1}u^{(n−1)} + ⋯ + a_{0}u] + i[v^{(n)} + a_{n−1}v^{(n−1)} + ⋯ + a_{0}v] = 0.

Die Summen in den Klammern sind reelle Funktionen und daher Null.

□

Wenn λ ∈ ℝ eine k-fache Nullstelle von P ist, so sind

e^{λx}, xe^{λx}, …, x^{k−1}e^{λx}

linear unabhängige reelle Lösungen von (1.24). Wenn λ ∈ ℂ − ℝ eine k-fache Nullstelle ist, so ist auch \overline{λ} eine k-fache Nullstelle. Das Paar λ, \overline{λ} liefert die 2k komplexen Lösungen

\begin{matrix}e^{λx}, xe^{λx}, & …, x^{k−1}e^{λx} \\ e^{\overline{λ}x}, xe^{\overline{λ}x}, & …, x^{k−1}e^{\overline{λ}x}. \end{matrix}  (1.25)

Damit sind auch

x^{j} \frac{e^{λx} + e^{\overline{λ}x}}{2} , und x^{j} \frac{e^{λx} − e^{\overline{λ}x}}{2i} , j = 0, …, k − 1,

Lösungen von (1.24). Es sei λ = α + iβ, α, β ∈ ℝ. Dann sind also

e^{αx} cos βx, xe^{αx} cos βx, …, x^{k−1}e^{αx} cos βx
e^{αx} sin βx,; xe^{αx} sin βx, …, x^{k−1}e^{αx} sin βx.

2k reelle Lösungen, die über ℝ linear unabhängig sind, da sich die Lösungen (1.25) als Linearkombinationen dieser Lösungen darstellen lassen. Daraus erhalten wir schließlich

Satz 1.34. Es sei L_{ℝ} der Raum der reellen Lösungen von (1.24). Dann ist L_{ℝ} ein n-dimensionaler Vektorraum über ℝ und die oben konstruierten Lösungen bilden eine Basis von L_{ℝ}.

Beispiel: y′′ − 2y′ + 5y = 0 Charakteristisches Poynom: P (λ) = λ^{2} − 2λ + 5. Nullstellen von P (λ): λ_{1} = 1 + 2i, λ_{2} = 1 − 2i. Komplexes Fundamentalsystem: e^{(1+2i)x}, e^{(1−2i)x}. Reelles Fundamentalsystem: e^{x} cos 2x, e^{x} sin 2x.

1.7. Anwendung auf Schwingungsprobleme. Harmonische Schwingungen mit einem Freiheitsgrad werden durch lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Wenn es sich um freie Schwingungen handelt, so ist die Differentialgleichung homogen. Für erzwungene Schwingungen haben wir es mit einer inhomogenen Differentialgleichung zu tun. I. Freie Schwingungen Wir nehmen an, daß die Dämpfung proportional zur Geschwindigkeit ist. Dann lautet die Gleichung des freien harmonischen Oszillators

y′′ + 2dy′ + ky = 0.

Dabei ist d ≥ 0 eine Dämpfungskonstante und k > 0 eine Elastizitätskonstante. Das charakteristische Polynom ist

P (λ) = λ^{2} + 2dλ + k.

Die Nullstellen von P sind

x_{1} = −d + \sqrt{d^{2} − k}, λ_{2} = −d − \sqrt{d^{2} − k}.

Wir unterscheiden 3 Fälle.

1. d^{2} < k, schwache Dämpfung;

2. d^{2} > k, starke Dämpfung;

3. d^{2} = k, kritische Dämpfung.

1. Schwache Dämpfung Es sei ω = \sqrt{k − d^{2}}. Dann sind λ_{1} = −d + iω und λ_{2} = −d − iω konjugiert komplexe Nullstellen. Nach Satz 1.17 hat die allgemeine reelle Lösung die Form

y(t) = e^{−dt}(c_{1} cos ωt + c_{2} sin ωt), c_{1}, c_{2} ∈ ℝ.

Dies kann man auch wie folgt schreiben

y(t) = e^{−dt} Re ((c_{1} − ic_{2})e^{iωt}) .

Es sei c_{1} − ic_{2} = Ae^{iφ} die Darstellung in Polarkoordinaten. Dann erhalten wir für die allgemeine Lösung die folgende Darstellung

y(t) = Ae^{−dt} cos(ωt + φ).

φ ist bis auf ein ganzes Vielfaches von 2π bestimmt und heißt Phase der Schwingung. Wenn d = 0 ist, so ist y(t) periodisch mit der Periode \frac{2π}{ω}, wobei ω = \sqrt{k}. Wenn d > 0 ist, so klingt jede Lösung exponentiell ab.

2. Starke Dämpfung In diesem Falle sind die Nullstellen λ_{1} und λ_{2} reell und es gilt:

λ_{1} ≠ λ_{2}, λ_{1}, λ_{2} < 0.

Die allgemeine Lösung hat die Form

y(t) = c_{1}e^{λ_{1}t} + c_{2}e^{λ_{2}t}, c_{1}, c_{2} ∈ ℝ.

Wegen λ_{1}, λ_{2} < 0 klingt die Lösung t → ∞ exponentiell ab. Jede Lösung ≠ 0 wird höchstens einmal extremal und geht höchstens einmal durch Null.

3. Kritische Dämpfung In diesem Falle ist λ_{1} = λ_{2} = −d. Die allgemeine Lösung lautet

y(t) = (c_{1} + c_{2}t)e^{−td}.

Jede Lösung ≠ 0 klingt für t → ∞ exponentiell ab, wird höchstens einmal extremal und geht höchstens einmal durch Null.

Literatur

V.I. Arnold: Ordinary Differential Equations, The MIT Press, 1973.

O. Forster: Analysis II, Viehweg, 1996.

H. Grauert und W. Fischer: Differential- und Integralrechnung II, Springer-Verlag, 1968. K. Königsberger: Analyis II, Springer-Lehrbuch, Springer-Verlag, 1997. W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 5. Auflage,

2. Maß- und Integrationstheorie

2.1. Einleitung. Der bisherige Integralbegriff erlaubt uns nur, Regelfunktionen zu integrieren. Etwas allgemeiner ist das Riemann-Integral. Wir erinnern uns an die Defintion des Riemann-Integrals. Es sei a < b und sei f : [a, b] → ℝ eine Funktion. Zu einer Zerlegung Z = {x_{0}, …, x_{m}}, a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{m} = b, von [a, b] und Stützstellen ξ_{Z} = (ξ_{1}, …, ξ_{m}) mit ξ_{i} ∈ [x_{i−1}, x_{i}], ist die Riemannsche Summe definiert als

S(Z, ξ) = ∑_{i=1}^{m} f(ξ_{i})(x_{i} − x_{i−1}).

Die Funktion f : [a, b] → ℝ heißt Riemann-integrierbar, wenn es ein I ∈ ℝ gibt so, daß für alle ϵ > 0 ein δ > 0 existiert mit

|I − S(Z, ξ_{Z})| < ϵ

für alle Zerlegungen Z mit

max_{i}{x_{i} − x_{i−1}} < δ

und alle Folgen ξ_{Z} von Stützstellen. I heißt dann das Riemann-Integral von f. Dafür schreibt man

I = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Wenn f Riemann-integrierbar ist, so ist f insbesondere beschränkt. Ein wichtiger Nachteil des Riemann-Integrales ist der folgende Sachverhalt: Es sei f_{k} : I → ℝ, k ∈ ℕ, eine Folge von Funktionen für die gilt

∫_{I} |f_{l} − f_{k}|^{2}dx → 0

für l, k → ∞, d.h., (f_{k}) ist eine Cauchy-Folge im quadratischen Mittel. Dann existiert im allgemeinen keine Riemann-integrierbare Funktion f : I → ℝ mit

∫_{I} |f − f_{k}|^{2}dx → 0

für k → ∞. Beispiel: Für n ∈ ℕ sei f_{n} : [0, 1] → ℝ definiert durch

f_{n}(x) = \begin{cases}0, & ∃k ∈ ℤ : x = \frac{k}{n!} \\ 1, & sonst. \end{cases}

Dann ist f_{n}(x) = 1 für fast alle x ∈ [0, 1]. Daher ist f_{n} Riemann integrierbar und es gilt

∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx = 1.

Andererseits konvergiert (f_{n}) punktweise gegen die Dirichletsche Funktion f : [0, 1] → ℝ, die definiert ist durch

f(x) = \begin{cases}0, & x ∈ ℚ; \\ 1, & x ∉ ℚ. \end{cases}

Die Dirichletsche Funktion ist aber nicht Riemann-integrabel.

□

Aus diesen Gründen hat Lebesgue den Integrationsbegriff erweitert. Es sei f : [a, b] → ℝ eine beschränkte Funktion. Seien A < B so, daß A < f(x) < B für alle x ∈ [a, b]. Wir wählen eine Zerlegung A = y_{0} < y_{1} < ⋯ < y_{m} = B von [A, B]. Es sei

X_{i} = {x ∈ [a, b]|f(x) ∈ [y_{i−1}, y_{i})}, i = 1, …, m.

Es sei μ(X_{i}) das Maß der Menge X_{i}. μ(X_{i}) kann man als ”Gesamtlänge” von X_{i} verstehen. Wir nehmen an, daß dies definiert ist. Es sei ξ_{i} ∈ X_{i}, i = 1, …, m. Anstelle der Riemannschen Summmen betrachten wir jetzt die Summen

S_{L}(Z, ξ) = ∑_{i=1}^{m} f(ξ_{i})μ(X_{i}).

Wir nennen f Lebesgue-integrierbar, wenn folgendes gilt

1. Für jede Zerlegung Z = {y_{0}, …, y_{m}} von [A, B] sind die Mengen f^{−1}([y_{i−1}, y_{i})), i = 1, …, m, meßbar.

2. Es existiert I ∈ ℝ so, daß für alle ϵ > 0 ein δ > 0 existiert mit

|I − S_{L}(Z, ξ)| < ϵ

für alle Zerlegungen Z mit

max_{i}{y_{i} − y_{i−1}} < δ

und alle Folgen ξ von Stützstellen. Als erstes stellt sich die Frage, was das Maß μ(X) einer Teilmenge X ⊂ ℝ, oder allgemeiner, einer Teilmenge X ⊂ ℝ^{n} ist. Dies führt zur Definition des Lebesgue-Maßes im ℝ^{n}.

2.2. Das Rechnen in \overline{ℝ}. Die Lebesguesche Theorie unterscheidet nicht zwischen eigentlichen und uneigentlichen Integralen. Es sind von vornherein unendliche Funktionenwerte und unbeschränkte Gebiete zugelassen. Aus diesem Grund erinnern wir an die Rechenregeln in \overline{ℝ} = ℝ ∪ {−∞, ∞} und erweitern sie in einem Punkt.

1. ∀a ∈ ℝ : a ± ∞ = ±∞

2. ∀a ∈ (0, ∞] : a · ∞ = ∞

3. ∀a ∈ ℝ − {0} : a/∞ = 0

4. 0 · ∞ = 0, (−∞) · 0 = 0

5. ∞ + ∞ = ∞ Aber ∞ − ∞ ist nach wie vor nicht definiert.

(a) Unendliche Reihen. Es sei (a_{k}) eine Folge in \overline{ℝ} mit 0 ≤ a_{k} ≤ ∞. Dann ist ∑_{k=0}^{∞} a_{k} immer definiert. Sie hat den Wert ∞, wenn die Folge (s_{n}) der Partialsummen gegen ∞ konvergiert. Insbesondere ist dies der Fall, wenn es ein k ∈ ℕ gibt mit a_{k} = ∞. Die Formel

λ ∑_{k=0}^{∞} a_{k} = ∑_{k=0}^{∞} λa_{k}

gilt für beliebige λ ∈ \overline{ℝ}.

(b) Doppelreihensatz Es gilt

∑_{i,j=0}^{∞} a_{ij} = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) = ∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=0}^{∞} a_{ij}) ,

falls eine der Reihen absolut konvergent ist. Der Satz gilt auch, falls 0 ≤ a_{ij} ≤ ∞, i, j ∈ ℕ_{0}.

(c) Limes superior und inferior. Für eine Folge (a_{k}) in \overline{ℝ} gilt

lim_{k→∞} sup a_{k} = inf_{p}{sup_{k≥p} a_{k}},
lim_{k→∞} inf a_{k} = sup_{p}{inf_{k≥p} a_{k}}.

Es sei

α_{p} = sup_{k≥p} a_{p} , β_{p} = inf_{k≥p} a_{k}.

Dann ist (α_{p}) monoton fallend und (β_{p}) monoton wachsend. Daher gilt

lim_{k→∞} sup a_{k} = lim_{p→∞} α_{p}, lim_{k→∞} inf a_{k} = lim_{p→∞} β_{p}.

2.3. Meßräume.

Definition 2.1. Es sei X eine Menge. Ein System A von Teilmengen von X heißt σ-Algebra auf X, wenn gilt:

1. ∅ ∈ A

2. A ∈ A ⇒ X \ A ∈ A

3. Es sei (A_{k}) eine Folge in A. Dann ist ∪_{k∈ℕ}A_{k} ∈ A. Die Elemente von A heißen meßbare Mengen und (X, A) heißt Meßraum (meßbarer Raum).

Beispiele: 1) Sei A = {∅, X}. Dann ist A eine σ-Algebra auf X.

2) Die Potenzmenge P(X) ist eine σ-Algebra.

3) Sei A eine σ-Algebra auf X und Y ⊂ X. Dann ist

B = {B ⊂ Y | ∃A ∈ A : B = Y ∩ A}

eine σ-Algebra auf Y. Wir nennen B die Spur von A auf Y oder die von A induzierte σ-Algebra auf Y.

4) Sei f : X → Y Abbildung, A σ-Algebra auf X, B σ-Algebra auf Y.

\begin{aligned}f_{∗}A & = \{B ⊂ Y | f^{−1}(B) ∈ A\} \\ f^{∗}B & = \{f^{−1}(B) | B ∈ B\} \end{aligned}

f_{∗}A und f^{∗}B sind σ-Algebren auf X bzw. Y.

Lemma 2.2. Es sei X eine Menge und A eine σ-Algebra in X. Dann gilt:

a) X ∈ A

b) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A.

c) A_{1}, A_{2}, … ∈ A ⇒ ∩_{k∈ℕ}A_{k} ∈ A.

Beweis: a) folgt aus 1) und 2). b) Sei A_{1} = A, A_{2} = B, A_{3} = A_{4} = ⋯ ∅. Dann ist wegen 3)

A ∪ B = ⋃_{k∈ℕ}A_{k} ∈ A.

c) Es gilt

⋂_{k∈ℕ}A_{k} = X − ⋃_{k∈ℕ}(X − A_{k}).

□

Lemma 2.3. Es sei A_{i}, i ∈ I, eine Familie von σ-Algebren auf X. Dann ist ∩_{i∈I}A_{i} eine σ-Algebra auf X.

Beweis: Übung! Es sei C ⊂ P(X). Sei C_{σ} der Durchschnitt aller σ-Algebren A auf X, die C enthalten. Da P(X) eine σ-Algebra ist, ist C_{σ} ≠ ∅. C_{σ} ist auf Grund von Lemma 2.3 eine σ-Algebra. C_{σ} ist die kleinste σ-Algebra, die C enthält und heißt die von C erzeugte Algebra. Beispiele: 1) Wenn C eine σ-Algebra ist, so ist C_{σ} = C.

2) Sei X ein topologischer Raum und T = {U ⊂ X | U offen}. Dann heißt B = T_{σ} die Borelsche σ-Algebra von X. Die Elemente von B heißen Borelsche Mengen. Es sind also z.B. höchstens abzählbare Vereinigungen und Durchschnitte von offenen und abgeschlossenen Mengen von X Borelsch.

Definition 2.4. Es seien (X, A) und (Y, B) Meßräume. Eine Abbildung f : X → Y heißt meßbar, wenn für alle B ∈ B gilt: f^{−1}(B) ∈ A.

Lemma 2.5. Es seien (X, A), (Y, B) und (Z, C) Meßräume und f: X → Y, g: Y → Z seien meßbare Abbildungen. Dann ist g∘f: X → Z ebenfalls meßbar.

Beweis: klar.

Lemma 2.6. Seien (X, A), (Y, B) meßbare Räume und C ⊂ P(Y) eine Teilmenge mit B = C_{σ}. Dann ist f : X → Y meßbar genau dann, wenn f^{−1}(B) ∈ A für alle B ∈ C.

Beweis: ⇐) Nach Voraussetzung ist

C ⊂ f_{∗}A = {B ⊂ Y | f^{−1}(B) ∈ A}.

Da f_{∗}A eine σ-Algebra ist, folgt

B = C_{σ} ⊂ f_{∗}A.

Daher ist f meßbar. Die andere Richtung ist klar.

□

Beispiel: Sei (Y, T ) ein topologischer Raum und sei B = T_{σ} die Borelsche σ-Algebra. . Dann ist f : X → Y meßbar genau dann, wenn f^{−1}(U) meßbar ist für alle offenen Teilmengen U ⊂ Y. Insbesondere ist jede stetige Abbildung f : X → Y von topologischen Räumen X und Y meßbar.

Satz 2.7. Es sei (X, A) ein Meßraum.

1. Eine Funktion f : X → \overline{ℝ} ist genau dann meßbar, wenn für jedes a ∈ ℚ die Menge f^{−1}((a, ∞]) = \{x ∈ \overline{ℝ} | f(x) > a\} meßbar ist.

2. Eine Abbildung f: X → ℝ^{n} ist genau dann meßbar, wenn alle Komponenten f_{1}, ..., f_{n}: X → ℝ meßbar sind.

3. Die Menge {f : X → ℝ^{n} | f ist meßbar } ist ein ℝ-Vektorraum unter der punktweisen Addition von Abbildungen und der punktweisen Multiplikation mit Skalaren.

4. Ist f : X → ℝ^{n} meßbar , so ist auch ∥ f ∥→ ℝ meßbar . Sind f, g: X → ℝ meßbar , so auch f · g: X → ℝ.

Beweis: 1) Seien a, b ∈ ℚ mit a < b. Dann ist

(a, b] = (a, ∞] − (b, ∞].

Jedes offene Intervall (c, d) ⊂ ℝ ist darstellbar als Vereinigung abzählbar vieler Intervalle (a_{n}, b_{n}], a_{n}, b_{n} ∈ ℚ.

2) ⇒) Sei π_{i} : ℝ^{n} → ℝ die Projektion auf die i-te Komponente. Da π_{i} stetig ist, ist f_{i} = π_{i} ∘ f, i = 1, ..., n, auf Grund von Lemma 2.5 meßbar . ⇐) Lemma. Jede offene Menge U ⊂ ℝ^{n} ist die Vereinigung von abzählbar vielen Quadern der Form

Q = [a_{1}, b_{1}) × ⋯ × [a_{n}, b_{n}).

Beweis: Erfolgt später. Aus diesem Lemma zusammen mit Lemma 2.6 folgt, daß f meßbar ist, falls f^{−1}(Q) meßbar ist für alle Quader Q der obigen Form. Es gilt

f^{−1}(Q) = ⋂_{k=1}^{n} f_{k}^{−1} ([a_{k}, b_{k})) .

Nach Voraussetzung sind die Mengen f_{k}^{−1} ([a_{k}, b_{k})), k = 1, ..., n, meßbar . Daher ist f^{−1}(Q) meßbar .

3) Die Abbildungen (v, w) ∈ ℝ^{n} × ℝ^{n} → v + w ∈ ℝ^{n} und (λ, v) ∈ ℝ × ℝ^{n} → λv ∈ ℝ^{n} sind stetig, also meßbar .

4) Die Funktion x ∈ ℝ^{n} →∥ x ∥∈ ℝ ist stetig. Daher ist ∥ f ∥ meßbar . Entsprechend folgt, daßf · g meßbar ist.

□

Die Meßbarkeit überträgt sich auch auf Grenzwerte. Es sei (f_{j}) eine Folge von Funktionen f_{j} : X → \overline{ℝ}. Dann definieren wir die Funktionen

sup_{j} f_{j}, inf_{j} f_{j}, lim sup_{j→∞} f_{j}, lim inf_{j→∞} f_{j}

punktweise, d.h., für alle x ∈ X ist

(sup_{j} f_{j}) (x) = sup_{j} f_{j}(x), ...

Satz 2.8.

1) Es sei (f_{j}) eine Folge meßbarer Funktionen f_{j} : X → \overline{ℝ}. Dann sind die Funktionen

sup_{j} f_{j}, inf_{j} f_{j}, lim sup_{j→∞} f_{j}, lim inf_{j→∞} f_{j}

meßbar . Konvergiert f_{j} punktweise gegen f, so ist f meßbar .

2) Es seien f_{j} : X → ℝ^{n}, j ∈ ℕ, meßbar und es gelte f_{j}(x) → f(x) für alle x ∈ X. Dann ist f meßbar .

Beweis: 1) Es gilt

{x ∈ X | (sup_{j} f_{j}) (x) > a} = ⋃_{j=1}^{∞}{x ∈ X | f_{j}(x) > a}.

Aus Satz 2.7, 1), folgt, daß sup_{j} f_{j} meßbar ist. Analog folgt, daß inf_{j} f_{j} meßbar ist. Daraus folgt, daß

lim sup_{j→∞} f_{j} = inf_{j} (sup_{k≥j} f_{k})

meßbar ist. Ebenso folgt, daß inf_{j} f_{j} meßbar ist. Wenn (f_{j}) punktweise gegen f konvergiert, so ist

lim_{j→∞} f_{j} = lim sup_{j→∞} f_{j}

und daher ist f = lim_{j→∞} f_{j} meßbar .

2) Folgt aus Satz 2.7, 2).

□

Es sei (X, A) ein Meßraum und M eine Menge. Eine Abbildung f : X → M heißt Stufenabbildung oder elementar, wenn gilt:

1) f(X) = {m_{1}, …, m_{n}}.

2) ∀m ∈ M : f^{−1}(m) ist meßbar. Dann gilt

X = X_{1} ∪ ⋯ ∪ X_{k}

wobei X_{i} = f^{−1}(m_{i}), 1 ≤ i ≤ m. Beispiel: Es sei f : [0, 1] → ℝ die Dirichletfunktion, d.h.,

f(x) = \begin{cases}0, & x ∈ ℚ; \\ 1, & x ∉ ℚ. \end{cases}

Dann ist f([0, 1]) = {0, 1}. Es sei x ∈ ℝ \ {0, 1}. Dann ist f^{−1}(x) = ∅. Die leere Menge ist meßbar. Weiter ist

f^{−1}(0) = [0, 1] ∩ ℚ.

Da die rationalen Zahlen abzählbar sind, ist [0, 1] ∩ ℚ abzählbar. Sei etwa

[0, 1] ∩ ℚ = {r_{1}, r_{2}, … }

eine Abzählung. Die Menge {r_{i}} ist abgeschlossen und daher Borelsch, d.h., meßbar. Da

[0, 1] ∩ ℚ = ⋃_{i=1}^{∞}{r_{i}},

ist [0, 1] ∩ ℚ die Vereinigung abzählbar vieler meßbarer Mengen und daher meßbar. Schließlich ist

f^{−1}(1) = [0, 1] \ ([0, 1] ∩ ℚ)

das Komplement einer meßbaren Menge und deshalb ebenfalls meßbar. Damit haben wir gezeigt, daß die Dirichletfunktion eine Stufenfunktion ist.

□

Satz 2.9. Eine Abbildung f : X → ℝ^{n} ist meßbar genau dann, wenn eine Folge (f_{k}) elementarer Abbildungen f_{k} : X → ℝ^{n} existiert mit

∀x ∈ X: f(x) = lim_{k→∞} f_{k}(x).

Beweis: ⇐) Nach Definition sind Stufenabbildungen meßbar . Wenn (f_{k}) punktweise gegen f konvergiert, so folgt aus Satz 2.8, 1), daß f meßbar ist. ⇒) Es sei f : X → ℝ^{n} meßbar. Wegen Satz 2.7, 2), können wir n = 1 annehmen. Sei

I_{j} = [−n + \frac{j − 1}{n}, −n + \frac{j}{n}] , 1 ≤ j ≤ 2n^{2}.

Für n ≥ 1 sei

f_{n}(x) = \begin{cases}−n + \frac{j−1}{n}, & f(x) ∈ I_{j} \\ −n, & f(x) ∈ (−∞, −n) \\ n, & f(x) ∈ (n, ∞). \end{cases}

Aus Satz 2.7, 1), folgt, daß f_{n} eine Stufenfunktion ist. Es sei x ∈ X und sei n > |f(x)|. Dann existiert j, 1 ≤ j ≤ 2n^{2}, mit f(x) ∈ I_{j}. Daraus folgt

|f_{n}(x) − f(x)| < \frac{1}{n},

d.h., f_{n}(x) → f(x) für n → ∞.

□

Satz 2.10. Es sei f : X → [0, ∞] eine meßbare Funktion. Dann existiert eine monoton wachsende Folge f_{1} ≤ f_{2} ≤ ⋯ von Stufenfunktionen f_{k} : X → ℝ, die punktweise gegen f konvergiert, d.h., es ist f = sup_{j} f_{j}.

Beweis: Für j ∈ ℕ sei

f_{j}(x) = \begin{cases}\frac{k−1}{2^{j}}, & falls \frac{k−1}{2^{j}} ≤ f(x) < \frac{k}{2^{j}} , k < j2^{j}. \\ j, & f(x) ≥ j. \end{cases}

Dann ist (f_{j}) eine Folge von Stufenfunktionen und man zeigt leicht, daß f_{j} ≤ f_{j+1} gilt für alle j ∈ ℕ. Wie im Beweis von Satz 2.10 folgt, daß (f_{j}) punktweise gegen f konvergiert. Da (f_{j}) eine monoton wachsende Folge ist, gilt

f = sup_{j} f_{j}.

□

2.4. Maße. Wir wollen jetzt meßbare Mengen messen. Dazu benötigen wir Maße.

Definition 2.11. Es sei (X, A) ein Meßraum. Ein (positives) Maß auf (X, A) ist eine Abbildung μ : A → [0, ∞] mit folgenden Eigenschaften:

1. μ(∅) = 0.

2. Die Funktionen μ ist σ-additiv, d.h.: Ist (A_{k}) eine Folge paarweise disjunkter meßbarer Mengen, so ist

μ (⋃_{k=1}^{∞} A_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} μ(A_{k}).

Ein Maßraum (X, A, μ) ist ein Meßraum (X, A) zusammen mit einem Maß μ auf (X, A). Eine Teilmenge Y ⊂ X heißt σ-endlich wenn eine Folge (A_{k}) in A existiert mit Y ⊂ ∪A_{k} und μ(A_{k}) < ∞. Weiter heißt μ σ-enlich, wenn X σ-endlich ist. Beispiele: 1) A = {∅, X}. Dann kann μ(X) beliebig gewählt werden.

2) A = P(X). Sei p ∈ X. Für A ⊂ X definieren wir

δ_{p}(A) = \begin{cases}1, & p ∈ A; \\ 0, & p ∉ A. \end{cases}

Dann ist δ_{p} ein Maß auf (X, P(X)). δ_{p} heißt Dirac-Maß in p.

3) Zählmaß. Für A ⊂ X sei ξ(A) = |A|, wenn A endlich ist und ξ(A) = ∞, falls A unendlich ist. Dann ist ξ ein Maß auf (X, P(X)). ξ heißt das Zählmaß.

Elementare Eigenschaften von Maßen

Satz 2.12. Es sei (X, A, μ) ein Maßraum. Dann gilt:

1. (Additivität) Für alle A, B ∈ A mit A ∩ B = ∅ gilt

μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B).

2. (Monotonie) Für alle A, B ∈ A mit A ⊂ B gilt

μ(A) ≤ μ(B).

3. Für jede Folge (A_{k}) in A gilt

μ (⋃_{k=1}^{∞} A_{k}) ≤ ∑_{k=1}^{∞} μ(A_{k}).

4. Für jede Folge (A_{k}) in A mit A_{k} ⊂ A_{k+1} für alle k ∈ ℕ gilt

μ (⋃_{k∈ℕ}A_{k}) = lim_{k→∞} μ(A_{k}).

5. Für jede Folge (A_{k}) in A mit A_{k} ⊃ A_{k+1} für alle k ∈ ℕ und μ(A_{1}) < ∞ gilt

μ (⋂_{k∈ℕ}A_{k}) = lim_{k→∞} μ(A_{k}).

Beweis: 1) Es sei A_{1} = A, A_{2} = B, und A_{k} = ∅ für k ≥ 3. Aus i) und ii) folgt

μ(A ∪ B) = μ(∪_{k∈ℕ}A_{k}) = μ(A) + μ(B).

2) Es ist B = A ∪ (B \ A). Da A und B \ A disjunkt sind, folgt aus 1)

μ(B) = μ(A) + μ(B \ A) ≥ μ(A).

3) Sei A′_{n} = A_{n} \ (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n−1}). Dann sind die A′_{k} paarweise disjunkt und es gilt

⋃_{k=1}^{∞} A_{k} = ⋃_{k=1}^{∞} A′_{k}.

Aus ii) folgt damit

μ (⋃_{k=1}^{∞} A_{k}) = μ (⋃_{k=1}^{∞} A′_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} μ(A′_{k}) ≤ ∑_{k=1}^{∞} μ(A_{k}).

4) Sei B_{k} = A_{k} \ A_{k−1}, k ∈ ℕ. Dann ist A_{k} = B_{1} ∪ ⋯ ∪ B_{k} eine disjunkte Zerlegung von A_{k}. Daher ist

μ(A_{k}) = ∑_{j=1}^{k} μ(B_{j}).

Für k → ∞ ergibt sich

lim_{k→∞} μ(A_{k}) = ∑_{j=1}^{∞} μ(B_{j}) = μ (⋃_{j=1}^{∞} B_{j}) = μ (⋃_{k=1}^{∞} A_{k}) .

5) Es sei B_{n} := A_{1} \ A_{n}. Dann gilt B_{1} ⊂ B_{2} ⊂ . . .. Aus 4) folgt

lim_{n→∞} μ(B_{n}) = μ ( ⋃_{n∈ℕ}B_{n}) = μ (A_{1} − ⋂_{n∈ℕ}A_{n}) = μ(A_{1})−μ ( ⋂_{n∈ℕ}A_{n}) .

Da A_{1} die disjunkte Vereinigung von A_{n} und B_{n} ist, folgt

μ(A_{1}) = lim_{n→∞} μ(A_{n}) + lim_{n→∞} μ(B_{n}) = lim_{n→∞} μ(A_{n}) + μ(A_{1}) − μ ( ⋂_{n∈ℕ}A_{n}) .

Da μ(A_{1}) < ∞ ist, ergibt sich aus dieser Gleichung die behauptete Gleichung.

□

Bemerkung: Ohne die Voraussetzung μ(A_{1}) < ∞ gilt 5) nicht. Beispiel: Sei A_{n} = [n, ∞). Dann ist ∩_{n∈ℕ}A_{n} = ∅, aber μ(A_{n}) = ∞ für alle n ∈ N. Definition 2.13. Sei (X, A, μ) ein Maßraum. Eine Teilmenge N ⊂ X heißt Nullmenge bezüglich μ, wenn ein A ∈ A existiert mit N ⊂ A und μ(A) = 0. Umgekehrt sagen wir, daß die Menge X \ N volles Maß hat. Lemma 2.14. Die (höchstens) abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist eine Nullmenge.

Beweis: Übung! Im allgemeinen sind nicht alle Nullmengen meßbar im bisherigen Sinne, d.h., eine Nullmenge N ⊂ X ist nicht notwendig Element der σ-Algebra A.

Definition 2.15. Ein Maßraum (X, A, μ) heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge meßbar ist.

Man kann im allgemeinen die σ-Algebra A um die Nullmengen wie folgt erweitern: Eine Teilmenge Y ⊂ X heißt μ-meßbar, wenn eine meßbare Menge A ∈ A und eine Nullmenge N existiert so, daß

Y = A ∪ N.

Es sei \overline{A} die Menge aller μ-meßbaren Mengen. Man zeigt leicht, daß \overline{A} wieder eine σ-Algebra ist. Das Maß μ kann man wie folgt auf \overline{A} erweitern. Für Y = A ∪ N mit A ∈ A und N eine Nullmenge setzen wir

μ(Y) = μ(A).

Man prüft leicht nach, daß μ : \overline{A} → [0, ∞] wohldefiniert ist und auf A mit dem bisherigen Maß übereinstimmt. Dann ist (X, \overline{A}, μ) ein vollständiger Maßraum. Er heißt die Lebesgue-Komplettierung von (X, A, μ). Sei (Y, B) ein Meßraum. Eine Abbildung f : X → Y heißt μ-meßbar, wenn das Urbild meßbarer Mengen μ-meßbar ist.

2.5. Fortsetzung von Maßen. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Konstruktion von Maßen. Wir gehen dabei aus von einer Mengenalgebra A und einem Prämaß μ auf A. Das Hauptziel ist die Erweiterung von μ zu einem Maß auf der von A erzeugten σ-Algebra A_{σ}.

Definition 2.16. 1) Es sei X eine Menge. Eine Menge A von Teilmengen von X heißt Mengenalgebra, wenn folgendes gilt:

i) ∅ ∈ A ii) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B, A ∩ B, A \ B ∈ A.

2) Ein positives Maß μ auf A ist eine Abbildung μ : A → [0, ∞]

i) μ(∅) = 0 ii) σ-Additivität: Sei (A_{n}) eine Folge paarweise disjunkter Mengen aus A. Wenn ∪_{n≥1}A_{n} Element von A ist, so gilt

μ (⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}).

Satz 2.17. (Fortsetzungssatz von Hahn): Es sei X eine Menge, A eine Mengenalgebra in X und μ : A → [0, ∞] ein positives Maß auf A. Weiter sei X Vereinigung von abzählbar vielen Mengen aus A. Dann existiert eine Fortsetzung von μ zu einem Maß auf der von A erzeugten σ-Algebra A_{σ}. Für A ∈ A_{σ} ist

μ(A) = inf ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n})

wobei das Infimum genommen wird über alle Folgen (A_{n}) in A mit A ⊂ ∪_{n≥1}A_{n}. Wenn μ σ-endlich ist, so ist die Fortsetzung eindeutig.

Beweis: Der Beweis verläuft in zwei Schritten. Zuerst benötigen wir den Begriff des äußeren Maßes. Es sei B eine σ-Algebra auf X. Ein äußeres Maß auf B ist eine Funktion μ^{∗} : B → [0, ∞] mit den folgenden Eigenschaften:

1) μ^{∗}(∅) = 0

2) Wenn A, B ⊂ B und A ⊂ B, so ist

μ^{∗}(A) ≤ μ^{∗}(B).

3) Für jede Folge (A_{n}) in B gilt

μ^{∗} (⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ^{∗}(A_{n}).

Lemma 2.18. Es seien die Voraussetzungen des Satzes erfüllt. Für Y ⊂ X sei

μ^{∗}(Y) = inf ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n})

wobei das Infimum über alle Folgen (A_{n}) in A mit Y ⊂ ∪_{n=1}^{∞}A_{n} genommen wird. Dann ist μ^{∗} ein äußeres Maß auf der σ-Algebra P(X) und es gilt

μ^{∗}(A) = μ(A) für alle A ∈ A.

Beweis: Wir zeigen zuerst, daß μ^{∗}(A) = μ(A) gilt für alle A ∈ A. Sei A ∈ A. Da

A = A ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ⋯,

folgt μ^{∗}(A) ≤ μ(A). Sei umgekehrt ϵ > 0. Zu ϵ wählen wir eine Folge (A_{n}) in A mit A ⊂ ∪_{n=1}^{∞}A_{n} und

∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) ≤ μ^{∗}(A) + ϵ.

Nach Voraussetzung über X existiert eine solche Folge. Da A = ∪_{n=1}^{∞}(A_{n} ∩ A), folgt

μ(A) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n} ∩ A) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) ≤ μ^{∗}(A) + ϵ.

Da dies für alle ϵ > 0 gilt, folgt μ(A) ≤ μ^{∗}(A), also μ(A) = μ^{∗}(A) für alle A ∈ A. Wir zeigen jetzt, daß μ^{∗} ein äußeres Maß ist. Eigenschaften 1) und 2) sind klar. Es seien ϵ > 0 und eine Folge (Y_{j}) von Teilmengen von X gegeben. Wir wählen eine Folge (A_{n}^{j})_{n∈ℕ} in A mit

1) Y_{j} ⊂ ∪_{n=1}^{∞}A_{n}^{j}.

2) ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}^{j}) ≤ μ^{∗}(Y_{j}) + \frac{ϵ}{2^{j}}. Dann ist

Y := ⋃_{j} Y_{j} ⊂ ⋃_{n,j} A_{n}^{j}

und es gilt

μ^{∗}(Y) ≤ ∑_{n,j} μ(A_{n}^{j}) ≤ ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(Y_{j}) + ϵ.

Daraus folgt

μ^{∗}(Y) ≤ ∑_{j=1}^{∞} μ^{∗}(Y_{j}),

d.h., es gilt 3).

□

Es sei μ^{∗} : P(X) → [0, ∞] ein äußeres Maß auf der Potenzmenge von X.

Definition 2.19. Eine Teilmenge A von X heißt μ^{∗}-meßbar, wenn für jede Teilmenge Z von X gilt:

μ^{∗}(Z) = μ^{∗}(Z ∩ A) + μ^{∗}(Z \ A).

Lemma 2.20. (von Carathéodory) Es sei μ^{∗} ein äußeres Maß auf P(X). Sei M das System aller μ^{∗}-meßbaren Teilmengen von X. Dann ist M eine σ-Algebra und μ^{∗} ein Maß auf M.

Beweis: Wir zeigen zuerst, daß M eine σ-Algebra ist. Offenbar ist ∅ ∈ M. Weiter ist mit A auch X \ A in M. Seien A, B ∈ M und sei Z ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Da B μ^{∗}-meßbar ist, folgt

μ^{∗}(A ∩ Z) = μ^{∗}(A ∩ Z ∩ B) + μ^{∗}((A ∩ Z) \ (B ∩ Z)).

Wir addieren auf beiden Seiten μ^{∗}(Z \ A ∩ Z). Dann erhalten wir

μ^{∗}(Z) = μ^{∗}(Z ∩ A ∩ B) + μ^{∗}((A ∩ Z) \ (B ∩ Z)) + μ^{∗}(Z \ A ∩ Z).

Wir müssen zeigen

\begin{aligned}μ^{∗}((A ∩ Z) \ (B ∩ Z)) + μ^{∗}(Z \ A ∩ Z) & = μ^{∗}(Z \ A ∩ B) \\ & = μ^{∗}(Z \ (A ∩ Z) ∩ (B ∩ Z)) \end{aligned}

Es ist aber

(Z \ (A ∩ B ∩ Z)) ∩ A = A ∩ Z \ B ∩ Z

und

(Z \ (A ∩ B ∩ Z)) \ A = Z \ A = Z \ A ∩ Z.

Da A μ^{∗}-meßbar ist, folgt obige Gleichung und daraus ergibt sich

μ^{∗}(Z) = μ^{∗}(Z ∩ A ∩ B) + μ^{∗}(Z \ A ∩ B).

Damit ist A ∩ B μ^{∗}-meßbar. Wir haben damit gezeigt, daß M eine Mengenalgebra ist. Wir zeigen jetzt, daß M eine σ-Algebra ist. Seien A, B ∈ M disjunkt und sei Z ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Dann ist

Z ∩ (A ∪ B) = (Z ∩ A) ∪ (Z ∩ B)

eine Zerlegung in disjunkte Mengen. Daraus folgt

(Z ∩ (A ∪ B)) ∩ A = Z ∩ A

und

Z ∩ (A ∪ B) \ A = Z ∩ B.

Da A μ^{∗}-meßbar ist, folgt damit aus der Definition der μ^{∗}-Meßbarkeit

μ^{∗}(Z ∩ (A ∪ B)) = μ^{∗}(Z ∩ A) + μ^{∗}(Z ∩ B).

Es seien A_{1}, …, A_{n} ∈ M paarweise disjunkt. Dann folgt daraus mittels Induktion

μ^{∗}(Z ∩ (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n})) = ∑_{k=1}^{n} μ^{∗}(Z ∩ A_{k}).  (2.1)

Jetzt sei (A_{n}) eine Folge in M paarweise disjunkter Mengen und es sei

A = ⋃_{k=1}^{∞} A_{k}.

Da für jedes n ∈ ℕ: A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n} ∈ M folgt aus der Definition der μ^{∗}-Meßbarkeit und aus (2.1), daß für jede Teilmenge Z ⊂ X gilt

\begin{aligned}μ^{∗}(Z) & = μ^{∗}(Z ∩ (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n})) + μ^{∗}(Z \ (A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{n})) \\ & ≥ ∑_{k=1}^{n} μ^{∗}(Z ∩ A_{k}) + μ^{∗}(Z \ A) \end{aligned}

für alle n ∈ ℕ. Weil μ^{∗} ein äußeres Maß ist, folgt

μ^{∗}(Z) ≥ ∑_{k=1}^{∞} μ^{∗}(Z ∩ A_{k}) + μ^{∗}(Z \ A)
≥ μ^{∗}(Z ∩ (∪_{k=1}^{∞}A_{k})) + μ^{∗}(Z \ A)
≥ μ^{∗}(Z ∩ A) + μ^{∗}(Z \ A).

Andererseits ist

Z = (Z ∩ A) ∪ (Z \ A).

Da μ^{∗} ein äußeres Maß ist, folgt daraus

μ^{∗}(Z) ≤ μ^{∗}(Z ∩ A) + μ^{∗}(Z \ A).

Also gilt

μ^{∗}(Z) = μ^{∗}(Z ∩ A) + μ^{∗}(Z \ A).

und daher ist A = ∪_{n≥1}A_{n} ∈ M. Damit ist M eine σ-Algebra. Aus (2.1) und der Eigenschaft des äußeren Maßes folgt

∑_{k=1}^{n} μ^{∗}(A_{k}) = μ^{∗}(⋃_{k=1}^{n} A_{k}) ≤ μ^{∗} (⋃_{k=1}^{∞} A_{k}) ≤ ∑_{k=1}^{∞} μ^{∗}(A_{k}).

Durch Übergang zum Grenzwert n → ∞ erhalten wir aus dieser Gleichung

μ^{∗} (⋃_{k=1}^{∞} A_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} μ^{∗}(A_{k}),

d.h., μ^{∗} ist σ-additiv auf M.

□

Es sei jetzt μ^{∗} das äußere Maß auf der Potenzmenge P(X), das mit Hilfe von Lemma 2.18 aus μ konstruiert wird. Weiter sei M die Menge der μ^{∗}-meßbaren Mengen. Auf Grund von Lemma 2.20 ist M eine σ-Algebra. Um zu zeigen, daß sich das Maß μ auf A zu einem Maß auf der σ-Algebra A_{σ} fortsetzen läßt, genügt es zu zeigen, daß A in M enthalten ist. Dazu müssen wir beweisen, daß jede Menge aus A μ^{∗}- meßbar ist. Sei also A ∈ A und Z ⊂ X. Da μ^{∗} ein äußeres Maß ist, gilt:

μ^{∗}(Z) ≤ μ^{∗}(Z ∩ A) + μ^{∗}(Z \ A).  (2.2)

Um die Umkehrung dieser Ungleichung zu beweisen, sei ϵ > 0 und (A_{n}) eine Folge in A mit Z ⊂ ∪_{n=1}^{∞}A_{n} und

∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) ≤ μ^{∗}(Z) + ϵ.

Dann ist

Z ∩ A ⊂ ⋃_{n=1}^{∞}(A_{n} ∩ A) und

Z \ A ⊂ ⋃_{n=1}^{∞}(A_{n} \ A).

Da μ^{∗} ein äußeres Maß ist, folgt daraus

\begin{matrix}μ^{∗}(Z ∩ A) + μ^{∗}(Z \ A) ≤ ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n} ∩ A) + ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n} \ A) \\ = ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) ≤ μ^{∗}(Z) + ϵ. \end{matrix}

Da dies für alle ϵ > 0 gilt, folgt zusammen mit (2.2), daß

μ^{∗}(Z) = μ^{∗}(Z ∩ A) + μ^{∗}(Z \ A),

d.h., A ist μ^{∗}-meßbar. Damit ist A ⊂ M und daher ist auch A_{σ} ⊂ M. Durch Einschränkung von μ^{∗} auf A_{σ} erhalten wir die gewünschte Fortsetzung von μ auf A_{σ}. Wir nehmen jetzt an, daß μ auf A σ-endlich ist. Dann wollen wir zeigen, daß die Fortsetzung von μ auf A_{σ} eindeutig bestimmt ist. Es sei ν ein weiteres Maß auf A_{σ}, das auf A mit μ übereinstimmt. Es sei (A_{n}) eine Folge in A mit X = ∪_{n=1}^{∞}A_{n} und μ(A_{n}) < ∞. Nach Satz ??, 4), genügt es zu zeigen, daß für alle Y ∈ A_{σ} gilt:

ν(Y ∩ A_{n}) = μ(Y ∩ A_{n}), n ∈ ℕ.

Damit genügt es aber, folgendes zu zeigen: Es sei A ∈ A mit μ(A) < ∞ und es sei Y ∈ A_{σ} mit Y ⊂ A. Dann ist

ν(Y) = μ(Y).

Nach Definition des äußeren Maßes ist

μ(Y) = inf ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) = inf ∑_{n=1}^{∞} ν(A_{n}),  (2.3)

wobei das Infimum für alle Folgen (A_{n}) in A mit Y ⊂ ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} genommen wird. Nach Satz ??, 3), gilt

ν(Y) ≤ ∑_{n=1}^{∞} ν(A_{n}).

Zusammen mit (2.3) folgt daraus ν(Y) ≤ μ(Y). Genauso folgt ν(A \ Y) ≤ μ(A \ Y). Daraus ergibt sich

μ(A) = ν(A) = ν(A \ Y) + ν(Y) ≤ μ(A \ Y) + μ(Y) = μ(A).

Da μ(A) < ∞, folgt μ(Y) = ν(Y).

□

2.6. Das Lebesguesche Maß im ℝ^{n}. Wir konstruieren jetzt das Lebesgue-Maß im ℝ^{n}. Es seien a, b ∈ ℝ^{n} und es gelte a_{i} ≤ b_{i} für 1 ≤ i ≤ n. Wir setzen

Q(a, b) = [a_{1}, b_{1}) × ⋯ × [a_{n}, b_{n}).

Wir nennen Q(a, b) einen halboffenen Quader. Die leere Menge ist ein halboffener Quader.

Definition 2.21. Es sei A das System aller Teilmengen des ℝ^{n}, die Vereinigung von endlich vielen, paarweise disjunkten halboffenen Quadern sind.

Satz 2.22. A ist eine Mengenalgebra

Beweis: 1) Seien Q_{1}, Q_{2} halboffene Quader. Dann ist Q_{1} ∩ Q_{2} ein halboffener Quader. Dies sieht man wie folgt: Sei

Q_{i} = [a_{1}^{i}, b_{1}^{i}) × ⋯ × [a_{n}^{i}, b_{n}^{i}), i = 1, 2.

Wir setzen

α_{j} = max{a_{j}^{1}, a_{j}^{2}}, β_{j} = min{b_{j}^{1}, b_{j}^{2}}.

Dann gilt entweder Q_{1} ∩ Q_{2} = ∅ oder

∀j : β_{j} ≥ α_{j} und Q_{1} ∩ Q_{2} = [α_{1}, β_{1}) × ⋯ × [α_{n}, β_{n}).

2) Seien Q_{1}, Q_{2} halboffene Quader. Dann ist Q_{1} \ Q_{2} = {x ∈ Q_{1} | x ∉ Q_{2}} ∈ A. Beweis: Da Q_{1} ∩ Q_{2} ein halboffener Quader ist und

Q_{1} \ Q_{2} = Q_{1} \ (Q_{1} ∩ Q_{2})

gilt, können wir annehmen, daß Q_{2} ⊂ Q_{1}. Der Rest ist klar. Daraus folgt jetzt, daß A eine Mengenalgebra ist.

□

Für einen Quader

Q = [a_{1}, b_{1}) × ⋯ × [a_{n}, b_{n})

setzen wir

λ(Q) = ∏_{i=1}^{n}(b_{i} − a_{i}).

Lemma 2.23. Es sei Q ein halboffener Quader und sei Q = Q_{1} ⊔⋯⊔ Q_{m} die disjunkte Vereinigung von halboffenen Quadern. Dann ist

λ(Q) = ∑_{i=1}^{m} λ(Q_{i}).

Beweis: 1) Sei Q = [a_{1}, b_{1})×⋯×[a_{n}, b_{n}). Für 1 ≤ i ≤ n sei c ∈ [a_{i}, b_{i}). Die Hyperebene H_{i,c} = {x ∈ ℝ^{n} | x_{i} = c} zerlegt Q in die Quader

Q_{1} = [a_{1}, b_{1}) × ⋯ × [a_{i}, c) × ⋯ × [a_{n}, b_{n})

und

Q_{2} = [a_{1}, b_{1}) × ⋯ × [c, b_{i}) × ⋯ × [a_{n}, b_{n}).

Es gilt

\begin{aligned}λ(Q) & = ∏_{j=1}^{n}(b_{j} − a_{j}) = ∏_{j≠i}(b_{j} − a_{j})(b_{j} − c + c − a_{i}) \\ & = ∏_{j≠i}(b_{j} − a_{j})(b_{j} − c) + ∏_{j≠i}(b_{j} − a_{j})(c − a_{i}) = λ(Q_{2}) + λ(Q_{1}). \end{aligned}

2) Wird Q durch den Schnitt mit endlich vielen Hyperebenen der Form {x ∈ ℝ^{n} | x_{i} = c_{i}}, i ∈ {1, ⋯, n}, in Teilquader Q_{1}, …, Q_{m} zerlegt, so gilt

λ(Q) = ∑_{j=1}^{m} λ(Q_{j}).

Dies beweist man mittels Induktion nach der Anzahl der Hyperebenen.

3) Sei Q = ⊔_{i=1}^{m}Q_{i} die disjunkte Vereinigung von halboffenen Quadern und es sei Q_{i} ≠ ∅. Dann ist

Q_{i} = [a_{j1}, b_{i1}) × ⋯ × [a_{in}, b_{in})

mit b_{ij} > a_{ij} für alle j = 1, …, n. Es sei H_{ij}^{1} die Hyperebene, die durch x_{j} = a_{ij} definiert ist und H_{ij}^{2} sei die Hyperebene, die durch x_{j} = b_{ij} definiert ist. Wir schneiden Q mit allen Hyperebenen H_{jk}^{i}, i = 1, 2, j = 1, …, m, k = 1, …, n. Dann ist

Q = B_{1} ⊔ ⋯ ⊔ B_{l}

die disjunkte Vereinigungn von Quadern so, daß jeder Quader Q_{i} eine disjunkte Vereinigung von Quadern B_{j_{1}}^{i}, …, B_{j_{r_{i}}}^{i} ist. Nach Teil 2) gilt

λ(Q_{i}) = ∑_{l=1}^{r_{i}} λ(B_{j_{l}}^{i}).

Daraus folgt

λ(Q) = ∑_{i=1}^{m} ∑_{l=1}^{r_{i}} λ(B_{j_{l}}^{i}) = ∑_{i=1}^{m} λ(Q_{i}).

□

Es sei A ∈ A und A = Q_{1} ⊔ ⋯ ⊔ Q_{m} eine disjunkte Vereinigung von Quadern. Wir setzen

λ(A) = ∑_{j=1}^{m} λ(Q_{i}).

Auf Grund von Lemma 2.23 ist λ(A) unabhängig von der Zerlegung von A in eine disjunkte Vereinigung von Quadern. Wir erhalten damit eine wohldefinierte Abbildung

λ : A → [0, ∞].

Satz 2.24. λ ist ein positives Maß auf A und λ ist σ-endlich.

Beweis: 1) Nach Definition gilt λ(∅) = 0.

2) σ-Additivität. Trivialerweise ist λ endlich additiv. Insbesondere ist λ auch monoton, d.h., für A, B ∈ A mit A ⊂ B ist λ(A) ≤ λ(B). Es sei jetzt (A_{j}) keine Folge paarweise disjunkter Mengen aus A und es sei

A := ⋃_{k=1}^{∞} A_{k} ∈ A.

Dann ist

λ (⋃_{j=1}^{k} A_{j}) = ∑_{j=1}^{k} λ(A_{j}).

Weiter ist

⋃_{j>k} A_{j} = A − ⋃_{j=1}^{k} A_{j} ∈ A

und

λ(A) = λ (⋃_{j=1}^{k} A_{j}) + λ (⋃_{j>k} A_{j}) .

Es genügt daher zu zeigen, daß

lim_{k→∞} λ (⋃_{j>k} A_{j}) = 0

gilt. Um dies zu beweisen, betrachten wir eine Folge B_{1} ⊃ B_{2} ⊃ ⋯ von Mengen aus A mit ∩_{k≥}B_{k} = ∅. Beh.: lim_{k→∞} λ(B_{k}) = 0. Wir nehmen an, daß dies nicht gilt und führen diese Annahme zum Widerspruch. Die Folge (λ(B_{k})) ist monoton fallend und ≥ 0. Daher ist die Folge konvergent. Es sei

δ = lim_{k→∞} λ(B_{k}) > 0.

Wir wählen C_{k} ∈ A mit \overline{C}_{k} ⊂ A_{k} und λ(B_{k}) − λ(C_{k}) ≤ δ/2^{k}. Es ist leicht zu sehen, daß eine solche Folge (C_{k}) existiert. Sei

D_{k} = C_{1} ∩ ⋯ ∩ C_{k}.

Dann ist D_{1} ⊃ D_{2} ⊃ ⋯ und \overline{D}_{k} ⊂ B_{k}. Daher gilt auch \overline{D}_{1} ⊃ \overline{D}_{2} ⊃ ⋯ und ∩_{k≥1}\overline{D}_{k} ⊂ ∩_{k≥1}B_{k}. Wir zeigen durch Induktion, daß

λ(D_{k}) ≥ λ(B_{k}) − δ + \frac{δ}{2^{k}}  (2.4)

gilt. Für k = 1 ist D_{1} = C_{1} und daher gilt (2.5) offensichtlich. Es gelte (2.5) für k ≥ 1. Dann folgt

λ(D_{k+1}) = λ(D_{k}) + λ(C_{k+1}) − λ(D_{k} ∪ C_{k+1})

≥ (λ(B_{k}) − δ + \frac{δ}{2^{k}} ) + (λ(B_{k+1}) − \frac{δ}{2^{k+1}} ) − λ(B_{k})

= λ(B_{k+1}) − δ + \frac{δ}{2^{k+1}} .

Damit folgt (2.5). Nach Voraussetzung ist λ(B_{k}) ≥ δ. Daher ist λ(D_{k}) > 0 für alle k ≥ 1. Insbesondere ist D_{k} ≠ ∅ für alle k ≥ 1. Da \overline{D}_{k} kompakt ist, ist ∩_{k≥1}\overline{D}_{k} ≠ ∅ und damit ∩_{k≥1}B_{k} ≠ ∅. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.

3) σ-endlich. Für m ∈ ℕ sei

Q_{m} = [−m, m)^{n}.

Dann ist ℝ^{n} = ∪_{m≥1}Q_{m} und λ(Q_{m}) = (2m)^{n} < ∞.

□

Es sei A_{σ} die von A erzeugte σ-Algebra. Aus Satz 2.17 folgt, daß λ eine eindeutig bestimmte Fortsetzung zu einem Maß λ : A_{σ} → [0, σ] besitzt.

Bestimmung von A_{σ}

Satz 2.25. Jede offene Teilmenge U ⊂ ℝ^{n} ist eine Vereinigung von abzählbar vielen paarweise disjunkten halboffenen Quadern.

Beweis: Für h > 0 sei

Γ_{h}^{n} = {(m_{1}h, …, m_{n}h) | m_{i} ∈ ℤ, i = 1, …, n}.

Dann ist Γ_{h}^{n} ⊂ ℝ^{n} ein Gitter. Weiter sei Ω_{h} die Menge aller halboffenen Quader mit Eckpunkten aus Γ_{h}^{n}. Wir betrachten die Gitter

Γ_{1}^{n}, Γn_{\frac{1}{2}}, Γn_{\frac{1}{4}}, …, Γn_{\frac{1}{2^{m}}} , …

und die zugehörigen Mengen von Quadern

Ω_{1}, Ω_{\frac{1}{2}} , Ω_{\frac{1}{4}} , …, Ω_{\frac{1}{2^{m}}} , …

Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Sei T_{1} die Menge aller Quader aus Ω_{1}, die in U enthalten sind. Für k ≥ 2 definieren wir T_{k} induktiv als die Menge aller Quader aus Ω_{\frac{1}{2^{k−1}}} , die in U enthalten sind und die in keinem der Quader aus T_{1}, …, T_{k−1} enthalten sind. Dann gilt

⋃_{k∈ℕ} ⋃_{Q∈T_{k}} Q ⊂ U.

Um die umgekehrte Inklusion zu zeigen, sei x ∈ U. Da U offen ist existiert m ∈ ℕ und Q ∈ Ω_{\frac{1}{2^{m}}} mit x ∈ Q ⊂ U. Daraus folgt

U = ⋃_{k∈ℕ} ⋃_{Q∈T_{k}} Q.

Nach Konstruktion sind die Q paarweise disjunkt. Jede der Mengen Ω_{\frac{1}{2^{m}}} ist abzählbar. Daher sind alle T_{k} abzählbar. Die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar. Daraus folgt, daß ∪_{k∈ℕ}T_{k} abzählbar ist.

□

Sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Nach Satz 2.25 existiert eine Folge Q_{1}, Q_{2}, … von halboffenen Quadern mit

Q_{i} ⊂ U, i ∈ ℕ, und U = ⋃_{k=1}^{∞} Q_{k}.

Es sei

A_{k} = Q_{1} ∪ ⋯ ∪ Q_{k}.

Dann ist A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ⋯ ⊂ A_{k} ⊂ ⋯ U eine Ausschöpfung von U durch endliche Polyeder:

U = ⋃_{k=1}^{∞} A_{k}

und es gilt

λ(U) = lim_{k→∞} λ(A_{k}).

Damit stimmt das Lebesgue-Maß für offene Mengen mit unserer bisherigen Definition von Inhalten überein.

Sei B die σ-Algebra der Borel-Mengen des ℝ^{n}, d.h., B ist die von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra. Folgerung 2.26 Es gilt A_{σ} = B. Beweis: Auf Grund von Satz 2.25 enthält A_{σ} alle offenen Mengen des ℝ^{n} und daher auch die von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra der Borelmengen B, d.h., B ⊂ A_{σ}. Andernseits ist jeder halboffene Quader darstellbar als Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Quadern:

[a_{1}, b_{1}) × ⋯ [a_{n}, b_{n}) = ⋂_{k=1}^{∞}(a_{1} − \frac{1}{k}, b_{1}) × ⋯ (a_{n} − \frac{1}{k}, b_{n}).

Faher ist A ⊂ B. Da B eine σ-Algebra ist, und nach Definition A_{σ} die kleinste σ-Algebra ist, die A enthält, folgt A_{σ} ⊂ B.

□

Definition 2.26. Das Maß λ_{n} : B → [0, ∞], das von λ_{n} : A → [0, ∞] erzeugt wird, heißt Lebesguesches Maß.

Beispiele: 1) Sei A ⊂ ℝ^{n} abzählbar. Beh.: A ist Borelsch und λ(A) = 0. Beweis: Sei A = {x_{1}, x_{2}, … } eine Abzählung der Elemente von A. Es sei

x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}), k ∈ ℕ.

Zu ϵ > 0 sei

Q_{k}(ϵ) = [x_{k1}− \frac{ϵ}{2^{k+1}} , x_{k1} + \frac{ϵ}{2^{k+1}} ) × ⋯ × [x_{kn}− \frac{ϵ}{2^{k+1}} , x_{kn} + \frac{ϵ}{2^{k+1}} ) .

Dann ist Q_{k}(ϵ) ein halboffener Quader und es gilt

λ(Q_{k}(ϵ)) = (\frac{ϵ}{2^{k+1}} )^{n} .

Weiter ist x_{k} ∈ Q_{k}(ϵ). Daher ist

A ⊂ ⋃_{k=1}^{∞} Q_{k}(ϵ).

Da λ ein Maß auf der Borelschen σ-Algebra ist, folgt

λ(A) ≤ ∑_{k=1}^{∞} λ(Q_{k}(ϵ)) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{ϵ^{n}}{2^{kn}} ≤ ϵ^{n}.

Dies gilt für alle ϵ > 0. Also ist λ(A) = 0.

2) Es sei V ⊂ ℝ^{n} ein affiner Teilraum der Dimension k < n. Dann ist λ(V) = 0. Beweis: Q.B.d.A. können wir annehmen, daß

V = {x ∈ ℝ^{n} | x_{k+1} = ⋯ = x_{n} = 0}.

Dann existieren Quader Q_{1}, Q_{2}, … ⊂ V ≃ ℝ^{k} mit

V = ⋃_{i=1}^{∞} Q_{i}, λ_{k}(Q_{i}) = 1, i ∈ ℕ.

Sei 0 < ϵ < 1. Dann ist

V ⊂ ⋃_{i=1}^{∞} (Q_{i} × [−\frac{ϵ^{i}}{2} , \frac{ϵ^{i}}{2} ]^{n−k}) .

Daraus folgt

λ_{n}(V) ≤ ∑_{i=1}^{∞}(ϵ^{n−k})^{i} = \frac{ϵ^{n−k}}{1 − ϵ^{n−k}} .

□

Eigenschaften des Lebesgue-Maßes

Satz 2.27. (Translationsinvarianz) Es sei a ∈ ℝ^{n}. Für eine Teilmenge A ⊂ ℝ^{n} sei A+a := {x+a | x ∈ A}. Dann ist A Borelsch genau dann, wenn A + a Borelsch ist und es gilt

λ(A + a) = λ(A).

Beweis: Die Abbildung

ϕ_{a} : x ∈ ℝ^{n} ⟼ x + a ∈ ℝ^{n}

ist ein Homöomorphismus. Daher sind ϕ_{a} und ϕ_{a}^{−1} meßbar. Daraus folgt, daß A Borelsch ist genau dann, wenn A + a Borelsch ist. Für einen halboffenen Quader Q(c, d), c, d ∈ ℝ^{n}, gilt

Q(c, d) + a = Q(c + a, d + a).

Weiter ist

λ(Q(c + a, d + a)) = ∏_{i=1}^{n}(d_{i} + a_{i} − (c_{i} + a_{i})) = ∏_{i=1}^{n}(d_{i} − c_{i}) = λ(Q(c, d)).

Daraus folgt

λ(A + a) = λ(A)

für alle A ∈ A. Da die Fortsetzung von λ : A → [0, ∞] zu einem Maß auf B eindeutig ist, folgt

λ(B + a) = λ(B) für alle B ∈ B.
□

Satz 2.28. Es sei μ : B → [0, ∞] ein translationsinvariantes Maß auf der Borelschen σ-Algebra von ℝ^{n} und es gelte μ([0, 1]^{n}) = α ∈ [0, ∞]. Dann ist μ = αλ.

Beweis: Übung.

Satz 2.29. (Rotationsinvarianz) Es sei R ∈ O(n) eine orthogonale lineare Abbildung des ℝ^{n}. Dann ist A ⊂ ℝ^{n} Borelsch genau dann, wenn R(A) Borelsch ist und für jede Borel-Menge A gilt λ(A) = λ(R(A)).

Beweis: Es sei R ∈ O(n). Dann ist R invertierbar und daher ein Homöpmorphismus des ℝ^{n}. Damit ist A Borelsch genau dann, wenn R(A) Borelsch ist. Wir definieren die Abbildung μ : B → [0, ∞] durch

μ(A) := λ(R(A)), A ∈ B.

Dann ist μ ein Maß. Sei a ∈ ℝ^{n}. Dann folgt aus Satz 2.27:

μ(A + a) = λ(R(A + a)) = λ(R(A) + R(a)) = λ(R(A)) = μ(A),

d.h., μ ist tranlationsinvariant. Nach Satz 2.28 existiert α ≥ 0 mit

μ = αλ.

Um α zu bestimmen, wählen wir eine geeignete Menge A. Es sei A = U_{1}(0) ⊂ ℝ^{n} die Kugel vom Radius 1 um den Nullpunkt. Dann ist A = R(A) und daher

αλ(A) = μ(A) = λ(R(A)) = λ(A).

Da λ(A) ∈ ℝ^{+}, folgt daraus α = 1.

□

Eine lineare Abbildung T : ℝ^{n} → ℝ^{n} heißt Euklidische Bewegung, wenn R ∈ O(n) und a ∈ ℝ^{n} existieren so, daß T (x) = R(x) + a für alle x ∈ ℝ^{n}.

Korollar 2.30. Es sei T : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine Euklidische Bewegung. Dann ist A ⊂ ℝ^{n} genau dann Borelsch, wenn T (A) Borelsch ist und es gilt

λ(T (A)) = λ(A)

für alle Borelschen Mengen A ⊂ ℝ^{n}.

Satz 2.31. Es sei T : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine invertierbare lineare Tranformation. Dann ist A ⊂ ℝ^{n} Borelsch genau dann, wenn T (A) Borelsch ist, und es gilt

λ(T (A)) = | det T |λ(A)

für alle Borelschen Mengen A ⊂ ℝ^{n}.

Beweis: Da T : ℝ^{n} → ℝ^{n} ein Homöomorphismus ist, ist A Borelsch genau dann, wenn T (A) Borelsch ist. Wir definieren μ : B → [0, ∞] durch

μ(A) = λ(T (A)), A ∈ B.

Dann ist μ ein Maß. Es sei a ∈ ℝ^{n}. Dann gilt wegen der Translationsinvarianz des Lebesgueschen Maßes:

μ(A + a) = λ(T (A + a)) = λ(T (A) + T (a)) = λ(T (A)) = μ(A)

für alle A ∈ B, d.h., μ ist translationsinvariant. Auf Grund von Satz 2.28 existiert α ≥ 0 mit μ = αλ. Um α zu bestimmen, bemerken wir, daß eine symmetrische, positiv definite lineare Abbildung S und R ∈ O(n) existieren so, daß

T = R · S

Und zwar ist S = (T T^{∗})^{1/2} und R = T S^{−1}. Aus Satz 2.29 folgt

λ(T (A)) = λ(R(S(A))) = λ(S(A))

für alle A ∈ B. Außerdem ist

| det T | = det S.  (2.5)

Es genügt daher, den Satz für T = S zu beweisen. Da S > 0, existiert eine Orthonormalbasis f_{1}, …, f_{n} von ℝ^{n}, die aus Eigenvektoren von S besteht. Es seien β_{1}, …, β_{n} > 0 die Eigenwerte:

Sf_{i} = β_{i}f_{i}, i = 1, …, n.  (2.6)

Weiter sei

E = [0, 1]^{n} und Q = [0, β_{1}] × … × [0, β_{n}].

Es sei e_{1}, …, e_{n} die Standardbasis des ℝ^{n} und U ∈ O(n) sei die Übergangsmatrix der Basen (e_{1}, …, e_{n}) und (f_{1}, …, f_{n}). Dann ist

U(E) = {x ∈ ℝ^{n} | x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{i}, 0 ≤ x_{i} ≤ 1}

und

U(Q) = {x ∈ ℝ^{n} | x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{i}, 0 ≤ x_{i} ≤ β_{i}}.

Aus (2.6) folgt daher

S(U(E)) = U(Q).

Aus Satz 2.29 und (2.5) erhalten wir

α = αλ(E) = αλ(U(E)) = μ(U(E))

= λ(S(U(E))) = λ(U(Q)) = λ(Q)

= ∏_{i=1}^{n} β_{i} = det S = | det T |.

□

Korollar 2.32. Sei T : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine affine Tranformation des ℝ^{n}. Dann ist A ⊂ ℝ^{n} Borelsch genau dann, wenn T (A) Borelsch ist und es gilt

λ(T (A)) = | det T |λ(A)

für alle A ∈ B.

Korollar 2.33. Es sei α > 0 und A ⊂ ℝ^{n} eine Borelmenge. Dann ist αA := {αx | x ∈ A} Borelsch und

λ(αA) = α^{n}λ(A).

Beispiele: 1) Es seien v_{1}, …, v_{n} ∈ ℝ^{n} und es sei

P = {x ∈ ℝ^{n} | x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}v_{i}, 0 ≤ x_{i} ≤ 1}

das von v_{1}, …, v_{n} aufgespannte Parallelepiped. Dann ist

λ(P) = |det ((⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{i,j=1}^{n})| .

Beweis: Es sei e_{1}, …, e_{n} ∈ ℝ^{n} die Standardbasis und T : ℝ^{n} → ℝ^{n} die lineare Abbildung, die definiert ist durch T (e_{i}) = v_{i}, i = 1, …, n. Dann ist

P = T ([0, 1]^{n}).

Bezüglich (e_{1}, …, e_{n}) ist die Matrix von T gleich (⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{i,j=1}^{n}. Aus Satz 2.31 folgt damit

λ(P) = | det T |λ([0, 1]^{n})
= | det T | = |det ((⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{i,j=1}^{n})| .

2) Es seien x_{0}, y_{0} ∈ ℝ, a, b > 0 und

E = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | \frac{(x − x_{0})}{a^{2}} + \frac{(y − y_{0})^{2}}{b^{2}} ≤ 1\} .

Dann ist

λ(E) = πab.

Beweis: Wegen der Tanlationsinvarianz von λ können wir x_{0} = y_{0} = 0 annehmen. Es sei

K = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} ≤ 1}

und T : ℝ^{2} → ℝ^{2} sei denfiniert durch T (x, y) = (ax, by). Dann ist E = T (K). Aus Satz 2.31 folgt

λ(E) = λ(T (K)) = a · bλ(K) = abπ.
□

Charakterisierung der Lebesgue-meßbaren Mengen

Sei

L^{∗} = {A ⊂ ℝ^{n} | A ist λ_{n}^{∗} -meßbar}.

Nach Lemma 2.19 ist L^{∗} eine σ-Algebra. Im Beweis von Satz 2.17 haben wir gezeigt, daß B in L^{∗} enthalten ist und die Einschränkung des äußeren Maßes λ_{n}^{∗} auf L^{∗} ein Maß λ_{n} : L^{∗} → [0, ∞] induziert. Es sei weiterhin

L = {A ⊂ ℝ^{n} | A ist λ − meßbar}

die Menge der Lebesgue-meßbaren Mengen im Sinne von Abschnitt 2.4. Nach Definition ist A ∈ L genau dann, wenn eine Borelmenge B und eine Nullmenge N existieren mit

A = B ∪ N.

(ℝ^{n}, L, λ) ist die Komplettierung von (ℝ^{n}, B, λ). Da B ⊂ L^{∗} ist, ist B λ^{∗}-meßbar. Eine Nullmenge ist ebenfalls λ^{∗}-meßbar. Daher ist A ∈ L^{∗}, d.h., es gelten die folgenden Inklusionen

B ⊂ L ⊂ L^{∗}.

Wir möchten zeigen, daß L^{∗} = L gilt. Dazu geben wir eine andere Charakterisierung von L^{∗} an.

Satz 2.34. Es sei A ⊂ ℝ^{n} λ^{∗}-meßbar. Dann gilt

1) λ(A) = inf{λ(U) | U ⊂ ℝ^{n} offen und A ⊂ U}.

2) λ(A) = sup{λ(K) | K kompakt und K ⊂ A}.

Beweis: 1) Da A Lebesgue-meßbar ist, ist λ(A) gleich dem äußeren Maß von A bezüglich der halboffenen Quader. Sei ϵ > 0. Dann existiert eine Folge Q_{1}, Q_{2}, … von halboffenen Quadern mit A ⊂ ∪_{j}Q_{j} und ∑_{j=1}^{∞} λ(Q_{j}) ≤ λ(A) + ϵ. Wir können Q_{j} vergrößern zu einem offenen Quader Q′_{j} mit

λ(Q′_{j}) ≤ λ(Q_{j}) + \frac{ϵ}{2^{j}} .

Dann ist U = ∪_{j=1}^{∞}Q′_{j} offen, A ⊂ U und

λ(U) ≤ ∑_{j=1}^{∞} λ(Q′_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{∞}(λ(Q_{j}) + \frac{ϵ}{2^{j}}) ≤ λ(A) + 2ϵ.

2) Sei zunächst A ⊂ U_{r}(0) für ein r > 0. Nach 1) ist

λ(\overline{U_{r}(0)} \ A) = inf λ(U),

wobei das Infimum über alle offenen U ⊂ ℝ^{n} mit \overline{U_{r}(0)} \ A ⊂ U zu nehmen ist. Für solche U ist V = U ∩ \overline{U_{r}(0)} ⊃ \overline{U_{r}(0)} \ A, also

λ(\overline{U_{r}(0)} \ A) = inf λ(V),

wobei V offen in \overline{U_{r}(0)} ist mit V ⊃ \overline{U_{r}(0)}\A. In \overline{U_{r}(0)} sind diese V aber genau die Komplemente der abgeschlossenen und damit kompakten Mengen K mit K ⊂ A. Nun ist

λ(\overline{U_{r}(0)}) = λ(A) + λ(\overline{U_{r}(0)} \ A),

also ist λ(A) = sup λ(K) mit K ⊂ A kompakt. Der allgemeine Fall folgt daraus, da

ℝ^{n} = ⋃_{m≥1} U_{m}(0) und λ(A) = lim_{m→∞} λ(A ∩ \overline{U_{m}(0)}).

□

Es sei A ∈ L^{∗}. Aus Satz 2.34 folgt, daß zu jedem ϵ > 0 eine offene Menge U ⊂ ℝ^{n} und eine kompakte Menge K ⊂ ℝ^{n} existieren mit

K ⊂ A ⊂ U und λ(U \ K) < ϵ.

Daher existieren eine Folge (U_{i}) offener Mengen und eine Folge (K_{i}) kompakter Mengen mit

K_{i} ⊂ A ⊂ U_{i} und λ(U_{i} \ K_{i}) < \frac{1}{i}

für alle i ∈ ℕ. Sei

B_{1} = ⋃_{i=1}^{∞} K_{i} und B_{2} = ⋂_{i=1}^{∞} U_{i}.

Dann ist B_{1}, B_{2} ∈ B, und es gilt

B_{1} ⊂ A ⊂ B_{2} und λ(B_{2} \ B_{1}) = 0.

Insbesondere ist

A = B_{1} ∪ (A \ B_{1}) und λ(A \ B_{1}) = 0.

Damit ist A ∈ L, d.h., wir haben gezeigt, daß L = L^{∗} gilt. Wir können deshalb Lebesgue-meßbare Mengen auch wie folgt charakterisieren

Korollar 2.35. Eine Teilmenge A ⊂ ℝ^{n} ist genau dann Lebesguemeßbar, wenn gilt:

sup{λ(K) | K ⊂ A kompakt} = inf{λ(U) | U ⊃ A offen}.

Aus Korollar 2.35 erhalten wir noch eine andere Möglichkeit, das Lebesgue-Maß zu konstruieren. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Dann folgt aus Satz 2.25, daß eine Folge von Quadern (Q_{i}) existiert mit

U = ⋃_{i=1}^{∞} Q_{i}.

Wir können daher das Maß λ(U) von U definieren als

λ(U) = ∑_{i=1}^{∞} λ(Q_{i}).

Es sei jetzt K ⊂ ℝ^{n} eine kompakte Teilmenge. Dann existiert r > 0 mit K ⊂ U_{r}(0) und es gilt

U_{r}(0) = K ⊔ (U_{r}(0) \ K).

Daher können wir das Maß von K definieren durch

λ(K) = λ(U_{r}(0)) − λ(U_{r}(0) \ K).

Für eine beliebige Teilmenge A ⊂ ℝ^{n} definieren wir dann das äußere Maß λ^{∗}(A) durch

λ^{∗}(A) = inf{λ(U) | A ⊂ U, U ⊂ ℝ^{n} offen},

und das innere Maß λ_{∗}(A) durch

λ_{∗}(A) = sup{λ(K) | K ⊂ A kompakt}.

Eine Menge A ⊂ ℝ^{n} nennen wir dann Lebesgue-meßbar, wenn

λ^{∗}(A) = λ_{∗}(A)

gilt. Das Korollar 2.33 gilt entsprechend für λ-meßbare Mengen.

Satz 2.36. Es sei T : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine affine Transformation des ℝ^{n}. Dann ist A ⊂ ℝ^{n} λ-meßbar genau dann, wenn T (A) λ-meßbar ist und es gilt

λ(T (A)) = | det T |λ(A)

für alle λ-meßbaren Mengen A ⊂ ℝ^{n}.

Bemerkungen: 1) L ⫋ P(ℝ^{n}). Beweis: Wir definieren auf dem ℝ^{n} eine Äquivalenzrelation durch

x ∼ y ⇔ x − y ∈ ℚ^{n}.

Da ℚ^{n} abzählbar ist, ist die Menge der Äquivalenzklassen überabzählbar. Jede Klasse enthält ein Element aus E = [0, 1]^{n}. Wir wählen aus jeder Äquivalenzklasse ein Element aus E aus. Die Menge der Repräsentanten aller Äquivalenzklassen sei Ω. An dieser Stelle haben wir das Auswahlaxiom benutzt! Es gilt Ω ⊂ E. Weiter sei

ℚ^{n} ∩ [0, 1]^{n} = {q_{1}, q_{2}, … }

eine Abzählung von ℚ^{n} ∩ [−1, 1]^{n}. Wir setzen

Ω_{j} = Ω + q_{j}, j ∈ ℕ.

Dann ist

Ω_{i} ∩ Ω_{j} = ∅ für i ≠ j,

denn für x = q_{i} + a = q_{j} + b mit a, b ∈ Ω folgt b − a = q_{i} − q_{j}, d.h., b ∼ a. Daher gilt b = a und q_{i} = q_{j}. Es sei x ∈ E. Nach Definition von Ω existiert ein a ∈ Ω ⊂ E mit x − a ∈ ℚ^{n}. Da x und a beide in E = [0, 1]^{n} liegen, ist x − a ∈ [−1, 1]^{n}. Daher existiert i ∈ ℕ so, daß x − a = q_{i}. Daraus folgt x ∈ Ω_{i} und damit

E ⊂ ⋃_{j=1}^{∞} Ω_{j}.

Aus der Tranlationsinvarianz von λ^{∗} folgt λ^{∗}(Ω_{j}) = λ^{∗}(Ω) für alle j ∈ ℕ. Weiter gilt

1 = λ^{∗}(E) ≤ λ^{∗} (⋃_{j=1}^{∞} Ω_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{∞} λ^{∗}(Ω_{j}).

Daher ist λ^{∗}(Ω) > 0. Andererseits ist Ω_{j} ⊂ [−2, 2]^{n}. Wäre Ω meßbar, so wäre jedes Ω_{j} meßbar. Außerdem müßte gelten

∞ = ∑_{j=1}^{∞} λ^{∗}(Ω_{j}) = λ^{∗} (⋃_{j=1}^{∞} Ω_{j}) .

Andererseits ist aber

λ^{∗} (⋃_{j=1}^{∞} Ω_{j}) ≤ ([−2, 2]^{n}) = 4^{n}.

2) B ⫋ L. Beweis: Es sei A ⊂ ℝ^{n−1} eine Menge, die nicht λ_{n−1}-meßbar ist. Mittels der Inklusion ℝ^{n−1} ⊂ ℝ^{n} fassen wir A als Teilmenge von ℝ^{n} auf. Da nach Beispiel 2) λ_{n}(ℝ^{n−1}) = 0 ist, ist A eine Nullmenge in ℝ^{n} und daher λ_{n}-meßbar. Da aber A ⊂ ℝ^{n−1} nicht meßbar ist, ist A keine Borel-Menge in ℝ^{n−1} und daher auch keine Borel-Menge in ℝ^{n}.

2.7. Integration. Sei (X, A, μ) ein Maßraum. Mit \overline{A} bezeichnen wir die σ-Algebra der μ-meßbaren Teilmengen von X (siehe 2.4). Dann ist (X, \overline{A}, μ) die Lebesgue-Komplettierung von (X, A, μ). Für A ⊂ X sei χ_{A} die charakteristische Funktion von A, die definiert ist als

χ_{A}(x) = \begin{cases}1, & x ∈ A \\ 0, & x ∉ A. \end{cases}

Definition 2.37. Eine Abbildung f : X → ℝ^{m} heißt Treppenabbildung, wenn es paarweise disjunkte μ-meßbare Mengen A_{1}, …, A_{k} ⊂ X von endlichem Maß und Vektoren v_{1}, …, v_{k} ∈ ℝ^{m} gibt mit

f = ∑_{i=1}^{k} χ_{A_{i}}v_{i}.  (2.7)

Mit anderen Worten, eine Abbildung f : X → ℝ^{m} ist eine Treppenabbildung, wenn gilt:

1) f nimmt nur endlich viele Werte an.

2) Für alle v ∈ ℝ^{n} \ {0} ist f^{−1}(v) μ-meßbar und μ(f^{−1}(v)) < ∞.

Beispiele: Es sei jetzt (X, A, μ) = (ℝ, B, λ).

1) Die üblichen Treppenfunktionen f : ℝ → ℝ, die wir in Infini I kennengelernt haben, sind Treppenfunktionen im erweiterten Sinne.

2) χ_{ℚ} ist eine Treppenfunktion, denn für a ≠ 1 ist χ_{ℚ}^{−1}(a) = ϕ und χ_{ℚ}^{−1}(1) = ℚ ist meßbar mit Maß Null.

Die Menge der Treppenabbildungen f : X → ℝ^{m} bildet einen reellen Vektorraum T (X, ℝ^{m}).

Definition 2.38. Sei f ∈ T (X, ℝ^{m}), f = ∑_{i=1}^{k} v_{i}χ_{A_{i}}. Dann sei das Integral von f definiert durch

∫_{X} f(x)dμ(x) := ∑_{i=1}^{k} v_{i}μ(A_{i}).

Wir müssen noch nachprüfen, daß die Definition unabhängig ist von der Darstellung von f als Treppenabbildung. Seien also

f = ∑_{i=1}^{k} v_{i}χ_{A_{i}} = ∑_{j=1}^{l} w_{j}χ_{B_{j}}

zwei Darstellungen von f. Für x ∈ A_{i} ∩ B_{j} gilt

v_{i} = f(x) = w_{j}.

O.B.d.A. können wir annehmen, daß v_{i} ≠ 0 ist für alle i und w_{j} ≠ 0 für alle j. Dann sind

A_{i} = ⋃_{j=1}^{l}(A_{i} ∩ B_{j}) und B_{j} = ⋃_{i=1}^{k}(A_{i} ∩ B_{j})

disjunkte Zerlegungen von A_{i} bzw. B_{j}, und es gilt

∑_{i} v_{i}μ(A_{i}) = ∑_{i,j} v_{i}μ(A_{i} ∩ B_{j}) = ∑_{j,i} w_{j}μ(A_{i} ∩ B_{j}) = ∑_{j} w_{j}μ(B_{j}).

Also ist das Integral wohldefiniert. Für eine μ-meßbare Teilmenge A ⊂ X setzen wir

∫_{A} f(x)dμ(x) = ∑_{i=1}^{k} v_{i}μ(A_{i} ∩ A).

Wir bemerken, daß

f |_{A}= ∑_{i=1}^{k} v_{i}χ_{A_{i}∩A}.

Zur Abkürzung schreiben wir auch

∫_{X} fdμ oder ∫_{X} f,

wenn das Maß μ fixiert ist.

Lemma 2.39. Das Integral hat folgende Eigenschaften:

1) Für alle α, β ∈ ℝ und f, g ∈ T (X, ℝ^{m}) gilt

∫_{X}(αf + βg)dμ = α ∫_{X} fdμ + β ∫ gdμ.

2) Für alle f ∈ T (X, ℝ^{m}) gilt

∥ ∫_{X} fdμ ∥≤ ∫_{X} ∥ f ∥ dμ.

3) Für alle f ∈ T (X, ℝ^{m}) und alle μ-meßbaren Teilmengen A ⊂ X ist

∫_{X} fdμ = ∫_{A} fdμ + ∫_{X\A} fdμ.

4) Für alle f ∈ T (X, ℝ^{m}) und μ-meßbaren A ⊂ X mit {x ∈ X | f(x) ≠ 0} ⊂ A gilt

∥ ∫_{X} fdμ ∥ ≤ ∥ f ∥_{∞} μ(A),

wobei ∥ f ∥_{∞}= sup{∥ f(x) ∥| x ∈ X}.

5) Wenn m = 1 und f ≤ g, so ist

∫_{X} fdμ ≤ ∫_{X} gdμ.

In dem ℝ-Vektorraum T (X, ℝ^{m}) führen wir die L^{1}-Seminorm ein durch

∥ f ∥_{1}= ∫_{X} ∥ f(x) ∥ dμ(x), f ∈ T (X, ℝ^{m}).

Eigenschaften der Seminorm

1) ∥ f ∥≥ 0 für alle f ∈ T (X, ℝ^{m}).

2) Für alle λ ∈ ℝ und f ∈ T (X, ℝ^{m}) gilt

∥ λf ∥_{1}= |λ| ∥ f ∥_{1} .

3) Für alle f, g ∈ T (X, ℝ^{m}) gilt

∥ f + g ∥_{1} ≤ ∥ f ∥_{1} + ∥ g ∥_{1} .

Zur Norm fehlt die Eigenschaft ∥ f ∥_{1}= 0 ⇒ f = 0. Wir möchten jetzt die Vervollständigung von T ((X, ℝ^{m}) bezüglich der L^{1}-Seminorm untersuchen.

Definition 2.40. Es sei L^{1}(X, ℝ^{m}) die Menge der Abbildungen f : X → ℝ^{m}, für die eine L^{1}-Cauchyfolge (f_{n}) in T (X, ℝ^{m}) existiert, die fast überall punktweise gegen f konvergiert.

Es ist leicht zu sehen, daß L^{1}(X, ℝ^{m}) ein ℝ-Vektorraum ist. Wir möchten jetzt das Integral auf Abbildungen aus L^{1}(X, ℝ^{m}) erweitern. Dazu benötigen wir einige Lemmas.

Lemma 2.41. Es sei (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in T (X, ℝ^{m}). Dann existiert eine Teilfolge (f_{n_{k}}), die fast überall punktweise gegen eine Abbildung f : X → ℝ^{m} konvergiert, und zwar so, daß zu jedem ϵ > 0 eine μ-meßbare Menge A mit μ(A) < ϵ existiert, so daß (f_{n_{k}}) auf X \ A gleichmäßig gegen f konvergiert.

Beweis: Da (f_{n}) eine Cauchy-Folge ist, existiert für alle k ∈ ℕ ein n_{k} ∈ ℕ so, daß

∥ f_{i} − f_{j} ∥_{1}< 2^{−2k} für alle i, j ≥ n_{k}.

Die Folge (n_{k}) wählen wir streng monoton wachsend und setzen g_{k} = f_{n_{k}}. Dann gilt für alle k, l mit l ≥ k.

∥ g_{k} − g_{l} ∥_{1}< 2^{−2k}.

Wir bemerken, daß

g_{k} = g_{1} + ∑_{i=1}^{k−1}(g_{i+1} − g_{i})

ist. Deshalb genügt es, die Reihe ∑_{i=1}^{∞}(g_{i+1} − g_{i}) auf punktweise Konvergenz zu untersuchen. Dazu betrachten wir die Menge

Y_{k} = {x ∈ X | ∥ g_{k+1}(x) − g_{k}(x) ∥≥ 2^{−k}}.

Da g_{k} und g_{k+1} Treppenabbildungen sind, ist Y_{k} μ-meßbar und μ(Y_{k}) < ∞. Da auf Y_{k} die Ungleichung

\frac{1}{2^{k}} ≤∥ g_{k+1}(x) − g_{k}(x) ∥

gilt, ist

\begin{aligned}\frac{1}{2^{k}} μX(Y_{k}) & = ∫_{Y_{k}} \frac{1}{2^{k}} dμ ≤ ∫_{Y_{k}} ∥ g_{k+1}(x) − g_{k}(x) ∥ dμ \\ & ≤∥ g_{k+1} − g_{k} ∥_{1}≤ 2^{−2k}. \end{aligned}

Daraus folgt

μ(Y_{k}) ≤ 2^{−k}.

Sei

A_{k} = Y_{k} ∪ Y_{k+1} ∪ ⋯

Dann ist A_{k} μ-meßbar und es gilt

μ(A_{k}) ≤ ∑_{j=k}^{∞} μ(Y_{j}) ≤ ∑_{j=k}^{∞} 2^{−j} = 2^{−k+1}.

Für x ∉ A_{k} gilt

∥ g_{l+1}(x) − g_{l}(x) ∥≤ 2^{−l} für alle l ≥ k.

Daraus folgt, daß

∑_{j=k}^{∞}(g_{j+1} − g_{j})

auf X \ A_{k} absolut und gleichmäßig konvergiert. Daraus folgt die letzte Behauptung des Lemmas. Es sei

A = ⋂_{k≥1} A_{k}.

Dann hat A das Maß 0. Wenn x ∈ X \ A ist, so existiert k ∈ ℕ mit x ∈ X \ A_{k}. Daher konvergiert die Reihe

∑_{j=1}^{∞} ∥ g_{j+1}(x) − g_{j}(x) ∥ .

Wir haben damit gezeigt, daß diese Reihe für jedes x ∈ X \ A konvergiert.

□

Wenn (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in T (X, ℝ^{m}) ist, so ist

∥ ∫_{X} f_{n}dμ − ∫_{X} f_{m}dμ ∥≤ ∫_{X} ∥ f_{n}(x) − f_{m}(x) ∥ dμ =∥ f_{n} − f_{m} ∥_{1} .

Daher ist (∫_{X} f_{n}dμ) eine Cauchyfolge reeller Zahlen und es existiert

lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}dμ.

Lemma 2.42. Es seien (f_{n}) und (g_{n}) L^{1}-Cauchyfolgen in T (X, ℝ^{m}), die punktweise fast überall gegen dieselbe Abbildung f : X → ℝ^{m} konvergieren. Dann gilt

lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} g_{n}dμ und lim_{n→∞} ∥ f_{n} − g_{n} ∥_{1}= 0.

Beweis: Sei h_{n} = f_{n} − g_{n}, n ∈ ℕ. Dann konvergiert (h_{n}) fast überall punktweise gegen 0. Weiter ist

∥ h_{n} − h_{m} ∥_{1}=∥ (f_{n} − g_{n}) − (f_{m} − g_{m}) ∥_{1}≤∥ f_{n} − f_{m} ∥_{1} + ∥ g_{n} − g_{m} ∥_{1} .

Daher ist (h_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge. Wegen

∥ ∫_{X} h_{n}(x)dμ ∥≤ ∫_{X} ∥ h_{n}(x) ∥ dμ

genügt es,

∫_{X} ∥ h_{n}(x) ∥ dμ ⟶_{n→∞} 0

zu zeigen. Sei ϵ > 0 gegeben. Dann existiert N ∈ ℕ so, daß

∥ h_{n} − h_{m} ∥_{1}< ϵ für alle n, m ≥ N.

Sei

Z = {x ∈ X | h_{N}(x) = 0}.

Für alle n ≥ N gilt dann

\begin{aligned}∫_{Z} ∥ h_{n}(x) ∥ dμ & = ∫_{Z} ∥ h_{n}(x) − h_{N}(x) ∥ dμ \\ & ≤ ∫_{X} ∥ h_{n}(x) − h_{N}(x) ∥ dμ < ϵ. \end{aligned}

Weiter ist μ(X \ Z) < ∞, da h_{N} eine Treppenabbildung ist. Nach Lemma 2.41 existiert eine Teilfolge (h_{n_{k}}) und zu ϵ eine μ-meßbare Teilmenge A ⊂ X mit μ(A) < ϵ/(∥ h_{N} ∥_{∞} +1) so, daß (h_{n_{k}}) auf X \ A gleichmäßig gegen 0 konvergiert. Daher existiert zu ϵ ein K ∈ ℕ so, daß n_{k} ≥ N für alle k ≥ K, und für alle k ≥ K und x ∈ X \ A ist

∥ h_{n_{k}}(x) ∥< \frac{ϵ}{μ(X \ Z) + 1}.

Dann gilt

∫_{X} ∥ h_{n}(x) ∥ dμ ≤ ∫_{X} ∥ h_{n}(x) − h_{n_{k}}(x) ∥ dμ + ∫_{X} ∥ h_{n_{k}}(x) ∥ dμ

< ϵ + ∫_{X\(A∪Z)} ∥ h_{n_{k}}(x) ∥ dμ + ∫_{Z} ∥ h_{n_{k}}(x) ∥ dμ

+ ∫_{A} ∥ h_{n_{k}}(x) ∥ dμ

≤ ϵ + \frac{μ(X \ (A ∪ Z))}{μ(X \ Z) + 1}ϵ + ϵ + ∫_{A} ∥ h_{N}(x) ∥ dμ

+ ∫_{A} ∥ h_{N}(x) − h_{n_{k}}(x) ∥ dμ

≤ 3ϵ + ∫_{A} ∥ h_{N} ∥_{∞} dμ + ∫_{X} ∥ h_{N}(x) − h_{n_{k}}(x) ∥ dμ

≤ 3ϵ+ ∥ h_{N} ∥_{∞} ·μ(A) + ϵ = 5ϵ.

□

Definition 2.43. Es sei f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) und (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in T (X, ℝ^{m}), die fast überall punktweise gegen f konvergiert. Dann definieren wir das Integral von f durch

∫_{X} f(x)dμ(x) := lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x)dμ(x).

Die Elemente von L^{1}(X, ℝ^{m}) nennen wir μ-integrabel oder einfach integrabel.

Aus Lemma 2.42 folgt, daß der Grenzwert auf der rechten Seite nicht von der Auswahl der L^{1}-Cauchyfolge (f_{n}) abhängt und daher ist das Integral eindeutig definiert. Es sei f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) und sei (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in T (X, ℝ^{m}), die punktweise fast überall gegen f konvergiert. Dann sind die Funktionen

x ∈ X ⟼∥ f_{n}(x) ∥∈ ℝ

Treppenfunktionen und für fast alle x ∈ X konvergiert (∥ f_{n}(x) ∥) gegen ∥ f(x) ∥. Weiter ist

\begin{matrix}|| ∥ f_{n} ∥ & − ∥ f_{m} ∥ ||_{1} ∫_{X} | ∥ f_{n}(x) ∥ − ∥ f_{m}(x) ∥ |dμ \\ ≤ ∫_{X} ∥ f_{n}(x) − f_{m}(x) ∥ dμ =∥ f_{n} − f_{m} ∥_{1} . \end{matrix}

Dies zeigt, daß (∥ f_{n} ∥) eine L^{1}-Cauchyfolge ist. Wir können daher die L^{1}-Seminorm ∥ f ∥_{1} von f definieren durch

∥ f ∥_{1}:= ∫_{X} ∥ f(x) ∥ dμ.

Wir benutzen wieder die verkürzte Schreibweise

∫_{X} f(x)dμ oder ∫_{X} fdμ

für das Integral. Sei A ⊂ X μ-meßbar und f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}). Wenn (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge von Treppenabbildungen ist, die punktweise fast überall gegen f konvergiert, so ist (f_{n} | A) eine L^{1}-Cauchyfolge von Treppenabbildungen auf A, die auf A punktweise fast überall gegen f konvergiert. Wir definieren dann

∫_{A} f(x)dμ(x) = lim_{n→∞} ∫_{A} f_{n}(x)dμ(x).

Eigenschaften des Integrales

Satz 2.44. 1) Für alle α, β ∈ ℝ und f, g ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) gilt

∫_{X}(αf(x) + βg(x))dμ = α ∫_{X} f(x)dμ + β ∫_{X} g(x)dμ.

2) Für alle f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) ist ∥ f ∥∈ L^{1}(X, ℝ) und

∥ ∫_{X} f(x)dμ ∥≤ ∫_{X} ∥ f(x) ∥ dμ =∥ f ∥_{1} .

3) Für alle f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) und alle μ-meßbaren A ⊂ X ist

∫_{X} fdμ = ∫_{A} fdμ + ∫_{X\A} fdμ.

4) Die L^{1}-Norm

f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) ⟼∥ f ∥_{1}∈ [0, ∞)

ist eine Seminorm auf L^{1}(X, ℝ^{m}) und das Integral ist stetig für diese Seminorm.

5) Für alle f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) und μ-meßbaren A ⊂ X mit {x ∈ X | f(x) ≠ 0} ⊂ A gilt

∥ ∫_{X} f(x)dμ ∥≤∥ f ∥_{∞} ·μ(A),

wobei ∥ f ∥_{∞} die Suprenumsnorm von f ist.

Beweis: 1) Seien f, g ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) und α, β ∈ ℝ. Seien (f_{n}), (g_{n}) L^{1}-Cauchyfolgen von Treppenabbildungen, die fast überall punktweise gegen f bzw. g konvergieren. Dann konvergiert (αf_{n} +βg_{n}) fast überall punktweise gegen αf + βg, und

∫_{X}(αf + βg)dμ = lim_{n→∞} ∫_{X}(αf_{n} + βg_{n})dμ

= α lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}dμ + β lim_{nj→∞} ∫_{X} g_{n}dμ

= α ∫_{X} fdμ + β ∫_{X} gdμ.

2) Sei (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge, die fast überall punktweise gegen f konvergiert. Dann konvergiert (∥ f_{n} ∥) fast überall punktweise gegen ∥ f ∥, und wegen

|| ∥ f_{n} ∥ − ∥ f_{m} ∥ ||_{1} ≤∥ f_{n} − f_{m} ∥_{1},

ist auch (∥ f_{n} ∥) eine L^{1}-Cauchyfolge. Dies zeigt, daß ∥ f_{n} ∥ integrabel ist und die behauptete Ungleichung folgt aus der entsprechenden Ungleichung für Treppenabbildungen durch Grenzübergang. Die Eigenschaften 3) - 5) beweist man analog.

Satz 2.45. Der Raum L^{1}(X, ℝ^{m}) ist vollständig bezüglich der Seminorm ∥ · ∥_{1}.

Beweis: 1) Es sei f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}). Dann existiert eine L^{1}-Cauchyfolge (f_{n}) von Treppenabbildungen, die punktweise fast überall gegen f konvergiert. Aus der Definition der L^{1}-Seminorm folgt

∥ f_{n} − f ∥_{1}= lim_{k→∞} ∥ f_{n} − f_{k} ∥_{1} .

Da (f_{n}) eine Cauchyfolge ist, folgt daraus

lim_{n→∞} ∥ f_{n} − f ∥_{1}= 0.

2) Es sei (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in L^{1}(X, ℝ). Aus 1) folgt, daß zu jedem n ∈ ℕ ein g_{n} ∈ T (X, ℝ^{m}) existiert mit

∥ f_{n} − g_{n} ∥_{1}< \frac{1}{n}.

Für die Folge (g_{n}) gilt

∥ g_{n} − g_{m} ∥_{1}≤∥ g_{n} − f_{n} ∥_{1} + ∥ f_{n} − f_{m} ∥_{1} + ∥ g_{m} − f_{m} ∥_{1} .

Daraus folgt, daß (g_{n}) eine Cauchyfolge ist. Nach Lemma 2.41 existiert eine Teilfolge (g_{n_{k}}) und eine Abbildung f : X → ℝ^{m} mit

g_{n_{k}}(x) ⟶_{k→∞} f(x) für fast alle x ∈ X.

Dann ist f ∈ L^{1}(X, ℝ) und es gilt

∥ f_{n_{k}} − f ∥_{1}≤∥ f_{n_{k}} − g_{n_{k}} ∥_{1} + ∥ g_{n_{k}} − f ∥_{1} .

Nach 1) ist lim_{k→∞} ∥ g_{n_{k}} − f ∥_{1}= 0. Sei ϵ > 0. Wir wählen N ∈ ℕ so, daß

1/N < ϵ/2 und ∥ g_{n_{k}} − f ∥_{1}< ϵ/2 für n_{k} ≥ N.

Dann ist

∥ f_{n_{k}} − f ∥< ϵ für alle k ∈ ℕ mit n_{k} ≥ N.

Da (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge ist, existiert N_{1} ≥ N mit

∥ f_{n} − f ∥_{1}≤∥ f_{n} − f_{n_{k}} ∥_{1} + ∥ f_{n_{k}} − f ∥_{1}< 2ϵ für n, n_{k} ≥ N_{1}.

□

Satz 2.46. Es sei f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}). Dann gilt

1) f ist μ-meßbar und A = {x ∈ X | f(x) ≠ 0} ist σ-endlich.

2) Für alle c > 0 ist A_{c} = {x ∈ X |∥ f(x) ∥≥ c} μ-meßbar und μ(A_{c}) ≤ ∥ f ∥_{1}/c.

3) ∀ϵ > 0 ∃δ > 0 : ∫_{A} ∥ f(x) ∥ dμ < ϵ für alle μ-meßbaren A mit μ(A) < δ.

Beweis: 1) Sei f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}). Dann existiert eine Folge (f_{n}) in T (X, ℝ^{m}) und eine Teilmenge N ⊂ X mit

μ(N) = 0 und lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x) für alle x ∈ X \ N.

Da f_{n} eine Treppenabbildung ist, ist f_{n} μ-meßbar. Aus Satz 2.9 folgt, daß f μ-meßbar ist. Sei A_{n} = {x ∈ X | f_{n}(x) ≠ 0}. Dann ist

A ⊂ (⋃_{n≥1} A_{n}) ∪ N.

Die Mengen A_{n} sind μ-meßbar mit μ(A_{n}) < ∞.

2) Sei (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in T (X, ℝ^{m}), die fast überall punktweise gegen f konvergiert. Nach Lemma 2.41 existiert eine Teilfolge (f_{n_{k}}) und zu jedem ϵ > 0 existiert Z ⊂ X mit μ(Z) < ϵ so, daß f_{n_{k}} auf X \Z gleichmäßig gegen f konvergiert. Daher existiert N_{0} ∈ ℕ so, daß

∥ f_{n_{k}}(x) ∥≥ \frac{c}{2} für alle x ∈ A_{c} \ Z und alle n_{k} ≥ N_{0}.

Da f_{n_{k}} eine Treppenabbildung ist, folgt, daß A_{c} μ-meßbar ist und μ(A_{c}) < ∞. Weiter ist

cμ(A_{c}) = ∫_{A_{c}} c ≤ ∫_{A_{c}} ∥ f(x) ∥ dμ ≤∥ f ∥_{1} .

3) Für n ≥ 0 sei

B_{n} = {x ∈ X | n ≤∥ f(x) ∥< n + 1}.

Die B_{n} sind μ-meßbar, paarweise disjunkt und X = ∪_{n≥0}B_{n}. Daher gilt

∥ f ∥_{1}= ∑_{n≥0} ∫_{B_{n}} ∥ f(x) ∥ dμ ≥ ∑_{n≥0} nμ(B_{n}).

Nach dem Majorantenkriterium folgt

∑_{n=1}^{∞} μ(B_{n}) < ∞.

Für n ≥ 1 sei

C_{n} = B_{0} ∪ ⋯ ∪ B_{n−1}.

Dann gilt

∫_{X\C_{n}} ∥ f(x) ∥ dμ ≤ ∑_{k≥n}(k + 1)μ(B_{k}) < ∞,

denn X \ C_{n} = B_{n} ∪ B_{n+1} ∪ ⋯ und ∥ f(x) ∥≤ k + 1 für x ∈ B_{k+1}. Sei ϵ > 0. Zu ϵ wählen wir N ∈ ℕ so, daß

∑_{k≥N}(k + 1)μ(B_{k}) < \frac{ϵ}{2}.

Sei δ = ϵ/2N. Sei A eine μ-meßbare Teilmenge von X mit μ(A) < δ. Dann folgt

\begin{aligned}∫_{A} ∥ f(x) ∥ dμ & = ∫_{A∩C_{n}} ∥ f(x) ∥ dμ + ∫_{A\C_{N}} ∥ f(x) ∥ dμ \\ & < μ(A)N + \frac{ϵ}{2} < δN + \frac{ϵ}{2} = ϵ. \end{aligned}

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Korollar 2.47. Sei f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}). Dann ist ∥ f ∥_{1}= 0 genau dann, wenn f(x) = 0 für fast alle x ∈ X.

Beweis: ⇐) Sei N = {x ∈ X | f(x) ≠ 0}. Dann ist μ(N) = 0. Weiter ist

∫_{X} f(x)dμ = ∫_{N} f(x)dμ,

und aus Satz 2.46,3) folgt ∫_{N} f(x)dμ = 0. ⇒) Für c > 0 sei

A_{c} = {x ∈ X |∥ f(x) ∥≥ c}.

Weiter sei N = {x ∈ X | f(x) ≠ 0}. Dann ist

N = ⋃_{k≥1} A_{\frac{1}{k}} .

Aus Satz 2.46,2) folgt

λ(A_{\frac{1}{k}}) = 0.

Daher ist λ(N) = 0.

□

Bemerkung: Es sei f : X → ℝ^{m} μ-meßbar und g : X → ℝ^{m} sei eine Abbildung mit f(x) = g(x) für fast alle x ∈ X. Dann ist f integrabel genau dann, wenn g integrabel ist, und in diesem Falle ist

∫_{A} f(x)dμ = ∫_{A} g(x)dμ

für alle μ-meßbaren Mengen A ⊂ X.

Satz 2.48. Es sei (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in L^{1}(X, ℝ^{m}) und sei f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) so, daß lim_{n→∞} ∥ f_{n}−f ∥_{1}= 0. Dann existiert eine Teilfolge f_{n_{k}}, die punktweise fast überall gegen f konvergiert, und zwar so, daß zu jedem ϵ > 0 eine μ-meßbare Teilmenge A ⊂ X mit μ(A) < ϵ existiert so, daß f_{n_{k}} auf X \ A gleichmäßig gegen f konvergiert.

Beweis: Indem wir f_{n} durch f_{n} − f ersetzen, können wir f = 0 annehmen. Weiterhin können wir durch Übergang zu einer Teilfolge annehmen, daß für alle n ∈ ℕ:

∥ f_{n} ∥_{1}< \frac{1}{2^{2n}} .

Durch Abänderung von f_{n} auf einer Menge vom Maß 0 können wir annehmen, daß alle f_{n} meßbar sind. Wir verfahren wie im Beweis von Lemma 2.41. Es sei

Y_{n} = {x ∈ X |∥ f_{n}(x) ∥≥ 2^{−n}} .

Dann ist Y_{n} meßbar und es gilt

\frac{1}{2^{n}} μ(Y_{n}) ≤ ∫_{Y_{n}} ∥ f_{n}(x) ∥ dμ ≤ ∫_{X} ∥ f_{n}(x) ∥ dμ ≤ \frac{1}{2^{2n}} ,

und daher

μ(Y_{n}) ≤ \frac{1}{2^{n}} .

Sei Z_{n} = Y_{n} ∪ Y_{n+1} ∪ · · ·. Dannn gilt

μ(Z_{n}) ≤ 2^{−n+1}.

Wenn x ∉ Z_{n}, dann gilt für alle k ≥ n

∥ f_{k}(x) ∥≤ \frac{1}{2^{k}} .

Daher konvergiert (f_{k}) auf X \ Z_{n} gleichmäßig gegen 0. Sei

Z = ⋂_{n≥1} Z_{n}.

Dann gilt μ(Z) = 0 und (f_{k}) konvergiert auf X \ Z punktweise gegen 0.

□

Korollar 2.49. Es sei (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in L^{1}(X, ℝ^{m}), die punktweise fast überall gegen eine Abbildung f : X → ℝ^{m} konvergiert. Dann ist f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) und lim_{n→∞} ∥ f_{n} − f ∥_{1}= 0.

Beweis: Da L^{1}(X, ℝ^{m}) vollständig ist, existiert g ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) mit

lim_{n→∞} ∥ f_{n} − g ∥_{1}= 0

und aus Satz 2.48 folgt, daß eine Teilfolge (f_{n_{k}}) punktweise fast überall gegen g konvergiert. Da (f_{n_{k}}) nach Voraussetzung fast überall gegen f konvergiert, ist

f(x) = g(x) für fast alle x ∈ X.
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Es sei

N^{1}(X, ℝ^{m}) = {f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) |∥ f ∥_{1}= 0} .

Dann ist N^{1} ⊂ L^{1} ein Unterraum. Sei

L^{1}(X, ℝ^{m}) = L^{1}(X, ℝ^{m})/N^{1}(X, ℝ^{m}).

Für [f] ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) sei

∥ [f] ∥_{1}:=∥ f ∥_{1} .

Diese Defintion ist unabhängig vom Repräsentanten. (L^{1}(X, ℝ^{m}), ∥ · ∥_{1}) ist ein vollständiger normierter Raum. Bez.: [f] ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}) wird einfach mit f bezeichnet.

L^{1} − lim_{n→∞} f_{n} = f ⇔ lim_{n→∞} ∥ f_{n} − f ∥_{1}= 0.

2.8. Konvergenzsätze. Das Lebesgue-Integral ist unter ziemlich schwachen Voraussetzungen mit Grenzwertbildung vertauschbar. Das ist ein goßer Vorzug des Lebesgueintegrals.

Satz 2.50. (monotone Konvergenz, Satz von Beppo Levi) Es sei f_{n} : X → ℝ, n ≥ 1, eine monoton wachsende (bzw. monoton fallende) Folge integrabler Funktionen, so daß die Folge (∫_{X} f_{n}dμ) beschränkt ist. Dann konvergiert (f_{n}) punktweise fast überall und in der L^{1}-Seminorm gegen eine integrable Funktion f : X → ℝ. Insbesondere gilt

∫_{X} f(x)dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x)dμ.

Beweis: Wir betrachten den Fall einer monoton wachsenden Folge. Die Folge der Integrale ∫_{X} f_{n}(x)dμ ist nach Voraussetzung monoton wachsend und beschränkt. Nach dem Satz über monotone beschränkte Folgen ist die Folge (∫_{X} f_{n}dμ) konvergent. Daher existiert für alle ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit

∫_{X} f_{k}(x)dμ − ∫_{X} f_{n}(x)dμ < ϵ

für alle k ≥ n ≥ N. Für solche Paare k, n gilt aber auf Grund der Monotonie

∥ f_{k} − f_{n} ∥_{1}= ∫_{X}(f_{k}(x) − f_{n}(x))dμ < ϵ.

Damit ist (f_{k}) eine L^{1}-Cauchyfolge. Aus Satz 2.45 folgt, daß ein f ∈ L^{1}(X, ℝ) existiert mit f = L^{1}−lim_{n→∞} f_{n}. Aus Satz 2.48 folgt, daß eine Teilfolge (f_{n_{k}}) existiert, die fast überall punktweise gegen f konvergiert. Da (f_{n}) eine monoton wachsende Folge ist, konvergiert daher auch (f_{n}) punktweise fast überall gegen f.

□

Lemma 2.51. (Lemma von Fatou). Es sei f_{n} : X → ℝ, n ≥ 1, eine Folge nichtnegativer integrabler Funktionen mit lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x)dμ < ∞. Dann existiert

f(x) := lim inf_{n→∞} f_{n}(x)

fast überall, f ist integrabel und es gilt

∫_{X} f(x)dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x)dμ.

Beweis: Sei k ∈ ℕ und

g_{k,n} = inf(f_{k}, …, f_{k+n}), n ≥ 1.

Die Folge (g_{k,n}) ist monoton fallend und g_{k,n} ≥ 0 für alle n ∈ ℕ. Daher ist die Folge (∫_{X} g_{k,n}dμ) beschränkt. Es sei

h_{k} = inf_{n≥k} f_{n} = lim_{n→∞} g_{k,n}.

Nach dem Satz von Beppo Levi folgt

∫_{X} h_{k}(x)dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} g_{k,n}(x) dμ.

Für alle n ≥ 1 gilt

g_{k,n} ≤ f_{k+j}, 0 ≤ j ≤ n.

Daher ist

∫_{X} h_{k}(x)dμ ≤ inf_{l≥k} ∫_{X} f_{l}(x)dμ.

Weiter ist

inf_{l≥k} ∫_{X} f_{l}(x) dμ ≤ lim_{l→∞} inf_{n≥l} ∫_{X} f_{n}(x) dμ = lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x) dμ < ∞.

Daraus folgt, daß (∫_{X} h_{k}(x) dμ) eine monoton wachsende und beschränkte Folge ist. Aus dem Satz von Beppo Levi folgt, daß

lim_{k→∞} h_{k}(x) = lim inf_{n→∞} f_{n}(x)

fast überall existiert und integrabel ist mit

∫_{X} lim inf_{n→∞} f_{n}(x) dμ = lim_{k→∞} ∫_{X} h_{k}(x) dμ.

Zusammen mit obiger Ungleichung folgt daraus

∫_{X} lim inf_{n→∞} f_{n}(x) dμ ≤ lim inf_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x) dμ.

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Satz 2.52. (Satz von Lebesgue, dominante Konvergenz) Es sei (f_{n}) eine Folge in L^{1}(X, ℝ^{m}), die punktweise fast überall gegen eine Abbildung f : X → ℝ^{m} konvergiert. Es sei g : X → ℝ eine integrable Funktion mit ∥ f_{n}(x) ∥≤ g(x) für alle x ∈ X und n ≥ 1. Dann ist f integrabel und f = L^{1} − lim_{n→∞} f_{n}. Insbesondere gilt

∫_{X} f(x)dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x)dμ.

Beweis: Es sei k ≥ 1 fest. Wir definieren g_{n} : X → ℝ, n ≥ 1, durch

g_{n}(x) = sup{∥ f_{i}(x) − f_{j}(x) ∥| k ≤ i, j ≤ k + n}.

Dann ist g_{n} integrabel und (g_{n}) ist monoton wachsend. Weiter ist

g_{n}(x) ≤ 2g(x) für alle x ∈ X.

Nach dem Satz von Beppo Levi existiert daher

h_{k}(x) = lim_{n→∞} g_{n}(x)

fast überall und h_{k} ist integrabel. Nach Definition gilt

h_{k}(x) = sup{∥ f_{i}(x) − f_{j}(x) ∥| i, j ≥ k}.

Dann ist h_{k} ≥ 0 und die Folge (h_{k}) ist monoton fallend und konvergiert nach Voraussetzung fast überall gegen 0. Aus dem Satz von Beppo Levi folgt daher

lim_{k→∞} ∫_{X} h_{k}(x) dμ = 0.

Für n ≥ k ist nach Definition von h_{k}

∥ f_{k} − f_{n} ∥_{1}≤ ∫_{X} h_{k}(x)dμ.

Daraus folgt, daß (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge ist. Die Behauptung des Satzes folgt aus Korollar 2.49.

□

Korollar 2.53. Sei (f_{n}) eine Folge in L^{1}(X, ℝ^{m}) so, daß

∑_{n≥1} ∫_{X} ∥ f_{n}(x) ∥ dμ < ∞.

Dann konvergiert die Reihe ∑_{n≥1} f_{n}(x) für fast alle x ∈ X und es gilt

∫_{X} (∑_{n≥1} f_{n}(x)) dμ = ∑_{n≥1} ∫_{X} f_{n}(x)dμ.

Beweis: Für n ∈ ℕ sei

g_{n}(x) := ∑_{k=1}^{n} ∥ f_{k}(x) ∥ .

Dann ist (g_{n}) eine Folge in L^{1}(X, ℝ) und (g_{n}) ist monoton wachsend.

Nach Voraussetzung ist die Folge (∫_{X} g_{n}(x)dμ) beschränkt. Nach dem Satz von Beppo Levi konvergiert die Folge (g_{n}) fast überall gegen die Funktion

g(x) = ∑_{k=1}^{∞} ∥ f_{k}(x) ∥

und g : X → ℝ ist integrabel. Daraus folgt, daß ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(x) fast überall konvergiert. Nach dem Satz von Lebesgue konvergiert daher ∑_{k=1}^{n} f_{k} in der L^{1}-Seminorm. Insbesondere gilt dann

∫_{X} (∑_{k=1}^{∞} f_{k}(x)) dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} (∑_{k=1}^{n} f_{k}(x)) dμ = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} ∫_{X} f_{k}(x)dμ.

□

Korollar 2.54. Es sei f : X → ℝ^{m} μ-meßbar. Dann ist f genau dann integrabel, wenn eine integrierbare Funktion g : X → ℝ existiert mit ∥ f(x) ∥≤ g(x) für fast alle x ∈ X. Insbesondere gilt auch: f ist genau dann integrabel, wenn ∥ f ∥ integrabel ist.

Beweis: ⇒) Es sei f integrabel. Nach Satz 2.44, 2), ist dann ∥ f ∥ integrabel und wir können g =∥ f ∥ wählen. ⇐) Sei g : X → ℝ integrabel mit ∥ f(x) ∥≤ g(x) für fast alle x ∈ X. Da f μ-meßbar ist, existiert nach Satz 2.10 eine Folge (f_{n}) elementarer Abbildungen (bezüglich der μ-Meßbarkeit), die punktweise gegen f konvergiert. Wir definieren die Abbildungen h_{n} : X → ℝ^{m} durch

h_{n}(x) = \begin{cases}f_{n}(x), & falls ∥ f_{n}(x) ∥≤ 2g(x) \\ 0, & sonst. \end{cases}

Für jedes n ∈ ℕ nimmt f_{n} nur endlich viele Werte an. Das gleiche gilt daher für h_{n}. Daraus folgt, daß h_{n} eine einfache Abbildung ist. Es sei

h_{n}(X) = {c_{1}, …, c_{k}}.

Auf A_{i} = h_{n}^{−1}(c_{i}) gilt dann

∥ c_{i} ∥ μ(A_{i}) ≤ ∫_{A_{i}} ∥ f_{n}(x) ∥ dμ ≤ 2 ∫_{A_{i}} g(x)dμ < ∞.

Also ist h_{n} eine Treppenabbildung und daher integrabel. Weiter ist h_{n}(x) ⟶_{n→∞} f(x) für fast alle x ∈ X. Nach Defintion ist ∥ h_{n} ∥≤ 2g.

Aus dem Satz von Lebesgue folgt, daß f integrabel ist.

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Korollar 2.55. Seien f : X → ℝ und g : X → ℝ μ-meßbar. Dann ist f · g integrabel, falls eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist.

1) f ist integrabel und g ist beschränkt.

2) f ist beschränkt und g ist integrabel.

Korollar 2.56. Sei f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}). Zu ϵ > 0 existiert eine μ-meßbare Menge A ⊂ X mit μ(A) < ∞ so, daß

||∫_{X} f(x)dμ − ∫_{A} f(x)dμ|| < ϵ.

Beweis: Sei B = {x ∈ X | f(x) ≠ 0}. Dann ist nach Satz 2.46 B μmeßbar und σ-endlich. Sei B_{1} ⊂ B_{2} ⊂ ⋯ eine Folge von μ-meßbaren Mengen mit μ(B_{i}) < ∞, i ∈ ℕ, und B = ∪_{n≥1}B_{n}. Dann konvergiert χ_{B_{n}} · f punktweise gegen f. Weiter ist

∥ χ_{B_{n}} · f ∥≤∥ f ∥ .

Aus dem Satz von Lebesgue folgt

∥ ∫_{X} f(x)dμ − ∫_{B_{n}} f(x)dμ ∥=∥ ∫_{X} f(x)dμ − ∫_{X}(χ_{B_{n}} · f)(x)dμ ∥→ 0

für n → ∞.

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Satz 2.57. Sei f ∈ L^{1}(X, ℝ^{m}). Wir nehmen an, daß eine Konstante κ ≥ 0 existiert, so daß für alle μ-meßbaren Teilmengen A ⊂ X mit 0 < μ(A) < ∞ gilt

||\frac{1}{μ(A)} ∫_{A} f(x)dμ|| ≤ κ.

Dann ist ∥ f(x) ∥≤ κ für fast alle x ∈ X. Insbesondere ist f(x) = 0 für fast alle x ∈ X genau dann, wenn ∫_{A} f(x)dμ = 0 für alle μ-meßbaren A ⊂ X mit endlichem, positivem Maß.

Beweis: Die Menge A = {x ∈ X | f(x) ≠ 0} ist μ-meßbar. Wir müssen zeigen, daß ∥ f(x) ∥≤ κ für fast alle x ∈ A. Sei A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ⋯ ⊂ A eine Folge mit μ(A_{i}) < ∞ und A = ∪_{n≥1}A_{n}. Dann ist μ(A) = lim_{n→∞}(A_{n}). Sei v ∈ ℝ^{m} ein Vektor mit ∥ v ∥> κ. Sei ϵ > 0 so, daß ϵ <∥ v ∥ −κ. Dann gilt ∥ w ∥> κ für alle w ∈ U_{ϵ}(v). Sei

B_{v} = {x ∈ X | f(x) ∈ U_{ϵ}(v)}.

Dann ist B_{v} ⊂ A. Da B_{v} = ∪_{n≥1}(B_{v} ∩ A_{n}) ist, gilt

μ(B_{v}) = lim_{n→∞}(B_{v} ∩ A_{n}).

Sei μ(B_{v}) > 0. Dann ist μ(B_{v} ∩ A_{n}) > 0 für hinreichend großes n ∈ ℕ. Weiter ist μ(B_{v} ∩ A_{n}) < ∞. Daraus folgt

ϵ <∥ v ∥ −κ ≤∥ v ∥ − ||\frac{1}{μ(B_{v} ∩ A_{n})} ∫_{B_{v}∩A_{n}} f(x)dμ||

≤ ||\frac{1}{μ(B_{v} ∩ A_{n})} ∫_{B_{v}∩A_{n}}(v − f(x))dμ||

≤ \frac{1}{μ(B_{v} ∩ A_{n})} ∫_{B_{v}∩A_{n}} ∥ v − f(x) ∥ dμ < ϵ.

Dies ist ein Widerspruch. Deshalb ist μ(B_{v}) = 0. Sei (v_{n}) eine Folge in ℝ^{m} und ϵ_{n} > 0 wie oben mit

{v ∈ ℝ^{m} |∥ v ∥> κ} = ⋃_{n≥1} U_{ϵ_{n}}(v_{n}).

Aus dem gerade Bewiesenen folgt, daß die Mengen B_{v_{n}} = f^{−1}(B_{ϵ_{n}}(v_{n})) das Maß 0 haben. Daraus folgt, daß die Menge

⋃_{n≥1} B_{v_{n}} = {x ∈ X |∥ f(x) ∥> κ}

das Maß 0 hat.

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2.9. Das Integral positiver Funktionen. Es sei μ σ-endlich. In diesem Abschnitt betrachten wir Funktionen

f : X → [0, ∞].

Solchen Funktionen kann man ebenfalls sinnvoll ein Integral zuordnen. Sei zunächst φ : X → [0, ∞] eine Stufenfunktion. Dann setzen wir

∫_{X} φ(x)dμ = ∑_{c∈ℝ}c · μ(φ^{−1}(c)).

Dies ist eine endliche Summe. Für eine beliebige μ-meßbare Funktion f : X → [0, ∞] setzen wir

∫_{X} f(x)dμ = sup {∫_{X} φ(x)dμ | 0 ≤ φ ≤ f} ∈ [0, ∞],

wobei das Suprenum über alle Stufenfunktionen φ : X → [0, ∞] mit 0 ≤ φ ≤ f genommen wird. Wir können ∫_{X} fdμ auch wie folgt definieren

∫_{X} f(x)dμ = sup {∫_{X} g(x)dμ | g ∈ L^{1}(X, ℝ) und 0 ≤ g ≤ f} .

Wir nennen weiterhin nur f ∈ L^{1}(X, ℝ) integrabel. Mittels dieser Definition kann man Maße durch Integrale definieren.

Definition 2.58. Eine Menge A ⊂ X heißt μ-meßbar, wenn die charakteristische Funktion χ_{A} von A integrierbar ist

μ(A) = ∫_{X} χ_{A}(x)dμ = ∫_{A} dμ.

Lemma 2.59. Sei f : X → [0, ∞] eine μ-meßbare Funktion. Wenn die μ-meßbare Teilmenge A = {x ∈ X | f(x) > 0} positives Maß hat, so ist ∫_{X} f(x)dμ > 0.

Beweis: Sei μ(A) > 0. Wir wählen eine monoton wachsende Folge A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ⋯ von meßbaren Mengen in X mit μ(A_{i}) < ∞, i ∈ ℕ, und

X = ⋃_{k≥1} A_{k}.

Dann ist

μ(A) = lim_{n→∞} μ(A ∩ A_{n}).

Da μ(A) > 0 ist, existiert ein n ≥ 1 mit μ(A ∩ A_{n}) > 0. Sei

g = min(f, χ_{A_{n}}).

Dann ist 0 ≤ g ≤ f und g > 0 auf A ∩ A_{n}. Weiter ist g integrabel, da g μ-meßbar, μ(A_{n}) < ∞ und 0 ≤ g ≤ χ_{A_{n}} ist. Angenommen, es wäre ∫_{X} g(x)dμ = 0. Dann ist

∥ g ∥_{1}= ∫_{X} g(x)dμ = 0.

Nach Korollar 2.47 ist dann g(x) = 0 für fast alle x ∈ X. Dies ist ein Widerspruch zu g > 0 auf A ∩ A_{n}. Daraus folgt ∫_{X} f(x)dμ > 0.

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Lemma 2.60. Es sei f : X → [0, ∞] eine μ-meßbare Funktion mit ∫_{X} f(x)dμ < ∞. Dann hat die μ-meßbare Teilmenge P = {x ∈ X | f(x) = ∞} das Maß 0 und nach Änderung auf P, so daß f nur Werte in ℝ annimmt, ist f ∈ L^{1}(X, ℝ).

Beweis: Sei (f_{n}) eine Folge in L^{1}(X, ℝ) mit 0 ≤ f_{n} ≤ f und

∫_{X} f(x)dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x)dμ.

O.B.d.A. können wir (f_{n}) als monoton wachsend voraussetzen. Andernfalls betrachten wir die Folge

h_{n} = max(f_{1}, …, f_{n}).

Nach Voraussetzung ist (∫_{X} f_{n}(x)dμ) eine beschränkte Folge. Nach dem Satz von Beppo Levi existiert ein g ∈ L^{1}(X, ℝ) so, daß f_{n} punktweise fast überall und in der L^{1}-Seminorm gegen g konvergiert. Es gilt weiterhin

∫_{X} g(x)dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x)dμ = ∫_{X} f(x)dμ.

Nun ist 0 ≤ g(x) ≤ f(x) für alle x ∈ X. Deshalb ist h = f − g eine nicht-negative μ-meßbare Funktion mit ∫_{X} h(x)dμ = 0. Aus Lemma 2.59 folgt dann f(x) = g(x) für fast alle x ∈ X.

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Satz 2.61. (monotone Konvergenz) Sei f_{n} : X → [0, ∞], n ≥ 1, eine monoton wachsende Folge μ-meßbarer Funktionen. Dann gilt

∫_{X} lim_{n→∞} f_{n}(x)dμ = lim_{n→∞} ∫_{X} f_{n}(x)dμ.

Beweis: Falls alle f_{n} integrabel sind und (∫_{X} f_{n}(x)dμ) eine beschränkte Folge ist, so ist dies der Satz von Beppo Levi. Andernfalls sind beide Seiten gleich ∞.

□

Bemerkung: Wenn f : X → [0, ∞] eine μ-meßbare Funktion ist, so existiert eine Folge von Treppenfunktionen f_{n} : X[0, ∞), die punktweise gegen f konvergiert. Dies kann man wie folgt zeigen. Zuerst bemerken wir, daß es eine Folge g_{n} : X → [0, ∞) von elementaren Funktionen gibt, die punktweise gegen f konvergiert. Sei A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ⋯ eine Folge von meßbaren Mengen mit μ(A_{i}) < ∞ und ∪_{n≥1}A_{n} = X. Sei f_{n} = χ_{A_{n}} · g_{n}. Dann ist f_{n} eine Treppenfunktion und die Folge (f_{n}) konvergiert punktweise gegen f.

2.10. Vergleich mit anderen Integralbegriffen. Sei I ⊂ ℝ ein Intervall mit Grenzen a, b, wobei −∞ ≤ a < b ≤ ∞ ist. Wir erinnern daran, daß eine Funktion f : I → ℝ Regelfunktion heißt, wenn für jedes x ∈ (a, b) der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert von f in x existiert und der links- bzw. rechtsseitige Grenzwerte in a falls a ∈ I bzw. b falls b ∈ I ist. Sei I = [a, b] ⊂ ℝ kompakt, und sei Z die Menge aller Zerlegungen a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{m} = b von I. Eine Funktion f : I → ℝ heißt Treppenfunktion bezüglich Z, wenn es eine Zerlegung a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{m} = b von I gibt, so daß f auf (x_{i−1}, x_{i}) konstant ist, 1 ≤ i ≤ n. Treppenfunktionen bezüglich Z sind Regelfunktionen. Sie sind auch Treppenfunktionen bezüglich des Lebesgueschen Maßes und daher integrierbar. Wir erinnern an folgenden Satz

Approximationssatz. f : [a, b] → ℝ ist eine Regelfunktion genau dann, wenn eine Folge f_{n} : [a, b] → ℝ von Z-Treppenfunktionen existiert mit ∥ f_{n} − f ∥_{∞}→ 0 für n → ∞.

Satz 2.62. Sei f : [a, b] → ℝ eine Regelfunktion und f_{n} : [a, b] → ℝ eine Folge von Z-Treppenfunktionen mit ∥ f − f_{n} ∥_{∞}→ 0 für n → ∞. Dann ist f ∈ L^{1}([a, b], ℝ), (f_{n}) ist eine L^{1}-Cauchyfolge und ∥ f − f_{n} ∥_{1}→ 0 für n → ∞. Insbesondere ist

∫_{[a,b]} f(x)dλ = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Hierbei ist das Integral auf der linken Seite das Lebesgue-Integral und das Integral auf der rechten Seite das Integral für Regelfunktionen.

Beweis: Es gilt

∥ f_{n} − f_{m} ∥_{∞}≤∥ f_{n} − f ∥_{∞} + ∥ f − f_{m} ∥_{∞} .

Daher ist (f_{n}) eine Cauchyfolge bezüglich ∥ · ∥_{∞}. Weiter gilt

∥ f_{n} − f_{m} ∥_{1}= ∫_{[a,b]} |f_{n}(x) − f_{m}(x)|dλ ≤∥ f_{n} − f_{m} ∥_{∞} (b − a).

Daher ist (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge. Nach Voraussetzung konvergiert (f_{n}) punktweise gegen f. Aus Korollar 2.49 folgt, daß f ∈ L^{1}([a, b], ℝ) ist und

f = L^{1} − lim_{n→∞} f_{n}.

Daher ist

∫_{[a,b]} f(x)dλ = lim_{n→∞} ∫_{[a,b]} f_{n}(x)dλ = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

□

Bemerkung: Ebenso kann man zeigen, daß eine Riemann-integrierbare Funktion Lebesgue-integrierbar ist und die beiden Integrale übereinstimmen.

Satz 2.63. Sei I ⊂ ℝ ein Intervall und f : I → ℝ eine Regelfunktion mit f ≥ 0. Wenn das uneigentliche Integral ∫_{a}^{b} f(x)dx existiert, so ist f ∈ L^{1}(I, ℝ) und es gilt

∫_{I} f(x)dλ = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Beweis: Sei z.B. I = [a, b). Wir wählen eine monoton wachsende Folge (b_{n}) mit a < b_{n} → b. Nach Definition des uneigentlichen Integrals ist

∫_{a}^{b} f(x)dx = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b_{n}} f(x)dx.

Sei χ_{n} = χ_{[a,b_{n}]} und f_{n} = χ_{n} · f. Dann ist (f_{n}) eine monoton wachsende Folge und es gilt

f_{n}(x) ⟶_{n→∞} f(x) für alle x ∈ X.

Aus Satz 2.62 erhalten wir

∫_{I} f_{n}(x)dλ = ∫_{[a,b_{n}]} f(x)dλ = ∫_{a}^{b_{n}} f(x)dx ≤ ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Aus dem Satz von Beppo Levi folgt, daß f integrierbar ist und

∫_{I} f(x)dλ = lim_{n→∞} ∫_{I} f_{n}(x)dλ = ∫_{a}^{b} f(x)dx

ist. Die anderen Fälle I = (a, b] und I = (a, b) behandelt man analog. □

Bemerkung: Die Voraussetzung f ≥ 0 in Satz 2.63 kann nicht weggelassen werden. Sei f : [0, ∞) → ℝ definiert durch f(x) = (−1)^{n}/n für x ∈ [n − 1, n). Dann ist f eine Regelfunktion und das uneigentliche Integral existiert. Und zwar ist

∫_{0}^{∞} f(x)dx = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} .

Aber f ist nicht integrabel, denn in diesem Falle wäre auch |f| integrabel.

□

2.11. Produktmaße. In diesem Abschnitt konstruieren wir aus zwei σ-endlichen Maßräumen (X, A, μ) und (Y, B, ν) einen Produktraum

(X × Y, A ⊗ B, μ ⊗ ν).

Seien X und Y Mengen, A eine Mengenalgebra in X und B eine Mengenalbegra in Y. Ein Rechteck (bezüglich A und B) ist eine Teilmenge von X × Y der Form A × B mit A ∈ A und B ∈ B. Es sei A × B die Menge aller Teilmengen von X × Y, die die Vereinigung von endlich vielen paarweise disjunkten Rechtecken sind.

Lemma 2.64. A × B ist eine Mengenalbegra in X × Y.

Beweis: Für Teilemengen A_{1}, A_{2} ⊂ X und B_{1}, B_{2} ⊂ Y gilt

(A_{1} × B_{1}) ∩ (A_{2} × B_{2}) = (A_{1} ∩ A_{2}) × (B_{1} ∩ B_{2})

und

(A_{1} × B_{1}) \ (A_{2} × B_{2}) = ((A_{1} \ A_{2}) × B_{1}) ∪ ((A_{1} ∩ A_{2}) × (B_{1} \ B_{2})).

Daraus folgt, daß mit P, Q ∈ A × B auch P ∩ Q und P \ Q in A × B enthalten sind. Nach Definition ist A×B abgeschlossen unter endlichen disjunkten Vereinigungen. Weiter ist

P ∪ Q = P ⊔ (Q \ P).

Daraus folgt, daß mit P, Q ∈ A × B auch P ∪ Q ∈ A × B ist.

□

Wir nehmen von jetzt an, daß es Folgen (A_{n}) ⊂ A und (B_{n}) ⊂ B gilt mit ∪_{n≥1}A_{n} = X und ∪_{n≥1}B_{n} = Y.

Lemma 2.65. Es gilt

(A × B)_{σ} = (A_{σ} × B_{σ})_{σ}.

Beweis: Es gilt

A × B ⊂ A_{σ} × B_{σ} ⊂ (A_{σ} × B_{σ})_{σ}.

Da (A × B)_{σ} die kleinste σ-Algebra ist, die A × B enthält, folgt daraus

(A × B)_{σ} ⊂ (A_{σ} × B_{σ})_{σ}.

Es bleibt die umgekehrte Inklusion zu zeigen. Für B ∈ B betrachten wie die σ-Algebra A_{σ} × {B} in X × B, die von allen Mengen der Form A×B mit A ∈ A erzeugt wird. Offensichtlich ist A_{σ} ×{B} in (A×B)_{σ} enthalten für jedes B ∈ B. Für jedes A ∈ A_{σ} folgt dann ebenso, daß {A}×B_{σ} in (A×B)_{σ} enthalten ist. Daraus folgt schließlich

A_{σ} × B_{σ} ⊂ (A × B)_{σ}.
□

Definition 2.66. Es sei

A ⊗ B := (A × B)_{σ}.

Lemma 2.67. Es sei Q ∈ A ⊗ B. Für x ∈ X sei

Q_{x} = {y ∈ Y | (x, y) ∈ Q}.

Dann ist Q_{x} ∈ B_{σ} für alle x ∈ X.

Beweis: Es sei S die Menge aller Q ∈ A⊗B, so daß Q_{x} ∈ B_{σ} für alle x ∈ X. Dann enthält S alle Rechtecke der Form A×B mit A ∈ A und B ∈ B. Daher ist A × B ⊂ S. Wir bemerken weiterhin, daß die Abbildung Q → Q_{x} mit allen Operationen der Mengentheorie kommutiert. Erstens ist X × Y ∈ S. Wenn Q ∈ S, so ist auch X × Y \ Q ∈ S, da

((X × Y) \ Q)_{x} = Y \ Q_{x}.

Weiter gilt für Q, P ∈ S

(P ∩ Q)_{x} = P_{x} ∩ Q_{x}.

Es sei {Q_{n}} eine Folge in S. Dann ist (∪Q_{n})_{x} = ∪(Q_{n})_{x}. Daraus folgt, daß S eine σ-Algebra ist. Da A × B ⊂ S, ist (A × B)_{σ} ⊂ S.

□

Lemma 2.68. Es sei P ein Meßraum und f : X × Y → P eine meßbare Abbildung. Für x ∈ X sei f_{x} : Y → P diejenige Abbildung, die definiert ist durch f_{x}(y) = f(x, y). Dann ist f_{x} meßbar für alle x ∈ X.

Beweis: Für Q ⊂ P und x ∈ X ist

f_{x}^{−1}(Q) = {y ∈ Y | f(x, y) ∈ Q} = (f^{−1}(Q))_{x}.

Die Behauptung folgt aus Lemma 2.67.

□

Wir setzen jetzt voraus, daß μ ein σ-endliches Maß auf A und ν ein σ-endliches Maß auf B ist mit ν(A) < ∞, μ(B) < ∞ für alle A ∈ AundB ∈ B.

Bemerkung: Es sei μ ein σ-endliches Maß auf einer σ-Algebra R und ν ein σ-endliches Maß auf einer σ-Algebra S. Weiter sei A die Menge aller A ∈ R mit μ(A) < ∞ und B die Menge aller B ∈ B mit ν(B) < ∞. Dann sind A und B Mengenalgebren und obige Voraussetzungen gelten für die Einschränkung von μ und ν auf A bzw. B.

Für Rechtecke A × B, A ∈ A, B ∈ B, definieren wir

(μ × ν)(A × B) := μ(A)ν(B).

Wir setzen μ × ν zu einer endlich additiven Funktion μ × ν : A × B → [0, ∞) fort.

Lemma 2.69. Sei A × B ein Rechteck und sei (A_{n} × B_{n}) eine Folge paarweise disjunkter Rechtecke mit ∪_{n≥1}(A_{n} × B_{n}) = A × B. Dann ist

(μ × ν)(A × B) = ∑_{n≥1}(μ × ν)(A_{n} × B_{n}).

Beweis: Sei x ∈ A. Dann ist B die disjunkte Vereinigung der B_{n} mit x ∈ A_{n}. Daraus folgt

∑_{n≥1} ν(B_{n})χ_{A_{n}}(x) = ν(B)χ_{A}(x).

Aus dem Satz von Beppo Levi folgt

\begin{aligned}∑_{k=1}^{n} μ(A_{k})ν(B_{k}) & = ∫_{X} ∑_{k=1}^{n} ν(B_{k})χ_{A_{k}}(x)dμ \\ & ⟶_{n→∞} ∫_{X} ν(B)χ_{A}(x)dμ = μ(A)ν(B). \end{aligned}

□

Aus diesem Lemma folgt,daß μ × ν ein Maß auf der Mengenalgebra A × B ist. Außerdem ist μ × ν σ-endlich, denn nach Voraussetzung ist X = ∪_{n≥1}A_{n} mit μ(A_{n}) < ∞ und Y = ∪_{n≥1}B_{n} mit ν(B_{n}) < ∞. Daher ist

X × Y = ⋃_{m,n≥1}(A_{m} × B_{n})

mit (μ × ν)(A_{m} × B_{n}) < ∞. Aus dem Fortsetzungssatz von Hahn erhalten wir eine eindeutige Fortsetzung von μ × ν zu einem Maß μ ⊗ ν auf A ⊗ B = (A × B)_{σ}.

Definition 2.70. μ ⊗ ν heißt das Produktmaß von μ und ν.

Satz 2.71. Seien k, m, n ∈ ℕ mit n = k + m. Seien λ_{k}, λ_{m} und λ_{n} die Lebesgueschen Maße auf ℝ^{k}, ℝ^{m} und ℝ^{n}. Bezüglich der Zerlegung ℝ^{n} = ℝ^{k} × ℝ^{m} gilt λ_{n} = λ_{k} ⊗ λ_{m}.

Beweis: Sei A_{n} die Mengenalgebra in ℝ^{n}, die aus endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten halboffenen Quadern besteht. Entsprechend seien A_{k} und A_{m} definiert. Aus der Definition der Quader folgt

A_{n} = A_{k} × A_{m}.

Weiter ist λ_{n} = λ_{k} × λ_{m} auf A_{n}.

□

Lemma 2.72. Sei Z ⊂ X × Y eine μ ⊗ ν-Nullmenge. Für fast alle x ∈ X ist dann Z_{x} eine ν-Nullmenge.

Beweis: Wir zeigen, daß das äußere Maß ν^{∗}(Z_{x}) von Z_{x} für fast alle x ∈ X verschwindet. Sei

S = {x ∈ X | ν^{∗}(Z_{x}) > 0}

und sei ϵ > 0. Da Z eine Nullmenge ist, existiert für alle n ∈ ℕ eine Folge von Rechtecken Q_{k} = A_{k} × B_{k}, A_{k} ∈ A und B_{k} ∈ B, so daß

⋃_{k≥1} Q_{k} ⊃ Z und ∑_{k≥1}(μ × ν)(A_{k} × B_{k}) < \frac{ϵ}{n2^{n}} .

Dann ist

Z_{x} ⊂ ⋃_{k≥1} Q_{k,x}.

Sei

R_{n} = \{x ∈ X | ∑_{k≥1} ν(Q_{k,x}) ≥ \frac{1}{n}\}.

Da

∑_{k≥1} ν(Q_{k,x}) = ∑_{k≥1} ν(B_{k})χ_{A_{k}}(x)

ist, ist R_{n} meßbar. Weiter ist

S_{n} = \{x ∈ X | ν^{∗}(Z_{x}) ≥ \frac{1}{n}\} ⊂ R_{n}.

Nun ist

\frac{1}{n}μ(R_{n}) ≤ ∑_{k≥1} ∫_{X} ν(Q_{k,x})dμ(x)

= ∑_{k≥1} ∫_{X} ν(B_{k})χ_{A_{k}}(x)dμ(x)

= ∑_{k≥1} μ(A_{k})ν(B_{k}) < \frac{ϵ}{n2^{n}} .

Daher ist μ(R_{n}) < ϵ/2^{n}. Da S = ∪_{n≥1}S_{n} ist, folgt

μ^{∗}(S) ≤ ∑_{n≥1} μ^{∗}(S_{n}) < ϵ.

Da dies für alle ϵ > 0 gilt, ist S eine Nullmenge.

□

Satz 2.73. Es sei Q ⊂ X × Y eine (μ ⊗ ν)-meßbare Menge. Dann ist für fast alle x ∈ X die Menge Q_{x} μ-meßbar, die (nur fast überall definierte) Funktion x ⟼ ν(Q_{x}) ist μ-meßbar und es gilt

(μ ⊗ ν)(Q) = ∫_{X} ν(Q_{x})dμ(x).

Beweis: Nach Definition existiert eine (μ ⊗ ν)-Nullmenge Z, so daß P = Q ∪ Z meßbar ist, d.h., P ∈ A ⊗ B. Nach Lemma 2.67 ist P_{x} meßbar für alle x ∈ X, und nach Lemma 2.72 ist Z_{x} eine ν-Nullmenge für fast alle x ∈ X. O.B.d.A. können wir deshalb annehmen, daß Q meßbar ist. Es sei C das System aller meßbaren Q ⊂ X × Y, für die die Funktion x ⟼ ν(Q_{x}) μ-meßbar ist und

(μ ⊗ ν)(Q) = ∫_{X} ν(Q_{x})dμ(x)

gilt. Es sei Q = A × B mit A ∈ A und B ∈ B. Dann ist

ν(Q_{x}) = ν(B)χ_{A}(x).

Daher ist A × B ∈ C. Daraus folgt, daß A × B ⊂ C. Wir zeigen jetzt, daß C eine σ-Algebra ist. Offenbar ist X × Y ∈ C. Nach Satz 2.61 ist C abgeschlossen bezüglich abzählbarer disjunkter Vereinigungen. Um die Abgeschlossenheit bezüglich Komplementbildung zu zeigen, betrachten wir zunächst den Fall μ(X) < ∞ und ν(Y) < ∞. Es sei Q ∈ C und P = X × Y \ Q. Dann ist

ν(P_{x}) = ν(Y) − ν(Q_{x}).

Daher ist P ∈ C. In diesem Falle ist also C eine σ-Algebra und die Behauptung des Satzes gilt daher. Im allgemeinen Fall betrachten wir Folgen meßbarer Mengen A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ⋯ X und B_{1} ⊂ B_{2} ⊂ ⋯ Y mit

μ(A_{i}) < ∞, i ∈ ℕ, ν(B_{j}) < ∞, k ∈ ℕ

sowie

X = ⋃_{n≥1} A_{n} und Y = ⋃_{n≥1} B_{n}.

Für eine meßbare Teilmenge Q ⊂ X × Y ist dann

ν(Q_{x}) = lim_{n→∞} ν(Q_{x} ∩ B_{n})χ_{A_{n}}(x).

Da χ_{A_{n}} meßbar ist, ist x ⟼ ν(Q_{x}) μ-meßbar. Aus dem Satz über monotone Konvergenzen folgt

(μ ⊗ ν)(Q) = lim_{n→∞}(μ ⊗ ν)(Q ∩ (A_{n} × B_{n})).

Wie wir oben gezeigt haben, gilt die Behauptung des Satzes, wenn wir X durch A_{n}, Y durch B_{n} und Q durch Q ∩ (A_{n} × B_{n}) ersetzen. Daher ist

(μ ⊗ ν)(Q ∩ (A_{n} × B_{n})) = ∫_{X} ν(Q_{x} ∩ B_{n})χ_{A_{n}}(x)dμ.

Diese beiden Gleichungen zusammengenommen ergibt

(μ ⊗ ν)(Q) = lim_{n→∞}(μ ⊗ ν)(Q ∩ (A_{n} × B_{n}))

= lim_{n→∞} ∫_{X} ν(Q_{x} ∩ B_{n})χ_{A_{n}}(x)dμ

= ∫_{X} ν(Q_{x})dμ.

□

Korollar 2.74. (Prinzip von Cavalieri) Seien Q, P ⊂ X × Y (μ ⊗ ν)-meßbare Teilmengen und es gelte ν(Q_{x}) = ν(P_{x}) für fast alle x ∈ X. Dann ist

(ν ⊗ ν)(Q) = (μ ⊗ ν)(P).

Beispiel: Sei A ⊂ ℝ^{n} eine abgeschlossenen Menge und sei

K = {(t, (1 − t)x) ∈ ℝ^{n+1} | t ∈ [0, 1], x ∈ A}.

Dann ist K ⊂ ℝ^{n+1} abgeschlossen, also meßbar, und K_{t} = (1 − t)A für 0 ≤ t ≤ 1. Daher ist

λ_{n}(K_{t}) = (1 − t)^{n}λ_{n}(A)

Daraus folgt

λ_{n+1}(K) = ∫_{0}^{1}(1 − t)^{n}λ_{n}(A)dt = \frac{λ_{n}(A)}{n + 1}.

Satz 2.75. (Approximationssatz) Für jede meßbare Funktion f : X → [0, ∞] existiert eine monoton wachsende Folge f_{n} : X → [0, ∞], n ∈ ℕ, von Treppenfunktionen mit lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x) für alle x ∈ X.

Beweis: Zu ϵ > 0 konstruieren wir eine Partition {B_{k}, k ∈ ℕ, U} wie folgt. Es sei

U = {x ∈ X | f(x) = ∞}

und für k ∈ ℕ_{0} sei

B_{k} = {x ∈ X | ϵk ≤ f(x) < ϵ(k + 1)}.

Zu dieser Partition definieren wir die elementare Funktion φ_{ϵ} : X → [0, ∞] durch

φ_{ϵ} = ∑_{k=0}^{∞} m_{k}χ_{B_{k}} + ∞χ_{U}, mit m_{k} = inf f(B_{k}).

Für diese Funktion gilt

0 ≤ φ_{ϵ} ≤ f ≤ φ_{ϵ} + ϵ.

Wir führen dieselbe Konstruktion für ϵ/2 aus und erhalten eine Partition {C_{k}, k ∈ ℕ_{0}, U}, wobei

C_{k} = \{x ∈ X | \frac{ϵ}{2}k ≤ f(x) < \frac{ϵ}{2}(k + 1)\}.

Wegen

B_{k} = C_{2k} ∪ C_{2k+1}

folgt

φ_{ϵ} ≤ φ_{ϵ/2}.

Sei g_{p} = φ_{2^{−p}}, p ∈ ℕ. Dann ist (g_{p}) eine Folge von elementaren Funktionen mit g_{p} ≤ g_{p+1}, p ∈ ℕ, und es gilt

lim_{p→∞} g_{p}(x) = f(x) für alle x ∈ X.

Es sei A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ⋯ ⊂ X eine Folge μ-meßbarer Mengen mit μ(A_{k}) < ∞ und ∪_{k≥1}A_{k} = X. Sei

f_{n}(x) = \begin{cases}min(n, g_{n}(x)), & für x ∈ A_{n}; \\ 0, & für x ∈ X \ A_{n}. \end{cases}

Dann ist (f_{n}) eine Folge von Treppenfunktionen f_{n} : X → [0, ∞) mit den geforderten Eigenschaften, d.h., (f_{n}) ist eine monotone Folge von Treppenfunktionen, die punktweise gegen f konvergiert.

□

Satz 2.76. (Satz von Tonelli) Es sei f : X × Y → [0, ∞] eine (μ ⊗ ν)-meßbare Funktion. Dann gilt 1) f_{x} : Y → [0, ∞] ist ν-meßbar für fast alle x ∈ X.

2) Die Funktion x ∈ X ⟼ ∫_{Y} f(x, y)dν(y) ist μ-meßbar.

3) Es gilt

∫_{X×Y} f(x, y)d(μ ⊗ ν) = ∫_{X} ∫_{Y} f(x, y)dν(y)dμ(x).

Beweis: Sei Q ⊂ X × Y (μ ⊗ ν)-meßbar mit (μ ⊗ ν)(Q) < ∞ und sei χ_{Q} die charakteristische Funktion von Q. Aus Satz 2.73 folgt

\begin{aligned}∫_{X×Y} χ_{Q}(x, y)d(μ ⊗ ν) = (μ ⊗ ν)(Q) & = ∫_{X} ν(Q_{x})dμ \\ & = ∫_{X} ∫_{Y} χ_{Q}(x, y)ν(y)dμ(x). \end{aligned}

Daraus folgt die Behauptung des Satzes für Treppenfunktionen. Nach Satz 2.75 existiert eine Folge f_{n} : X ×Y → [0, ∞) von Treppenfunktionen, die punktweise und monoton gegen f konvergiert. Aus dem Satz 2.61 folgt

∫_{X×Y} f(x, y)d(μ ⊗ ν) = lim_{n→∞} ∫_{X×Y} f_{n}(x, y)d(μ ⊗ ν).

Es sei Q ⊂ X × Y eine (μ ⊗ ν)-meßbare Menge mit (μ ⊗ ν)(Q) < ∞. Aus Satz 2.73 folgt, daß eine Menge Z ⊂ X mit μ(Z) = 0 existiert so, daß für alle x ∈ X \ Z die Menge Q_{x} μ-meßbar ist. Weiterhin folgt aus Satz 2.73, daß die Funktion x ∈ X \ Z ⟼ ν(Q_{x}) μ-meßbar ist und

∫_{X\Z} ν(Q_{x})dμ(x) = (μ ⊗ ν)(Q) < ∞

ist. Aus Lemma 2.60 folgt dann, daß eine Nullmenge Z′ ⊃ Z existiert so, daß ν(Q_{x}) < ∞ für alle x ∈ X \ Z′. Daraus folgt insbesondere, daß für jedes n ∈ ℕ eine Nullmenge Z_{n} ⊂ X existiert, so daß f_{n}(x, ·) für alle x ∈ X \ Z_{n} eine Treppenfunktion ist. Es sei

Z = ⋃_{n≥1} Z_{n}.

Dann ist f_{n}(x, ·) für alle n ∈ ℕ und x ∈ X \ Z eine Treppenfunktion. Da f_{n}(x, ·) für alle x ∈ X \ Z punktweise gegen f(x, ·) konvergiert, ist f(x, ·) μ-meßbar. Da (f_{n}(x, ·)) eine monoton wachsende Folge ist, folgt aus Satz 2.61, daß

∫_{Y} f(x, y)dν(y) = lim_{n→∞} ∫_{Y} f_{n}(x, y)dν(y)

gilt für x ∈ X \ Z. Es sei

g(x) = ∫_{Y} f(x, y)dν(y)

und

g_{n} = ∫_{Y} f_{n}(x, y)dν(y).

Nach Satz 2.73 folgt, daß die (g_{n}) μ-meßbar sind. Weiter ist g_{n} ≥ 0, (g_{n}) ist monoton und für alle x ∈ X \ Z konvergiert g_{n}(x) gegen g(x). Also ist g μ-meßbar und aus dem Satz 2.61 folgt

∫_{X} g(x)dμ(x) = lim_{n→∞} ∫_{X} g_{n}(x)dμ(x) = lim_{n→∞} ∫_{X} ∫_{Y} f_{n}(x, y)dν(y)dμ(x)

= lim_{n→∞} ∫_{X×Y} f_{n}(x, y)d(μ ⊗ ν) = ∫_{X×Y} f(x, y)d(μ ⊗ ν).

□

Satz 2.77. (Satz von Fubini) Es sei f : X × Y → ℝ^{m} integrabel bezüglich μ ⊗ ν. Dann gilt:

1) f(x, ·) : Y → ℝ^{m} ist integrabel für fast alle x ∈ X;

2) Die Abbildung x ∈ X ⟼ ∫_{X} f(x, y)dν(y) ist integrabel;

3) Es gilt

∫_{X×Y} f(x, y)d(μ ⊗ ν) = ∫_{X} ∫_{Y} f(x, y)dν(y)dμ(x).

Beweis: Wie im Beweis von Satz 2.76 folgt, daß die Behauptung des Satzes für Treppenabbildungen gilt. Es sei f_{n} : X × Y → ℝ^{m} eine L^{1}-Cauchyfolge von Treppenabbildungen, die punktweise fast überall gegen f konvergiert. Indem wir eventuell f_{n} durch die Treppenabbildung

g_{n}(x, y) = \begin{cases}f_{n}(x, y), & ∥ f_{n}(x, y) ∥≤ 2 ∥ f(x, y) ∥ \\ 0, & sonst \end{cases}

ersetzen, können wir annehmen, daß

∥ f_{n}(x, y) ∥≤ 2 ∥ f(x, y) ∥

für alle n ≥ 1 und (x, y) ∈ X × Y gilt. Aus Lemma 2.72 folgt, daß für fast alle x ∈ X, ∥ f_{n}(x, ·) ∥ außerhalb einer Nullmenge Z_{x} ⊂ Y punktweise gegen ∥ f(x, ·) ∥ konvergiert. Daraus folgt, daß ∥ f(x, ·) ∥ für fast alle x ∈ X eine ν-meßbare Funktion ist. Nach dem Satz von Tonelli ist x ⟼ ∫_{Y} ∥ f(x, y) ∥ dν μ-meßbar und

∫_{X} ∫_{Y} ∥ f(x, y) ∥ dν(y)dμ(x) = ∫_{X×Y} ∥ f(x, y) ∥ d(μ ⊗ ν) < ∞.

Aus Lemma ?? folgt, daß ∫_{Y} ∥ f(x, y) ∥ dν < ∞ für fast alle x ∈ X. Insbesondere ist f(x, ·) für fast alle x ∈ X integrabel. Weiter ist

∥ f_{n}(x, ·) ∥≤ 2 ∥ f(x, ·) ∥ .

Aus dem Satz von Lebesgue folgt, daß für fast alle x ∈ X, (f_{n}(x, ·)) eine L^{1}-Cauchyfolge ist. Daher ist

∫_{Y} f(x, y)dν(y) = lim_{n→∞} ∫_{Y} f_{n}(x, y)dν(y)

für fast alle x ∈ X. Es sei

h_{n}(x) = ∫_{Y} f_{n}(x, y)dν(y)

und

h(x) = ∫_{Y} f(x, y)dν(y).

Dann folgt, daß (h_{n}) eine Folge integrabler Abbildungen ist,die punktweise fast überall gegen f konvergiert. Weiter ist

∥ h_{n} − h_{m} ∥_{1} = ∫_{X} ∥ h_{n}(x) − h_{m}(x) ∥ dμ(x)
= ∫_{X} ∥ ∫_{Y} (f_{n}(x, y) − f_{m}(x, y))dν(y) ∥ dμ(x)
≤ ∫_{X} ∫_{Y} ∥ f_{n}(x, y) − f_{m}(x, y) ∥ dν(y)dμ(x)
= ∫_{X×Y} ∥ f_{n}(x, y) − f_{m}(x, y) ∥ d(μ ⊗ ν)
=∥ f_{n} − f_{m} ∥_{1} .

Deshalb ist (h_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in L^{1}(X, ℝ^{m}) und es gilt

∫_{X} ∫_{Y} f(x, y)dν(y)dμ(x) = ∫_{X} h(x)dμ(x) = lim_{n→∞} ∫_{X} h_{n}(x)dμ(x)

= lim_{n→∞} ∫_{X×Y} f_{n}(x, y)d(μ ⊗ ν)

= ∫_{X×Y} f(x, y)d(μ ⊗ ν).

□

Beispiele: 1) Sei Q = [−1, 1]^{2} ⊂ ℝ^{2} und f : Q → [0, ∞] sei definiert durch

f(x, y) = \frac{1}{|x| + |y|}.

Dann ist f meßbar. Für y ≠ 0 ist f(·, y) integrabel und es gilt

\begin{aligned}∫_{[−1,1]} f(x, y)dλ_{1}(x) & = ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{|x| + |y|} = 2 ∫_{0}^{1} \frac{dx}{x + |y|} \\ & = 2 ∫ ^{|y|+1} |y|\frac{dξ}{ξ} = 2 ln \frac{|y| + 1}{|y|}. \end{aligned}

Weiter ist

∫_{ϵ}^{1} ln \frac{y + 1}{y}dy = [(1 + y) ln(1 + y) − y ln y]_{ϵ}^{1}
= 2 ln 2 − (1 + ϵ) ln(1 + ϵ) + ϵ ln ϵ ⟶_{ϵ→0} 2 ln 2.

Daher existiert das uneigentliche Integral

∫_{0}^{1} ln \frac{y + 1}{y}dy = 2 ln 2.

Aus dem Satz von Tonelli folgt damit

\begin{aligned}∫_{Q} f(x, y)dλ_{2} & = ∫_{[−1,1]} ∫_{[−1,1]} f(x, y)dλ_{1}(x)dλ_{1}(y) \\ & = 2 ∫_{[−1,1]} ln \frac{|y| + 1}{|y|}dy = 4 ∫_{0}^{1} ln \frac{1 + y}{y} dy = 8 ln 2. \end{aligned}

□ 2.12. Die Tranformationsformel. Ein wesentliches Hilfsmittel zur Berechnung eindimensionaler Integrale ist die Tranformationsformel. Es sei φ : [a, b] → [φ(a), φ(b)] eine stetig differenzierbare Parametertransformation und f : [φ(a), φ(b)] → ℝ sei eine stetige Funktion. Dann ist

∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(x)dx = ∫_{a}^{b}(f ∘ φ)(t)φ′(t)dt.

Allgemein für Transformationen φ : I → J mit φ′ ≠ 0 ist

∫_{I}(f ∘ φ)(t)|φ′(t)|dt = ∫_{φ(I)} f(x)dx.

Eine entsprechende Formel gibt es für das Lebesgue-Integral in höheren Dimensionen. Als erstes beweisen wir das folgende Teilresultat.

Satz 2.78. Es seien U, V ⊂ ℝ^{n} offene Teilmengen und φ : U → V sei ein C^{1}-Diffeomorphismus. Wenn A ⊂ U Lebesgue-meßbar ist, so ist φ(A) ⊂ V ebenfalls Lebesgue-meßbar und es gilt

λ(φ(A)) = ∫_{A} | det φ′(x)|dλ(x),

wobei φ′(x) = dφ(x) das Differential von φ in x ist.

Beweis: Auf ℝ^{n} verwenden wir die Norm

∥ x ∥= max{|x_{1}|, …, |x_{n}|}, x ∈ ℝ^{n}.

Für eine lineare Abbildung L : ℝ^{n} → ℝ^{n} verwenden wir die Operatornorm

∥ L ∥= max_{∥x∥=1} ∥ L(x) ∥ .

Sei zunächst Q ⊂ ℝ^{n} ein beschränkter, halboffener Würfel mit \overline{Q} ⊂ U. Sei ϵ > 0 gegeben. Wir unterteilen Q in gleichgroße, halboffene Würfel Q_{j}, 1 ≤ j ≤ k^{n}, so daß

∥ φ′(x) − φ′(y) ∥< ϵ und | det(φ′(x)) − det(φ′(y))| < ϵ

für alle x, y ∈ Q_{j}, 1 ≤ j ≤ k^{n}. Sei x_{j} ∈ Q_{j} das Zentrum von Q_{j}. Auf Grund der Wahl unserer Norm existiert r > 0, so daß

INFINITESIMALRECHNUNG III 113

Q_{j} = B_{r}(x_{j}) := {x ∈ ℝ^{n} |∥ x − x_{j} ∥< r}

für alle j, 1 ≤ j ≤ k^{n}. Sei

S_{j} := φ′(x_{j})^{−1} ∘ φ.

Dann gilt

S′_{j}(x_{j}) = φ′(x_{j})^{−1} ∘ φ′(x_{j}) = Id

und

\begin{aligned}∥ S′_{j}(x) − S′_{j}(x_{j}) ∥ & =∥ φ′(x_{j})^{−1} ∘ φ′(x) − φ′(x_{j})^{−1} ∘ φ′(x_{j}) ∥ \\ & =∥ φ′(x_{j})^{−1} ∘ (φ′(x) − φ′(x_{j})) ∥≤∥ φ′(x_{j})^{−1} ∥ ·ϵ \end{aligned}

für alle x ∈ Q_{j}. Es sei

κ = max_{y∈\overline{Q}} ∥ φ′(y)^{−1} ∥ .

Dann ist für x ∈ Q_{j}

∥ S′_{j}(x) ∥≤ 1 + ϵ ∥ φ′(x_{j})^{−1} ∥≤ 1 + κϵ,

Aus dem Schrankensatz folgt damit

∥ S_{j}(x) − S_{j}(x_{j}) ∥≤ (1 + κϵ)r für alle x ∈ Q_{j}.

Es sei z_{j} = S_{j}(x_{j}). Dann ist also

S_{j}(Q_{j}) ⊂ B_{(1+κϵ)r}(z_{j}) = (1 + κϵ)B_{r}(z_{j}).

Daher gilt

λ(S_{j}(Q_{j})) ≤ (1 + κϵ)^{n}λ(Q_{j}).

Da φ′(x_{j}) eine lineare Abbildung ist, erhalten wir aus Satz 2.31 zusammen mit dieser Ungleichung

\begin{aligned}λφ(Q_{j})) & = λ(φ′(x_{j}) ∘ S_{j}(Q_{j})) = λ(φ′(x_{j})(S_{j}(Q_{j}))) \\ & = | det φ′(x_{j})|λ(S_{j}(Q_{j})) ≤ | det φ′(x_{j})|(1 + κϵ)^{n}λ(Q_{j}). \end{aligned}

Es sei

δ = max_{y∈\overline{Q}} | det φ′(y)|^{−1}.

Dann ist auf Grund der Wahl von Q_{j} und ϵ | det φ′(x_{j})|| det φ′(x)|^{−1} ≤ (1 + δϵ) für x ∈ Q_{j}. Damit erhalten wir aus dieser Ungleichung

\begin{aligned}λ(φ(Q_{j})) & ≤ (1 + κϵ)^{n} ∫_{Q_{j}} | det φ′(x_{j})|dλ \\ & ≤ (1 + δϵ)(1 + κϵ)^{n} ∫_{Q_{j}} | det φ′(x)|dλ. \end{aligned}

Wegen der Additivität

λ(Q) = ∑ λ(Q_{j}) und λ(φ(Q)) = ∑ λ(φ(Q_{j}))

gilt diese Abschätzung auch für Q, d.h.,

λ(φ(Q)) ≤ (1 + δϵ)(1 + κϵ)^{n} ∫_{Q} | det φ′)|dλ.

Mit ϵ → 0 folgt

λ(φ(Q)) ≤ ∫_{Q} | det φ′(x)|dλ(x).  (2.8)

Mit geeigneter Unterteilung folgt, daß diese Ungleichung auch für halboffene Quader mit rationalen Seitenlängen gilt. Da jeder Quader die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von halboffenen Quadern mit rationalen Seitenlängen ist, gilt die obige Ungleichung für jeden Quader. Da φ : U → V ein C^{1}-Diffeomorphismus ist, ist A ⊂ U genau dann Borelsch, wenn φ(A) Borelsch ist. Aus (2.8) folgt, daß das Bild einer Nullmenge in U eine Nullmenge in V ist. Daher ist für eine Lebesguemeßbare Menge A ⊂ U das Bild φ(A) Lebesgue-meßbar in V. Jede offene Teilmenge von U ist die Vereinigung von abzählbar vielen paarweise disjunkten Quadern. Daher gilt (2.8) auch für jede offene Teilmenge Q ⊂ U. Sei K ⊂ U kompakt. Es sei U_{1} ⊃ U_{2} ⊃ ⋯ eine absteigende Folge von relativ kompakten offenen Mengen mit

\overline{U}_{n} ⊂ U und ⋂_{n≥1} U_{n} = K.

Es sei V_{i} = φ(U_{i}), i ∈ ℕ. Dann ist (V_{i}) eine absteigende Folge relativ kompakter offener Mengen mit

\overline{V}_{n} ⊂ V und ⋂_{n≥1} V_{n} = φ(K).

Da det φ′(x) stetig ist, ist | det φ′(x)| auf U_{n} durch

Δ = max\{| det φ′(x)||x ∈ \overline{U}_{1}\}

beschränkt, und daher integrabel auf jedem U_{n}. Weiter ist

λ(φ(K)) = lim_{n→∞} λ(V_{n}) ≤ lim_{n→∞} ∫_{U_{n}} | det φ′(x)|dλ.

Andererseits gilt λ(U_{n} \ K) → 0. Daher ist

∫_{U_{n}} | det φ′(x)|dλ − ∫_{K} | det φ′(x)|dλ ≤ Δ · λ(U_{n} \ K) → 0

für n → ∞. Damit folgt, daß

λ(φ(K)) ≤ ∫_{K} | det φ′(x)|dλ.

gilt für alle kompakten K ⊂ U. Aus Satz 2.34 folgt schließlich

λ(φ(A)) ≤ ∫_{A} | det φ′(x)|dλ  (2.9)

für alle Lebesgue-meßbaren Teilmengen A ⊂ U. Sei jetzt f : V → [0, ∞) eine Treppenfunktion. Aus (2.9) folgt dann

∫_{V} f(y)dλ(y) ≤ ∫_{U} f(φ(x)) | det φ′(x) | dλ(x).

Mit Hilfe des Satzes über monotone Konvergenz folgt, daß diese Ungleichung für alle Lebesgue-meßbaren Funktionen f : V → [0, ∞] gilt. Die ananloge Ungleichung gilt auch für φ^{−1}. Sei B = φ(A). Dann ist

λ(A) ≤ ∫_{B} | det(φ^{−1})′(y)|dλ(y)

≤ ∫_{A} | det(φ^{−1})′(φ(x))| · | det φ′(x)|dλ(x) = ∫_{A} 1 dλ = λ(A).

Die obigen Ungleichungen sind Gleichungen und damit ist die behauptete Gleichung bewiesen.

□

Bezeichnung: Sei A ⊂ ℝ^{n} Lebesgue-meßbar. Anstelle von ∫_{A} f(x)dλ(x) schreiben wir ∫_{A} f(x)dx. Aus dem Beweis von Satz (2.78) folgt unmittelbar der folgenden Satz.

Satz 2.79. Es seien U, V ⊂ ℝ^{n} offen und φ : U → V sei ein C^{1}- Diffeomorphismus. Es sei f : V → [0, ∞] Lebesgue-meßbar. Dann ist auch f ∘ φ : U → [0, ∞] Lebesgue-meßbar und es gilt

∫_{V} f(y)dy = ∫_{U} f(φ(x))| det φ′(x)|dx.

Satz 2.80. Seien U, V ⊂ ℝ^{n} offen und φ : U → V sei ein C^{1}- Diffeomorphismus. Wenn f : V → ℝ^{m} integrabel ist, so ist f ∘ φ · | det φ′| : U → ℝ^{m} integrabel und es gilt

∫_{V} f(y)dy = ∫_{U} f(φ(x))| det φ′(x)|dx.

Beweis: Es sei zunächst

f = ∑_{i=1}^{m} v_{i}χ_{A_{i}}

eine Treppenabbildung mit v_{1}, …, v_{m} ∈ ℝ^{n} und A_{1}, …, A_{m} Lebesguemeßbar mit λ(A_{i}) < ∞. Nach Satz 2.78 ist B_{i} = φ^{−1}(A_{i}) Lebesguemeßbar und es gilt

∫_{U} χ_{B_{i}}| det φ′(x)|dx = ∫_{B_{i}} | det φ′(x)|dx = λ(A_{i}).

Insbesondere ist

χ_{B_{i}} · | det φ′| = (χ_{A_{i}} ∘ φ)| det φ′|

integrabel und daher auch

∑_{i=1}^{m} v_{i}(χ_{A_{i}} ∘ φ) · | det φ′|.

Daraus folgt

\begin{aligned}∫_{V} f(y)dy & = ∑_{i=1}^{m} v_{i}λ(A_{i}) = ∑_{i=1}^{m} ∫_{U}(v_{i}χ_{A_{i}}(φ(x))| det φ′(x)|dx \\ & = ∫_{U} f(φ(x))| det φ′(x)|dx. \end{aligned}

Es sei nun f ∈ L^{1}(V, ℝ^{m}) und es sei (f_{n}) eine L^{1}-Cauchyfolge in T (V, ℝ^{m}), die punktweise fast überall gegen f konvergiert. Dann konvergiert (f_{n} ∘ φ)| det φ′| punktweise fast überall gegen (f ∘ φ)| det φ′|. Weiter folgt aus Satz 2.79

∥ (f_{n} ∘ φ)| det φ′| − (f_{m} ∘ φ)| det φ′| ∥_{1}=∥ f_{n} − f_{m} ∥_{1} .

Daher ist ((f_{n} ∘ φ)| det φ′|) eine L^{1}-Cauchyfolge und deshalb ist (f ∘ φ)| det φ′| integrabel und es gilt

∫_{V} f(y)dy = ∫_{U} f(φ(x))| det φ′(x)|dx.
□

In manchen Fällen ist φ : U → V nur außerhalb einer Menge vom Maß 0 invertierbar. Dann gilt die Tranformationsformel ebenfalls.

Korollar 2.81. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und sei φ : U → ℝ^{n} eine C^{1}- Abbildung. Es sei A ⊂ U eine meßbare Teilmenge, so daß der Rand von A das Maß 0 hat und φ C^{1}-invertierbar ist im Inneren von A. Es sei f ∈ L^{1}(φ(A)). Dann ist (f ∘ φ)| det φ′| ∈ L^{1}(A) und es gilt

∫_{φ(A)} f(y)dy = ∫_{A}(f ∘ φ)(x)| det φ′(x)|dx

Beweis: Es sei U_{0} das Innere von A. Da φ eine C^{1}-Abbildung und ∂A eine Nullmenge ist, ist φ(∂A) ebenfalls eine Nullmenge und es gilt

φ(A) = φ(U_{0}) ∪ φ(∂A).

Daher ist f ∈ L^{1}(φ(U_{0})). Nach Voraussetzung ist φ|U_{0} ein C^{1}-Diffeo-morphismus. Aus Satz 2.80 folgt

∫_{φ(U_{0})} f(y)dy = ∫_{U_{0}}(f ∘ φ)(x)| det φ′(x)|dx.

Da φ(U_{0}) und U_{0} sich von φ(A) bzw. A nur um Nullmengen unterscheiden, gilt die Transformationsformel auch, wenn wir φ(U_{0}) und U_{o} durch φ(A) und A ersetzen.

□

2.13. Zylinder-, Polar- und Kugelkoordinaten. Wir behandeln in diesem Abschnitt einige wichtige Fälle von Koordinatentransformationen. Wir betrachten zuerst einen Drehkörper K ⊂ ℝ^{3} mit der z-Achse als Drehachse, d.h., es gilt

K = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x = r cos φ, y = r sin φ, φ ∈ (−π, π), (r, z) ∈ A},

wobei A ⊂ ℝ_{+} × ℝ eine vorgegebene Lebesgue-meßbare Teilmenge ist. Die hier auftretenden Koordinaten (r, φ, z) heißen Zylinderkoordinaten (bezüglich der z-Achse). Wir haben es also mit der Koordinatentransformation T : ℝ^{3} → ℝ^{3} zu tun, die definiert ist durch

T (r, φ, z) = (r cos φ, r sin φ, z).

Die Einschränkung von T auf (0, ∞) × (−π, π) × ℝ ist ein Diffeomorphismus auf ℝ^{3} \ H, wobei H die Halbebene

H = {(x, y, z) | x ≤ 0, y = 0}

ist. Dann ist H ⊂ ℝ^{3} eine Nullmenge. Wir können daher Korollar 2.81 anwenden. Daraus folgt, daß wir das Volumen des Drehkörpers K wie folgt berechnen können

Vol(K) = λ_{3}(K) = ∫_{ℝ^{3}} χ_{K}(x, y, z)dλ(x, y, z)
= ∫_{ℝ_{+}×(−π,π)×ℝ} χ_{K}(T (r, φ, z))r dλ(r, φ, z)
= ∫_{ℝ_{+}×(−π,π)×ℝ} χ_{A}(r, z)r d(r, φ, z)
= 2π ∫_{A} r d(r, z) = 2πλ_{2}(A)R

wobei R der Abstand des Schwerpunktes

S = S(A) = \frac{1}{λ(A)} ∫_{A} xdx

von der z-Achse ist. Daraus erhalten wir die Guldinsche Regel

Vol(K) = λ_{3}(K) = 2πRλ_{2}(A).

Für n ≥ 2 definieren wir Polarkoordinaten P_{n} : ℝ^{n} → ℝ^{n} durch

P_{2}(r, φ) = (r cos φ, r sin φ)

und für n ≥ 3 rekursiv durch

P_{n}(r, φ_{1}, …, φ_{n−1}) = (P_{n−1}(r, φ_{1}, …, φ_{n−2}) cos φ_{n−1}, r sin φ_{n−1}).

Im Falle n = 3 nennt man die Polarkoordinaten auch Kugelkoordinaten.

Lemma 2.82. Es gilt

1) ∥ P_{n}(r, φ_{1}, …, φ_{n−1}) ∥= r;

2) det P′_{n}(r, φ_{1}, …, φ_{n−1}) = r^{n−1} cos^{0} φ_{1} · cos^{1} φ_{2} ⋯ cos^{n−2} φ_{n−1};

3) Es sei H = {x ∈ ℝ^{n} | x_{1} ≤ 0, x_{2} = 0}. Dann ist

P_{n} : ℝ_{+} × (−π, π) × (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} )^{n−2} → ℝ^{n} \ H

ein Diffeomorphismus.

Beweis: 1) ist klar.

2) Zunächst zeigt man

P′_{n} = \binom{P′_{n−1} cos φ_{n−1}  −P_{n−1} sin φ_{n−1}}{sin φ_{n−1}  0 … 0 r cos φ_{n−1}} .

Wir entwickeln die Determinante dieser Matrix nach der letzten Zeile. Dabei benutzen wir, daß P_{n−1} und die erste Spalte ∂_{r}P_{n−1} von P′_{n−1} die Gleichung r∂_{r}P_{n−1} = P_{n−1} erfüllen. Damit erhalten wir

det P′_{n} = (−1)^{n+1} sin^{2} φ_{n−1}(−1)^{n−1} cos^{n−2} φ_{n−1} det P′_{n−1} · r
+ (−1)^{2n}r cos^{n} φ_{n−1} det P_{n−1} = r det P′_{n−1} cos^{n−2} φ_{n−1}.

2) folgt damit durch Induktion.

3) Sei n ≥ 3 und x ∈ ℝ^{n} \ H. Da x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 0 ist, ist r =∥ x ∥> 0 und |x_{n}/r| < 1. Daher ist

φ_{n−1} = arcsin (\frac{x_{n}}{r} ) , r =∥ x ∥ .

Sei

x′ = \frac{1}{cos φ_{n−1}} (x_{1}, …, x_{n−1}).

Dann ist ∥ x′ ∥= r und x′ hat genau ein Urbild (unter P_{n−1}) in

ℝ_{+} × (−π, π) × (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} )^{n−3} .

Der Beweis folgt wiederum durch Induktion.

□

Es sei M eine Menge. Wir nennen eine Funktion f : ℝ^{n} → M rotationssymmetrisch, wenn f = f(∥ x ∥) ist.

Satz 2.83. Sei I ⊂ [0, ∞] ein Intervall und sei f : I → ℝ integrabel. Weiter sei

K = K_{I} = {x ∈ ℝ^{n} |∥ x ∥∈ I}.

Dann ist x ∈ K ⟼ f(∥ x ∥) integrabel und es gilt

∫_{K} f(∥ x ∥)dx = nκ_{n} ∫_{I} f(r)r^{n−1}dr,

wobei κ_{n} das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel ist.

Beweis: Nach Korollar 2.81 gilt

∫_{K} f(∥ x ∥)dx

= ∫_{I×(−π,π)×(− \frac{π}{2} , \frac{π}{2} )^{n−2}} f(r)^{n−1} cos^{0} φ_{1} … cos^{n−2} φ_{n−1} d(r, φ_{1}, …, φ_{n−1})

= ∫_{I} f(r)r^{n−1} dr

× ∫_{(−π,π)×(− \frac{π}{2} , \frac{π}{2} )^{n−2}} cos^{0} φ_{1} · . . . · cos^{n−2} φ_{n−1} d(φ_{1}, …, φ_{n−1})

Wenn wir insbesondere I = [0, 1] und f = 1 wählen, so folgt, daß das letzte Integral gleich nκ_{n} ist.

□

Beispiel: Berechnung von κ_{n}. Für s ∈ ℝ^{+} sei

Γ(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{s−1}dt.

die Gamma-Funktion. Dann ist nach Satz 2.83

\begin{aligned}∫_{ℝ^{n}} e^{−∥x∥^{2}} dx & = nκ_{n} ∫_{0}^{∞} e^{−r^{2}}r^{n−1} dr = \frac{n}{2}κ_{n} ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{n/2−1}dt \\ & = \frac{n}{2}k_{n}Γ (\frac{n}{2}) = κ_{n}Γ (\frac{n}{2} + 1) . \end{aligned}

Nach dem Satz von Fubini ist

∫_{ℝ^{n}} e^{−∥x∥^{2}}dx = (∫_{ℝ} e^{−x^{2}}dx)^{n} .

Insbesondere ist damit

(∫_{ℝ} e^{−x^{2}}dx)^{2} = ∫_{ℝ^{2}} e^{−(x^{2}+y^{2})}dxdy = κ_{2}Γ(2) = κ_{2} = π.

Daraus folgt ∫_{ℝ} e^{−x^{2}}dx = \sqrt{π} und daher

π^{n/2} = κ_{n}Γ (\frac{n}{2} + 1) ,

d.h.

κ_{n} = \frac{π^{n/2}}{Γ(\frac{n}{2} + 1)}.

Für n = 2k ist

Γ (\frac{n}{2} + 1) = Γ(k + 1) = k! = (\frac{n}{2})!.

Für n = 2k + 1 ist

Γ (\frac{n}{2} + 1) = \frac{n}{2} · \frac{n − 2}{2} ⋯ \frac{1}{2}Γ (\frac{1}{2}) = \frac{n}{2} · \frac{n − 2}{2} ⋯ \frac{1}{2}\sqrt{π}.

Daraus erhalten wir schließlich

κ_{2k+1} = \frac{2^{k+1}π^{k}}{1 · 3 ⋯ (2k + 1)} und κ_{2k} = \frac{π^{k}}{k!} .

2.14. Die L^{p}-Räume. Es sei (X, A, μ) ein Maßraum.

Definition 2.84. Für 1 ≤ p ≤ ∞ sei L^{p}(X, ℝ^{m}) die Menge aller μ meßbaren Abbildungen f : X → ℝ^{m} so, daß ∥ f ∥^{p} in L^{1}(X, ℝ^{m}) liegt. Für f ∈ L^{p}(X, ℝ^{m}) sei

∥ f ∥_{p}= (∫_{X} ∥ f(x) ∥^{p} dμ)^{1/p} .

Satz 2.85. Für alle p, 1 ≤ p < ∞, ist L^{p}(X, ℝ^{m}) ein reeller Vektorraum und ∥ · ∥_{p} ist eine Seminorm in L^{p}(X, ℝ^{m}). Es seien p, q > 1 so, daß

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

Wenn f ∈ L^{p}(X, ℝ^{m}) und g ∈ L^{q}(X, ℝ^{m}) so, ist ∥ f ∥∥ g ∥∈ L^{1}(X, ℝ) und es gilt die Höldersche Ungleichung

∫_{X} ∥ f(x) ∥∥ g(x) ∥ dμ ≤∥ f ∥_{p}∥ g ∥_{q} .

Beweis: Für a, b ≥ 0 gilt die elementare Ungleichung

(a + b)^{p} ≤ 2^{p}(a^{p} + b^{p}).

Es seien f, g ∈ L^{p}(X, ℝ^{m}). Dann folgt aus dieser Ungleichung

∥ f(x) + g(x) ∥^{p}≤ 2^{p}(∥ f(x) ∥^{p} + ∥ g(x) ∥^{p}) für alle x ∈ X.

Daher ist auch f + g ∈ L^{p}(X, ℝ^{m}). Für λ ∈ ℝ ist offensichtlich λf ∈ L^{p}(X, ℝ^{m}). Damit haben wir gezeigt, daß L^{p}(X, ℝ^{m}) ein reeller Vektorraum ist. Als nächstes beweisen wir die Höldersche Ungleichung. Es seien p, q > 1 und es gelte

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

Sei f ∈ L^{p}(X, ℝ^{m}) und g ∈ L^{q}(X, ℝ^{m}). Wenn ∥ f ∥_{p}= 0 oder ∥ g ∥_{q}= 0, so ist f bzw. g fast überall 0. Daher ist ∥ f(x) ∥∥ g(x) ∥= 0 für fast alle x ∈ X und die Höldersche Ungleichung gilt offensichtlich. Wir können daher annehmen, daß ∥ f ∥_{p}≠ 0 und ∥ g ∥_{q}≠ 0 ist. Es seien a, b > 0. Dann gilt

a^{1/p}b^{1/q} ≤ \frac{a}{p} + \frac{b}{q}.

Für x ∈ X setzen wir

a = \frac{∥ f(x) ∥^{p}}{∥ f ∥_{p}^{p}} und b = \frac{∥ g(x) ∥^{q}}{∥ g ∥_{q}^{q}} .

Dann folgt aus der Ungleichung

\frac{∥ f(x) ∥}{∥ f ∥_{p}} \frac{∥ g(x) ∥}{∥ g ∥_{q}} ≤ \frac{1}{p} \frac{∥ f(x) ∥^{p}}{∥ f ∥_{p}^{p}} + \frac{1}{q} \frac{∥ g(x) ∥^{q}}{∥ g ∥_{q}^{q}} .

Daraus folgt aus Korollar 2.53, daß ∥ f(x) ∥∥ g(x) ∥ integrabel ist und es gilt

\begin{aligned}∫_{X} ∥ f(x) ∥∥ g(x) ∥ dμ & ≤∥ f ∥_{p}∥ g ∥_{q} (\frac{1}{p} \frac{∫_{X} ∥ f(x) ∥^{p} dμ}{∥ f ∥_{p}^{p}} \\ & + \frac{1}{q} \frac{∫_{X} ∥ g(x) ∥^{q} dμ}{∥ g ∥_{q}^{q}}) =∥ f ∥_{p}∥ g ∥_{q} . \end{aligned}

Um zu zeigen, daß ∥ · ∥_{p} eine Seminorm ist, müssen wir die Dreiecksungleichung beweisen. Es gilt

∥ f(x) + g(x) ∥^{p}≤∥ f(x) ∥∥ f(x) + g(x) ∥^{p−1} + ∥ g(x) ∥∥ f(x) + g(x) ∥^{p−1} .

Es sei q = p/p − 1. Dann ist

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

Weiter ist ∥ f(x)+g(x) ∥^{p−1}∈ L^{q}(X, ℝ). Wir können daher die Höldersche Ungleichung auf ∥ f(x) ∥, ∥ g(x) ∥∈ L^{p}(X, ℝ) und ∥ f(x) + g(x) ∥^{p−1}∈ L^{q}(X, ℝ) anwenden. Daraus folgt

∫_{X} ∥ f(x) + g(x) ∥^{p} dμ ≤ ∫_{X} ∥ f(x) ∥∥ f(x) + g(x) ∥^{p−1} dμ
+ ∫_{X} ∥ g(x) ∥∥ f(x) + g(x) ∥^{p−1} dμ

≤ (∥ f ∥_{p} + ∥ g ∥_{p}) (∫_{X} ∥ f(x) + g(x) ∥^{p} dμ)^{\frac{p−1}{p}} .

Wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit (∫_{X} ∥ f(x) + g(x) ∥^{p} dμ)^{(p−1)/p} multiplizieren, so erhalten wir

∥ f + g ∥_{p}≤∥ f ∥_{p} + ∥ g ∥_{p} .
□

3. Integration auf Untermannigfaltigkeiten des ℝ^{n}

In diesem Abschnitt entwickeln wir die Integrationstheorie auf Untermannigfaltigkeiten des ℝ^{n}. Dafür gibt es verschiedene Gründe. Wir möchten z.B. den Inhalt gekrümmter Flächen im Raum bestimmen. Allgemeiner bedeutet dies, daß wir Volumina von Untermannigfaltigkeiten des ℝ^{n} messen möchten. Ein weiterer wesentlicher Grund ist die Verallgemeingerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Es sei I = [a, b] ⊂ ℝ ein Intervall und f : I → ℝ eine stetig differenzierbare Funktion. Dann besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, daß

∫_{a}^{b} f′(x)dx = f(b) − f(a)

ist. Wir möchten diesen Satz auf den Fall von Funktionen von n Variablen verallgemeineren. Das n-dimensionale Analogon eines kompakten Intervalles ist eine offene beschränkte Menge U ⊂ ℝ^{n}. Es sei ∂U der Rand von U. Für ein Intervall [a, b] ist ∂U = {a, b}. Im einfachsten Falle ist ∂U ⊂ ℝ^{n} eine (n − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Z.B. ist der Rand der n-dimensionalen Einheitskugel B_{n} ⊂ ℝ^{n} die Sphäre S^{n−1} = {x ∈ ℝ^{n} |∥ x ∥= 1}, von der wir aus Infini II wissen, daß sie eine Untermannigfaltigkeit ist. Im allgemeinen ist dies natürlich nicht erfüllt. Z.B. ist der Rand eines Würfels Q ⊂ ℝ^{3} keine Untermannigfaltigkeit mehr. Die Kanten und Ecken des Würfels bilden die ”singulären”

Randpunkte, d.h., die Menge der Punkte, in deren Umgebung ∂Q keine Untermannigfaltigkeit ist. Eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist der Gaußsche Integralsatz. Es sei U ⊂ ℝ^{n} eine offene beschränkte Menge, deren Rand ∂U eine Untermannigfaltigkeit ist. Weiter sei F : U → ℝ^{n} ein Vektorfeld auf U, das stetig auf \overline{U} und stetig differenzierbar auf U ist. Die Divergenz von F ist definiert als

div F (x) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂F_{i}}{∂x_{i}} (x), x ∈ U,

wobei F = (F_{1}, …, F_{n}) ist. Es sei ν : ∂U → ℝ^{n} das nach außen gerichtete Einheitsnormalenvektorfeld. Dann besagt der Satz von Gauß

∫_{U} div F (x)dx = ∫_{∂U}⟨F (x), ν(x)⟩dS.

Dabei ist dS das Maß auf ∂U, das durch die Einbettung ∂U ⊂ ℝ^{n} induziert wird. Dieser Satz spielt eine wichtige Rolle in der Hydrodynamik und der Potentialtheorie. Um diesen Satz zu verstehen, müssen wir das Maß dS und das entsprechende Integral über ∂U erklären. Der Satz von Gauß gilt für allgemeinere offene Mengen U, sogenannte C^{1}-Polyeder, bei denen der Rand ∂U eine stückweise differenzierbare Hyperfläche ist, d.h., beim Rand sind gewisse Singularitäten zugelassen. Eine allgemeinere Version des Satzes von Gauß ist der Satz von Stokes. Dazu müssen wir den Differentialformenkalkül einführen. Wir erinnern uns zuerst an die Definition einer Untermannigfaltigkeit. Eine Teilmenge X ⊂ ℝ^{n} heißt d-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn für alle x ∈ X eine offene Umgebung U ⊂ ℝ^{n} von x und C^{1}- Diffeomorphismus ϕ : U → V auf eine offene Menge V ⊂ ℝ^{n} existieren so, daß

φ(X ∩ U) = ℝ_{0}^{d} ∩ V

gilt. Dabei ist

ℝ_{0}^{d} = {x ∈ ℝ^{n} | x_{d+1} = ⋯ = x_{n} = 0}.

O.B.d.A. können wir annehmen, daß V die Gestalt V = Ω × W hat, wobei Ω ⊂ ℝ^{d} und W ⊂ ℝ^{n−d} offene Teilmengen sind und

φ(X ∩ U) = Ω × {0}

ist. Es sei

γ : Ω → U ∩ X

definiert durch

γ(x) = φ^{−1}(x, 0), x ∈ Ω.

Dann ist γ : Ω → ℝ^{n} eine C^{1}-Abbildung und (Ω, γ) können wir als lokale Parametrisierung von X auffassen, da γ : Ω → γ(Ω) ⊂ X ein Homöomorphismus ist. Außerdem ist dγ(x) : ℝ^{d} → ℝ^{n} injektiv für alle x ∈ Ω. Es sei φ_{1} : U_{1} → Ω_{1} × W_{1} eine weitere Karte von X, wobei φ_{1}(U_{1} ∩ X) = Ω_{1} × {0}. Daraus erhalten wir durch Einschränkung eine lokale Parametrisierung

γ_{1} : Ω_{1} → X ∩ U_{1}

von X. Es sei U ∩U_{1} ≠ ∅. Wir setzen V_{1} = Ω_{1}×W_{1}. Nach Voraussetzung ist

φ_{1} ∘ φ^{−1} : V ∩ V_{1} → V ∩ V_{1}

ein C^{1}-Diffeomorphismus der offenen Menge V ∩ V_{1} ⊂ ℝ^{n}. Da

γ_{1} ∘ γ^{−1} : Ω ∩ Ω_{1} → Ω ∩ Ω_{1}

die Einschränkung von φ_{1} ∘φ^{−1} auf Ω∩Ω_{1} ×{0} ⊂ (Ω×W)∩(Ω_{1} ×W_{1}) ist, ist γ_{1} ∘ γ^{−1} ein C^{1}-Diffeomorphismus. Wir nennen eine Familie

{(Ω_{α}, γ_{α}, U_{α}) | α ∈ I}

von lokalen Parametrisierungen γ_{α} : Ω_{α} → X ∩ U_{α} einen Atlas von X, wenn

X = ⋃_{α∈I}(X ∩ U_{α})

ist. Dann wird X durch die Kartenumgebungen γ_{α}(Ω_{α}) = X ∩ U_{α}überdeckt und für alle α, β ∈ I ist

γ_{β}^{−1} ∘ γ_{α} : Ω_{α} ∩ Ω_{β} → Ω_{α} ∩ Ω_{β}

ein C^{1}-Diffeomorphismus.

Lemma 3.1. Jeder Atlas von X enthält einen Teilatlas mit einer höchstens abzählbaren Indexmenge I.

Beweis: Es sei {(Ω_{α}, U_{α}, γ_{α}) | α ∈ I} ein Atlas von X. Die Menge der offenen Kugeln im ℝ^{n} mit rationalem Zentrum und rationalem Radius ist abzählbar. Jede offene Teilmenge von ℝ^{n} ist Vereinigung solcher Kugeln. Es sei B_{1}, B_{2} … eine Abzählung dieser Kugeln so, daß zu jedem B_{k} ein α ∈ I existiert mit B_{k} ⊂ U_{α}. Wir wählen nun für jedes k ∈ ℕ ein α(k) ∈ I mit B_{k} ⊂ U_{α(k)} und setzen J = {α(k) | k ∈ ℕ}. Da jedes U_{α} Vereinigung von Kugeln der Folge (B_{k}) ist, ist

X = ⋃_{α∈J}(X ∩ U_{α}).

□

Aus Kapitel 2 wissen wir: Um auf X integrieren zu können, müssen wir eine σ-Algebra A von Teilmengen von X und ein positives Maß λ : A → [0, ∞] konstruieren. Da wir insbesondere offene Teilmengen von X messen möchten, ist klar, daß wir als σ-Algebra die Borelsche σ-Algebra B wählen, die von den offenen Mengen von X erzeugt wird. Nach Konstruktion des Maßes λ : B → [0, ∞] komplettieren wir die σ-Algebra und erhalten die σ-Algebra A der Lebesgue-meßbaren Mengen in X. Der wesentliche Punkt ist also die Konstruktion des Maßes λ.

3.1. Der Maßtensor einer Untermannigfaltigkeit. Es sei X ⊂ ℝ^{n} eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Jeder Borelschen Teilmenge A ⊂ X möchten wir ein Maß λ(A) zuordnen. Wir betrachten dazu zuerst Teilmengen, die in einer Karte enthalten sind.

Definition 3.2. Es sei Ω ⊂ ℝ^{d} offen und zusammenhängend. Eine C^{1}-Abbildung γ : Ω → ℝ^{n} heißt parametrisierte d-Fläche, wenn folgendes gilt: 1)γ : Ω → γ(Ω) ist ein Homöomorphismus.

2) ∀x ∈ Ω : dγ(x) : ℝ^{d} → ℝ^{n} ist injektiv.

Für d = 1 ist γ : [a, b] → ℝ^{n} eine parametrisierte Kurve. Einer solchen Kurve haben wir in Abschnitt 10.17 von Infini II die Länge L(γ) zugeordnet. Wir erinnern an die Konstruktion. Es sei Z = {t_{0}, t_{1}, …, t_{m}} mit

t_{0} = a < t_{1} < ⋯ < t_{m} = b

eine Zerlegung des Intervalles [a, b]. Diese Zerlegung bestimmt den Polygonzug, der durch die Punkte γ(t_{0}), γ(t_{1}), …, γ(t_{m}) geht. Die Länge dieses Polygonzuges ist

L_{Z}(γ) = ∑_{i=1}^{m} ∥ γ(t_{i}) − γ(t_{i−1}) ∥ .

Wir haben dann die Länge L(γ) der Kurve γ : [a, b] → ℝ^{n} definiert durch

L(γ) = sup_{Z}{L_{Z}(γ)}.

Für eine C^{1}-Kurve γ : [a, b] → ℝ^{n} haben wir gezeigt, daß die Länge L(γ) existiert und mittels der Formel

L(γ) = ∫_{a}^{b} ∥ γ̇(t) ∥ dt

berechnet werden kann. Weiterhin haben wir gezeigt, daß L(γ) nicht von der Parametrisierung von γ([a, b]) = Γ abhängt, d.h., wenn φ : [c, d] → [a, b] ein C^{1}-Diffeomorphismus ist und γ̃ = γ ∘ φ die neue Parametrisierung von Γ ist, so ist L(γ) = L(γ̃). Wir können also ∥ γ̇(t) ∥ dt als das infinitesimale Längenelement auf Γ bezüglich der Parametrisierung γ[a, b] → Γ ansehen. Dies legt nahe, daß wir für eine meßbare Menge A ⊂ [a, b] das Maß λ(γ(A)) definieren duch

λ(γ(A)) = ∫_{A} ∥ γ̇(t) ∥ dt.

Es liegt nun nahe, im Falle einer parametrisierten d-Fläche

γ : Ω ˜→X ⊂ ℝ^{n}

analog vorzugehen, um ein d-dimensionales Volumen

λ_{d}(X) = Vol_{d}(X)

der Menge X zu definieren, d.h., X durch Polyeder der Dimension d zu approximieren und Vol_{d}(X) als den Grenzwert der Volumina der approximierenden Polyeder zu definieren, wenn man die maximale Kantenlänge der Simplexe gegen Null streben läßt. Dies führt aber schon in der Dimension 2 bei einfachen Flächen zu Problemen. Siehe dazu das Beispiel von H.A. Schwarz in G.M. Fichtenholz, ”Differential- und Integralrechnung III”, 3, S. 242 ff. Eine Möglichkeit, das d-dimensionale Volumen Vol_{d}(X) zu definieren, ist die Verwendung des Hausdorff-Maßes. Darauf gehen wir hier aber nicht ein. Eine andere Möglichkeit ist folgendes Verfahren. Für x ∈ X sei N_{x}(X) = T_{x}(X)^{⊥} der Normalenraum im Punkte x. Für ϵ > 0 sei

B_{x}(ϵ) = {y ∈ N_{x}(X) |∥ x − y ∥< ϵ}.

Da N_{x}(X) ≅ ℝ^{n−d}, ist B_{x}(ϵ) isomorph zu einer Kugel vom Radius ϵ in ℝ^{n−d}. Es sei V ⊂ Ω offen mit \overline{V} ⊂ Ω. Dann ist γ(V) = K ⊂ X relativ kompakt und es existiert ϵ > 0 so, daß für alle x, y ∈ K, x ≠ y, gilt

B_{x}(ϵ) ∩ B_{y}(ϵ) = ∅.

Wir betrachten die Tube

T_{ϵ}(K) = ⋃_{x∈K} B_{ϵ}(K)

um K. Dann ist es naheliegend, Vol_{d}(K) zu definieren durch

Vol_{d}(K) = \frac{1}{Vol(B_{n−d}(0))} lim_{ϵ→0} ϵ^{−(n−d)}Vol_{n}(T_{ϵ}(K)).

Auf diesem Wege kann man das d-dimensionale Volumen λ_{d}(X) = Vol_{d}(X) definieren. Wir führen dies aber auch nicht aus.

Unter der Annahme, das wir einer parametrisierten d-Fläche γ : Ω ⟶^{⋍} X tatsächlich ein Maß λ_{d}(X) in sinnvoller Weise zuordnen können, berechnen wir λ_{d}(X) durch die Parametrisierung. Wir nehmen an, daß λ_{d}(X) additiv ist bezüglich disjunkter Vereinigung. Es sei Ω = Q ⊂ ℝ^{d} ein Würfel. Wir unterteilen die Kanten von Q in k Intervalle gleicher Länge und erhalten so eine Zerlegung.

Q = ⨆_{i=1}^{k^{d}} Q_{i}

von Q in k^{d} gleichgroße paarweise disjunkte halboffene Würfel Q_{i}. Es sei x_{i} ∈ Q_{i} das Zentrum von Q_{i}. Die Taylorapproximation von γ auf Q_{i} ergibt

γ(x) = γ(x_{i}) + γ′(x_{i})(x − x_{i}) + ρ_{i}(x),  (3.1)

wobei

lim_{x→x_{i}} \frac{ρ_{i}(x)}{∥ x − x_{i} ∥} = 0

ist. Sei ϵ > 0 gegeben. Zu ϵ können wir k ∈ ℕ so wählen, daß für alle i, i = 1, …, k^{d}, gilt

∥ ρ_{i}(x) ∥≤ ϵ ∥ x − x_{i} ∥ für alle x ∈ Q_{i}.  (3.2)

Nun ist

λ_{d}(γ(Q)) = ∑_{i=1}^{k^{d}} λ(γ(Q_{i})).

Es sei ψ_{i} : ℝ^{d} → ℝ^{n} definiert durch

ψ_{i}(x) = γ(x_{i}) − γ′(x_{i})(x_{i}) + γ′(x_{i})(x).

Dann ist ψ_{i} eine affine Transformation und aus (3.1) und (3.2) folgt

| λ_{d}(γ(Q_{i})) − λ_{d}(ψ_{i}(Q_{i})) |≤ ϵλ_{d}(Q_{i}).

Dabei haben wir wieder angenommen, daß sich das Volumen bei einer Approximation der Form

γ(x) = ψ(x) + ρ(x), lim_{x→0} \frac{ρ(x)}{∥ x ∥} = 0,

stetig verhält und damit

| λ_{d}(γ(Q)) − ∑_{i=1}^{k^{d}} λ_{d}(ψ_{i}(Q)) |≤ ϵλ_{d}(Q)  (3.3)

gilt. Wir berechnen jetzt λ_{d}(ψ_{i}(Q_{i})). Da λ_{d} translationsinvariant ist, genügt es, folgende Situation zu betrachten. Es sei A : ℝ^{d} → ℝ^{n} injektiv und Q = [0, 1]^{d}. Es sei e_{1}, …, e_{d} ∈ ℝ^{d} die Standardbasis. Wir setzen

v_{i} = A(e_{i}), i = 1, …, d.

Dann ist

A(Q) = {x ∈ ℝ^{n} | x = ∑_{i=1}^{d} t_{i}v_{i}, t_{i} ∈ [0, 1], i = 1, …, n}

das von v_{1}, …, v_{d} aufgespannte Parallelotop oder d-Spat P (v_{1}, …, v_{d}).

Satz 3.3. Es gilt

Vol_{d}(P (v_{1}, …, v_{d})) = \sqrt{det(A^{t}A)}.

Beweis: Es sei e_{1}, …, e_{n} ∈ ℝ^{n} die Standardbasis von ℝ^{n}. Wenn wir A in den Standardbasen darstellen, so ist A = (a_{ij}) eine n × d Matrix vom Rang d mit

a_{ij} = ⟨e_{i}, A(e_{j})⟩ = ⟨e_{i}, v_{j}⟩.

Daraus folgt

A^{t}A = (⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{i,j=1}^{d} .  (3.4)

Es seien

f_{d}, g_{d} : ℝ^{n} × {⋯ \atop d-mal} × ℝ^{n} → ℝ

definiert durch

f_{d}(v_{1}, …, v_{d}) = Vol_{d}(P (v_{1}, …, v_{d}))

und

g_{d}(v_{1}, …, v_{d}) = \sqrt{det((⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{i,j=1}^{d})}.

Auf Grund von (3.4) genügt es zu zeigen, daß f_{d} = g_{d} für alle d ∈ ℕ. Wir bemerken als erstes, daß f_{d} folgende Eigenschaften hat:

1) ∀λ ∈ ℝ : f_{d}(v_{1}, …, λv_{i}, …, v_{d}) = |λ|f_{d}(v_{1}, …, v_{d})

2) f_{d}(v_{1}, …, v_{i}+w_{i}, …, v_{d}) = f_{d}(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{d})+f_{d}(v_{1}, …, w_{i}, …, v_{d})

3) Wenn v_{i} = v_{j} für i ≠ j, so ist

f_{d}(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{j}, …, v_{d}) = 0.

4) f_{d}(e_{1}, …, e_{d}) = 1.

4) folgt unmittelbar aus der Definition. Wenn v_{i} = v_{j}, i ≠ j, ist, so ist P (v_{1}, …, v_{i}, …, v_{j}, …, v_{d}) ein (d − 1) Spat und daher ist das d-Volumen dieses Spates gleich 0. Daher gilt 3). Weiter gilt

\begin{aligned}P (v_{1}, …, v_{i} + w_{i}, …, v_{d}) & = P (v_{1}, …, v_{i}, …, v_{d}) \\ & ∪ (P (v_{1}, …, w_{i}, …, v_{d}) + v_{i}). \end{aligned}

Daraus folgt 2). Sei V = ⊕_{j=1}^{d}ℝv_{j} und sei e ∈ V mit

∥ e ∥= 1 und ⟨e, v_{j}⟩ = 0, j ≠ i.

Dann existieren λ ∈ ℝ^{+} und a_{j} ∈ ℝ, j = 1, …, d, j ≠ i, so, daß

v_{i} = λe + ∑_{j≠i} a_{j}v_{j}.

Aus 2) und 3) folgt dann

f_{d}(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{d}) = f_{d}(v_{1}, …, λe, …, v_{d}).

Offenbar ist

Vol_{d}(P (v_{1}, …, λe, …, v_{d})) = λVol_{d−1}(P (v_{1}, …, v̂_{i}, …, v_{d})).

Nach Definition ist λ = sin(φ) ∥ v_{i} ∥, wobei φ der Winkel zwischen v_{i} und der von v_{1}, …, v̂_{i}, …, v_{d} aufgespannten Hyperebene ist. Daraus folgt unmittelbar 1). Aus den Eigenschaften der Determinante folgt, daß g_{d} ebenfalls die Eigenschaften 1)-4) hat. Wir zeigen jetzt mittels vollständiger Induktion, daß f_{d} = g_{d} gilt. Für d = 1 ist f_{1}(v) =∥ v ∥ und g_{1}(v) =∥ v ∥. Es gelte f_{k} = g_{k} für k ≤ d − 1. Wie oben folgt

f_{d}(v_{1}, …, v_{d}) = sin(φ) ∥ v_{d} ∥ f_{d−1}(v_{1}, …, v_{d−1}).  (3.5)

Ebenso folgt aus 1)-4)

g_{d}(v_{1}, …, v_{d}) = sin(φ) ∥ v_{d} ∥ g_{d−1}(v_{1}, …, v_{d−1}).  (3.6)

Dabei ist φ der Winkel zwischen v_{d} und der von v_{1}, …, v_{d−1} aufgespannten Hyperebene. Aus (3.5), (3.6) und der Induktionsvoraussetzung folgt daher f_{d} = g_{d}.

□

Aus Satz 3.3 folgt

λ_{d}(ψ_{i}(Q_{i})) = \sqrt{det((γ′(x_{i}))^{t}γ′(x_{i}))}λ_{d}(Q_{i}).  (3.7)

Definition 3.4. Für x ∈ Ω sei

g(x) = det((γ′(x))^{t}γ(x)).  (3.8)

Auf Grund von (3.4) folgt

g(x) = det ((⟨\frac{∂γ}{∂x_{k}} (x), \frac{∂γ}{∂x_{l}} (x)⟩)_{k,l=1}^{d}) .

Da \sqrt{g(x)} auf \overline{Q} gleichmäßig stetig ist, existiert k ∈ ℕ so, daß für alle i, i = 1, …, k^{d}, gilt

|\sqrt{g(x)} − \sqrt{g(x_{i})}| ≤ ϵ für alle x ∈ Q.

Dann folgt aus (3.6)

\begin{aligned}|∫_{Q_{i}} \sqrt{g(x)}dx − λ_{d}(ψ_{i}(Q_{i}))| & = |∫_{Q_{i}} \sqrt{g(x)}dx − \sqrt{g(x_{i})}λ_{d}(Q_{i})| \\ & = |∫_{Q_{i}} (\sqrt{g(x)} − \sqrt{g(x_{i})}) dx| ≤ ϵλ_{d}(Q_{i}). \end{aligned}

Zusammen mit (3.3) folgt daraus

λ_{d}(γ(Q)) = ∫_{Q} \sqrt{g(x)}dx.  (3.9)

Dies kann wie folgt interpretiert werden. Es sei X = γ(Ω). Für jedes x ∈ X induziert die Einbettung T_{x}X ⊂ ℝ^{n} ein inneres Produkt in ℝ^{d} durch

G_{x}^{γ}(v, w) = ⟨γ′(x)v, γ′(x)w⟩, v, w ∈ ℝ^{d}.

Dies ist die sogenannte 1. Fundamentalform von γ in x. Die entsprechende Matrixdarstellung von G_{x}^{γ} in der Standardbasis hat die Einträge

g_{ij}^{γ}(x) = ⟨γ′(x)e_{i}, γ′(x)e_{j}⟩ = ⟨\frac{∂γ}{∂x_{i}} (x), \frac{∂γ}{∂x_{j}} (x)⟩.

Damit ist

g(x) = det ((g_{ij}^{γ}(x))) .

Man nennt (X, G) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und \sqrt{g^{γ}(x)}dx die Volumendichte von X bezüglich γ : Ω → ℝ^{n}. Es sei A ⊂ Ω Lebesgue-meßbar. Auf Grund obiger heuristischer Überlegungen ist es naheliegend, das Maß λ_{d}(γ(A)) zu definieren als

λ_{d}(γ(A)) = ∫_{A} \sqrt{g^{γ}(x)}dx.

Damit dies sinnvoll ist, müssen wir zeigen, daß die rechte Seite nicht von der gewählten Parametrisierung γ von γ(Ω) = X abhängt. Es seien Ω_{1}, Ω_{2} ⊂ ℝ^{d} offen und φ : Ω_{2} → Ω_{1} sei ein C^{1}-Diffeomorphismus. Es sei γ_{1} : Ω_{1} → ℝ^{n} eine C^{1}-Parametrisierung der Untermannigfaltigkeit X = γ_{1}(Ω). Weiter sei γ_{2} = γ_{1} ∘ φ. Dann ist γ_{2} : Ω → ℝ^{n} ebenfalls eine C^{1}-Parametrisierung von X.

Lemma 3.5. Es sei A ⊂ Ω_{2} Lebesgue-meßbar. Dann ist φ(A) ⊂ Ω_{1} Lebesgue-meßbar und es gilt

∫_{φ(A)} \sqrt{g^{γ_{1}}(y)}dy = ∫_{A} \sqrt{g^{γ_{2}}(x)}dx.

Beweis: Aus dem Transformationssatz folgt, daß φ(A) ⊂ Ω_{1} Lebesguemeßbar ist und

∫_{φ(A)} \sqrt{g^{γ_{1}}(y)}dy = ∫_{A} \sqrt{g^{γ_{1}}(φ(x))}| det φ′(x)|dx.  (3.10)

Da γ_{2} = γ_{1} ∘ φ ist, folgt aus der Kettenregel

γ′_{2}(x) = γ′_{1}(φ(x)) ∘ φ′(x).

Daher ist

(γ′_{2}(x))^{t}γ′_{2}(x) = φ′(x)^{t} ∘ γ′_{1}(φ(x))^{t} ∘ γ′_{1}(φ(x)) ∘ φ′(x).

Daraus folgt

g^{γ_{2}}(x) = det(γ′_{2}(x)^{t}γ′_{2}(x)) = det^{2}φ′(x) det(γ′_{1}(φ(x))^{t}γ_{1}(φ(x)))
= det^{2} (φ′(x)) g^{γ_{1}}(φ(x)).

Daher ist

\sqrt{g^{γ_{2}}(x)} = \sqrt{g^{γ_{1}}(φ(x))}| det φ′(x)|.

Zusammen mit (3.9) erhalten wir daraus die behauptete Gleichung. □

Definition 3.6. Es sei Ω ⊂ ℝ^{d} offen und γ : Ω → ℝ^{n} eine parametrisierte d-Fläche. Sei X = γ(Ω). Eine Teilmenge A ⊂ X heißt Lebesgue-meßbar, wenn γ^{−1}(A) ⊂ Ω Lebesgue-meßbar ist. Für solche A sei

λ_{d}(A) = ∫_{γ^{−1}(A)} \sqrt{g^{γ}(x)}dx.

Aus Lemma ?? folgt, daß die rechte Seite unabhängig von γ ist. Damit ist λ_{d}(A) eindeutig definiert. Beispiel: Wir berechnen den Flächeninhalt A(S^{2}) der 2-Sphäre S^{2}. Es sei

γ = P_{3}(1, φ_{1}, φ_{2}) : [−π, π] × [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] → S^{2}.

Dann ist γ ein Diffeomorphismus

γ : (−π, π) × (\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) → S^{2} \ S^{2} ∩ H

wobei H = {(x, y, z) ∈ S^{2} | x ≤ 0, y = 0}. Nach Definition von P_{3} ist

γ(φ_{1}, φ_{2}) = (cos φ_{1} cos φ_{2}, sin φ_{1} cos φ_{2}, sin φ_{2})

Daraus folgt

\frac{∂γ}{∂φ_{1}} = (− sin φ_{1} cos φ_{2}, cos φ_{1} cos φ_{2}, 0)

und

\frac{∂γ}{∂φ_{2}} = (− cos φ_{1} sin φ_{2}, − sin φ_{1} sin φ_{2}, cos φ_{2}) .

Daraus ergibt sich

||\frac{∂γ}{∂φ_{1}} ||^{2} = cos^{2} φ_{2}, ||\frac{∂γ}{∂φ_{2}} || = 1 und ⟨\frac{∂γ}{∂φ_{1}} , \frac{∂γ}{∂φ_{2}} ⟩ = 0.

Damit ist

A(S^{2}) = ∫_{−π}^{π} ∫_{−π/2}^{π/2} cos φ_{2}dφ_{2}dφ_{1} = 4π.
□

Wir können jetzt diese Konstruktion ”globalisieren”. Es sei X ⊂ ℝ^{n} eine beliebige d-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es sei (U, φ, Ω) eine Karte von X. Dies bedeutet, daß U ⊂ ℝ^{n} und Ω ⊂ ℝ^{d} offene Teilmengen sind und eine offene Menge W ⊂ ℝ^{n−d} existiert so, daß gilt:

1) φ : U → Ω × W ist ein C^{1}-Diffeomorphismus.

2) φ(U ∩ X) = Ω × {0}. Dann ist γ = φ^{−1}(·, 0) :→ Ω ∩ X eine lokale Parametrisierung von X und γ : Ω → U ∩ X ist eine parametrisierte d-Fläche im Sinne von Definition 3.2.

Definition 3.7. Eine Teilmenge A ⊂ X (bzw. Nullmenge) heißt Lebesguemeßbar, wenn für jede Karte (U, φ, Ω) von X die Menge φ(A∩U) ⊂ ℝ^{d} Lebesgue-meßbar (bzw. eine Nullmenge) ist.

Lemma 3.8. Es sei 𝔄 = {(U_{α}, φ_{α}, Ω_{α}) | α ∈ I} ein Atlas von X. Dann ist A ⊂ X Lebesgue-meßbar (bzw. eine Nullmenge) genau dann, wenn φ_{α}(U_{α} ∩ A) Lebesgue-meßbar (bzw. eine Nullmenge) ist für alle α ∈ I.

Beweis: Wir betrachten nur den Fall einer Lebesgue-meßbaren Menge. Es sei A ⊂ X eine Teilmenge so, daß φ_{α}(U_{α} ∩ A) Lebesgue-meßbar ist für alle α ∈ I. Es sei J ⊂ I eine höchstens abzählbare Teilmenge so, daß {(U_{α}, φ_{α}, Ω_{α}) | α ∈ J} ein Atlas von X ist. Weiter sei (U, φ, Ω) eine Karte von X. Zu zeigen ist, daß φ(U ∩ A) eine Lebesgue-meßbare Teilmenge von ℝ^{d} ist. Es seien γ_{α} : Ω_{α} → U_{α} ∩ X und γ : Ω → U ∩ X die zu φ_{α} bzw. φ assoziierten lokalen Parametrisierungen von X. Weiter sei

ψ_{α} = γ^{−1} ∘ γ_{α} : Ω_{α} ∩ Ω → Ω_{α} ∩ Ω

die entsprechende Koordinationstransformation. Da nach Voraussetzung

A ⊂ ⋃_{α∈J}(A ∩ U_{α})

ist, erhalten wir

\begin{aligned}φ(A ∩ U) & = φ ( ⋃_{α∈J}(A ∩ U_{α} ∩ U)) = ⋃_{α∈J} ((φ ∘ φ_{α}^{−1} ∘ φ_{α})(A ∩ U_{α} ∩ U)) \\ & = ⋃_{α∈J} ψ_{α} (φ_{α}(A ∩ U_{α} ∩ U)) . \end{aligned}

Nach Voraussetzung ist φ_{α}(A ∩ U_{α}) eine Lebesgue-meßbare Teilmenge von Ω_{α}. Da U ∩U_{α} offen in U_{α} ist, ist φ_{α}(U ∩U_{α}) offen in ℝ^{n} und daher ist

φ_{α}(A ∩ U_{α} ∩ U) = φ_{α}(A ∩ U_{α}) ∩ φ_{α}(U_{α} ∩ U)

eine Lebesgue-meßbare Teilmenge von Ω∩Ω_{α}. Da ψ_{α} ein C^{1}-Diffeomorphismus ist, ist

ψ_{α}(φ_{α}(A ∩ U_{α} ∩ U)) ⊂ Ω ∩ Ω_{α}

ebenfalls Lebesgue-meßbar. Da J höchstens abzählbar ist, folgt daraus, daß φ(A ∩ U) eine Lebesgue-meßbare Teilmenge von ℝ^{d} ist. Die andere Richtung ist klar.

□

Es sei A_{X} die Menge der Lebesgue-meßbaren Mengen von X.

Satz 3.9. A_{X} ist eine σ-Algebra.

Beweis: Dies folgt unmittelbar aus der Definition und der Tatsache, daß die Lebesgue-meßbaren Mengen im ℝ^{d} eine σ-Algebra bilden.

□

Als nächstes konstruieren wir ein Maß λ : A_{X} → [0, ∞]. Es sei A ⊂ X eine Lebesgue-meßbare Teilemenge. Wit wählen einen Atlas 𝔄 = {(U_{α}, φ_{α}, Ω_{α}) | α ∈ I} von X mit einer höchstens abzählbaren Indexmenge I. Auf Grund von Lemma 3.1 existiert stets ein solcher Atlas. Es sei

I = {α_{1}, α_{2}, … }

eine Abzählung von I. Wir definieren rekursiv

A_{α_{1}} := A ∩ U_{α_{1}} und A_{α_{k}} := A ∩ U_{α_{k}} \ ⋃_{i=1}^{k−1} A_{α_{i}}.

Dann gilt:

1) A = ⋃_{α∈I} A_{α}.

2) (A_{α})_{α∈I} ist eine Familie paarweise disjunkter Teilmengen von A.

3) ∀α ∈ I : A_{α} ⊂ X ∩ U_{α} ist Lebesgue-meßbar. Mit anderen Worten, (A_{α})_{α∈I} ist eine Zerlegung von A bezüglich 𝔄 in paarweise disjunkte, Lebesgue-meßbare Mengen A_{α}.

Definition 3.10. Es sei A ⊂ X Lebesgue-meßbar. Dann sei

λ_{𝔄}(A) = ∑_{α∈I} ∫_{φ_{α}(A_{α})} \sqrt{g^{α}(x)}dx.

Dabei ist g^{α}(x) definiert durch (3.8) bezüglich der Parametrisieung

γ_{α} = φ_{α}^{−1}(·, 0) : Ω_{α} → U_{α} ∩ X.

Satz 3.11. λ_{𝔄}(A) ist unabhängig vom gewählten Atlas 𝔄.

Beweis: Es sei 𝔄′ = {(V_{β}, ψ_{β}, Ω̃_{β}) | β ∈ J} ein weiterer Atlas von X mit einer höchstens abzählbaren Indexmenge J und sei

A = ⨆_{β∈J} B_{β}

eine Zerlegung von A wie oben in paarweise disjunkte, Lebesgue-meßbare Teilmengen B_{β} mit B_{β} ⊂ V_{β} ∩ X, β ∈ J. Für alle α ∈ I gilt

A_{α} = ⋃_{β∈J} A_{α} ∩ B_{β}

und die Mengen A_{α}∩B_{β} sind paarweise disjunkt und Lebesgue-meßbar. Daher ist

φ_{α}(A_{α}) = ⨆_{β∈J} φ_{α}(A_{α} ∩ B_{β})

die Vereinigung der paarweise disjunkten, Lebesgue-meßbaren Mengen φ_{α}(A_{α} ∩ B_{β}). Aus dem Satz über monotone Konvergenz fogt

∫_{φ_{α}(A_{α})} \sqrt{g^{α}(x)}dx = ∑_{β∈J} ∫_{φ_{α}(A_{α}∩B_{β})} \sqrt{g^{α}(x)}dx.

Eine entsprechende Formel gilt für ψ_{β}(B_{β}), β ∈ J. Da

φ_{α}(A_{α} ∩ B_{β}) = φ_{α} ∘ ψ_{β}^{−1}(ψ_{β}(A_{α} ∩ B_{β}))

und die Einschränkung von φ_{α}∘ψ_{β}^{−1} auf Ω_{α}∩Ω̃_{β} ein C^{1}-Diffeomorphismus ist, folgt aus Lemma 3.5

∫_{φ_{α}(A_{α}∩B_{β})} \sqrt{g^{α}(x)}dx = ∫_{φ_{β}(A_{α}∩B_{β})} \sqrt{g^{β}(y)}dy.

Damit erhalten wir

\begin{aligned}λ_{𝔄}(A) & = ∑_{α∈I} ∫_{φ_{α}(A_{α})} \sqrt{g^{α}(x)}dx = ∑_{α,β} ∫_{φ_{α}(A_{α}∩B_{β})} \sqrt{g^{α}(x)}dx \\ & = ∑_{α,β} ∫_{ψ_{β}(A_{α}∩B_{β})} \sqrt{g^{β}(y)}dy = ∑_{β∈J} ∫_{ψ_{β}(B_{β})} \sqrt{g^{β}(y)}dy = λ′_{𝔄}(A). \end{aligned}

□

Es sei A ⊂ X Lebesgue-meßbar und 𝔄 ein Atlas von X mit höchstens abzählbarer Indexmenge. Wir setzen

λ(A) := λ_{𝔄}(A).

Auf Grund von Satz 3.11 ist λ(A) ∈ [0, ∞] eindeutig definiert.

Satz 3.12. Die Abbildung λ : A_{X} → [0, ∞] ist ein σ-endliches Maß.

Beweis: Aus dem Satz über monotone Konvergenz folgt, daß λ eine σ-additive Abbildung ist. Es seien B_{k}(0) = {x ∈ ℝ^{n} |∥ x ∥≤ k}. Dann ist

X = ⋃_{k∈ℕ}(B_{k}(0) ∩ X).

Die Mengen B_{k}(0) ∩ X sind kompakt und Lebesgue-meßbar mit endlichem Maß.

□

Damit steht uns die gesamte Integrationstheorie aus Kapitel 2 zur Verfügung. Das Integral einer Funktion kann man auf die entsprechenden Integrale im ℝ^{d} wie folgt zurückführen. Es sei A ⊂ X Lebesgue-meßbar und sei

A = ⨆_{α∈I} A_{α}

eine Zerlegung wie oben von A in paarweise disjunkte, Lebesgue-meßbare Teilmengen A_{α} bezüglich eines Atlases 𝔄 = {(U_{α}, φ_{α}, Ω_{α}) | α ∈ I} mit höchstens abzählbarer Indexmenge I so, daß A_{α} ⊂ U_{α} ⊂ X für alle α ∈ I. Eine Funktion f : A → ℝ ist dann λ-meßbar genau dann, wenn f ∘ φ_{α}^{−1} : φ_{α}(A_{α}) → ℝ λ-meßbar ist für alle α ∈ I. Es sei f ∈ L^{1}(X, ℝ) integrierbar. Dann ist

∫_{A} f(x)dλ = ∑_{α∈I} ∫_{φ_{α}(A_{α})}(f ∘ φ_{α}^{−1})(x)\sqrt{g^{α}(x)}dx.

Beispiele: 1) Graphen. Es sei U ⊂ ℝ^{n−1} offen und f : U → ℝ eine C^{1}-Funktion. Dann ist der Graph von f

M = {(x, y) ∈ ℝ^{n} | y = f(x), x ∈ U}

eine (n − 1)-dimensionale C^{1}-Untermannigfaltigkeit des ℝ^{n}. Die Abbildung φ : U → ℝ^{n}, die definiert ist durch φ(x) = (x, f(x)), definiert eine Parametrisierung von M. Um die Volumendichte \sqrt{g^{φ}(x)}, x ∈ U, zu bestimmen, müssen wir das Volumen des von ∂_{1}φ(x), …, ∂_{n−1}φ(x) aufgespannten Parallelotopes P bestimmen. Es sei e_{1}, …, e_{n} die Standardbasis des ℝ^{n}. Dann ist

\frac{∂φ}{∂x_{i}} (x) = e_{i} + \frac{∂f}{∂x_{i}} (x)e_{n}, 1 ≤ i ≤ n − 1.

Es sei

V = (−\frac{∂f}{∂x_{1}} (x), …, −\frac{∂f}{∂x_{n−1}} (x), 1) .

Dann folgt, daß V senkrecht zu den Vektoren ∂φ/∂x_{i}; (x), i = 1, …, n − 1, ist. Es sei Q das von P und V aufgespannte Parallelotop. Dann folgt

Vol_{n−1}(P) ∥ V ∥= Vol_{n}(Q).

Das Volumen von Q ist aber gleich dem Betrag der Determinante der Matrix

(\begin{matrix}1 & 0 & … & 0 & −∂_{1}f \\ 0 & 1 & 0 & ⋮ & −∂_{2}f \\ ⋮ & & ... & & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & −∂_{n−1}f \\ ∂_{1}f & ∂_{2}f & ⋯ & ∂_{n−1}f & 1 \end{matrix}) .

Wenn wir die Determinante dieser Matrix nach der letzten Zeile entwickeln, erhlalten wir

\begin{matrix}− (−1)^{n+1}(−1)^{n−2}(∂_{1}f)^{2} − (−1)^{n+2}(−1)^{n−3}, (∂_{2}f)^{2} + ⋯ + (−1)^{2n} · 1 \\ = 1 + ∑(∂_{i}f)^{2} = 1+ ∥ grad f ∥^{2} . \end{matrix}

Da ∥ V ∥= \sqrt{1+ ∥ grad f(x) ∥^{2}} ist, folgt

\sqrt{g^{φ}(x)} = \sqrt{1+ ∥ grad f(x) ∥^{2}}.

Ein spezielles Beispiel ist die obere Hemishäre S_{+}^{n−1} ⊂ S^{n−1} mit U = B_{n−1} = \{x ∈ ℝ^{n−1} |∥ x ∥< 1\} und f(x) = \sqrt{1− ∥ x ∥^{2}}. Es gilt

grad f(x) = −\frac{x}{\sqrt{1− ∥ x ∥^{2}}}

und damit

1+ ∥ grad f(x) ∥^{2}= 1 + \frac{∥ x ∥^{2}}{1− ∥ x ∥^{2}} = \frac{1}{1− ∥ x ∥^{2}} .

Daher ist

142 WERNER MÜLLER

Vol_{n−1}(S_{+}^{n−1}) = ∫_{B_{n−1}} \frac{dx}{\sqrt{1− ∥ x ∥^{2}}} = (n − 1)Vol(B_{n−1}) ∫_{0}^{1} \frac{r^{n−2}}{\sqrt{1 − r^{2}}} dr.

Für n ∈ ℕ sei

κ_{n} = Vol_{n}(B_{n}).

Weiter sei

B_{n}^{+} = {(x, y) ∈ B_{n} | y > 0}

die obere n-dimensionale Halbkugel. Da {(x, y) ∈ B_{n} | y = 0} eine Nullmenge in B_{n} ist und

B_{n}^{+} = {(x, y) ∈ ℝ^{n} | x ∈ B_{n−1}, 0 < y < f(x)},

folgt

\frac{κ_{n}}{2} = Vol_{n}(B_{n}^{+}) = ∫_{B_{n−1}} f(x)dx = (n − 1)κ_{n−1} ∫_{0}^{1} r^{n−2}\sqrt{1 − r^{2}}dr

= (n − 1)κ_{n−1} ∫_{0}^{1} \frac{r^{n−2}}{\sqrt{1 − r^{2}}} (1 − r^{2})dr

= (n − 1)κ_{n−1} ∫_{0}^{1} \frac{r^{n−2}}{\sqrt{1 − r^{2}}} dr − (n − 1)κ_{n−1} ∫_{0}^{1} r^{n−1} \frac{r}{\sqrt{1 − r^{2}}} dr

= Vol_{n−1} (S_{+}^{n−1}) + (n − 1)κ_{n−1} ∫_{0}^{1} r^{n−1}(\sqrt{1 − r^{2}})′dr = Vol_{n−1} (S_{+}^{n−1}) − (n − 1)^{2}κ_{n−1} ∫_{0}^{1} r^{n−2}\sqrt{1 − r^{2}}dr

= Vol_{n−1} (S_{+}^{n−1}) − \frac{n − 1}{2}κ_{n}.

Damit haben wir gezeigt, daß

Vol_{n−1} (S_{+}^{n−1}) = \frac{n}{2}Vol(B_{n}).

Es sei

S_{−}^{n−1} = {(x, y) ∈ S^{n−1} | y < 0} .

Dann ist offenbar Vol_{n−1} (S_{+}^{n−1}) = Vol_{n−1} (S_{−}^{n−1}). Außerdem ist der Äquator {(x, y) ∈ S^{n−1} | y = 0} eine Nullmenge in S^{n−1} bezüglich des Lebesgue-Maßes von S^{n−1}. Daraus folgt

Vol_{n−1}(S^{n−1}) = nVol(B_{n}).

3.2. Der Integralsatz von Gauß. Der Integralsatz von Gauß ist eine Verallgemeinergung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung auf den ℝ^{n}. Um diesen Satz formulieren zu können, benötigen wir zunächst einige Begriffe.

Definition 3.13. Es sei M ⊂ ℝ^{n} eine Hyperfläche, d.h., eine Untermannigfaltigkeit der Dimension n−1. Ein Einheitsnormalenvektorfeld ν auf M ist eine stetige Abbildung ν : M → ℝ^{n} so, daß für alle x ∈ M gilt:

1) ν(x) ∈ N_{x}(M) = (T_{x}M)^{⊥};

2) ∥ ν(x) ∥= 1.

Beispiele: 1) Es sei f : ℝ^{n} → ℝ eine C^{1}-Funktion und sei M = f^{−1}(0). Für alle x ∈ M gelte gradf(x) ≠ 0. Dann ist nach dem Satz vom regulären Wert M eine C^{1}-Hyperfläche. Es sei

ν(x) := \frac{gradf(x)}{∥ gradf(x) ∥} , x ∈ M.  (3.11)

Der Normalenraum N_{x}(M) in x ∈ M wird von gradf(x) aufgespannt. Daher ist ν : M → ℝ^{n} ein Einheitsnormalenvektorfeld.

2) Es sei Ω ⊂ ℝ^{n−1} offen und γ : Ω → ℝ^{n} sei eine C^{1}-Einbettung, d.h., γ ist eine Parametrisierung von M = γ(Ω). Es sei u ∈ Ω, x = γ(u) und

N(x) = \frac{∂γ}{∂u_{1}} (u) ∧ ⋯ ∧ \frac{∂γ}{∂u_{n−1}} (u).

Dabei bezeichnet a ∧ b das äußere Produkt von zwei Vektoren a, b ∈ ℝ^{n}. (siehe Skript LA I oder Abschnitt über Differentialformen). Es sei e_{1}, …, e_{n} ∈ ℝ^{n} die Standardbasis des ℝ^{n}. Nach den Regeln für das innere Produkt gilt

⟨N(x), \frac{∂γ}{∂u_{i}} (u)⟩e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{n} = \frac{∂γ}{∂u_{1}} (u) ∧ ⋯ ∧ \frac{∂γ}{∂u_{n−1}} (u) ∧ \frac{∂γ}{∂u_{i}} (u) = 0

für alle i = 1, …, n − 1. Da die Vektoren \frac{∂γ}{∂u_{1}} (u), …, \frac{∂γ}{∂u_{n−1}} (u) eine Basis von T_{x}M sind, ist N(x)⊥T_{x}M. Es sei

ν(x) := \frac{N(x)}{∥ N(x) ∥} , x ∈ M.  (3.12)

Dann ist ν : M → ℝ^{n} ein Einheitsnormalenvektorfeld auf M.

Lemma 3.14. Es sei M ⊂ ℝ^{n} eine zusammenhängende C^{1}-Hyperfläche. Dann existieren auf M entweder zwei Einheitsnormalenvektorfelder oder keins.

Beweis: 1) Es sei ν ein Einheitsnormalenvektorfeld auf M, dann ist auch −ν ein Einheitsnormalenvektorfeld.

2) Es seien ν und ν̃ zwei Einheitsnormalenvektorfelder auf M. Dann ist ν(x), ν̃(x) ∈ N_{x}(M) für alle x ∈ M. Da M eine Hyperfläche ist, ist dim N_{x}(M) = 1 für alle x ∈ M. Daher existiert eine stetige Funktion f : M → ℝ so, daß

ν̃(x) = f(x)ν(x) , x ∈ M.

Da ∥ ν(x) ∥= 1 und ∥ ν̃(x) ∥= 1 gilt, ist |f(x)| = 1 für alle x ∈ M. Da f stetig ist, ist entweder f ≡ 1 oder f ≡ −1. Wenn also ν ≠ ν̃ ist, so folgt f ≡ −1 und daher ν̃ = −ν.

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Definition 3.15. Eine C^{1}-Hyperfläche M ⊂ ℝ^{n} heißt orientierbar, wenn es auf M ein Einheitsnormalenvektorfeld gibt. Es sei ν : M → ℝ^{n} ein Einheitsnormalenvektorfeld auf M. Dann heißt (M, ν) eine orientierte Hyperfläche.

Beispiele: 1) Es sei f : ℝ^{n} → ℝ eine C^{1}-Funktion mit gradf(x) ≠ 0 für alle x ∈ M = f^{−1}(0). Dann ist M orientierbar, da (3.11) ein Einheitsnormalenvektorfeld auf M ist. Insbesondere ist also die n-Sphäre S^{n} ⊂ ℝ^{n+1} orientierbar.

2) Die Spur einer Einbettung γ : Ω → ℝ^{n} einer offenen Teilmenge Ω ⊂ ℝ^{n−1} ist ebenfalls orientierbar, da (3.12) ein Einheitsnormalenvektorfeld auf M ist.

3) Eine nicht orientierbare Fläche im ℝ^{3} ist das Möbiusband. Als nächstes müssen wir die Teilmengen des ℝ^{n} festlegen, über die wir beim Satz von Gauß integrieren können. Der einfachste Fall ist eine offene, beschränkte Teilmenge U ⊂ ℝ^{n}, deren Rand ∂U eine C^{1}- Hyperfläche ist. Wir wissen bereits, daß wir Funktionen über solche Hyperflächen integrieren können. Für die Anwendung des Satzes von Gauß ist es aber wichtig, allgemeinere Teilmengen als Integrationsgebiete zuzulassen. Der Würfel ist ein einfaches Beispiel eines solchen Integrationsgebietes. Der Rand des Würfels ist eine stückweise differenzierbare C^{1}-Hyperfläche.

Definition 3.16. Es sei G ⊂ ℝ^{n} eine offene Teilmenge. Ein Punkt x ∈ ∂G heißt regulärer Randpunkt von G, wenn es eine Umgebung U von x in ℝ^{n} gibt und eine C^{1}-Funktion q : U → ℝ mit

1) ∀x ∈ U : dq(x) ≠ 0.

2) G ∩ U = {x ∈ U | q(x) < 0}. Die Menge

∂_{r}G = {x ∈ ∂G | x regulär }

heißt der reguläre oder glatte Rand von G. Die Menge

∂_{s}G = ∂G \ ∂_{r}G

heißt der singuläre Rand von G und die Punkte von ∂_{s}G heißen singuläre Randpunkte von G.

Damit wir über den Rand ∂G einer offenen Menge G ⊂ ℝ^{n} integrieren können, ist es erforderlich, daß der singuläre Rand ∂_{s}G eine Nullmenge im Rand ∂G ist. Dies können wir aber mit unseren bisherigen Methoden nicht definieren, da wir die Maßtheorie nur auf glatten Untermannigfaltigkeiten des ℝ^{n} entwickelt haben. Ein geeigneter Begriff, um ∂_{s}G als Nullmenge in ∂U zu charakterisieren, ist die Hausdorff-Dimension.

Definition 3.17. Es sei d ∈ ℝ^{+}. Eine Teilmenge A ⊂ ℝ^{n} heißt Hausdorff-Nullmenge der Dimension d (d-Nullmenge), wenn es zu jedem ϵ > 0 eine Folge (W_{i})_{i∈ℕ} von achsenparallelen Würfeln W_{i} mit Kantenlänge r_{i} gibt so, daß

A ⊂ ⋃_{k=1}^{∞} W_{k} und ∑_{k=1}^{∞} r_{k}^{d} < ϵ.

Bemerkungen: 1) Eine Teilmenge A ⊂ ℝ^{n} ist eine Lebesgue-Nullmenge genau dann, wenn A eine Hausdorff-Nullmenge der Dimension n ist.

2) Es sei A ⊂ ℝ^{d}, d ≤ n. Dann ist A als Teilmenge von ℝ^{n} eine Hausdorff-Nullmenge der Dimension d genau dann, wenn A eine Lebesgue-Nullmenge von ℝ^{d} ist.

Definition 3.18. Eine offene Teilmenge G ⊂ ℝ^{n} heißt C^{1}-Polyeder, wenn ∂_{s}G eine Hausdorff-Nullmenge der Dimension n − 1 ist.

Beispiel: Es sei

Q = [a_{1}, b_{1}] × [a_{2}, b_{2}] × [a_{3}, b_{3}],

a_{i} < b_{i}, i = 1, 2, 3, ein Quader im ℝ^{3}. Der singuläre Rand ∂_{s}Q ist dann die Vereinigung der Kanten {a_{1}} × {a_{2}} × [a_{3}, b_{3}], … Jede Kante ist ein Intervall und daher eine Hausdorff-Nullmenge der Dimension 2.

Lemma 3.19. Es sei G ⊂ ℝ^{n} offen und y sei ein regulärer Randpunkt. Dann existiert eine offene Umgebung Q von y mit folgenden Eigenschaften:

1) Es existiert ein offener Quader Q′ ⊂ ℝ^{n−1} und ein offenes Intervall I so, daß

Q = Q′ × I.

2) Es existiert eine C^{1}-Funktion h : Q′ → I derart, daß entweder gilt

G ∩ Q = Z^{+} := {(x′, x_{n}) ∈ Q′ × I | x_{n} > h(x′)}

oder

G ∩ Q = Z^{−} := {(x′, x_{n}) ∈ Q′ × I | x_{n} < h(x′)} ,

sowie

∂G ∩ Q = {(x′, h(x′)) | x′ ∈ Q′} .

Beweis: Da y ein regulärer Randpunkt ist, so existieren nach Definition eine Umgebung U ⊂ ℝ^{n} von y und eine C^{1}-Funktion f : U → ℝ so, daß df(x) ≠ 0 für alle x ∈ U und

G ∩ U = {x ∈ U | f(x) < 0}.

Daher ist

∂G ∩ U ⊂ N := {x ∈ U | f(x) = 0}.

Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt, daß es eine Quaderumgebung Q = Q′ × I ⊂ U von y und eine C^{1}-Funktion h : Q′ → I gibt, so daß

N ∩ Q = {(x′, h′(x′) | x′ ∈ Q′} .  (3.13)

Es sei

Z^{+} = {(x′, x_{n}) ∈ Q′ × I | x_{n} > h(x′)}

und

Z^{−} = {(x′, x_{n}) ∈ Q′ × I | x_{n} < h(x′)} .

Nach (3.13) gilt für (x′, x_{n}) ∈ Q′ × I:

f(x′, x_{n}) = 0 ⇔ x_{n} = h(x′).

Aus der Definition von Z^{+} und Z^{−} folgt daher, daß f auf Z^{+} und Z^{−} keine Nullstellen hat. Da Z^{+} und Z^{−} zusammenhängend sind, hat f auf beiden Mengen ein festes Vorzeichen. Diese Vorzeichen müssen verschieden sein, da andernfalls f in jedem Punkt x ∈ N ∩Q ein lokales Maximum oder Minimum haben würde. Dies bedeutet aber df(x) = 0 für x ∈ N ∩ Q und steht somit im Widerspruch zu der Voraussetzung df(x) ≠ 0 für alle x ∈ U. Daher stimmt Q ∩ G = {x ∈ Q | f(x) < 0} entweder mit Z^{+} oder mit Z^{−} überein. Es bleibt noch zu zeigen, daß ∂G ∩ Q der Graph von h ist. Da ∂G ∩ U ⊂ N ist, folgt nach Definition von Q und h, daß

∂G ∩ Q ⊂ {x ∈ Q | f(x) = 0} = {(x′, h(x′)) | x′ ∈ Q′}

gilt. Es sei umgekehrt x′ ∈ Q′ und x_{0} = (x′, h(x′)). Dann enthält jede Umgebung von x_{0} Punkte sowohl aus Z^{+} als auch Z^{−}. Daher ist x_{0} ∈ ∂G und es folgt

{(x′, h(x′)) | x′ ∈ Q′} ⊂ ∂G ∩ Q.
□

Lemma 3.20. Es sei G ⊂ ℝ^{n} ein C^{1}-Polyeder. Dann ist ∂_{r}G eine orientierte Hyperfläche. Auf ∂_{r}G existiert genau ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld ν so, daß für alle x ∈ ∂_{r}G ein ϵ > 0 existiert mit:

∀t ∈ (0, ϵ) : x + tν(x) ∈ ℝ^{n} \ G und x − tν(x) ∈ G. (3.14)

Wählt man zu y ∈ ∂_{r}G eine Umgebung U von y und eine C^{1}-Funktion f : U → ℝ wie in Definition 3.16 so, daß gilt für alle x ∈ ∂G ∩ U

ν(x) = \frac{grad f(x)}{∥ grad f(x) ∥}.  (3.15)

Beweis: Aus dem Beweis von Lemma 3.19 folgt

∂_{r}G ∩ U = {x ∈ U | f(x) = 0} .

Daher wird durch (3.15) eine stetiges Einheitsvektorenfeld auf ∂_{r}G ∩ U definiert. Es bleibt zu zeigen, daß (3.14) gilt. Sei x ∈ ∂_{r}G ∩ U. Zu x existiert ϵ > 0 so, daß x + tν(x) ∈ U für alle t ∈ (0, ϵ). Wir betrachten die Funktion

φ(t) = f(x + tν(x)), t ∈ (0, ϵ).

Dann gilt φ(0) = f(x) = 0 und

φ′(0) = \frac{d}{dt}f(x + tν(x)) |_{t=0}= ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x)ν_{i}(x)
= ⟨gradf(x), ν(x)⟩ =∥ gradf(x) ∥> 0.

Für hinreichend kleines t > 0 ist daher f(x + tν(x)) > 0 und f(x − tν(x)) < 0. Daraus folgt (3.14).

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Die Divergenz eines Vektorfeldes

Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und F : U → ℝ^{n} eine C^{1}-Abbildung, d.h., F ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf U. Es sei F = (F_{1} …, F_{n}), wobei F_{i} : U → ℝ die i-te Komponente von F ist.

Definition 3.21. Die Divergenz div F von F ist definiert durch

div F = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂F_{i}}{∂x_{i}} .

Die Divergenz div F ist also eine stetige Funktion auf U.

Satz 3.22. (Gaußscher Integralsatz) Es sei G ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes C^{1}-Polyeder und F : \overline{G} → ℝ^{n} ein Vektorfeld mit folgenden Eigenschaften:

1) F ist stetig auf \overline{G} und stetig differenzierbar auf G;

2) Die Funktion div F : G → ℝ ist integrierbar; 3) Die Funktion

x ∈ ∂_{r}G ⟼ ⟨F (x), ν(x)⟩ ∈ ℝ

ist integrierbar bezüglich des auf ∂_{r}G induzierten Maßes dS := dλ_{∂_{r}G}. Dann gilt

∫_{G} div F (x)dx = ∫_{∂_{r}G}⟨F (y), ν(x)⟩dS.

Der Beweis des Integralsatzes geschieht in mehreren Schritten. Zunächst beweist man den Satz für Vektorfelder, deren Träger in einem offenen Quader Q liegt. Dann erweitert man den Satz auf Vektorfelder, deren Träger in einer beliebigen kompakten Teilmenge von \overline{G} \ ∂_{s}G enthalten ist. Den allgemeinen Fall reduziert man darauf, indem man \overline{G} \ ∂_{s}G durch kompakte Teilmengen ausschöpft und den Satz von Lebesgue anwendet. Wir beweisen zunächst einige Hilfssätze. Für eine Funktion f : U → ℂ sei

supp f = \overline{\{x ∈ U | f(x) ≠ 0\}}

der Träger der Funktion f.

Lemma 3.23. Es sei U ⊂ ℝ^{n} eine offene Teilmenge. Weiter seien f, g stetig differenzierbare Funktionen auf U und der Träger supp g von g sei kompakt. Dann gilt für alle k = 1, …, n:

∫_{U} \frac{∂f}{∂x_{k}} (x)g(x)dx = − ∫_{U} f(x)\frac{∂g}{∂x_{k}} (x)dx.

Beweis: Nach Voraussetzung ist g = 0 außerhalb einer kompakten Teilmenge von U. Wir können deshalb (∂_{k}f)g, f(∂_{k}g) durch Null zu stetigen und fg zu einer stetig differenzierbaren Funktion fortsetzen. Dann gilt

∫_{ℝ} \frac{∂f}{∂x_{k}} (x)g(x)dx_{k} = − ∫_{ℝ} f(x)\frac{∂g}{∂x_{k}} (x)dx_{k}.

Aus dem Satz von Fubini folgt dann

∫_{ℝ^{n}} \frac{∂f}{∂x_{k}} (x)g(x)dx = − ∫_{ℝ^{n}} f(x)\frac{∂g}{∂x_{k}} (x)dx.

Daraus folgt die Behauptung.

□

Lemma 3.24. Es sei Q′ ⊂ ℝ^{n−1} ein offener Quader, h : Q′ → ℝ eine C^{1}-Funktion, Γ der Graph von h und Z eine der beiden offenen Mengen

{(x′, x_{n}) ∈ Q′ × ℝ | x_{n} < h(x′)}

oder

{(x′, x_{n}) ∈ Q′ × ℝ | x_{n} > h(x′)} .

Weiter sei F = (F_{1}, …, F_{n}) ein Vektorfeld auf \overline{Z} mit folgenden Eigenschaften:

1) F ist stetig auf \overline{Z} und stetig differenzierbar auf Z;

2) div F ist über Z integrierbar;

3) Es existiert eine kompakte Teilmenge K ⊂ Z ∪ F so, daß F (x) = 0 für alle x ∈ Z \ K. Dann gilt

∫_{Z} div F (x)dx = ∫_{∂Z}⟨F (y), ν(y)⟩dS.

Beweis: Wir beweisen die Behauptung für den Fall, daß

Z = {(x′, x_{n}) ∈ Q′ × ℝ | x_{n} < h(x′)}.

Es sei ϵ > 0 und

Z_{ϵ} := {(x′, x_{n}) ∈ Z | x_{n} < h(x′) − ϵ}.

Dann wird Z durch die offenen Mengen Z_{ϵ}, ϵ > 0, ausgeschöpft und nach Voraussetzung ist F auf jeder dieser offenen Mengen stetig differenzierbar. Nach dem Satz von Fubini ist

\begin{aligned}∫_{Z_{ϵ}} div F (x) dx & = ∑_{k=1}^{n} ∫_{Z_{ϵ}} \frac{∂F_{k}}{∂x_{k}} (x) dx \\ & = ∑_{k=1}^{n} ∫_{Q′} (∫_{−∞}^{h(x′)−ϵ} \frac{∂F_{k}}{∂x_{k}} (x′, x_{n}) dx_{n}) dx′. \end{aligned} (3.16)

Wir bezeichnen den k-ten Summanden in der rechten Summe mit I_{k}. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist

∫_{−∞}^{h(x′)−ϵ} \frac{∂F_{n}}{∂x_{n}} (x′, x_{n}) dx_{n} = F (x′, h(x′) − ϵ),

und daher ist

I_{n} = ∫_{Q′} F_{n}(x′, h(x′) − ϵ) dx′.  (3.17)

Es sei k ≤ n − 1. Wenn wir die Kettenregel auf die Funktion

ϕ_{k}(x′) = ∫_{−∞}^{h(x′)−ϵ} F_{k}(x′, x_{n}) dx_{n}

anwenden, so erhalten wir

\begin{aligned}\frac{∂}{∂x_{k}} (∫_{−∞}^{h(x′)−ϵ} F_{k}(x′, x_{n}) dx_{n}) & = ∫_{−∞}^{h(x′)−ϵ} \frac{∂F_{k}}{∂x_{k}} (x′, x_{n}) dx_{n} \\ & + F_{k}(x′, h(x′) − ϵ)\frac{∂h}{∂x_{k}} x′. \end{aligned} (3.18)

Es sei g : Q′ → ℝ definiert durch

g(x′) = (∫_{−∞}^{h(x′)−ϵ} F_{k}(x′, x_{n}) dx_{n}) .

Nach Voraussetzung ist F_{k}(x′, x_{n}) = 0 für (x′, x_{n}) außerhalb einer kompakten Menge K ⊂ Q′ × ℝ. Daher ist g(x′) = 0 für x′ außerhalb einer kompakten Menge K′ ⊂ Q′. Es sei f ≡ 1. Aus Lemma 3.23 folgt dann

∫_{Q′} \frac{∂g}{∂x_{k}} (x′) dx′ = ∫_{Q′} f(x′)\frac{∂g}{∂x_{k}} (x′) dx′ = − ∫_{Q′} \frac{∂f}{∂x_{k}} (x′)g(x′) dx′ = 0.

Daher ist

∫_{Q′} \frac{∂}{∂x_{k}} (∫_{−∞}^{h(x′)−ϵ} F_{k}(x′, x_{n}) dx_{n}) dx′ = 0

und aus (3.18) folgt

\begin{aligned}I_{k} & = ∫_{Q′} (∫_{−∞}^{h(x′)−ϵ} \frac{∂F_{k}}{∂x_{k}} (x′, x_{n}) dx_{n}) dx′ \\ & = − ∫_{Q′} F_{k}(x′, h(x′) − ϵ)\frac{∂h}{∂x_{k}} (x′) dx′. \end{aligned}  (3.19)

Es sei

N(x′) := (−\frac{∂h}{∂x_{1}} (x′), ..., −\frac{∂h}{∂x_{n−1}} (x′), 1) .

Durch Einsetzen von (3.17) und (3.18) in (3.16) erhalten wir

∫_{Z_{ϵ}} div F (x) dx = ∫_{Q′} ⟨F (x′, h(x′) − ϵ), N(x′)⟩ dx′. (3.20)

Wir bilden jetzt den Grenzwert für ϵ → 0 beider Seiten dieser Gleichung. Wir beginnen zunächst mit der linken Seite. Nach Voraussetzung ist div F stetig und über Z integrierbar. Daher ist

∫_{Z} | div F (x)| dx < ∞.

Es sei χ_{ϵ} die charakteristische Funktion von Z_{ϵ} in Z. Dann gilt

∫_{Z} |χ_{ϵ}(x) div F (x)| dx = ∫_{Z_{ϵ}} | div F (x)| dx ≤ ∫_{Z} | div F (x)| dx < ∞.

Die Folge (χ_{1/k} div F )_{k∈ℕ} ist eine monoton wachsende Folge von Funktionen auf Z, die punktweise gegen div F konvergiert. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes über monotone Konvergenz erfüllt und es folgt

lim_{ϵ→0} ∫_{Z_{ϵ}} div F (x) dx = ∫_{Z} div F (x) dx.

Für den Grenzübergang auf der rechten Seite bemerken wir als erstes, daß ϕ(x′, ϵ) := ⟨F (x′, h(x′) − ϵ), N(x′)⟩ eine stetige Funktion auf Q′ × [0, ∞) ist, deren Träger kompakt ist. Daher ist der Grenzwert für ϵ → 0 mit dem Integral vertauschbar und wir erhalten

lim_{ϵ→0} ∫_{Q′} ⟨F (x′, h(x′) − ϵ), N(x′)⟩ dx′ = ∫_{Q′} ⟨F (x′, h(x′)), N(x′)⟩ dx′.

Auf Grund der Definition von N(x′) ist N(x′) ≠ 0 für alle x′ ∈ Q′. Es sei

ν(x′, x_{n}) = \frac{N(x′)}{∥ N(x′) ∥}, (x′, x_{n}) ∈ Q′ × [0, ∞).

Dann ist

\begin{matrix}∫_{Q′}⟨F (x′, h(x′)) & , N(x′)⟩ dx′ \\ = ∫_{Q′}⟨F (x′, h(x′)), ν(x′)⟩ ∥ N(x′) ∥ dx′ \end{matrix} (3.21)

Weiter sei f(x′, x_{n}) = x_{n} − h(x′). Dann ist f : Q′ × ℝ → ℝ eine C^{1}- Funktion und es gilt

grad f(x′, x_{n}) = (−\frac{∂h}{∂x_{1}} (x′), ..., −\frac{∂h}{∂x_{n−1}} (x′), 1) = N(x′)

für alle (x′, x_{n}) ∈ Q′ × ℝ. Die Menge Z ist dann definiert durch

Z = {(x′, x_{n}) ∈ Q′ × ℝ | f(x′, x_{n}) < 0}

und ∂Z ist der Graph Γ von h. Damit ist ν(x′, x_{n}) für (x′, x_{n}) ∈ ∂Z das äußere Einheitsnormalenvektorfeld an Z. Weiter folgt aus ?, daß

dS =∥ N(x′) ∥ dx′

ist. Damit ist die rechte Seite von (3.21) gleich

∫_{Γ}⟨F (x′), ν(x′)⟩ dS.

Da F in ∂Z \ Γ verschwindet, können wir Γ durch ∂Z ersetzen und erhalten

lim_{ϵ→0} ∫_{Q′}⟨F (x′), h(x′) − ϵ), N(x′)⟩ dx′ = ∫_{∂Z}⟨F, ν⟩ dS.

Damit haben wir gezeigt, daß aus (3.20) durch den Grenzübergang ϵ → 0 die behauptete Gleichung folgt.

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Lemma 3.25. Der Gaußsche Integralsatz gilt unter der zusätzlichen Voraussetung, daß eine kompakte Menge K ⊂ \overline{G} existiert mit 1)K ∩ ∂_{s}G = ∅ 2) F (x) = 0 für alle x ∈ \overline{G} \ K.

Beweis: Für jedes a ∈ K sei U_{a} eine offene Umgebung von a mit:

1) Wenn a ∈ G, so ist U_{a} = G.

2) Wenn a ∈ ∂_{r}G, so sei U_{a} eine Quaderumgebung wie in Lemma 3.19. Da K kompakt ist, existieren a_{1}, …, a_{s} ∈ K so, daß

K ⊂ ⋃_{j=1}^{s} U_{a_{j}}.

Es seien ψ_{1}, …, ψ_{s} ∈ C^{1}(ℝ^{n}) mit 1) ψ_{1}(x) + ⋯ + ψ_{s}(x) = 1 für alle x ∈ K.

2) Sei K_{i} = supp ψ_{i} der Träger von ψ_{i}. Dann ist K_{i} kompakt und K_{i} ⊂ U_{i}, i = 1, …, s.

Sei

F_{i} := ψ_{i}F.

Die F_{i} : \overline{G} → ℝ^{n} sind Vektorfelder, für die gilt:

i) F_{1}(x) + ⋯ + F_{s}(x) = F (x) für alle x ∈ \overline{G}; ii) F_{i}(x) = 0 für alle x ∈ \overline{G} \ (K ∩ K_{i}).

Fall 1: Sei U_{i} = G. Dann ist

∫_{G} div F_{i}(x) dx = ∫_{∂G}⟨F_{i}, ν⟩ dS,  (3.22)

denn nach Voraussetzung ist F_{i}(x) = 0 für x ∈ U_{i} \ K_{i} und daher ist insbesondere F_{i}(x) = 0 für x ∈ ∂G. Daraus folgt

∫_{∂G}⟨F_{i}, ν⟩ dS = 0.

Andererseits folgt aus Lemma 3.23, daß ∫_{G} div F_{i}(x) dx = 0 ist. Fall 2: U_{i} sei eine Quaderumgebung wie in Lemma 3.19 des Randpunktes a_{i} ∈ ∂_{r}G. Dann folgt aus Lemma 3.24, daß (3.22) ebenfalls gilt. Daraus folgt

\begin{aligned}∫_{G} div F (x) dx = ∑_{i=1}^{s} ∫_{G} div F_{i}(x) dx & = ∑_{i=1}^{s} ∫_{∂G}⟨F_{i}, ν⟩ dS \\ & = ∫_{∂G}⟨F, ν⟩ dS. \end{aligned}

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Zum Beweis des Gaußschen Integralsatzes benötigen wir noch folgendes Lemma.

Lemma 3.26. Es seien W ⊂ W^{∗} ⊂ ℝ^{n} konzentrische Würfel mit den Kantenlängen r bzw. 2r. Dann existiert eine C^{1}-Funktion p auf ℝ^{n} mit folgenden Eigenschaften:

1) 0 ≤ p ≤ 1 auf ℝ^{n};

2) p = 1 auf W;

3) p = 0 auf ℝ^{n} \ W^{∗};

4) ∥ grad p ∥≤ \frac{c}{r} · 1_{W^{∗}}, wobei c eine von W unabhängige Konstante ist.

Beweis: Es sei φ : ℝ → [0, 1] eine C^{1}-Funktion mit φ = 1 auf [−1, 1] und φ = 0 in ℝ \ [−2, 2]. Es sei a = (a_{1}, …, a_{n}) der Mittelpunkt von W. Wir setzen

p(x) = ∏_{k=1}^{n} φ (\frac{2}{r}(x_{k} − a_{k})) .

Für p gilt offenbar 1), 2) und 3). Weiter ist

|\frac{∂p}{∂x_{k}} (x)| ≤ \frac{2}{r} |φ′ (\frac{2}{r}(x_{k} − a_{k}))| .

Daraus folgt

∥ grad p(x) ∥^{2}= ∑_{k=1}^{n} (\frac{∂p}{∂x_{k}} (x))^{2} ≤ \frac{4n}{r} sup_{x∈[−2,2]} |φ′(x)|^{2}.

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Beweis des Integralsatzes: Es sei ϵ > 0 gegeben. Da G beschränkt ist, ist der singuläre Rand ∂_{s}G abgeschlossen und beschränkt, d.h., ∂_{s}G ist kompakt. Es existieren daher endlich viele offene Würfel W_{1}, …, W_{m} mit den Kantenlängen r_{1}, …, r_{m} so, daß

∂_{s}G ⊂ ⋃_{k=1}^{m} W_{k} und ∑_{k=1}^{m} r_{k}^{n−1} < ϵ.  (3.23)

Weiter sei W_{k}^{∗} der zu W_{k} konzentrische offene Würfel mit der Kantenlänge 2r_{k}. Gemäß Lemma 3.26 wählen wir C^{1}-Funktionen p_{1}, …, p_{m} auf ℝ^{n} mit folgenden Eigenschaften:

1. 0 ≤ p_{k} ≤ 1 auf ℝ^{n};

2. p_{k} = 1 auf W_{k};

3. p_{k} = 0 auf ℝ^{n} \ W_{k}^{∗};

4. ∥ grad p_{k} ∥≤ \frac{c}{r} · 1_{W_{k}^{∗}}, wobei die Konstante c nur von n abhängt.

Wir bemerken, daß m = m(ϵ), W_{1}, …, W_{m} und p_{1}, …, p_{m} von ϵ > 0 abhängen. Es sei

ψ_{ϵ} := ∏_{k=1}^{m}(1 − p_{k}).

Dann ist ψ_{ϵ} : ℝ^{n} → ℝ stetig differenzierbar und es gilt i) 0 ≤ ψ_{ϵ} ≤ 1 auf ℝ^{n}; ii) ψ_{ϵ} = 0 auf W_{1} ∪ ⋯ ∪ W_{m}; iii) ψ_{ϵ} = 1 auf ℝ^{n} \ (W_{1}^{∗} ∪ ⋯ ∪ W_{m}^{∗}). Insbesondere ist ψ_{ϵ}(x) = 1, falls

d(x, ∂_{s}G) > 2\sqrt{n}ϵ^{1/(n−1)} ≥ 2\sqrt{n} · max\{r_{1}, …, r_{m}\}.

iv) ∥ grad ψ_{ϵ} ∥≤ c · ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{r_{k}} · 1_{W_{k}^{∗}}.

v) lim_{ϵ↓0} ψ_{ϵ}(x) = 1 in jedem Punkt x ∈ \overline{G} \ ∂_{s}G = G ∪ ∂_{r}G. Die Eigenschaften i), ii) und iii) folgen unmittelbar aus den Eigenschaften 1), 2) und 3) der p_{k}. Beim Zusatz in iii) muß man (3.23) berücksichtigen. Eigenschaft iv) folgt aus 4), da

∥ grad ψ_{ϵ} ∥= || ∑_{k=1}^{m} (grad(1 − p_{k}) · ∏_{i≠k}(1 − p_{i})) || ≤ ∑_{k=1}^{m} ∥ grad p_{k} ∥

Eigenschaft v) folgt aus dem Zusatz in iii). Es sei

F_{ϵ} := ψ_{ϵ} · F.

Außerhalb der kompakten Menge \overline{G} \ (W_{1} ∪ ⋯ ∪ W_{m}) in \overline{G} \ ∂_{s}G ist dieses Vektorfeld Null. Aus Lemma 3.25 folgt daher

∫_{G} div F_{ϵ}(x) dx = ∫_{∂G}⟨F_{ϵ}, ν⟩ dS.  (3.24)

Wir bilden jetzt den Grenzwert für ϵ → 0 beider Seiten dieser Gleichung. Es gilt

div F_{ϵ} = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂(ψ_{ϵ}F_{i})}{∂x_{i}} = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂ψ_{ϵ}}{∂x_{i}} · F_{i} + ψ_{ϵ} ∑_{i=1}^{n} \frac{∂F_{i}}{∂x_{i}}
= ⟨grad ψ_{ϵ}, F ⟩ + ψ_{ϵ} div F.

Nach Voraussetzung 2) des Integralsatzes ist |divF | über G integrierbar und für jedes ϵ > 0 ist

|ψ_{ϵ} div F | ≤ | div F |.

Weiterhin konvergiert wegen v) die Funktion ψ_{ϵ} div F auf G punktweise gegen div F. Damit gilt auf Grund des Satzes über dominante Konvergenz (Satz 2.52 )

lim_{ϵ↓0} ∫_{G} ψ_{ϵ}(x) div F (x) dx = ∫_{G} div F (x) dx.

Da nach Voraussetzung F stetig auf \overline{G} und \overline{G} kompakt ist, existiert C > 0 mit

∥ F (x) ∥≤ C für alle x ∈ G.

Aus iv) und (3.23) folgt dann

|∫_{G}⟨grad ψ_{ϵ}(x), F (x)⟩dx| ≤ ∫_{G} ∥ grad ψ_{ϵ}(x) ∥∥ F (x) ∥ dx

≤ Cc · ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{r_{k}} ∫_{G} 1_{W_{k}^{∗}}dx

= Cc · ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{r_{k}} Vol(W_{k}^{∗})

= Cc2^{n} ∑_{k=1}^{m} r_{k}^{n−1} ≤ Cc2^{n}ϵ.

Daher ist

lim_{ϵ↓0} ∫_{G}⟨grad ψ_{ϵ}(x), F (x)⟩dx = 0

und wir erhalten

lim_{ϵ↓0} ∫_{G} div F_{ϵ} dx = ∫_{G} div F (x) dx.

Wir betrachten jetzt das Integral auf der rechten Seite von (3.24). Es ist

|⟨F_{ϵ}, ν⟩| = ψ_{ϵ}|⟨F, ν⟩|.

Da nach Voraussetzung 3) des Integralsatzes |⟨F, ν⟩| über ∂_{r}G integrierbar ist, ist |⟨F, ν⟩| eine integrierbare Majorante für die Funktionen ⟨F_{ϵ}, ν⟩. Daher kann der Satz über dominante Konvergenz angewendet werden und es folgt

lim_{ϵ↓0} ∫_{∂_{r}G}⟨F_{ϵ}(x), ν(x)⟩ dS = ∫_{∂_{r}G}⟨F (x), ν(x)⟩ dS.

Damit ist der Integralsatz bewiesen.

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3.3. Die Greensche Formel. Wird noch ergänzt.

4. Pfaffsche Formen

Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f : U → ℂ sei eine differenzierbare Funktion. Für jedes x ∈ U ist das Differential df(x) eine ℝ-lineare Abbildung von ℝ^{n} in ℂ ≅ ℝ^{2}, d.h., df(x) ∈ Hom(ℝ^{n}, ℂ). Damit erhalten wir eine Abbildung

df : U → Hom(ℝ^{n}, ℂ).

Dies verallgemeinern wir wie folgt:

Definition 4.1. Eine Pfaffsche Form oder Differentialform ersten Grades (kurz: 1-Form) auf einer offenen Menge U ⊂ ℝ^{n} ist eine Abbildung

ω : U → Hom(ℝ^{n}, ℂ).

Für jedes x ∈ U ist ω(x) eine ℝ-lineare Abbildung

ω(x) : ℝ^{n} → ℂ.

Die 1-Form ω heißt reell, wenn für alle x ∈ U und alle h ∈ ℝ^{n} die Zahl ω(x)(h) reell ist. Beispiele von 1-Formen sind die Differentiale df differenzierbarer Funktionen f : U → ℂ. Für x ∈ U ist die lineare Abbildung df(x) : ℝ^{n} → ℂ definiert durch

df(x)(h) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x)h_{i}, h ∈ ℝ^{n}.

Mit Hilfe des Skalarproduktes ⟨·, ·⟩ auf ℝ^{n} erhält man eine eineindeutige Korrespondenz zwischen Vektorfeldern und reellen 1-Formen. Wenn v : U → ℝ^{n} ein Vektorfeld auf U ist, so ordnet man v die 1-Form ω_{v} zu, die definiert ist durch

ω_{v}(x)(h) = ⟨v(x), h⟩.

Es sei umgekehrt ω eine reelle 1-Form auf U und sei x ∈ U. Dann existiert zu der linearen Abbildung ω(x) : ℝ^{n} → ℝ ein eindeutig bestimmter Vektor v_{ω}(x) ∈ ℝ^{n} so, daß

ω(x)(h) = ⟨v_{ω}(x), h⟩

für alle h ∈ ℝ^{n}. Damit erhalten wir eine Abbildung

v_{ω} : x ∈ U ⟼ v_{ω}(x) ∈ ℝ^{n}.

Dies ist das eindeutig bestimmte Vektorfeld, daß ω zugeordnet ist. Die Zuordnungen v ⟼ ω_{v} und ω ⟼ v_{ω} sind invers zueinander. Es sei f : U → ℝ eine differenzierbare Funktion und v = grad f das Gradientenvektorfeld. Dann gilt

df(x)(h) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x)h_{i} = ⟨grad f, h⟩.

Daraus folgt, daß bezüglich obiger Zuordnung grad f und df einander entsprechen. Es seien x_{i} : ℝ^{n} → ℝ, i = 1, …, n, die Koordinatenfunktionen, d.h.,

x_{i}(h_{1}, …, h_{n}) = h_{i}, i = 1, …, n.

Für das Differential dx_{i} an der Stelle x ∈ ℝ^{n} gilt dann

dx_{i}(x)(h) = h_{i}.

Es sei ω eine 1-Form auf einer offenen Menge U. Weiter sei

a_{i}(x) := ω(x)(e_{i}), x ∈ U,

wobei e_{1}, …, e_{n} ∈ ℝ^{n} die Standardbasis bezeichnet. Die a_{i} sind dann komplexwertige Funktionen und es gilt

ω(x)(h) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(x)h_{i} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(x)dx_{i}(x)(h).

Dafür schreibt man

ω = a_{1}dx_{1} + ⋯ + a_{n}dx_{n}.

Die Funktionen a_{1}, …, a_{n} heißen die Koeffizienten der 1-Form ω bezüglich dx_{1}, …, dx_{n}. Beispiele: 1) Es sei f : U → ℂ eine differenzierbare Funktion und ω = df. Dann folgt aus der Definition der Koeffizienten a_{i} von ω:

a_{i}(x) = df(x)(e_{i}) = \frac{∂f}{∂x_{i}} (x).

Damit ist

df = \frac{∂f}{∂x_{1}} dx_{1} + ⋯ + \frac{∂f}{∂x_{n}} dx_{n}

die Darstellung von df bezüglich dx_{1}, …, dx_{n}.

2) Es sei v = (v_{1}, …, v_{n}) : U → ℝ^{n} ein Vektorfeld und ω_{v} die 1-Form, die v zugeordnet ist. Dann ist

a_{i}(x) = ⟨v(x), e_{i}⟩ = v_{i}(x).

und

ω_{v} = v_{1}dx_{1} + ⋯ + v_{n}dx_{n}.

Wichtige Vektorfelder sind das Windungsfeld W auf ℝ^{2} \ {0} und das Gravitationsfeld G auf ℝ^{3} \ {0}, die definiert sind durch

\begin{aligned}W (x, y) & = \frac{1}{r^{2}} (−y, x), r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, \\ G(x, y) & = −\frac{1}{r^{3}} (x, y, z), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}. \end{aligned}

Diesen Fällen entsprechen die 1-Formen.

ω_{W} = \frac{1}{r^{2}} (−ydx + xdy) (Windungsform)
ω_{G} = −\frac{1}{r^{3}} (xdx + ydy + zdz) (Gravitationsform).

Definition 4.2. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Eine 1-Form ω auf U heißt stetig bzw. von der Klasse C^{k}, wenn die Abbildung

ω : U → Hom(ℝ^{n}, ℂ)

stetig bzw. von der Klasse C^{k} ist.

Für ω = ∑_{i=1}^{n} a_{i}dx_{i} gilt dies genau dann, wenn die Koeffizienten a_{1}, …, a_{n} stetig bzw. von der Klasse C^{k} sind.