. . Infinitesimalrechnung I und II

W. Müller

1997/98

Inhaltsverzeichnis

INFINITESIMALRECHNUNG I

1. Grundbegriffe der mathematischen Logik und Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1. Mathematische Logik und Beweistechnik . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Aufbau des Zahlsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Die Körperstruktur von ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Die Anordnung von ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Die Vollständigkeit von ℝ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 2.5. Konstruktion der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6. Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7. Überabzählbarkeit von ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8. Die Potenzfunktion mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Die imaginäre Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3. Die komplexe Konjugation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 3.4. Der Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5. Der Fundamentalsatz der Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 4. Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1. Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2. Konvergente Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3. Rechenregeln für Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4. Monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.5. Häufungspunkte und der Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . 53 4.6. Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.7 Folgen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5. Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1. Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2. Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3. Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4. Doppelreihen und Produkte von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.5. Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6. Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.0 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.1. Stetigkeit reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.2. Stetigkeit komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.3. Kompakte Mengen und Extremwerte stetiger Funktionen. …127 6.4 Potenzreihen und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.5. Grenzwerte und stetige Fortsetzung von Funktionen . . . . . . . . . 135 6.6. Einseitige und uneigentliche Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.6.1 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.6.2. Grenzwerte by ±∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 6.6.3. Uneigentliche Grenzwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 6.7. Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7. Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.1. Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.2. Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.3. Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 7.4. Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.5. Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.6. Differentation von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8. Integralrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 8.1. Das Integral von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.2. Das Integral von Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.3. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 170 8.4. Die Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.5. Integration von Folgen und Reihen von Funktionen. . . . . . . . . .176 9. Taylorpolynome und Taylorreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

INFINITESIMALRECHNUNG II

10. Differentialrechnung im ℝ^{n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 10.1 Topologie des ℝ^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.2 Stetige Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 10.3 Differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.4 Richtungsableitung und partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.5 Mittelwert-und Schrankensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.6 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 10.7 Taylorapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10.8 Extrema von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 10.9 Der Umkehrsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210 10.10 Der Satz über implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.11 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 10.12 Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 10.13 Der Normalenraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237 10.14 Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.15 Differentation parameterabhängiger Integrale . . . . . . . . . . . . . . . 241 10.16 Die Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung . 244

Vorlesung Infinitesimalrechnung I

1. Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik

1.1. Mathematische Logik und Beweistechnik Inhalt dieses Abschnitts sind einige elementare Bemerkungen zur mathematischen Sprache. In der Mathematik haben wir es zunächst mit mathematischen Objekten (z.B. Zahlen) und Aussagen über diese Objekte zu tun. Aussagen nennt man in der Mathematik Sätze oder Theoreme. Weniger wichtige Aussagen werden als Hilfssätze oder Lemmata bezeichnet. Beispiele sind der Satz von Pythagoras und der Satz des Thales aus der elementaren Geometrie. Für jede Aussage in der Mathematik gibt es zwei Möglichkeiten: Sie ist entweder wahr oder falsch, d.h., wir haben es mit der sogenannten zweiwertigen Logik zu tun, in der gilt:

1. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch (Satz vom ausgeschlossenen Dritten)

2. Es gibt keine Aussage, die sowohl wahr als auch falsch ist(Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch).

Die Klasse aller Aussagen zerfällt also in zwei disjunkte Teilklassen, die Klasse der wahren und die Klasse der falschen Aussage. Der Satz der Zweiwertigkeit besagt dabei lediglich, daß man von jeder Aussage entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist. Aussagen, deren Wahrheitswert nicht bekannt ist, nennt man Vermutungen. So ist z.B. unbekannt, welchen Wahrheitswert die Goldbachsche Vermutung hat:

Jede gerade Zahl n ≥ 4 läßt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen.

In der Mathematik werden neue Aussagen, d.h. also neue Sätze, mittels der mathematischen Schlußregeln aus bereits als wahr bekannten Aussagen abgeleitet. Eine solche Ableitung einer neuen Aussage aus bekannten Aussagen nennt man Beweis.

Eine der Hauptbeschäftigungen eines Mathematikers ist es, neue Sätze zu beweisen. Das Verfahren, neue Aussagen aus bereits bekannten wahren Aussagen abzuleiten, ist endlich. Am Anfang einer jeden Theorie stehen die Grundannahmen oder Axiome, die man im Rahmen der jeweiligen Theorie nicht weiter beweisen kann.

Alles zusammengenommen ergibt eine mathemtatische Theorie wie z.B. die Euklidische Geometrie, die Zahlentheorie, die Analysis,.... Im allgemeinen ist eine Theorie nicht abgeschlossen, d.h. nicht alle beweisbaren Sätze der Theorie sind bewiesen.

Inhalt der mathematischen Logik ist es, die grundlegenden Methoden der Mathematik zu formalisieren, mathematische Theorien zu untersuchen, u.s.w.

Bei jeder axiomatischen Theorie treten eine Reihe von wichtigen Fragen auf, die entschieden werden müssen:

a) Unabhängigkeit der Axiome

b) Widerspruchsfreiheit

c) Vollständigkeit.

Ein typisches Beispiel ist das Parallelaxiom in der Euklidischen Geometrie.

Einige elementare Dinge der mathemtischen Logik werden in der Vorlesung benutzt und sollen deshalb hier zusammengefaßt werden.

a) Aussagenlogik

In der zweiwertigen Logik ist jeder Aussage A eindeutig ein Wahrheitswert w(A) zugeordnet, wobei entweder w(A) = W (wahr) oder w(A) = F (falsch) gilt. Aus gegebenen Aussagen kann man mit Hilfe von Bindewörtern neue Aussagen bilden. Dafür gibt es bestimmte Symbole in der Aussagenlogik, die von mir auch als Abkürzugen bei der Formulierung von mathematischen Aussagen benutzt werden. Es seien A und B Aussagen. Dann werden die folgenden Symbole häufig benutzt:

¬A  “nicht A“, Verneinung der Aussage A.  (0.1)
A ∨ B “A oder B“  (0.2)
A ∧ B “A und B“  (0.3)
A ⇒ B “aus A folgt B “, “wenn A, dann B“  (0.4)
A ⇔ B “A ist äquivalent mit B“, “A genau dann,wenn B“ (0.5)

Dies sind extensionale Aussagenfunktionen. Der Wahrheitswert der Verknüpfung hängt nur vom Wahrheitswert der Argumente ab. Dies kann man sich durch eine Wahrheitstafel veranschaulichen.

A B ¬A A ∧ B A ∨ B A ⇒ B A ⇔ B
W W F  W  W  W  W
W F F  F  W  F  F
F W W  F  W  W  F
F F W  F  F  W  W

Bemerkungen:

1) Die angegebene Verwendung von ¬, ∧, ∨, und ⇔ entspricht etwa der im üblichen Sprachgebrauch. ⇒ wird als materiale Implikation verwendet im Gegensatz zur formalen Implikation in der Logik. In der Mathematik wird “wenn A, so B” stets synonym für “nicht A, oder B” verwendet, d.h., es gilt die folgende Identität der Aussagenlogik

(A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B).

2) In der mathematischen Literatur existieren für die materiale Implikation verschiedene andere Bezeichnungen und Sprechweisen: Voraussetzung und Behauptung, Prämisse und Conclusio, “A ist hinreichend für B”, “B ist notwendig für A”, “Aus A folgt B”.

3) Die materiale Implikation hat nichts mit einem Ursache-Wirkungs-Prinzip zu tun. Ein solches Prinzip existiert nicht in der Mathematik.

Literatur: A. Tarski: “Einführung in die mathematische Logik”.

Aus den Gesetzen der Aussagenlogik erhält man wichtige Schlußregeln, aus denen man von wahren Aussagen zu neuen wahren Aussagen gelangen kann.

Gesetze der Aussagenlogik (Auswahl)

Als Tautologie oder Gesetz der Aussagenlogik bezeichnet man Aussagenfunktionen, die für jede Wahl der Wahrheitswerte der Argumente den Wert “W” annehmen. Daraus ergeben sich z.B. wichtige Schlußregeln in der Logik. Wir geben einige Beispiele dafür an.

((A ∨ B) ∧ ¬A)) ⇒ B A ∨ ¬A (Satz vom ausgeschlossenen Dritten) ¬(A ∧ ¬A) (Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch) ¬(¬A) ⇔ A (Satz von der doppelten Verneinung) ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B Gesetze von de ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B Morgan ¬(A ⇒ B) ⇔ A ∧ ¬B ¬(A ⇔ B) ⇔ (A ⇔ ¬B) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) (Kontrapositionsgesetz) A ∧ (A ⇒ B) ⇒ B (Abtrennungsregel) (A ⇒ B) ∧ ¬B ⇒ ¬A (Gesetz zum modus tollens) (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C) (Kettenschlußregel) A ⇒ A ∨ B B ⇒ A ∨ B A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (Distributivgesetze) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Der Beweis erfolgt mit Hilfe von Wahrheitstafeln. Als Beispiel betrachten wir (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B).

A B A ⇒ B ¬A ∨ B (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B)
W W W  W  W
W F  F  F  W
F W W  W  W
F F  W  W  W

Es ist manchmal sinnvoll, sich die Struktur eines Beweises mit Hilfe von Schlußregeln klar zu machen. Beweisschemata für direkte Beweise sind z.B.:

((A ⇒ B) ∧ ¬B) ⇒ ¬A

((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
((A ⇒ B) ∧ A) ⇒ B.

b) Prädikatenlogik

Häufig kommen in der Mathematik auch Aussagen vor, die von freien Variablen abhängen. Beispiele sind 1. ”Es gibt eine rationale Zahl x, für die gilt: x^{2} = 2“

2. ”Für alle reellen Zahlen x und y gilt: x + y = y + x.“ Es handelt sich dabei um Aussagen der Prädikatenlogik. Aussage 1 ist bekanntlich falsch und 2 ist wahr. In der Prädikatenlogik benutzt man die Quantoren ”es gibt ein“ und ”für alle“, um aus einer Aussagenform A(x) Aussagen zu bilden. Dafür verwendet man die Symbole ”∃“ und ”∀.“ Obige Aussagen können dann wie folgt geschrieben werden.

1. ∃x: x ∈ ℚ ∧ x^{2} = 2, ∃x ∈ ℚ: x^{2} = 2

2. ∀x, y ∈ ℝ: x + y = y + x.

Die Quantoren “∃“ und ” ∀“ werden von mir auch häufig zur Abkürzung bei der Formulierung von mathematischen Sätzen benutzt.

Gesetze der Prädikatenlogik

Als Gesetze der Prädikatenlogik bezeichnet man prädikatenlogische Ausdrücke, die bei jeder Belegung der Varaiblen den Wert “W” haben.

∃x(A(x) ∨ B(x)) ⇔ (∃xA(x)) ∨ (∃xB(x)) ∃x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ (∃xA(x)) ∧ (∃xB(x)) ∀x(A(x) ∧ B(x)) ⇔ (∀xA(x)) ∧ (∀xB(x)) ∀x A(x) ∨ ∀x B(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)

¬(∀x A(x)) ⇔ ∃x ¬A(x) ¬(∀x¬ A(x)) ⇔ ∃x A(x) ¬(∃x A(x)) ⇔ ∀x ¬A(x) ¬(∃x ¬A(x)) ⇔ ∀x A(x)

∀x A(x) ⇒ A(x) A(x) ⇒ ∃x A(x)

∃x∀y A(x, y) ⇒ ∀y∃x A(x, y) ∃x∃yA(x, y) ⇔ ∃y∃xA(x, y) ∀x∀yA(x, y) ⇔ ∀y∀x A(x, y)

1.2. Mengenlehre

Im Folgenden werden wir häufig über Mengen sprechen. Deshalb ist es wichtig, uns eine gewisse Klarheit über den Begriff der Menge in der Mathematik zu verschaffen.

Die Mengenlehre dient heute weitgehend als Grundlage der Mathematik. Viele fundamentale Begriffe und Methoden lassen sich auf die Mengenlehre zurückführen. Die Mengenlehre wurde am Ende des vorigen Jahrhunderts durch den deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) begründet. Von Cantor wurde 1895 folgende Definition einer Menge formuliert: ”Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen.“ Da hierdurch der zu definierende Begriff ”Menge“ nicht auf andere definierte Begriffe zurückgeführt wird, handelt es sich nicht um eine Definition im mathematischen Sinne, sondern um eine Beschreibung, welcher Sachverhalt vorliegen muß, damit von einer Menge gesprochen werden kann. Beispiele:

1. Menge der Einwohner von Bonn. Dies ist eine Menge von wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung.

2. Menge der natürlichen Zahlen. Dies ist eine Menge von Objekten

unseres Denkens. Mengenbildungsprinzip: Ist eine solche Eigenschaft E gegeben, daß jedes Objekt eines bestimmten Grundbereiches diese Eigenschaft besitzt oder nicht besitzt, so sagt man, alle Dinge, die diese Eigenschaft besitzen, bilden eine Menge M. Sie werden Elemente der Menge genannt.

M = {x | E gilt für x}.

Bezeichnung:

x ∈ M := x ist Element der Menge M;

x ∉ M := x ist nicht Element der Menge M.

{a, b, c, ...} die Menge, die aus den Elementen a, b, c, ... besteht.

Axiomatische Mengenlehre

Die naive Mengenlehre führt zu Widersprüchen. Z.B. ist die Menge aller Mengen Element von sich selbst. Um diese Probleme zu vermeiden, geht man zur axiomatischen Mengenlehre über.

Die elementaren Begriffe dieser Theorie sind der Begriff der Menge und die Relation, Element einer Menge zu sein. Axiom 1: Zwei Mengen A und B sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

(A = B) ⇔ (∀x: x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Axiom 2: Für je zwei Mengen A und B existiert eine Menge A∪B, die Vereinigung von A und B, die genau die Elemente A und B enthält, und sonst keine weiteren.

A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Axiom 3: Für je zwei Mengen A und B existiert eine Menge A \ B, die genau die Elemente von A enthält, die nicht in B liegen.

A \ B := {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Axiom 4: Es existiert wenigstens eine Menge. Die weiteren Axiome besprechen wir später. Mit Hilfe der bisherigen Axiome kann man den Durchschnitt von zwei Mengen A und B definieren als

A ∩ B := A \ (A \ B).

Dann gilt

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Aus Axiom 3 und 4 folgt, daß die Menge A \ A existiert, die kein Element enthält. Dies ist die leere Menge, die man mit ∅ bezeichnet. Es gilt:

∀x: x ∉ ∅.

Wenn für zwei Mengen A und B gilt:

A ∩ B = ∅

so nennt man A und B disjunkt. Es gelten eine Reihe von Regeln für die Verknüpfung von ∩, ∪ und \. So z.B.

Satz 1.1.

1. Kommutativgesetz

A ∪ B = B ∪ A

2. Assoziativgesetz

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3. Distributivgesetz

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Beweis: Der Beweis dieser Aussagen erhält man aus den entsprechenden Gesetzen der Aussagenlogik. Als Beispiel beweisen wir das Distributivgesetz. Es gilt folgende Schlußkette.

x ∈ (A ∩ (B ∪ C) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ (B ∪ C))
⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)

⇔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∨ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ C))

⇔ ((x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ C))
⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Analoge Gleichungen gelten für \. Eine weitere Relation zwischen Mengen A und B ist die Inklusion A ⊆ B, die definiert ist durch

A ⊆ B =_{Df} ∀x: (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

Satz 1.2. Für alle Mengen A und B gilt:

(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) ⇒ A = B.

Beweis:

\begin{aligned}(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) & ⇔ ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A) \\ & ⇔ ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B) ⇔ A = B. \end{aligned}

Bei der letzten Gleichung haben wir das Axiom 1 benutzt.

Satz 1.3. (Transitivität) Aus A ⊆ B und B ⊆ C folgt A ⊆ C.

Wir definieren jetzt noch die folgende Relation:

A ⊊ B =_{Df} A ⊆ B undB ∖ A ≠ ∅.

Mengen von Mengen

Man möchte in der Mengentheorie auch Mengen bilden können, deren Elemente wieder Mengen sind. Dafür sind weitere Axiome nötig. Es gibt verschiedene Axiomensysteme.

1. Das Axiomensytem von Russell. Dabei handelt es sich um

eine Typentheorie. Es wird eine Hierarchie von Mengen eingeführt. Individuen | Mengen (Mengen 1. Stufe) | Mengensysteme (Mengen 2. Stufe) |

·
·
·

2. Das Axiomensystem von Zermelo-Fraenkel. Es handelt sich dabei um eine typenfreie Mengenlehre.

3. Das Axiomensystem von Bernays-Gödel.

Wir benutzen das Axiomensystem von Zermelo-Fraenkel. Axiom 5 (Potenzmengenaxiom) Für jede Menge M gibt es eine Menge P(M), deren Elemente genau alle Teilmengen von M sind.

∀X(X ∈ P(M) ⇔ X ⊂ M).

Beispiel: Es sei M = {a, b, c}. Dann ist

P(M) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Axiom 6 (Unendlichkeitsaxiom) Es gibt eine Menge, die ∅ enthält, und mit jedem X auch X ∪ {X}. Axiom 7 (Fundierungsaxiom) Jede nichtleere Menge X enthält ein Element y, daß mit X kein Element gemeinsam hat.

∀X(X ≠ ∅ ⇒ ∃y(y ∈ X ∧ y ∩ X = ∅).

Daraus ergibt sich

Satz: Es gibt keine Menge X mit X ∈ X. Beweis: Es sei X eine Menge, für die gilt X ∈ X. Dann ist X ∩{X} ≠ ∅. Nach dem Fundierungsaxiom existiert y ∈ {X} mit y ∩ {X} = ∅. Aus dem Axiom 1 folgt y = X. Daher ist X ∩ {X} = ∅. Dies ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme über X.

□

Axiom 8 (Auswahlaxiom) Für jede Familie F paarweise disjunkter Mengen existiert eine Menge X, die mit jeder Menge von F genau ein Element gemeinsam hat.

Bemerkung: Das Auswahlaxiom wird nicht von allen Mathematikern akzeptiert. Einerseits kann mit Hilfe des Auswahlaxioms abstruse Resultate beweisen. Anderseits ist das Auswahlaxiom von großer Tragweite für die Mathematik. Ohne das Auswahlaxiom kann man im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Axiomatik nicht beweisen, daß jeder Vektorraum eine Basis besitzt oder, daß man jeden Körper algebraisch abschließen kann. Das Auswahlaxiom ist äquivalent zum Zornschen Lemma.

Geordnete Paare und kartesisches Produkt Definition 1.4. Seien A und B Mengen und sei a ∈ A, b ∈ B. Dann ist das geordnete Paar ⟨a, b⟩ definiert durch

⟨a, b⟩ =_{Df} {{a, b}, {a}} .

Lemma 1.5. Es gilt

⟨a, b⟩ = ⟨x, y⟩ ⇔ (a = x ∧ b = y).

Definition 1.6. A und B seien Mengen. Dann ist das kartesische Produkt A × B definiert durch

A × B =_{Df} {⟨a, b⟩ | a ∈ A ∧ b ∈ B} .

Abbildungen von Mengen

Es seine X und Y Mengen. Im allgemeinen versteht man unter einer Abbildung f : X → Y von X nach Y eine Vorschrift, die jedem Element von X eindeutig ein Element von Y zuordnet. Dies ist aber keine Definition im mathematischen Sinne. Mit Hilfe der Mengenlehre kann man den Abbildungsbegriff wie folgt definieren.

Definition 1.7. Es seien X und Y zwei Mengen. Eine Abbildung f von X nach Y ist eine Teilmenge R ⊂ X × Y mit folgenden Eigenschaften

1. ∀x ∈ X ∃y ∈ Y : ⟨x, y⟩ ∈ R

2. ∀x ∈ X ∀y_{1}, y_{2} ∈ Y : (⟨x, y_{1}⟩ ∈ R ∧ ⟨x, y_{2}⟩ ∈ R) ⇒ y_{1} = y_{2}.

Anders formuliert besagt die Bedingung 2: Es sei x ∈ X. Dann existiert genau ein y ∈ Y mit ⟨x, y⟩ ∈ R. Bezeichnung: y = f(x), f : X → Y.

Die Menge X = D(f) heißt Definitionsbereich von f.

Die Menge W (f) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X: ⟨x, y⟩ ∈ R} heißt Wertevorrat von f.

Definition 1.8. Es sei f: X → Y eine Abbildung. Dann heißt f eineindeutig, wenn gilt

∀x_{1}, x_{2} ∈ X: f(x_{1}) = f(x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2}.

Definition 1.9. Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig, wenn es eine 1-1-deutige Abbildung f: X → Y gibt mit W (f) = Y.

Endliche Mengen sind gleichmächtig genau dann, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen enthalten. Naiv kann man die Mächtigkeit einer Menge M definieren als die Klasse aller Mengen, die mit M gleichmächtig sind. dies führt aber wieder auf logische Schwierigkeiten und man muß die Mächtigkeit anders einführen. Wir verweisen dazu auf das Buch von Ebinghaus. Es sei ℕ = {1, 2, 3, ...} die Menge der natürlichen Zahlen.

Definition 1.10. Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie gleichmächtig mit ℕ ist.

Literatur: H.-D. Ebinghaus: “Einführung in die Mengenlehre.

2. Die reellen Zahlen

Die reellen Zahlen bilden die Grundlage der Analysis. Sie sind eine wesentliche Erweiterung des Zahlbegriffes.

2.1. Aufbau des Zahlsystems Wir verwenden folgende Bezeichnungen:

ℕ = {1, 2, 3, ...} die Menge der natürlichen Zahlen ℕ_{0} = ℕ ∪ {0} ℤ = {0, ±1, ±2, ...} die Menge der ganzen Zahlen ℚ die Menge der rationalen Zahlen ℝ die Menge der reellen Zahlen ℂ die Menge der komplexen Zahlen.

Jeder dieser Zahlbereiche ist eine Erweiterung des vorhergehenden Bereiches, d.h., es gilt folgende Kette von Inklusionen:

ℕ ⊂ ℕ_{0} ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

Die Erweiterung eines Zahlbereiches wird unter anderem dadurch motiviert, daß man im neuen Bereich Gleichungen lösen kann, die man im bisherigen Zahlbereich nicht lösen konnte. Beispiele:

1. In ℤ kann man die Gleichung

x + a = b

für alle a, b ∈ ℕ lösen. In ℕ ist dies nicht möglich.

2. In ℚ kann man die Gleichung

ax + b = c

für alle a, b, c ∈ ℤ mit a ≠ 0 lösen, aber nicht in ℤ.

3. die Gleichung

x^{2} = 2

hat in ℝ eine Lösung. In ℚ ist sie nicht lösbar.

4. Die Gleichung

x^{2} = −1

hat in ℝ keine Lösung, ist aber in ℂ lösbar. Der Aufbau des Zahlsystems bis zu den rationalen Zahlen erfolgt im Rahmen der allgemeinen Mengenlehre und wird hier nicht behandelt. Wir setzen rationale Zahlen als gegeben voraus. Reelle Zahlen kann man sich intuitiv z.B. wie folgt vorstellen:

1. Als unendliche Dezimalbrüche Z.B. ist

π = 3, 141592653589793...

Dabei ist zu beachten, daß der unendliche Dezimalbruch auf der rechten Seite nicht die reelle Zahl π ist, sondern deren Darstellung im Dezimalsystem.

2. Als Punkte auf der Zahlengeraden

Jeder rationalen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden. Wenn wir alle rationalen Zahlen als Punkte betrachten, so sind “Lücken auf der Zahlengeraden vorhanden. Beispiel: \sqrt{2} ist nicht rational. Beweis: Wir nehmen an, es existieren p, q ∈ ℤ mit (p, q) = 1 , so daß \sqrt{2} = p/q gilt.

\begin{matrix}⇒ p^{2} = 2q^{2} ⇒ 2|p^{2} ⇒ 2|p \\ ⇒ 4|p^{2} ⇒ 2|q^{2} ⇒ 2|q. \end{matrix}

Wir haben damit gezeigt, daß p und q durch 2 teilbar sind. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, daß p und q teilerfremd sind. Deshalb kann \sqrt{2} nicht rational sein.

Für das Ausfüllen der Lücken der Zahlengeraden, d.h., für die Konstruktion der reellen Zahlen, gibt es verschiedene Möglichkeiten.

1. Dedekindsche Schnitte in ℚ;

2. Intervallschachtelungen in ℚ;

3. Cauchyfolgen rationaler Zahlen.

Die genaue Ausführung jedes dieser Verfahren ist langwierig und kann hier nicht in allen Einzelheiten behandelt werden. Wir werden die Grundzüg der Konstruktionsmethode der reellen Zahlen durch Dedekindsche Schnitte in ℚ kennenlernen. Im Augenblick stellen wir uns auf den Standpunkt, daß wir über eine gewisse Vertrautheit im Umgang mit den reellen Zahlen verfügen und charakterisieren die reellen Zahlen durch ihre Eigenschaften, d.h., wir nehmen den axiomatischen Standpunkt ein.

2.2. Die Körperstruktur der reellen Zahlen Die reellen Zahlen sind eine Menge ℝ, in der zwei Operationen, die Addition + und die Multiplikation ·, erklärt sind, d.h., jedem Paar ⟨a, b⟩ von Elementen aus ℝ ist genau ein Element a+b ∈ ℝ, die Summe, und genau ein Element a · b ∈ ℝ das Produkt, zugeordnet. Für diese Operationen gelten die folgenden Axiome:

(K1) Kommutativgesetz Für alle a, b ∈ ℝ gilt

\begin{aligned}a + b & = b + a \\ a · b & = b · a. \end{aligned}

(K2) Assoziativgesetz Für alle a, b, c ∈ ℝ gilt:

\begin{aligned}(a + b) + c & = a + (b + c) \\ (a · b) · c & = a · (b · c) \end{aligned}

(K3) Distributivgesetz Für alle a, b.c ∈ ℝ gilt:

a · (b + c) = a · b + a · c.

(K4) Existenz neutraler Elemente i) Es gibt in ℝ ein Element 0 mit

a + 0 = a

für alle a ∈ ℝ. ii) Es gibt in ℝ ein Element 1 ≠ 0 mit:

a · 1 = a

für alle a ∈ ℝ. (K5) Existenz inverser Elemente

i) Für jedes a ∈ ℝ existiert ein additiv inverses Element (−a), so daß

a + (−a) = 0.

ii) Für jedes a ∈ ℝ\{0} existiert ein multiplikativ inverses Element a^{−1} ∈ ℝ, so daß

a · (a^{−1}) = 1.

Schreibweisen: a + (−b) = a − b, a · (b^{−1}) = \frac{a}{b}.

Die Axiome (K1) − (K5) sind die sogenannten Körperaxiome. Eine Menge K, in der zwei Operationen + und · definiert sind, so daß die Axiome (K1) − (K5) gelten, nennt man Körper. Die reellen Zahlen bilden also insbesondere einen Körper. Ein anderes Beispiel für einen Körper ist der Körper der rationalen Zahlen ℚ. Es gibt aber auch Körper, die nur endlich viele Elemente enthalten. So z.B. der Körper 𝔽_{2} = {0, 1}, der aus 2 Elementen besteht. Addition und Multiplikation in 𝔽_{2} sind definiert durch

\begin{aligned}0 + 0 & = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0; \\ 0 · 0 & = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1. \end{aligned}

Aus den Axiomen (K1) − (K5) kann man eine Reihe von bekannten Rechenregeln und weiteren Eigenschaften ableiten wie z.B.:

1. Für alle a, b ∈ ℝ existiert genau ein x ∈ ℝ mit a + x = b. Und zwar ist x = b − a. Beweis: Es sei x = b − a. Dann gilt

\begin{aligned}a + x & = a + (b − a) = (b − a) + a \\ & =_{K2} b + ((−a) + a) =_{K1} b + (a + (−a)) =_{K4} b. \end{aligned}

Sei umgekehrt x Lösung der Gleichung a + x = b. Dann gilt

\begin{aligned}b − a & = b + (−a) = (a + x) + (−a) \\ & =_{K1} (x + a) + (−a) =_{K2} x + (a + (−a)) =_{K4} x. \end{aligned}

Ebenso beweist man die folgenden Rechenregeln:

2. −(−a) = a, (−a) + (−b) = −(a + b).

Für a, b ≠ 0 gilt

\begin{aligned}(a^{−1})^{−1} = a, a^{−1} · b^{−1} & = (a · b)^{−1}. \\ a · 0 = 0, a · (−b) & = −(a · b). \\ (−a) · (−b) = a · b, a(b − c) & = ab − ac. \end{aligned}

3. ∀a, b ∈ ℝ: a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0.

4. Die neutralen Elemente 0 und 1 sind eindeutig bestimmt: Es seien 0′ und 1′ andere neutrale Elemente. Dann gilt

0′ = 0′ + 0 = 0, 1′ = 1′ · 1 = 1.

2.3. Die Anordnung von ℝ Wir wissen bereits, daß es für rationale Zahlen die Relation x < y gibt. Insbesondere können wir von positiven und negativen Zahlen sprechen. Diese Ordnungsrelation überträgt sich auf die reellen Zahlen und wird wie folgt axiomatisiert:

In der Menge der reellen Zahlen ist eine Teilmenge ℝ_{+} ausgezeichnet, die wir die Menge der positiven Zahlen nennen. Für a ∈ ℝ_{+} verwenden wir die Bezeichnung a > 0. Es gelten folgende Axiome:

(A1) Für alle a ∈ ℝ gilt genau eine der folgenden Relationen:

a > 0, a = 0, (−a) > 0.

(A2) Aus a > 0 und b > 0 folgt a + b > 0 und a · b > 0.

Ein Körper K, in dem eine Ordnungsrelation < definiert ist, so daß die Axiome (A1) und (A2) gelten, nennt man einen geordneten Körper. Wir verwenden folgende Bezeichnungen:

\begin{aligned}a > b & ⇔ a − b > 0 \\ a < b & ⇔ b − a > 0 \\ a ≥ b & ⇔ a > b ∨ a = b \\ a ≤ b & ⇔ a < b ∨ a = b. \end{aligned}

Es gelten folgende Rechenregeln: Für alle a, b, c, d, ∈ ℝ gilt

1. Transitivität a < b ∧ b < c ⇒ a < c.

2. a < b ⇒ a + c < b + c

3. a < b ⇒ −a > −b

4. a < b ∧ c > 0 ⇒ a · c < b · c

5. a < b ∧ c < 0 ⇒ a · c > b · c

6. a ≠ 0 ⇒ a^{2} > 0

7. a > 0 ⇒ a^{−1} > 0

8. a < 0 ⇒ a^{−1} < 0

9. 0 < a < b ⇒ a/b < 1 ∧ b/a > 1

10. 0 < a < b ⇒ a^{−1} > b^{−1}

11. a < b ∧ c < d ⇒ a · c < b · d In ℝ gilt auch das sogenannte Archimedische Axiom.

(A3)Archimedisches Axiom: ∀a ∈ ℝ ∃n ∈ ℕ: n > a.

Einen geordneten Körper, für den zusätzlich (A3) gilt, nennt man einen archimedisch geordneten Körper.

Bernoullische Ungleichung: Für alle x ∈ ℝ mit x > −1 und alle n ∈ ℕ gilt

(1 + x)^{n} ≥ 1 + nx.

Beweis: Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion. Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Behauptung richtig. Induktionsschritt: Für n ∈ ℕ gelte (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx. Dann folgt

(1 + x)^{n+1} ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^{2} ≥ 1 + (n + 1)x.

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Definition. Für a ∈ ℝ ist der Absolutbetrag |a| von a definiert durch

|a| = \begin{cases}a, & falls a ≥ 0; \\ −a, & falls a < 0. \end{cases}

Für den Absolutbetrag gelten folgende Rechenregeln. Für alle a, b ∈ ℝ ist:

1. Für a ≠ 0 ist |a| > 0.

2. |a · b| = |a| · |b|

3. |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung)

4. ||a| − |b|| ≤ |a − b|

2.4. Die Vollständigkeit von ℝ.

Definition. Eine Teilmenge M ⊆ ℝ heißt nach oben (bzw. unten) beschränkt, wenn ein s ∈ ℝ existiert so, daß gilt:

∀x ∈ M: x ≤ s (bzw. x ≥ s).

s heißt dann obere (bzw. untere Schranke) von M. Die Menge M heißt beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.

Definition. Es sei M ⊆ ℝ. Eine reelle Zahl s ∈ ℝ heißt Suprenum (bzw. Infinum) von M, wenn es die kleinste obere Schranke (bzw. die größte untere Schranke) von M ist.

Es gilt also:

a) s ∈ ℝ ist Suprenum von M ⇔ s ist obere Schranke von M und für alle s′ ∈ ℝ mit s′ < s existiert ein x ∈ M mit s′ < x.

b) s ∈ ℝ ist Infinum von M ⇔ s ist untere Schranke von M und für alle s′ ∈ ℝ mit s′ > s existiert x ∈ M mit x < s′.

Wenn das Suprenum bzw. Infinum einer Menge M exsistieren, so sind sie eindeutig bestimmt und werden mit

sup M bzw. inf M

bezeichnet. Wenn sup M ∈ M (bzw. inf M ∈ M), so heißt sup M Maximum von M (bzw. inf M Minimum von M).

(V) Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge M von ℝ besitzt ein Suprenum.

Einen geordneten Körper, für den das Axiom V gilt, nennt man einen vollständigen geordneten Körper. Eine ander Möglichkeit, die Vollständigkeit von ℝ zu axiomatisieren, ist das Intervallschachtelungsprinzip.

Definition. Eine Intervallschachtelung ist eine Folge (I_{k}) von kompakten Intervallen I_{k} = [a_{k}, b_{k}] mit folgenden Eigenschaften:

1. Für alle k ∈ ℕ gilt: I_{k+1} ⊂ I_{k}.

2. Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein Intervall I_{k} mit einer Länge |I_{k}| < ϵ.

In ℝ gilt das

(I) Intervallschachtelungsprinzip: Für jede Intervallschachtelung (I_{k}) existiert genau eine reelle Zahl r ∈ ℝ, die in allen Intervallen I_{k} enthalten ist.

Bewies: Es sei ([a_{k}, b_{k}]) eine Intervallschachtelung. Dann ist die Menge A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...} nach oben beschränkt. Obere Schranken sind alle b_{k}. Für die kleinste obere Schranke s gilt

a_{k} ≤ s ≤ b_{k}

für alle k ∈ ℕ. Daher liegt s = sup A in allen Intervallen [a_{k}, b_{k}]. Es sei s′ eine weitere Zahl, die in allen Intervallen [a_{k}, b_{k}] liegt. Wir nehmen an, daß s ≠ s′. Sei ϵ = |s − s′|/2. Nach Voraussetzung existiert k ∈ ℕ mit b_{k} − a_{k} < ϵ. Da s, s′ ∈ [a_{k}, b_{k}], folgt

|s − s′| ≤ b_{k} − a_{k} < ϵ = |s − s′|/2.

Dies ist ein Widerspruch und daher muß s = s′ gelten.

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Umgekehrt folgt auch die Supremumseigenschaft aus dem Intervallschachtelungsprinzip.

2.5. Konstruktion der reellen Zahlen Die rationalen Zahlen haben “Lücken“ (auf dem Zahlenstrahl) und es gibt 3 Methoden, diese Lücken zu “füllen“ d.h. ℚ zu vervollständigen.

1. Dedekindsche Schnitte R. Dedekind (1831 - 1916)

2. Intervallschachtelungen

3. Cauchy - Folgen

Definition 2.12. Ein Dedekindscher Schnitt A | B in ℚ ist eine Zerlegung von ℚ in 2 Teilmengen A und B mit folgenden Eigenschaften:

1. A ≠ ∅, B ≠ ∅

2. A ∪ B = ℚ

3. ∀a ∈ A, ∀b ∈ B: a < b. Beispiele: 1)

\begin{aligned}A & = \{a ∈ ℚ | a < 1\} \\ B & = \{a ∈ ℚ | a ≥ 1\} \end{aligned}

Es giltinf B = 1, und in A existiert kein größtes Element. 2)

\begin{aligned}A & = \{a ∈ ℚ | a > 0 ∧ a^{2} < 2\} ∪ \{a ∈ ℚ | a ≤ 0\} \\ B & = \{a ∈ ℚ | a > 0 ∧ a^{2} > 2\} \end{aligned}

Da \sqrt{2} irrational ist, definieren A und B einen Schnitt A | B in ℚ. Behauptung: i) In A gibt es keine größte Zahl. ii) In B gibt es keine kleinste Zahl. Beweis: i) Es sei a > 0 und a^{2} < 2, a ∈ ℚ. Nach dem Axiom von Archimedes für ℚ existiert n ∈ ℕ: n > \frac{2a+1}{2−a^{2}}

\begin{matrix}⇒ & \frac{2a + 1}{n} < 2 − a^{2} ⇒ \frac{2a}{n} + \frac{1}{n^{2}} ≤ \frac{2a + 1}{n} < 2 − a^{2} \\ ⇒ & (a + \frac{1}{n})^{2} = a^{2} + \frac{2a}{n} + \frac{1}{n^{2}} < 2. \\ ⇒ & a + \frac{1}{n} ∈ A. \end{matrix}

Ebenso beweist man ii).

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Es gibt 3 Möglichkeiten für einen Schnitt A | B:

1. A enthält kein größtes Element, aber B enthält ein kleinstes Element.

2. A enthält ein größtes Element, aber B enthält kein kleinstes Element.

3. A enthält kein größtes Element und B enthält kein kleinstes Ele-

ment. Vierte Möglichkeit: A enhält ein größtes Element a und B enthält ein kleinstes Element b. Dann ist a < b. Daraus folgt, daß c ∈ ℚ existiert mit a < c < b. Da a < c ist, ist c ∉ A, und aus c < b folgt c ∉ B. Hieraus folgt c ∉ A ∪ B = ℚ. Dies ist ein Widerspruch. Daher gibt es den 4. Fall nicht. Im Falle i) oder ii) wird der Schnitt A | B durch die rationale Zahl r definiert. Festlegung: Wir wählen für eine rationale Zahl r den Schnitt A | B so, daß r ∈ B.

A = {q ∈ ℚ | q < r}, B = {q ∈ ℚ | q ≤ r}.

Defintion 2.13. Ein Schnitt der Form 3) definiert eine irrationale Zahl α. Es sei

ℝ = ℚ ∪ {α | α irrational }.

Man kann jetzt zeigen, daß für die so definierte Menge ℝ die Axiome (K1)-(K5), (A1), (A2) und (V) gelten. Die Ordnungsrelation kann man wie folgt einführen:

Definition 2.14. Seien α, β ∈ ℝ definiert durch die Schnitte A | B bzw. A′ | B′. Dann ist α < β definiert durch

α < β ⇔ A ⊊ A′

Lemma 2.15. 1) ∀α, β ∈ ℝ gilt genau eine der folgenden Relationen: α = β, α > β, α < β 2) ∀α, β, γ ∈ ℝ: α < β ∧ β < γ ⇒ α < γ

Beweis: Übung!

Lemma 2.16. Für alle α, β ∈ ℝ mit α > β existiert r ∈ ℚ: α > r > β.

Beweis: Seien α und β definiert durch A | B bzw. A′ | B′. Da α > β, ist A′ ⊊ A. Daher existiert r ∈ ℚ so, daß

r ∈ A ∧ r ∉ A′.

Da A′|B′ ein Schnitt in ℚ ist, folgt r ∈ B′. Dies bedeutet α > r > β. □ Defintion 2.17. Ein Schnitt A | B in ℝ ist eine Zerlegung von ℝ in zwei Teilmengen A und B mit folgenden Eigenschaften:

1. A ≠ ∅, B ≠ ∅

2. A ∪ B = ℝ

3. ∀a ∈ A, ∀b ∈ B: a < b

Theorem. (Dedekind): Für jeden Schnitt A | B in ℝ existiert γ ∈ ℝ mit

1. γ = sup A = inf B

2. γ ∈ A ∨ γ ∈ B

Beweis: Es sei A_{1} = A ∩ ℚ und B_{1} = B ∩ ℚ. Behauptung: Die Teilmengen A_{1}, B_{1} von ℚ definieren einen Schnitt A_{1} | B_{1} in ℚ. Beweis: a) Es gilt A_{1} ≠ ∅, B_{1} ≠ ∅. Nach Voraussetzung ist A ≠ ∅. Also existiert α ∈ A. Die Zahl α ist definiert durch einen Schnitt C | C′ in ℚ. Dabei sind C, C′ nichtleere Teilmengen von ℚ. Daher existiert r ∈ C. Sei r′ ∈ ℚ mit r′ < r. Dann folgt r′ ∈ C. Hieraus folgt

{r′ ∈ ℚ | r′ < r} ⊂ C

Daher gilt r < α und somit folgt r < α. Da α durch den Schnitt A | B definiert wird, ist daher r ∈ A. Daraus folgt r ∈ A_{1}, d.h., A_{1} ≠ ∅. Ebenso zeigt man B_{1} ≠ ∅.

b) Es gilt

A_{1} ∪ B_{1} = (A ∩ ℚ) ∪ (B ∩ ℚ) = (A ∪ B) ∩ ℚ = ℝ ∩ ℚ = ℚ

b) Es sei a ∈ A_{1} und b ∈ B_{1}. Dann ist a ∈ A und b ∈ B. Auf Grund der Definition eines Dedekindschen Schnittes folgt daraus a < b. Damit ist A_{1} | B_{1} ein Schnitt in ℚ und definiert eine Zahl γ ∈ ℝ. Da A ∪ B = ℝ, folgt: γ ∈ A ∨ γ ∈ B Annahme: Es sei γ ∈ A. Zu zeigen: γ ist größtes Element von A.

Sei α ∈ A und α < γ. Aus Lemma 2.16 folgt

∃r ∈ ℚ: α > r > γ.

Da α ∈ A und r < α, folgt r ∈ A. Dann ist aber r ∈ A_{1}. Daraus folgt

{r′ ∈ ℚ | r′ < r} ⊆ A_{1},

und daher r ≤ γ. Dies ist ein Widerspruch zu r > γ. Damit ist γ = sup A. Genauso zeigt man γ = inf B.

□

Wir können nun den folgenden wichtigen Satz beweisen.

Satz 2.18. Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum.

Beweis: Sei M ⊆ ℝ und M ≠ ∅. Sei C ∈ ℝ eine obere Schranke von M: ∀a ∈ M: a ≤ C. Fall 1: M enthält ein größtes Element a_{0}. Dann ist a_{0} = sup M. Fall 2: M enthält kein größtes Element. Wir definieren in diesem Falle einen Schnitt in ℝ wie folgt. Es sei

B = {b ∈ ℝ | ∀a ∈ M: a ≤ b} und A = ℝ \ B.

Behauptung: A | B ist ein Schnitt. Beweis: i) Nach Definition von B ist C ∈ B. Daher ist B ≠ ∅. Weiter ist M ⊆ A M ≠ ∅. Daraus folgt A ≠ ∅. ii) Auf Grund der Definition von A ist A ∪ B = ℝ . iii) Seien a ∈ A, b ∈ B. Dann ist a ∉ B. Wegen der Definition von B folgt, daß ein m ∈ M existiert mit a < m. Nach der Definition von B folgt: a < m ≤ b. Damit haben wir gezeigt, daß A, B einen Schnitt A | B in ℝ definieren. Aus dem Theorem folgt, daß ein γ ∈ ℝ existiert, das den Schnitt A | B erzeugt, d.h., γ = sup A = inf B. Da M in A enthalten ist, folgt

∀m ∈ M: m ≤ γ.
⇒ γ ∈ B ∧ (∀b ∈ B: γ ≤ b) ⇒ γ = sup M.
□

Addition reeller Zahlen Seien α, β ∈ ℝ, definiert durch Schnitte A | A′ bzw. B | B′ in ℚ. Sei

\begin{aligned}C & = \{c ∈ ℚ | ∃a ∈ A, ∃b ∈ B: c ≤ a + b\} \\ C′ & = ℚ \ C = \{c ∈ ℚ | ∀a ∈ A, ∀b ∈ B: c > a + b\} \end{aligned}

Behauptung: C | C′ ist ein Schnitt. Beweis:

1. C ≠ ∅, C′ ≠ ∅ klar.

2. C ∪ C′ = ℚ gilt nach Definition.

3. c ∈ C, c′ ∈ C′ ⇒ ∃a ∈ A, b ∈ B:

c ≤ a + b < c′

Der Schnitt C | C′ definiert γ ∈ ℝ.

Definition. α +^{∘} β = γ

Seien α, β ∈ ℚ. Dann kann man zeigen, daß

α + β = α +^{∘} β = γ

gilt, d.h., die Addition, die wir für reelle Zahlen definiert haben, stimmt für rationale Zahlen mit der bisherigen Addition überein. Genauso definiert man die Multiplikation. Es muß jetzt noch nachgeprüft werden, daß die Körperaxiome (K1)-(K5) erfüllt sind.

2.6. Dezimalbruchdastellung reeller Zahlen Sei r ∈ ℝ. Dann wird r definiert durch einen Schnitt A | B in ℚ. Sei q ∈ A. Auf Grund des archimedischen Axiomes existiert n ∈ ℕ: − q < n. Dann ist −n < q. Daraus folgt −n ∈ A ∪ ℤ, d.h., A ∪ ℤ ≠ ∅. Sei b ∈ B. Dann gilt

∀m ∈ A ∪ ℤ: m ≤ b.

Daraus folgt, daß A ∩ ℤ ein größtes Element a_{0} enthält. Daraus folgt ⇒ a_{0} + 1 ∈ B. Deshalb ist

a_{0} ≤ r < a_{0} + 1.

Weiter ist

\begin{aligned}[a_{0}, a_{0} + 1] = [a_{0}, a_{0} + \frac{1}{10}] & ∪ [a_{0} + \frac{1}{10}, a_{0} + \frac{2}{10}] ∪ \\ & ⋯ ∪ [a_{0} + \frac{a}{10}, a_{0} + 1] . \end{aligned}

Daraus folgt, daß ein a_{1} ∈ {0, 1, ⋯, q} existiert mit

a_{0} + \frac{a_{1}}{10} ≤ r < a_{0} + \frac{a_{1} + 1}{10}.

Wenn wir dies fortsetzen, so erhalten wir a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{i} ∈ {0, 1, 2, ...9} so, daß gilt

∀n ∈ ℕ: a_{0} + ∑_{j=1}^{n} \frac{a_{j}}{10^{j}} ≤ r < a_{0} ∑_{j=1}^{n} \frac{a_{j}}{10^{j}} + \frac{1}{10^{n}} .

Damit ist

r = a_{0}, a_{1}a_{2} ⋯ a_{n} ⋯ = a_{0} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{j}}{10^{j}}

die Dezimalbruchentwicklung von r.

Zusammenhang mit Intervallschachtelung Es sei r = a_{0}, a_{1}a_{2} ⋯ a_{k} ⋯ die Dezimalbruchdastellung von r ∈ ℝ. Sei

c_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{10^{k}} .

Dann ist c_{n} ∈ ℚ. Für n ∈ ℕ sei

I_{n} = [c_{n} − \frac{1}{10^{n}} , c_{n} + \frac{1}{10^{n}}].

Dann ist gilt für alle n ∈ ℕ :I_{n+1} ⊂ I_{n} und |I_{n}| = \frac{2}{10^{n}}. Also ist \{I_{n} | n ∈ ℕ} eine Intervallschachtelung und es gilt

⋂_{n∈ℕ}I_{n} = {r}.

Bemerkung: Die Dezimalbruchentwicklung nicht eindeutig! Z.B. ist

3, 826\overline{0} = 3, 825\overline{9}.

2.7. Überabzählbarkeit von ℝ Es sei eine A Menge. Dann heißt A abzählbar, wenn eine bijektive Abbildung f: ℕ → A existiert. Dann ist A = {a_{1}, a_{2}, ⋯ }.

Definition 2.19. Eine Menge, die weder endlich noch abzählbar ist, heißt überabzählbar oder nicht abzählbar.

Satz 2.20. Es sei M eine Menge mit wenigstens zwei Elementen und

F = {f | f: ℕ → M}.

Dann ist F nicht abzählbar.

Beweis: Wir nehmen an, daß F abzählbar ist. Sei

F = {f^{1}, f^{2}, … }

mit

f^{1} = (f_{11}, f_{12}, f_{13}, …
f^{2} = (f_{21}, f_{22}, f_{23}, …)
⋮

Es sei g = (g_{1}, g_{2}, …) eine Folge mit ∀i ∈ ℕ: g_{i} ∈ M ∧ g_{i} ≠ f_{ii}. Dies ist möglich, da M wenigstens 2 Elemente entält. Dann ist aber g ≠ f^{k} für alle k ∈ ℕ, denn aus g = f^{k} folgt g_{k} = f_{kk}.

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Korollar 2.21. [0, 1] und ℝ sind nicht abzählbar.

2. Beweis: Seiℝ = {x_{1}, x_{2}, … }. Wir konstuieren eine Intervallschachtelung rekursiv wie folgt: 1) Es sei I_{1} = [x_{1} + 1, x_{1} + 2].

2) Sei I_{n} konstruiert. Wir teilen I_{n} = [a_{n}, b_{n}] in 3 gleichlange Intervalle. Sei I_{n+1} ein Teilintervall, das x_{n+1} nicht enthält. Sei

r ∈ ⋂_{n∈ℕ}I_{n}.

Dann existiert k ∈ ℕ mit r = x_{k}. Dann ist x_{k} ∈ I_{k}. Dies ist ein Widerspruch zur Definition von I_{k}.

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Kontinuumshypothese (Cantor): Jede unendliche Teilmenge von ℝ hat entweder die Mächtigkeit von ℕ oder von ℝ.

Auf der Grundlage von Zermelo-Fraenkel ist die Kontinuumshypothese weder widerlegbar (Gödel 1938) noch beweisbar (Cohen 1963).

2.8. Die Potenzfunktion mit rationalen Exponenten Sei a ∈ ℝ_{+} und r ∈ ℝ. Das Ziel ist die Definition von a^{r}. In diesem Abschnitt definieren wir a^{r} nur für den Fall r ∈ ℚ. Der allgemeine Fall wird im Abschnitt über Folgen behandelt. Die ganzzahligen Potenzen von a definiert man rekursiv wie folgt:

1. Es sei n ∈ ℕ_{0}. Dann wird a^{n} induktiv definiert durch:

a^{0} = 1 und a^{n} = a · a^{n−1}, n ∈ ℕ.

2. Sei n ∈ ℤ, n < 0. Dann sei

a^{n} = (a^{−n})^{−1}.

Es gelten die Potenzgesetze:

1. ∀n, m ∈ ℤ: a^{n} · a^{m} = a^{n+m}

2. ∀a, b ∈ ℝ_{+} : a^{n} · b^{n} = (a · b)^{n}

3. ∀n, m ∈ ℤ: (a^{n})^{m} = a^{n·m}.

Lemma 2.22. Sei a ∈ ℝ_{+}, p ∈ ℤ und q, n ∈ ℕ. Dann gilt

\sqrt[q]{a^{p}} = \sqrt[qn]{a^{pn}}

Beweis: Sei r = \sqrt[q]{a^{p}} und s = \sqrt[qn]{a^{pn}}. Dann folgt r^{p} = a^{p} und s^{qn} = a^{pn}. Damit ist

r^{qn} = a^{pn} = s^{qn}

Aus der Eindeutigkeit der qn-ten Wurzel erhalten wir r = s.

□

proclaim Definition 2.23. Sei a ∈ ℝ_{+} und r ∈ ℚ. Es sei r = p/q, p ∈ ℤ, q ∈ ℕ. Dann sei

a^{r}: = \sqrt[q]{a^{p}}.

Aus Lemma 2.22 folgt, daß a^{r} unabhängig von der Darstellung von r als Bruch p/q ist.

Satz 2.24. Für die Potenzfunktion a^{r} gilt:

1. Es gelten die Potenzgesetze:

∀a, b ∈ ℝ^{+}, ∀r, s ∈ ℚ:

i) a^{r} · a^{s} = a^{r+s}

ii) a^{r} · b^{r} = (a · b)^{r}

iii) (a^{r})^{s} = a^{r·s}.

2. Sei r ∈ ℚ.

\begin{aligned}i) r > 0 & ⇒ (∀x, y ∈ ℝ_{+} : x < y ⇒ x^{r} < y^{r}) \\ ii) r < 0 & ⇒ (∀x, y ∈ ℝ_{+} : x < y ⇒ y^{r} < x^{r}) \end{aligned}

(d.h. für r > 0 ist x^{r} streng monoton wachsend und für r < 0 ist x^{r} streng monoton fallend)

3. Für alle r, s ∈ ℚ mit r < s gilt:

a^{r} < a^{s}, falls a > 1
a^{s} < a^{r}, falls 0 < a < 1

4. Für jedes kompakte Intervall J ⊂ ℝ existiert C ∈ ℝ_{+} mit

∀r, s ∈ J ∩ ℚ: |a^{r} − a^{s}| ≤ C|r − s|.

Beweis: 1) Sei r = \frac{p}{q} und s = \frac{m}{q} mit p, m ∈ ℤ und q ∈ ℕ. Dann gilt

a^{r} · a^{s} = \sqrt[q]{a^{p}} · \sqrt[q]{a^{m}} = \sqrt[q]{a^{p+m}} = a^{\frac{p+m}{q}} = a^{r+s}.

Dies ist der Beweis von i). Dabei haben wir benutzt, daß aus der Eindeutigkeit der Wurzel die Gleichung

\sqrt[q]{a} · \sqrt[q]{b} = \sqrt[q]{a · b}

für alle a, b ∈ ℝ^{+} folgt. Die Gleichungen ii), iii) werden analog gezeigt. Übung!

2) Seien x, y ∈ ℝ_{+} mit x < y, und es sei q ∈ ℕ.

Behauptung: \sqrt[q]{x} < \sqrt[q]{y} Beweis: Wir nehmen an, daß das Gegenteil gilt: \sqrt[q]{y} ≤ \sqrt[q]{x}. Daraus folgt y = (\sqrt[q]{y})^{q} ≤ (\sqrt[q]{x})^{q} = x. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme x < y.

i) Sei r ∈ ℚ, r > 0. Sei r = \frac{p}{q}, p, q ∈ ℕ eine Darstellung von r als Bruch. Sei x, y ∈ ℝ_{+} mit x < y. Da p ∈ ℕent Behauptung: \sqrt[q]{x} < \sqrt[q]{y} Beweis: Wir nehmen an, daß das Gegenteil gilt: \sqrt[q]{y} ≤ \sqrt[q]{x}. Daraus folgt y = (\sqrt[q]{y})^{q} ≤ (\sqrt[q]{x})^{q} = x. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme x < y. i) Sei r ∈ ℚ, r > 0. Sei r = \frac{p}{q}, p, q ∈ ℕ eine Darstellung von r als Bruch. Sei x, y ∈ ℝ_{+} mit x < y. Da p ∈ ℕ, folgt x^{p} < y^{p}. Daraus ergibt sich x^{r} = \sqrt[q]{x^{p}} < \sqrt[q]{y^{p}} = y^{r}. ii) Sei r ∈ ℚ, r < 0. Dann ist −r > 0 und aus i) folgt x^{−r} < y^{−r} und somit y^{r} = (y^{−r})^{−1} < (x^{−r})^{−1} = x^{r}.

3) Seien r, s ∈ ℚ, t = r − s > 0, a ∈ ℝ, a > 0. Aus 2) folgt:

\begin{matrix}a^{t} < 1^{t} = 1, & 0 < a < 1, \\ a^{t} > 1^{t} = 1, & a > 1. \end{matrix}

Multiplikation mit a^{s} ergibt

\begin{matrix}a^{r} = a^{t+s} = a^{t} · a^{s} < a^{s}, & 0 < a < 1 \\ a^{s} < a^{t}a^{s} = a^{t+s} = a^{r}, & a > 1. \end{matrix}

4) Sei J = [−m, m], m ∈ ℕ, a ≥ 1. Sei r, s ∈ J ∩ ℚ und r < s. Dann ist t = s − r > 0.

Fall 1: t ≥ 1. Dann ist

a^{t} ≤ ta^{t} ≤ ta^{t+1} < 1 + ta^{t+1} ⇒ a^{t} − 1 ≤ ta^{t+1}

Fall 2: t = \frac{p}{n} < 1. Dann ist

a^{p/n} = \sqrt[n]{a^{p}} ≤ \frac{p · a + (n − p)}{n} = 1 + \frac{p}{n}(a − 1) ≤ 1 + \frac{p}{n}a^{p/n+1}.

Dabei haben wir folgende Ungleichung benutzt:

∀x_{1}, …, x_{n} ∈ ℝ_{+} : \sqrt[n]{x_{1} ⋯ x_{n}} ≤ \frac{x_{1} + ⋯ + x_{n}}{n} .

Es gilt also stets:

a^{t} − 1 ≤ ta^{t+1}.

Durch Multiplikation beider Seiten mit a^{r} erhalten wir

0 < a^{s} − a^{r} ≤ (s − r)a^{s+1} ≤ (s − r)a^{m+1}.

Für a < 1 ist a^{r} = (a^{−1})^{−r} und wir können wie oben verfahen.

□

3. Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen wurden bereits in der Vorlesung “Lineare Algebra“ behandelt. Deshalb beschränke ich mich hier auf eine Zusammenfassung der wichtigsten Fakten, die in der Vorlesung benutzt werden.

Historische Anmerkungen Folgende Mathematiker haben wesentlich zur Entwicklung der komplexen Zahlen beigetragen.

Cardano  (1501 -1576)
J. Bernoulli (1667 - 1748)
L. Euler  (1707 - 1783)
C.F. Gauß (1777 - 1855) Gaußsche Zahlenebene

Für a < 0 ist die Gleichung x^{2} = a in ℝ nicht lösbar. Dies führt zur Erweiterung von ℝ zu ℂ.

3.1. Der Körper der komplexen Zahlen ℂ

ℂ = ℝ × ℝ = {⟨a, b⟩ | a, b ∈ ℝ}

(A)Addition in ℂ: Die Addition wird definiert durch

⟨a, b⟩ + ⟨c, d⟩ = ⟨a + c, b + d⟩

Die so definierte Addition kann man als Vektoraddition in ℝ^{2} ansehen:

(M)Multiplikation in ℂ: Die Multiplikation in ℂ ist wie folgt definiert:

⟨a, b⟩ · ⟨c, d⟩ = ⟨ac − bd, ad + bc⟩

Satz 3.1. (ℂ, +, ·) erfüllt die Körperaxiome (K1) - (K5), wobei 0 = ⟨0, 0⟩ und 1 = ⟨1, 0⟩ ist.

z = ⟨a, b⟩ ≠ ⟨0, 0⟩ ⇒ z^{−1} = ⟨\frac{a}{a^{2} + b^{2}} , \frac{−b}{a^{2} + b^{2}} ⟩

Sei I = ℝ → ℂ definiert durch I(r) = ⟨r, 0⟩. Dann wird ℝ ein Teilkörper von ℂ. Es gilt ℝ ⊂ ℂ als Körper.

3.2 Imaginäre Einheit Sei i = ⟨0, 1⟩. Dann gilt

i^{2} = ⟨0, 1⟩ · ⟨0, 1⟩ = ⟨−1, 0⟩ = −1,

d.h. i ist Lösung der Gleichung z^{2} = −1. i heißt imaginäre Einheit, i = \sqrt{−1}. Damit gilt für z = ⟨x, y⟩ ∈ ℂ:

\begin{aligned}z & = x⟨1, 0⟩ + y⟨0, 1⟩ = x + iy. \\ ℂ & = \{x + iy | x, y ∈ ℝ\}. \end{aligned}

Definition: Sei z = x + iy, x, y ∈ ℝ. Dann heißt x Realteil von z und y Imaginärteil von z.

Bezeichnung: x = Re(z), y = Im(z)

3.3. Konjugation Sei z ∈ ℂ, z = x + iy. Die zu z komplex konjugierte Zahl \overline{z} ist definiert als

\overline{z} = x − iy.

Rechenregeln: ∀z, w ∈ ℂ gilt 1. \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}, \overline{z · w} = \overline{z} · \overline{w}

2. z + \overline{z} = 2Re(z), z − \overline{z} = 2iIm(z)

3. z = \overline{z} ⇔ z ∈ ℝ

4. z = x + iy, z\overline{z} = x^{2} + y^{2}.

3.4. Absolutberag Der Betrag |z| von z = x + iy ∈ ℂ ist definiert durch

|z| = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Für |z| gilt:

1. |z| ≥ 0 ∧ (|z| = 0 ⇔ z = 0)

2. |\overline{z}| = |z|

3. |zw| = |z| · |w|

4. |z + w| ≤ |z| + |w| Dreiecksungleichung Beweis: Es sei z = x + iy

1. |z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≥ 0, = 0 ⇔ x = y = 0

2. |z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |x − iy| = |\overline{z}|

3. Sei z = x + iy, w = u + iv. Dann ist |z · w|^{2} = (xu − yv)^{2} + (xv + yu)^{2} =

x^{2}u^{2} − 2xuyv + y^{2}v^{2} + x^{2}v^{2} + 2xvyu + y^{2}u^{2}
= (x^{2} + y^{2})(u^{2} + v^{2}) = |z|^{2}|w|^{2}.

4. |z + w|^{2} = (z + w)(\overline{z} + \overline{w}) = |z|^{2} + |w|^{2} + z\overline{w} + \overline{z}w = |z|^{2}+|w|^{2}+2Re(z\overline{w}) ≤ |z|^{2}+|w|^{2}+2|z·\overline{w}| = |z|^{2}+|w|^{2}+2|z||w| = (|z|^{2} + |w|^{2}).

3.5. Fundamentalsatz der Algebra:

Satz. Jedes nicht-konstante komplexe Polynom hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Daraus folgt, daß in ℂ jedes Polynom faktorisierbar ist. Es sei

p(z) = a_{n}z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + ⋯ + a_{0}

wobei a_{0}, …, a_{n} ∈ ℂ und a_{n} ≠ 0. Dann existieren c_{1}, ⋯, c_{r} ∈ ℂ, c_{i} ≠ c_{j}, i ≠ j, und m_{1}, ⋯, m_{r} ∈ ℕ, n = m_{1} + ⋯ + m_{r} so, daß

p(z) = a_{n}(z − c_{1})^{m_{1}}(z − c_{2})^{m_{2}} ⋯ (z − c_{r})^{m_{r}}.

4. Folgen und Grenzwerte

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit zwei fundamentalen Begriffen der Analysis: Konvergenz und Grenzwert. Darauf baut die gesamte Analysis auf.

4.1. Folgen reeller Zahlen

Wir betrachten zunächst nur Folgen reeller Zahlen.

Definition 4.1. Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung

f: ℕ → ℝ

.

Die Abbildung f: ℕ → ℝ wird eindeutig durch ihre Werte f(n), n ∈ ℕ, bestimmt. Es sei

a_{n} = f(n), n ∈ ℕ.

Dann können wir die Folge, die durch die Abbildung f: ℕ → ℝ definiert wird, durch Aufzählung ihrer Glieder a_{n} angeben. Man schreibt Folgen meistens in der Form

a_{1}, a_{2}, a_{3}, … oder (a_{n}).

Wenn es erforderlich ist, den Indexbereich anzugeben, so kann man dies wie folgt kennzeichnen

(a_{n})_{n∈ℕ} oder (a_{n} | n ∈ ℕ).

Bemerkung: Die Folgenglieder a_{n} brauchen nicht paarweise verschieden zu sein, d.h., man muß die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} und die aus den Gliedern der Folge gebildete Menge {a_{n} | n ∈ ℕ} sorgfältig unterscheiden. Z.B. kann die Menge {a_{n} | n ∈ ℕ} nur aus einem einzigen Element bestehen.

Beispiele:

1) Sei a ∈ ℝ und sei (a_{n}) die Folge, die definiert ist durch

∀n ∈ ℕ: a_{n} = a.

Die Folge (a_{n}) nennt man konstante Folge. Für diese Folge gilt: {a_{n} | n ∈ ℕ} = {a}.

2) Für alle n ∈ ℕ sei a_{n} = \frac{1}{n}. Wir erhalten die Folge

1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ⋯

3) Es seien a, b ∈ ℝ.

∀n ∈ ℕ: a_{n} = a + nb.

Die Folge (a_{n}) nennt man eine arithmetische Folge

4) Es seien a, q ∈ ℝ.

∀n ∈ ℕ: a_{n} = aq^{n}.

Die Folge (a_{n}) nennt man eine geometrische Folge

5) Man kann Folgen auch rekursiv definieren. Z.B. ist die Folge der Fibonacci- Zahlen definiert durch:

a_{0} = 0, a_{1} = 1, und a_{n+1} = a_{n} + a_{n−1} für alle n ∈ ℕ.

4.2. Konvergente Folgen reeller Zahlen

Definition 4.2. Eine Folge (a_{n}) heißt konvergent, wenn es eine Zahl a ∈ ℝ gibt, für die folgendes gilt:

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n > N: |a_{n} − a| < ϵ.  (4.1)

Die Zahl a nennt man Grenzwert oder Limes der Folge (a_{n}). Man sagt dann: Die Folge (a_{n}) hat den Grenzwert oder Limes a, bzw. die Folge (a_{n}) konvergiert gegen (den Grenzwert) a.

Übliche Bezeichnungen für diesen Sachverhalt sind:

lim_{n→∞} a_{n} = a, a_{n} ⟶_{n→∞} a, oder a_{n} → a für n → ∞.

Definition 4.3. Eine Folge (a_{n}), die gegen 0 konvergiert, d.h., für die gilt lim_{n→∞} a_{n} = 0, nennt man Nullfolge.

Es gilt also:

(a_{n}) ist Nullfolge ⇔ ∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n > N: |a_{n}| < ϵ.

Die Definition 4.2 für die Konvergenz einer Folge kann man auch geometrisch interpretieren. Dazu führen wir einige weitere Begriffe ein. Für a ∈ ℝ und ϵ > 0 sei

U_{ϵ}(a) = (a − ϵ, a + ϵ).

Das Intervall U_{ϵ}(a) nennt man die ϵ-Umgebung von a. Weiter sei für alle n ∈ ℕ eine Aussage A(n) gegeben. Dann sagt man, die Aussage A(n) gilt für fast alle n ∈ ℕ, wenn es ein N ∈ ℕ gibt, so daß A(n) für alle n ∈ ℕ mit n ≥ N richtig ist. Die Definition 4.2 ist dann äquivalent zu folgender Aussage:

lim_{n→∞} a_{n} = a ⇔ ∀ϵ > 0: a_{n} ∈ U_{ϵ}(a) für fast alle n ∈ ℕ.

Beispiele:

1) Es sei a ∈ ℝ und (a_{n}) sei definiert durch a_{n} = a für alle n ∈ ℕ. Dann gilt lim_{n→∞} a_{n} = a, denn für alle n ∈ ℕ gilt: |a_{n} − a| = 0.

2) Es sei a_{n} = \frac{1}{n}, n ∈ ℕ.

Behauptung: lim a_{n} = 0, d.h., (a_{n}) ist eine Nullfolge. Beweis: Es sei ϵ > 0 gegeben. Aus dem Archimedischen Axiom folgt: ∃N ∈ ℕ: N > \frac{1}{ϵ}.

⇒ |a_{n}| = \frac{1}{n} < ϵ für n ≥ N.

3) Es sei a > 0 und

a_{n} = \sqrt[n]{a}, n ∈ ℕ.

Dann gilt:

lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = 1.

Beweis: Wir unterscheiden zwei Fälle.

i) a ≥ 1. Es sei x_{n} = \sqrt[n]{a} − 1. Dann ist x_{n} ≥ 0 und die Anwendung der Bernoullischen Ungleichung ergibt

a = (1 + x_{n})^{n} ≥ 1 + nx_{n}.

Es sei ϵ > 0 gegeben. Wir setzen N = [\frac{a}{ϵ}] + 1. Dann gilt für alle n ≥ N:

|\sqrt[n]{a} − 1| = x_{n} < \frac{a}{n} < ϵ.

Damit gilt (4.1) für die Folge (a_{n}) und a = 1. ii) 0 < a < 1. Später werden wir zeigen, daß für Grenzwerte

folgende Rechenregel gilt:

lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = ( lim_{n→∞} \sqrt[n]{a^{−1}})^{−1} .

Nach Voraussetzung ist a^{−1} > 1 und aus Fall i) folgt damit lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = 1.

4) Es sei a ∈ ℝ und es gelte |a| < 1. Dann gilt

lim_{n→∞} a^{n} = 0.

Beweis: Es sei |a|^{−1} = 1+x. Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt

\frac{1}{|a|^{n}} = (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx > nx.  (4.2)

Es sei ϵ > 0 gegeben. Wir setzen N = [(ϵx)^{−1}] + 1. Dann gilt für alle n ≥ N auf Grund von (4.2):

|a^{n}| < \frac{1}{nx} < ϵ.

Wir haben damit gezeigt, daß die Aussage (4.1) für die Folge (a_{n}) und a = 0 richtig ist.

Satz 4.4. Es sei (a_{n}) eine konvergente Folge. Dann ist der Grenzwert dieser Folge eindeutig bestimmt.

Beweis: Wir nehmen an, daß die Folge (a_{n}) zwei Grenzwerte a und a′ mit a ≠ a′ besitzt. Es sei

ϵ = \frac{1}{2}|a − a′|.

Auf Grund unserer Annahme gilt: ϵ > 0. Da a und a′ Grenzwerte der Folge (a_{n}) sind, existiert zu diesem ϵ ein N ∈ ℕ so, daß gilt:

∀n ≥ N: |a_{n} − a| < ϵ ∧ |a_{n} − a′| < ϵ.

Daraus folgt:

\begin{aligned}|a − a′| & = |a − a_{n} + a_{n} − a′| \\ & ≤ |a − a_{n}| + |a′ − a_{n}| < 2ϵ = |a − a′|. \end{aligned}

Dies ist ein Widerspruch. Daher muß unsere Annahme falsch sein, d.h., der Grenzwert der Folge (a_{n}) ist eindeutig bestimmt.

□

Definition 4.5. Eine nicht konvergente Folge (a_{n}) heißt divergent.

Die Verneinung der Definition für die Konvergenz einer Folge ergibt:

∀a ∈ ℝ ∃ϵ > 0 ∀N ∈ ℕ ∃n > N: |a_{n} − a| ≥ ϵ.

Anders ausgedrückt bedeutet dies: Für jedes a ∈ ℝ existiert eine ϵ-Umgebung U_{ϵ}(a) = (a − ϵ, a + ϵ) so, daß außerhalb von U_{ϵ}(a), d.h., in der Menge ℝ − (a − ϵ, a + ϵ), unendlich viele Folgenglieder a_{n} liegen. Dies bedeutet, daß

{n ∈ ℕ | a_{n} ∉ (a − ϵ, a + ϵ)}.

unendlich ist.

Beispiele:

1) Es sei a_{n} = (−1)^{n}, n ∈ ℕ.

Behauptung: Die Folge a_{n} ist divergent.

Beweis: Wir nehmen an, die Folge (a_{n}) sei konvergent und der Grenzwert sei a. Zu ϵ = 1/2 existiert dann ein N ∈ ℕ so, daß gilt

|a_{n} − a| < \frac{1}{2} für alle n ≥ ℕ.

Daraus folgt

\begin{aligned}2 & = |a_{n+1} − a_{n}| = |a_{n+1} − a + a − a_{n}| \\ & ≤ |a_{n+1} − a| + |a_{n} − a| < 1 \end{aligned}

für alle n ≥ N. Dies ist ein offensichtlicher Widerspruch. Deshalb ist unsere Annahme falsch, d.h. die Folge (a_{n}) ist divergent.

2) Es sei a_{n} = n, n ∈ N. Diese Folge ist divergent, da für jedes

a ∈ ℝ, fast alle a_{n} außerhalb jeder ϵ-Umgebung von a liegen. Wie die Beispiele zeigen, gibt es zwei Formen der Divergenz. Eine Folge (a_{n}) heißt bestimmt divergent gegen ∞ bzw. gegen −∞, wenn gilt:

∀K ∈ ℝ ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N: a_{n} > K

bzw.

∀K ∈ ℝ ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N: a_{n} < −K.

Für diesen Sachverhalt verwenden wir folgende Bezeichnung:

lim_{n→∞} a_{n} = ∞ bzw. lim_{n→∞} a_{n} = −∞.

Man bezeichnet ∞ und −∞ auch als uneigentliche Grenzwerte. Eine divergente Folge, die nicht bestimmt divergent ist, nennt man unbestimmt divergent. Die Folge aus Beispiel 1 ist unbestimmt divergent, und die aus Beispiel 2 ist bestimmt divergent mit dem Grenzwert ∞.

Definition 4.6. Eine Folge (a_{n}) heißt beschränkt, wenn die Menge {a_{n} | n ∈ ℕ} beschränkt ist, d.h., es existiert ein C ∈ ℝ_{+} so, daß gilt: |a_{n}| ≤ C für alle n ∈ ℕ.

Da für eine konvergente Folge (a_{n}) fast alle a_{n} in der ϵ-Umgebung U_{ϵ}(a) des Grenzwertes a liegen, ist klar, daß eine konvergente Folge beschränkt ist, d.h., es gilt der folgende Satz:

Satz 4.7. Es sei (a_{n}) eine konvergente Folge. Dann ist die Folge (a_{n}) beschränkt.

Beweis: Es sei a = lim_{n→∞} a_{n}. Dann existiert ein N ∈ ℕ: |a_{n} − a| ≤ 1 für alle n ≥ N.

⇒ |a_{n}| = |a_{n} − a + a| ≤ |a_{n} − a| + |a| ≤ 1 + |a|

für alle n ≥ N. Es sei

C = max{|a_{1}|, |a_{2}|, …, |a_{N−1}|, 1 + |a|}.

Dann gilt:

∀n ∈ ℕ: |a_{n}| ≤ C,

d.h. (a_{n}) ist beschränkt.

□

Die Umkehrung gilt nicht. Beispiel: Für n ∈ ℕ sei a_{n} = (−1)^{n}. Dann ist (a_{n}) beschränkt, aber nicht konvergent wie wir oben gezeigt haben.

4.3 Rechenregeln für Grenzwerte

Für das Rechnen mit Grenzwerten gelten eine Reihe von Rechenregeln, die die Berechnung von Grenzwerten vereinfachen.

Satz 4.8. Seien (a_{n}) und (b_{n}) konvergente Folgen und es sei a = lim_{n→∞} a_{n}, b = lim_{n→∞} b_{n}. Dann gilt:

1) ∀λ ∈ ℝ: lim_{n→∞} λa_{n} = λa.

2) lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = a + b

3) lim_{n→∞}(a_{n} · b_{n}) = a · b

4) Es sei b ≠ 0. Dann existiert ein N ∈ ℕ so, daß gilt: b_{n} ≠ 0 für alle n ≥ N und

lim_{\begin{matrix}n→∞ \\ n≥N \end{matrix}} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b}.

Beweis:

1) Für λ = 0 ist die behauptete Gleichung offensichtlich richtig. Deshalb können wir annehmen, daß λ ≠ 0. Es sei ϵ > 0. Da die Folge (a_{n}) konvergent ist, existiert zu diesem ϵ ein N ∈ ℕ so, daß gilt:

|a_{n} − a| < \frac{ϵ}{|λ|} für alle n ≥ N.

Für n ≥ N gilt daher

|λa_{n} − λa| = |λ||a_{n} − a| < ϵ.

Dies bedeutet, daß die Folge (λa_{n}) konvergent ist und

lim_{n→∞} λa_{n} = λa.

2) Es sei ϵ > 0 gegeben. Da (a_{n}) und (b_{n}) konvergente Folgen mit Grenzwert a bzw. b sind, existieren N, N′ ∈ ℕ:

\begin{matrix}∀n ≥ N: |a_{n} − a| < \frac{ϵ}{2} \\ ∀n ≥ N′: |b_{n} − b| < \frac{ϵ}{2}. \end{matrix}

Es sei N_{1} = max{N, N′}. Dann gilt

∀n ≥ N_{1} : |a_{n} − a| < \frac{ϵ}{2} ∧ |b_{n} − b| < \frac{ϵ}{2}.

⇒ |a_{n} + b_{n} − (a + b)| = |a_{n} − a + b_{n} − b| ≤ |a_{n} − a| + |b_{n} − b| < ϵ

für alle n ≥ N_{1}. Wir haben damit gezeigt, daß für jedes ϵ > 0 ein N_{1} ∈ ℕ existiert so, daß gilt

∀n ≥ N_{1} : |a_{n} + b_{n} − (a + b)| < ϵ,

d.h., (4.1) gilt für die Folge (a_{n} + b_{n}) und den Grenzwert a + b.

3) Wir unterscheiden zwei Fälle.

\underline{Fall 1:} b = 0. Da (a_{n}) konvergent ist, folgt aus Satz 4.7, daß ein C ∈ ℝ_{+} existiert so, daß gilt:

∀n ∈ ℕ: |a_{n}| ≤ C.  (4.3)

Es sei ϵ > 0 gegeben. Da nach Voraussetzung lim_{n→∞} b_{n} = 0 gilt, existiert zu ϵ ein N ∈ ℕ:

∀n ≥ N: |b_{n}| < \frac{ϵ}{C} .

Hieraus und aus (4.1) folgt, daß für alle n ≥ N gilt:

|a_{n}b_{n}| ≤ |a_{n}||b_{n}| < C · \frac{ϵ}{C} = ϵ ⇒ lim_{n→∞}(a_{n}b_{n}) = 0.

\underline{Fall 2.} b ≠ 0. Es sei C > 0 so, daß (4.3) gilt, und es sei ϵ > 0 gegeben. Da (a_{n}) und (b_{n}) gegen a bzw. b konvergieren, existiert zu ϵ ein N ∈ ℕ:

\begin{matrix}∀n ≥ N: |a_{n} − a| < \frac{ϵ}{2|b|}; \\ ∀n ≥ N: |b_{n} − b| < \frac{ϵ}{2C} . \end{matrix}

Hieraus folgt, daß für alle n ≥ N gilt:

\begin{matrix}|a_{n}b_{n} − ab| = |a_{n}b_{n} − a_{n}b + a_{n}b − ab| = |a_{n}(b_{n} − b) + b(a_{n} − a)| \\ ≤ |a_{n}||b_{n} − b| + |b||a_{n} − a| < C · \frac{ϵ}{2C} + |b|\frac{ϵ}{2|b|} = ϵ. \end{matrix}

Damit ist gezeigt, daß die Folge (a_{n} · b_{n}) konvergiert und den Grenzwert a · b hat.

4) Es sei b ≠ 0. Da (b_{n}) konvergent ist, existiert ein n_{0} ∈ ℕ:

∀n ≥ n_{0} : |b_{n} − b| < \frac{|b|}{2}.

Daraus folgt, daß für alle n ≥ n_{0} gilt:

|b_{n}| = |b − b + b_{n}| ≥ |b| − |b_{n} − b| > \frac{|b|}{2}.  (4.4)

Insbesondere: ∀n ≥ n_{0} : b_{n} ≠ 0.

Es sei ϵ > 0 gegeben. Da (b_{n}) konvergiert, existiert zu diesem ϵ einN ∈ ℕ:

∀n ≥ N: |b_{n} − b| < \frac{|b|^{2}}{2} · ϵ.  (4.5)

Aus (4.4) und (4.5) folgt:

|\frac{1}{b_{n}} − \frac{1}{b}| = |\frac{b − b_{n}}{bb_{n}} | = \frac{|b − b_{n}|}{|b||b_{n}|} < \frac{2}{|b|^{2}} · \frac{|b|^{2}}{2} · ϵ = ϵ

für alle n ≥ n_{0}. Hieraus folgt lim_{n→∞} b_{n}^{−1} = b^{−1}. Aus 3) erhalten wir

lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b}.

□

Entsprechende Rechenregeln gelten für uneigentliche Grenzwerte.

Satz 4.9. Es seien (a_{n}) und (b_{n}) bestimmt divergente Folgen mit dem uneigentlichen Grenzwert ∞. Dann gilt:

a) Für alle λ ∈ ℝ − {0} gilt:

\begin{matrix}λ > 0 ⇒ lim_{n→∞} λa_{n} = ∞, \\ λ < 0 ⇒ lim_{n→∞} λa_{n} = −∞. \end{matrix}

b) Es existiert n_{0} ∈ ℕ so, daß a_{n} ≠ 0 für alle n ≥ n_{0} und es gilt

lim_{\begin{matrix}n→∞ \\ n≥n_{0} \end{matrix}} a_{n}^{−1} = 0.

c) lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = ∞.

d) lim_{n→∞} a_{n} · b_{n} = ∞.

Die entsprechenden Aussagen gelten für den uneigentlichen Grenzwert −∞. Der Beweis ist dem Leser als Übung überlassen. Beispiel:

Es seien

P (x) = ∑_{j=0}^{k} a_{j}x^{j}, Q(x) = ∑_{i=0}^{l} b_{i}x^{i}

reelle Polynome vom Grad k bzw. l, d.h., a_{k} ≠ 0 und b_{l} ≠ 0. Behauptung:

lim_{n→∞} \frac{P (n)}{Q(n)} = \begin{cases}∞, & k > l, \frac{a_{k}}{b_{l}} > 0; \\ −∞ & k > l, \frac{a_{k}}{b_{l}} < 0; \\ a_{k}/b_{l}, & k = l; \\ 0, & k < l. \end{cases}

Der Beweis erfolgt durch Anwendung obiger Rechenregeln und wurde in den Übungen besprochen. Die beiden folgenden Prinzipien sind ebenfalls sehr nützlich für die Berechnung von Grenzwerten.

Satz 4.10. Es seien (a_{n}) und (b_{n}) konvergente Folgen und es gelte: 1) lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞} b_{n} = b.

2) ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N: a_{n} ≤ b_{n}. Dann gilt: a ≤ b.

Beweis: Es sei ϵ > 0 gegeben. Auf Grund der Voraussetzung 1) existiert ein N_{1} ∈ ℕ:

∀n ≥ N_{1} : |a_{n} − a| < ϵ ∧ |b_{n} − b| < ϵ.  (4.6)

Es sei N_{2} = max{N, N_{1}}. Dann folgt aus 2) und (4.6), daß für alle n ≥ N_{2} gilt:

a − ϵ < a_{n} ≤ b_{n} < b + ϵ

⇒

∀ϵ > 0: b − a > −2ϵ.

⇒

b − a ≥ sup{−2ϵ | ϵ > 0} = 0.
□

Satz 4.11. (Einschachtelungsprinzip) Es seien (a_{n}), (b_{n}) und (c_{n}) Folgen, für die folgendes gilt:

1) Für fast alle n ∈ ℕ:

a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n}

2) (a_{n}) und (c_{n}) sind konvergent und es sei

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} c_{n} = a.

Dann ist auch (b_{n}) konvergent und es gilt

lim_{n→∞} b_{n} = a.

Beweis: Es sei ϵ > 0 gegeben. Aus den Voraussetzungen folgt, daß ein N ∈ ℕ existiert so, daß gilt:

∀n ≥ N: |a_{n} − a| < ϵ ∧ |c_{n} − a| < ϵ ∧ a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n}.

⇒

∀n ≥ N: a − ϵ < a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n} < a + ϵ

⇒

∀n ≥ N: |b_{n} − a| < ϵ.

Damit haben wir gezeigt, daß für die Folge (b_{n}) die Aussage (4.1) gilt, d.h., (b_{n}) ist konvergent und

lim_{n→∞} b_{n} = a.

□

Beispiel: Für alle n ∈ ℕ sei

a_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n}}, b_{n} = ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + j}} und c_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + 1}}.

Dann gilt für alle n ∈ ℕ:

a_{n} < b_{n} < c_{n}.

Weiter gilt:

a_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} .

Als erstes bestimmen wir den Grenzwert der Folge (\sqrt{1 + \frac{1}{n}}) . Dazu verwenden wir die 3. binomische Formel. Es gilt:

0 < 2 (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} − 1) < (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1) (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} − 1) = \frac{1}{n}.

Da \frac{1}{n} eine Nullfolge ist, folgt daraus

lim_{n→∞} \sqrt{1 + \frac{1}{n}} = 1.

Aus Satz 4.8, 4), ergibt sich

lim_{n→∞} a_{n} = 1.

Ebenso zeigt man

c_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}} ⟶_{n→∞} 1.

Anwendung des Satzes 4.11 ergibt

lim_{n→∞} b_{n} = 1.

□

4.4 Monotone Folgen Für eine gegebene Folge (a_{n}) entstehen zwei Fragen: 1) Ist die Folge konvergent? 2) Wenn (a_{n}) konvergiert, was ist der Limes der Folge a_{n}? Mittels der Definition 4.2 für die Konvergenz lassen sich diese beiden Fragen nur im Zusammenhang beantworten. Man kann lediglich prüfen, ob eine vorgegebene Zahl a ∈ ℝ Limes der Folge (a_{n}) ist oder nicht. Dies ist kein effektives Verfahren, da man den Limes ”erraten” muß. Wir beschäftigen uns deshalb im folgenden mit einigen Konvergenzkriterien, die uns gestatten, eine Folge auf Konvergenz zu prüfen. Ein solches Kriterium lernen wir in diesem Abschnitt kennen. Es bezieht sich auf monotone Folgen.

Definition 4.12. Eine Folge (a_{n}) heißt a) monoton wachsend, wenn gilt:

∀n ∈ ℕ: a_{n} ≤ a_{n+1},

b) monoton fallend, wenn gilt:

∀n ∈ ℕ: a_{n+1} ≤ a_{n}.

Beispiele:

1) Es sei a_{n} = \frac{1}{n}, n ∈ ℕ. Die Folge (a_{n}) ist monoton fallend.

2) Es sei a_{n} = 1 − \frac{1}{n}, n ∈ ℕ. Die Folge (a_{n}) ist monoton wachsend.

Satz 4.13. Jede beschränkte, monotone Folge (a_{n}) ist konvergent und es gilt:

a) (a_{n}) monoton wachsend ⇒ lim_{n→∞} a_{n} = sup{a_{n} | n ∈ ℕ}

b) (a_{n}) monoton fallend ⇒ lim_{n→∞} a_{n} = inf{a_{n} | n ∈ ℕ}.

Beweis: Es sei A = {a_{n} | n ∈ ℕ}. Da (a_{n}) eine beschränkte Menge reeller Zahlen ist, existieren

a = sup A und b = inf A.

a) (a_{n}) sei monoton wachsend.

Es sei ϵ > 0 gegeben. Da a die kleinste obere Schranke von A ist, existiert ein N ∈ ℕ:

a − ϵ < a_{N}.

Da (a_{n}) monoton wachsend ist, folgt

∀n ≥ N: a − ϵ < a_{N} ≤ a_{n} ≤ a < a + ϵ ⇒ ∀n ≥ N: |a − a_{n}| < ϵ.

Da ϵ > N beliebig gewählt war, haben wir gezeigt, daß für die Folge (a_{n}) und a = sup A die Aussage (4.1) gilt. Damit ist (a_{n}) konvergent und

lim_{n→∞} a_{n} = a = sup A.

b) (a_{n}) sei monoton fallend. Es sei ϵ > 0. Da b die größte untere Schranke von A ist, existiert N ∈ ℕ:

a_{N} < b + ϵ.

Da (a_{n}) monoton fallend ist, ergibt sich daraus:

∀n ≥ N: b − ϵ < b ≤ a_{n} ≤ a_{N} < b + ϵ ⇒ ∀n ≥ N: |a_{n} − b| < ϵ.

Wie im Falle a) erhalten wir daraus die Behauptung, d.h., es gilt

lim_{n→∞} a_{n} = b = inf A.

□

Beispiele:

1) Die Zahl e = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} = 2, 718281828459045 … Lemma. Für alle n ∈ ℕ und alle x ≥ −n, x ≠ 0, gilt:

(1 + \frac{x}{n})^{n} < (1 + \frac{x}{n + 1})^{n+1}

Beweis: Zum Beweis benutzen wir, daß das geometrische Mittel von endlich vielen positiven reellen Zahlen stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel ist, d.h.,

∀x_{1}, …, x_{m} ∈ ℝ_{+} : \sqrt[m]{x_{1} ⋯ x_{m}} ≤ \frac{x_{1} + ⋯ + x_{m}}{m}  (4.7)

und ”=” gilt genau dann, wenn x_{1} = ⋯ = x_{m}.

Aus dieser Ungleichung erhalten wir

\sqrt[n+1]{(1 + \frac{x}{n})^{n} · 1} < \frac{n(1 + \frac{x}{n}) + 1}{n + 1} = 1 + \frac{x}{n + 1}

Wegen der Monotonie der Potenzfunktion ergibt sich daraus die behauptete Ungleichung.

□

Für n ∈ ℕ sei

a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} und b_{n} = (1 − \frac{1}{n})^{n} .

Aus obigem Lemma folgt, daß (a_{n}) und (b_{n}) monoton wachsende Folgen sind. Es sei

c_{n} = (b_{n+1})^{−1}.

Da (b_{n}) monoton wachsend ist, ist (c_{n}) monoton fallend. Weiter ist c_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n+1} und

a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} < (1 + \frac{1}{n})^{n+1} = c_{n}  (4.8)

für alle n ∈ ℕ. Daraus folgt:

∀n ∈ ℕ: a_{n} < c_{n} ≤ c_{1} und a_{1} ≤ a_{n} < c_{n}.

Damit sind (a_{n}) und (c_{n}) beschränkte, monotone Folgen. Aus Satz 4.13 folgt, daß die Grenzwerte

e = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} und e′ = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n+1}

existieren. Aus (4.8) und Satz 4.10 folgt

e ≤ e′.

Da e′ = inf{c_{n} | n ∈ ℕ} und e = sup{a_{n} | n ∈ ℕ} ist, gilt:

∀n ∈ ℕ: a_{n} < e < c_{n}.

Außerdem ist

c_{n} = a_{n} (1 + \frac{1}{n}) .

Da (1+1/n) → 1 für n → ∞, folgt aus den Rechenregeln für Produkte von Grenzwerten (Satz 4.8, 3)),

e′ = lim_{n→∞} c_{n} = lim_{n→∞} a_{n} = e.

Da c_{n} = (b_{n+1})^{−1}, folgt aus Satz 4.8, 4):

e^{−1} = lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n})^{n} .

2) Rekursive Berechnung von Quadratwurzeln Gegeben seien a > 0 und x_{0} > 0. Für n ∈ ℕ_{0} sei

x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}} )  (4.9)

Satz 4.14. Für alle x_{0} > 0 gilt

lim_{n→∞} x_{n} = \sqrt{a}.

Beweis: 1) Mittels vollständiger Induktion zeigt man:

∀n ∈ ℕ: x_{n} > 0.

Deshalb kann (4.9) angewendet werden, um die Folge (x_{n}) zu definieren.

2) Es gilt:

x_{n}^{2} − a = \frac{1}{4} (x_{n−1} + \frac{a}{x_{n−1}} )^{2} − a

= \frac{1}{4} (x_{n−1}^{2} + 2a + \frac{a^{2}}{x_{n−1}^{2}} ) − a

= \frac{1}{4} (x_{n−1}^{2} − 2a + \frac{a^{2}}{x_{n−1}^{2}} )

= \frac{1}{4} (x_{n−1} − \frac{a}{x_{n−1}} )^{2} ≥ 0.

⇒ ∀n ∈ ℕ: x_{n} ≥ \sqrt{a}. Weiter gilt für alle n ∈ ℕ:

x_{n} − x_{n+1} = x_{n} − \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}} ) = \frac{1}{2x_{n}} (x_{n}^{2} − a) ≥ 0.

Damit haben wir gezeigt, daß (x_{n}) monoton fallend und beschränkt ist. Aus Satz 4.13 folgt, daß der Limes

x = lim_{n→∞} x_{n}

existiert. Aus den Rechenregeln für Grenzwerte (Satz 4.8) ergibt sich

x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}} ) ⟶_{n→∞} \frac{1}{2} (x + \frac{a}{x}) .

Auf Grund der Eindeutigkeit des Grenzwertes (Satz 4.4) folgt

x = \frac{1}{2} (x + \frac{a}{x})

⇒ x^{2} = a.

□

Fehlerabschätzung: Es sei f_{n} = x_{n} − \sqrt{a}. Dann gilt

f_{n+1} = x_{n+1} − \sqrt{a} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}} ) − \sqrt{a}

= \frac{1}{2x_{n}} (x_{n}^{2} − 2\sqrt{a}x_{n} + a)

= \frac{1}{2x_{n}} (x_{n} − \sqrt{a})^{2} = \frac{1}{2x_{n}} f_{n}.

Da für alle n ∈ ℕ: x_{n} ≥ \sqrt{a}, folgt daraus

|f_{n+1}| ≤ \frac{1}{2\sqrt{a}}f_{n}^{2}

⇒

\begin{aligned}|f_{n+1}| & ≤ (\frac{1}{2\sqrt{a}})^{1+2+···+2^{n−1}} f_{1}^{2^{n}} \\ & = (\frac{1}{2\sqrt{a}})^{2^{n}−1} f_{1}^{2^{n}}. \end{aligned}

Beispiel: Es sei a = 2 und x_{0} = 1. Dann ist x_{1} = 1, 5 und es gilt 1, 4 < \sqrt{2} < 1, 5. Hieraus folgt

f_{1} = x_{1} − \sqrt{2} < 10^{−1}.

Es sei N = 2^{n} + 2^{n−1} − 2. Dann erhalten wir aus obiger Formel

|x_{n+1} − \sqrt{2}| < \frac{1}{2^{N}} 10^{−2^{n}}.

Also z.B.

\begin{aligned}|x_{3} − \sqrt{2}| & < 2^{−4}10^{−4} \\ |x_{4} − \sqrt{2}| & < 2^{−10}10^{−8}. \end{aligned}

Wir erhalten nach wenigen Iterationsschritten bereits eine sehr gute Approximation von \sqrt{2}.

3) Die Exponentialfunktion Es sei a > 0. Im Kapitel 2 haben wir die Potenz a^{r} für rationale Exponenten r definiert. Wir werden jetzt a^{x} mittels Grenzübergang für alle x ∈ ℝ definieren. Dazu benötigen wir folgendes Lemma.

Lemma. Es sei x ∈ ℝ. Dann existiert eine monoton wachsende Folge (r_{n}) rationaler Zahlen mit

lim_{n→∞} r_{n} = x.

Beweis: Es sei x ∈ ℝ. Da ℚ dicht in ℝ ist, gilt:

∀n ∈ ℕ ∃r_{n} ∈ ℚ: x − \frac{1}{n} < r_{n} < x − \frac{1}{n + 1}.

Die so definierte Folge (r_{n}) ist monoton wachsend und

lim_{n→∞} r_{n} = x.

□

Es sei a > 0 und x ∈ ℝ. Um die Potenz a^{x} zu definieren, wählen wir eine monoton wachsende Folge (r_{n}) rationaler Zahlen so, daß

lim_{n→∞} r_{n} = x.

Eine solche Folge existiert auf Grund des obigen Lemmas. Wir unterscheiden zwei Fälle. Fall 1: a > 1. Dann gilt:

∀n ∈ ℕ: a^{r_{n}} < a^{r_{n+1}} ∧ r_{n} < [x] + 1.

Deshalb ist (a^{r_{n}}) eine monoton wachsende, beschränkte Folge. Nach Satz 4.13 existiert

lim_{n→∞} a^{r_{n}}.

Fall 2: 0 < a < 1. Dann gilt

∀n ∈ ℕ: a^{r_{n+1}} > a^{r_{n}} ∧ a^{r_{n}} > 0.

Die Folge (a^{r_{n}}) ist daher monoton fallend und beschränkt. Wegen Satz 4.13 existiert der Limes

lim_{n→∞} a^{r_{n}}

auch in diesem Falle. Es sei jetzt (s_{n}) eine beliebige Folge rationaler Zahlen so, daß

lim_{n→∞} s_{n} = x.

Dann gilt

|s_{n} − r_{n}| = |s_{n} − x + x − r_{n}| ≤ |s_{n} − x| + |r_{n} − x| ⟶_{n→∞} 0. (4.10)

Da (r_{n}) und (s_{n}) konvergente Folgen sind, sind sie beschränkt (Satz 4.7), d.h., es existiert m ∈ ℕ:

∀n ∈ ℕ: r_{n}, s_{n} ∈ [−m, m].

Aus Satz 2.24, 4), folgt daß ein C ∈ ℝ_{+} existiert.

∀n ∈ ℕ: |a^{r_{n}} − a^{s_{n}}| ≤ C|r_{n} − s_{n}|.

Aus (4.10) erhalten wir

lim_{n→∞} a^{s_{n}} = lim_{n→∞} a^{r_{n}}.

Wir erhalten also für jede Folge (r_{n}) rationaler Zahlen mit lim_{n→∞} r_{n} = x den gleichen Grenzwert. Diesen Grenzwert bezeichnen wir mit a^{x}

a^{x} = lim_{n→∞} a^{r_{n}}.

Satz 4.15. Für die Potzenzfunktion a^{x}, x ∈ ℝ, gilt:

1) ∀a, b ∈ ℝ_{+}, ∀x, y ∈ ℝ:

a^{x}a^{y} = a^{x+y}, (a^{x})^{y} = a^{x+y}, a^{x}b^{x} = (a · b)^{x}.

2) a > 1 ⇒ x ⟼ a^{x} ist streng monoton wachsend a < 1 ⇒ x ⟼ a^{x} ist streng monoton fallend

3) α > 0 ⇒ x ⟼ x^{α} streng monoton wachsend α < 0 ⇒ x ⟼ x^{α} streng monoton fallend

Beweis: Folgt aus Satz 2.24 und den Rechenregeln für Grenzwerte.

4.5. Der Satz von Bolzano - Weierstraß Der Satz von Bolzano - Weierstraß ist grundlegend für die Konvergenztheorie beschränkter Folgen. Ein wichtiger Begriff in diesem Zusammenhang ist der Begriff des Häufungspunktes.

Definition 4.16. Es sei (a_{n}) eine Folge. Eine Zahl h ∈ ℝ heißt Häufungswert (oder Häufungspunkt) von (a_{n}), wenn zu jedem ϵ > 0 unendliche viele n ∈ ℕ existieren so, daß

|h − a_{n}| < ϵ.

Mit anderen Worten: Jede ϵ-Umgebung U_{ϵ}(h) von h enthält unendlich viele Folgenglieder a_{n}. Im Gegensatz zum Grenzwert können bei einem Häufungswert auch noch unendlich viele Folgenglieder außerhalb der ϵ-Umgebung des Häufungswertes h liegen. Beispiele:

1) Es sei (a_{n}) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Dann ist a Häufungswert von (a_{n})

2) Für alle n ∈ ℕ sei

a_{n} = (−1)^{n} + \frac{1}{n}.

Die Folge (a_{n}) ist nicht konvergent. Die Häufungswerte sind 1 und −1.

Definition 4.17. Es sei (a_{n}) eine Folge und (n_{k}) eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen, d.h., es gelte

n_{1} < n_{2} < n_{3} ⋯

Dann heißt die Folge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} Teilfolge von (a_{n}).

Satz 4.18. Es sei (a_{n}) eine Folge. Eine Zahl h ∈ ℝ ist Häufungswert von (a_{n}) genau dann, wenn eine konvergente Teilfolge (a_{n_{k}}) von (a_{n}) existiert so, daß

lim_{k→∞} a_{n_{k}} = h.

Beweis: ⇐) Es sei (a_{n_{k}}) eine konvergente Teilfolge von (a_{n}) und es sei

h = lim_{k→∞} a_{n_{k}}.

Dann gilt

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀k ≥ N|a_{n_{k}} − h| < ϵ.

Da (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} eine Teilfolge von (a_{n}) ist, liegen in jeder ϵ- Umgebung von h unendlich viele Glieder der Folge (a_{n}), d.h., h ist Häufungswert von (a_{n}). ⇒) Es sei h ∈ ℝ Häufungswert von (a_{n}). Wir konstruieren schrittweise eine Teilfolge (a_{n_{k}}).

1. Schritt: Da h ein Häufungswert ist, folgt

∃n_{1} ∈ ℕ: |a_{n_{1}} − h| < \frac{1}{2}

2. Schritt: Es existieren unendlich viele n ∈ ℕ so, daß

|a_{n} − h| < \frac{1}{3}.

⇒

∃n_{2} ∈ ℕ: n_{2} > n_{1} ∧ |a_{n_{2}} − h| < \frac{1}{3}.

Es sei a_{n_{j}} für j ≤ k bereits definiert, wobei n_{1} < n_{2} < ⋯ < n_{k} gilt. k+1. Schritt: Da h Häufungswert ist, existieren unendlich viele n ∈ ℕ mit

|a_{n} − h| < \frac{1}{k + 1}.

⇒

∃n_{k+1} ∈ ℕ: n_{k+1} > n_{k} ∧ |a_{n_{k+1}} − h| < \frac{1}{k + 1}

Dadurch erhalten wir eine rekursiv definierte Folge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ}. Für diese Folge gilt auf Grund der Konstruktion ∀k ∈ ℕ: |a_{n_{k}} − h| < \frac{1}{k}

\begin{matrix}⇒ ∀k ∈ ℕ ∀l ≥ k: |a_{n_{l}} − h| < \frac{1}{k} \\ ⇒ ∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀k ≥ N: |a_{n_{k}} − h| < ϵ. \end{matrix}

Damit ist gezeigt, daß (a_{n_{k}}) konvergiert und

lim_{k→∞} a_{n_{k}} = h.

□

Satz 4.19. (Satz von Bolzano - Weierstraß) Jede beschränkte Folge (a_{n}) hat einen Häufungswert.

Beweis: Es sei (a_{n}) eine beschränkte Folge. Dann existieren A, B ∈ ℝ mit:

a) A < B

b) ∀n ∈ ℕ: A ≤ a_{n} ≤ B. Wir konstruieren eine Intervallschachtelung {I_{k} | k ∈ ℕ}, I_{k} = [A_{k}, B_{k}], so daß gilt:

1) I_{1} = [A, B].

2) ∀k ∈ ℕ: I_{k+1} ⊂ I_{k} und |I_{k}| = 2^{−k+1}(B − A).

3) ∀k ∈ ℕ: Es existieren unendlich viele n ∈ ℕ: a_{n} ∈ I_{k}. Wir definieren I_{k} rekursiv.

1. Schritt: Sei I_{1} = [A, B]. Rekursionsschritt: Wir nehmen an, daß die Intervalle I_{l}, l ≤ k, bereits konstruiert sind so, daß 1) - 3) gelten. Es sei

m_{k} = A_{k} + \frac{1}{2}(B_{k} − A_{k}).

Dann ist m_{k} der Mittelpunkt von I_{k}. Nach Voraussetzung liegen in I_{k} unendlich viele Glieder der Folge (a_{n}). Deshalb liegen in wenigstens einem der Intervalle [A_{k}, m_{k}] und [m_{k}, B_{k}] unendlich viele Folgenglieder a_{n}. Sei

I_{k+1} = \begin{cases}[A_{k}, m_{k}], & falls \{n ∈ ℕ | a_{n} ∈ [A_{k}, m_{k}]\} unendlich \\ [m_{k}, B_{k}], & sonst. \end{cases}

Dann ist {I_{k} | k ∈ ℕ} eine Intervallschachtelung und es gelten 1) - 3). Es sei

{h} = ⋂_{k∈ℕ}I_{k}.

Dabei haben wir das Intervallschachtelungsprinzip für ℝ benutzt, das die Existenz von h garantiert. Für dieses h gilt: h ∈ I_{k} für alle k ∈ ℕ. Es sei ϵ > 0 gegeben. Dann existiert k ∈ ℕ so, daß

(B − A)2^{−k+1} < ϵ.

Aus Eigenschaft 3) der Intervallschachtelung folgt: Es existieren unendlich viele n ∈ ℕ mit a_{n} ∈ I_{k}. Hieraus folgt, daß für unendlich viele n ∈ ℕ:

|h − a_{n}| ≤ |I_{k}| = 2^{−k+1}(B − A) < ϵ.

⇒ h ist Häufungswert von (a_{n}).

□

Eine äquivalente Fassung des Satzes von Bolzano - Weierstraß ist folgendes Korollar.

Korollar 4.20. Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis: Es sei (a_{n}) eine beschränkte Folge. Aus Satz 4.19 folgt die Existenz eines Häufungswertes h der Folge (a_{n}), und aus Satz 4.18 erhalten wir die Existenz einer Teilfolge (a_{n_{k}}) von (a_{n}), die gegen h konvergiert.

□

Satz 4.21. Es sei (a_{n}) eine beschränkte Folge. Dann gilt:

(a_{n}) ist konvergent ⇔ (a_{n}) hat genau einen Häufungswert

Beweis: ⇒) Es sei (a_{n}) eine konvergente Folge und a = lim_{n→∞} a_{n}. Dann ist a ein Häufungswert von (a_{n}). Es sei a′ ein beliebiger Häufungswert von (a_{n}). Annahme: a′ ≠ a. Es sei ϵ = |a − a′|. Dann ist ϵ > 0. Zu diesem ϵ existiert N ∈ ℕ so, daß

∀n ≥ N: |a_{n} − a| < \frac{ϵ}{2}.

Da a′ ein Häufungswert von (a_{n}) ist, existiert ein m ≥ N mit

|a_{m} − a′| < \frac{ϵ}{2}.

⇒

\begin{aligned}ϵ & = |a − a′| = |a′ − a_{m} + a_{m} − a| \\ & ≤ |a′ − a_{m}| + |a_{m} − a| < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ. \end{aligned}

Dies ist ein Widerspruch und daher ist unsere Annahme falsch, d.h. a = a′. ⇐) Es sei (a_{n}) eine beschränkte Folge und a sei der einzige Häufungswert von (a_{n}). Annahme: (a_{n}) ist nicht konvergent. Dann konvergiert insbesondere (a_{n}) nicht gegen a. Die Verneinung von (4.1) ergibt

∃ϵ > 0 ∀N ∈ ℕ ∃n ≥ N: |a_{n} − a| ≥ ϵ.

Daraus folgt, daß eine Teilfolge (a_{n_{k}}) von (a_{n}) existiert so, daß

|a_{n_{k}} − a| ≥ ϵ für alle k ∈ ℕ.

Da (a_{n}) beschränkt ist, ist auch (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} eine beschränkte Folge. Aus Satz 4.19 folgt, daß (a_{n_{k}}) einen Häufungswert a′ besitzt. Da a′ Häufungswert von (a_{n_{k}}) ist, existiert m ∈ ℕ:

|a_{n_{m}} − a′| < \frac{ϵ}{2}.

⇒

\begin{aligned}|a − a′| & = |a − a_{n_{m}} + a_{n_{m}} − a′| \\ & ≥ |a − a_{n_{m}}| − |a′ − a_{n_{m}}| ≥ ϵ − \frac{ϵ}{2} = \frac{ϵ}{2}. \end{aligned}

⇒ a ≠ a′. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß (a_{n}) genau einen Häufungswert hat. Deshalb ist unsere Annahme falsch und (a_{n}) ist konvergent.

□

Satz 4.22. Es sei (a_{n}) eine beschränkte Folge. Dann hat (a_{n}) einen größten Häufungswert h^{∗} und einen kleinsten Häufungswert h_{∗}.

Beweis: Es sei M = {h ∈ ℝ | h ist Häufungswert von (a_{n})} Dann gilt:

1) M ist beschränkt. Nach Voraussetzung existieren A, B ∈ ℝ, A < B, so, daß

∀n ∈ ℕ: A ≤ a_{n} ≤ B.

⇒ ∀h ∈ M: A ≤ h ≤ B.

2) M ≠ ∅.

Dies folgt aus Satz 4.19. Da M eine nichtleere, beschränkte Teilmenge von ℝ ist, existiert auf Grund der Vollständigkeit von ℝ die Zahl

h^{∗} = sup M.

Behauptung: h^{∗} ∈ M, d.h., h^{∗} ist Häufungswert von M. Beweis: Es sei ϵ > 0 gegeben. Dann existiert h ∈ M:

h^{∗} − ϵ/2 < h ≤ h^{∗}.

Da h ein Häufungswert von (a_{n}) ist, folgt aus Satz 4.18, daß eine Teilfolge (a_{n_{k}}) von (a_{n}) existiert mit

lim_{k→∞} a_{n_{k}} = h.

⇒

∃N ∈ ℕ ∀k ≥ N: |h − a_{n_{k}}| < \frac{ϵ}{2}

⇒

∀k ≥ N: h^{∗} − ϵ < h − \frac{ϵ}{2} < a_{n_{k}} < h + \frac{ϵ}{2} < h^{∗} + ϵ.

Anders formuliert bedeutet dies

∀k ≥ N: |h^{∗} − a_{n_{k}}| < ϵ.

Damit haben wir gezeigt, daß in jeder ϵ- Umgebung von h^{∗} unendlich viele Folgenglieder a_{n} liegen, d.h., h^{∗} ist Häufungswert von (a_{n}). Auf Grund der Definition von M bedeutet dies h^{∗} ∈ M. Da h^{∗} = sup M, ist h^{∗} der größte Häufungswert von (a_{n}). Die Existenz von h_{∗} zeigt man ebenso.

□

Bezeichnung:

h^{∗} = lim sup a_{n}, h_{∗} = lim inf a_{n}.

Korollar 4.23. Es sei (a_{n}) eine beschränkte Folge. Dann gilt

(a_{n}) ist konvergent ⇔ lim sup a_{n} = lim inf a_{n}

Beweis: Aus Satz 4.21 folgt:

(a_{n}) ist konvergent ⇔ (a_{n}) hat genau einen Häufungswert
⇔ lim sup a_{n} = lim inf a_{n}.
□

Beispiele:

1) Es sei a_{n} = (−1)^{n} + \frac{1}{n}, n ∈ ℕ. Dann gilt

lim sup a_{n} = 1, lim inf a_{n} = −1.

2) ℚ ∩ [0, 1] ist eine abzählbare Menge. Es sei

ℚ ∩ [0, 1] = {a_{1}, a_{2}, … }.

Dann ist

[0, 1] = {r | r ist Häufungswert von (a_{n})} ⇒ lim sup a_{n} = 1, lim inf a_{n} = 0.

4.6. Cauchy - Folgen Wir lernen in diesem Abschnitt ein weiteres wichtiges Konvergenzkriterium für Folgen kennen.

Satz 4.24. (Cauchysches Konvergenzkriterium) Sei (a_{n}) eine Folge. Dann gilt:

(a_{n}) ist konvergent ⇔ ∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n, m ≥ N: |a_{n} − a_{m}| < ϵ.

Beweis: ⇒) Es sei (a_{n}) eine konvergente Folge und

a = lim_{n→∞} a_{n}.

Gegeben sei ϵ > 0. Dann existiert ein N ∈ ℕ:

∀k ≥ N: |a_{k} − a| < \frac{ϵ}{2}.

Für alle n, m ≥ N gilt dann

\begin{aligned}|a_{n} − a_{m}| & = |a_{n} − a + a − a_{m}| \\ & ≤ |a_{n} − a| + |a_{m} − a| < ϵ. \end{aligned}

⇐) Es sei (a_{n}) eine Folge, für die das Cauchy-Kriterium gilt, d.h.,

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n, m ≥ N: |a_{n} − a_{m}| < ϵ.  (4.11)

1) Behauptung: (a_{n}) ist beschränkt. Beweis: Nach Voraussetzung existiert ein N ∈ ℕ:

∀n, m ≥ N: |a_{n} − a_{m}| < 1.

Es sei n ≥ N. Dann folgt daraus

|a_{n}| = |a_{N} + a_{n} − a_{N}| ≤ |a_{N}| + |a_{n} − a_{N}| < |a_{N}| + 1.

Es sei

C = max{|a_{1}, |a_{2}|, …, |a_{n−1}|, |a_{N}| + 1}.

Dann gilt

∀n ≥ N: |a_{n}| ≤ C.

Da (a_{n}) eine beschränkte Folge ist, folgt aus Korollar 4.20, daß (a_{n}) eine konvergente Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} besitzt. Es sei

a = lim_{k→∞} a_{n_{k}}.

Wir zeigen jetzt, daß a Grenzwert der gesamten Folge (a_{n}) ist. Sei ϵ > 0 gegeben. Dann existiert k ∈ ℕ so, daß

|a_{n_{k}} − a| < \frac{ϵ}{2}

und aus (4.11) folgt, daß N_{1} ∈ ℕ existiert, so daß

∀n, m ≥ N_{1} : |a_{n} − a_{m}| < \frac{ϵ}{2}.

Es sei n ≥ N_{1}. Dann erhalten wir aus diesen beiden Ungleichungen

|a_{n} − a| ≤ |a_{n} − a_{n_{k}}| + |a_{n_{k}} − a| < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ.

Wir haben damit gezeigt:

∀n ≥ N_{1} : |a_{n} − a| < ϵ.

Da ϵ > 0 beliebig war, folgt hieraus, daß (a_{n}) konvergiert und es gilt

a = lim_{n→∞} a_{n}.

□

Definition 4.25. Eine Folge (a_{n}) heißt Cauchyfolge, wenn gilt:

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n, m ≥ N: |a_{n} − a_{m}| < ϵ.

Beispiel: Für jedes n ∈ ℕ sei b_{n} eine Zahl in {0, 1, 2, …, 9} und es sei b_{0} ∈ ℤ. Sei

a_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{b_{k}}{10^{k}} .

Dann gilt:

1) ∀n ∈ ℕ: a_{n} ∈ ℚ.

2) Es sei n > m. Dann ist

\begin{matrix}|a_{n} − a_{m}| & = ∑_{k=m+1}^{n} \frac{b_{k}}{10^{k}} ≤ ∑_{k=m+1}^{n} 10^{−k+1} = 10^{−m} ∑_{k=0}^{n−m−1} 10^{−k} \\ 10^{−m} \frac{1 − 10^{−(n−m)}}{1 − 10^{−1}} ≤ 2 · 10^{−m}. \end{matrix}

⇒ (a_{n}) ist eine Cauchyfolge. Es sei r = lim_{n→∞} a_{n}. Dann ist r ∈ ℝ. Umgekehrt gibt es natürlich zu jeder reellen Zahl r eine Folge (r_{n}) rationaler Zahlen so, daß r = lim_{n→∞} r_{n}. Auf Grund von Satz 4.24 ist (r_{n}) eine Cauchyfolge.

Es sei

C(ℚ) = {(r_{n}) | ∀n ∈ ℕ: r_{n} ∈ ℚ ∧ (r_{n}) ist Cauchyfolge }.

Das ist der Raum der Cauchyfolgen rationaler Zahlen. Es seien (a_{n}), (b_{n}) ∈ C(ℚ) und λ ∈ ℚ. Wie man mittels der Definition 4.25 sofort nachprüft, sind (a_{n} +b_{n}) und (λa_{n}) ebenfalls Cauchyfolgen rationaler Zahlen, d.h., (a_{n} + b_{n}), (λa_{n}) ∈ C(ℚ). Damit können wir C(ℚ) mit der Struktur eines ℚ- Vektorraumes versehen, indem die Addition von zwei Elementen und die Multiplikation mit einer rationalen Zahl λ definieren durch

\begin{aligned}(a_{n}) + (b_{n}) & = (a_{n} + b_{n}) \\ λ(a_{n}) & = (λa_{n}). \end{aligned}

Die Zuordnung (r_{n}) ⟼ lim_{n→∞} r_{n} induziert eine surjektive lineare Abbildung

c: C(ℚ) → ℝ

von ℚ - Vektorräumen. Für den Kern gilt

Ker(c) = {(r_{n}) | lim_{n→∞} r_{n} = 0},

d.h., der Kern besteht aus allen Nullfolgen rationaler Zahlen. Wir erhalten damit einen Isomorphismus von ℚ - Vektorräumen

C(ℚ)/Ker (c) ⟶^{∼} ℝ.

Diese Verfahren kann man umgekehrt benutzen, um die reellen Zahlen mittels Cauchyfolgen rationaler Zahlen zu konstruieren. Dazu führen wir eine Äquivalenzrelation

(a_{n}) ∼ (b_{n})

zwischen Cauchyfolgen ein.

Definition. Seien (a_{n}) und (b_{n}) Cauchyfolgen. Dann nennen wir (a_{n}) und (b_{n}) äquivalent, in Zeichen (a_{n}) ∼ (b_{n}), genau dann, wenn (a_{n}−b_{n}) eine Nullfolge ist.

Es sei

ℝ̃ = C(ℚ)/ ∼ .

In ℝ̃ kann man die Addition und die Multiplikation von zwei Äquivlalenzklassen [(a_{n})] und [(b_{n})] definieren durch

\begin{aligned}[(a_{n})] + [(b_{n})] & = [(a_{n} + b_{n})] \\ [(a_{n})] · [(b_{n})] & = [(a_{n} · b_{n})]. \end{aligned}

Mit Hilfe der Rechenreglen für Grenzwerte prüft man sofort nach, daß die rechten Seiten unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen sind. Entsprechend kann man in ℝ̃ eine Ordunungsrelation < einführen. Man kann dann zeigen, daß ℝ̃ ein archimedisch angeordneter Körper ist. Schießlich beweist man, daß ℝ̃ auch vollständig ist. Damit erfüllt ℝ̃ alle Axiome von ℝ, d.h., wir haben ein Modell für ℝ konstruiert. Damit ist ℝ ≅ ℝ̃. Die Vervollständigung von ℚ mittels Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen ist eine sehr wichtige Konstruktion der Analysis. Sie wird in vielen anderen Fällen angewendet. So kann man z.B. den Raum der stetigen Funktionen auf einem Intervall (a, b) vervollständigen und erhält den Hilbertraum L^{2}((a, b)). Hinsichtlich der Vollständigkeit von ℝ gilt folgender wichtiger Satz.

Satz. Die folgenden Aussagen sind äquivalent.

a) Zu jeder Intervallschachtelung (I_{k}) in ℝ existiert genau ein r ∈ ℝ so, daß r ∈ I_{k} für alle k ∈ ℕ.

b) Jede nichtleere, beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Suprenum.

c) Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat eine konvergente Teilfolge.

d) Jede Cauchyfolge in ℝ hat einen Grenzwert in ℝ.

Beweis: Wir wissen bereits aus Kapitel 2, daß a) und b) äquivalent sind. Weiter haben wir bei den Beweisen von Satz 4.19, Korollar 4.20 und Satz 4.24 folgendes gezeigt:

a) ⇒ c) ⇒ d). Es genügt zu zeigen, daß d) ⇒ a) gilt. Dazu sei {I_{k} | k ∈ ℕ}, I_{k} = [a_{k}, b_{k}], eine Intervallschachtelung. Es sei ϵ > 0 gegeben. Dann existiert N ∈ ℕ so, daß

b_{N} − a_{N} < ϵ.

Es sei n > N. Dann ist I_{n} ⊂ I_{N}. Daraus folgt:

∀m, n > N: a_{m}, a_{n} ∈ [a_{N}, b_{N}].

Für alle m, n > N gilt daher

|a_{m} − a_{n}| < b_{N} − a_{N} < ϵ.

Damit haben wir folgendes gezeigt:

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀m, n > N: |a_{m} − a_{n}| < ϵ,

d.h., (a_{n}) ist eine Cauchyfolge. Es sei

s = lim_{n→∞} a_{n}.

Da (a_{n}) monoton wächst, gilt

∀n ∈ ℕ: a_{n} ≤ s.

Da für alle n, k ∈ ℕ: a_{n} ≤ b_{k}, folgt

∀n ∈ ℕ: s ≤ b_{n}.

Hieraus folgt

s ∈ ⋂_{n∈ℕ}I_{n}.

Da ein solches s eindeutig bestimmt ist, gilt

{s} = ⋂_{n∈ℕ}I_{n}.

□

4.7. Folgen komplexer Zahlen Definition 4.27. Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Abbildung

f: ℕ → ℂ.

Es sei z_{n} = f(n). Dann schreibt man die durch f definierte Folge in der Form

(z_{n}), (z_{n})_{n∈ℕ}, oder z_{1}, z_{2}, z_{3}, …

Definition 4.28. Es sei z_{n} eine Folge in ℂ. Die Folge (z_{n}) heißt konvergent, wenn ein z ∈ ℂ existiert so, daß gilt

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N: |z_{n} − z| < ϵ.

Dann heißt z Grenzwert oder Limes der Folge (z_{n}).

Bezeichnung: z = lim_{n→∞} z_{n}.

Satz 4.29. Es sei (z_{n}) eine Folge in ℂ, und für alle n ∈ ℕ sei

x_{n} = Re(z_{n}), y_{n} = Im(z_{n}).

Dann gilt:

(z_{n}) ist konvergent ⇔ (x_{n}) und (y_{n}) konvergieren in ℝ.

Beweis: ⇒) Es sei (z_{n}) konvergent und z = lim_{n→∞} z_{n}. Weiter sei

x = Re(z), y = Im(z).

Sei ϵ > 0 gegeben. Zu ϵ existiert ein N ∈ ℕ mit

∀n ≥ N: |z_{n} − z| < ϵ.

Daraus folgt

∀n ≥ N: \sqrt{(x − x_{n})^{2} + (y − y_{n})^{2}} < ϵ

Da

|x − x_{n}|, |y − y_{n}| ≤ \sqrt{(x − x_{n})^{2} + (y − y_{n})^{2}},

erhalten wir

∀n ≥ N: |x − x_{n}| < ϵ ∧ |y − y_{n}| < ϵ.

Daraus folgt, daß (x_{n}) und (y_{n}) konvergente Folgen sind mit

x = lim_{n→∞} x_{n}, y = lim_{n→∞} y_{n}.

⇐) Es seien (x_{n}) und (y_{n}) konvergent und es sei

x = lim_{n→∞} x_{n}, y = lim_{n→∞} y_{n}.

Dann existiert zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ:

∀n ≥ N: |x − x_{n}| < \frac{ϵ}{\sqrt{2}} ∧ |y − y_{n}| < \frac{ϵ}{\sqrt{2}}.

Es sei z = x + iy. Dann folgt aus diesen Ungleichungen, daß für alle n ≥ N gilt:

|z − z_{n}| = \sqrt{(x − x_{n})^{2} + (y − y_{n})^{2}} < \sqrt{\frac{ϵ^{2}}{2} + \frac{ϵ^{2}}{2}} = ϵ.

Dies bedeutet, daß (z_{n}) konvergiert und es gilt

lim_{n→∞} z_{n} = z.

□

Mit Hilfe von Satz 4.29 können alle Resultate für reelle Folgen, bei denen die Anordnung keine Rolle spielt, auf komplexe Folgen übertragen werden.

Definition 4.30. Es sei (z_{n}) eine Folge in ℂ. Die Folge (z_{n}) heißt beschränkt, wenn ein C ∈ ℝ_{+} existiert so, daß gilt

∀n ∈ ℕ: |z_{n}| ≤ C.

Satz 4.31. Es sei (z_{n}) eine konvergente Folge. Dann ist (z_{n}) beschränkt.

Beweis: Es sei x_{n} = Re(z_{n}) und y_{n} = Im(z_{n}), n ∈ ℕ. Aus Satz 4.29 folgt, daß (x_{n}) und (y_{n}) konvergieren. Aus Satz 4.7 folgt, daß ein C ∈ ℝ_{+} existiert so, daß

∀n ∈ ℕ: |x_{n}|, |y_{n}| ≤ C.

⇒

|z_{n}| = \sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}} ≤ \sqrt{2}C.
□

Satz 4.32. Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis: Es sei (z_{n}) eine beschränkte Folge in ℂ. Für alle n ∈ ℕ sei

x_{n} = Re(z_{n}), y_{n} = Im(z_{n}).

Da für alle n ∈ ℕ gilt

|x_{n}|, |y_{n}| ≤ |z_{n}|,

so sind (x_{n}) und (y_{n}) beschränkte Folgen reeller Zahlen. Aus Korollar 4.20 folgt, daß (x_{n}) eine konvergente Teilfolge (x_{n_{k}}) besitzt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir deshalb annehmen, daß für die Folge (z_{n}) die Folge (Re(z_{n})) bereits konvergiert.

Aus Korollar 4.20 folgt, daß (y_{n}) eine konvergente Teilfolge (y_{n_{k}}) besitzt. Dann sind (x_{n_{k}}) und (y_{n_{k}}) konvergent und aus Satz 4.29 folgt, daß (z_{n_{k}}) konvergiert.

□

Definition 4.33. Eine komplexe Zahl z ∈ ℂ heißt Häufungswert (oder Häufungspunkt) der Folge (z_{n}), wenn für alle ϵ > 0 unendlich viele n ∈ ℕ existieren so, daß

|z_{n} − z| < ϵ.

Satz 4.34. (Satz von Bolzano - Weierstraß) Jede beschränkte Folge in ℂ hat einen Häufungswert.

Beweis: Es sei (z_{n}) eine beschränkte Folge. Aus Satz 4.32 folgt, daß (z_{n}) eine konvergente Teilfolge (z_{n_{k}}) besitzt. Es sei z = lim_{k→∞} z_{n_{k}}. Dann ist z ein Häufungswert von (z_{n_{k}}) und damit auch von (z_{n}).

□

Satz 4.35. (Cauchy - Kriterium) Eine Folge (z_{n}) komplexer Zahlen ist genau dann konvergent, wenn gilt:

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n, m ≥ N: |z_{n} − z_{m}| < ϵ.

Beweis: ⇐) Es sei (z_{n}) konvergent. Für alle n ∈ ℕ sei

x_{n} = Re(z_{n}), y_{n} = Im(z_{n}).

Aus Satz 4.29 folgt, daß (x_{n}) und (y_{n}) konvergieren. Es sei ϵ > 0 gegeben. Auf Grund des Cauchy - Kriteriums für reelle Folgen (Satz 4.24) existiert zu ϵ ein N ∈ ℕ so, daß gilt

∀n, m ≥ N: |x_{n} − x_{m}| < \frac{ϵ}{\sqrt{2}} ∧ |y_{n} − y_{m}| < \frac{ϵ}{\sqrt{2}}.

⇒

∀n, m ≥ N: |z_{n} − z_{m}| = \sqrt{(x_{n} − x_{m})^{2} + (y_{n} − y_{m})^{2}} < ϵ.

⇐) Es sei (z_{n}) eine Cauchyfolge in ℂ, d.h., für (z_{n}) gelte das Cauchykriterium. Es sei ϵ > 0 gegeben. Zu ϵ existiert N ∈ ℕ:

∀n, m ≥ N: |z_{n} − z_{m}| < ϵ.

Für n, m ≥ N erhalten wir

\begin{aligned}|x_{n} − x_{m}| & ≤ |z_{n} − z_{m}| < ϵ \\ |y_{n} − y_{m}| & ≤ |z_{n} − z_{m}| < ϵ. \end{aligned}

Daraus folgt, daß (x_{n}) und (y_{n}) Cauchyfolgen sind. Aus Satz 4.24. folgt, daß (z_{n}) konvergiert.

□

4.8. Uneigentliche Konvergenz

Es sei (a_{n}) eine Folgen in ℝ.

5. Reihen

Gegeben sei eine Folge (a_{n}) in ℂ. Wir ordnen der Folge (a_{n}) eine neue Folge (s_{n}) wie folgt zu:

s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}, n ∈ ℕ.

Definition 5.1. Die Folge (s_{n}) heißt (unendliche) Reihe mit den Gliedern a_{n}. Die s_{n} heißen Partialsummen.

Bezeichnung: Man schreibt für die Reihe

∑_{k=1}^{∞} a_{k} oder a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯

Definition 5.2. Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} heißt konvergent, wenn die Folge (s_{n}) der Partialsummen konvergiert. Andernfalls heißt die Reihe divergent.

Sei (s_{n}) konvergent und s = lim_{n→∞} s_{n}. Bezeichnung: s = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

Bemerkung: ∑_{n=1}^{∞} a_{n} hat zwei Bedeutungen.

a) Bezeichnung der Reihe, die durch (a_{n}) definiert wird.

b) Im konvergenten Falle bezeichnet ∑_{n=1}^{∞} a_{n} den Grenzwert

s = lim_{n→∞} s_{n} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} a_{k}.

Beispiele:

1) Die geometrische Reihe Es sei z ∈ ℂ und a_{n} = z^{n}, n ∈ ℕ ∪ {0}. Dann ist

s_{n} = 1 + z + ⋯ z^{n} = \frac{1 − z^{n+1}}{1 − z} .

Es sei |z| < 1. Dann gilt: |z|^{n} → 0. Weiter ist

\frac{1 − z^{n+1}}{1 − z} = \frac{1}{1 − z} − \frac{z^{n+1}}{1 − z}

und aus den Rechenregeln für Grenzwerte folgt

s_{n} ⟶_{n→∞} \frac{1}{1 − z} .

Daher ist ∑_{k=0}^{∞} z^{k} für |z| < 1 konvergent und es gilt

∑_{k=0}^{∞} z^{k} = \frac{1}{1 − z}

2) Die harmonische Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ist divergent, denn für k ∈ ℕ und n ≥ 2^{k} gilt:

\begin{aligned}s_{n} & = ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j} ≥ ∑_{j=1}^{2^{k}} \frac{1}{j} = 1 + ∑_{l=1}^{k} ∑_{j=2^{l−1}+1}^{2^{l}} \frac{1}{j} ≥ \\ & ≥ 1 + ∑_{l=1}^{k} \frac{2^{l−1}}{2^{l}} = 1 + \frac{k}{2} \end{aligned}

Daraus folgt, daß s_{n} → ∞ für n → ∞ und daher ist ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} = ∞.

3) Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n+1)}. Es gilt:

\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}.

Daraus folgt:

s_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = ∑_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}) = 1 − \frac{1}{n + 1}.

Daher ist lim_{n→∞} s_{n} = 1, und somit

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = 1.

4) Es sei a_{n} = (−1)^{n}, n ∈ ℕ. Dann ist

s_{n} = \begin{cases}1, & falls n gerade \\ 0, & falls n ungerade. \end{cases}

Die Folge (s_{n}) ist divergent und daher ist ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} divergent.

Lemma 5.3. Wenn die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergiert, so ist (a_{n}) eine Nullfolge, d.h. a_{n} ⟶_{n→∞} 0.

Beweis: Es sei s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k} und es gelte lim_{n→∞} s_{n} = s. Dann gilt:

a_{n} = s_{n} − s_{n−1} ⟶_{n→∞} s − s = 0.

□

Damit ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe ∑ a_{n}, daß die Glieder a_{n} der Reihe eine Nullfolge bilden.

Bemerkung: a_{n} → 0 ist keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von ∑ a_{n}. In Beispiel 2 haben wir gezeigt, daß ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} divergiert. Die Glieder a_{n} = n^{−1} bilden jedoch eine Nullfolge.

5.1. Konvergenzkriterien für Reihen Da eine Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} durch die Folge (s_{n}) ihrer Partialsummen definiert wird, ergeben sich aus den Konvergenzkriterien für Folgen entsprechende Konvergenzkriterien für Reihen.

a) Monotoniekriterium

Satz 5.4. Es sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine Reihe mit reellen Gliedern a_{n} und es gelte a_{n} ≥ 0 für alle n ∈ ℕ. Dann konvergiert ∑_{n=1}^{∞} a_{n} genau dann, wenn die Folge der Partialsummen (s_{n}) beschränkt ist.

Beweis: Es sei s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}, n ∈ ℕ. Da a_{k} ≥ 0 für alle k ∈ ℕ ist, gilt

s_{n+1} = s_{n} + a_{n+1} ≥ s_{n} für alle n ∈ ℕ.

Daher ist (s_{n}) eine monoton wachsende Folge. Aus dem Satz 4.13 über monotone beschränkte Folgen ergibt sich damit:

(s_{n}) ist beschränkt ⇒ (s_{n}) ist konvergent.

Andererseits ist nach Satz 4.8 jede konvergente Folge beschränkt. Daraus folgt:

(s_{n}) konvergent ⇒ (s_{n}) beschränkt.
□

Beispiel: Für s ∈ ℚ gilt:

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} ist \begin{cases}konvergent, falls s > 1 \\ divergent, falls s ≤ 1. \end{cases}

Beweis: i) Es sei s > 1. Für n ∈ ℕ wählen wir p ∈ ℕ so daß 2^{p} −1 ≥ n. Da k^{−s} > 0 ist, folgt

s_{2^{p}−1} = s_{n} + ∑_{k=n+1}^{2^{p}−1} \frac{1}{k^{s}} ≥ s_{n}.

Weiter ist

\begin{aligned}s_{2^{p}−1} & = ∑_{k=1}^{2^{p−1}} \frac{1}{k^{s}} = ∑_{l=0}^{p−1} ∑_{k=2^{l}}^{2^{l+1}−1} \frac{1}{k^{s}} ≤ ∑_{l=0}^{p−1} \frac{2^{l}}{2^{ls}} = ∑_{l=0}^{p−1} (\frac{1}{2^{s−1}} )^{l} \\ & < ∑_{l=0}^{∞} (\frac{1}{2^{s−1}} )^{l} . \end{aligned}

Da s > 1, ist 2^{s−1} > 1 und daher

\frac{1}{2^{s−1}} < 1.

Deshalb konvergiert die geometrische Reihe

∑_{l=0}^{∞} (\frac{1}{2^{s−1}} )^{l}

und wir erhalten aus den Abschätzungen

s_{n} < \frac{1}{1 − 2^{1−s}} für alle n ∈ ℕ.

Da n^{−s} ≥ 0 für alle n ∈ ℕ, folgt aus Satz 5.4, daß ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} konvergiert.

ii) Es sei s ≤ 1. Dann gilt: n^{s} ≤ n für alle n ∈ ℕ. Hieraus folgt

\frac{1}{n^{s}} ≥ \frac{1}{n}

und wir erhalten die Abschätzung

s_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{s}} ≥ ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} ⟶_{n→∞} ∞,

wobei die letzte Aussage aus Beispiel 2 folgt.

b) Das Leibnizkriterium

Satz 5.5. Es sei (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} eine monoton fallende Folge reeller Zahlen und es gelte a_{n} ⟶_{n→∞} 0. Dann gilt:

1) Die Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}a_{n} ist konvergent,

2) Es sei s = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}a_{n}. Dann ist

|s − s_{n}| ≤ a_{n+1} für alle n ∈ ℕ.

Beweis: Für die Partialsummen s_{n} gilt

s_{n} − s_{n−2} = (−1)^{n}(a_{n} − a_{n−1}).

Da a_{n} ≤ a_{n−1} für alle n ∈ ℕ ist, folgt:

\begin{aligned}s_{2k} & ≤ s_{2k−2} für k ∈ ℕ, \\ s_{2k+1} & ≥ s_{2k−1} für k ∈ ℕ. \end{aligned}

Damit ist (s_{2k+1}) eine monoton wachsende Folge und (s_{2k}) eine monoton fallende Folge.

Lemma. ∀n ∈ ℕ: a_{n} ≥ 0.

Beweis: Wir nehmen an, es existiert k ∈ ℕ so, daß a_{k} < 0. Da (a_{n}) monoton fallend ist, gilt:

a_{n} ≤ a_{k} < 0 für alle n ≥ k.

Auf Grund des Vergleichsprinzips für Grenzwerte (Satz 4.10) folgt daraus

lim_{n→∞} a_{n} ≤ a_{k} < 0.

Dies steht im Widerspruch zur Annahme, daß a_{n} → 0.

□

Aus dem Lemma folgt

s_{2k} − s_{2k−1} = a_{2k} ≥ 0.

Wir können annehmen, daß a_{k} ≠ 0 für alle k ∈ ℕ. Dann ist

s_{2k} > s_{2k−1}.

Für k ∈ ℕ sei

I_{k} = [s_{2k−1}, s_{2k}].

Dann gilt:

i) I_{k+1} ⊆ I_{k} für alle k ∈ ℕ

ii) |I_{k}| = s_{2k} − s_{2k−1} = a_{2k} ⟶_{k→∞} 0.

Daher ist {I_{k} | k ∈ ℕ} eine Intervallschachtelung. Es sei s ∈ ℝ die eindeutig bestimmte Zahl mit

{s} = ⋂_{k∈ℕ}I_{k},

die auf Grund der Vollständigkeit von ℝ existiert. Dann gilt

s_{2k−1} ≤ s ≤ s_{2k}.

Daraus folgt

\begin{aligned}|s_{2k} − s| & ≤ |s_{2k} − s_{2k−1}| = a_{2k} ⟶_{k→∞} 0, \\ |s_{2k−1} − s| & ≤ |s_{2k} − s_{2k−1}| = a_{2k} ⟶_{k→∞} 0. \end{aligned}

Damit ist

s = lim_{n→∞} s_{n},

und der erste Teil der Behauptung ist bewiesen. Wir müssen noch den Fehler s − s_{n} abschätzen. Oben haben wir bereits gezeigt, daß

|s_{2k−1} − s| < a_{2k}

gilt. Weiter ist auf Grund des Lemmas

s_{2k} − s_{2k+1} = a_{2k+1} > 0.

Hieraus folgt

s_{2k+1} ≤ s ≤ s_{2k}

und wir erhalten

|s_{2k} − s| ≤ |s_{2k} − s_{2k+1}| = a_{2k+1}.

Damit ergibt sich

|s − s_{n}| ≤ a_{n+1} für alle n ∈ ℕ.
□

Beispiel: ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n−1} \frac{1}{n} ist konvergent. Später zeigen wir:

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} = ln 2

Das Leibnizkriterium ergibt auch die Konvergenz der Reihe

∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}.

Diese Reihe wurde von Leibniz betrachtet und heißt deshalb auch Leibnizreihe. Dies ist die berühmte Reihe für π/4, d.h. wir werden später zeigen, daß

\frac{π}{4} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} + \frac{1}{9} − …

gilt.

c) Cauchy-Kriterium

Die Anwendung des Cauchy-Kriteriums für Folgen auf die Folge der Partialsummen (s_{n}) ergibt

Satz 5.6. Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ist konvergent genau dann, wenn gilt:

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ: ∀n > m ≥ N: | ∑_{k=m+1}^{n} a_{k}| < ϵ.

Beweis: Sei s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}. Das Cauchy-Kriterium für Folgen besagt dann: Die Folge (s_{n}) ist konvergent genau dann, wenn gilt:

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ: |s_{n} − s_{m}| < ϵ für alle n, m ≥ N.

O.B.d.A. können wir annehmen, daß n > m ist. Dann gilt:

s_{n} − s_{m} = ∑_{k=1}^{n} a_{k} − ∑_{k=1}^{m} a_{k} = ∑_{k=m+1}^{n} a_{k},

und die Anwendung des Cauchy-Kriteriums auf (s_{n}) ergibt die Behauptung des Satzes.

□

Beispiel: ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} .

Sei m > n. Dann ist

s_{m} − s_{n} = ∑_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^{2}} < ∑_{k=n+1}^{m} \frac{1}{(k − 1)k}

= ∑_{k=n+1}^{m} (\frac{1}{k − 1} − \frac{1}{k})

= ∑_{k=n}^{m−1} \frac{1}{k} − ∑_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k} = \frac{1}{n} − \frac{1}{m}.

Sei ϵ > 0. Dann existiert N ∈ ℕ mit N > \frac{1}{ϵ}. Für m > n ≥ N gilt dann n^{−1} < ϵ. Daraus folgt zusammen mit der obigen Abschätzung: Für alle m > n ≥ N gilt:

s_{m} − s_{n} < \frac{1}{n} < ϵ,

und die Anwendung des Cauchy-Kriteriums ergibt die Konvergenz der Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} , von der wir bereits wissen, daß Sie konvergent ist.

d) Majorantenkriterium

Dieses Kriterium ist sehr wichtig, da es die Frage nach der Konvergenz einer Reihe in bestimmten Fällen auf die Konvergenz bereits bekannter Reihen zurückführt.

Satz 5.7. Es seien (a_{n}) und (c_{n}) Folgen in ℂ und es gelte:

1) |a_{n}| ≤ |c_{n}| für n ∈ ℕ,

2) ∑_{n=1}^{∞} |c_{n}| ist konvergent. Dann konvergiert die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} und es gilt:

|∑_{n=1}^{∞} a_{n}| ≤ ∑_{n=1}^{∞} |c_{n}|

Beweis: i) Da ∑_{n=1}^{∞} |c_{n}| konvergent ist, folgt aus Satz 5.6.:

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ: ∑_{k=m+1}^{n} |c_{k}| < ϵ

für alle n > m ≥ N.

Daraus folgt:

| ∑_{k=m+1}^{n} a_{k}| ≤ ∑_{k=m+1}^{n} |a_{k}| ≤ ∑_{k=m+1}^{n} |c_{k}| < ϵ

für alle n > m ≥ N. Aus dem Cauchy Kriterium (Satz 5.6) folgt daher, daß die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergent ist. ii) Wir beweisen zuerst folgenden Hilfssatz.

Lemma. Es sei (a_{n}) eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit Grenzwert a. Dann gilt

lim_{n→∞} |a_{n}| = |a|.

Beweis: Es sei a_{n} = x_{n} + iy_{n} die Aufspaltung von a_{n} in Real- und Imaginärteil x_{n} ∈ ℝ bzw. y_{n} ∈ ℝ. Ebenso sei x = Re(a) und y = Im(a). Nach Satz 4.29 gilt:

a_{n} → a ⇔ (x_{n} → x) ∧ (y_{n} → y).

Aus den Rechenregeln für Grenzwerte erhalten wir:

|a_{n}|^{2} = x_{n}^{2} + y_{n}^{2} → x^{2} + y^{2} = |a|^{2}.

Aus den Eigenschaften der Quadratwurzel folgt damit

|a_{n}| = \sqrt{|a_{n}|^{2}} ⟶ \sqrt{|a|^{2}} = |a|.
□

Die Anwendung des Lemmas ergibt

|∑_{k=1}^{∞} a_{k}| = | lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} a_{k}| = lim_{n→∞} |∑_{k=1}^{n} a_{k}|

≤ lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} |a_{k}| ≤ lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} |c_{k}| = ∑_{k=1}^{∞} |c_{k}|.

Die beiden Ungleichungen sind dabei Konsequenz des Vergleichsprinzips für Grenzwerte (Satz 4.10).

Bezeichnung: ∑_{k=1}^{∞} |c_{k}| heißt Majorante für die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k}.

Beispiele: 1) Es sei a_{n} ∈ ℂ und es gelte |a_{n}| ≤ 1 für alle n ∈ ℕ. Weiter sei z ∈ ℂ und |z| < 1.

Behauptung: Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n}z^{n} ist konvergent.

Beweis: Nach Vorraussetzung gilt

|a_{n}z^{n}| ≤ |z|^{n} für alle n ∈ ℕ.

Da |z| < 1 ist, konvergiert die Reihe ∑_{n=1}^{∞} |z|^{n} (siehe Beispiel 1 der Einleitung). Aus Satz 5.7 erhalten wir damit unmittelbar, daß die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n}z^{n} ebenfalls konvergiert.

2) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} konvergiert für alle s ∈ ℚ mit s ≥ 2, denn für s ≥ 2 gilt:

n^{s} ≥ n^{2} für alle n ∈ ℕ.

(siehe 2.8). Daraus folgt:

\frac{1}{n^{s}} ≤ \frac{1}{n^{2}} für alle n ∈ ℕ.

Wie wir bereits wissen, ist ∑_{n=1}^{∞} n^{−2} konvergent. Aus dem Satz 5.7 folgt daraus, daß auch die Reihe ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} konvergiert.

Wir benötigen einige Rechenregeln für Reihen. Dies ist Inhalt des folgenden Satzes.

Satz 5.8. Es seien ∑_{n=1}^{∞} a_{n} und ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konvergente Reihen. Dann ist für alle α, β ∈ ℂ die Reihe

∑_{n=1}^{∞}(αa_{n} + βb_{n})

ebenfalls konvergent und es gilt

∑_{n=1}^{∞}(αa_{n} + βb_{n}) = α ∑_{n=1}^{∞} a_{n} + β ∑_{n=1}^{∞} b_{n}.

Beweis: Es sei s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}, s′_{n} = ∑_{k=1}^{n} b_{k} und s′′_{n} = ∑_{k=1}^{n}(αa_{n}+βb_{n}).

Dann ist

s′′_{n} = αs_{n} + βs′_{n}.

Nach Voraussetzung existieren s, s′ ∈ ℂ mit

s_{n} ⟶_{n→∞} s und s′_{n} ⟶_{n→∞} s′.

Aus den Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen erhalten wir

s′′_{n} = αs_{n} + βs′_{n} ⟶_{n→∞} αs + βs′.

Daraus folgt, daß die Reihe ∑_{n=1}^{∞}(αa_{n} + βb_{n}) konvergiert, und es gilt

\begin{aligned}∑_{n=1}^{∞}(αa_{n} + βb_{n}) & = lim_{n→∞} s′′_{n} = \\ αs + βs′ & = α ∑_{n=1}^{∞} a_{n} + β ∑_{n=1}^{∞} b_{n}. \end{aligned}

□

Bemerkung: Aus der Konvergenz von ∑_{n=1}^{∞} a_{n} und ∑_{n=1}^{∞} b_{n} folgt nicht die Konvergenz von ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n}.

Beispiel: Aus dem Leibnizkriterium folgt, daß die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} konvergiert.

Andererseits ist

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}

und wir wissen aus dem Beispiel der Einleitung, daß diese Reihe divergiert.

5.2. Absolute Konvergenz

Definition 5.9. Es sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine Reihe mit komplexen Gliedern a_{n}. Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| konvergiert.

Satz 5.10. Es sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} absolut konvergent. Dann ist die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} auch konvergent.

Beweis: Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| ist eine konvergente Majorante für die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n}. Die Behauptung folgt damit unmittelbar aus Satz 5.7.

Bemerkung: Die Umkehrung dieses Satzes gilt natürlich nicht. Z.B. ist ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} auf Grund des Leibnizkriteriums konvergent, aber ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ist divergent (siehe Beispiel 2) der Einleitung).

Satz 5.11. (Quotientenkriterium) Es sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine Reihe mit komplexen Gliedern a_{n} und es gelte a_{n} ≠ 0 für fast alle n ∈ ℕ. Weiter existiere der Grenzwert

q = lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | .

Dann gilt:

1) Wenn q < 1, so ist ∑_{n=1}^{∞} a_{n} absolut konvergent.

2) Wenn q > 1, so ist ∑_{n=1}^{∞} a_{n} divergent.

Beweis: 1) Es sei q = lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | < 1.

Wir wählen q′ ∈ ℝ so daß q < q′ < 1 gilt. Es sei ϵ = q′ − q. Da q Grenzwert der Folge |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ist, existiert zu diesem ϵ ein N ∈ ℕ so daß gilt:

|q − |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} || < ϵ für n ≥ N,

denn da q Grenzwert der Folge |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ist, liegen in jeder Umgebung von q fast alle Glieder der Folge. Daraus folgt:

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | < q + ϵ = q′ für alle n ≥ N.

Sei n ≥ N. Dann erhalten wir aus dieser Ungleichung

|a_{n}| ≤ q′|a_{n−1}| ≤ ⋯ ≤ |a_{N}|q′^{(n−N)}.

Daraus ergibt sich die folgende Abschätzung: Für alle n ≥ N gilt

\begin{aligned}∑_{k=N}^{n} |a_{k}| & ≤ |a_{N}| ∑_{k=N}^{n} q′^{(k−N)} = |a_{N}| ∑_{k=0}^{n−N} q′^{k} \\ & < |a_{N}| ∑_{k=0}^{∞} q′^{k} = |a_{N}|\frac{1}{1 − q′} . \end{aligned}

Daraus folgt wiederum:

∑_{k=1}^{n} |a_{k}| ≤ ∑_{k=1}^{N} |a_{k}| + |a_{N}|\frac{1}{1 − q′}

für alle n ≥ N. Die Anwendung des Monotoniekriteriums (Satz 5.4) ergibt die Konvergenz der Reihe ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|.

2) Es sei q > 1. Wir wählen ein q′ ∈ ℝ mit q > q′ > 1. Dann folgt wie oben, daß zu q′ ein N ∈ ℕ existiert so daß gilt:

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≥ q′ für alle n ≥ N.

Für n ≥ N erhalten wir daraus

|a_{n}| ≥ q′^{(n−N)}|a_{N}|.

Da q′ > 1, ist q′^{k} ⟶_{k→∞} ∞.

Daraus folgt, daß |a_{n}| ⟶_{n→∞} ∞, d.h. (a_{n}) ist insbesondere keine Null-

folge. Aus Lemma 5.3 folgt damit, daß die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} divergent sein muß.

□

Bemerkung: Wenn q = lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = 1 ist, so kann keine Aussage über die Konvergenz oder Divergenz von ∑_{n=1}^{∞} a_{n} gemacht werden.

Beispiel: ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}, s ∈ ℚ.

Dann ist |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = (\frac{n}{n+1})^{s} .

Weiter gilt:

\frac{n}{n + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} ⟶_{n→∞} 1.

Hieraus folgt:

(\frac{n}{n + 1})^{s} ⟶_{n→∞} 1.

Andererseits gilt aber

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} \begin{cases}konvergent, falls & s > 1, \\ divergent, falls & s ≤ 1. \end{cases}

Wir betrachten jetzt ein Beispiel für die Anwendung des Quotientenkriteriums.

Beispiel: Für s ∈ ℂ ist \binom{s}{n} definiert durch

\binom{s}{n} = \begin{cases}\frac{s(s−1)···(s−n+1)}{n!}, & n > 0; \\ 1, & n = 0; \\ 0, & n < 0. \end{cases}

Für z ∈ ℂ sei

\begin{aligned}B_{s}(z) & = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}z^{n} \\ & = 1 + sz + \frac{s(s − 1)}{2}z^{2} + ⋯ \end{aligned}

Behauptung: Für s ≠ ℕ ∪ {0} gilt: B_{s}(z) konvergiert für |z| < 1 absolut und divergiert für |z| > 1.

Beweis: 1) Es sei s ∈ ℕ_{0} = ℕ ∪ {0}. Dann ist

\binom{s}{n} = 0 für n > s.

⇒ B_{s}(z) = ∑_{n=0}^{s} \binom{s}{n}z^{n} = (1 + z)^{s},

d.h. B_{s}(z) ist ein Polynom.

2) Es sei s ≠ ℕ_{0}. Dann ist \binom{s}{n} ≠ 0 für alle n ∈ ℕ. Nach Definition ist a_{n} = \binom{s}{n}z^{n} das n-te Glied der Reihe. Sei z ≠ 0. Dann gilt:

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = |\binom{s}{n + 1}z^{n+1}/\binom{s}{n}z^{n}|

= |z|\frac{|s(s − 1) ⋯ (s − n)|}{(n + 1)!} \frac{n!}{|s(s − 1) ⋯ (s − n + 1)|}

= |z|\frac{|s − n|}{n + 1} = |z|\frac{|1 − \frac{s}{n} |}{1 + \frac{1}{n}} ⟶_{n→∞} |z|.

Die Anwendung des Quotientenkriteriums ergibt B_{s}(z) \begin{cases}absolut konvergent für & |z| < 1; \\ divergent für & |z| > 1. \end{cases}

Die Reihe B_{s}(z) heißt die Binomialreihe. Satz 5.12. (Wurzelkriterium) Es sei (a_{n}) eine Folge in ℂ und

L = lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|}.

Dann gilt:

1) L < 1 ⇒ ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ist absolut konvergent;

2) L > 1 ⇒ ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ist divergent. Beweis: 1) Sei L < 1. Wir wählen ein q ∈ ℝ mit L < q < 1. Sei ϵ = q − L. Nach Definition ist L der größte Häufungspunkt der Folge \sqrt[n]{|a_{n}|}. Daraus folgt:

∃N ∈ ℕ: \sqrt[n]{|a_{n}|} ≤ L + ϵ = q für alle n ≥ N.

\begin{matrix}⇒ ∀n ≥ N: |a_{n}| ≤ q^{n} \\ ⇒ ∑_{k=N}^{∞} |a_{k}| ≤ ∑_{k=N}^{∞} q^{k} ≤ ∑_{k=0}^{∞} q^{k} = \frac{1}{1 − q} . \end{matrix}

Damit haben wir gezeigt, daß die Reihe ∑_{k=N}^{∞} |a_{k}| die konvergente Majorante ∑_{k=N}^{∞} q^{k} hat. Aus Satz 5.7 folgt, daß die Reihe ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| konvergiert, d.h. ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ist absolut konvergent.

2) Es sei L > 1. Da L = lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|}, existieren unendlich viele n ∈ ℕ mit

\sqrt[n]{|a_{n}|} > 1.

⇒ |a_{n}| > 1 für unendlich viele n ∈ ℕ ⇒ (a_{n}) ist keine Nullfolge.

Aus Lemma 5.3 folgt, daß ∑_{n=1}^{∞} a_{n} divergent sein muß.

□

Bemerkung: Es existiere

q = lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | .

Behauptung: Es gilt

lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} ≤ q.

Beweis: Es sei ϵ > 0. Dann existiert zu ϵ ein N ∈ ℕ mit

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q + ϵ: = q′ für alle n ≥ N.

⇒ |a_{n}| ≤ |a_{n−1}|q′ ≤ ⋯ ≤ |a_{N}|q′^{(n−N)}.

Da die n-te Wurzel monoton wachsend ist, folgt daraus

\sqrt[n]{|a_{n}|} ≤ \sqrt[n]{|a_{N}|} q′^{1− \frac{N}{n}} für n ≥ N.

Weiter gilt

\sqrt[n]{|a_{N}|} ⟶_{n→∞} 1 und q′^{(1− \frac{N}{n})} ⟶_{n→∞} q′.

⇒ ∃N′ ∈ ℕ: \sqrt[n]{|a_{n}|} < q′ + ϵ = q + 2ϵ, für alle n ≥ N.

Da ϵ > 0 beliebig gewählt war, folgt daraus

lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} ≤ q.
□

Wenn man also mit Hilfe des Quotientenkriteriums die Konvergenz einer Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} beweisen kann, so kann man dies auch mit Hilfe des Wurzelkriteriums.

Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht.

Beispiel: Es sei

a_{n} = \begin{cases}2^{−n}, & falls n gerade; \\ 3^{−n}, & flals n ungerade. \end{cases}

Dann ist

\sqrt[n]{|a_{n}|} = \begin{cases}\frac{1}{2}, & n gerade; \\ \frac{1}{3}, & n ungerade. \end{cases}

⇒ lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} = \frac{1}{2}.

Aus Satz 5.11 folgt damit, daß die Reihe ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| konvergent ist. Andererseits ist

\begin{aligned}\frac{a_{2k}}{a_{2k−1}} & = \frac{3^{2k−1}}{2^{2k}} = \frac{1}{3} (\frac{3}{2})^{2k} ⟶_{k→∞} ∞ \\ \frac{a_{2k+1}}{a_{2k}} & = \frac{2^{2k}}{3^{2k+1}} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{2k} ⟶_{k→∞} 0. \end{aligned}

Die Folge |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ist also nicht konvergent, und daher ist das Quotientenkriterium nicht anwendbar.

5.3. Umordnung von Reihen

Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ ℂ und

σ: {1, …, n} ⟶ {1, …, n}

sei eine bijektive Abbildung, d.h. σ ist eine Permutation der Zahlen 1, …, n. Dann gilt bekanntlich:

∑_{k=1}^{n} a_{k} = ∑_{k=1}^{n} a_{σ(k)}.

Diese Regel ist für Reihen im allgemeinen falsch.

Definition 5.13. Es sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine Reihe komplexer Zahlen und σ: ℕ → ℕ sei eine bijektive Abbildung. Für n ∈ ℕ sei b_{n} = a_{σ(n)}. Dann heißt die Reihe ∑_{n=1}^{∞} b_{n} eine Umordnung der Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

Im allgemeinen gilt:

∑_{n=1}^{∞} a_{n} ≠ ∑_{n=1}^{∞} a_{σ(n)}.

Beispiel: Wir betrachten die alternierende Reihe

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + ⋯ = s

Für die Folge der Partialsummen gilt s_{1} > s_{3} > s_{5} > ⋯ und s_{2} < s_{4} < s_{6} < · · · . Weiter ist s_{2k} < s < s_{2k+1} für alle k ∈ ℕ (siehe Beweis des Satzes 5.5). Insbesondere gilt also

\frac{1}{2} = s_{2} < s < s_{3} = \frac{5}{6}.

Wir betrachten jetzt die Reihe

1 + \frac{1}{3} − \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} − \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} − \frac{1}{6} + ⋯

Dies ist eine Umordnung der alternierenden Reihe. Die Glieder dieser Reihe kann man wie folgt beschreiben

b_{n} = \begin{cases}\frac{1}{4k−3}, & n = 3k − 2; \\ \frac{1}{4k−1}, & n = 3k − 1; \\ −\frac{1}{2k}, & n = 3k. \end{cases}

a) Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} b_{n} ist konvergent.

Dazu betrachten wir die Patialsummen

\begin{aligned}s′_{3n} & = ∑_{k=1}^{n} (\frac{1}{4k − 3} + \frac{1}{4k − 1} − \frac{1}{2k} ) \\ & = ∑_{k=1}^{n} \frac{8k − 4}{(4k − 3)(4k − 1)2k} \end{aligned}

Da alle Glieder der Reihe positiv sind, ist

s′_{3} < s′_{6} < s′_{9} < ⋯

Weiter ist für k ≥ 2:

\frac{8k − 4}{(4k − 3)(4k − 1)2k} < \frac{8}{32} · \frac{k}{(k − 1)^{3}} < \frac{1}{2} \frac{1}{(k − 1)^{2}} .

Da ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} < ∞ ist, existiert eine Zahl a > 0 so daß

s′_{3n} < a für alle n ∈ ℕ.

Damit ist (s′_{3n}) eine monotone, beschränkte Folge und hat daher einen Grenzwert

s′ = lim_{n→∞} s′_{3n}.

(siehe Satz über monotone, beschränkte Folgen).

Nach Definition der b_{n} gilt

s′_{3n+1} = s′_{3n} + a_{3n+1} = s′_{3n} + \frac{1}{4n − 3}.

⇒ lim_{n→∞} s′_{3n+1} = lim_{n→∞} s′_{3n} = s′.

Entsprechend erhalten wir

\begin{aligned}s′_{3n+2} & = s′_{3n} + b_{3n+1} + b_{3n+2} \\ & = s′_{3n} + \frac{1}{4n − 3} + \frac{1}{4n − 1}. \end{aligned}

Da \frac{1}{4n−3} ⟶_{n→∞} 0 und \frac{1}{4n−1} ⟶_{n→∞} 0 gilt, folgt

lim_{n→∞} s′_{3n+2} = lim_{n→∞} s′_{3n} = s′.

Es gilt also

lim_{n→∞} s′_{n} = s′

d.h. die Reihe ∑_{n=1}^{∞} b_{n} ist konvergent. Weiter ist

∑_{n=1}^{∞} b_{n} > s′_{3} = 1 + \frac{1}{3} − \frac{1}{2} = \frac{5}{6}.

Da andererseits ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} < \frac{5}{6}, folgt

∑_{n=1}^{∞} b_{n} ≠ ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} .

Satz 5.14. (Umordnungssatz) Es sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine absolut konvergente Reihe mit a_{n} ∈ ℂ, und ∑_{n=1}^{∞} b_{n} sei eine Umordnung von ∑_{n=1}^{∞} a_{n}. Dann ist ∑_{n=1}^{∞} b_{n} absolut konvergent und es gilt:

∑_{n=1}^{∞} a_{n} = ∑_{n=1}^{∞} b_{n}

Beweis: Es sei s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k} und t_{n} = ∑_{k=1}^{n} b_{k}. Sei ϵ > 0 gegeben. Da nach Voraussetzung ∑_{k=1}^{∞} |a_{k}| konvergent ist, folgt aus dem Cauchy-Kriterium (Satz 5.6):

∃N ∈ ℕ: ∑_{k=N+1}^{N+p} |a_{k}| < ϵ für alle p ∈ ℕ.  (5.1)

Es sei σ: ℕ → ℕ die Bijektion so daß

b_{n} = a_{σ(n)}, n ∈ ℕ.

Da σ: ℕ → ℕ bijektiv ist, existiert M ≥ N so, daß

{1, …, N} ⊆ {σ(1), …, σ(M)}.

Für n > M heben sich in der Differenz s_{n} −t_{n} alle Glieder a_{i} mit einem Index i ≤ N heraus, weil sie sowohl in s_{n} als auch in t_{n} vorkommen. Für k ≥ N + 1 sei

ϵ_{k} = \begin{cases}1, & a_{k} kommt in s_{n} vor, aber nicht in t_{n}; \\ 0, & a_{k} kommt in s_{n} und in t_{n} vor; \\ −1, & a_{k} kommt in t_{n} vor und nicht in s_{n}. \end{cases}

Insbesondere ist ϵ_{k} = 0 für fast alle k ∈ ℕ. Dann gilt

s_{n} − t_{n} = ∑_{k=N+1}^{∞} ϵ_{k}a_{k}.

Aus (5.1) folgt

|s_{n} − t_{n}| ≤ ∑_{k=N+1}^{∞} |a_{k}| < ϵ.

Damit gilt

lim_{n→∞}(s_{n} − t_{n}) = 0.  (5.2)

Nach Voraussetzung ist die Folge (s_{n}) konvergent mit

lim_{n→∞} s_{n} = s = ∑_{k=1}^{∞} a_{k}.

Aus (5.2) folgt dann

lim_{n→∞} t_{n} = s.

Damit gilt

∑_{n=1}^{∞} a_{n} = ∑_{n=1}^{∞} b_{n}.

Die absolute Konvergenz von ∑_{n=1}^{∞} b_{n} zeigt man analog.

□

Wie das obige Gegenbeispiel zeigt, ist die absolute Konvergenz eine notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit des Umordnungssatzes. Für nicht absolut konvergente Reihen gilt folgender bemerkenswerter Satz von B. Riemann.

Satz 5.15. (B. Riemann) Es sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine konvergente Reihe reeller Zahlen, die nicht absolut konvergent ist. Dann existiert für jedes a ∈ \overline{ℝ} = ℝ ∪ \{±∞\} eine Bijektion σ: ℕ → ℕ so daß

∑_{n=1}^{∞} a_{σ(n)} = a.

Beweisskizze: Es seien b_{1}, b_{2}, b_{3}, … die positiven Glieder und c_{1}, c_{2}, c_{3}, … die nichtpositiven Glieder der Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n}. Dann gilt:

Lemma. ∑_{j=1}^{∞} b_{j} = ∞, ∑_{j=1}^{∞}(−c_{j}) = ∞

Beweis: Es sei

a_{n}^{+} = max{a_{n}, 0} und a_{n}^{−} = max{−a_{n}, 0}

Dann gilt offensichtlich

∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+} = ∑_{j=1}^{∞} b_{j} und ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−} = − ∑_{j=1}^{∞} c_{j}.

Weiter gilt:

∀n ∈ ℕ: 0 ≤ a_{n}^{+}, a_{n}^{−} ≤ |a_{n}| und a_{n}^{+} + a_{n}^{−} = |a_{n}|.

Wenn wir annehmen, daß sowohl ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+} als auch ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−} konvergiert, so folgt aus den Rechenregeln für Reihen:

∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+} + ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−},

d.h. ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| wäre ebenfalls konvergent. Dies widerspricht der Annahme, daß ∑_{n=1}^{∞} a_{n} nicht absolut konvergiert. Wir nehmen jetzt an, daß eine der Reihen, z.B. ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+} konvergiert. Aus den Rechenregeln folgt dann

∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−} = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+} − ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

Da auf Grund unserer Annahmen beide Reihen auf der rechten Seite konvergieren, fogt daraus, daß ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−} ebenfalls konvergiert. Wir haben damit gezeigt:

∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{±} konvergiert ⇒ ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{∓} konvergiert,

d.h., wenn eine der Reihen ∑ a_{n}^{±} konvergiert, so konvergiert auch die andere. Aus dem ersten Teil des Beweises folgt damit, daß ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{+} = ∞ und ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{−} = ∞ gelten muß.

□

Es sei a ∈ ℝ. Wir definieren dann

\begin{aligned}k_{1} & = min\{k ∈ ℕ | ∑_{j=1}^{k} b_{j} > a\} \\ l_{1} & = min\{l ∈ ℕ | ∑_{j=1}^{k_{1}} b_{j} + ∑_{j=1}^{l} c_{j} < a\}. \end{aligned}

Aus dem Lemma folgt, daß beide Mengen nicht leer sind, und daher existieren die Minima. Dann sei

\begin{aligned}k_{2} & = min\{k ∈ ℕ | ∑_{j=1}^{l_{1}} c_{j} + ∑_{j=1}^{k} b_{j} > a\} \\ l_{2} & = min\{l ∈ ℕ | ∑_{j=1}^{k_{2}} b_{j} + ∑_{j=1}^{l} c_{j} < a\} \end{aligned}

Aus dem Lemma folgt die Existenz dieser Minima. Dieses Verfahren können wir beliebig fortsetzen und definieren rekursiv Folgen natürlicher Zahlen

k_{1} < k_{2} < k_{3} < ⋯, l_{1} < l_{2} < l_{3} < ⋯

Daraus erhalten wir eine Umordnung der Reihe wie folgt:

b_{1}, …, b_{k_{1}}, c_{1}, …, c_{l_{1}}, b_{k_{1}+1}, …, b_{k_{2}}, c_{l_{1}+1}, …, c_{l_{2}}, …,

d.h. eine Bijektion σ: ℕ → ℕ. Nach Definition von (k_{n}) und (l_{n}) gilt für die Partialsummen z.B.:

∑_{j=1}^{k_{n+1}} b_{j} + ∑_{j=1}^{l_{n}} c_{j} > a > ∑_{j=1}^{k_{n+1}−1} b_{j} + ∑_{j=1}^{l_{n}} c_{j}.

Daraus folgt:

|a − (∑_{j=1}^{k_{n+1}} b_{j} + ∑_{j=1}^{l_{n}} c_{j})| < b_{k_{n+1}} ⟶_{n→∞} 0,

wobei die Behauptung b_{k_{n+1}} ⟶_{n→∞} 0 aus Lemma 5.3. folgt, da ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergent ist.

□

5.4. Doppelreihen und Produkte von Reihen

Es sei f: ℕ_{0} × ℕ_{0} → ℂ eine Abbildung, wobei ℕ_{0} = ℕ ∪ {0} ist. Wir setzen

a_{ij} = f(i, j), i, j ∈ ℕ_{0}.

Die Zahlen a_{ij} können wir in einer unendlichen Matrix (a_{ij}) anordnen:

(a_{ij}) = (\begin{matrix}a_{00} & a_{01} & a_{02} & · & · & · \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & · & · & · \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & · & · & · \\ · & · & · \\ · & · & · \\ · & · & · \end{matrix} )

Dieser Matrix kann man auf verschiedene Weise Reihen zuordnen. 1. Wir summieren über die Zeilen:

(a_{ij}) ⟼ (∑_{j=0}^{∞} a_{ij})_{i∈ℕ_{0}} ⟼ ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij})

2. Wir summieren über die Spalten

(a_{ij}) ⟼ (∑_{i=0}^{∞} a_{ij})_{j∈ℕ_{0}} ⟼ ∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=0}^{∞} a_{ij})

Die Reihen

∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) und ∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=0}^{∞} a_{ij})

nennt man Doppelreihen. Beispiel: Es sei a_{ij} = \frac{1}{(1+i)^{2}(1+j)^{2}} , i, j ∈ ℕ_{0} Dann erhält man

∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(1 + i)^{2}(1 + j)^{2}} ) = (∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{i^{2}} ) (∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{j^{2}} ) .

Definition 5.16. Die Doppelreihe ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) heißt konvergent, wenn gilt:

1) ∀i ∈ ℕ_{0} : ∑_{j=0}^{∞} a_{ij} ist konvergent

2) Es sei A_{i} = ∑_{j=0}^{∞} a_{ij}, i ∈ ℕ_{0}. Dann ist die Reihe

∑_{i=0}^{∞} A_{i}

konvergent.

Bezeichnung:

A = ∑_{i=0}^{∞} A_{i} = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) .

Genauso definiert man die Konvergenz für die Reihe ∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=0}^{∞} a_{ij}) .

Es gibt aber noch weitere Möglichkeiten, der Matrix (a_{ij}) eine Reihe zuzuordnen. Wie wir wissen, ist ℕ_{0} × ℕ_{0} abzählbar, d.h., es existiert eine Bijektion

σ: ℕ_{0} → ℕ_{0} × ℕ_{0}.

Für jede solche Bijektion σ können wir die Reihe

∑_{k=0}^{∞} a_{σ(k)}

bilden. Es gibt dabei eine ausgezeichnete Bijektion, die Standardabzählung σ_{0} :

ZEICHNUNG

Die Doppelreihen ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) , ∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=0}^{∞} a_{ij}) und die Reihen ∑_{k=0}^{∞} a_{σ(k)} werden im allgemeinen verschiedene Werte haben. Es gilt jedoch der folgende Satz:

Satz 5.17. (Doppelreihensatz) Es sei ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|) < ∞. Dann sind die Doppelreihen und die Reihen ∑_{k=0}^{∞} a_{σ(k)} für alle Bijektionen σ konvergent, und es gilt

∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) = ∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=0}^{∞} a_{ij}) = ∑_{k=0}^{∞} a_{σ(k)} = ∑_{k=0}^{∞} ( ∑_{i+j=k} a_{ij}) .

Beweis:

1) Es sei A = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|) . Nach Voraussetzung ist A < ∞.

Da alle Glieder der Reihe positiv sind, gilt:

∀n, m ∈ ℕ_{0} : ∑_{i=0}^{n} (∑_{j=0}^{m} |a_{ij}|) ≤ A.

Da wir bei endlichen Summen die Reihenfolge vertauschen können, ergibt sich

∀n, m ∈ ℕ_{0} : ∑_{j=0}^{m} (∑_{i=0}^{n} |a_{ij}|) ≤ A.

Für festes m ∈ ℕ ist

(∑_{j=0}^{m} (∑_{i=0}^{n} |a_{ij}|))_{n∈ℕ_{0}}

eine monoton wachsende, beschränkte Folge, und daher hat diese Folge einen Grenzwert ∑_{j=0}^{m} (∑_{i=0}^{∞} |a_{ij}|) ≤ A. Ebenso folgt

∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=0}^{∞} |a_{ij}|) ≤ A.

2) Die Anwendung des Cauchy-Kriteriums (Satz 5.6) ergibt, daß für alle ϵ > 0 ein N ∈ ℕ existiert mit

i) ∀n ≥ ℕ: ∑_{i=n}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|) < ϵ

ii) ∀n ≥ N: ∑_{j=n}^{∞} (∑_{i=0}^{∞} |a_{ij}|) < ϵ

Aus ii) folgt:

∀m ≥ n, ∀l ∈ ℕ_{0} : ∑_{j=n}^{m} (∑_{i=0}^{l} |a_{ij}|) < ϵ Wie in 1) folgt daraus iii) ∀n ≥ N: ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=n}^{∞} |a_{ij}|) < ϵ.

3) Nach Voraussetzung ist ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|) < ∞. Daraus folgt, daß für jedes i ∈ ℕ_{0} : ∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}| < ∞. Aus Satz 5.10 ergibt sich, daß die Reihe ∑_{j=0}^{∞} a_{ij} konvergiert und es gilt

|∑_{j=0}^{∞} a_{ij}| ≤ ∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|.

Daher konvergiert die Doppelreihe ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) und es gilt:

|∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij})| ≤ ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|) .

Es sei

A_{1} = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) .

Die äußere Summe spalten wir auf in ∑_{i=0}^{N} + ∑_{i=N+1}^{∞} . Dann erhalten wir

\begin{aligned}A_{1} & = ∑_{i=0}^{N} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) + ∑_{i=N+1}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) \\ & = ∑_{i=0}^{N} (∑_{j=0}^{N} a_{ij}) + ∑_{i=0}^{N} ( ∑_{j=N+1}^{∞} a_{ij}) + ∑_{i=N+1}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) . \end{aligned}

Aus i) und iii) erhalten wir damit

\begin{aligned}|A_{1} − ∑_{i,j=0}^{N} a_{ij}| & ≤ ∑_{i=0}^{N} ( ∑_{j=N+1}^{∞} |a_{ij}|) + ∑_{i=N+1}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|) \\ & ≤ ∑_{i=0}^{∞} ( ∑_{j=N+1}^{∞} |a_{ij}|) + ∑_{i=N+1}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|) < 2ϵ. \end{aligned}

Es sei σ: ℕ_{0} → ℕ_{0} × ℕ_{0} eine Bijektion. Dann existiert M ≥ N so daß:

{(i, j) | i, j ∈ ℕ_{0}, 0 ≤ i, j ≤ N} ⊆ {σ(0), …, σ(M)}.  (5.3)

Hieraus folgt auf Grund obiger Ungleichung:

\begin{aligned}|A_{1} − ∑_{k=0}^{M} a_{σ(k)}| & ≤ |A_{1} − ∑_{i,j=0}^{N} a_{ij}| \\ & + |∑_{i,j=0}^{N} a_{ij} − ∑_{k=0}^{M} a_{σ(k)}| < 2ϵ + |∑_{i,j=0}^{N} a_{ij} − ∑_{k=0}^{M} a_{σ(k)}| . \end{aligned}

Wegen (5.3) ist

\begin{aligned}|∑_{i,j=0}^{N} a_{ij} − ∑_{k=0}^{M} a_{σ(k)}| & ≤ ∑_{i=N+1}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|) + ∑_{i=0}^{N} ( ∑_{j=N+1}^{∞} |a_{ij}|) \\ & ≤ ∑_{i=N+1}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{ij}|) + ∑_{i=0}^{∞} ( ∑_{j=N+1}^{∞} |a_{ij}|) , \end{aligned}

und aus i) und iii) folgt, daß die rechte Seite durch 2ϵ abgeschätzt werden kann. Damit haben wir gezeigt:

∀ϵ > 0 ∃M ∈ ℕ: |A_{1} − ∑_{k=0}^{M} a_{σ(k)}| < 4ϵ,

d.h., die Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{σ(k)} ist konvergent und es gilt

∑_{k=0}^{∞} a_{σ(k)} = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) .

Dies gilt für jede Bijektion σ, insbesondere also die Standardbijektion σ_{0}. Daraus folgt

∑_{k=0}^{∞} ( ∑_{i+j=k} a_{ij}) = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) .

Für i, j ∈ ℕ_{0} sei

b_{ij} = a_{ji}.

Dann folgt aus der soeben bewiesenen Gleichung

\begin{aligned}∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=0}^{∞} a_{ij}) & = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} b_{ij}) = ∑_{k=0}^{∞} ( ∑_{i+j=k} b_{ij}) \\ & = ∑_{k=0}^{∞} ( ∑_{i+j=k} a_{ij}) = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij}) . \end{aligned}

□

Beim Beweis dieses Satzes haben wir gezeigt, daß für jede Bijektion σ: ℕ_{0} → ℕ_{0} × ℕ_{0} gilt

∑_{k=0}^{∞} a_{σ(k)} = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{ij});

falls die Doppelreihe absolut konvergent ist. In diesem Falle können wir für die Doppelreihe einfach schreiben

∑_{i,j=0}^{∞} a_{ij} ,

d.h., wie können die Glieder der Reihe in beliebiger Reihenfolge summieren.

Beispiel: (Jakob Bernoulli)

1 + 2q + 3q^{2} + … = ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)q^{n} = \frac{1}{(1 − q)^{2}}

für |q| < 1. Es gilt

(n + 1)q^{n} = ∑_{\begin{matrix}i,j=0 \\ i+j=n \end{matrix}}^{n} q^{i+j}.

\begin{aligned}⇒ ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)q^{n} & = ∑_{n=0}^{∞} ∑_{i+j=n}(q^{i}q^{i}) = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} q^{i}q^{j}) \\ & (∑_{i=0}^{∞} q^{i}) (∑_{j=0}^{∞} q^{i}) = \frac{1}{(1 − q)^{2}} . \end{aligned}

Produkte von Reihen

Für endliche Summen gilt

(a_{0} + a_{1} + ⋯ + a_{m})(b_{0} + b_{1} + b … + b_{n}) = ∑_{i=0}^{m} ∑_{j=0}^{n} a_{i}b_{j}.

Dies kann wie folgt auf unendliche Reihen übertragen werden. Satz 5.18. Es seien ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{m=0}^{∞} b_{m} absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen. Dann ist die Reihe ∑_{i,j=0}^{∞} a_{i}b_{j} absolut konvergent und es gilt

(∑_{i=0}^{∞} a_{i}) (∑_{j=0}^{∞} b_{j}) = ∑_{i,j=0}^{∞} a_{i}b_{j}.

Beweis: Es sei

A = ∑_{i=0}^{∞} |a_{i}| und B = ∑_{j=0}^{∞} |b_{j}|.

Nach Vorraussetzung ist A < ∞ und B < ∞. Weiter gilt

∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} |a_{i}b_{j}|) = ∑_{i=0}^{∞} |a_{i}| (∑_{j=0}^{∞} |b_{j}|) = ∑_{i=0}^{∞} |a_{i}| · B = A · B < ∞.

Aus Satz 5.17 folgt daher, daß gilt:

(∑_{i=0}^{∞} a_{i}) (∑_{j=0}^{∞} b_{j}) = ∑_{i=0}^{∞} a_{i} ∑_{j=0}^{∞} b_{j} = ∑_{i=0}^{∞} (∑_{j=0}^{∞} a_{i}b_{j}) = ∑_{i,j=0}^{∞} a_{i}b_{j}.

□

Satz 5.19. (Cauchy-Produkt) Es seien ∑_{i=0}^{∞} a_{i} und ∑_{j=0}^{∞} b_{j} absolut konvergent. Dann gilt

(∑_{i=0}^{∞} a_{i}) · (∑_{j=0}^{∞}) = ∑_{k=0}^{∞} ( ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j}) .

Beweis: Der Beweis folgt unmittelbar aus den Sätzen 5.17 und 5.18. □

Beispiele: Es sei s ∈ ℂ und z ∈ ℂ. Wir betrachten die Binomialreihe

B_{s}(z) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}z^{n},

deren Konvergenzverhalten wir bereits im Abschnitt 5.2 diskutiert haben. Es gilt

1) Für s = k ∈ ℕ_{0} ist

B_{k}(z) = (1 + z)^{k},

2) Für s ∉ ℕ_{0} gilt:

B_{s}(z) \begin{cases}absolut konvergent, falls & |z| < 1; \\ divergent, falls & |z| > 1. \end{cases}

Satz 5.20. (Additionstheorem) Seien t, s ∈ ℂ, z ∈ ℂ und |z| < 1. Dann gilt:

B_{s}(z) · B_{t}(z) = B_{s+t}(z)

Beweis: Die Anwendung von Satz 5.19 ergibt unmittelbar

(∑_{i=0}^{∞} \binom{s}{i}z^{i}) · (∑_{j=0}^{∞} \binom{t}{j}z^{j}) = ∑_{k=0}^{∞} (∑_{i=0}^{k} \binom{s}{i}\binom{t}{k − i}) z^{k}. (5.4)

Lemma. Für alle s, t ∈ ℂ und k ∈ ℕ_{0} gilt:

∑_{i=0}^{k} \binom{s}{i}\binom{t}{k − i} = \binom{s + t}{k}.

Beweis: 1) Es sei s = n, t = m, n, m ∈ ℕ_{0} Dann ist einerseits

(1 + x)^{n+m} = ∑_{k=0}^{n+m} \binom{n + m}{k}x^{k}.

Andererseits gilt

\begin{aligned}(1 + x)^{n+m} = (1 + x)^{n}(1 + x)^{m} & = (∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^{i}) (∑_{j=0}^{m} \binom{m}{j}x^{j}) \\ & = ∑_{k=0}^{n+m} (∑_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\binom{m}{k − i}) x^{k} \end{aligned}

Die behauptete Gleichung im Lemma folgt durch Koeffizientenvergleich.

2) Es sei t ∈ ℕ. Für s ∈ ℂ definieren wir

P_{t}(s) = ∑_{i=0}^{k} \binom{s}{i}\binom{t}{k − i} und

Q_{t}(s) = \binom{s + t}{k}, k ∈ ℕ.

Dann sind P_{t}(s) und Q_{t}(s) Polynome und für alle m ∈ ℕ_{0} gilt auf Grund von 1):

P_{t}(m) = Q_{t}(m),

Aus dem Identitätssatz für Polynome (ein Polynom ≠ 0 vom Grade n hat genau n Nullstellen) folgt damit P_{t}(s) = Q_{t}(s) für alle s ∈ ℂ.

3) Schließlich fixieren wir s ∈ ℂ und definieren die Polynome P_{s}(t) = ∑_{i=0}^{k} \binom{i}{s}\binom{t}{k−i} und Q_{s}(t) = \binom{s+t}{k}.

Wiederum ist wegen 2):

P_{s}(t) = Q_{s}(t) für alle t ∈ ℕ_{0},

und der Identitätssatz für Polynome impliziert

P_{s}(t) = Q_{s}(t) für alle t ∈ ℂ.
□

Wenn wir das Lemma auf die Gleichung (5.4) anwenden, erhalten wir

B_{s}(z) · B_{t}(z) = B_{s+t}(z).
□

Folgerung 5.21 Für alle s ∈ ℚ und x ∈ (−1, 1) gilt:

B_{s}(x) = (1 + x)^{s}.

Beweis: Für p ∈ ℕ gilt

B_{p}(x) = (1 + x)^{p}.

Sei s ∈ ℚ. Wir nehmen zuerst an, daß s > 0 ist. Dann ist s = p/q, p, q ∈ ℕ. Aus Satz 5.20 erhalten wir

(B_{p/q}(x))^{q} = B_{(p/q)·q}(x) = B_{p}(x).

Aus der Reihe für B_{s}(x) erhält man unmittelbar, daß B_{p/q}(x) > 0 ist. Aus der Definition der q-ten Wurzel erhält man damit

B_{p/q}(x) = \sqrt[q]{B_{p}(x)} = \sqrt[q]{(1 + x)^{p}} = (1 + x)^{p/q}.

Für s < 0 benutzt man

B_{s}(z)B_{−s}(z) = B_{0}(z) = 1,

um diesen Fall auf den Fall s > 0 zurückzuführen.

□

Bemerkung: Später wird gezeigt, daß

B_{s}(x) = (1 + x)^{s}

für alle s ∈ ℝ und x ∈ (−1, 1) gilt.

Anwendung: Als Anwendung der Folgerung 5.21 erhalten wir Reihendarstellungen für die rationalen Potenzen von (1 + x). Z.B. gilt:

\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2}x − \frac{1}{2 · 4}x^{2} + \frac{1 · 3}{2 · 4 · 6}x^{3} − ⋯

\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = 1 − \frac{1}{2}x + \frac{1 · 3}{2 · 4}x^{2} − \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6}x^{3} + ⋯

Dies kann man zur Berechnung dieser reellen Zahlen mit vorgegebener Genauigkeit benutzen.

5.5. Potenzreihen

Definition 5.22. Es sei (a_{n})_{n∈ℕ_{0}} eine Folge in ℂ und z ∈ ℂ. Dann heißt die Reihe

P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}

Potenzreihe in z.

Potenzreihen kann man als Verallgemeinerung von Polynomen ansehen. Wenn a_{n} = 0 ist für alle n ≥ N + 1 und a_{N} ≠ 0, so ist

P (z) = ∑_{i=0}^{N} a_{i}z^{i}

ein Polynom vom Grade N.

Satz 5.23. Es sei z_{0} ≠ 0 und P (z_{0}) sei konvergent. Dann ist P (z) absolut konvergent für alle z ∈ ℂ mit |z| < |z_{0}|.

Beweis: Da nach Voraussetzung die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z_{0}^{n} konvergent ist, folgt aus Lemma 5.3:

a_{n}z_{0}^{n} ⟶_{n→∞} 0.

Daraus folgt

∃ C > 0: |a_{n}z_{0}^{n}| ≤ C für alle n ∈ ℕ.

Es sei q = |\frac{z}{z_{0}} | . Dann gilt

|a_{n}z^{n}| = |a_{n}z_{0}^{n}| |\frac{z}{z_{0}} |^{n} ≤ Cq^{n}.

Für |z| < |z_{0}| ist q < 1. In diesem Falle ist C ∑_{n=0}^{∞} q^{n} eine konvergente Majorante für ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}z^{n}|. Aus Satz 5.7 folgt, daß die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} absolut konvergent ist.

□

Der Satz 5.23 besagt folgendes: Wenn die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} in einem Punkt z_{0} ≠ 0 konvergiert, so konvergiert sie absolut in einem ganzen Kreis vom Radius r < |z_{0}|. Wir können deshalb den größten Kreis betrachten, in dem die Reihe absolut konvergiert. Das führt zu

Definition 5.24. Für die Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} sei

R(P) = R = sup{r ∈ ℝ_{+} | P (r) konvergiert}.

Die Zahl R heißt Konvergenzradius von P (z).

Satz 5.25. Für eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} gilt 1) P (z) ist absolut konvergent für alle z ∈ ℂ mit |z| < R;

2) P (z) divergiert für |z| > R.

Beweis: 1) Es sei |z| < R. Dann existiert r ∈ ℝ mit |z| < r < R und P (r) konvergiert (nach Definition von R). Aus Satz 5.23 folgt, daß P (z) absolut konvergiert.

2) Es sei |z| > R.

Annahme: Wir nehmen an, daß P (z) konvergiert. Wir wählen r ∈ ℝ, so daß |z| > r > R. Da P (z) konvergiert, folgt aus Satz 5.23, daß P (r) absolut konvergiert. Dies steht im Widerspruch zur Definition von R. Daher muß unsere Annahme falsch sein, d.h. P (z) ist divergent.

□

Den Konvergenzradius kann man aus den Koeffizienten der Potenzreihe wie folgt berechnen.

Satz 5.26. Es gilt

1) Es sei L = lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|}. Dann ist R = \frac{1}{L}. Dabei verwenden wir die Konvention: 0 = \frac{1}{∞} und ∞ = \frac{1}{0}.

2) Es existiere q: lim_{n→∞} |\frac{a_{n}+1}{a_{n}} | , q ∈ [0, ∞]. Dann ist R = \frac{1}{q}.

Beweis:

1) Es gilt

lim sup \sqrt[n]{|a_{n}z^{n}|} = lim sup |z|\sqrt[n]{|a_{n}|} = |z| lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} = |z| · L.

Aus dem Wurzelkriterium (Satz 5.12) erhalten wir damit

P (z) = \begin{cases}absolut konvergent, falls & |z| < \frac{1}{L}; \\ divergent, falls & |z| > \frac{1}{L}. \end{cases}

Aus Satz 5.25 folgt: R = \frac{1}{L}.

2) Es existiere q = lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | . Dann erhalten wir aus den Rechenregeln für Grenzwerte:

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}z^{n+1}}{a_{n}z^{n}} | = lim_{n→∞} |z| |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = |z| lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = |z| · q.

Die Anwendung des Quotientenkriteriums (Satz 5.11) ergibt

P (z) \begin{cases}absolut konvergent, falls & |z| < \frac{1}{q}; \\ divergent, falls & |z| > \frac{1}{q}. \end{cases}

Damit erhalten wir aus Satz 5.25:

R = 1/q.

□

Beispiel: Die Exponentialreihe. Für z ∈ ℂ sei

exp(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} .

Behauptung: R = ∞

Beweis: Nach Definition sind die Koeffizienten a_{n} gegeben durch

a_{n} = \frac{1}{n!}, n ∈ ℕ_{0}

Dann ist

|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = \frac{1}{n + 1} ⟶_{n→∞} 0.

Aus Satz 5.26, 2) folgt unmittelbar, daß R = ∞.

Lemma. Für alle z, w ∈ ℂ gilt:

exp(z) · exp(w) = exp(z + w).

Beweis: Aus dem Produktsatz 5.19 erhält man

exp(z) · exp(w) = ∑_{k=0}^{∞} (∑_{i=0}^{k} \frac{z^{i}}{i!} \frac{w^{k−i}}{(k − i)!})

= ∑_{k=0}^{∞} (\frac{1}{k!} ∑_{i=0} \frac{k!}{i!(k − i)!}z^{i}w^{k−i})

= ∑_{k=0}^{∞} \frac{(z + w)^{k}}{k!} = exp(z + w).

□

Es sei e_{1} = exp(1). Durch wiederholte Anwendung des Lemmas erhält man

e_{1}^{n} = exp(n) für alle n ∈ ℕ.

Durch Wiederholung des Beweises von Satz 5.20 ergibt sich daraus

e_{1}^{q} = exp(q) für alle q ∈ ℚ.

Die Zahl

e_{1} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}

kann man mit der Zahl

e = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n}

identifizieren, d.h. es gilt

Lemma. e = e_{1}

Beweis: Es sei ϵ > 0. Wir wählen K > 0 so daß

∑_{k=K+1}^{∞} \frac{1}{k!} < \frac{ϵ}{3}

Dann folgt

\begin{aligned}|(1 + \frac{1}{n})^{n} − ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}| & ≤ ∑_{k=0}^{K} |\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} − \frac{1}{k!}| \\ & + ∑_{k=K+1}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} + ∑_{k=K+1}^{∞} \frac{1}{k!} \end{aligned}

Die letzte Summe ist auf Grund der Wahl von k kleiner als ϵ/3. Die mittlere Summe schätzen wir wie folgt ab:

\begin{aligned}\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} & = \frac{1}{k!} \frac{n(n − 1) ⋯ n − k + 1}{n · n ⋯ n} \\ & = \frac{1}{k!} (1 − \frac{1}{n}) (1 − \frac{2}{n}) ⋯ (1 − \frac{k − 1}{n}) ≤ \frac{1}{k!}. \end{aligned}

Damit ergibt dies die Abschätzung

∑_{k=K+1}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} < ∑_{k=K+1}^{n} \frac{1}{k!} < \frac{ϵ}{3}.

Schließlich gilt

\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{k!} (1 − \frac{1}{n}) (1 − \frac{2}{n}) ⋯ (1 − \frac{k − 1}{n}) ⟶_{n→∞} \frac{1}{k!}.

Deshalb konvergiert die erste Summe für n → ∞ gegen 0, d.h. es existiert N > K so daß

∑_{k=0}^{K} |\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} − \frac{1}{k!}| < \frac{ϵ}{3} für alle n ≥ N.

Daraus folgt

|(1 + \frac{1}{n})^{n} − ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}| < ϵ für n ≥ N.

Damit gilt

e^{q} = exp(q) für alle q ∈ ℚ.
□

Da exp(x) für alle x ∈ ℝ definiert ist, können wir damit e^{x} für alle x ∈ ℝ definieren.

Man kann aber auch e^{x} als Grenzwert in der folgenden Weise definieren. Dazu betrachten wir allgemeiner die Potenzen a^{x}, a > 0. Wir nehmen an, daß a > 1 gilt. Für x ∈ ℝ existiert eine Folge (x_{i}) rationaler Zahlen, die monoton wächst und für die gilt:

lim_{i→∞} x_{i} = x.

Nach Satz 2.24 ist (a^{x_{i}}) eine monoton wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist. Deshalb existiert

a^{x} = lim_{i→∞} a^{x_{i}}.

Es sei (y_{i}) eine beliebige Folge in ℚ mit lim_{i→∞} y_{i} = x. Aus Satz 2.24,

4) folgt:

∃ C > 0: |a^{x_{i}} − a^{y_{i}}| ≤ C|x_{i} − y_{i}|, i ∈ ℕ.

Da |x_{i} − y_{i}| ⟶_{i→∞} 0, folgt daraus, daß

lim_{i→∞} a^{x_{i}} = lim_{i→∞} a^{y_{i}}.

Damit ist a^{x} unabhängig von der gewählten Folge (x_{i}), die gegen x konvergiert.

Satz 5.27. (Cauchy-Produktsatz) Es seien P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} und Q(z) = ∑_{m=0}^{∞} b_{m}z^{m} absolut konvergent im Punkte z ∈ ℂ. Dann gilt

P (z) · Q(z) = ∑_{k=0}^{∞} (∑_{i=0}^{k} a_{i}b_{k−i}) z^{k}

und diese Reihe ist absolut konvergent.

Beweis: Der Beweis folgt unmittelbar aus Satz 5.19.

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6. Stetige Funktionen und Grenzwerte

6.0. Der Funktionsbegriff In vielen Bereichen der Wissenschaft und der Praxis hat man mit Problemen zu tun, bei denen Größen in bestimmter Weise von anderen Größen abhängen. Man spricht dann von Funktionen.

Beispiele: 1) Sei F (r) der Flächeninhalt eines Kreises vom Radius r. Dann gilt bekanntlich

F (r) = πr^{2},

d.h. der Flächeninhalt ist eine Funktion des Radius.

2) Freier Fall

Sei g ≈ 9, 81m/s^{2} die Erdbeschleunigung. Dann gilt für den Weg eines frei fallenden Körpers

s(t) = \frac{g}{2}t^{2}.

3) Boylsches Gesetz für ideales Gas

Es sei p = Druck, V = Volumen und T = Temperatur. Dann gilt

p = \frac{c}{V} , für T = Konstant

4) Barometrische Höhenformel

Es sei p = p(h) der Luftdruck in der Höhe h über dem Meeresspiegel. Dann gilt

p(h) = p_{0}e^{−kh},

wobei p_{0} = Luftdruck auf dem Meeresspiegel.

In der Mathematik löst man sich von der speziellen Bedeutung der physikalischen Größen und untersucht Funktionen im abstrakten Sinne. Der Funktionsbegriff hat sich im Laufe der Zeit entwickelt. Wesentliche Beiträge dazu wurden unter anderm von Leibniz, Newton, Euler, Cauchy, Weierstraß geleistet.

Von Euler stammt die erste zusammenfassende Darstellung einer Funktionenlehre “Introductio in analysin infinitorum“. Dort gibt Euler die folgende Definition einer Funktion:

“Eine Funktion einer veränderlichen Größe ist ein analytischer Ausdruck, der in irgendeiner Weise aus der Veränderlichen und aus Zahlen oder konstanten Größen zusammengesetzt ist.“

Der heutige Funktionenbegriff ist viel allgemeiner gefaßt und gründet sich auf die Mengenlehre. Wir haben im Abschnitt über Mengenlehre ganz allgemein den Begriff der Abbildung f: X → Y von Mengen X, Y definiert. Darauf stützt sich der moderne Funktionenbegriff.

Definition 6.1.

1) Es sei D ⊂ ℝ eine Teilmenge. Eine Abbildung f: D → ℝ heißt (reellwertige) Funktion einer reellen Veränderlichen. D = D(f) heißt der Definitionsbereich von f.

2) Es sei D ⊂ ℂ. Eine Abbildung h: D → ℂ heißt komplexwertige Funktion einer komplexen Veränderlichen. D = D(h) heißt Definitionsbereich von h.

Bezeichnung: f(x), x ∈ D(f), h(z), z ∈ D(h).

Bemerkung: Da wir bisher keine Voraussetzung über die Teilmenge D ⊂ ℝ machen, kann man jede Funktion f: D → ℝ auch als Funktion f: D → ℂ auffassen.

Beispiele: 1) Sei c ∈ ℝ und sei f: ℝ definiert durch

f(x) = c für alle x ∈ ℝ.

Dann ist f eine konstante Funktion.

2) Seien a_{0}, …, a_{n} ∈ ℂ und

h(z) = ∑_{j=0}^{n} a_{j}z^{j}, z ∈ ℂ,

Dann ist h(z) ein Polynom, das als Funktion von z aufgefaßt werden kann. Dies ist eine Funktion im Sinne der Definition von Euler.

3) (Dirichlet) Sei q: ℝ → ℝ definiert durch

q(x) = \begin{cases}0, & x ∈ ℚ \\ 1, & x ∉ ℚ \end{cases}

Dies ist keine Funktion im Eulerschen Sinne.

Definition 6.2.

1) Es sei f: D → ℝ eine Funktion. Die Menge

Γ_{f} = {(x, f(x)) | x ∈ D} ⊂ ℝ × ℝ

heißt Graph der Funktion f.

2) Seien D_{1}, D_{2} ⊂ ℝ und f_{i}: D_{i} → ℝ Funktionen. Dann sind f_{1} + f_{2} und f_{1} · f_{2} die Funktionen auf D_{1} ∩ D_{2}, die definiert sind durch

\begin{aligned}(f_{1} + f_{2})(x) & = f_{1}(x) + f_{2}(x); x ∈ D_{1} ∩ D_{2} \\ (f_{1} · f_{2})(x) & = f_{1}(x) · f_{2}(x), x ∈ D_{1} ∩ D_{2}. \end{aligned}

Falls f_{2}(x) ≠ 0 für alle x ∈ D_{1} ∩ D_{2}, so ist f_{1}/f_{2} definiert durch

\frac{f_{1}}{f_{2}} (x) = \frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)} für alle x ∈ D_{1} ∩ D_{2}.

Definition 6.3. (Komposition) Seien f_{1} : D_{1} → ℝ und f_{2} : D_{2} → ℝ Funktionen und es sei

D = {x ∈ D_{1} | f(x) ∈ D_{2}}.

Dann ist f_{2} ∘ f_{1} : D → ℝ definiert durch

(f_{2} ∘ f_{2})(x) = f_{2}(f_{1}(x)), ∀x ∈ D.

Analoge Definitionen gelten für komplexe Funktionen.

Beispiel: Sei s(x) = \sqrt{x}, x ∈ ℝ_{+}, und q(x) = x^{2}, x ∈ ℝ. Dann ist

(s ∘ q)(x) = |x|, x ∈ ℝ.

6.1. Stetigkeit reeller Funktionen Ein fundamentaler Begriff in der Theorie der Funktionen ist der Begriff der Stetigkeit. Die modernen Definition der Stetigkeit stammt von Bolzano (1817) und Weierstraß (ϵ-δ-Sprache).

Definition 6.4. 1) Eine Funktion f: D → ℝ heißt stetig in x_{0} ∈ D, wenn gilt

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D: |x − x_{0}| < δ ⇒ |f(x) − f(x_{0})| < ϵ. oder äquivalente Formulierung:

∀ϵ > 0 ∃δ > 0: |f(x) − f(x_{0})| < ϵ für alle x ∈ D mit |x − x_{0}| < ϵ.

2) Eine Funktion f: D → ℝ heißt stetig, wenn f in jedem Punkt x ∈ D stetig ist. Für gegebenes ϵ > 0 hängt δ > 0 im allgemeinen vom Punkt x ∈ D ab. Eine Funktion f: D → ℝ, die nicht stetig in x_{0} ∈ D ist, heißt unstetig in x_{0} ∈ D. Durch Verneinung obiger Aussage erhalten wir:

f ist unstetig in x_{0} ⇔
∃ϵ > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ D: |x − x_{0}| < δ ∧ |f(x) − f(x_{0})| ≥ ϵ.

Beispiele: 1) Sei c ∈ ℝ und f(x) = c für alle x ∈ ℝ. Dann ist

f(x) − f(y) = 0, ∀x, y ∈ ℝ.

Damit ist f stetig.

2) Sei a > 1 und f(x) = a^{x}, ∀x ∈ ℝ. Behauptung: a^{x} ist stetig Beweis: Seien x, y ∈ ℝ und y > x. In Kapitel 4 haben wir gezeigt:

0 < \sqrt[n]{a} − 1 < \frac{a − 1}{n} für alle n ∈ ℕ.

Sei ϵ > 0 gegeben. Wir setzen

n = [\frac{(a − 1)a^{x}}{ϵ} ] + 1, ϵ = \frac{1}{n}.

Dann gilt für alle x, y ∈ ℝ mit y > x: Wenn |x − y| < δ, so ist

\begin{aligned}|a^{y} − a^{x}| & = a^{x}(a^{y−x} − 1) < a^{x}(a^{\frac{1}{n}} − 1) \\ & < \frac{a^{x}(a − 1)}{n} < \frac{a^{x}(a − 1)}{a^{x}(a − 1)}ϵ = ϵ. \end{aligned}

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3) Sei

f(x) = \begin{cases}0, & x ∈ ℚ , \\ 1, & x ∈ ℝ\ℚ, \end{cases}

Behauptung: f ist in jedem Punkt x ∈ ℝ unstetig.

Beweis: Sei x_{0} ∈ ℝ und sei ϵ < 1.

a) x_{0} ∈ ℚ. Es gilt: Für alle δ > 0 existiert x ∈ ℝ\ℚ: |x − x_{0}| < δ.

⇒ |f(x) − f(x_{0})| = 1 > ϵ.

b) x_{0} ∈ ℝ\ℚ. Da ℚ dicht ist in ℝ, existiert zu jedem δ > 0 ein x ∈ ℚ: |x − x_{0}| < δ.

⇒ |f(x) − f(x_{0})| = 1 > ϵ.
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Definition 6.5. Eine Funktion f: D → ℝ heißt Lipschitz-stetig, wenn gilt: ∃L > 0 ∀x, y ∈ D:

|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|.

Lemma 6.6. Sei f: D → ℝ Lipschitz - stetig. Dann ist f stetig.

Beweis: Seien x_{0} ∈ D und ϵ > 0 gegeben. Sei δ = \frac{ϵ}{L}. Dann gilt für x ∈ D:

|x − x_{0}| < δ ⇒ |f(x) − f(x_{0})| ≤ L|x − x_{0}| < L · δ = ϵ.
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Beispiel: exp(x) ist auf jedem abgeschlossenen Intervall [a, b], b < ∞, Lipschitz-stetig.

Beweis: 1) Sei c > 0 und |x| ≤ c. Dann gilt:

| exp(x) − 1| ≤ ∑_{n=1}^{∞} \frac{|x|^{n}}{n!} ≤ |x| ∑_{n=1}^{∞} \frac{c^{n−1}}{n!} ≤ exp(c)|x|.

2) Seien x, x_{0} ∈ [a, b], −∞ < a < b < ∞, x > x_{0}. Dann folgt aus 1):

| exp(x) − exp(x_{0})| = exp(x_{0})| exp(x − x_{0}) − 1|
≤ exp(b − a) exp(b)|x − x_{0}|
= exp(2b − a) · |x − x_{0}|.

Damit haben wir gezeigt, daß exp(x) Lipschitz-stetig auf [a, b] ist. Insbesondere ist exp: ℝ → ℝ_{+} stetig.

Rechenregeln

Satz 6.7. Seien f, g: D → ℝ stetig in x_{0} ∈ D, und sei λ ∈ ℝ. Dann sind auch f + g, f · g und λf stetig in x_{0}. Wenn g(x_{0}) ≠ 0 ist, so ist f/g stetig in x_{0}.

Beweis: Sei ϵ > 0 gegeben. Aus der Stetigkeit von f in x_{0} folgt, daß zu ϵ ein δ_{1} > 0 existiert so, daß

∀x ∈ D: |x − x_{0}| < δ_{1} ⇒ |f(x) − f(x_{0})| < \frac{ϵ}{2}.

Aus der Stetigkeit von g in x_{0} folgt: Zu ϵ existiert δ_{2} > 0:

∀x ∈ D: |x − x_{0}| < δ_{2} ⇒ |g(x) − g(x_{0})| < \frac{ϵ}{2}.

Dann gilt für alle x ∈ D mit |x − x_{0}| < δ:

\begin{aligned}|(f + g)(x) − (f + g)(x_{0})| ≤ |f(x) − f(x_{0})| & + |g(x) − g(x_{0})| \\ & < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ. \end{aligned}

Die anderen Fälle können analog behandelt werden. Übung!

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Folgerung 6.8. Jedes Polynom ist stetig.

Satz 6.9. (Kompositionsregel) Seien f_{1} : D_{1} → ℝ und f_{2} : D_{2} → ℝ Funktionen. Es sei x_{0} ∈ D_{1} und f(x_{0}) ∈ D_{2}. Weiter sei f stetig in x_{0} und g stetig in f(x_{0}). Dann ist g ∘ f stetig in x_{0}.

Beweis: Sei ϵ > 0 gegeben. Da g stetig in f(x_{0}) ist, existiert zu ϵ ein δ_{1} > 0:

∀y ∈ D_{2} : |y − f(x_{0})| < δ_{1} ⇒ |g(y) − g(f(x_{0}))| < ϵ.

Da f stetig in x_{0} ∈ D_{1} ist, existiert zu δ_{1} ein δ_{2} > 0:

∀x ∈ D_{1} : |x − x_{0}| < δ_{2} ⇒ |f(x) − f(x_{0})| < δ_{1}.

Damit gilt für alle x ∈ D_{1}:

\begin{aligned}|x − x_{0}| < δ_{2} & ⇒ |f(x) − f(x_{0})| < δ_{1} \\ & ⇒ |g(f(x)) − g(f(x_{0}))| < ϵ. \end{aligned}

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Wir betrachten jetzt zwei andere Möglichkeiten, die Stetigkeit einer Funktion zu definieren.

a) Stetigkeit und Umgebungsbegriff Um die Betrachtung zu vereinfachen, beschränken wir uns auf Funktionen, die auf ganz ℝ definiert sind. Es sei f: ℝ → ℝ eine Funktion und x_{0} ∈ ℝ. Nach Definition gilt

f ist stetig in x_{0} ⇔
∀ϵ > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ ℝ: |x − x_{0}| < δ ⇒ |f(x) − f(x_{0})| < ϵ.

Weiterhin gilt:

\begin{aligned}\{x ∈ ℝ | |x − x_{0}| < δ\} & = (x_{0} − δ, x_{0} + δ) \\ \{y ∈ ℝ | |y − f(x_{0})| < ϵ\} & = (f(x_{0}) − ϵ, f(x_{0}) + ϵ). \end{aligned}

Deshalb können wir die obige Definition der Stetigkeit von f in x_{0} wie folgt umformulieren:

f ist stetig in x_{0} ⇔
∀ϵ > 0 ∃δ > 0: f((x_{0} − δ, x_{0} + δ)) ⊂ (f(x_{0}) − ϵ, f(x_{0}) + ϵ).

Jetzt wollen wir uns von der ϵ-δ-Definition lösen. Dazu führen wir den Umgebungsbegriff ein.

Definition. Es sei x_{0} ∈ ℝ. Eine Teilmenge U ⊂ ℝ heißt Umgebung von x_{0} (in ℝ), wenn ein δ > 0 existiert so, daß (x_{0} − δ, x_{0} + δ) ⊂ U.

Beispiel: Es sei x_{0} ∈ ℝ. Weiter sei a, b ∈ ℝ, a < x_{0} < b. Dann ist U = (a, b) eine Umgebung von x, denn für δ < min(b − x_{0}, x_{0} − a). ist (x_{0} − δ, x_{0} + δ) ⊂ (a, b) = U.

Bezeichnung: Die Menge U_{δ}(x_{0}) = (x_{0} − δ, x_{0} + δ) heißt δ-Umgebung von x_{0}.

Satz 6.11. Es sei f: ℝ → ℝ eine Funktion und x_{0} ∈ ℝ. Dann gilt: f ist stetig in x_{0} ⇔ Für jede Umgebung U von f(x_{0}) existiert eine Umgebung V von x_{0} mit f(V) ⊂ U.

Beweis: ⇒) Es sei U eine Umgebung von f(x_{0}). Dann folgt

∃ϵ > 0: U_{ϵ}(f(x_{0})) ⊂ U

Wegen der Stetigkeit von f in x_{0} existiert δ > 0:

f(U_{δ}(x_{0})) ⊂ U_{ϵ}(f(x_{0})) ⊂ U.

Die Menge V = U_{δ}(x_{0}) ist nach Definition eine Umgebung von x_{0} und es gilt f(V) ⊂ U.

⇐) Es sei ϵ > 0. Wir betrachten die Umgebung U = U_{ϵ}(f(x_{0})). Nach Voraussetzung existiert zu U eine Umgebung V von x_{0} so daß f(V) ⊂ U. Da V Umgebung von x_{0} ist, existiert δ > 0 mit U_{δ}(x_{0}) ⊂ V. Daraus folgt f(U_{δ}(x_{0})) ⊂ U_{δ}(f(x_{0})). Wie wir oben gesehen haben, ist dies äquivalent zur Stetigkeit von f in x_{0}.

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Anwendung: Es seien f: ℝ → ℝ und g: ℝ → ℝ Funktionen, wobei f stetig in x_{0}, und g stetig in f(x_{0}) ist. In Satz 6.9. haben wir gezeigt, daß dann g ∘ f stetig in x_{0} ist. Mit Hilfe des Umgebungsbegriffes kann man den Beweis wie folgt führen: Es sei U eine Umgebung von g(f(x_{0})). Da g stetig in f(x_{0}) ist, existiert eine Umgebung V von f(x_{0}) so, daß g(V) ⊂ U. Da f stetig in x_{0} ist, existiert eine Umgebung W von x_{0} so, daß f(W) ⊂ V. Hieraus folgt (g ∘ f)(W) ⊂ U Aus Satz 6.11 folgt daher, daß g ∘ f stetig in x_{0} ist.

b) Folgenkriterium für die Stetigkeit

Satz 6.12. Sei f: D → ℝ eine Funktion. Dann gilt: f ist stetig in x_{0} ∈ D genau dann, wenn für jede Folge (x_{n}) in D gilt:

x_{n} ⟶_{n→∞} x_{0} ⇒ f(x_{n}) ⟶_{n→∞} f(x_{0}).

Beweis: ⇒) Wir setzen voraus, daß f in x_{0} ∈ D stetig ist. Es sei (x_{n}) eine Folge in D und es gelte lim_{n→∞} x_{n} = x_{0}. Wir möchten jetzt zeigen, daß lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x_{0}) gilt. Dazu wählen wir ϵ > 0. Zu ϵ existiert δ > 0:

|f(x) − f(x_{0})| < ϵ für alle x ∈ D mit |x − x_{0}| < δ.

Da x_{n} ⟶_{n→∞} x_{0} gilt, existiert N ∈ ℕ:

|x_{n} − x_{0}| < δ für alle n ≥ N.

Hieraus folgt

|f(x_{n}) − f(x_{0})| < ϵ für n ≥ N.

Damit haben wir folgendes gezeigt:

∀ϵ > 0 ∃n ∈ ℕ ∀n ≥ N: |f(x_{n}) − f(x_{0})| < ϵ.

Dies bedeutet aber, daß (f(x_{n})) eine konvergente Folge ist und

lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(x_{0}).

⇐) Wir setzen jetzt voraus, daß für alle Folgen (x_{n}) in D gilt:

x_{n} ⟶_{n→∞} x_{0} ⇒ f(x_{n}) ⟶_{n→∞} f(x_{0}).

Annahme: f sei unstetig in x_{0} Dann gilt:

∃ϵ > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ D: |x − x_{0}| < δ ∧ |f(x) − f(x_{0})| ≥ ϵ.

Hieraus folgt

∀n ∈ ℕ ∃x_{n} ∈ D: |x_{n} − x_{0}| < \frac{1}{n} ∧ |f(x_{n}) − f(x_{0})| ≥ ϵ.

Damit haben wir eine Folge (x_{n}) in D konstruiert mit x_{n} → x_{0}, für die die Folge (f(x_{n})) nicht gegen f(x_{0}) konvergiert. Dies ist ein Widerspruch zu Voraussetzung.

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Folgerung 6.13. Für alle x ∈ ℝ gilt:

e^{x} = exp(x).

Beweis: Wir haben bereits gezeigt:

∀q ∈ ℚ: e^{q} = exp(q).

Es sei x ∈ ℝ. Dann existiert eine Folge (x_{i}) rationaler Zahlen mit x_{i} ⟶_{i→∞} x. Da wir bereits wissen, daß exp(x) und e^{x} stetige Funktionen

sind, folgt aus Satz 6.12:

e^{x} = lim_{i→∞} e^{x_{i}} = lim_{i→∞} exp(x_{i}) = exp(x).
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Definition 6.14. Eine Funktion f: [a, b] → ℝ heißt streng monoton

[\begin{matrix}wachsend \\ fallend \end{matrix}] ⇔ [\begin{matrix}∀x, y ∈ [a, b]: x < y ⇒ f(x) < f(y) \\ ∀x, y ∈ [a, b]: x < y ⇒ f(y) < f(x) \end{matrix}]

f heißt streng monoton, wenn f entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist.

Sei f: [a, b] → ℝ streng monoton, und sei

D_{1} = f([a, b]) = {f(x) | x ∈ [a, b]}

der Wertebereich von f. Da f streng monoton ist, gilt:

∀y ∈ D ∃!x ∈ [a, b]: f(x) = y,

d.h. f ist eine eineindeutige (oder bijektive) Abbildung f: [a, b] → D_{1}. Die Umkehrfunktion f^{−1} : D_{1} → ℝ ist dann definiert durch

f^{−1}(y) = x, falls y = f(x) gilt.

Satz 6.15. Es sei f: [a, b] → ℝ streng monoton und stetig. Dann ist die Umkehrfunktion f^{−1} : D_{1} → ℝ ebenfalls streng monoton und stetig.

Beweis: Sei f streng monoton wachsend. Den Fall, daß f streng monoton fallend ist, kann man durch den Übergang f ⟼ −f auf obigen Fall zurückführen.

1) f^{−1} ist streng monoton wachsend.

Seien y_{1}, y_{2} ∈ D_{1} und es gelte y_{1} < y_{2}. Wir nehmen an, daß f^{−1}(y_{1}) ≥ f^{−1}(y_{2}) gilt. Da f streng monoton wachsend ist, folgt daraus

y_{1} = f(f^{−1}(y_{1})) ≥ f(f^{−1}(y_{2})) = y_{2}.

Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.

2) f^{−1} ist stetig. Um dies zu zeigen wenden wir das Folgenkriterium an. Es sei x_{0} ∈ [a, b]. Weiter sei (y_{n}) eine Folge in D_{1} und es gelte

y_{n} ⟶_{n→∞} f^{−1}(x_{0}).

Zu zeigen: f^{−1}(y_{n}) ⟶_{n→∞} f(f^{−1}(x_{0})) = x_{0}. Auf Grund der Definition

von D_{1} gilt:

∀n ∈ ℕ: f(a) ≤ y_{n} ≤ f(b).

Daraus folgt

a ≤ f^{−1}(y_{n}) ≤ b für alle n ∈ ℕ,

d.h., (f^{−1}(y_{n})) ist eine beschränkte Folge. Aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, daß (f^{−1}(y_{n})) mindestens einen Häufigkeitspunkt besitzt. Es sei x_{1} ein Häufungspunkt von (f^{−1}(y_{n})). Dann existiert eine Teilfolge (f^{−1}(y_{n_{j}})) mit

f^{−1}(y_{n_{j}}) ⟶_{j→∞} x_{1}.

Da f stetig ist, erhalten wir aus Satz 6.12, daß

y_{n_{j}} = f(f^{−1}(y_{n_{j}})) ⟶_{j→∞} f(x_{1})

gilt. Nach Voraussetzung gilt aber y_{n} ⟶_{j→∞} f(x_{0}). Daraus folgt

f(x_{1}) = f(x_{0})

Da f eineindeutig ist, folgt daraus x_{1} = x_{0}. Wir haben damit gezeigt, daß die Folge (f^{−1}(y_{n})) genau einen Häufungspunkt besitzt, und zwar x_{0}. Aus Satz 4.21 folgt dann

f^{−1}(y_{n}) ⟶_{n→∞} x_{0}.

□

Satz 6.16. (Zwischenwertsatz) Es sei f: [a, b] → ℝ eine stetige Funktion. Dann existiert zu jedem y zwischen f(a) und f(b) ein c ∈ [a, b] mit f(c) = y.

Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß gilt:

f(a) ≤ y < f(b).

Andernfalls wäre y = f(b). Wir konstruieren eine Intervallschachtelung I_{n} = [a_{n}, b_{n}] mit folgenden Eigenschaften:

1) I_{1} = [a, b] und I_{n+1} ⊂ I_{n} für alle n ∈ ℕ.

2) ∀k ∈ ℕ: b_{k} − a_{k} = \frac{1}{2^{k−1}} (b − a).

3) ∀k ∈ ℕ: f(a_{k}) ≤ y ≤ f(b_{k}). Wir konstruieren die Intervallschachtelung rekursiv.

1. Anfangsschritt: Es sei I_{1} = [a, b].

2. Schritt von k auf k + 1: Es sei für k ∈ ℕ das Intervall I_{k} bereits konstruiert. Sei

m_{k} = a_{k} + \frac{1}{2}(b_{k} − a_{k})

der Mittelpunkt von I_{k}. Wir unterscheiden 2 Fälle:

1. Fall f(m_{k}) > y. Dann sei a_{k+1} = a_{k} und b_{k+1} = m_{k}.

2. Fall: f(m_{k}) ≤ y. Dann sei a_{k+1} = m_{k} und b_{k+1} = b_{k}. Damit erhalten wir das Intervall I_{k+1}. Nach Konstruktion von I_{k+1} gilt:

1. I_{k+1} = [a_{k+1}, b_{k+1}] ⊂ I_{k};

2. b_{k+1} − a_{k+1} = \frac{1}{2}(b_{k} − a_{k}) = \frac{1}{2^{k}} (b − a)

3. f(a_{k+1}) ≤ y ≤ f(b_{k+1}). Durch diese rekursive Definition erhalten wir eine Intervallschachtelung (I_{n}) mit den gewünschten Eigenschaften 1) - 3). Die Anwendung des Intervallschachtelungsprinzips ergibt:

∃!c ∈ ℝ: c ∈ ⋂_{n∈ℕ}I_{n}.

Für dieses c gilt:

1. c ∈ [a, b]

2. a_{k} ⟶_{k→∞} c

3. b_{k} ⟶_{k→∞} c.

Da f stetig in c ist, folgt aus Satz 6.12:

lim_{k→∞} f(a_{k}) = f(c) = lim_{k→∞} f(b_{k}).  (6.1)

Auf Grund von Eigenschaft 3) der Folge (I_{n}) gilt:

∀k ∈ ℕ: f(a_{k}) ≤ y ≤ f(b_{k})

Hieraus folgt

lim_{k→∞} f(a_{k}) ≤ y ≤ lim_{k→∞} f(b_{k}),

und aus (6.1) erhalten wir

y = f(c).
□

Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes kann man z.B. die Existenz von Lösungen für Gleichungen beweisen. Als Beispiel erwähnen wir den folgenden bekannten Satz:

Satz 6.17. Es sei n ∈ ℕ ungerade und es seien a_{0}, …, a_{n} ∈ ℝ, wobei a_{n} ≠ 0. Dann hat das Polynom P (x) = ∑_{j=0}^{n} a_{j}x^{j} eine reelle Nullstelle.

Beweis: Da P und a_{n}^{−1}P die gleichen Nullstellen haben, können wir annehmen, daß a_{n} = 1. Es sei

r = 1 + |a_{n−1}| + ⋯ + |a_{0}|.

Dann ist r > 1 und es gilt

P (r) = r^{n} + a_{n−1}r^{n−1} + ⋯ + a_{0} ≥
≥ r^{n} − (|a_{n−1}|r^{n−1} + ⋯ + |a_{0}|)
≥ r^{n} − r^{n−1}(|a_{n−1}| + ⋯ + |a_{0}|)
= r^{n} − r^{n−1}(r − 1) = r^{n−1} > 0.

Da n ungerade ist, erhalten wir

P (−r) = −r^{n} + (a_{n−1}r^{n−1} + ⋯ + a_{0})
≤ −r^{n} + r^{n−1}(|a_{n−1}| + ⋯ + |a_{0}|)
< −r^{n} + r^{n−1}(r − 1) = −r^{n−1} < 0.

Aus dem Zwischenwertsatz folgt, daß ein x_{0} ∈ [−r, r] existiert mit P (x_{0}) = 0.

□

Satz 6.18. Die Exponentialfunktion exp: ℝ → ℝ^{+} ist streng monoton wachsend, stetig und bijektiv.

Beweis: Wir haben bereits gezeigt, daß exp streng monoton wachsend und stetig ist. Wegen der strengen Monotonie ist exp injektiv. Es bleibt noch zu zeigen, daß exp: ℝ → ℝ^{+} surjektiv ist. Es sei y > 0 gegeben. Wir wählen n ∈ ℕ so, daß 1/n < y < n. Dann gilt

e^{n} = 1 + n + \frac{n^{2}}{2} + ⋯ > n > y

und

e^{−n} = \frac{1}{e^{n}} < \frac{1}{n} < y.

Nach dem Zwischenwertsatz existiert ein x ∈ [−n, n] so, daß y = e^{x}. □

Definition 6.19. Es sei ln: ℝ^{+} → ℝ die Umkehrfunktion zu exp: ℝ → ℝ^{+}. ln heißt natürlicher Logarithmus.

Bemerkung: Häufig wird die Funktion ln auch mit log bezeichnet.

Satz 6.20. ln: ℝ^{+} → ℝ ist streng monoton wachsend, stetig und bijektiv. Weiter gilt

1) ln(1) = 0 2) ∀x, y ∈ ℝ_{+} : ln(xy) = ln x + ln y.

Beweis: Aus Satz 6.15 folgt, daß ln streng monoton und stetig ist. Außerdem ist ln bijektiv. Weiter gilt e^{0} = 1. Daraus folgt

ln(1) = exp^{−1}(1) = 0.

Es seien x, y ∈ ℝ^{+}. Aus Satz 6.18 folgt, daß eindeutig bestimmte Zahlen u, v ∈ ℝ existieren so, daß e^{u} = x und e^{v} = y. Hieraus folgt

ln(xy) = ln(e^{u}e^{v}) = ln(e^{u+v}) = u + v = ln(x) + ln(y).
□

Satz 6.21. Es sei I ⊂ ℝ ein Intervall (endlich oder unendlich) und f: I → ℝ streng monoton und stetig. Dann gilt

1) J = f(I) ist ein Intervall.

2) f: I → J ist bijektiv

3) f^{−1} : J → I ist stetig und streng monoton.

Beweis: Wir betrachten den Fall, daß f monoton wachsend ist. 2) und 3) haben wir bereits gezeigt. Es bleibt noch 1) zu zeigen. Wir betrachten den Fall

I = (a, b), a, b ∈ \overline{ℝ} = ℝ ∪ \{±∞\}, a < b.

Es sei

c = inf{f(x) | x ∈ I}, d = sup{f(x) | x ∈ I}.

Sei x ∈ (a, b). Dann existieren x_{1}, x_{2} ∈ (a, b) so, daß x_{1} < x < x_{2}. Aus der strengen Monotonie von f folgt

c ≤ f(x_{1}) < f(x) < f(x_{2}) ≤ d.

⇒

c < d und f ((a, b)) ⊂ (c, d).

Es sei y ∈ (c, d). Dann gilt auf Grund der Definition von c und d:

∃x_{1}, x_{2} ∈ (a, b): c ≤ f(x_{1}) < y < f(x_{2}) ≤ d.

Aus dem Zwischenwertsatz folgt

∃x ∈ [x_{1}, x_{2}]: f(x) = y.

Hieraus erhalten wir

f ((a, b)) = (c, d).

Die Fälle I = [a, b), (a, b] und [a, b] behandelt man ebenso.

□

6.2. Stetigkeit komplexer Funktionen

Definition 6.22. Sei D ⊂ ℂ. Eine Funktion f: D → ℂ heißt stetig in z_{0} ∈ D, wenn gilt

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ D: |z − z_{0}| < δ ⇒ |f(z) − f(z_{0})| < ϵ.

Die Funktion f: D → ℂ heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt z_{0} ∈ D stetig ist.

Alle Sätze, bei denen die Anordnung von ℝ nicht benutzt wurde, übertragen sich.

Satz 6.23. (Folgenkriterium) f: D → ℂ ist stetig in z_{0} ∈ D genau dann, wenn für alle Folgen (z_{n}) in D gilt:

z_{n} ⟶_{n→∞} z_{0} ⇒ f(z_{n}) ⟶_{n→∞} f(z_{0}).

Beweis: Analog zum Beweis von Satz 6.12.

Der Umgebungsbegriff wird genauso wie im reellen Fall definiert. Beispiel: exp(z) ist stetig. \underline{Übung!}

Definition 6.24. Für z ∈ ℂ sei

e^{z} =_{Df} exp(z).

Aus der Folgerung 6.13 ergibt sich, daß für x ∈ ℝ, e^{x} mit der früheren Definition übereinstimmt. Wir haben die Potenzreihe für e^{x} benutzt, um e^{x} zu einer komplexen Funktion fortzusetzen.

Satz 6.25. Für die Funktion e^{z} gilt

1) ∀z ∈ ℂ: \overline{e^{z}} = e\overline{z}.

2) ∀z, w ∈ ℂ: e^{z}e^{w} = e^{z+w}.

3) ∀x ∈ ℝ: |e^{ix}| = 1.

Beweis:

1)

\overline{exp(z)} = \overline{∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{\overline{z}^{n}}{n!} = exp(\overline{z}).

2) Wurde schon gezeigt.

3) Aus 1) folgt e\overline{ix} = e^{−ix}. Daraus und aus 3) erhalten wir

|e^{ix}|^{2} = e^{ix}e^{−ix} = 1.
□

Es gelten die gleichen Rechenregeln wie im Falle reeller Funktionen.

6.3. Kompakte Mengen und Extremwerte stetiger Funktionen

Definition 6.26. Eine Teilmenge A ⊂ ℂ heißt abgeschlossen, wenn für alle konvergenten Folgen (a_{n}) in A gilt:

lim_{n→∞} a_{n} ∈ A.

Beispiele: [a, b], ℝ, {z ∈ ℂ | |z| ≤ r}, ℂ sind abgeschlossen. [a, b), (a, b), {z ∈ ℂ | |z| < r} sind nicht abgeschlossen.

Satz 6.27.

1) Es seien A_{1}, …, A_{k} ⊂ ℂ abgeschlossen. Dann ist ⋃_{j=1}^{k} A_{j} abgeschlossen.

2) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Beweis: Übung!

Die Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener Mengen ist im allgemeinen nicht abgeschlossen.

Beispiel: ⋃_{n=1}^{∞}[\frac{1}{n}, 1] = (0, 1].

Definition 6.28. Eine Menge K ⊂ ℂ heißt kompakt, wenn gilt:

1) A ist abgeschlossen.

2) A ist beschränkt, d.h., ∃R ∈ ℝ_{+} : A ⊂ {z ∈ ℂ | |z| ≤ R}.

Beispiel: [a, b] ist kompakt für a, b ∈ ℝ, ℝ ist nicht kompakt.

Satz.

1) Es seien K_{1}, …, K_{m} ⊂ ℂ kompakte Teilmengen. Dann ist ⋃_{j=1}^{m} K_{j} kompakt.

2) Der Durchschnitt beliebig vieler kompakter Mengen ist kompakt.

Beweis: Folgt aus Satz 6.27.

Bolzano-Weierstraß-Charakterisierung kompakter Mengen Satz 6.29. Eine Menge K ⊂ ℂ ist kompakt genau dann, wenn jede Folge (z_{n}) von Elementen aus K eine konvergente Teilfolge (z_{n_{j}}) besitzt so, daß lim_{j→∞} z_{n_{j}} ∈ K.

Beweis: ⇒) Sei K ⊂ ℂ kompakt, und sei (z_{n}) eine Folge in K. Da K beschränkt ist, ist (z_{n}) eine beschränkte Folge. Aus Korollar 4.20 folgt, daß (z_{n}) eine konvergente Teilfolge (z_{n_{j}}) besitzt. Sei

z_{0} = lim_{j→∞} z_{n_{j}}.

Da K abgeschlossen ist, ist z_{0} ∈ K. ⇐) i) K ist beschränkt. Annahme: K sei nicht beschränkt. Dann existiert eine Folge (z_{n}) in K mit |z_{n}| ≥ n für alle n ∈ ℕ. Diese Folge besitzt offensichtlich keine konvergente Teilfolge und dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. ii) K ist abgeschlossen. Sei (z_{n}) eine konvergente Folge in K und sei z_{0} = lim_{n→∞} z_{n}. Dann ist zu zeigen, daß z_{0} ∈ K. Nach Voraussetzung besitzt (z_{n}) eine konvergente Teilfolge (z_{n_{j}}) mit lim_{j→∞} z_{n_{j}} ∈ K. Dann ist aber

z_{0} = lim_{j→∞} z_{n_{j}} ∈ K.

□

Satz 6.30. Sei K ⊂ ℂ kompakt und f: K → ℂ stetig. Dann ist f(K) kompakt.

Beweis: Es sei (w_{n}) eine Folge in f(K). Dann existiert eine Folge (z_{n}) in K mit w_{n} = f(z_{n}) für alle n ∈ ℕ. Da K kompakt ist, hat (z_{n}) eine konvergente Teilfolge (z_{n_{j}}) mit

z_{0} = lim_{j→∞} z_{n_{j}} ∈ K.

Da f stetig ist, folgt aus Satz 6.12

lim_{j→∞} f(z_{n_{j}}) = f(z_{0}) ∈ K.

Aus Satz 6.29 erhalten wir, daß f(K) kompakt ist.

□

Satz 6.31. (Satz vom Minimum u. Maximum) Sei D ⊂ ℂ kompakt und f: D → ℝ stetig. Dann existieren z_{1}, z_{2} ∈ D so, daß gilt:

∀z ∈ D: f(z_{1}) ≤ f(z) ≤ f(z_{2}),

d.h. f nimmt sein Maximum und Minimum an.

Beweis: Da D kompakt ist, so ist nach Satz 6.30 f(D) ⊂ ℝ ebenfalls kompakt. Insbesondere ist f(D) beschränkt. Daraus folgt, daß m =_{Df} inf f(D) und M =_{Df} sup f(D) existieren. Nach Definition von inf f(D) und sup f(D) existieren Folgen (z_{n}) und (w_{n}) in D mit f(z_{n}) → m und f(w_{n}) → M für n → ∞. Da f(D) abgeschlossen ist, ist m, M ∈ f(D). Dies bedeutet aber

∃z_{1}, z_{2} ∈ D: m = f(z_{1}), M = f(z_{2}).
□

Folgerung 6.32. Sei D ⊂ ℂ kompakt und f: D → ℂ stetig. Dann ist f beschränkt, d.h., es exixstiert C > 0 so, daß

∀z ∈ D: |f(z)| ≤ C.

Beweis: |f|: D → ℝ ist stetig. Die Behauptung folgt aus Satz 6.31. □

Bemerkung: Die Kompaktheit von D und die Stetigkeit von f sind notwendige Voraussetzungen.

Beispiele: 1) f: [−1, 1] → ℝ sei definiert durch

f(x) = \begin{cases}\frac{1}{x}, x ≠ 0 \\ 0, x = 0. \end{cases}

Die Funktion f ist nicht beschränkt. Sie ist aber unstetig in x = 0.

2) f: (0, 1] → ℝ sei definiert durch f(x) = \frac{1}{x}. Die Funktion f ist ebenfalls nicht beschränkt. In diesem Falle ist f stetig, aber der Definitionsbereich ist nicht kompakt.

Definition 6.33. Eine Funktion f: D → ℂ heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt:

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀z, w ∈ D: |z − w| < δ ⇒ |f(z) − f(w)| < ϵ.

Beispiele: 1) Es sei f: D → ℂ Lipschitz-stetig, d.h., es gilt

∃L > 0 ∀z, w ∈ D: |f(z) − f(w)| ≤ L|z − w|.

Dann ist f gleichmäßig stetig.

2) f(x) = \frac{1}{x}, x ∈ (0, 1]. Die Funktion f: (0, 1] → ℝ ist nicht gleichmäßig stetig.

Satz 6.34. (Heine) Sei D ⊂ ℂ kompakt und f: D → ℂ stetig. Dann ist f gleichmäßig stetig.

Beweis: Wir nehmen an, daß f nicht gleichmäßig stetig ist. Aus der Definition 6.33 folgt durch Verneinung des logischen Ausdruckes

∃ϵ > 0 ∀δ > 0 ∃z, w ∈ D: |z − w| < δ ∧ |f(z) − f(w)| ≥ ϵ.

Wir wählen δ_{n} = 1/n, n ∈ ℕ. Dann folgt

∃ϵ > 0 ∀n ∈ ℕ ∃z_{n}, w_{n} ∈ D(|z_{n} − w_{n}| < \frac{1}{n} ∧ |f(z_{n}) − f(w_{n})| ≥ ϵ)

Da D kompakt ist, existiert eine konvergente Teilfolge (z_{n_{j}}) von (z_{n}) mit

z_{0} =_{Df} lim_{j→∞} z_{n_{j}} ∈ D.

Weiter gilt

|z_{n_{k}} − w_{n_{k}}| < \frac{1}{n_{k}} ≤ \frac{1}{k}.

Daraus folgt

z_{0} = lim_{k→∞} w_{n_{k}}.

Da f stetig ist, folgt aus Satz 6.12 (Folgenkriterium)

lim_{j→∞} f(z_{n_{j}}) = f(z_{0}) = lim_{j→∞} f(w_{n_{j}}).

Dies steht aber im Widerspruch zu

|f(z_{n}) − f(w_{n})| ≥ ϵ für alle n ∈ ℕ.

□

6.4. Potenzreihen und Stetigkeit Viele wichtige Funktionen der Analysis werden durch Grenzprozesse wie z.B. Reihen definiert. Deshalb ist es wichtig zu wissen, wann solche Funktionen stetig sind.

Definition 6.35. Eine Folge (f_{n}) von Funktionen f_{n}: D → ℂ heißt punktweise konvergent, wenn für alle z ∈ D die Folge (f_{n}(z)) konvergiert.

Es sei (f_{n}) punktweise konvergent. Für z ∈ D sei

f(z) =_{Df} lim_{n→∞} f_{n}(z).

Dann ist f: D → ℂ eine Funktion.

Bemerkung: Aus der Stetigkeit der Funktionen f_{n}: D → ℂ folgt nicht die Stetigkeit von f.

Beispiel: Für n ∈ ℕ sei

f_{n}(x) = e^{−nx^{2}}, x ∈ ℝ.

Für n ≠ 0 ist lim_{n→∞} f_{n}(x) = 0. Andererseits ist f_{n}(0) = 1 für alle n ∈ ℕ. Daher ist lim_{n→∞} f_{n}(0) = 1. Die Folge (f_{n}) ist punktweise konvergent. Es sei f = lim_{n→∞} f_{n}. Dann ist

f(x) = \begin{cases}1, x = 0 \\ 0, x ≠ 0. \end{cases}

Definition 6.36. Für eine Funktion f: D → ℂ sei

∥ f ∥_{D}=_{Df} sup{f(x) | x ∈ D}.

f heißt beschränkt, wenn ∥ f ∥_{D}< ∞. ∥ f ∥_{D} heißt Norm von f.

Lemma 6.37. Für die Norm gilt

1: ∥ f ∥_{D}= 0 ⇔ f(z) = 0 für alle z ∈ D.

2: ∀c ∈ ℂ: ∥ cf ∥_{D}= |c| ∥ f ∥_{D} .

3: ∀f, g: ∥ f + g ∥_{D}≤∥ f ∥_{D} + ∥ g ∥_{D} .

Beweis: 1) und 2) folgen unmittelbar aus der Definition der Norm.

Zum Beweis von 3) bemerken wir, daß für alle z ∈ D gilt:

\begin{aligned}|f(z) + g(z)| & ≤ |f(z)| + |g(z)| \\ & ≤∥ f ∥_{D} + ∥ g ∥_{D} . \end{aligned}

Hieraus folgt

∥ f + g ∥_{D}≤∥ f ∥_{D} + ∥ g ∥_{D} .
□

Es sei (f_{n}) eine Folge von Funktionen. Dann verstehen wir unter der Reihe ∑_{n=1}^{∞} f_{n} die Folge der Partialsummen

s_{n} = ∑_{k=1}^{n} f_{k}.

Definition 6.38. Seien f_{n}: D → ℂ, n ∈ ℕ Funktionen. Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} f_{n} heißt normal konvergent auf D, wenn gilt:

1) ∀n ∈ ℕ: f_{n} ist auf D beschränkt.

2) ∑_{n=1}^{∞} ∥ f_{n} ∥_{D}< ∞.

Beispiel: Eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} mit Konvergenzradius R > 0 konvergiert normal auf jedem Kreis K_{r}(0) mit r < R, denn ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|r^{n} ist konvergent und |a_{n}z^{n}| ≤ |a_{n}|r^{n} für |z| ≤ r.

Es sei ∑_{n=0}^{∞} f_{n} normal konvergent. Dann gilt für alle z ∈ D:

∀n ∈ ℕ: |f_{n}(z)| ≤∥ f_{n} ∥_{D} .

Hieraus folgt

∀z ∈ D: ∑_{n=0}^{∞} |f_{n}(z)| < ∞.

Sei

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(z), z ∈ D.

Bezeichnung: f = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}.

Wie im Falle von Folgen hat ∑_{n=0}^{∞} f_{n} wieder eine doppelte Bedeutung.

Satz 6.39. Es sei (f_{n}) eine Folge von Funktionen f_{n}: D → ℂ und ∑_{n=0}^{∞} f_{n} sei normal konvergent. Es sei z_{0} ∈ D und für alle n ∈ ℕ sei f_{n} stetig in z_{0}. Dann ist f = ∑_{n=0}^{∞} f_{n} stetig in z_{0}.

Beweis: Sei ϵ > 0 gegeben. Dann müssen wir zeigen:

∃δ > 0 ∀z ∈ D: |z − z_{0}| < δ ⇒ |f(z) − f(z_{0})| < ϵ.

1) Da ∑_{k=0}^{∞} ∥ f_{n} ∥_{D}< ∞, existiert zu ϵ ein N ∈ ℕ: so, daß

∑_{k=N+1}^{∞} ∥ f_{k} ∥_{D}< \frac{ϵ}{3}.

2) Da f_{0}, …, f_{N} stetig in z_{0} sind, folgt aus den Rechenregeln für stetige Funktionen, daß ∑_{j=0}^{N} f_{j} stetig in z_{0} ist. Daraus folgt

∃δ > 0: |∑_{k=0}^{N} f_{k}(z) − ∑_{k=0}^{N} f_{k}(z_{0})| < \frac{ϵ}{3}

für alle z ∈ D mit |z − z_{0}| < δ.

Es sei z ∈ D und |z − z_{0}| < δ. Dann folgt aus 1) und 2):

\begin{aligned}|∑_{k=0}^{∞} f_{k}(z) − ∑_{k=0}^{∞} f_{k}(z_{0})| & ≤ |∑_{k=0}^{N} f_{k}(z) − ∑_{k=0}^{N} f_{k}(z_{0})| + ∑_{k=N+1}^{∞} |f_{k}(z)| \\ & + ∑_{k=N+1}^{∞} |f_{k}(z_{0})| < \frac{ϵ}{3} + 2 ∑_{k=N+1}^{∞} ∥ f_{k} ∥_{D}= ϵ. \end{aligned}

□

Für r ∈ ℝ_{+} sei K_{r}(0) = {z ∈ ℂ | |z| < r}.

Satz 6.40. Sei P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann ist P: K_{R}(0) → ℂ stetig.

Beweis: Es sei f_{n}(z) = a_{n}z^{n}, n ∈ ℕ, z ∈ ℂ. Sei r < R. Für |z| < r gilt

|f_{n}(z)| ≤ |a_{n}|r^{n}.

Daraus folgt

∥ f_{n} ∥_{K_{r}(0)}≤ |a_{n}|r^{n}.

Da P (r) absolut konvergiert, gilt

∑_{n=0}^{∞} ∥ f_{n} ∥_{K_{r}(0)}< ∞.

Aus Satz 6.40 folgt, daß P stetig auf K_{r}(0) ist. Daraus folgt, daß f stetig auf K_{R}(0) ist.

□

An Hand von Beispielen haben wir gesehen, daß bei punktweiser Konvergenz einer Folge (f_{n}) stetiger Funktionen f_{n}: D → ℂ gegen eine Funktion f, die Grenzfunktion nicht stetig zu sein braucht. Um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern, führt man einen stärkeren Konvergenzbegriff für Funktionen ein.

Definition 6.41. Die Folge (f_{n}) von Funktionen f_{n}: D → ℂ konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion f: D → ℂ, wenn gilt

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N: |f_{n}(z) − f(z)| < ϵ für alle z ∈ D.

Lemma 6.42. Die Folge (f_{n}) von Funktionen f_{n}: D → ℂ konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion f: D → ℂ, wenn gilt

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N: ∥ f_{n} − f ∥_{D}< ϵ.

Beweis: Übung.

Satz 6.43. Sei (f_{n}) eine Folge stetiger Funktionen f_{n}: D → ℂ und (f_{n}) konvergiere gleichmäßig gegen die Funktion f: D → ℂ. Dann ist f stetig.

Beweis: Seien z_{0} ∈ D und ϵ > 0 gegeben.

1) Zu ϵ > 0 existiert n ∈ ℕ:

∥ f_{n} − f ∥< \frac{ϵ}{3}.

2) Da f_{n} stetig ist, existiert zu n und z_{0} ein δ > 0:

∀z ∈ D: |z − z_{0}| < δ ⇒ |f_{n}(z) − f_{n}(z_{0})| < \frac{ϵ}{3}.

Sei z ∈ D und es gelte |z − z_{0}| < δ. Daraus folgt

|f(z) − f(z_{0})| ≤ |f(z) − f_{n}(z)| + |f_{n}(z) − f_{n}(z_{0})|

+ |f_{n}(z_{0}) − f(z_{0})|

<∥ f_{n} − f ∥_{D} +\frac{ϵ}{3}+ ∥ f_{n} − f ∥_{D}< ϵ.

□

6.5. Grenzwerte und stetige Fortsetzung von Funktionen In diesem Abschnitt untersuchen wir das Verhalten einer Funktion f: D → ℂ bei Annäherung von z ∈ D an einen sogenannten Häufungspunkt z_{0} von D. Dies führt auf den Begriff des Grenzwertes einer Funktion und hängt eng zusammen mit der Frage der stetigen Fortsetzbarkeit der Funktion f in den Punkt z_{0}.

Beispiele: 1) Es sei f(x) = x^{2}, x ∈ (−1, 1). Dann hat die Funktion f: (−1, 1) → ℂ eine stetige Fortsetzung in die Punkte −1 und 1.

2) f(x) = sin \frac{1}{x}, x ≠ 0.

a) Sei x_{n} = \frac{1}{πn}, n ∈ ℕ. Dann ist f(x_{n}) = sin(πn) = 0 für alle n ∈ ℕ. Insbesondere ist (f(x_{n})) konvergent.

b) Sei x_{n} = \frac{2}{(2n−1)π}, n ∈ ℕ. Dann ist

f(x_{n}) = sin(nπ − \frac{π}{2} ) = (−1)^{n+1}, n ∈ ℕ.

Dann ist (f(x_{n})) unbestimmt divergent. In diesem Beispiel hängt das Verhalten von f(x) bei Annäherung von x an x = 0 von der gewählten Folge (x_{n}) mit x_{n} → 0 ab. Insbesondere kann f nicht stetig in x = 0 fortgesetzt werden.

Definition 6.44. Sei D ⊂ ℂ. Ein Punkt z_{0} ∈ ℂ heißt Häufungspunkt von D, wenn jede Umgebung von z_{0} unendlich viele Punkte aus D enthält.

Bemerkung: Ein Häufungspunkt einer Menge D kann, aber muß nicht Element der Menge D sein.

Beispiele:

1. Die Menge der Häufungspunkte von (a, b) ist gleich [a, b].

2. Die Menge der Häufungspunkte von ℚ ist ℝ

3. Es sei D = \{\frac{1}{n} | n ∈ ℕ\}. D hat den einzigen Häufungspunkt 0.

Lemma 6.45. Sei D ⊂ ℂ und z_{0} ∈ ℂ. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. z_{0} ist Häufungspunkt von D.

2. Jede Umgebung von z_{0} in ℂ enthält einen von z_{0} verschiedenen Punkt in D.

3. Es gibt eine Folge (z_{n}) in D − {z_{0}} mit z_{n} → z_{0}.

Beweis: Übung.

Definition 6.46. Ein Punkt z_{0} ∈ D heißt isolierter Punkt von D, wenn ein ϵ > 0 existiert, so daß U_{ϵ}(z_{0}) ∩ D = ∅.

Aus Lemma 6.45 folgt, daß ein Punkt z_{0} ∈ D entweder ein Häufungspunkt oder ein isolierter Punkt von D ist. Bei der Untersuchung von Grenzwerten von Funktionen interessieren uns nur Häufungspunkte.

Definition 6.47. Die Funktion f: D → ℂ hat im Häufungspunkt z_{0} von D den Grenzwert a, wenn gilt

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ D − {z_{0}}: |z − z_{0}| < δ ⇒ |f(z) − a| < ϵ.

Schreibweise: a = lim_{z→z_{0}} f(z), “f(z) konvergiert gegen a für z → z_{0}.“

Beispiele:

1. f: ℂ − {0} → ℂ sei definiert durch

f(z) = \frac{e^{z} − 1}{z}.

Dann gilt

lim_{z→0} f(z) = 1.

2)

lim_{x→0} \frac{sin(x)}{x} = 1, lim_{x→0} \frac{cos(x) − 1}{x} = 0.

Übung!

Satz 6.48. (Folgenkriterium für Grenzwerte) Sei z_{0} Häufungspunkt von D und sei a ∈ ℂ. Sei f: D → ℂ eine Funktion. Dann gilt lim_{z→z_{0}} f(z) = a genau dann, wenn für alle Folgen (z_{n})

in D − {z_{0}} mit z_{n} ⟶_{n→∞} z_{0} gilt: f(z_{n}) ⟶_{n→∞} a.

Beweis: Es sei

F: D ∪ {z_{0}} → ℂ definiert durch

F (z) = \begin{cases}f(z), & z ∈ D − \{z_{0}\}, \\ a, & z = z_{0}. \end{cases}

Dann gilt

lim_{z→z_{0}} f(z) = a ⇔ F ist stetig inz_{0}.

Aus Satz 6.12 (Folgenkriterium für stetige Fkt.) folgt die Behauptung. □ Satz 6.49. (Cauchy - Krterium für Grenzwerte) Sei z_{0} ein Häufungspunkt von D und f: D → ℂ eine Funktion. Dann existiert lim_{z→z_{0}} f(z) genau dann, wenn gilt

\begin{aligned}∀ϵ > 0 ∃δ > 0 & ∀z, z′ ∈ D − \{z_{0}\}: \\ & |z − z_{0}| < δ ∧ |z′ − z_{0}| < δ ⇒ |f(z) − f(z′)| < ϵ. \end{aligned}

Beweis: ⇒) Wir nehmen an, daß

a = lim_{z→z_{0}} f(z)

existiert. Sei ϵ > 0 gegeben. Zu ϵ existiert δ > 0 so, daß

∀z ∈ D − {z_{0}}: |z − z_{0}| < δ ⇒ |f(z) − a| < ϵ.

Seien z, z′ ∈ D − {z_{0}} und es gelte |z − z_{0}| < δ und |z′ − z_{0}| < δ. Dann ist

|f(z) − f(z′)| ≤ |f(z) − a| + |f(z′) − a| < 2ϵ.

Also gilt das Cauchy-Kriterium.

⇐) Es gelte das Cauchy-Kriterium in z_{0}. Sei (z_{n}) Folge in D−{z_{0}} mit z_{n} → z_{0}. Sei ϵ > 0 gegeben. Zu ϵ existiert δ > 0 so, daß

∀z, z′ ∈ D−{z_{0}}: |z−z_{0}| < δ ∧ |z′−z_{0}| < δ ⇒ |f(z)−f(z′)| < ϵ (6.2)

Da z_{0} = lim_{n→∞} z_{n}, existiert zu ϵ ein N ∈ ℕ so, daß gilt:

∀n ≥ N: |z_{n} − z_{0}| < δ.

Seien n, m ≥ N. Dann gilt

|z_{n} − z_{0}| < δ, |z_{m} − z_{0}| < δ, z_{n}, z_{m} ≠ z_{0}.

Aus (6.2) folgt

|f(z_{n}) − f(z_{m})| < ϵ.

Daher ist (f(z_{n})) eine Cauchy-Folge. Sei

a = lim_{n→∞} f(z_{n}).

Sei (z′_{n}) eine weitere Folge in D − {z_{0}} mit z′_{n} → z_{0}. Dann existiert

a′ = lim_{n→∞} f(z′_{n}).

Zu zeigen: a = a′.

Sei (z′′_{n}) die Folge

z_{1}, z′_{1}, z_{2}, z′_{2}, z_{3}, z′_{3}, …

Dann gilt z′′_{n} → z_{0} und (z′′_{n}) ist eine Folge in D −{z_{0}}. Deshalb existiert

a′′ = lim_{n→∞} f(z′′_{n})

Da (z_{n}) und (z′_{n}) Teilfolgen von (z′′_{n}) sind, folgt

a = a′′ = a′.
□

Rechenregeln für Grenzwerte

Satz 6.50. Es seien f: D → ℂ und g: D → ℂ Funktionen und z_{0} sei ein Häufungspunkt von D. Es existiere a = lim_{z→z_{0}} f(z) und b = lim_{z→z_{0}} g(z). Dann gilt

1. lim_{z→z_{0}}(f(z) + g(z)) = a + b

2. lim_{z→z_{0}} f(z) · g(z) = a · b

3. Es sei b ≠ 0. Dann ist

lim_{z→z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{a}{b}.

Beweis: Folgt aus Satz 6.48 (Folgenkriterium) und den Rechenregeln für Grenzwerten von Folgen.

□

Satz 6.51. Es seien D, E ⊂ ℂ und f: D → E, g: E → ℂ seien Funktionen. Es sei z_{0} ein Häufungspunkt von D, es existiere a = lim_{z→z_{0}} f(z) und es sei a ∈ E. Weiter sei g stetig in a. Dann existiert lim_{z→z_{0}} g(f(z)) und es gilt:

g(a) = lim_{z→z_{0}} g(f(z)).

Beweis: Es sei (z_{n}) eine Folge in D − {z_{0}} mit z_{n} → z_{0}. Dann ist

lim_{n→∞} f(z_{n}) = a.

Da g stetig in a ist, folgt aus Satz 6.12:

lim_{n→∞} g(f(x_{n})) = g(a).

□

6.6. Einseitige und uneigentliche Grenzwerte 6.6.1. Einseitige Grenzwerte Beispiel: Sei f: ℝ → R definiert durch

f(x) = \begin{cases}1, & x ≥ 0 \\ 0, & x < 0. \end{cases}

Für x → 0 hat f keinen Grenzwert. Es existieren aber die links- und rechtsseitigen Grenzwerte.

lim_{\begin{matrix}x→0 \\ x<0 \end{matrix}} f(x) = 0, lim_{\begin{matrix}x→0 \\ x>0 \end{matrix}} f(x) = 1.

Allgemeiner definieren wir einseitige Grenzwerte wie folgt. Es sei D ⊂ ℝ und f: D → ℂ eine Funktion.

Definition 6.52. Sei x_{0} Häufungspunkt von D ∩ (−∞, x_{0}) (bzw. D ∩ (x_{0}, ∞)). f hat linksseitig (bzw. rechtsseitig) den Grenzwert a, wenn gilt

\begin{aligned}∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D ∩ (x_{0} − δ, x_{0}) & : |f(x) − a| < ϵ \\ (bzw. ∀x ∈ D ∩ (x_{0}, x_{0} + δ) & : |f(x) − a| < ϵ). \end{aligned}

Bezeichnung:

a = lim_{x↑x_{0}} f(x) = f(x_{0}−) (linksseitig)
a = lim_{x↓x_{0}} f(x) = f(x_{0}+) (rechsseitig)

Sei x_{0} ∈ D und es gelte f(x_{0}−) = f(x_{0}) bzw. f(x_{0}+) = f(x_{0}). Dann heißt f linksseitig bzw. rechtsseitig stetig in x_{0}.

Bemerkung: Für einseitige Grenzwerte gelten die gleichen Rechenregeln wie für gewöhnliche Grenzwerte.

Satz. Sei f: (a, b) → ℝ beschränkt und monoton wachsend. Dann exitiert f(x_{0}−) für jedes x_{0} ∈ (a, b].

Beweis: Sei s = sup{f(x) | x ∈ (a, x_{0})}. Sei ϵ < 0 gegeben. Dann exitiert x ∈ (a, x_{0}) mit s − ϵ < f(x). Da f monoton wachsend ist, gilt

∀y ∈ (x, x_{0}): s − ϵ < f(y) ≤ s.

Hieraus folgt

lim_{x↑x_{0}} f(x) = s.

□

6.6.2. Grenzwerte bei ±∞ Sei D ⊂ ℝ nach oben unbeschränkt. Sei f: D → ℂ eine Funktion und a ∈ ℂ. Dann heißt a Grenzwert von f bei ∞, wenn gilt:

∀ϵ > 0 ∃K ∈ ℝ: |f(x) − a| < ϵ für alle x ∈ D mit x > K.

Schreibweise:

a = lim_{x→∞} f(x), f(x) → a für x → ∞.

Entsprechend definiert man lim_{x→−∞} f(x).

Beispiel: 1) Sei r > 0. Dann ist

lim_{x→∞} \frac{1}{x^{r}} = 0.

2)

lim_{x→∞} \frac{a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0}}{a_{n}x^{n}} = 1, a_{n} ≠ 0.

6.6.3. Uneigentliche Grenzwerte Sei D ⊂ ℝ und f: D → ℝ eine Fkt.

Definition 6.53. f hat in x_{0} ∈ D den uneigentlichen Grenzwert ∞ bzw. −∞, wenn zu jedem K ∈ ℝ eine Umgebung U von x_{0} in ℝ existiert mit

f(x) > K bzw. f(x) < K

für alle x ∈ D ∩ U, x ≠ x_{0}. Bez.: lim_{x→x_{0}} f(x) = ∞, lim_{x→x_{0}} f(x) = −∞.

6.7. Elementare Funktionen

1. e^{z} = exp(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} . z ∈ ℂ

2. ln(x) = exp^{−1}(x), x ∈ ℝ_{+}. e^{z} und ln(x) sind stetig. (schon gezeigt).

3 sin(x), cos(x)

Üblicherweise definiert man diese Funktionen wie folgt:

Dabei ist A der Punkt ⟨1, 0⟩ und B der eindeutig bestimmte Punkt auf dem Einheitskreis so, daß x gleich der Länge des positiv orientierten Kreisbogens AB auf dem Einheitskreis ist. Die Schwierigkeit besteht darin, daß wir die Länge eines Kreisbogens bisher nicht definiert haben. Dies wird später ausführlich besprochen. Im Augenblick setzen wir voraus, daß wir wissen, was die Länge eines Kreisbogens ist. Dann können wir sin(x) und cos(x) wie üblich definieren. Es sei dann

φ(x) = cos(x) + i sin(x), x ∈ ℝ.

Diese Funktion hat folgende Eigenschaften:

1. φ(0) = 1

2. ∀x, y ∈ ℝ: φ(x + y) = φ(x)φ(y)

Dies folgt aus den Additionstheoremen für cos(x) und sin(x)

3. lim_{x→0} \frac{φ(x)−1}{x} = i.

Beweis von 3): Es gilt

\frac{φ(x) − 1}{x} = \frac{cos(x) − 1}{x} + i\frac{sin(x)}{x}.

Die Behauptung ist dann äquivalent zu

lim_{x→0} \frac{sin(x)}{x} = 1, lim_{x→0} \frac{cos(x) − 1}{x} = 0.

Dies kann man wie folgt beweisen: Auf Grund der Definition der Bogenlänge x folgt

sin(x) < x < tan x, 0 ≤ x < π/2.

Daraus folgt

1 < \frac{x}{sin(x)} < \frac{1}{cos(x)}.

Dies impliziert

0 < 1 − \frac{sin(x)}{x} < 1 − cos(x) = 2 sin^{2} \frac{x}{2} < \frac{x^{2}}{2} .

Daraus ergeben sich die Behauptungen über obige Grenzwerte. Aus 2) und 3) folgt

lim_{x→0} \frac{φ(x + y) − φ(y)}{x} = φ(y) lim_{x→0} \frac{φ(x) − 1}{x} = iφ(y).

d.h.

φ′(y) = iφ(y), y ∈ ℝ.

Daraus erhalten wir

\begin{aligned}\frac{d}{dx} (φ(x)e^{−ix}) & = φ′(x)e^{−ix} − ie^{−ix}φ(x) \\ & = i (φ(x)e^{−ix} − e^{−ix}φ(x)) = 0. \end{aligned}

Daraus folgt, daß eine Konstante c ∈ ℂ existiert so, daß

φ(x)e^{−ix} = c.

Aus 1) folgt 1 = φ(0) = c. Dies ergibt

φ(x) = e^{ix}.

Dami haben wir gezeigt, daß die Differentialgleichung

φ′(x) = iφ(x), φ(0) = 1,

als einzige Lösung e^{ix} hat.

Satz. (Eulersche Formel)

e^{ix} = cos(x) + i sin(x), x ∈ ℝ.

Damit können wir cos(x) und sin(x) auch wie folgt charakterisieren:

cos(x) = Re(e^{ix}) = \frac{e^{ix} + e^{−ix}}{2}
sin(x) = Im(e^{ix}) = \frac{e^{ix} + e^{−ix}}{2i} .

Aus der Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion ergibt sich

\begin{aligned}cos(x) & = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \\ sin(x) & = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}. \end{aligned}

Für z ∈ ℂ definieren wir dann cos(z) und sin(z) durch die entsprechenden Potenzreihen:

\begin{aligned}sin(z) & = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{z^{2k+1}}{(2k + 1)!} = \frac{e^{iz} − e^{−iz}}{2i} \\ cos(z) & = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{z^{2k}}{(2k)!} = \frac{e^{iz} + e^{−iz}}{2} . \end{aligned}

Der Konvergenzradius dieser Reihen ist ∞. Weiter sei

tan(z) = \frac{sin(z)}{cos(z)} = \frac{1}{i} \frac{e^{iz} − e^{−iz}}{e^{iz} + e^{−iz}}

für alle z ∈ ℂ mit cos(z) ≠ 0. Entsprechend können wir die Umkehrfunktion einführen.

arctan = tan^{−1} : ℝ → (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} )
arccos = cos^{−1} : [−1, 1] → [0, π]
arcsin = sin^{−1} : [−1, 1] → [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ].

Schließlich führen wir noch die hyperbolischen Funktionen für komplexe z ein:

cosh(z) = \frac{e^{z} + e^{−z}}{2} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{2k}}{(2k)!}

sinh(z) = \frac{e^{z} − e^{−z}}{2} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{2k+1}}{(2k + 1)!}

tanh(z) = \frac{sinh(z)}{cosh(z)}
coth(z) = \frac{cosh(z)}{tanh(z)}.

7. Differentialrechnung

Die von Leibniz und Newton begründete Differential- und Integralrechnung bildet den Kern der gesamten Analysis.

7.1. Ableitung einer Funktion Der Begriff der Ableitung einer Funktion ist von fundamentaler Bedeutung für die Differentialrechnung. Er spielt in den Naturwissenschaften, z.B. in der Physik, eine wichtige Rolle bei der Formulierung von Gesetzmäßigkeiten. Beispiel: 2. Newtonsches Grundgesetz

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F.

Definition 7.1. Sei I = (a, b). Eine Funktion f: I → ℂ heißt differenzierbar im Punkte x_{0} ∈ I, wenn der Grenzwert

lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}}

existiert. Der Limes heißt dann Ableitung oder Differentialquotient von f in x_{0}.

Bezeichnung: f′(x_{0}), \frac{df}{dx}(x_{0}), Df(x_{0}). Es gilt

f′(x_{0}) = lim_{n→0} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h}.

Geometrische Interpretation

L_{h}(x) = f(x_{0}) + \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h}(x − x_{0}), x ∈ ℝ,

ist die Sekante durch P_{0} = (x_{0}, f(x_{0})) und P_{1} = (x_{0} + h, f(x_{0} + h)). Für h → 0 konvergiert L_{h}(x) gegen die Tangente

t(x) = f(x_{0}) + f′(x_{0})(x − x_{0}).

Beispiele: 1) s(t) Weg eines Massepunktes als Funktion der Zeit. Die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t_{0}, t_{0} +h] ist \frac{s(t_{0}+h)−s(t_{0})}{h}.

\frac{ds}{dt}(t_{0}) = s^{▪}(t_{0}) ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t_{0}.

2) f(x) = c, x ∈ I. f′ = 0.

3) Sei f: ℝ → ℝ definiert durch f(x) = x^{n}, n ∈ ℕ. Behauptung: f′(x) = nx^{n−1} Beweis:

\frac{(x_{0} + h)^{n} − x_{0}^{n}}{n} = nx_{0}^{n−1} + \binom{n}{2}hx_{0}^{n−2} + ⋯ + h^{n−1} ⟶_{n→0} nx_{0}^{n−1}.

4) Es sei f(x) = e^{cx}, c ∈ ℂ. Dann ist f′ = cf, denn aus

\frac{e^{c(x_{0}+h)} − e^{cx_{0}}}{h} = e^{cx_{0}} \frac{e^{ch} − 1}{h} = e^{cx_{0}} (c + \frac{hc^{2}}{2} + ⋯)

folgt, daß der Differenzenquotient für h → 0 gegen ce^{cx_{0}} konvergiert. Daher ist

\frac{d}{dx}e^{cx} = ce^{cx}.

Satz 7.2. Sei f: I → ℂ in x_{0} ∈ I differenzierbar. Dann ist f stetig in x_{0}.

Beweis:

lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} (f(x_{0}) + \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}}(x − x_{0}))

= f(x_{0}) + f′(x_{0}) lim_{x→x_{0}}(x − x_{0}) = f(x_{0}).

Daraus folgt, daß f stetig in x_{0} ist.

□

Äquivalente Definitionen der Differenzierbarkeit

Satz 7.3. Es sei f: I → ℂ eine Funktion und x_{0} ∈ I. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. f ist in x_{0} differenzierbar.

2. Es existiert λ ∈ ℂ und eine Funktion ρ: T → ℂ mit ρ(x_{0}) = 0 und lim_{x→x_{0}} \frac{ρ(x)}{x−x_{0}} = 0 so, daß

f(x) = f(x_{0}) + λ(x − x_{0}) + ρ(x).

Es ist dann f′(x_{0}) = λ.

3. Es gibt eine in x_{0} stetige Funktion r: I → ℂ mit

f(x) = f(x_{0}) + r(x)(x − x_{0}).

Es ist f′(x_{0}) = r(x_{0}).

Beweis: 1)⇒ 2) Es sei λ = f′(x_{0}) und ρ(x) = f(x)−f(x_{0})−λ(x−x_{0}). Dann gilt ρ(x_{0}) = 0 und

lim_{x→x_{0}} \frac{ρ(x)}{x − x_{0}} = lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} − λ = f′(x_{0}) − λ = 0.

Nach Definition von ρ ist

f(x) = f(x_{0}) + λ(x − x_{0}) + ρ(x).

2) ⇒ 3) Wir setzen

r(x) = \begin{cases}λ + \frac{ρ(x)}{x−x_{0}} , & x ≠ x_{0}; \\ λ, & x = x_{0}. \end{cases}

Dann gilt

lim_{x→x_{0}} r(x) = lim_{x→x_{0}} \frac{ρ(x)}{x − x_{0}} + λ = λ = r(x_{0}).

⇒ r ist stetig in x_{0}. Weiter ist auf Grund der Definition von r:

f(x) = f(x_{0}) + r(x)(x − x_{0}).

2) ⇒ 1) Es gilt

lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} = lim_{x→x_{0}} r(x) = r(x_{0}),

d.h. der Grenzwert des Differentialquotienten existiert.

□

Bemerkung: 2) kann wie folgt geschrieben werden

f(x) = f(x_{0}) + f′(x_{0})(x − x_{0}) + ρ(x).

Dies bedeutet, daß f in x_{0} eine Taylorentwicklung 1. Ordnung hat. Sei L(h) = f′(x_{0})h, h ∈ ℝ. Dann ist L: ℝ → ℂ eine lineare Abbildung und es gilt

f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + L(h) + ρ(h), lim_{h→0} \frac{ρ(h)}{h} = 0.

Defintion. Eine Funktion f: I → ℂ heißt differenzierbar, wenn f in jedem Punkt x ∈ I differenzierbar ist.

Bisher haben wir nur offenen Intervalle als Definitionsbereich von f betrachtet. Es sei f: [a, b) → ℝ eine Funktion. Dann heißt f rechtsseitig differenzierbar in a, wenn der Grenzwert

f′_{+}(a) = lim_{x↓a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

existiert. f′_{+}(a) heißt dann rechtsseitige Ableitung von f in a. Entsprechend heißt f: (a, b] → ℂ linksseitig differenzierbar in b, wenn

f′_{−}(b) = lim_{x↑b} \frac{f(x) − f(b)}{x − b}

existiert. f′_{−}(b) heißt dann linksseitige Ableitung von f in b. Wir können jetzt beliebige Intervalle (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] als Definitionsbereich von f zulassen.

Extremalwerte und Ableitungen

Sei f: I → ℝ eine Funktion.

Definition.

1) f hat in x_{0} ∈ I ein globales Maximum (bzw. Minimum), wenn ∀x ∈ I: f(x) ≤ f(x_{0}) (bzw. f(x) ≥ f(x_{0})).

2) f hat in x_{0} ∈ I ein lokales Maximum (bzw. Minimum), wenn

∃ϵ > 0 ∀x ∈ I ∩ (x_{0} − ϵ, x_{0} + ϵ): f(x) ≤ f(x_{0}) (bzw. f(x) ≥ f(x_{0})).

Satz 7.4. Es sei f: (a, b) → ℝ in x_{0} ∈ I differenzierbar und f habe in x_{0} ein lokales Extremum. Dann ist f′(x_{0}) = 0.

Beweis: Wir betrachten den Fall, daß f in x_{0} ein lokales Maximum hat. Sei ϵ > 0 so, daß (x_{0} − ϵ, x_{0} + ϵ) ⊂ I und f ↾ (x_{0} − ϵ, x_{0} + ϵ) ein Maximum in x_{0} hat. Für x_{0} + ϵ > x > x_{0} gilt dann

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≤ 0 ⇒ f′(x_{0}) ≤ 0.

Für x_{0} − ϵ < x < x_{0} ist andererseits

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≥ 0 ⇒ f′(x_{0}) ≥ 0 ⇒ f′(x_{0}) = 0.

□

Bemerkungen:

1. Der Satz 7.4. ist falsch für Randpunkte.

Beispiel: f(x) = x, x ∈ [0, 1]. Dann sind 0 und 1 Extrema von f, aber f′(x) = 1 ≠ 0.

2. Aus f′(x_{0}) folgt nicht, daß x_{0} ein Extremum von f ist.

Beispiel: f(x) = x^{3}, f′(0) = 0, aber 0 ist kein Extremwert.

3. Sei −∞ < a < b < ∞ und sei f: [a, b] → ℝ stetig. Dann nimmt f sein Minimum und Maximum auf [a, b] an. Für Extrema von f gibt es dann folgende Möglichkeiten:

i) Die Randpunkte a und b;

ii) Die Punkte x ∈ (a, b), in denen f diffenzierbar ist und für die f′(x) = 0 gilt. iii) Punkte x ∈ (a, b), in denen f nicht differenzierbar ist.

7.2. Ableitungsregeln

Satz 7.5. Es seien f, g: I → ℂ in x_{0} ∈ I differenzierbar. Dann sind f + g, f · g, und falls g(x_{0}) ≠ 0, auch f/g in x_{0} differenzierbar, und es gilt:

1. (f + g)′(x_{0}) = f′(x_{0}) + g′(x_{0});

2. (f · g)′(x_{0}) = f′(x_{0})g(x_{0}) + f(x_{0})g′(x_{0});

3. (\frac{f}{g} ) (x_{0}) = \frac{f′(x_{0})g(x_{0})−f(x_{0})g′(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}.

Beweis: Diese Rechenregeln erhält man durch Anwendung der Rechenregeln für Grenzwerte.

1)

lim_{h→0} \frac{(f + g)(x_{0} + h) − (f + g)(x_{0})}{h} = lim_{h→0} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h}

+ lim_{h→0} \frac{g(x_{0} + h) − g(x_{0})}{h}

= f′(x_{0}) + g′(x_{0}).

2)

(f · g)′(x_{0}) = lim_{h→0} \frac{f(x_{0} + h)g(x_{0} + h) − f(x_{0})g(x_{0})}{h}

= lim_{h→0} \frac{1}{h}\{f(x_{0} + h)g(x_{0} + h) − f(x_{0})g(x_{0} + h)

+ f(x_{0})g(x_{0} + h) − f(x_{0})g(x_{0})}

= lim_{h→0} (\frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h}g(x_{0} + h))

+ lim_{h→0} (f(x_{0})\frac{g(x_{0} + h) − g(x_{0})}{h})

= f′(x_{0})g(x_{0}) + f(x_{0})g′(x_{0}).

3)

(\frac{f}{g} )′ (x_{0}) = lim_{h→0} \frac{1}{h} \{\frac{f(x_{0} + h)}{g(x_{0} + h)} − \frac{f(x_{0})}{g(x_{0})}\}

= lim_{h→0} \frac{1}{g(x_{0} + h)g(x_{0})} \{\frac{f(x_{0} + h)g(x_{0}) − f(x_{0})g(x_{0} + h)}{h}\}

= lim_{h→0} \frac{1}{g(x_{0} + h)g(x_{0})}\{\frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0})}{h}g(x_{0})

− f(x_{0})\frac{g(x_{0} + h) − g(x_{0})}{h}\}

= \frac{f′(x_{0})g(x_{0}) − f(x_{0})g′(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}.

□

Beispiele: 1) cos′(x) = − sin(x), sin′(x) = cos(x). Es gilt:

e^{ix} = cos(x) + i sin(x) und (e^{ix})′ = ie^{ix}.

Daraus folgt

(cos(x) + i sin(x))′ = cos′(x) + i sin′(x) = i(cos x + i sin x)
= − sin x + i cos x.

Dies ergibt die behaupteten Gleichungen für die Ableitungen. 2)

(tan x)′ = (\frac{sin x}{cos x})′ = \frac{cos^{2} x + sin^{2} x}{cos^{2} x} = \frac{1}{cos^{2} x}.

3)

\frac{d}{dx}x^{n} = \frac{d}{dx}(x ⋯ x) = nx^{n−1}.

Satz 7.6. (Kettenregel) Seien I, J ⊂ ℝ Intervalle, f: I → J und g: J → ℂ Funktionen. Weiter sei f in x_{0} und g in y_{0} = f(x_{0}) differenzierbar. Dann ist g ∘ f: I → ℂ in x_{0} differenzierbar und es gilt:

(g ∘ f)′(x_{0}) = g′(f(x_{0}))f′(x_{0}).

Beweis: Nach Satz 7.3, 3), existieren Funktionen p: I → J, q: J → ℂ, die in x_{0} bzw. y_{0} = f(x_{0}) stetig sind so, daß

a) f(x) − f(x_{0}) = p(x)(x − x_{0}), x ∈ I.

b) g(y) − g(y_{0}) = q(y)(y − y_{0}), y ∈ J. und p(x_{0}) = f′(x_{0}), q(y_{0}) = g′(y_{0}). Daraus folgt

g(f(x)) − g(f(x_{0})) = q(f(x))(f(x) − f(x_{0})) = q(f(x))p(x)(x − x_{0}).

Die Funktion q(f(x))p(x) ist in x_{0} stetig und es gilt

q(f(x_{0}))p(x_{0}) = g′(f(x_{0}))f′(x_{0}).

Aus Satz 7.3, 3) folgt die Behauptung.

□

Satz 7.7. (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei f: I → ℝ streng monoton, differenzierbar in x_{0} ∈ I und es sei f′(x_{0}) ≠ 0. Dann ist die Umkehrfunktion g: f(I) → I in y_{0} = f(x_{0}) differenzierbar und es gilt

g′(y_{0}) = \frac{1}{f′(x_{0})} = \frac{1}{f′(g(y_{0}))}.

Beweis: Aus Satz 7.3, 3) folgt: Es existiert eine in x_{0} stetige Funktion p: I → ℝ mit p(x_{0}) = f′(x_{0}) und

f(x) − f(x_{0}) = p(x)(x − x_{0}).  (7.1)

Da f streng monoton ist, folgt p(x) ≠ 0 für alle x ≠ x_{0}. Weiter ist p(x_{0}) = f′(x_{0}) ≠ 0. Damit gilt p(x) ≠ 0 für alle x ∈ I. Sei y = f(x), y_{0} = f(x_{0}). Dann ist x = g(y), x_{0} = g(y_{0}). Aus (7.1) folgt

y − y_{0} = p(g(y))(g(y) − g(y_{0})).

Daraus erhalten wir

g(y) − g(y_{0}) = \frac{1}{p(g(y))}(y − y_{0}).

Da f in x_{0} differenzierbar ist, folgt aus Satz 7.2, daß f in x_{0} stegig ist. Daraus folgt, daß g in y_{0} = f(x_{0}) stetig. Da p stetig in x_{0} = g(y_{0}) ist und p(x) ≠ 0 für alle x ∈ I, folgt, daß p(g(y))^{−1} stetig in y_{0} ist und

\frac{1}{p(g(y_{0}))} = \frac{1}{f′(x_{0})}.

Aus Satz 7.3 folgt die Behauptung.

□

Beispiele: 1) ln(x) = exp^{−1}(x).

(ln(x))′ = \frac{1}{exp(ln(x))} = \frac{1}{x}.

2) Sei x > 0, a ∈ ℝ. Dann ist x^{a} = e^{a ln x}. Anwendung der Kettenregel ergibt

(x^{a})′ = (e^{a ln x})′ = e^{a ln x} · a(ln x)′ = ax^{a} \frac{1}{x} = ax^{a−1}.

7.3. Mittelwertsätze Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von lokalen Eigenschaften von differenzierbaren Funktionen ist der Mittelwertsatz. Er besagt, daß für eine stetige Funktion f: [a, b] → ℝ, die auf dem offenen Intervall differenzierbar ist, immer ein Punkt ξ ∈ (a, b) existiert so, daß die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkte (ξ, f(ξ)) den gleichen Anstieg hat wie die Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)), d.h., es gilt

\frac{f(b) − f(a)}{a − b} = f′(x).

Ein Spezialfall ist der Satz von Rolle.

Satz 7.8. (Satz von Rolle). Sei a < b, a, b ∈ ℝ. Sei f: [a, b] → ℝ stetig und differenzierbar auf (a, b). Weiter sei f(a) = f(b). Dann existiert x ∈ (a, b) mit f′(x) = 0.

Beweis: Da f: [a, b] → ℝ stetig ist, folgt aus Satz 6.31, daß x_{1}, x_{2} ∈ [a, b] existieren so, daß gilt:

∀x ∈ [a, b]: m = f(x_{1}) ≤ f(x) ≤ f(x_{2}) = M,

d.h., m = min{f(x) | x ∈ [a, b]} und M = max{f(x) | x ∈ [a, b]}. Wir unterscheiden zwei Fälle: Fall 1: m = M. Dann ist f(x) = m für alle x ∈ [a, b]. Daraus folgt f′(x) = 0 für alle x ∈ (a, b). Fall 2: m < M. O.B.d.A. können wir annehmen, daß f(a) < M gilt. Dann ist auch f(b) < M. Daraus folgt, daß ein x ∈ (a, b) existiert mit f(x) = M. Aus Satz 7.4 erhalten wir f′(x) = 0.

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Satz 7.9. (Mittelwertsatz) Sei f: [a, b] → ℝ stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann existiert x ∈ (a, b) mit

\frac{f(b) − f(a)}{b − a} = f′(x).

Beweis: Wir reduzieren diesen Fall auf den Satz von Rolle. Sei F: [a, b] → ℝ definiert durch

F (x) = f(x) − \frac{f(b) − f(a)}{b − a}(x − a).

Dann ist F stetig auf [a, b], differenzierbar auf (a, b) und es gilt

F (a) = f(a) = F (b).

Aus dem Satz von Rolle folgt, daß x ∈ (a, b) existiert mit F′(x) = 0. Daraus erhalten wir

0 = F′(x) = f′(x) − \frac{f(b) − f(a)}{b − a}.

□

Anwendungen des Mittelwertsatzes

Satz 7.10. (Monotoniekriterium) Es sei f: (a, b) → ℝ differenzierbar. Dann gilt:

1. f′(x) > 0 für alle x ∈ (a, b) ⇒ f streng monoton wachsend.

2. f′(x) ≥ 0 für alle x ∈ (a, b) ⇔ f monoton wachsend.

3. f′(x) < 0 für alle x ∈ (a, b) ⇒ f streng monoton fallend.

4. f′(x) ≤ 0 für alle x ∈ (a, b) ⇒ f monoton fallend. Ist f stetig auf [a, b) oder (a, b], so gelten die rechts stehenden Aussagen auf [a, b) bzw. (a, b].

Beweis: 1) Seien x_{1}, x_{2} ∈ (a, b) mit x_{2} > x_{1}. Aus Satz 7.9 folgt, daß ein x ∈ (x_{1}, x_{2}) existiert mit

\frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} = f′(x).

Nach Voraussetzung ist f′(x) > 0. Daraus folgt f(x_{2}) > f(x_{1}). Der Beweis von 2) - 4) ist analog.

□

Korollar 7.11. Es sei f: (a, b) → ℝ differenzierbar und in x_{0} ∈ (a, b) gelte f′(x_{0}) = 0. Dann hat f in x_{0} ein

1. Minimum, wenn f′ ≤ 0 in (a, x_{0}) und f′ ≥ 0 in (x_{0}, b);

2. Maximum, wenn f′ ≥ 0 in (a, x_{0}) und f′ ≤ 0 in (x_{0}, b).

Beweis: Aus Satz 7.10 folgt, daß f in (a, x_{0}] monoton fallend und in [x_{0}, b)monoton wachsend ist. Daraus folgt

f(x) ≥ f(x_{0}) für alle a < x ≤ x_{0},
f(x_{0}) ≤ f(x) für alle x_{0} ≤ x < b.

Dies bedeutet, daß f in x_{0} ein Minimum hat. Der Beweis von 2) ist analog.

□

Satz 7.12. Sei f: [a, b] → ℝ stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann gilt:

f′(x) = 0 für alle x ∈ (a, b) ⇔ f konstant.

Beweis: ⇐) klar ⇒) Seien x_{1}, x_{2} ∈ [a, b] und sei x_{1} < x_{2}. Aus dem Mittelwertsatz folgt, daß ein x_{0} ∈ (x_{1}, x_{2}) existiert mit

\frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} = f′(x_{0}).

Da f′(x_{0}) = 0, ergibt sich daraus f(x_{1}) = f(x_{2}).

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Satz 7.13. (Schrankensatz) Es sei f: I → ℂ differenzierbar und es existiere L ∈ ℝ_{+} so, daß |f′(x)| ≤ L für alle x ∈ I. Dann gilt

∀x_{1}, x_{2} ∈ I: |f(x_{1}) − f(x_{2})| ≤ L|x_{1} − x_{2}|,

d.h. f ist Lippschitzstetig.

Beweis: Seien x_{1}, x_{2} ∈ I mit x_{1} < x_{2}. Aus dem Mittelwertsatz folgt, daß ein x_{0} ∈ (x_{1}, x_{2}) existiert mit

f(x_{2}) − f(x_{1}) = (x_{2} − x_{1})f′(x_{0})

Hieraus folgt

|f(x_{1}) − f(x_{2})| ≤ |x_{1} − x_{2}||f′(x_{0})| ≤ L|x_{1} − x_{2}|.
□

Defintion 7.14. Eine Funktion f: I → ℝ heißt stetig differenzierbar, wenn f differenzierbar und f′ stetig ist.

Korollar 7.15. Es sei f: [a, b] → ℝ stetig differenzierbar. Dann ist f Lipschitz-stetig.

Beweis: Da f′: [a, b] → ℝ stetig ist, folgt aus Korollar 6.32, daß ein L > 0 existiert so, daß |f′(x)| ≤ L für alle x ∈ [a, b]. Die Behauptung folgt dann aus Satz 7.13.

□

Beispiele: 1. Sei f: ℝ → ℝ eine differenzierbare Funktion mit

f′ = cf und f(0) = 1.

Dann ist f(x) = e^{cx}.

Beweis: Die Funktion h : ℝ → ℝ sei definiert durch h = f(x)e^{−cx}. Die Anwendung der Produktregel ergibt

h′(x) = f′(x)e^{−cx} − cf(x)e^{−cx} = cf(x)e^{−cx} − cf(x)e^{−cx} = 0.

Aus Satz 7.12 folgt, daß ein C ∈ ℝ existiert mit h(x) = C für alle x ∈ ℝ. Daraus folgt

f(x) = Ce^{cx}.

Wenn wir in dieser Gleichung x = 0 setzen, ergibt sich auf Grund der Voraussetzung C = f(0) = 1.

2. Methode der kleinsten Quadrate Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ gegeben. Gesucht ist a ∈ ℝ, so daß (a − a_{1})^{2} + ⋯ + (a − a_{n})^{2} minimal wird. Um dieses Problem zu lösen, betrachten wir die Funktion

f(x) = (x − a_{1})^{2} + ⋯ + (x − a_{n})^{2}.

Dann ist

f′(x) = 2(x − a_{1}) + ⋯ + 2(x − a_{n}).

Es sei f′(x_{0}) = 0. Dann folgt aus dieser Gleichung

2nx_{0} = 2(a_{1} + ⋯ + a_{n}),

d.h.,

x_{0} = \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} .

Weiter gilt

\begin{aligned}x < \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} & ⇒ f′(x) < 0 \\ x > \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} & ⇒ f′(x) > 0 \end{aligned}

Daraus folgt, daß \frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} das eindeutig bestimmte Minimum ist.

Satz 7.16. (Verallgemeinerter Mittelwertsatz) Seien f, g: [a, b] → ℝ stetig und differenzierbar in (a, b). Weiter sei g′(x) ≠ 0 für alle x ∈ (a, b). Dann ist g(b) ≠ g(a), und es existiert x_{0} ∈ (a, b) mit

\frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(x_{0})}{g′(x_{0})}

Beweis: 1. Wir nehmen an, daß g(b) = g(a) gilt. Aus dem Satz von Rolle folgt, daß ein x ∈ (a, b) existiert mit g′(x) = 0. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß g′(x) ≠ 0 für alle x ∈ (a, b). Daher ist g(b) ≠ g(a).

2. Sei

F (x) = f(x) − \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)}(g(x) − g(a))

Dann gilt F (a) = F (b) und F: [a, b] → ℝ ist stetig und differenzierbar in (a, b). Aus dem Satz von Rolle folgt, daß ein x_{0} ∈ (a, b) existiert mit F′(x_{0}) = 0. Daraus folgt

f′(x_{0}) = \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)}g′(x_{0}).

□

Als Anwendung ergibt sich

Satz 7.17. (Regel von L’Hospital) Für −∞ ≤ a < b ≤ ∞ seien f, g: (a, b) → ℝ differenzierbar und es gelte g′(x) ≠ 0 für alle x ∈ (a, b). In jedem der beiden Fälle

1. f(x) → 0 und g(x) → 0 für x ↓ a

2. f(x) → ∞ und g(x) → ∞ für x ↓ a gilt:

Wenn lim_{x↓a} \frac{f′(x)}{g′(x)} existiert, so existiert lim_{x↓a} \frac{f(x)}{g(x)} und

lim_{x↓a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x↓a} \frac{f′(x)}{g′(x)}.

Entsprechende Aussagen gelten für x ↑ b, x → ∞ und x → −∞.

Beweis: 1. Wir können f und g zu stetigen Funktionen f, g: [a, b) → ℝ fortsetzen mit f(a) = g(a) = 0. Aus dem verallgemeinerten Mittelwertsatz folgt: Für alle x ∈ (a, b) existiert ξ ∈ (a, x) so, daß

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}.

Aus x → a folgt ξ → a und damit die Behauptung.

2. Sei lim_{x↓a} \frac{f′(x)}{g′(x)} = A. Zu ϵ > 0 wählen wir δ > 0 so, daß

|\frac{f′(l)}{g′(l)} − A| < ϵ

für alle t ∈ (a, a + δ). Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz gilt für alle x, y ∈ (a, a + δ) mit x ≠ y:

|\frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)} − A| < ϵ.

Nun ist

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)} · \frac{1 − g(y)/g(x)}{1 − f(y)/f(x)}.

Nach Voraussetzung gilt: f(x) → ∞ und g(x) → ∞ für x ↓ a. Daraus folgt, daß für alle y ∈ (a, a + δ) gilt:

lim_{x↓a} \frac{1 − g(y)/g(x)}{1 − f(y)/f(x)} = 1.

Hieraus folgt, daß ein δ_{1} > 0 existiert so, daß für alle x ∈ (a, a + δ_{1}) gilt:

|\frac{f(x)}{g(x)} − \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}| < 2ϵ

Für alle x ∈ (a, a + min(δ, δ_{1}) gilt dann

|\frac{f(x)}{g(x)} − A| < 2ϵ.

Dies beweist die Behauptung im Falle b). Der Grenzprozess x → ∞ kann auf den bewiesenen Grenzprozess y ↓ 0 durch die Substituion x = 1/y zurückgeführt werden.

□

Beispiele: 1) Berechnung von lim_{x↓0} x ln x. Die Anwendung von Satz 7.17 ergibt

lim_{x↓0} x ln x = lim_{x↓0} \frac{ln x}{\frac{1}{x}} = lim_{x↓0} \frac{\frac{1}{x}}{−\frac{1}{x^{2}}} = 0.

2)

lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = lim_{x→0} cos x = 1.
lim_{x→0} \frac{1 − cos x}{x}0 lim_{x→0} sin x = 0.

4)

lim_{x↓0} (\frac{1}{sin x} − \frac{1}{x}) = lim_{x↓0} \frac{x − sin x}{x · sin x} = lim_{x↓0} \frac{1 − cos x}{x cos x + sin x}
= lim_{x↓0} \frac{sin x}{2 cos x − x sin x} = 0.

Beim letzten Beispiel haben wir die l′Hospitalsche Regel zweimal angewendet.

7.4. Höhere Ableitungen

Definition 7.18. Sei f: I → ℂ differenzierbar. Ist die Funktion f′: I → ℂ in x_{0} ∈ I differenzierbar, so definiert man die zweite Ableitung von f in x_{0} als

f′′(x_{0}) = (f′)′(x_{0}).

Rekursiv definiert man die n-te Ableitung f^{(n)}(x_{0}) von f in x_{0}, falls die (n − 1)-te Ableitung f^{(n−1)} auf I erklärt ist und in x_{0} differenzierbar ist durch

f^{(n)}(x_{0}) = (f^{(n−1)})′ (x_{0}).

Wir sagen f ist n-mal stetig differenzierbar, wenn f^{(n)} : I → ℝ existiert und stetig ist. Existiert für jedes n ∈ ℕ die Ableitung n-ter Ordnung, so heißt f beliebig oft differenzierbar.

Bezeichnungen: f^{(n)}(x_{0}), \frac{d^{n}f}{dx^{n}} (x_{0}), D^{n}f(x_{0}).

C^{0}(I) = {f: I → ℂ | f stetig}
C^{n}(I) = {f: I → ℂ | f n − mal stetig differenzierbar}
C^{∞}(I) = {f: I → ℂ | f ist ∞ − oft differenzierbar}.

Die Räume C^{0}(I), C^{n}(I) und C^{∞}(I) sind komplexe Vektorräume unendlicher Dimension. Beispiele: 1) Sei

f(x) = \begin{cases}e^{−1/x^{2}}, & x ≠ 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}

Dann ist f ∈ C^{∞}(ℝ). Beweis: Für x ≠ 0 ist f(x) differenzierbar und es gilt

f′(x) = −\frac{2}{x^{3}} e^{−1/x^{2}}.

Weiter ist für x ≠ 0:

\frac{e^{−1/x^{2}}}{|x|} = \frac{1}{|x|} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}} + ⋯} < \frac{x^{2}}{|x|} = |x|.

Daraus folgt, daß f′(0) existiert und

f′(0) = lim_{x→0} x^{−1}e^{−1/x^{2}} = 0.

Ebenso zeigt man

lim_{x→0} f′(x) = 0.

Damit ist f′: ℝ → ℝ stetig. Durch Induktion zeigt man, daß f^{(n)} für alle n existiert und stetig ist. Insbesondere folgt

f^{(n)}(0) = 0 für alle n ∈ ℕ.
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Eine besonders wichtige Rolle spielen die zweiten Ableitungen. Z.B. sei für einen Bewegungsvorgang der Weg s(t) als Funktion der Zeit gegeben. Dann ist die zweite Ableitung s′′(t) die Beschleunigung zum Zeitpunkt t.

Eine andere wichtige Rolle spielen die zweiten Ableitungen bei der Charakterisierung von Extremalwerten.

Satz 7.19. Es sei f: (a, b) → ℝ zweimal stetig differenzierbar, und sei x_{0} ∈ (a, b). Es sei f′(x_{0}) = 0. Dann gilt:

1. f′′(x_{0}) > 0 ⇒ f hat ein lokales Minimum in x_{0}.

2. f′′(x_{0}) < 0 ⇒ f hat ein lokales Maximum in x_{0}.

Beweis: 1) Da f′′ stetig ist, existiert δ > 0, so daß (x_{0} − δ, x_{0} + δ) ⊂ (a, b) und f′′(x) > 0 für alle x ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ).

Da f′′ = (f′)′(x) > 0, folgt aus Satz 7.10, daß f′ streng monoton wachsend auf (x_{0} − δ, x_{0} + δ) ist. Da f′(x_{0}) = 0 gilt, folgt

f′(x) < 0 für alle x ∈ (x_{0} − δ, x_{0})
f′(x) > 0 für alle x ∈ (x_{0}, x_{0} + δ).

Aus Korollar 7.11 folgt, daß f ein lokales Minimum in x_{0} hat. Analog beweist man 2).

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Der Satz 7.19 liefert uns ein hinreichendes Kriterium für die Existenz eines lokalen Extremwertes einer Funktion.

7.5. Konvexität Der Begriff der Konvexität einer Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Analysis.

Definition 7.20. Sei I ⊂ ℝ ein Intervall. Eine Funktion f: I → ℝ heißt konvex, wenn für jedes Tripel x_{0}, x, x_{1} ∈ I mit x_{0} < x < x_{1} gilt

(K)  f(x) ≤ \frac{x_{1} − x}{x_{1} − x_{0}} f(x_{0}) + \frac{x − x_{0}}{x_{1} − x_{0}} f(x_{1}).

Wir nennen f strikt konvex, falls für alle solche Tripel die Ungleichung (K) streng ist. Die Funktion f heißt konkav, wenn −f konvex ist.

Die Ungleichung (K) kann wie folgt umformuliert werden. Für x ∈ (x_{0}, x_{1}) sei

λ = \frac{x − x_{0}}{x_{1} − x_{0}} .

Dann ist λ ∈ (0, 1) und

x = λx_{1} + (1 − λ)x_{0}.

Umgekehrt liegt jeder solcher Punkt in (x_{0}, x_{1}). Die Gleichung (K) ist dann äquivalent zu der folgenden Aussage

Für alle x_{0}, x_{1} ∈ I mit x_{0} ≠ x_{1} und alle λ ∈ (0, 1) gilt:

f(λx_{1} + (1 − λ)x_{0}) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{0}).

Lemma 7.21. Es sei f: I → ℝ eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. f ist konvex

2. Für alle Tripel x_{0}, x, x_{1} ∈ I mit x_{0} < x < x_{1} gilt:

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≤ \frac{f(x_{1}) − f(x)}{x_{1} − x}.

3. Für alle Tripel x_{0}, x, x_{1} ∈ I gilt

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≤ \frac{f(x_{1}) − f(x_{0})}{x_{1} − x_{0}} ≤ \frac{f(x_{1}) − f(x)}{x_{1} − x}.

Beweis: 1) ⇒ 3). Es sei x_{0}, x, x_{1} ∈ I ein Tripel mit x_{0} < x < x_{1}. Da f konvex ist, folgt aus der Ungleichung (K)

(x_{1} − x_{0})f(x) ≤ (x_{1} − x)f(x_{0}) + (x − x_{0})f(x_{1}).

Daraus folgt

(x_{1} − x_{0})f(x) ≤ ((x_{1} − x_{0}) + (x_{0} − x))f(x_{0}) + (x − x_{0})f(x_{1}).

Die Gleichung ist äuquivalent zu

(x_{1} − x_{0})(f(x) − f(x_{0})) ≤ (x − x_{0})(f(x_{1}) − f(x_{0})).

und diese wiederum zu

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≤ \frac{f(x_{1}) − f(x_{0})}{x_{1} − x_{0}}.

Dies ergibt die linke Ungleichung in 3). Entsprechend folgt aus (K)

(x_{1} − x_{0})f(x) ≤ (x_{1} − x)f(x_{0}) + ((x − x_{1}) + (x_{1} − x_{0}))f(x_{1})

Umordnung ergibt

(x_{1} − x)(f(x_{1}) − f(x_{0})) ≤ (x_{1} − x_{0})(f(x_{1}) − f(x))

und daraus folgt die rechte Ungleichung von 3).

3) ⇒ 2): klar

2) ⇒ 1) Sei x_{0}, x, x_{1} ∈ I ein Tripel mit x_{0} < x < x_{1}. Aus der Ungleichung von 2) folgt

(x_{1} − x)(f(x) − f(x_{0})) ≤ (f(x_{1}) − f(x_{0}))(x − x_{0}).

Daraus folgt

(x_{1} − x_{0})f(x) ≤ (x − x_{0})f(x_{1}) + (x_{1} − x)f(x_{0}).

und dies ergibt (K).

□

Für differenzierbare Funktionen hängt die Konvexität mit dem Wachstum der Ableitung zusammen. Und zwar gilt

Korollar 7.22. Sei f: [a, b] → ℝ stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann ist f genau dann konvex, wenn f′ monoton wachsend ist.

Beweis: Sei f konvex. Für x_{0}, x_{1} ∈ (a, b) mit x_{0} ≤ x_{1} folgt aus 3):

f′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≤ \frac{f(x_{1}) − f(x_{0})}{x_{1} − x_{0}}

und

f′(x_{1}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f(x_{1}) − f(x)}{x_{1} − x} ≥ \frac{f(x_{1}) − f(x_{0})}{x_{1} − x_{0}}.

Daraus folgt

f′(x_{0}) ≤ f′(x_{1}).

Sei umgekehrt f′ monoton wachsend auf (a, b) und sei x_{0}, x, x_{1} ∈ [a, b] ein Tripel mit x_{0} < x < x_{1}. Aus dem Mittelwertsatz, angewendet auf f: [x_{0}, x] → ℝ bzw. f: [x, x_{1}] → ℝ, folgt die Existenz von y_{0} ∈ (x_{0}, x) und y_{1} ∈ (x, x_{1}) so, daß

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} = f′(y_{0}) und \frac{f(x_{1}) − f(x)}{x_{1} − x} = f′(y_{1}).

Da y < y_{1} und f′ monoton wachsend ist, folgt

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≤ \frac{f(x_{1}) − f(x)}{x_{1} − x}

und aus Lemma 7.21 die Ungleichung (K).

□

Bemerkung: Wenn f′ streng monoton wachsend ist, so ist f streng konvex.

Satz 7.23. Sei f: [a, b] → ℝ stetig und in (a, b) zweimal differenzierbar. Dann gilt

1. f ist genau dann konvex, wenn f′′ ≥ 0.

2. Wenn f′′ > 0, so ist f streng konvex.

Beweis:

1. Aus Korollar 7.22 folgt:

f konvex ⇔ f′ monoton wachsend.

Aus Lemma 7.10 folgt:

f′ ist monoton wachsend ⇔ f′′ ≥ 0 auf (a, b).

2. Es sei f′′ > 0 auf (a, b). Aus Lemma 7.10 folgt, daß f′ auf (a, b) streng monoton wächst. Aus Korollar 7.22 folgt dann, daß f auf (a, b) streng konvex ist.

□

Defintion 7.24. Sei f: (a, b) → ℝ stetig. Der Punkt (x_{0}, f(x_{0})) heißt Wendepunkt von f, wenn es Intervalle (x_{1}, x_{0}) und (x_{0}, x_{2}) gibt so, daß eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:

1. f ist auf (x_{1}, x_{0}) konvex und auf (x_{0}, x_{2}) konkav.

2. f ist auf (x_{1}, x_{0}) konkav und auf (x_{0}, x_{2}) konvex.

Beispiel: Die Funktion f: ℝ → ℝ sei definiert durch f(x) = x^{3}, x ∈ ℝ. Dann ist f′′(x) = 6x. Aus Satz 7.23 folgt, daß f auf (−∞, 0) konkav und auf (0, ∞) konvex ist. Daher ist 0 ein Wendepunkt von f.

Satz 7.25. Es sei f: (a, b) → ℝ dreimal stetig differenzierbar und sei x_{0} ∈ (a, b). Wenn f′′(x_{0}) = 0 und f^{(3)}(x_{0}) ≠ 0, so hat f einen Wendepunkt in x_{0}.

Beweis: Es sei f^{(3)}(x_{0}) > 0. Da f^{(3)} auf (a, b) stetig ist, existiert δ > 0 so, daß f^{(3)}(x) > 0 für alle x ∈ (x_{0} − δ, x_{0} + δ). Aus Lemma 7.10 folgt, daß f′′ auf (x_{0} − δ, x_{0} + δ) streng monoton wachsend ist. Da f′′(x_{0}) = 0, ist, f′′(x) < 0 für alle x ∈ (x_{0} − δ, x_{0}) und f′′(x) > 0 für alle x ∈ (x_{0}, x_{0} + δ). Aus Satz 7.23 folgt, daß f′′ auf (x_{0} − δ, x_{0}) konkav und auf (x_{0}, x_{0} + δ) konvex ist. Analog behandelt man den Fall f^{(3)}(x_{0}) < 0.

□

7.6. Differentation von Reihen Im Abschnitt 6.5 haben wir gezeigt, daß eine normal konvergente Reihe stetiger Funktionen eine stetige Funktion definiert. Eine normal konvergente Reihe differenzierbarer Funktionen ist jedoch im allgemeinen nicht differenzierbar. Beispiel: Für n ∈ ℕ sei die Funktion f_{n}: ℝ → ℝ definiert durch

f_{n}(x) = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}}.

Dann ist f_{n} für alle n ∈ ℕ eine differenzierbare Funktion. Es sei

f(x) = f_{1}(x) + ∑_{n=2}^{∞}(f_{n}(x) − f_{n−1}(x)).  (7.2)

Für die n-te Partialsumme s_{n} gilt s_{n} = f_{n}. Daher ist

f(x) = lim_{n→∞} \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}} = \sqrt{x^{2}} = |x|, x ∈ ℝ.

Weiter ist

0 ≤ 2\sqrt{\frac{1}{n + 1}} (\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}} − \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n + 1}})

≤ (\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}} − \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n + 1}}) (\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n + 1}})

= \frac{1}{(n + 1)n}.

Daraus folgt

|\sqrt{x^{2} + \frac{1}{n + 1}} − \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}}| ≤ \frac{1}{n\sqrt{n + 1}}

für alle n ∈ ℕ. Dies wiederum ergibt

∑_{n=2}^{∞} ∥ f_{n} − f_{n−1} ∥≤ ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n\sqrt{n + 1}} ≤ ∑_{n=1}^{∞} n^{−3/2} < ∞.

Die Reihe (7.2) ist also normal konvergent, die Grenzfunktion f(x) = |x| ist aber in x = 0 nicht differenzierbar.

Der folgende Satz ist ein hinreichendes Kriterium für die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion.

Satz 7.26. Sei f_{n}: I → ℂ eine Folge differenzierbarer Funktionen und es gelte:

1. ∑_{n=1}^{∞} f_{n} konvergiert punktweise auf I.

2. ∑_{n=1}^{∞} f′_{n} konvergiert normal auf I. Dann ist die Funktion f = ∑_{n=1}^{∞} f_{n} auf I differenzierbar und es gilt

f′ = ∑_{n=1}^{∞} f′_{n}.

Beweis: Es sei ϵ > 0. Auf Grund der Voraussetzung 2. existiert zu ϵ ein N ∈ ℕ so, daß

∑_{n=N+1}^{∞} ∥ f_{n} ∥< \frac{ϵ}{3}.  (7.3)

Seien x_{0}, x ∈ I, x > x_{0}. Aus dem Mittelwertsatz folgt, daß für jedes n ∈ ℕ ein ξ_{n} ∈ [x_{0}, x] existiert mit

\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} = f′_{n}(ξ_{n})

Daraus folgt

|\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} | ≤∥ f′_{n} ∥

für alle n ∈ ℕ. Aus (7.3) erhalten wir daher

∑_{n=N+1}^{∞} |\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} | < \frac{ϵ}{3}.  (7.4)

Aus der Voraussetzung 1) zusammen mit (7.3) und (7.4) folgt

\begin{matrix}|\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} − ∑_{n=1}^{∞} f′_{n}(x_{0})| ≤ ∑_{n=1}^{N} |\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} − f′_{n}(x_{0})| \\ + ∑_{n=N+1}^{∞} |\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} | + ∑_{n=N+1}^{∞} ∥ f′_{n} ∥≤ ∑_{n=1}^{N} |\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} − f′_{n}(x_{0})| + \frac{2}{3}ϵ. \end{matrix}

Da jede Funktion f_{n}: I → ℂ differenzierbar ist, existiert δ > 0 so, daß für alle x mit |x − x_{0}| < δ und x ≠ x_{0} gilt

∑_{n=1}^{N} |\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} − f′_{n}(x_{0})| < \frac{ϵ}{3}.

Daraus folgt, daß f in x_{0} differenzierbar ist und

f′(x_{0}) = ∑_{n=1}^{∞} f′_{n}(x_{0}).

□

Korollar 7.27. Es sei P (x) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}x^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann ist die Funktion P: (−R, R) → ℂ differenzierba und es gilt

P′(x) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1}.

Beweis: Da \sqrt[n]{n} → 1 für n → ∞, gilt

lim sup \sqrt[n]{n|a_{n}|} = lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} = R.

Damit hat die abgeleitete Reihe

∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n}

ebenfalls den Konvergenzradius R. Es sei r < R. Dann konvergiert die Reihe ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n} normal im Intervall (−r, r). Aus Satz 7.26 folgt, daß

P′(x) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n}

für alle x ∈ (−r, r). Da r < R beliebig gewählt war, gilt die Gleichung für alle x ∈ (−R, R).

□

8. Integralrechnung

8.1. Das Integral von Treppenfunktionen

Definition 8.1. Eine Funktion φ: [a, b] → ℂ heißt Treppenfunktion, wenn es eine Zerlegung (oder Unterteilung)

a = x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n} = b

von [a, b] gibt so, daß φ auf jedem Intervall (x_{k−1}, x_{k}), k = 1, …, n, konstant ist.

Die Werte der Funktion φ in den Teilungspunkten x_{0}, …, x_{n} unterliegen keiner Einschränkung. Den Vektorraum aller Treppenfunktionen auf [a, b] bezeichnen wir mit T [a, b].

Definition 8.2. Es sei φ ∈ T [a, b] und es sei Z = {x_{0}, …, x_{n}} eine Zerlegung von [a, b] so, daß φ(x) = c_{k} ∈ ℂ für x ∈ (x_{k−1}, x_{k}). Dann definieren wir

∫_{a}^{b} φ(x)dx =_{Df} ∑_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} − x_{k−1}).

Lemma 8.3. ∫_{a}^{b} φ(x)dx ist unabhängig von der Zerlegung Z.

Beweis: Für eine Zerlegung Z = {x_{0}, …, x_{n}} mit φ(x) = c_{k} für x ∈ (x_{k−1}, x_{k}) sei

I_{Z}(φ) = ∑_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} − x_{k−1}).

Es sei Z′ eine weitere Zerlegung von [a, b] so, daß φ konstant ist auf den offenen Teilintervallen. Wir bilden eine neue Zerlegung Z′′ = Z ∪ Z′. Dies ist die gemeinsame Verfeinerung von Z und Z′. Wir zeigen dann, daß I_{Z′′}(φ) = I_{Z}(φ) gilt. Die Zerlegung Z′′ entsteht aus Z durch Hinzunahme endlich vieler neuer Teilungspunkte. Durch Induktion läßt sich die Behauptung zurückführen auf den Fall, daß Z′′ aus Z durch Hinzunahme eines neuen Teilungspunktes y ∈ (x_{k−1}, x_{k}) entsteht. Da

c_{k}(x_{k} − x_{k−1}) = c_{k}(x_{k} − y) + c_{k}(y − x_{k−1}),

folgt unmittelbar aus der Defintion, daß

I_{Z′′}(φ) = I_{Z}(φ)

gilt. Analog zeigt man I_{Z′′}(φ) = I_{Z′}(φ).

□

Durch Lemma 8.3 wird die Bezeichnung ∫_{a}^{b} φ(x)dx für I_{Z}(φ) gerechtfertigt. Zur Abkürzung schreiben wir auch

∫_{a}^{b} φdx.

für ∫_{a}^{b} φ(x)dx. Für eine Funktion f: [a, b] → ℂ sei

∥ f ∥= sup{|f(x)| | x ∈ [a, b]}

die Suprenumsnorm.

Lemma 8.4. Es seien φ, ψ ∈ [a, b] und α, β ∈ ℂ. Dann gilt 1. ∫_{a}^{b}(αφ + βψ)dx = α ∫_{a}^{b} φdx + β ∫_{a}^{b} ψdx (Linearität)

2. | ∫_{a}^{b} φdx| ≤ ∫_{a}^{b} |φ|dx ≤ (b − a) ∥ φ ∥ (Beschränktheit)

3. Falls φ, ψ reell sind und φ ≤ ψ, so gilt

∫_{a}^{b} φdx ≤ ∫_{a}^{b} ψ dx  (Monotonie)

Beweis: Wir wählen eine Zerlegung Z = {x_{0}, …, x_{n}} von [a, b] so, daß φ und ψ auf jedem Teilintervall (x_{k−1}, x_{k}), k = 1, …, n, konstant sind. Dann folgen 1) und 3) unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften endlicher Summen komplexer Zahlen. Ebenso folgt die 1. Ungleichung in 2) aus der Dreiecksungleichung. Die zweite Ungleichung folgt aus

max{|c_{k}| | 1 ≤ k ≤ n} ≤∥ φ ∥ .
□

8.2. Das Integral von Regelfunktionen

Definition 8.5. Sei I ⊂ ℝ ein Intervall mit Anfangspunkt a und dem Endpunkt b. Eine Funktion f: I → ℂ heißt Regelfunktion, wenn gilt:

1. In jedem Punkt x_{0} ∈ (a, b) hat f einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert.

2. Falls a ∈ I, so hat f in a einen rechtsseitigen Grenzwert, und falls b ∈ I, so hat f in b einen linksseitigen Grenzwert. Sei

R(I) = {f: I → ℂ | f Regelfunktion}

Beispiele:

1. Treppenfunktionen

2. Stetige Funktionen

3. monotone Funktionen.

Satz 8.6. Es sei f: [a, b] → ℂ eine Funktion. Dann gilt

f ∈ R[a, b] ⇔ ∀ϵ > 0 ∃φ ∈ [a, b]: ∥ f − φ ∥< ϵ.

Beweis: ⇒) Sei f ∈ R[a, b]. Annahme: Es existiert ϵ > 0 so, daß f keine ϵ- approximierende Treppenfunktion hat. Wir konstruieren eine Intervallschachtelung I_{n} = [a_{n}, b_{n}], n ∈ ℕ, mit folgenden Eigenschaften

1. |I_{n}| = (b − a)2^{−n+1} für alle n ∈ ℕ.

2. Für alle φ ∈ T (I_{n}): ∥ φ − f ↾ I_{n} ∥≥ ϵ.

Die Konstruktion erfolgt rekursiv.

1. Schritt: Sei I_{1} = [a, b] n+1. Schritt: Sei I_{n} bereits konstruiert und sei m der Mittelpunkt von I_{n}. Sei I_{n+1} eines der Teilintervalle [a_{n}, m] und [m, b_{n}] so, daß auf diesem Teilintervall keine ϵ-approximierende Treppenfunktion zu f existiert. Sei

{x_{0}} = ⋂_{n∈ℕ}I_{n}.

Wir betrachten den Fall x_{0} ∈ (a, b). Die Fälle x_{0} = a bzw. x_{0} = b behandelt man analog. Sei

c_{l} = lim_{x↑x_{0}} f(x), c_{r} = lim_{x↓x_{0}} f(x).

Zu ϵ > 0 existiert δ > 0 so, daß

|f(x) − c_{l}| < ϵ

für alle x ∈ [x_{0} − δ, x_{0}) und

|f(x) − c_{r}| < ϵ für alle x ∈ (x_{0}, x_{0} + δ].

Zu δ > 0 existiert n ∈ ℕ mit I_{n} ⊂ [x_{0} − δ, x_{0} + δ]. Es sei φ: I_{n} → ℂ definiert durch

φ(x) = \begin{cases}c_{l}, & x < x_{0} \\ f(x_{0}), & x = x_{0} \\ c_{r}, & x > x_{0}. \end{cases}

Dann gilt auf I_{n}: ∥ φ − f ↾ I_{n} ∥< ϵ. Dies ist ein Widerspruch zur Konstruktion von I_{n}. Also ist die Annahme falsch. ⇐) Zu jedem ϵ > 0 existiere φ ∈ T [a, b] mit ∥ φ − f ∥< ϵ. Es sei x_{0} ∈ (a, b]. Wir zeigen, daß f in x_{0} einen linksseitigen Grenzwert hat. Sei ϵ > 0 gegeben und sei φ ∈ T [a, b] mit ∥ φ−f ∥< \frac{ϵ}{2}. Wir wählen x_{1} < x_{0} so, daß φ auf (x_{1}, x_{0}) konstant ist. Seien x, x′ ∈ (x_{1}, x_{0}). Dann gilt

\begin{aligned}|f(x) − f(x′)| & ≤ |f(x) − φ(x)| + |φ(x) − φ(x′)| + |φ(x′) − f(x′)| \\ & ≤ 2 ∥ f − φ ∥< ϵ. \end{aligned}

Aus dem Cauchy-Kriterium für Grenzwerte folgt, daß f in x_{0} einen linksseitigen Grenzwert besitzt.

□

Lemma 8.7. Es sei f ∈ R[a, b] und es sei (φ_{n}) eine Folge in T [a, b] mit ∥ φ_{n} − f ∥→ 0 für n → ∞. Dann gilt

1. Die Folge (∫_{a}^{b} φ_{n}(x)dx) konvergiert

2. lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} φ_{n}(x)dx ist unabhängig von der Folge (φ_{n}) in T [a, b] mit ∥ φ_{n} − f ∥→ 0.

Beweis:

1. Für n, m ∈ ℕ gilt

\begin{matrix}|∫_{a}^{b} φ_{n}dx − ∫_{a}^{b} φ_{m}dx| = |∫_{a}^{b}(φ_{n} − φ_{m})dx| \\ ≤ (b − a) ∥ φ_{n} − φ_{m} ∥≤ (b − a)(∥ φ_{n} − f ∥ + ∥ φ_{m} − f ∥). \end{matrix}

Daraus folgt, daß (∫_{a}^{b} φ_{n}dx) eine Cauchy-Folge ist.

2. Es sei (ψ_{n}) eine weitere Folge in T [a, b] mit ∥ ψ_{n} − f ∥→ 0. Dann gilt

\begin{matrix}|∫_{a}^{b} φ_{n}dx − ∫_{a}^{b} ψ_{n} dx| ≤ (b − a) ∥ φ_{n} − ψ_{n} ∥ \\ ≤ (b − a)(∥ φ_{n} − f ∥ + ∥ f − ψ_{n} ∥) ⟶_{n→∞} 0. \end{matrix}

□

Definition 8.8. Es sei f ∈ R[a, b] und (φ_{n}) sei eine Folge in T [a, b] mit ∥ φ_{n} − f ∥→ 0 für n → ∞. Dann sei

∫_{a}^{b} f(x)dx =_{Df} lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} φ_{n}(x)dx.

Aus Lemma 8.7. folgt, daß der Grenzwert existiert und unabhängig von der gewählten Folge (φ_{n}) ist.

Eigenschaften des Integrals

Satz 8.9. Seien f, g ∈ R[a, b] und α, β, ∈ ℂ. Dann gilt:

1. ∫_{a}^{b}(αf + βg)dx = α ∫_{a}^{b} f dx + β ∫_{a}^{b} gdx (Linearität)

2. | ∫_{a}^{b} f dx| ≤ ∫_{a}^{b} |f| dx ≤ (b − a) ∥ f ∥ (Beschränktheit)

3. Falls f, g reell sind und f ≤ g, so ist

∫_{a}^{b} f dx ≤ ∫_{a}^{b} g dx.  (Monotonie)

Beweis: Folgt durch Grenzübergang aus Lemma 8.4.

Satz 8.10. Seien a < b < c und f ∈ R[a, b]. Dann gilt:

∫_{a}^{c} f dx = ∫_{a}^{b} f dx + ∫_{b}^{c} f dx.

Beweis: Der Satz ist klar für Treppenfunktionen. Der Grenzübergang ergibt den Beweis für Regelfunktionen.

□

Bemerkung: Wir setzen ∫_{a}^{a} f(x) dx = 0. Für a > b: ∫_{a}^{b} f(x) dx = − ∫_{b}^{a} f(x) dx.

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sei f: [a, b] → ℝ eine stetige Funktion. Dann heißt

\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} f(x) dx

der Mittelwert von f.

Satz 8.11. Sei f: [a, b] → R stetig und p ∈ R[a, b] mit p ≥ 0. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b] so, daß

f(ξ) ∫_{a}^{b} p(x) dx = ∫_{a}^{b} p(x)f(x) dx.

Beweis: Es sei m = min f und M = max f. Aus p ≥ 0 folgt

mp ≤ fp ≤ Mp.

Aus Satz 8.9, 3) folgt

m ∫_{a}^{b} p dx ≤ ∫_{a}^{b} fp dx ≤ M ∫_{a}^{b} p dx.

Hieraus folgt, daß ein λ ∈ [m, M] existiert mit

λ ∫_{a}^{b} p dx = ∫_{a}^{b} fp dx.

Da f stegig ist, folgt aus dem Zwischenwertsatz die Existenz von ξ ∈ [a, b] mit f(ξ) = λ. Damit ist

f(ξ) ∫_{a}^{b} pdx = ∫_{a}^{b} fp dx.
□

Korollar 8.12. Sei f: [a, b] → R stetig. Dann existiert ξ ∈ [a, b] mit

∫_{a}^{b} f(x) dx = f(ξ)(b − a).

8.3. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Auf der Grundlage der Definition des Integrals ist es im allgemeinen sehr schwierig, das Integral einer Funktion zu berechnnen. Der Hauptsatz gibt uns eine effektive Methode zur Berechnung von Integralen in die Hand. Er beruht auf der Tatsache, daß die Integration als Umkehrung der Differentation angesehen werden kann.

Definition 8.13. Es sei f: [a, b] → ℂ eine gegebene Funktion. Eine differenzierbare Funktion F: [a, b] → ℂ heißt Stammfunktion von f, wenn gilt:

F′ = f.

Bemerkung: Manchmal fordert man nur F′(x) = f(x) für fast alle x ∈ [a, b].

Lemma 8.14. Es seien F, G Stammfunktionen von f. Dann ist F −G konstant.

Beweis: (F − G)′ = F′ − G′ = f − f = 0.

□

Hauptsatz 8.15. Es sei f: I → ℂ stetig.

1. Sei x_{0} ∈ I. Dann ist die Funktion

F (x) = ∫_{x_{0}}^{x} f(y) dy

eine Stammfunktion von f.

2. Es sei umgekehrt G eine beliebige Stammfunktion zu f. Für alle a, b ∈ I gilt dann

∫_{a}^{b} f(x) dx = G(b) − G(a).

Beweis: Es sei F (x) = ∫_{x_{0}}^{x} f(y) dy.

1. Nach dem Mittelwertsatz (Korollar 8.12) existiert zu h ∈ ℝ mit |h| ≪ 1 ein ϑ_{h}, 0 ≤ ϑ_{h} ≤ 1, mit

F (x + h) − F (x) = ∫_{x}^{x+h} f(y) dy = f(x + ϑ_{h} · h)h.

Da lim_{h→0} f(x + ϑ_{h}h) = f(x), existiert

F′(x) = lim_{h→0} \frac{F (x + h) − F (x)}{h},

und es gilt

F′(x) = f(x), x ∈ I.

2. Sei G eine Stammfunktion zu f. Nach Lemma 8.14 existiert C ∈ ℂ so, daß

G(x) = ∫_{x_{0}}^{x} f(y) dy + C.

Daraus folgt

\begin{aligned}∫_{a}^{b} f(y) dy & = ∫_{x_{0}}^{b} f(y) dy + ∫_{a}^{x_{0}} f(y) dy \\ & = ∫_{x_{0}}^{b} f(y) dy − ∫_{x_{0}}^{a} f(y) dy = G(b) − G(a). \end{aligned}

□

Bemerkungen:

1. Den Hauptsatz kann man allegemeiner für Regelfunktionen formulieren.

2. Manchmal werden die Aussagen 1) und 2) auch getrennt als 1. und 2. Hauptsatz bezeichnet.

3. Die 2. Aussage des Hauptsatzes besagt, daß es zur Berechnung eines Integrals ausreicht, eine Stammfunktion zu kennen.

Definition. Es sei f: I → ℂ stetig und F sei eine Stammfunktion zu f. Dann nennt man F auch unbestimmtes Integral von f.

Bezeichnung: ∫ f(x) dx.

Grundintegrale

Zur Integration von Funktionen ist es wichtig, die unbestimmten Integrale elementarer Funktionen zu kennen. Dabei ließt man die Formeln für die Ableitungen der elementaren Funktionen in umgekehrter Richtung. Beispiele:

1. x > 0, α ≠ 1.

∫ x^{α} dx = \frac{x^{α+1}}{α+1}

2. ∫ \frac{dx}{x} = ln |x|

3. ∫ \frac{dx}{1+x^{2}} = arctan x

4. ∫ sin x dx = − cos x 5. ∫ cos x dx = sin x

Integrationstechniken

Bei der Differentation hat man einfache Regeln, nach denen die Ableitung elementarer Funktionen berechnet werden kann. Beim Integrieren ist die Situation prinzipiell anders: Es existieren elemetare Funktionen, die nicht′′elementar inegriert′′ werden können, d.h. die keiner elemenatare Stammfunmktion besitzen. Zur Integration benutzt man eine Kombination verschiedener Methoden wie z.B.

1. Liste von Grundintegralen,

2. partielle Integration

3. Variablensubstitution

4. Integraltafeln

5. Computerprogramme wie z.B. Mathematica, Maple,…

Partielle Integration

Satz 8.16. Sind f, g: I → ℂ stetig differenzierbar, so gilt

∫ f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) − ∫ f′(x)g(x) dx

bzw.

∫_{a}^{b} f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) |_{a}^{b}− ∫_{a}^{b} f′(x)g(x) dx

für alle a, b ∈ I, a < b.

Beweis: Folgt aus Produktregel und Hauptsatz. Übung!

Beispiel:

∫ sin x cos x dx = sin^{2} x − ∫ cos x sin x dx ⇒ ∫ sin x cos x = \frac{1}{2} sin^{2} x.

Substitutionsregel

Satz 8.17. Sei f: I → ℂ stetig und φ: [a, b] → I stetig differenzierbar. Dann gilt

∫_{a}^{b} f(φ(u))φ′(u) du = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(x) dx.

Beweis: Folgt aus Kettenregel und Hauptsatz. Übung!

Beispiel: ∫ \sqrt{1 − x^{2}} dx, Substitution: x = cos t

= − f sin^{2} t dt = partiell \frac{1}{2}(sin t cos t − t)
=\frac{1}{2}(x\sqrt{1 − x^{2}} − arccos x) = \frac{1}{2}(x\sqrt{1 − x^{2}} + arcsin x).

Damit kann man den Flächeninhalt F des Einheitskreises berechnen.

F = 2 ∫_{−1}^{1} \sqrt{1 − x^{2}} dx = (x\sqrt{1 − x^{2}} + arcsin x) |_{−1}^{1}= arcsin(1) − arcsin(−1) = π.

8.4. Integration rationaler Funktionen Es seien

p(z) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}z^{i} und q(z) = ∑_{j=0}^{m} b_{j}z^{j}

Polynome in z.

Definition. Die Funktion R(z) = \frac{p(z)}{q(z)} nennt man rationale Funk-

tion.

Euklidischer Algorithmus für Polynome

Seien p(z) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}z^{i} und q(z) = ∑_{j=0}^{m} b_{j}z^{j} Polynome mit a_{n}, b_{m} ≠

0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome h und r mit

1) p = qh + r 2) Grad (r) < Grad (q).

Daraus folgt, daß jede rationale Funktion p/q geschrieben werden kann als

\frac{p}{q} = h + \frac{r}{q}

wobei h ein Polyom ist und Grad (r) < Grad (q). Die Funktion r/q heißt echte rationale Funktion.

Partialbruchzerlegung

Satz 8.18. Es sei R = p/q eine rationale Funktion mit Grad (p) < Grad (q) so, daß p und q keine gemeinsame Nullstelle besitzen. Weiter sei

q(z) = a(z − α_{1})^{n_{1}} ⋯ (z − α_{s})^{n_{s}}

die Faktorisierung von q mit a, α_{1}, …, α_{s} ∈ ℂ, α_{i} ≠ α_{j}, für i ≠ j. Dann hat p/q die folgende eindeutige Patialbruchzerlegung

\frac{p(z)}{q(z)} = \frac{a_{11}}{z − α_{1}} + \frac{a_{12}}{(z − α_{1})^{2}} + ⋯ + \frac{a_{1,n_{1}}}{(z − α_{1})^{n_{1}}}

+ \frac{a_{21}}{(z − α_{2})} + \frac{a_{22}}{(z − α_{2})^{2}} + ⋯ + \frac{a_{2,n_{2}}}{(z − α_{2})^{n_{2}}}

⋮

+ \frac{a_{s1}}{(z − α_{s})} + \frac{a_{s2}}{(z − α_{s})^{2}} + ⋯ + \frac{a_{s,n_{s}}}{(z − α_{s})^{n_{s}}}

mit a_{11}, …, a_{s,n_{s}} ∈ ℂ.

Beweis: Sei α eine m- falche Nullstelle von q(z) mit m ≥ 1. Dann ist

q(z) = (z − α)^{m}s(z)

mit s(α) ≠ 0. Sei a = p(α)/q(α). Dann erhalten wir

\frac{p(z)}{q(z)} − \frac{a}{(z − α)^{m}} = \frac{p(z) − as(z)}{q(z)}

und α ist eine Nullstelle des Polynoms p(z) − as(z).

Fall 1: p(z) − a(z) ≡ 0. Dann ist die Partialbruchzerlegung bereits erreicht.

Fall 2: p(z) − as(z) ≡ 0. Dann existiert p̃(z) mit

p(z) − as(z) = (z − α)p̃(z)

und Grad (p̃) = Grad (p) − 1. Sei q̃(z) = q(z)/(z − α). Dann gilt

\frac{p(z)}{q(z)} − \frac{a}{(z − α)m} = \frac{p̃(z)}{q̃(z)}

wobei Grad (q̃) < Grad (p̃). Wir können jetzt rekursiv den Beweis weiterführen.

□

Die Koeffizienten a_{ij} der Partialbruchzerlegung kann man durch Koeffizientenvergleich ermitteln.

Beispiel:

\frac{5z + 3}{(z − 2)^{2}(z − 1)} = \frac{a}{(z − 2)^{2}} + \frac{b}{z − 2} + \frac{c}{z − 1}.

1. Multipliziere beide Seiten mit (z − 2)^{2} und setze z = 2. Daraus erhalten wir a = 13.

2.

\begin{aligned}\frac{5z + 3}{(z − 2)^{2}(z − 1)} & − \frac{13}{(z − 2)^{2}} = \frac{5z + 3 − 13z + 13}{(z − 2)^{2}(z − 1)} = \frac{−8z + 16}{(z − 2)^{2}(z − 1)} \\ & = −8\frac{z − 2}{(z − 2)^{2}(z − 1)} = −\frac{8}{(z − 2)(z − 1)} = \frac{b}{z − z} + \frac{c}{z − 1}. \end{aligned}

Multiplikation mit (z − 2) und z = 2 setzen ergibt b = −8. Ebenso folgt c = 8. Damit ist

\frac{5z + 3}{(z − 2)^{2}(z − 1)} = \frac{13}{(z − 2)^{2}} + \frac{−8}{z − 2} + \frac{8}{z − 1}.

Die elementaren rationalen Funktionen werden wie folgt integriert: 1. k > 1.

∫ \frac{dx}{(x − a)^{k}} = \frac{1}{1 − k} \frac{1}{(x − a)^{k−1}} .

2. k = 1. Wir nehmen an, daß die Koeffizienten von p und q reell sind. Dann treten in der Patialbruchzerlegung Paare von Brüchen der Form

\frac{a}{x − α} + \frac{\overline{a}}{x − \overline{α}} = \frac{Ax + B}{x^{2} + 2cx + d}

auf. Diese Funktion integriert man wie folgt: Es sei Q(x) = x^{2} + 2cx + d.

Dann ist

Ax + B = \frac{A}{2}(2x + 2c) + (B − Ac) = \frac{A}{2}Q′(x) + (B − Ac).

Hieraus folgt

\frac{Ax + B}{x^{2} + 2cx + d} = \frac{A}{2} \frac{Q′(x)}{Q(x)} + (B − Ac)\frac{1}{Q(x)}.

Damit erhalten wir

∫ \frac{Ax + B}{x^{2} + 2cx + d}dx = \frac{A}{2} ∫ \frac{Q′(x)}{Q(x)}dx + (B − Ac) ∫ \frac{dx}{x^{2} + 2cx + d}.

Weiter ist

∫ \frac{Q′(x)}{Q(x)}dx = log |x^{2} + 2cx + d|.

Es bleibt noch das Integral ∫ \frac{dx}{x^{2}+2cx+d} zu berechnen. Es sei

x^{2} + 2cx + d = (x + c)^{2} + (d − c^{2}).

Fall 1: D = d − c^{2} > 0.

∫ \frac{dx}{x^{2} + 2cx + d} = \frac{1}{\sqrt{D}} arctan (\frac{x + c}{\sqrt{D}}) .

Übung!

Fall 2: d = c^{2}.

∫ \frac{dx}{x^{2} + 2cx + d} = −\frac{1}{x + c}

Fall 3: D = d − c^{2} < 0.

∫ \frac{dx}{x^{2} + 2cx + d} = \frac{1}{2\sqrt{−D}} log |\frac{x + c − \sqrt{−D}}{x + c + \sqrt{−D}}|

Übung!

8.5. Integration von Folgen und Reihen von Funktionen Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf Folgen stetiger Funktionen. Die Sätze gelten aber auch für Regelfunktionen.

Satz 8.19. Es sei (f_{n}) eine Folge stetiger Funktionen f_{n}: [a, b] → ℂ und (f_{n}) konvergiere gleichmäßig gegen die Funktion f: [a, b] → ℂ. Dann ist f stetig und es gilt

∫_{a}^{b} f(x)dx = lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx.

Beweis: Es sei ϵ > 0 gegeben. Zu ϵ existiert N ∈ ℕ so, daß

∀n ≥ ℕ ∀x ∈ [a, b]: |f_{n}(x) − f(x)| < \frac{ϵ}{b − a}.

Daraus folgt

|∫_{a}^{b} f(x)dx − ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx| ≤ (b − a) ∥ f − f_{n} ∥< (b − a)\frac{ϵ}{b − a} = ϵ

für n ≥ N.

□

Satz 8.20. Sei (f_{n}) eine Folge stetiger Funktionen f_{n}: [a, b] → ℂ und f(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) konvergiere gleichmäßig auf [a, b]. Dann ist f stetig und es gilt

∫_{a}^{b} f(x)dx = ∑_{n=1}^{∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx.

Beweis. Folgt aus Satz 8.19 durch Anwendung auf die Folge der Partialsummen

s_{n}(x) = ∑_{k=1}^{n} f_{k}(x).

□

Gliedweise Differentation

Satz 8.21. Es sei (f_{n}) eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen f_{n}: [a, b] → ℂ und es existiere f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) punktweise. Die Folge (f′_{n}) sei gleichmäßig konvergent mit

g(x) = lim_{n→∞} f′_{n}(x).

Dann ist f stetig differenzierbar auf [a, b] und es gilt

f′(x) = ( lim_{n→∞} f_{n}(x))′ = lim_{n→∞} f′_{n}(x)

in [a, b].

Beweis: Da (f′_{n}) gleichmäßig konvergiert, folgt aus Satz 6.43, daß

g(x) = lim_{n→∞} f′_{n}(x)

stetig ist.

Es sei x_{0} ∈ [a, b]. Aus Satz 8.19 folgt für alle x ∈ [a, b]:

\begin{aligned}∫{x \atop x_{0}} & g(x)dx = lim_{n→∞} ∫_{x_{0}}^{x} f′_{n}(x)dx \\ & =_{Hauptsatz} lim_{n→∞}[f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})] = f(x) − f(x_{0}). \end{aligned}

Aus dem Hauptsatz 8.16 folgt

g(x) = \frac{d}{dx} (∫_{x_{0}}^{x} g(y)d(y)) .

Daher ist f(x) differenzierbar und es gilt für alle x ∈ [a, b]:

f′(x) = g(x) = lim_{n→∞} f′_{n}(x).

□

Korollar 8.22. Für alle n ∈ ℕ_{0} sei f_{n}: [a, b] → ℂ stetig differenzierbar. Weiter gelte:

1. f(x) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) konvergiere für alle x ∈ [a, b].

2. ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x) konvergiert gleichmäßig in [a, b].

Dann ist f stetig differenzierbar und es gilt

f′(x) = (∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x))′ = ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x)

für x ∈ [a, b].

Beweis: Folgt durch Anwendung von Satz 8.21 auf die Folge der Partialsummen. □

Korollar 8.23. Eine Potenzreihe P (x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} mit Konvergenzradius r > 0 kann für |x| < r beliebig of gliedweise integriert und differenziert werden.

Beispiele:

1. arctan(x).

arctan′(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}x^{2n}.

für |x| < 1. Aus Korollar 8.23 folgt

arctan(x) = ∫_{0}^{x} \frac{1}{1 + x^{2}} dx = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n + 1}

für |x| < 1.

2. ln(1 + x). Es gilt

ln′(1 + x) = \frac{1}{1 + x} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}x^{n},

für |x| < 1. Aus Korollar 8.23 folgt

ln(1 + x) = ∫_{0}^{x} \frac{1}{1 + x}dx = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n + 1}

für |x| < 1.

Der Grenzwertsatz von Abel

Satz 8.24. (Abel) Die Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} habe den Konvergenzradius r > 0 und sei für x = r konvergent. Dann ist die Reihe im abgeschlossenen Intervall [0, r] gleichmäßig konvergent und die Funktion f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ist in x = r linksseitig stetig:

lim_{x→r−0} f(x) = f(r) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}r^{n}.

Entsprechendes gilt, wenn die Reihe für x = −r konvergiert.

Beweis: Wir können annehmen, daß r = 1 ist. Andernfalls betrachten wir die Reihe

g(x) = f(xr) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}r^{n}x^{n}.

Es sei also r = 1. Dann konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}. Für n > m sei

s_{n,m} = ∑_{k=m+1}^{n} a_{k}.

Aus dem Cauchy-Kriterium folgt:

∀ϵ > 0∃N ∈ ℕ∀n > m ≥ N: |s_{n,m}| < ϵ  (8.1)

Insbesondere konvergiert die Reihe ∑_{n=m+1}^{∞} s_{n,m}x^{n} für |x| < 1. Weiter gilt

(1 − x) ∑_{n=m+1}^{∞} s_{n,m}x^{n} = ∑_{n=m+1}^{∞}(s_{n,m} − s_{n−1,m})x^{n} = ∑_{n=m+1}^{∞} a_{n}x^{n}. (8.2)

Es sei r_{m}(x) = ∑_{n=m+1}^{∞} a_{n}x^{n}. Dann folgt aus (8.1) und (8.2)

|r_{m}(x)| ≤ (1 − x)ϵ ∑_{n=m+1}^{∞} x^{n} ≤ ϵ

für 0 ≤ x < 1. Dies gilt auch für x = 1. Damit konvergiert r_{m}(x) gleichmäßig in [0, 1] gegen 0. Dies bedeutet, daß die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} gleichmäßig in [0, 1] konvergiert. Daraus folgt, daß f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} stetig in [0, 1] ist.

□

Beispiele: 1)

arctan(x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n + 1}, |x| < 1.

Auf Grund des Leibnitz-Kriteriums konvergiert die Reihe für x = 1. Aus Satz 8.24 folgt dann

\frac{π}{4} = arctan(1) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{2n + 1} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} + ⋯

Dies ist die berühmte Leibniz-Reihe für π/4.

2)

ln(1 + x) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n + 1}, |x| < 1.

Aus dem Leibnitz-Kriterium folgt, daß die Reihe für x = 1 konvergiert. Aus Satz 8.24 folgt

ln(2) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n + 1} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ⋯

9. Taylorpolynome und Taylorreihen

Aus dem Abschnitt 7.1 wissen wir, das die Differenzierbarkeit einer Funktion f: I → ℂ im Punkte x_{0} ∈ I äquivalent dazu ist, daß f in einer Umgebung von x_{0} durch eine lineare Funktion approximiert werden kann. Genauer gilt

f(x) = f(x_{0}) + f′(x_{0})(x − x_{0}) + ρ(x)

mit

lim_{x→x_{0}} \frac{ρ(x)}{x − x_{0}} = 0.

Wir untersuchen jetzt, inwieweit f durch Polynome höherer Ordunung approximiert werden kann.

Defintion 9.1. Es sei f: I → ℂ n-mal differenzierbar, n ≥ 1, und sei x_{0} = I. Dann heißt die Funktion

T_{n}f(x; x_{0}) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x − x_{0})^{k}

das n-te Taylorpolynom von f in x_{0}.

Bemerkung: Wenn klar ist, um welchen Punkt x_{0} es sich handelt, schreiben wir T_{n}f(x) anstelle von T_{n}f(x; x_{0}). Um festzustellen wie gut das Taylorpolynom T_{n}f(x; x_{0}) die Funktion f im Punkte x_{0} approximiert, müssen wir den Fehler oder das sogenannte Restglied

R_{n+1}(x) = f(x) − T_{n}f(x; x_{0})

abschätzen. Das Restglied R_{n+1}(x) kann auf verschiedene Weise charakterisiert werden.

Satz 9.2. (Integralform für R_{n+1}): Die Funktion f: I → ℂ sei (n+1)- mal stetig differenzierbar auf dem Intervall I und es sei x_{0} ∈ I. Dann gilt für alle x ∈ I:

R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!} ∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt.

Beweis: Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion. Induktionsanfang: n = 0. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt

f(x) = f(x_{0}) + ∫_{x_{0}}^{x} f′(t)dt.

Schluß von n-1 auf n: Nach Voraussetzung gilt

f(x) = T_{n−1}f(x; x_{0}) + \frac{1}{(n − 1)!} ∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n−1}f^{(n)}(t)dt.

Daraus erhält man durch partielle Integration:

\begin{aligned}f(x) & = T_{n−1}f(x; x_{0}) − \frac{1}{n!}(x − t)^{n}f^{(n)}(t) |_{x_{0}}^{x} +\frac{1}{n!} ∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt \\ & = T_{n}f(x; x_{0}) + \frac{1}{n!} ∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt. \end{aligned}

Hieraus folgt die behauptete Form für das Restglied.

□

Korollar 9.3. (Lagrange-Form für R_{n+1}): Es sei f: I → ℝ (n+1)- mal stetig differenzierbar. Seien x, x_{0} ∈ I, x ≠ x_{0}. Dann gibt es ein ξ zwischen x_{0} und x so, daß

R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x − x_{0})^{n+1}.

Beweis: Es sei p(t) = (x − t)^{n}. Wenn x > x_{0}, so ist p(t) ≥ 0 für alle t ∈ [x_{0}, x] und falls x < x_{0}, ist p(t) ≤ 0 für alle t ∈ [x, x_{0}]. Aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung folgt, daß ein ξ zwischen x_{0} und x existiert mit

\begin{aligned}R_{n+1}(x) & = \frac{1}{n!} ∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt \\ & = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{n!} ∫_{x_{0}}^{x}(x − t)^{n}dt = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x − x_{0})^{n+1}. \end{aligned}

□

Definition 9.4. Sei f : I → ℂ unendlich oft differenzierbar und sei x_{0} ∈ I. Dann heißt

T f(x, x_{0}) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x − x_{0})^{k}

die Taylorreihe zu f in x_{0}.

Man beachte: 1) Die Taylorreihe ist für x ≠ x_{0} im allgemeinen nicht konvergent.

2) Wenn die Taylorreihe in einer Umgebung von x_{0} ∈ I konvergiert, so folgt daraus nicht, daß die Taylorreihe mit f übereinstimmt. Beispiel: Es sei f : ℝ → ℝ definiert durch

f(x) = \begin{cases}e^{− \frac{1}{x}} , & x > 0; \\ 0, & x ≤ 0. \end{cases}

Für x > 0 ist f′(x) = x^{−2}e^{−1/x} und daher gilt für die rechtsseitige Ableitung

f′_{+}(x) = 0.

Da f(x) = 0 für x < 0, ist

f′_{−}(x) = 0.

Daher stimmen der links- und rechtsseitige Ableitung von f(x) in x = 0 überein, d.h., f ist in x = 0 differenzierbar und damit auf ganz ℝ. Durch Induktion zeigt man, daß f unendlich oft differenzierbar ist und es existieren Polynome P_{n}(x), n ∈ ℕ, mit

f^{(n)}(x) = \begin{cases}P_{n}(\frac{1}{x})e^{−1/x}, & x > 0; \\ 0, & ≤ 0; \end{cases}

für alle n ∈ ℕ. Insbesondere folgt daraus

∀n ∈ ℕ_{0} : f^{(n)}(0) = 0.

Deshalb ist die Taylorreihe von f in 0 identisch Null, aber f ≠ 0.

Die Frage, wann f(x) = T f(x; x_{0}) gilt, wird durch den folgenden Satz beantwortet.

Satz 9.5. Es seien f ∈ C^{∞}(I) und x, x_{0} ∈ I. Dann gilt

f(x) = T f(x; x_{0}) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x − x_{0})^{k}

genau dann, wenn für das Restglied gilt:

lim_{n→∞} R_{n}(x, x_{0}) = 0.

Beweis: Für jedes n ∈ ℕ ist

f(x) = T_{n}f(x; x_{0}) + R_{n+1}(x; x_{0}).

Deshalb ist die Bedingung

lim_{n→∞} R_{n}(x; x_{0}) = 0

äquivalent zu

lim_{n→∞} T_{n}f(x; x_{0}) = f(x).

□

Satz 9.6. Es sei f ∈ C^{∞}(I). Wir nehmen an, daß Konstanten α, C > 0 existieren so, daß für alle n ∈ ℕ_{0} :

|f^{(n)}(x)| ≤ αC^{n} für alle x ∈ I.

Dann gilt

lim_{n→∞} R_{n}(x; x_{0}) = 0

für alle x ∈ I.

Beweis: Wir verwenden das Restglied in Lagrange-Form. Zu jedem n ∈ ℕ existiert ξ_{n} ∈ I mit

R_{n}(x; x_{0}) = \frac{f^{(n)}(ξ_{n})}{n!}(x − x_{0})^{n}.

Daraus folgt

|R_{n}(x; x_{0})| = \frac{|x − x_{0}|^{n}}{n!} |f^{(n)}(ξ_{n})| ≤ α\frac{C^{n}|x − x_{0}|^{n}}{n} .

Da exp(C|x − x_{0}|) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{C^{n}|x−x_{0}|^{n}}{n!} konvergiert, folgt

\frac{C^{n}|x − x_{0}|^{n}}{n!} → 0

für n → ∞.

□

Vorlesung Infinitesimalrechnung II

10. Differentialrechnung im ℝ^{n}

10.1. Topologie des ℝ^{n} Es ist ℝ^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) | x_{i} ∈ ℝ} und für x ∈ ℝ^{n} ist die Norm ∥ x ∥ definiert durch

∥ x ∥= \sqrt{x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}}.

Für die Norm ∥ · ∥ gilt:

1. ∀x ∈ ℝ^{n}: ∥ x ∥≥ 0 und ∥ x ∥= 0 ⇔ x = 0.

2. ∀x ∈ ℝ^{n}, ∀λ ∈ ℝ: ∥ λx ∥= |λ| ∥ x ∥.

3. ∀x, y ∈ ℝ^{n}: ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥.

(ℝ^{n}, ∥ · ∥) ist ein normierter Vektorraum Allgemeiner: Sei d(x, y) =∥ x − y ∥ für x, y ∈ ℝ^{n}. Dann gilt für alle x, y, z ∈ ℝ^{n}:

1. d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇔ x = y

2. d(x, y) = d(y, x)

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

(ℝ^{n}, d) ist dann ein metrischer Raum.

Definition 10.1. Für ϵ > 0 und x ∈ ℝ^{n} sei

U_{ϵ}(x) = {y ∈ ℝ^{n} |∥ x − y ∥< ϵ}.

Für n = 1 ist U_{ϵ}(x) = (x − ϵ, x + ϵ) ein Intervall. Für n + 2 ist U_{ϵ}(x) die Kreisscheibe mit Mittelpunkt x und Radius ϵ. Im allgemeinen ist U_{ϵ}(x) die n-dimensionale Kugel vom Radius ϵ mit Zentrum x. Sei U ⊂ ℝ^{n}.

U heißt \begin{cases}offen & ⇔ ∀x ∈ U ∃ϵ > 0: U_{ϵ}(x) ⊂ U; \\ abgeschlossen & ⇔ ℝ^{n} \ U ist offen; \\ beschränkt & ⇔ ∃C ∈ ℝ_{+} : ∀x ∈ U: ∥ x ∥≤ C; \\ kompakt & ⇔ U ist beschränkt und abgeschlossen. \end{cases}

Sei f: ℕ → ℝ^{n} eine Abbildung. Wir setzen x_{k} = f(k) für k ∈ ℕ. (x_{k}) heißt Folge in ℝ^{n}.

Defintion 10.2. Eine Folge (x_{k}) in ℝ^{n} heißt konvergent ⇔

∃a ∈ ℝ^{n} ∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ: ∥ x_{k} − a ∥< ϵ

für alle k ≥ N.

Satz 10.3. A ⊂ ℝ^{n} ist abgeschlossen ⇔ Für jede Folge (x_{k}) in A, die in ℝ^{n} gegen ein x konvergiert, gilt x ∈ A.

Beweis: Übung!

Satz 10.4. (Heine-Borel) K ⊂ ℝ^{n} ist kompakt ⇔ Jede Folge (x_{k}) in K hat eine konvergente Teilfolge (x_{k_{j}}) mit lim_{j→∞} x_{k_{j}} ∈ K.

Beweis: Übung!

10.2. Stetige Abbildungen

Defintion 10.5. Sei U ⊂ ℝ^{n}. Eine Abbildung f: U → ℝ^{m} heißt stetig in x_{0} ∈ U, wenn gilt:

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U: ∥ x − x_{0} ∥< δ ⇒∥ f(x) − f(x_{0}) ∥< ϵ.

f: U → ℝ^{m} ist stetig ⇔ f ist in jedem Punkt x ∈ U stetig.

Alle Sätze über stetige Funktionen in ℝ übertragen sich sinngemäß.

Satz 10.6. (Folgenkriterium) f: U → ℝ^{m} ist stetig in a ∈ U ⇔ Für jede Folge (x_{k}) in U gilt

x_{k} ⟶_{k→∞} a ⇒ f(x_{k}) ⟶_{k→∞} f(a).

Beweis: Analog zum Fall n = m = 1. Übung!

Grenzwerte

Sei U ⊂ ℝ^{n}. Ein Punkt x ∈ ℝ^{n} heißt Häufungspunkt von U, wenn jede Umgebung von x einen von x verschiedenen Punkt aus U enthält.

Satz. A ⊂ ℝ^{n} ist abgeschlossen ⇔ A enthält alle Häufungspunkte von A. Beweis: Übung!

Defintion. Sei f: U → ℝ^{m} eine Abbildung und sei x_{0} ∈ ℝ^{n} ein Häufungspunkt von U. Die Abbildung f hat den Grenzwert a ∈ ℝ^{m} in x_{0} ⇔

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U − {x_{0}}: ∥ x − x_{0} ∥< δ ⇒∥ f(x) − a ∥< ϵ.

Bezeichnung. lim_{x→x_{0}} f(x) = a.

Satz. f: U → ℝ^{m} ist stetig in x_{0} ∈ U genau dann, wenn

lim_{x→x_{0}} f(x) = f(x_{0}).

Beispiel: Sei L: ℝ^{n} → ℝ^{m} eine lineare Abbildung. Dann ist L stetig. Beweis: Übung!

10.3. Differenzierbare Abbildungen Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f: U → ℝ^{m} eine Abbildung. Wir möchten jetzt definieren, was es heißt, daß f in x_{0} ∈ U differenzierbar ist. Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten. Wir erinnern uns an die folgende äquivalente Defintion der Differenzierbarkeit im Falle n = m = 1.

f: I → ℝ ist in x_{0} ∈ I differenzierbar genau dann, wenn gilt: ∃λ ∈ ℝ und ∃ρ: I → ℝ mit ρ(x_{0}) = 0 und lim_{x→x_{0}} ρ(x)/(x − x_{0}) = 0 so, daß

f(x) = f(x_{0}) + λ(x − x_{0}) + ρ(x).

Dann ist λ = f′(x_{0}). Sei L: ℝ → ℝ definiert durch

L(x) = λx.

Dann ist L ∈ Hom (ℝ, ℝ) und f wird durch L in x_{0} approximiert:

f(x) = f(x_{0}) + L(x − x_{0}) + ρ(x), ρ(x) = o(x − x_{0}).

Dies verallgemeinern wir für beliebige n, m wie folgt:

Definition 10.7. Sei U ∈ ℝ^{n} offen und f: U → ℝ^{m} eine Abbildung. Sei x_{0} ∈ U. Dann heißt f in x_{0} (total) differenzierbar, wenn ein L ∈ Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}) und eine in einer hinreichend kleinen Umgebung U_{ϵ}(0) definierte Abbildung φ: U_{ϵ}(0) → ℝ^{m} existieren so, daß

1. f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + L(h) + φ(h) für alle h ∈ U_{ϵ}(0).

2. lim_{h→0} \frac{φ(h)}{∥ h ∥} = 0.

Wenn L existiert, so ist L eindeutig bestimmt und heißt Differential oder Ableitung von f in x_{0}.

Bezeichnung: L = df(x_{0}) = f′(x_{0}). f: U → ℝ^{m} heißt differenzierbar ⇔ f ist in jedem Punkt x ∈ U differenzierbar. Beispiel: Sei D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < 1} und f: D → ℝ sei definiert durch

f(x, y) = \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}}.

Dann ist f differenzierbar. Der Graph der linearen Funktion t(h) = f(x_{0}) + L(h), h ∈ ℝ^{n} ist die Tangentialhyperebene an den Graph Γ_{f} im Punkte (x_{0}, f(x_{0})). Bemerkung: lim_{h→0} \frac{φ(h)}{∥h∥} kann auch kurz geschrieben werden als φ(h) = o(∥ h ∥).

Lemma. f: U → ℝ^{m} ist differenzierbar in x_{0} ∈ U genau dann, wenn eine Abbildung

Λ: U → Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}) ≃ ℝ^{n·m}

existiert so, daß 1. Λ ist in x_{0} stetig.

2. f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + Λ(x_{0} + h) für alle h ∈ ℝ^{n} mit x_{0} + h ∈ U.

Beweis: Analog zum Fall n = m = 1. Übung.

Lemma 10.8. Wenn f: U → ℝ^{m} differenzierbar ist, so ist f stetig.

Beweis: Sei x_{0} ∈ U. Da f in x_{0} differenzierbar ist, existieren L ∈ Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}) und φ: U_{ϵ}(0) → ℝ^{m} so, daß

f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + L(h) + φ(h)

und φ(h) = o(∥ h ∥). Da L stetig ist und lim_{h→0} φ(h) = 0, folgt

lim_{h→∞} f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + lim_{h→0} L(h) + lim_{h→0} φ(h)
= f(x_{0}) + L(0) = f(x_{0}).
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Elementare Eigenschaften der Ableitung

Satz 10.9. (Reduktionslemma): Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und seien f: U → ℝ^{m}, g: U → ℝ^{k} Abbildungen. Es sei (f, g): U → ℝ^{m} × ℝ^{k} definiert durch

(f, g)(x) = (f(x), g(x)), x ∈ U.

Dann ist (f, g) in x_{0} ∈ U differenzierbar genau dann, wenn f und g in x_{0} differenzierbar sind. Falls dies der Fall ist, gilt

d(f, g)(x_{0}) = (df(x_{0}), dg(x_{0})).

Beweis: ⇐) Sei L = df(x_{0}) und M = dg(x_{0}). Nach Voraussetzung existieren Abbildungen φ: U_{ϵ}(0) → ℝ^{m} und ψ: U_{ϵ}(0) → ℝ^{k} mit φ(h) = o(∥ h ∥) und ψ(h) = o(∥ h ∥) für h → 0 so, daß gilt

\begin{aligned}f(x_{0} + h) & = f(x_{0}) + L(h) + φ(h), \\ g(x_{0} + h) & = g(x_{0}) + M(h) + ψ(h), \end{aligned}

Sei (L, M): ℝ^{n} → ℝ^{m} × ℝ^{k} die Abbildung, die definiert ist durch (L, M)(h) = (L(h), M(h)). Entsprechend sei (φ, ψ) : U_{ϵ}(0) → ℝ^{m+k} definiert durch (φ, ψ)(h) = (φ(h), ψ(h)). (L, M) ist linear und es gilt:

\begin{aligned}(f, g)(x_{0} + h) & = (f(x_{0} + h), g(x_{0} + h)) \\ & = (f(x_{0}), g(x_{0})) + (L(h), M(h)) + (φ(h), ψ(h)). \end{aligned}

Weiter ist

∥ (φ(h), ψ(h)) ∥^{2}=∥ φ(h) ∥^{2} + ∥ ψ(h) ∥^{2}= o(∥ h ∥^{2}).

Daraus folgt

lim_{h→0} \frac{(φ(h), ψ(h))}{∥ h ∥} = 0.

Gemäß Definition 10.7 ist (f, g) daher differenzierbar in x_{0} und d(f, g)(x_{0}) = (L, M) = (df(x_{0}), dg(x_{0})). ⇒) Der Beweis dieser Richtung ist analog.

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Es sei pr_{j}: ℝ^{m} → ℝ definiert durch pr_{j}(x_{1}, …, x_{m}) = x_{j}, d.h., pr_{j} ist die j-te Koordinatenprojektion. Sei f: U → ℝ^{m} eine Abbildung und sei f_{j} = pr_{j} ∘ f. Dann sind f_{j}: U → ℝ, j = 1, ..m, Funktionen und es gilt

f(x) = (f_{1}(x), …, f_{m}(x)).

Korollar 10.10. Sei f: U → ℝ^{m} eine Abbildung und sei x_{0} ∈ U. Dann ist f differenzierbar in x_{0} genau dann, wenn für alle j, 1 ≤ j ≤ m, f_{j} in x_{0} differenzierbar ist.

Mit Hilfe dieses Korollars können wir Fragen der Differenzierbarkeit von Abbildungen f: U → ℝ^{k} auf den Fall von Funktionen reduzieren.

Satz 10.11. Seien f, g: U → ℝ^{m} differenzierbar in x_{0} ∈ U und seien α, β ∈ ℝ. Dann ist αf + βg differenzierbar in x_{0}.

Beweis: Übung!

Satz 10.12. (Kettenregel) Seien U ⊂ ℝ^{n} und V ⊂ ℝ^{m} offen, f: U → ℝ^{m} und g: V → ℝ^{l} seien Abbildungen mit f(U) ⊂ V. Sei f differenzierbar in x_{0} ∈ U und g differenzierbar in y_{0} = f(x_{0}) ∈ V. Dann ist g ∘ f differenzierbar in x_{0} und es gilt

d(g ∘ f)(x_{0}) = dg(y_{0}) ∘ df(x_{0}).

Beweis: Der Beweis ist analog zum Falle n = m = 1. Auf Grund des oben bewiesenen Lemmas existieren Abbildungen

Λ: U → Hom (ℝ^{n}, ℝ^{m}) und M: V → Hom (ℝ^{n}, ℝ^{l})

so, daß gilt 1. Λ ist stetig in x_{0} und Λ(x_{0}) = df(x_{0}), M ist stetig in y_{0} und

M(x_{0}) = dg(y_{0}). 2.

\begin{aligned}f(x_{0} + h) & = f(x_{0}) + Λ(x_{0} + h)(h); \\ g(y_{0} + k) & = g(y_{0}) + M(y_{0} + k)(k). \end{aligned}

Daraus folgt

\begin{matrix}(g ∘ f)(x_{0} + h) & = g(f(x_{0}) + Λ(x_{0} + h)(h)) = \\ g(f(x_{0})) & + M(f(x_{0}) + Λ(x_{0} + h)(h))(Λ(x_{0} + h)(h)). \end{matrix}

Weiter folgt aus 1), daß

\begin{aligned}lim_{h→0} M(f(x_{0}) + Λ(x_{0} + h)(h))(Λ(x_{0} + h)(h)) & = M(f(x_{0}))Λ(x_{0}) \\ & = dg(f(x_{0}))df(x_{0}). \end{aligned}

Nochmalige Anwendung des obigen Lemmas folgt, daß g ∘ f in x_{0} differenzierbar ist und das Differential die behauptete Form hat.

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Abbildung von Tangentialvektoren

Sei γ: I → U ⊂ ℝ^{n} eine differenzierbare Abbildung. Dann ist γ ist eine differenzierbare Kurve in U. Es sei

γ(t) = (x_{1}(t), …, x_{n}(t)).

Dann ist

\frac{dγ}{dt} (t_{0}) = (\frac{dx_{1}}{dt} (t_{0}), …, \frac{dx_{n}}{dt} (t_{0})) ∈ ℝ^{n}

der Tangentialvektor an die Kurve γ in γ(t_{0}).

Sei f: U → ℝ^{m} eine differenzierbare Abbildung. Dann ist f ∘γ: I → ℝ^{m} eine differenzierbare Kurve im ℝ^{m}. Nach der Kettenregel gilt

\frac{d}{dt}(f ∘ γ)(t_{0}) = df(γ(t_{0})) (\frac{dγ}{dt} (t_{0})) .

Dies ist der Tangentialvekotor an die Bildkurve f ∘ γ. Wir haben also gezeigt, daß df(γ(t_{0})) Tangentialvektoren an γ in γ(t_{0}) in Tangentialvektoren an f ∘ γ in f(γ(t_{0})) abbildet.

10.4. Richtungsableitung und partielle Ableitungen Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f: U → ℝ^{m} in x ∈ U differenzierbar. Sei v ∈ ℝ^{n} gegeben. Da U offen ist, existiert ϵ > 0 so, daß x+tv ∈ U für alle t ∈ ℝ mit |t| < ϵ. Sei

g(t) = f(x + tv), |t| < ϵ,

und sei φ: U_{ϵ}(0) → ℝ^{m} die Funktion aus der Definition 10.7. Dann ist g: (−ϵ, ϵ) → ℝ^{m} differenzierbar und es gilt

\frac{dg}{dt} (t) = lim_{t→0} \frac{f(x + tv) − f(x)}{t} = lim_{t→0} (\frac{df(x)(tv)}{t} + \frac{φ(tv)}{t})

= df(x)(v) ± lim_{t→0} \frac{φ(tv)}{∥ tv ∥} ∥ v ∥= df(x)(v).

Also gilt:

df(x)(v) = lim_{t→0} \frac{f(x + tv) − f(x)}{t}.

Defintion 10.13. Sei f: U → ℝ^{m} eine Abbildung und sei v ∈ ℝ^{n}. Wenn der Grenzwert

∂_{v}f(x) = lim_{t→0} \frac{f(x + tv) − f(x)}{t}

existiert, so heißt ∂_{v}f(x) die Richtungsableitung in x von f in Richtung v. Insbesondere sei v = e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) der i-te Einheitsvektor. Dann heißt

∂_{i}f(x) = ∂_{e_{i}}f(x).

die i-te partielle Ableitung von f.

Wir betrachten also f(x_{1}, …, x_{n}) als Funktion von x_{i}, wobei alle x_{j}, j ≠ i fest bleiben. Dann ist

∂_{i}f(x) = \frac{∂f}{∂x_{i}} (x_{1}, …, x_{i}, …, x_{n}).

Definition. Die Matrix

(\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x_{0}))_{i,j=1}^{m,n}

heißt Jacobi - Matrix von f in x_{0}.

Satz 10.14. Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und sei f: U → ℝ^{m} in x_{0} differenzierbar. Dann ist die Darstellung von df(x_{0}) in den Standardbasen von ℝ^{n} und ℝ^{m} gleich der Jacobi - Matrix.

Beweis: Es gilt

df(x_{0})(e_{j}) = \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0}) = ∑_{i=0}^{n} \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x_{0})e_{i}.

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Ein Spezialfall ist m = 1.

Definition 10.15. Sei f: U → ℝ in x_{0} ∈ U differenzierbar. Dann heißt

grad f(x_{0}) := (∂f(x_{0}), …, ∂_{n}f(x_{0}))

der Gradient von f in x_{0}.

Bezeichnung: Häufig verwendet man auch die Bezeichnung ∇f(x_{0}) anstelle von gradf(x_{0}).

Es sei f: U → ℝ differenzierbar. In jedem Punkt x ∈ U ist gradf(x) ein Vektor in ℝ^{n}, d.h.,

x ∈ U ↦ gradf(x) ∈ ℝ^{n}

ist ein Vektorfeld. Man nennt es das Gradientenvektorfeld zu f.

Bedeutung des Gradientenvektorfeldes

Sei v ∈ ℝ^{n}, v = ∑_{i=1}^{n} v_{i}e_{i}. Dann ist

∂_{v}f(x_{0}) = df(x_{0})(v) = ∑_{i=1}^{n} v_{i}df(x_{0})(e_{i}) = ∑_{i=1}^{n} v_{i}∂_{i}(x)

= ⟨v, gradf(x_{0})⟩ =∥ v ∥∥ gradf(x_{0}) ∥ cos φ,

wobei φ der Winkel zwischen v und gradf(x_{0}) ist. Hieraus folgt

1. ∥ gradf(x_{0}) ∥= max{∂_{v}f(x_{0}) |∥ v ∥= 1} =: M

2. Sei M ≠ 0. Dann existiert genau ein v ∈ ℝ^{n}, ∥ v ∥= 1, mit

gradf(x_{0}) = Mv.

Der Gradient zeigt also in Richtung des maximalen Wachstums von f.

Beispiele:

1. Es sei f(x, y) = x^{2} + y^{2}. Dann ist gradf(x, y) = 2(x, y). Das Gradientenvektorfeld im Punkte (x_{0}, y_{0}) ist orthogonal zur Tangente an die Niveaulinie f(x, y) = f(x_{0}, y_{0}) im Punkte (x_{0}, y_{0}).

Das Gradientenvektorfeld von f(x, y) = x^{2} + y^{2}.

2. Sei f(x, y) = x^{2} − y^{2}. Dann ist gradf(x, y) = 2(x, −y).

Das Gradientenvektorfeld von f(x, y) = x^{2} − y^{2}.

Bemerkung: Partielle Differenzierbarkeit impliziert nicht totale Differenzierbarkeit. Beispiel: Sei f: ℝ^{2} → ℝ definiert durch

f(x, y) = \begin{cases}0, & (x, y) = (0, 0) \\ \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} , & sonst. \end{cases}

Dann existieren die partiellen Ableitungen von f in (0,0):

∂_{x}f(0, 0) = 0 = ∂_{y}f(0, 0).

Aber f ist nicht stetig in (0,0):

f(x, x) = \frac{1}{2}, x ≠ 0, f(0, 0) = 0.

Die Frage, unter welchen zusätzlichen Voraussetzungen die totale Differenzierbarkeit aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt, wird durch folgenden Satz beantwortet.

Satz 10.16. Sei U ⊂ ℝ^{n} offen, f: U → ℝ^{m} und x ∈ U. Wenn in U alle partiellen Ableitungen existieren und in x stetig sind, so ist f in x total differenzierbar.

Beweis: Aus Satz 10.9. folgt, daß wir m = 1 annehmen können. Da U offen ist, existiert ein δ > 0 so, daß U_{δ}(x) ⊂ U. Sei h ∈ U_{δ}(0). Wir setzen

y_{0} = x, y_{i} = y_{i−1} + h_{i}e_{i}, i = 1, …, n.

Dann ist y_{n} = x + h. Weiter gilt

f(x + h) − f(x) = ∑_{i=1}^{n}(f(y_{i}) − f(y_{i−1})).

Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt, daß ein θ_{i} ∈ [0, h_{i}] existiert mit

f(y_{i}) − f(y_{i−1}) = f(y_{i−1} + h_{i}e_{i}) − f(y_{i−1}) = h_{i}∂_{i}f(y_{i−1} + θ_{i}e_{i}).

Sei L = ∑_{i=1}^{n} ∂_{i}f(x)h_{i} und ξ_{i} = y_{i−1} + θ_{i}e_{i}. Dann ist

f(x + h) − f(x) − L(h) = ∑_{i=1}^{n}(∂_{i}f(ξ_{i}) − ∂_{i}f(x))h_{i}

Hieraus folgt

|f(x + h) − f(x) − L(h)| ≤∥ h ∥ (∑_{i=1}^{n} |∂_{i}f(ξ_{i}) − ∂_{i}f(x)|^{2})^{1/2} .

Für h → 0 gilt ξ_{i} = y_{i−1} + h_{i}e_{i} → x. Da ∂_{i}f stetig in x ist, folgt

lim_{h→0} \frac{|f(x + h) − f(x) − L(h)|}{∥ h ∥} = 0.

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Die Beziehungen zwischen Stetigkeit und den verschiedenen Formen der Differenzierbarkeit kann man sich in folgendem Diagramm vergegenwärtigen:

stetig partiell differenzierbar ; ↓ ; total differenzierbar ⟶ stetig ; ↓ ; partiell differenzierbar

Die Folgepfeile gelten nur in dieser Richtung. Bemerkung: Sei U ⊂ ℝ^{2} = ℂ offen, f: U → ℝ^{2} = ℂ stetig partiell differenzierbar. Dies impliziert nicht, daß f: U → ℂ komplex differenzierbar ist. Beispiel: Sei f: ℂ → ℂ definiert durch f(z) = \overline{z}, d.h., wenn z = x+iy ist, so ist

f(x, y) = (x, −y).

Dann ist offensichtlich f stetig partiell differenzierbar. Sei z = re^{iφ} die Darstellung von z in Polarkoordinaten. Dann ist

\frac{f(z)}{z} = \frac{\overline{z}}{z} = e^{−2iφ}.

Daraus folgt, daß der Limes von \frac{f(z)−f(0)}{z} = \frac{f(z)}{z} für z → 0 nicht existiert. f(z) ist also nicht komplex differenzierbar.

10.5. Mittelwert - und Schrankensatz Für zwei beliebige Punkte x, y ∈ ℝ^{n} sei

[x, y] = {z ∈ ℝ^{n} | ∃t ∈ [0, 1]: z = (1 − t)x + ty}.

Dies ist die Verbindungsstrecke von x und y.

Satz 10.17. Sei U ∈ ℝ^{n} offen und sei f: U → ℝ differenzierbar. Seien x, y ∈ U Punkte so, daß [x, y] ⊂ U. Dann existiert ξ ∈ [x, y] mit

f(y) − f(x) = df(ξ)(y − x).

Beweis: Wir definieren g: [0, 1] → ℝ durch

g(t) = f((1 − t)x + ty).

Nach der Kettenregel ist g differenzierbar und es gilt

\begin{aligned}g′(t) & = \frac{df}{dt} ((1 − t)x + ty) = ∑_{j=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{j}} ((1 − t)x + ty)(y_{j} − x_{j}) \\ & = df((1 − t)x + ty)(y − x). \end{aligned}

Aus dem Mittelwertsatz für Funktionen einer reellen Veränderlichen folgt, daß ein t_{0} ∈ (0, 1) existiert so, daß

\begin{aligned}g(1) − g(0) & = g′(t_{0}) = \\ & = df((1 − t_{0})x + t_{0}y)(y − x). \end{aligned}

Sei ξ = (1 − t_{0})x + t_{0}y. Dann ist

f(y) − f(x) = g(1) − g(0) = df(ξ)(y − x).
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Korollar 10.18. Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und zusammenhängend. Sei f: U → ℂ differenzierbar und sei df(x) ≡ 0. Dann ist f konstant.

Beweis: O.B.d.A. könnnen wir annehmen, daß f reellwertig ist. Seien x, y ∈ U. Wir wählen Punkte x_{0} = x, x_{1} …, x_{k} = y so, daß [x_{i−1}, x_{i}] ⊂ U für alle i, i = 1, …, k. Aus Satz 10.17 folgt

f(x_{i}) − f(x_{i−1}) = df(ξ_{i})(x_{i} − x_{i−1}) = 0

für alle i. Daher ist f(x) = f(y).

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Satz 10.19. Sei f: U → ℝ^{m} stetig partiell differenzierbar und sei γ: [a, b] → ℝ^{n} stetig differenzierbar mit γ(a) = x und γ(b) = y. Dann gilt:

f(y) − f(x) = ∫_{a}^{b} df(γ(t))(\frac{dγ}{dt} (t))dt.

Beweis: Aus dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung und der Kettenregel folgt

\begin{aligned}f(y) − f(x) = f(γ(b)) − f(γ(a)) & = ∫_{a}^{b} \frac{d}{dt}(f ∘ γ)(t)dt \\ & = ∫_{a}^{b} df(γ(t))(\frac{dγ}{dt} (t))dt. \end{aligned}

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Eine Teimenge K ⊂ ℝ^{n} heißt konvex, wenn für alle x, y ∈ K gilt: [x, y] ⊂ K.

Satz 10.20. (Schrankensatz) Sei f: U → ℝ^{m} stetig differenzierbar und sei K ⊂ U kompakt und konvex. Dann ist f auf K Lipschitzstetig. Sei

L = max_{ξ∈K} ∥ df(ξ) ∥ .

Dann gilt für alle x, y ∈ K:

∥ f(y) − f(x) ∥≤ L ∥ y − x ∥ .

Beweis: Seien x, y ∈ K und sei

γ(t) = (1 − t)x + ty, t ∈ [0, 1].

Da K konvex ist, ist γ eine Kurve in K. Wir wenden Satz 10.19 auf die Kurve γ an. Dann ist

\begin{aligned}∥ f(y) − f(x) ∥ & =∥ ∫_{0}^{1} df((1 − t)x + ty)(y − x)dt ∥ \\ & ≤ ∫_{0}^{1} ∥ df((1 − t)x + ty) ∥ dt ∥ y − x ∥ . \end{aligned}

Da K kompakt und ∥ df(ξ) ∥ stetig auf K ist, folgt aus Satz 6.31, daß

L = max_{ξ∈K} ∥ df(ξ) ∥

existiert und endlich ist. Daraus erhalten wir

∥ f(x) − f(y) ∥≤ L ∥ x − y ∥ .
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10.6. Höhere Ableitungen

Definition 10.21. Sei U ∈ ℝ^{n} offen und f: U → ℝ partiell differenzierbar. Wenn die partiellen Ableitungen

∂_{i}f: U → ℝ, i = 1, …, n,

wieder differenzierbar sind, so nennt man

∂_{ij}f := ∂_{i}(∂_{j}f) = ∂_{i}∂_{j}f

partielle Ableitungen 2. Ordnung.

Bezeichnungen:

\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} , f_{x_{j}x_{i}}.

Analog bildet man partielle Ableitungen k-ter Ordnung nach x_{1}, …, x_{k}:

\frac{∂^{k}f}{∂x_{i_{1}} … ∂x_{i_{k}}} .

Vertauschung der Reihenfolge der Differentation Im allgemeinen hängen die höheren partiellen Ableitungen von der Reihenfolge ab, in der differenziert wird, d.h., im allgemeinen ist

\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} ≠ \frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{i}} für i ≠ j.

Beispiel: Die Funktion f: ℝ^{2} → ℝ sei definiert durch

f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy^{3}}{x^{2}+y^{2}} , & (x, y) ≠ (0, 0); \\ 0, & (x, y) = (0, 0). \end{cases}

Dann ist

gradf(x, y) = (\frac{y^{3}(y^{2} − x^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}}, \frac{xy^{2}(3x^{2} + y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}}) .

Insbesondere ist

∂_{x}f(0, y) = y, ∂_{y}f(x, 0) = 0.

Daraus folgt

f_{xy}(0, y) = 1 für alle y;
f_{yx}(x, 0) = 0 für alle x.

Da dies auch für x = y = 0 gilt, folgt

f_{xy}(0, 0) = 1, f_{yx}(0, 0) = 0.
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Satz 10.22. (H.A. Schwarz): Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und sei f: U → ℝ eine Funktion, für die die partiellen Ableitungen ∂_{i}f, ∂_{j}f und ∂_{ij}f in U existieren. Weiter sei ∂_{ij}f in x_{0} ∈ U stetig. Dann existiert ∂_{ji}f in x_{0} und es gilt

∂_{ij}f(x_{0}) = ∂_{ji}f(x_{0}).

Beweis: Sei e_{1}, …, e_{n} ∈ ℝ^{n} die Standardbasis. Da U offen ist, existiert c > 0 so, daß x_{0} + se_{i} + te_{j} ∈ U für alle s, t ∈ ℝ mit |s|, |t| < c. Sei

φ(s, t) = f(x_{0} + se_{i} + te_{j}), s, t ∈ (−c, c).

Dann ist φ: (−c, c) × (−c, c) → ℝ eine Funktion, für die gilt:

∂_{1}φ, ∂_{2}φ und ∂_{12}φ existieren in (−c, c)×(−c, c) und ∂_{12}φ(s, t) ist stetig in (0, 0). Zu zeigen: ∂_{21}φ(0, 0) existiert und

∂_{21}φ(0, 0) = ∂_{12}φ(0, 0).

Für s, t ∈ (−c, c), s, t ≠ 0, sei

Dφ(s, t) = \frac{(φ(s, t) − φ(0, t)) − (φ(s, 0) − φ(0, 0))}{st}

Sei s ≠ 0 fest und sei g: (−c, c) → ℝ definiert durch

g(t) = φ(s, t) − φ(0, t).

Dann ist

Dφ(s, t) = \frac{1}{s} (\frac{g(t) − g(0)}{t}) .

Aus dem Mittelwertsatz folgt, daß ein θ ∈ (0, 1) existiert, so daß

Dφ(s, t) = \frac{1}{s}g′(θt) = \frac{∂_{2}φ(s, θt) − ∂_{2}φ(0, θt)}{s}.

Anwendung des Mittelwertsatzes bezüglich s ergibt:

∃η ∈ (0, 1): Dφ(s, t) = ∂_{12}φ(ηs, θt).

Da ∂_{12}φ(s, t) in (0, 0) stetig ist, folgt:

∀ϵ > 0 ∃δ > 0: |Dφ(s, t) − ∂_{12}φ(0, 0)| < ϵ

für alle s, t mit |s|, |t| < δ. Weiter gilt:

\begin{aligned}lim_{s→0} Dφ(s, t) & = lim_{s→0} \frac{1}{t} (\frac{φ(s, t) − φ(0, t)}{s} − \frac{φ(s, 0) − φ(0, 0)}{s}) \\ & = \frac{∂_{1}φ(0, t) − ∂_{1}φ(0, 0)}{t} \end{aligned}

Daraus folgt

|\frac{∂_{1}φ(0, t) − ∂_{1}φ(0, 0)}{t} − ∂_{12}φ(0, 0)| < ϵ

für |t| < δ. Dies bedeutet, daß

∂_{21}φ(0, 0) = lim_{t→0} \frac{∂_{1}φ(0, 1) − ∂_{1}φ(0, 0)}{t}

existiert und es gilt:

∂_{21}φ(0, 0) = ∂_{12}φ(0, 0).
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Beispiel-Anwendung: Sei V : ℝ^{2} → ℝ^{2} definiert durch V (x, y) = (−y, x). Frage: Existiert f: ℝ^{2} → ℝ mit gradf = V? Angenommen f existiert. Dann ist

∂_{x}f(x, y) = −y, ∂_{y}f(x, y) = x.

Daraus folgt

∂_{yx}f = −1 und ∂_{xy}f = 1.

Diese Funktionen sind stetig. Daraus erhalten wir einen Widerspruch zu Satz 10.22 und daher existiert f nicht.

Definition 10.23. Sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Eine Funktion f: U → ℂ heißt k-mal stetig differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen

∂_{i_{1}} … ∂_{i_{k}}f, i_{1}, …, i_{k} ∈ {1, …, n},

auf U existieren und stetig sind. Weiter sei

C^{k}(U) := {f: U → ℂ | f k-mal stetig differenzierbar}
C^{∞}(U) := ⋂_{k=1}^{∞} C^{k}(U).

C^{∞}(U) ist der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf U. Sei f ∈ C^{k}(U). Man sagt auch “f ist von der Klasse C^{k}”.

Korollar 10.24. Sei f ∈ C^{k}(U) und sei σ ∈ S_{k} eine Permutation. Dann ist

∂_{i_{k}} … ∂_{i_{k}}f = ∂_{i_{σ(1)}} … ∂_{i_{σ(k)}}f.

Lineare Differentialoperatoren

Sei P (x) ∈ ℂ[x_{1}, …, x_{n}] ein Poynom vom Grade m:

P (x) = ∑_{k_{1}+···+k_{n}≤m} a_{k_{1}···k_{n}}x_{1}^{k_{1}} ⋯ x_{n}^{k_{n}}, a_{k_{1}···k_{n}} ∈ ℂ.

Die Ersetzung x_{i} ⟼ ∂_{i} ergibt

P (D) = ∑_{k_{1}+···+k_{n}≤m} a_{k_{1}···k_{n}}∂_{1}^{k_{1}} ⋯ ∂_{n}^{k_{n}}.

Dies definiert eine lineare Abbildung P (D): C^{m}(U) → C^{0}(U) durch

(P (D)f)(x) = ∑_{k_{1}+···+k_{n}≤m} a_{k_{1}···k_{n}} \frac{∂^{k_{1}+...+k_{n}}f}{∂x_{1}^{k_{1}} … ∂x_{n}^{k_{n}}} (x).

P (D) ist ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten.

Bemerkung: Für n = 1 ist P (D) ein gewöhnlicher Differentialoperator. Beispiele:

1. Laplace-Operator

Δ = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}} .

2. Wellenoperator

\frac{∂^{2}}{∂t^{2}} − Δ.

3. Wärmeleitungsoperator

\frac{∂}{∂t} − Δ.

Eine Gleichung der Art P(D) f=0

nennt man lineare partielle Differentialgleichung.

Eines der Hauptprobleme der Analysis ist die Untersuchung des Lösungsverhaltens von partiellen Differentialgleichungen.

Viele Gleichungen der Physik sind partielle Differentialgleichungen.

Beispiele: 1.Wellengleichung:

\frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} ψ = Δψ, ψ(0) = ψ_{0}, ψ′(0) = ψ_{1}.

2.Laplace-Gleichung:

Δψ = λψ.

3.Wärmeleitungsgleichung:

\frac{∂}{∂t}ψ = Δψ, lim_{t→0} ψ(t, x) = ψ_{0}(x)

4.Schrödinger-Gleichung:

iℏ\frac{∂}{∂t}ψ = Hψ, H = Hamiltonoperator

Z.B.: H = −Δ + V, V ∈ C^{∞}(ℝ^{n}).

10.7. Taylorapproximation Zunächst erinnern wir uns an den 1-dimensionalen Fall. Es sei f ∈ C^{p+1}(I), und seien 0, t ∈ I. Dann gilt

f(t) = T_{p}f(t) + R_{p+1}(t)

wobei

T_{p}f(t) = ∑_{k=0}^{p} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}t^{k}

und

R_{p+1}(t) = \frac{f^{(p+1)}(θt)}{(p + 1)!}t^{p+1}

für ein θ ∈ (0, 1). Dies löst das Problem, die Funktion f in der Umgebung von t = 0 durch ein Polynom zu approximieren. Wir möchten dies für den Fall von mehreren Variablen verallgemeinern. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f ∈ C^{p+1}(U). Seien x_{0}, x ∈ U so, daß [x_{0}, x] ⊂ U. Sei h = x−x_{0}. Wir definieren g: [0, 1] → ℝ durch

g(t) = f(x_{0} + th).

Dann ist g ∈ C^{p+1}((0, 1)) und

\begin{aligned}f(x) & = f(x_{0} + h) = g(1); \\ f(x_{0}) & = g(0). \end{aligned}

Anwendung der Taylorformel für Funktionen einer reellen Variablen ergibt: Es existiert θ ∈ (0, 1) mit

g(1) = T_{p}g(1) + R_{p+1}(1) = ∑_{k=0}^{p} \frac{g^{(k)}(0)}{k!} + \frac{g^{(p+1)}(θ)}{(p + 1)!}.

Berechnung von g^{(k)}(0).

1. g(0) = f(x_{0})

2. Nach der Kettenregel ist

\frac{dg}{dt} (t) = \frac{df(x_{0} + th)}{dt} = ∑_{j=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0} + th)h_{j} = ⟨gradf(x_{0} + th), h⟩.

Sei ∇_{h}: C^{k}(U) → C^{k−1}(U) definiert durch

(∇_{h}f)(x) = ∑_{j=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{j}} (x)h_{j}.

Dann ist

g′(t) = (∇_{h}f)(x_{0} + th).

3. Durch Anwendung der Kettenregel erhalten wir

\frac{d^{2}g}{dt^{2}} (t) = \frac{d}{dt}(∇_{h})f(x_{0} + th) = ∑_{j=1}^{n} \frac{∂}{∂x_{j}} (∇_{h}f)(x_{0} + th)h_{j}.

Hieraus folgt g′′(t) = ((∇_{h})^{2}f) (x_{0} + th). Durch Induktion erhalten wir

\frac{d^{k}g}{dt^{k}} (t) = ((∇_{h})^{k}f) (x_{0} + th).

Wir haben damit den folgenden Satz bewiesen.

Satz 10.25. Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und sei f ∈ C^{p+1}(U). Seien x, x_{0} ∈ U so, daß [x_{0}, x] ⊂ U. Dann existiert θ ∈ (0, 1):

\begin{aligned}f(x) = f(x_{0}) & + \frac{(∇_{h}f)(x_{0})}{1!} + \frac{((∇_{h})^{2} f)(x_{0})}{2!} \\ & + ⋯ + \frac{((∇_{h})^{p}f) (x_{0})}{p!} + \frac{((∇_{h})^{p+1}f) (x_{0} + θh)}{(p + 1)!}. \end{aligned}

Dies ist noch keine brauchbare Formel. Wir müssen (∇_{h})^{k}f durch die partiellen Ableitungen von f ausdrücken. Um die Formeln, die wir daraus erhalten, übersichtlich aufschreiben zu können, führen wir einige Bezeichnungen ein.

Bezeichnungen: Sei α ∈ ℕ_{0}^{n}, α = (α_{1}, …, α_{n}), α_{i} ∈ ℕ_{0}, und x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n}. Dann definieren wir

α! = α_{1}! ⋯ α_{n}!, |α| = α_{1} + ⋯ + α_{n}, x^{α} = x_{1}^{α_{1}} ⋯ x_{n}^{α_{n}}.

Lemma. Für x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} gilt

(x_{1} + ⋯ + x_{n})^{k} = k! ∑_{|α|=k} \frac{x^{α}}{α!}

Beweis: Der Beweis erfolgt durch Induktion.

1. n = 1 : trivial

2. n = 2 :

(x_{1} + x_{2})^{k} = k! ∑_{p=0}^{k} \frac{x_{1}^{p}x_{2}^{k−p}}{p!(k − p)!} = ∑_{p=0}^{n} \binom{n}{p}x_{1}^{p}x_{2}^{k−p}.

3. Schluß von (n − 1) auf n: Sei x = (y, x_{n}), y = (x_{1}, …, x_{n−1}), α = (β, α_{n}), β = (α_{1}, …, α_{n−1}). Dann ist

(x_{1} + ⋯ + x_{n})^{k} = ∑_{α_{n}=0}^{k} \binom{k}{α_{n}}(x_{1} + ⋯ + x_{n−1})^{k−α_{n}}x_{n}^{α_{n}}

= ∑_{α_{n}=0}^{k} ∑_{|β|=k−α_{n}} \frac{k!}{α_{n}!(k − α_{n})!} \frac{(k − α_{n})!}{β!}y^{β}x_{n}^{α_{n}}

= ∑_{|α|=k} \frac{k!}{α!}x^{α}.

□

Aus dem Lemma folgt:

\frac{(∇_{h})^{k}}{k!} = \frac{(h_{1}∂_{1} + ⋯ + h_{n}∂_{n})^{k}}{k!} = ∑_{|α|=k} \frac{h^{α}}{α!} \frac{∂^{|α|}}{∂x_{1}^{α_{1}} ⋯ ∂x_{n}^{α_{n}}} .

Für α = (α_{1}, …, α_{n}) ∈ ℕ_{0}^{n} sei

D^{α} = \frac{∂^{|α|}}{∂x_{1}^{α_{1}} ⋯ ∂x_{n}^{α_{n}}} .

Definition 10.26. Für f ∈ C^{p}(U) sei

T_{p}f(h; x_{0}) = ∑_{|α|≤p} \frac{D^{α}f(x_{0})}{α!}h^{α}

das Taylorpolynom der Ordnung p.

Satz 10.27. (Satz von Taylor) Sei f ∈ C^{p+1}(U) und seien x_{0}, x ∈ U mit [x_{0}, x] ⊂ U. Sei h = x − x_{0}. Dann existiert θ ∈ (0, 1):

f(x_{0} + h) = T_{p}f(h; x_{0}) + R_{p+1}(x)

und

R_{p+1}(x) = ∑_{|α|=p+1} \frac{D^{α}f(x_{0} + θh)}{α!}h^{α}.

Korollar 10.28. Seien U ⊂ ℝ^{n} offen und f: U → ℝ p-mal stetig differenzierbar. Weiter sei x ∈ U und δ > 0 so, daß U_{δ}(x) ⊂ U. Dann gilt für ∥ h ∥< δ:

f(x + h) = ∑_{|α|≤p} \frac{D^{α}f(x)}{α!}h^{α} + o(∥ h ∥^{p}).

d.h. es gilt

lim_{h→0} \frac{f(x + h) − T_{p}f(h; x)}{∥ h ∥^{p}} = 0.

Beweis: Sei h ∈ U_{δ}(0). Dann existiert θ ∈ (0, 1):

f(x + h) = T_{p−1}f(h; x) + ∑_{|α|=p} \frac{D^{α}f(x + θh)}{|α|!}h^{α}.

Da

D^{α}f(x) = \frac{∂^{α_{1}+···+α_{n}}f}{∂x_{n}^{α_{1}} ⋯ ∂x_{n}^{α_{n}}} (x)

in U stetig ist, existiert zu ϵ > 0 ein η > 0:

∑_{|α|=p} \frac{1}{α!} |D^{α}f(x + h) − D^{α}f(x)| < ϵ für ∥ h ∥< η.

Aus Satz 10.27 folgt:

f(x + h) = T_{p−1}(h; x) + ∑_{|α|=p} \frac{D^{α}f(x)}{α!}h^{α}

+ ∑_{|α|=p} \frac{1}{α!} (D^{α}f(x + θh) − D^{α}f(x)) h^{α}

= T_{p}f(h; x) + ∑_{|α|=p} \frac{1}{α!} (D^{α}f(x + θh) − D^{α}f(x)) h^{α}.

Weiter ist

|h^{α}| ≤ max{|h_{1}|, …, |h_{n}|}^{p} ≤∥ h ∥^{p} .

Daraus folgt für 0 <∥ h ∥< η:

\frac{|f(x + h) − T_{p}f(h; x)|}{∥ h ∥^{p}} ≤ ∑_{|α|=p} \frac{1}{α!} |D^{α}f(x + θh) − D^{α}f(x)| < ϵ.

□

10.8. Extrema von Funktionen Definition 10.29. Sei X ⊂ ℝ^{n} und f: X → ℝ eine Funktion.

1. x_{0} ∈ X heißt Maximum (bzw. Minimum) von f, wenn gilt

∀x ∈ X : f(x_{0}) ≥ f(x) (bzw. ∀x ∈ X: f(x) ≥ f(x_{0})).

Der Punkt x_{0} heißt Extremum von f.

2. x_{0} ∈ X heißt lokales Maximum (bzw. lokales Minimum) von f , wenn ϵ > 0 existiert, so daß x_{0} Maximum (bzw. Minimum) von f: U_{ϵ}(x_{0}) ∩ X → ℝ ist . x_{0} heißt in diesem Falle (lokales) Extremum von f.

Der folgende Satz liefert eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums.

Satz 10.30. Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f: U → ℝ. Es sei x_{0} ∈ U ein Extremum von f und f sei in x_{0} partiell differenzierbar. Dann gilt

grad f(x_{0}) = 0,

d.h., ∂_{1}f(x_{0}) = ⋯ = ∂_{n}f(x_{0}) = 0. Wenn f in x_{0} total differenzierbar ist, so ist df(x_{0}) = 0.

Beweis: Es sei e_{1} …, e_{n} ∈ ℝ^{n} die Standardbasis und

g_{i}(t) = f(x_{0} + te_{i}), i = 1, …, n.

Dann hat g_{i}(t) in t = 0 ein lokales Extremum und g_{i} ist in t = 0 differenzierbar. Daraus folgt

0 = \frac{dg_{i}}{dt} (t) = ∂_{i}f(x_{0}).

□

Definition 10.31. Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f ∈ C^{1}(U). Der Punkt x_{0} ∈ U heißt kritischer Punkt von f, wenn df(x_{0}) = 0. Für einen kritischen Punkt x_{0} ∈ U heißt f(x_{0}) kritischer Wert.

Man beachte: Lokale Extrema sind kritische Punkte. Die Umkehrung gilt nicht. Beispiel: Sei f: ℝ^{3} → ℝ definiert durch f(x, y) = x^{2} − y^{2}. Dann ist df(0, 0) = 0. Aber (0, 0) ist kein Extemum von f.

Hinreichendes Kriterium für Extrema

Wir erinnern uns an die Situation im Falle n = 1. Es sei f: (a, b) → ℝ 2-mal stetig differenzierbar. Sei x_{0} ∈ (a, b) und f′(x_{0}) = 0. Dann gilt:

1. f′′(x_{0}) > 0 ⇒ f hat ein lokales Minimum in x_{0}.

2. f′′(x_{0}) < 0 ⇒ f hat ein loklaes Maximum in x_{0}.

Frage: Wie kann man dies auf den Fall mehrerer Veränderlicher verallgemeinern? Die Antwort liefert den Satz von Taylor. Im Falle n = 1 ist

f(x + h) = f(x_{0}) + f′(x_{0})h + \frac{1}{2}f′′(x_{0})h^{2} + o(h^{2}).

Mit Hilfe dieser Gleichung kann man 1) und 2) beweisen. Sei jetzt n beliebig. Sei f ∈ C^{2}(U) und x ∈ U. Aus Korollar 10.28 folgt: Es existiert δ > 0 so, daß für alle h ∈ ℝ^{n} mit ∥ h ∥< δ gilt:

f(x + h) = f(x) + ∑_{j=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{j}} (x)h_{j} + \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{n} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x)h_{i}h_{j} + R(h) ; mit ; lim_{h→0} \frac{R(h)}{∥ h ∥^{2}} = 0.

Dies ist die Taylorapproximation bis zur 2. Ordnung. Sei

d^{2}f(x)(u, v) = ∑_{i,j=1}^{n} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x)u_{i}v_{j}, u, v ∈ ℝ^{h}.

Die so definierte Funktion ist eine ymmetrische Bilinearform in ℝ^{n}. Es sei

d^{2}f(x)(h, h) = ∑_{i,j=1}^{n} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} h_{i}h_{j}

die assoziierte quadratische Form.

Definition 10.32. Die quadratische Form d^{2}f(x)(h, h) heißt Hesse-Form von f in x ∈ U. Die Matrix

H_{f}(x) = (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x))_{i,j=1}^{n}

heißt Hesse-Matrix von f in x.

Bezeichnung: Für die Hesse-Matrix ist auch die Bezeichnung Hessf(x) üblich. Bemerkung: Sei f ∈ C^{2}(U). Aus Satz 10.22. folgt: H_{f}(x) ist symmetrisch. Es gilt

d^{2}f(x)(h, h) = ⟨h, H_{f}(x)h⟩,

d.h., die symmetrische Matrix H_{f}(x) repräsentiert die quadratische Form d^{2}f(x)(h, h). Die Taylorapproximation 2. Ordnung kann man auch wie folgt schreiben:

f(x + h) = f(x) + ⟨gradf(x), h⟩ + \frac{1}{2}⟨h, H_{f}(x)(h)⟩ + R(h).

Sei x ∈ U kritischer Punkt. Aus Satz 10.30 folgt grad f(x) = 0. Daher hat die Taylorapproximation im kritischen Punkte x die Form

f(x + h) = f(x) + \frac{1}{2}⟨h, H_{f}(x)(h)⟩ + R(h).

Da R(h) = o(∥ h ∥^{2}), wird das Verhalten von f in der Umgebung von x durch die quadratische Form ⟨h, H_{f}(x)(h)⟩ bestimmt. Wir erinnern uns an den folgenden Satz aus der linearen Algebra.

Satz. Sei A ∈ Mat_{n}(ℝ) symmetrisch. Dann existiert eine orthonormierte Basis v_{1}, …, v_{n} von ℝ^{n} so, daß

Av_{i} = λ_{i}v_{i}, λ_{i} ∈ ℝ, i = 1, …, n,

d.h., jede symmetrische Matrix kann diagonlalisiert werden.

Insbesondere folgt daraus für H_{f}(x), daß U ∈ O(n) existiert, so daß

U^{t}H_{f}(x)U = (\begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix}) .

Betrachten wir die quadratische Form:

Q(h) = λ_{1}h_{1}^{2} + ⋯ + λ_{n}h_{n}^{2}.

Es genügt, das Verhalten von Q(h) in Umgebung von h = 0 zu untersuchen. Fallunterscheidung:

1. ∀i: λ_{i} > 0. Dann ist 0 isoliertes Minimum von Q.

2. ∀i: λ_{i} < 0. Dann ist 0 isoliertes Maximum von Q.

3. ∃i, j, i ≠ j: λ_{i} > 0, λ_{j} < 0. Dann ist 0 kein Extremum von Q. Beispiel: Q(h) = h_{1}^{2} − h_{2}^{2} In den Fällen 1) - 3) ist Q nicht ausgeartet.

4. ∃i, 1 ≤ i ≤ n: λ_{i} = 0. Dann ist Q(h) ausgeartet. Beispiel: Sei Q(h) = λ_{1}x_{1}^{2} + ⋯ λ_{k}x_{k}^{2} mit k < n und λ_{1}, …, λ_{k} > 0. Dann ist zwar 0 ein Minimum von Q, aber es ist kein isoliertes Minimum.

Es sei q: ℝ^{n} → ℝ eine quadratische Form. Dann existiert eine symmetrische Matrix A so, dass q(x) = ⟨x, Ax⟩, x ∈ ℝ^{n}, d.h., A repräsentiert die quadratische Form q.

Definition. Q heißt:

positiv definit  ⇔ ∀x ∈ ℝ^{n} : Q(x) > 0
positiv semidefinit ⇔ x ∈ ℝ^{n} : Q(x) ≥ 0
negativ definit  ⇔ x ∈ ℝ^{n} : Q(x) < 0
negativ semidefinit ⇔ ∀x ∈ ℝ^{n} : Q(x) ≤ 0
indefinit  ⇔ ∃x, y :  Q(x) > 0 und Q(y) < 0,
nicht ausgeartet  ⇔  det A ≠ 0.

Satz 10.34. Sei f ∈ C^{2}(U) und x ∈ U mit df(x) = 0. Dann gilt: 1. d^{2}f(x) > 0 ⇒ x ist lokales isoliertes Minimum.

2. d^{2}f(x) < 0 ⇒ x ist lokales isoliertes Maximum.

3. d^{2}f(x) indefinit ⇒ x ist kein lokales Extremum.

Beweis:

1. Sei d^{2}f(x) > 0. Nach Voraussetzung ist df(x) = 0. Wie wir bereits oben gesehen haben, hat dann die Taylorformel 2. Ordnung die Gestalt

f(x + h) = f(x) + \frac{1}{2}⟨h, H_{f}(x)(h)⟩ + R(h),

wobei lim_{h→0} R(h)/ ∥ h ∥^{2}= 0 gilt. Da H_{f}(x) symmetrisch ist, existiert U ∈ O(n) so, daß

UH_{f}(x)U^{−1} = (\begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix})

und λ_{i} ∈ ℝ. Nach Voraussetzung ist H_{f}(x) > 0. Daraus folgt: ∀i: λ_{i} > 0. Deshalb existiert m > 0 so, daß

⟨h, H_{f}(x)(h)⟩ ≥ m ∥ h ∥^{2}

für alle h ∈ ℝ^{n}. Da lim_{h→0} R(h)/ ∥ h ∥^{2}= 0, existiert ϵ > 0:

∀h ∈ ℝ^{n}: ∥ h ∥< ϵ ⇒ |R(h)| < \frac{m}{4} ∥ h ∥^{2} .

Sei ∥ h ∥< ϵ. Dann folgt

f(x + h) = f(x) + \frac{1}{2}⟨h, H_{f}(x)h⟩ + R(h)

≥ f(x) + \frac{m}{2} ∥ h ∥^{2} − |R(h)|

≥ f(x) + \frac{m}{4} ∥ h ∥^{2} .

Aus dieser Ungleichung folgt, daß x ein lokales isoliertes Minimum von f ist.

2. Dieser Fall wird analog behandelt.

3. Wenn d^{2}f(x) indefinit ist, so existieren u, v ∈ ℝ^{n} mit ⟨u, H_{f}(x)(u)⟩ > 0 und ⟨v, H_{f}(x)(v)⟩ < 0. Sei F_{u}(t) = f(x + tu), t ∈ ℝ, |t| < ϵ. Dann ist F_{u}: (−ϵ, ϵ) → ℝ 2-mal stetig differenzierbar und es gilt:

\begin{matrix}F′_{u}(0) = ∂_{u}f(x) = df(x)(u) = 0, \\ F′′_{u}(0) = ⟨u, H_{f}(x)(u)⟩ > 0. \end{matrix}

Daraus folgt, daß F_{u} in t = 0 ein isoliertes lokales Minimum hat. Entsprechend folgt: F_{v}(t) = f(x + tv) hat in t = 0 ein isoliertes lokales Maximum. Daher ist x kein Extremum von f.

□

Im Falle n = 2 ist es leicht, zu entscheiden, ob eine gegebene Matrix positiv oder negativ definit ist. Dies wird durch folgendes Lemma beantwortet.

Lemma 10.35. Sei n = 2, Q(x) = ⟨x, Ax⟩ mit A = (\begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix}). Dann

gilt Q > 0 ⇔ a > 0 und det A > 0 Q < 0 ⇔ a < 0 und det A > 0 Q indefinit ⇔ det A < 0.

Beweis:

Q(x) = ax_{1}^{2} + 2bx_{1}x_{2} + cx_{2}^{2}

= a (x_{1}^{2} + 2\frac{b}{a}x_{1}x_{2} + \frac{b^{2}}{a^{2}} x_{2}^{2}) + (c − \frac{b^{2}}{a} ) x_{2}^{2}

= a (x_{1} + \frac{b}{a}x_{2})^{2} + \frac{1}{a} (ac − b^{2}) x_{2}^{2}.

1. a > 0, det A > 0 ⇒ Q > 0. Q > 0 ⇒ a > 0, det A > 0.

2. a < 0, det A > 0 ⇒ Q < 0. Q < 0 ⇒ a < 0, det A > 0.

Für n > 2 gibt es den folgenden Satz von Sylvester, der für eine symmetrische reelle Matrix A ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür angibt, daß A > 0 gilt.

Satz. Es sei A ∈ Mat_{n}(ℝ) symmetrisch. Dann ist A positiv definit genau dann, wenn gilt:

∀k ∈ \{1, ...n\} : det (\begin{matrix}a_{11} & … & a_{1k} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{k1} & … & a_{kk} \end{matrix}) > 0.

10.9. Der Umkehrsatz In diesem Abschnitt untersuchen wir, wann eine stetig differenzierbare Abbildung ϕ: U → V von offenen Mengen U, V ⊂ ℝ^{n} eine stetige differenzierbare Umkehrung ψ = ϕ^{−1} besitzt. Abbildungen dieser Art spielen in der Analysis die gleiche Rolle wie die Isomorphismen in der Algebra.

Definition 10.36. Es seien U ⊂ ℝ^{n} und V ⊂ ℝ^{m} offene Mengen und ϕ: U → V sei eine C^{1}-Abbildung. Dann heißt ϕ Diffeomorphismus, wenn eine C^{1}-Abbildung ψ: V → U existiert, so daß gilt:

ψ ∘ ϕ = Id_{U}, ϕ ∘ ψ = Id_{V} .  (10.1)

Dann ist ψ = ϕ^{−1} die Umkehrabbildung von ϕ.

Beispiele:

1. Wie wir aus Kapitel 6 wissen, ist exp: ℝ → ℝ^{+} eine eineindeutige C^{∞}-Abbildung. Die Umkehrabbildung ln = exp^{−1} ist eine C^{∞}-Abbildung von ℝ^{+} auf ℝ. Damit ist exp: ℝ → ℝ^{+} ein Diffeomorphismus.

2. Es sei f: ℝ → ℝ definiert durch f(x) = x^{3}, x ∈ ℝ. Dann ist f eine eineindeutige C^{∞}-Abbildung von ℝ auf ℝ. Die Umkehrabbildung f^{−1}(x) = \sqrt[3]{x} ist jedoch in x = 0 nicht differenzierbar. Deshalb ist f kein Diffeomorphismus.

Wir stellen zunächst einige elementare Eigenschaften eines Diffeomorphismus ϕ: U → V zusammen. Es sei ψ = ϕ^{−1} die Umkehrabbildung. Es sei x ∈ U und y = ϕ(x) ∈ V. Die Anwendung der Kettenregel auf (10.1) ergibt

dψ(y) ∘ dϕ(x) = Id_{ℝ^{n}}, dϕ(x) ∘ dψ(y) = Id_{ℝ^{m}}.

Aus der linearen Algebra erhalten wir Lemma 10.37. Es sei ϕ: U → V ein Diffeomorphismus offener Mengen U ⊂ ℝ^{n} und V ⊂ ℝ^{m}. Dann gilt:

1. n = m.

2. Für alle x ∈ U ist dϕ(x): ℝ^{n} → ℝ^{n} ein Isomorphismus und es gilt

(dϕ^{−1})(y) = (dϕ(x))^{−1},

wobei y = ϕ(x).

Bemerkung:

1. Aus dem Lemma folgt insbesondere, daß für n ≠ m, ℝ^{n} nicht diffeomorph auf ℝ^{m} abgebildet werden kann.

2. Wie Lemma 10.37 zeigt, ist die Invertierbarkeit der Differentiale dϕ(x): ℝ^{n} → ℝ^{n} in jedem Punkt x ∈ U eine notwendige Bedingung dafür, daß ϕ: U → V ein Diffeomorphismus ist. Für n = 1 ist dies auch hinreichend. Denn es sei ϕ: I → J eine surjektive C^{1}- Abbildung eines offenen Intervalls I ⊂ ℝ^{1} auf ein offenes Intervall J ⊂ ℝ^{1}. Weiter sei ϕ′(x) ≠ 0 für alle x ∈ I. Dann gilt entweder ϕ′(x) > 0 für alle x ∈ I oder ϕ′(x) < 0 für alle x ∈ I, d.h. ϕ ist streng monoton. Nach Satz 7.7 ist dann die Umkehrfunktion ψ: J → I stetig differenzierbar.

Für n > 1 ist dies nicht mehr richtig, d.h., die Invertierbarkeit der Differentiale dϕ(x) für jedes x ∈ U ist nicht hinreichend für die Existenz einer differenzierbaren Umkehrabbildung. Dies zeigt folgendes Beispiel. Es sei

P: ℝ^{2} → ℝ^{2}

definiert durch

P (r, φ) = (r cos φ, r sin φ).  (10.2)

Dann bildet P den offenen Streifen ℝ_{+} × (−π, π) homöomorph auf ℝ^{2} − {(x, 0) | x ≤ 0} ab. Homöomorph bedeutet dabei, daß die Umkehrabbildung existiert und stetig ist. Die Abbildung

P_{1} : ℝ^{+} × ℝ → ℝ − {(x, 0) | x ≤ 0},

die durch die Einschränkung von P auf ℝ^{+} × ℝ definiert wird, ist eine surjektive C^{1}-Abbildung. Für das Differential gilt

dP_{1}(r, φ) = (\begin{matrix}cos φ & −r sin φ \\ sin φ & r cos φ \end{matrix}) .

Die Determinante dieser Matrix ist gleich r. Daher ist dP_{1}(r, φ) in jedem Punkt (r, φ) ∈ ℝ^{+} × ℝ invertierbar. Andererseits gilt

P_{1}(r, φ + 2π) = P_{1}(r, φ)

für alle (r, φ) ∈ ℝ^{+} × ℝ. Daher besitzt P_{1} nicht einmal eine Umkehrabbildung.

Wie wir in obigem Beispiel gesehen haben reicht die Invertierbarkeit der Differentiale dϕ(x), x ∈ U, im allgemeinen nicht aus, damit die C^{1}-Abbildung ϕ: U → V ein Diffeomorphismus ist. Wenn wir jedoch zusätzlich annehmen, daß ϕ eine stetige Umkehrung besitzt, so ist die Invertierbarkeit der Differentiale dϕ(x), x ∈ U, hinreichend für die Existenz einer stetig differenzierbaren Umkehrung. Und zwar gilt

Satz 10.38. Es sei ϕ: U → V eine C^{1}-Abbildung einer offenen Menge U ⊂ ℝ^{n} auf eine offene Menge V ⊂ ℝ^{n} mit folgenden Eigenschaften:

1. ϕ besitzt eine stetige Umkehrung.

2. Für alle x ∈ U ist dϕ(x) ein Isomorphismus. Dann ist φ ein Diffeomorphismus.

Beweis:

1. Wir zeigen, daß ψ = ϕ^{−1} in jedem Punkt y ∈ V differenzierbar ist. Es sei k ∈ ℝ^{n} so, daß y + k ∈ V. Wir setzen

x := ψ(y), h := ψ(y + k) − ψ(y).  (10.3)

Da ϕ in x ∈ U differenzierbar ist, gilt:

ϕ(x + h) = ϕ(x) + dϕ(x)(h) + R(h)

mit

lim_{h→0} \frac{R(h)}{∥ h ∥} = 0.  (10.4)

In dieser Gleichung ersetzen wir x und h durch die rechten Seiten von (10.3) und benutzen, daß ϕ ∘ ψ = Id gilt. Dann erhalten wir

k = dϕ(x)(ψ(y + k) − ψ(y)) + R(ψ(y + k) − ψ(y)).

Da dϕ(x) invertierbar ist, folgt daraus

ψ(y + k) = ψ(y) + (dϕ(x))^{−1}(k) + R_{1}(k)  (10.5)

wobei

R_{1}(k) := −(dϕ(x))^{−1}R(ψ(y + k) − ψ(y)).  (10.6)

Wir schätzen jetzt R_{1}(k) für k → 0 ab. Es sei

c =∥ (dϕ(x))^{−1} ∥ .

Da für R(h) die Bedingung (10.4) gilt, existiert r > 0 so, daß

∥ R(h) ∥≤ \frac{1}{2c} ∥ h ∥

für alle h ∈ ℝ^{n} mit ∥ h ∥≤ r. Da ψ stetig ist, existiert ein δ > 0 so, daß

∥ h ∥=∥ ψ(y + k) − ψ(y) ∥≤ r

für alle k ∈ ℝ^{n} mit ∥ k ∥≤ δ. Aus (10.6) folgt für diese k:

\begin{aligned}∥ R_{1}(k) ∥ & ≤∥ (dϕ(x))^{−1} ∥ ∥ R(ψ(y + k) − ψ(y)) ∥ \\ & ≤ c\frac{1}{2c} ∥ ψ(y + k) − ψ(y) ∥= \frac{1}{2} ∥ ψ(y + k) − ψ(y) ∥ . \end{aligned}

Weiter folgt aus (10.5)

∥ ψ(y + k) − ψ(y) ∥≤ c ∥ k ∥ + ∥ R_{1}(k) ∥ .

Aus diesen beiden Ungleichungen erhalten wir

∥ ψ(y + k) − ψ(y) ∥≤ 2c ∥ k ∥ .

Aus (10.6) erhalten wir zusammen mit dieser Abschätzung und (10.3)

\frac{∥ R_{1}(k) ∥}{∥ k ∥} ≤ c \frac{∥ R(ψ(y + k) − ψ(y) ∥}{∥ k ∥}

= c \frac{∥ ψ(y + k) − ψ(y) ∥}{∥ k ∥} \frac{∥ R(ψ(y + k) − ψ(y)) ∥}{∥ ψ(y + k) − ψ(y) ∥}

≤ 2c^{2} \frac{∥ R(h) ∥}{∥ h ∥}

für alle k ≠ 0 mit ∥ k ∥≤ δ. Wegen der Stetigkeit von ψ folgt

lim_{k→0} ψ(y + k) − ψ(y) = 0.

Nach Definition von h folgt daraus, daß h → 0 für k → 0 gilt. Aus obiger Abschätzung folgt damit

lim_{k→0} \frac{∥ R_{1}(k) ∥}{∥ k ∥} = 0.

Aus (10.5) folgt daher, daß ψ differenzierbar ist. Es bleibt noch zu zeigen, daß ψ stetig differenzierbar ist, d.h., daß die Abbildung

y ∈ V ⟼ dψ(y) ∈ Hom(ℝ^{n}, ℝ^{n})

stetig ist. Auf Grund von (10.5) gilt

dψ(y) = (dϕ(ψ(y)))^{−1} .

Dies bedeutet, daß dψ die Komposition der Abbildungen ψ: V → U, dϕ: U → Hom(ℝ^{n}, ℝ^{n}) und A ∈ GL(ℝ^{n}) ⟼ A^{−1} ∈ GL(ℝ^{n}) ist. Diese Abbildungen sind alle stetig. Daher ist auch dψ: V → Hom(ℝ^{n}, ℝ^{n}) stetig.

□

Ohne die Voraussetzung, daß ϕ eine stetige Umkehrung besitzt, ist der obige Satz nicht mehr richtig. Der Umkehrsatz gilt jedoch in der lokalen Form, d.h., daß ϕ in der Umgebung jedes Punktes x ∈ U eine Umkehrung besitzt. Dazu benötigen wir den Banachschen Fixpunktsatz. Wir formulieren diesen Satz allgemein für metrische Räume. Deshalb müssen wir zuerst einige Begriffe aus der Theorie der metrischen Räume einführen.

Definition 10.39. Eine Menge M zusammen mit einer Abbildung

d: M × M → ℝ

heißt metrischer Raum, wenn folgende Eigenschaften gelten: 1. ∀x, y ∈ M: d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

2. ∀x, y ∈ M: d(x, y) = d(y, x).

3. ∀x, y, z ∈ M: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Es sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (x_{n}) von Elementen aus M heißt konvergent, wenn gilt:

∃x ∈ M ∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ: d(x_{n}, x) < ϵ für alle n ≥ N.

Das Element x heißt Grenzwert der Folge (x_{n}):

x = lim_{n→∞} x_{n}.

Eine Folge (x_{n}) in M heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

∀ϵ > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n, m ≥ N:
d(x_{n}, x_{m}) < ϵ.

Ein metrischer Raum (M, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge (x_{n}) von Elementen aus M einen Grenzwert x ∈ M besitzt.

Definition 10.40. Es sei (M, d) ein metrischer Raum und φ: M → M eine Abbildung. Die Abbildung φ heißt Kontraktion, wenn ein λ < 1 existiert so, daß gilt:

∀x, y ∈ M: d(φ(x), φ(y)) ≤ λd(x, y).

Satz 10.41. (Banachscher Fixpunktsatz): Es sei (M, d) ein vollständiger metrischer Raum und φ: M → M eine Kontraktion. Dann hat φ genau einen Fixpunkt y ∈ M, d.h., es gibt genau einen Punkt y ∈ M mit φ(y) = y. Für jeden Startwert x_{0} ∈ M konvergiert die Folge (x_{n}), die rekursiv durch

x_{n+1} := φ(x_{n}), n ∈ ℕ_{0},

definiert ist, gegen den Fixpunkt y.

Beweis: Es sei x_{0} ∈ M. Wir definieren die Folge (x_{n}) rekursiv durch

x_{n+1} = φ(x_{n}), n ∈ ℕ_{0}.

Durch Induktion zeigt man

∀n ∈ ℕ: d(x_{n}, x_{n+1}) ≤ λ^{n}d(x_{0}, x_{1}).

Es seien n, k ∈ ℕ. Dann folgt daraus

d(x_{n}, x_{n+p}) ≤ d(x_{n}, x_{n+1}) + ⋯ + d(x_{n+p−1}, x_{n+p})

≤ (λ^{n} + ⋯ + λ^{n+p−1})d(x_{0}, x_{1})

≤ λ^{n} (∑_{p=0}^{∞} λ^{p}) d(x_{0}, x_{1}) = \frac{λ^{n}}{1 − λ}d(x_{0}, x_{1}).

Für λ < 1 gilt lim_{n→∞} λ^{n} = 0. Daher folgt aus dieser Ungleichung, daß (x_{n}) eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit von (M, d) existiert der Grenzwert

y = lim_{n→∞} x_{n}.

Da φ eine Kontraktion ist, gilt

∀n ∈ ℕ: d(φ(x_{n}), φ(y)) ≤ λd(x_{n}, y).

Daraus folgt

φ(y) = lim_{n→∞} φ(x_{n}) = lim_{n→∞} x_{n+1} = y,

d.h., y ist Fixpunkt von φ. Es sei jetzt z ∈ M irgendein Fixpunkt von φ. Dann gilt

d(y, z) = d(φ(y), φ(z)) ≤ λφ(y, z).

Da λ < 1 ist, folgt daraus

d(y, z) = 0, d.h., y = z.
□

Wir können jetzt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit beweisen.

Satz 10.42. Es sei U ⊂ ℝ^{n} eine offene Menge und ϕ: U → ℝ^{n} eine C^{1}- Abbildung. Es sei a ∈ U und dϕ(a): ℝ^{n} → ℝ^{n} sei ein Isomorphismus. Dann existiert eine offene Umgebung U_{0} ⊂ U von a so, daß gilt

1. V = ϕ(U_{0}) ist eine offenen Umgebung von b = ϕ(a).

2. ϕ: U_{0} → V ist ein Diffeomorphismus.

3. Die Umkehrabbildung ψ: V → U_{0} hat in b das Differential

dψ(b) = (dϕ(a))^{−1}.

Beweis: Es sei b = ϕ(a). Wir konstruieren zunächst in einer geeigneten Umgebung von b eine stetige Umkehrabbildung. O.B.d.A. können wir annehmen, daß gilt:

a = 0 und ϕ(a) = 0.

Andernfalls betrachten wir die Abbildung

ϕ̃(x) = ϕ(x + a) − ϕ(a).

Diese Abbildung ist differenzierbar in einer Umgebung von 0 ∈ ℝ^{n} und es gilt

dϕ̃(0) = dϕ(a).

Daher ist dϕ̃(0) ein Isomorphismus. Es sei L = (dϕ(0))^{−1}. Da L ein Isomorphismus des ℝ^{n} ist, genügt es den Satz für die Abbildung

L ∘ ϕ: U → ℝ^{n}

zu beweisen, denn wenn L ∘ ϕ ein lokaler Diffeomorphismus ist, so ist auch ϕ = L^{−1}(L ∘ ϕ) ein lokaler Diffeomorphismus. Nach der Kettenregel gilt:

d(L ∘ ϕ) = dL ∘ dϕ = L ∘ dϕ = Id_{ℝ^{n}}.

Wir können damit O.B.d.A. folgende Annahmen machen:

a = ϕ(a) = 0 und dϕ(0) = Id.

1) Die Konstruktion der Umkehrabbildung zu ϕ: U → ℝ^{n} in einer Umgebung von 0 bedeutet, für eine geeignete Kugel U_{δ}(0) und für jedes y ∈ U_{δ}(0) die Gleichung

y = ϕ(x)

zu lösen. Dies kann wie folgt auf die Lösung einer Fixpunktgleichung zurückgeführt werden. Für y ∈ ℝ^{n} sei φ_{y}: U → ℝ^{n} definiert durch

φ_{y}(x) = y + x − ϕ(x).

Dann ist x ein Fixpunkt von φ_{y} genau dann, wenn x Lösung der Gleichung y = ϕ(x) ist. Wir wählen r > 0 so, daß \overline{U_{2r}(0)} ⊂ U und daß gilt:

∀x ∈ \overline{U_{2r}}(0): ∥ Id − dϕ(x) ∥≤ \frac{1}{2}.

Da dϕ(0) = Id und dϕ stetig ist, existiert ein solches r. Nach Defintion von φ_{y} gilt

dφ_{y} = Id − dϕ.

Aus dem Schrankensatz (Satz 10.20) folgt:

∀x_{1}, x_{2} ∈ U_{2r}(0): ∥ φ_{y}(x_{1}) − φ_{y}(x_{2}) ∥≤ \frac{1}{2} ∥ x_{1} − x_{2} ∥ .  (10.7)

Hieraus folgt für ∥ y ∥< r und ∥ x ∥≤ 2r

∥ φ_{y}(x) ∥ ≤∥ φ_{y}(x) − φ_{y}(0) ∥ + ∥ φ_{y}(0) ∥
=∥ φ_{y}(x) − φ_{y}(0) ∥ + ∥ y ∥
< 2r.

Dabei haben wir benutzt, daß φ_{y}(0) = y auf Grund unserer Annahme ϕ(0) = 0 gilt. Daraus folgt, daß für alle y ∈ ℝ^{n} mit ∥ y ∥< r die Abbildung φ_{y} die Kugel \overline{U_{2r}}(0) in sich abbildet und wegen (10.7) sind diese Abbildungen Kontraktionen mit λ = 1/2. Da die abgeschlossene Kugel \overline{U_{2r}}(0) kompakt ist, ist \overline{U_{2r}}(0) ein vollständiger metrischer Raum. Aus Satz 10.41 folgt daher, daß für ∥ y ∥< r jede Abbildung

φ_{y}: \overline{U_{2r}}(0) → \overline{U_{2r}}(0)

genau einen Fixpunkt x ∈ \overline{U_{2r}}(0) hat. Wie wir oben gezeigt haben, liegt x in der offenen Kugel U_{2r}(0). Damit folgt, daß zu jedem y ∈ U_{r}(0) genau ein x ∈ U_{2r}(0) existiert mit φ_{y}(x) = x. Diese Gleichung ist äquivalent zu ϕ(x) = y. Wir setzen

ψ(y) = x, V = U_{r}(0) und U_{0} = ϕ^{−1}(V) ∩ U_{2r}(0).

Dann ist ψ: V → U_{0} die Umkehrabbildung zu ϕ | U_{0}. 2)Wir zeigen jetzt, daß ψ stetig ist. Es seien y_{1}, y_{2} ∈ V. Für die Bildpunkte x_{1} = ψ(y_{1}) und x_{2} = ψ(y_{2}) gilt dann

x_{2} − x_{1} = φ_{0}(x_{2}) − φ_{0}(x_{1}) + ϕ(x_{2}) − ϕ(x_{1}).

Aus (10.7) folgt damit

∥ x_{2} − x_{1} ∥≤ \frac{1}{2} ∥ x_{2} − x_{1} ∥ + ∥ ϕ(x_{2}) − ϕ(x_{1}) ∥ .

Da ϕ ∘ ψ = Id gilt, ist ϕ(x_{i}) = y_{i}, i = 1, 2. Damit erhalten wir aus obiger Ungleichung

∥ ψ(y_{2}) − ψ(y_{1}) ∥≤ 2 ∥ y_{2} − y_{1} ∥,

d.h., ψ ist stetig.

3) Wir zeigen, daß das Differential dϕ(x) in jedem Punkt x ∈ U_{0} ein Isomorphismus ist. Auf Grund der Wahl von r und wegen ∥ x ∥< 2r gilt

∥ (Id − dϕ(x))v ∥≤ \frac{1}{2} ∥ v ∥  (10.8)

für alle v ∈ ℝ^{n}. Es sei v ∈ ker(dϕ(x)). Dann folgt aus (10.8)

∥ v ∥≤ \frac{1}{2} ∥ v ∥,

d.h., v = 0. Daraus folgt, daß dϕ(x) ein Isomorphismus ist.

Wir haben damit gezeigt, daß für ϕ | U_{0} die Voraussetzungen von Satz 10.38 gelten. Daraus folgt, daß ϕ: U_{0} → V ein Diffeomorphismus ist.

Die Formel für das Differential folgt aus ϕ ∘ ψ = Id_{U_{0}}, ψ ∘ ϕ = Id_{V} und der Kettenregel.

□

Beispiel: Für die Polarkoordinatenabbildung P_{2} : ℝ^{2} → ℝ^{2}, die durch

P_{2}(r, φ) = (r cos φ, r sin φ)

definiert ist, gilt det(dP_{2}(r, φ)) = r. Für alle (r, φ) mit r ≠ 0 ist daher dP_{2}(r, φ) ein Isomorphismus. Zum Beispiel ist

P_{2} : ℝ^{+} × (−π, π) → ℝ^{2} − {(x, 0) | x ≤ 0}

ein Diffeomorphismus. Die Umkehrabbildung ist

P_{2}^{−1}(x, y) = (\sqrt{x^{2} + y^{2}}, sign(y) arccos (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} )) .

Definition 10.43. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und ϕ : U → ℝ^{n} sei eine C^{1}-Abbildung. Dann heißt ϕ im Punkte x_{0} ∈ U ein lokaler Diffeomorphismus, wenn es offene Umgebungen U_{0} von x_{0} und V von ϕ(x_{0}) gibt, so daß die Einschränkung ϕ | U_{0} ein Diffeomorphismus von U_{0} auf V ist.

Damit kann der Umkehrsatz auch wie folgt formuliert werden: Eine C^{1}-Abbildung ϕ : U → ℝ^{n} ist in einem Punkte x_{0} ∈ U genau dann ein lokaler Diffeomophismus, wenn das Differential dϕ(x_{0}) : ℝ^{n} → ℝ^{n} ein Isomorphismus ist. Eine wichtige Anwendung des Umkehrsatzes ist der folgende Offenheitssatz.

Satz 10.44. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und ϕ : U → ℝ^{n} eine C^{1}-Abbildung derart, daß für alle x ∈ U das Differential dϕ(x) : ℝ^{n} → ℝ^{n} ein Diffeomorphismus ist. Dann gilt:

1. ϕ(U) ist offen.

2. Wenn ϕ injektiv ist, so ist ϕ : U → ϕ(U) ein Diffeomorphismus.

Beweis: 1) Es sei x ∈ U. Nach Satz 10.42 existiert eine offene Umgebung U_{x} von x so, daß die Einschränkung von ϕ | U_{x} ein Diffeomorphismus von U_{x} auf die offene Menge ϕ(U_{x}) ist. Dann ist

ϕ(U) = ⋃_{x∈U} ϕ(U_{x})

als Vereinigung offener Mengen ebenfalls offen. 2)Es sei ϕ : U → ℝ^{n} injektiv. Dann existiert die Umkehrabbildung ψ : ϕ(U) → U. Es sei U′ ⊂ U eine offene Teilmenge. Nach 1) ist ψ^{−1}(U′) = ϕ(U′) offen. Daher ist ψ stetig. Aus Satz 10.38 folgt, daß ϕ : U → ϕ(U) ein Diffeomorphismus ist.

□

10.10. Der Satz über implizite Funktionen

Es sei f : ℝ^{2} → ℝ eine Funktion. In diesem Abschnitt untersuchen wir die Frage, wann man die Gleichung

f(x, y) = 0

in die Umgebung eines Punktes (x_{0}, y_{0}), der Lösung dieser Gleichung ist, nach y auflösen kann, d.h., wir suchen eine Funktion

g : (x_{0} − ϵ, x_{0} + ϵ) → ℝ

so, daß gilt:

g(x_{0}) = y_{0} und f(x, g(x)) = 0 für |x − x_{0}| < ϵ.

Es sei

X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | f(x, y) = 0}

die Nullstellenmenge von f und es sei (x_{0}, y_{0}) ∈ X. Anders formuliert lautet unsere Frage: Existieren ϵ > 0 und eine Funktion g : (x_{0} − ϵ, x_{0} + ϵ) → ℝ so, daß X ∩ U_{ϵ}(x_{0}, y_{0}) der Graph von g ist?

Beispiele:

1. Es sei f(x, y) = x − y^{2}. Es sei (x_{0}, y_{0}) ≠ (0, 0). Dann existiert g. Für |x| < ϵ ist

g(x) = \begin{cases}\sqrt{x}, & y_{0} > 0; \\ −\sqrt{x}, & y_{0} < 0. \end{cases}

Andererseits hat die Gleichung f(x, y) = 0 in keiner Umgebung von (0, 0) eine Auflösung nach y, da zu jedem x > 0 zwei y-Werte existieren, y = \sqrt{x} und y = −\sqrt{x}, so daß

f(x, y) = 0.

2. Es sei f(x, y) = x^{2} − y^{2} = (x − y)(x + y). In der Nähe von (0, 0) hat die Kurve f(x, y) = 0 zwei Zweige und ist deshalb nicht auflösbar.

3. Es sei f(x, y) = x^{2}(1 − x^{2}) − y^{2} = 0. Die Gleichung f(x, y) = 0 ist in der Umgebung von (0, 1), (−1, 0) und (0, 0) nicht nach y auflösbar.

Die Nullstellenmenge von f(x, y) = x^{2}(1 − x^{2}) − y^{2}.

Die Frage nach der Existenz einer Auflösung der Gleichung f(x, y) = 0 wird wie folgt auf den Umkehrsatz zurückgeführt. Wir betrachten für u ∈ (−ϵ, ϵ) die Gleichung

f(x, y) = u

und fragen nach der Existenz einer Funktion

g : (x_{0} − ϵ, x_{0} + ϵ) × (−ϵ, ϵ) → ℝ

so, daß

f(x, g(x, u)) = u

gilt. Es sei

ψ(x, u) = (x, g(x, u)), (x, u) ∈ (x_{0} − ϵ, x_{0} + ϵ) × (−ϵ, ϵ)

und

ϕ(x, y) = (x, f(x, y)), (x, y) ∈ ℝ^{2}.

Dann gilt

ϕ ∘ ψ(x, u) = ϕ(x, g(x, u)) = (x, f(x, g(x, u)) = (x, u),

d.h., es gilt

ϕ ∘ ψ = Id.

Um die Existenz von g(x, u) zu beweisen, genügt es also zu zeigen, daß in einer Umgebung von (x_{0}, 0) die Umkehrabbildung ψ = ϕ^{−1} existiert. Aus dem Umkehrsatz wissen wir, daß

det(dϕ(x_{0}, y_{0})) ≠ 0  (10.9)

eine hinreichende Bedingung für die Existenz von ψ ist. Wir betrachten jetzt eine etwas allgemeinere Situation und führen einige Bezeichnungen ein, um (10.9) geeignet formulieren zu können. Es sei U ⊂ ℝ^{n+k} = ℝ^{n} × ℝ^{k} offen und f : U → ℝ^{m} sei eine C^{1}-Abbildung. Wir definieren die partiellen Differentiale

d_{x}f(x, y) : ℝ^{n} → ℝ^{m}
d_{y}f(x, y) : ℝ^{k} → ℝ^{m}

durch

d_{x}f(x, y)(h) = df(x, y)(h, 0)
d_{y}f(x, y)(k) = df(x, y)(0, k).

Dann gilt für das Differential

df(x, y) : ℝ^{n} × ℝ^{k} → ℝ^{m}

df(x, y)(h, k) = d_{x}f(x, y)(h) + d_{y}f(x, y)(k).  (10.10)

Bemerkungen: Es sei k = m.

1. Wenn d_{y}f(x, y) : ℝ^{k} → ℝ^{k} invertierbar ist, so ist df(x, y) surjektiv.

2. Es seien f_{1}, …, f_{m} die Komponenten von f, wobei f_{i} : ℝ^{n+m} → ℝ Funktionen sind. Dann entspricht die Gleichung f(x, y) = 0 dem Gleichungssystem

f_{1}(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}) = 0
⋮
f_{m}(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}) = 0.

Die Jacobi-Matrix von f ist gleich

(\begin{matrix}∂_{x_{1}}f_{1} ⋯ ∂_{x_{n}}f_{1} & ∂_{y_{1}}f_{1} ⋯ ∂_{y_{m}}f_{1} \\ ⋮  ⋮ & ⋮  ⋮ \\ ∂_{x_{1}}f_{m} ⋯ ∂_{x_{n}}f_{m} & ∂_{y_{1}}f_{m} ⋯ ∂_{y_{m}}f_{m} \end{matrix})

Entsprechend ist

d_{x}f(x, y) = (\begin{matrix}∂_{x_{1}}f_{1} & ⋯ ∂_{x_{n}}f_{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ ∂_{x_{1}}f_{m} & ⋯ ∂_{x_{n}}f_{m} \end{matrix})

d_{y}f(x, y) = (\begin{matrix}∂_{y_{1}}f_{1} & ⋯ ∂_{y_{1}}f_{1} \\ ⋮ & ⋮ \\ ∂_{y_{1}}f_{m} & ⋯ ∂_{y_{m}}f_{m} \end{matrix}) .

Satz 10.45. (Satz über implizite Funktionen) Es sei U ⊂ ℝ^{n} × ℝ^{m} offen und f : U → ℝ^{m} eine C^{1}-Abbildung. Es sei (x_{0}, y_{0}) ∈ U eine Nullstelle von f, d.h., f(x_{0}, y_{0}) = 0, und es sei d_{y}f(x_{0}, y_{0}) : ℝ^{m} → ℝ^{m} invertierbar. Dann gibt es Umgebungen U_{1} ⊂ ℝ^{n} von x_{0} und U_{2} ⊂ ℝ^{m} von y_{0} sowie eine C^{1}-Abbildung g : U_{1} → U_{2} mit g(x_{0}) = y_{0} so, daß gilt:

{(x, y) ∈ U_{1} × U_{2} | f(x, y) = 0} = {(x, g(x)) | x ∈ U_{1}}.

Für das Differential dg(x_{0}) gilt

dg(x_{0}) = − (d_{y}f(x_{0}, y_{0}))^{−1} ∘ d_{x}f(x_{0}, y_{0}).

Beweis: Wir betrachten die Abbildung

ϕ : U → ℝ^{n+m},

die definiert ist durch

ϕ(x, y) = (x, f(x, y)).

Dann ist ϕ eine C^{1}-Abbildung und für das Differential

dϕ(x, y) : ℝ^{n+m} → ℝ^{n+m}

gilt

dϕ(x, y)(h, k) = (h, d_{x}f(x, y)(h) + d_{y}f(x, y)(k)),

d.h.,

dϕ(x_{0}, y_{0}) = (\begin{matrix}Id_{ℝ^{n}} & 0 \\ d_{x}f(x_{0}, y_{0}) & d_{y}f(x_{0}, y_{0}) \end{matrix}) .

Hieraus folgt

det(dϕ(x_{0}, y_{0})) = det(d_{y}f(x_{0}, y_{0})) ≠ 0.

Aus dem Umkehrsatz (Satz 10.42) folgt, daß es Umgebungen U_{0} von (x_{0}, y_{0}) ∈ ℝ^{n+m} und V von ϕ(x_{0}, y_{0}) = (x_{0}, 0) gibt so, daß ϕ | U_{0} ein Diffeomorphismus von U_{0} auf V ist. Sei

ϕ^{−1} : V → U_{0}

die Umkehrabbildung. Dann ist

ϕ^{−1}(x, y) = (h_{1}(x, y), h_{2}(x, y))

und es gilt

(x, y) = ϕ ∘ ϕ^{−1}(x, y) = (h_{1}(x, y), f(h_{1}(x, y), h_{2}(x, y))) .

Hieraus folgt h_{1}(x, y) = x, d.h., ϕ^{−1} hat die Form

ϕ^{−1}(x, y) = (x, h(x, y))

wobei h : V → ℝ^{m} eine C^{1}-Abbildung ist. Für (x, y) ∈ U_{0} gilt damit

f(x, y) = 0 ⇔ ϕ(x, y) = (x, 0) ⇔ ϕ^{−1}(x, 0) = (x, y) ⇔ y = h(x, 0).

Zusammenfassug der Äquivalenzen ergibt

f(x, y) = 0 ⇔ y = h(x, 0).

Insbesondere ist y_{0} = h(x_{0}, 0). Da h stetig ist, existieren Umgebungen U_{1} ⊂ ℝ^{n} von x_{0} und U_{2} ⊂ ℝ^{m} von y_{0} so, daß gilt:

1. U_{1} × U_{2} ⊂ U_{0}

2. ∀x ∈ U_{1} : h(x, 0) ∈ U_{2}. Es sei die Abbildung g : U_{1} → U_{2} definiert durch

g(x) := h(x, 0).

Dann ist g eine C^{1}-Abbildung und es gilt

f(x, g(x)) = f(x, h(x, 0)) = 0, x ∈ U_{1}.

Dieses g ist damit unsere gesuchte Abbildung. Aus der Kettenregel folgt

∀x ∈ U_{1} : df(x, g(x)) ∘ (Id_{ℝ^{n}}, dg(x)) = 0.

Diese Gleichung ist äquivalent zu

d_{x}f(x, g(x)) + d_{y}f(x, g(x)) ∘ dg(x) = 0.

Da y_{0} = g(x_{0}), folgt daraus

dg(x_{0}) = −(d_{y}f(x_{0}, y_{0}))^{−1} ∘ d_{x}f(x_{0}, y_{0}).
□

Wir haben den Beweis des Satzes über implizite Funktionen auf den Umkehrsatz zurückgeführt. Es gibt aber auch andere Beweise für diesen Satz. Wir betrachten der Einfachheit halber den Fall n = m = 1. Es sei U ⊂ ℝ^{2} eine offene Teilmenge und f : U → ℝ stetig differenzierbar. Weiter sei (x_{0}, y_{0}) ∈ U so, daß f(x_{0}, y_{0}) = 0 und es gelte ∂_{y}f(x_{0}, y_{0}) ≠ 0. Da nach Voraussetzung ∂_{y}f stetig ist, existiert eine offene Teilmenge U_{0} ⊂ U so, daß gilt:

∀(x, y) ∈ U_{0} : ∂_{y}f(x, y) ≠ 0.

Gesucht sind offene Intervalle I_{1}, I_{2} ⊂ ℝ und eine C^{1}-Funktion g : I_{1} → I_{2} so, daß gilt:

1. x_{0} ∈ I_{1}, y_{0} ∈ I_{2}, I_{1} × I_{2} ⊂ U_{0};

2. g(x_{0}) = y_{0};

3. ∀x ∈ I_{1} : f(x, g(x)) = 0. Für die Ableitung der gesuchten Funktion g muß gelten

g′(x) = −\frac{1}{∂_{y}f(x, g(x))}∂_{x}f(x, g(x))  (10.11)

für alle x ∈ I_{1}. Es sei

F (x, y) = −\frac{1}{∂_{y}f(x, y)}∂_{x}f(x, y)

für (x, y) ∈ U_{0}. Dann erhalten wir aud (10.11) und 2) die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für die gesuchte Funktion g :

g′(x) = F (x, g(x)), g(x_{0}) = y_{0}.  (10.12)

Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen folgt, daß die Gleichung (10.12) eine eindeutig bestimmte Lösung g(x) besitzt, die in einem Intervall (x_{0} − ϵ, x_{0} + ϵ), ϵ > 0, definiert ist. Für diese Lösung g gilt dann

\frac{d}{dx}f(x, g(x)) = 0, g(x_{0}) = y_{0}.

Daraus folgt, daß c ∈ ℝ existiert mit

f(x, g(x)) = c, |x − x_{0}| < c.

Da nach Voraussetzung f(x_{0}, g(x_{0})) = 0 ist, muß c = 0 gelten. Damit haben wir die Existenz der Auflösung von f(x, y) = 0 nach y auf den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen zurückgeführt. Beispiele:

1. Es sei f : ℝ^{2} → ℝ definiert durch f(x, y) = e^{x} + e^{y}. Dann ist

∂_{x}f(x, y) = e^{x} ≠ 0, ∂_{y}f(x, y) = e^{y} ≠ 0

für alle (x, y) ∈ ℝ^{2}. Die Gleichung f(x, y) = 0 hat jedoch keine Lösung! Wir können Satz 10.45 nicht anwenden, da wir keine Anfangslösung (x_{0}, y_{0}) zur Verfügung haben.

2. Es sei F : ℝ^{3} → ℝ^{2} definiert durch

F (x, y, z) = (\begin{matrix}x^{2} + y^{2} − z^{2} \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} − 2 \end{matrix} ) .

Dann gilt F (0, 1, 1) = 0 und

∂_{(y,z)}F (0, 1, 1) = (\begin{matrix}2 & −2 \\ 2 & 2 \end{matrix}) ,

d.h., det(∂_{(y,z)}F (0, 1, 1)) ≠ 0. Die Voraussetzungen von Satz 10.45 sind damit erfüllt und es existieren daher Funktionen y = f(x), z = g(x), die für |x| < ϵ definiert sind so, daß f(0) = 1 = g(0) und

F (x, f(x), g(x)) = 0, |x| < ϵ.

10.11. Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten

Unter einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit X der Dimension n versteht man einen topologischen Raum, der sich lokal so wie der Euklidische Raum ℝ^{n} verhält. Genauer kann man dies wie folgt formulieren.

Definition 10.46. Es sei X ein topologischer Raum. X heißt n-dimen-sionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, wenn folgendes gilt: Es existiert ein System {U_{α}}_{α∈I} von offenen Teilmengen von X und für jedes α ∈ I existiert eine offene Teilmenge V_{α} ⊂ ℝ^{n} und ein Homöomorphismus φ_{α} : U_{α} → V_{α} so, daß gilt:

1. ∪_{α∈I}U_{α} = X.

2. Für alle α, β ∈ I : Wenn U_{α} ∩ U_{β} ≠ ∅, so ist

φ_{β} ∘ φ_{α}^{−1} : V_{α} ∩ V_{β} → V_{α} ∩ V_{β}

eine differenzierbare Abbildung von offenen Mengen des ℝ^{n}.

Das Paar (U_{α}, φ_{α}), α ∈ I, nennt man eine Karte oder Koordinatensystem von X und A = {(U_{α}, φ_{α}) | α ∈ I} heißt Atlas von X. Mit anderen Worten bedeutet dies, daß man in der Umgebung jedes Punktes x ∈ X Koordinaten einführen kann und die Koordinatentransformationen zwischen verschiedenen Koordinatensystemen sind differenzierbar. Das Standardbeispiel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist natürlich der ℝ^{n} selbst. Wir betrachten in diesem Abschnitt Mannigfaltigkeiten X, die Teilmengen des ℝ^{n} sind. Man sagt dann, daß X eine Untermannigfaltigkeit des ℝ^{n}ist. Das Standardbeispiel einer d-dimensionalen Untermannigfaltigkeit des ℝ^{n} ist der Unterraum

ℝ_{0}^{d} := {x ∈ ℝ^{n} | x_{d+1} = ⋯ = x_{n} = 0}.

Der Unterraum ℝ_{0}^{d} ⊂ ℝ^{n} ist das lokale Modell einer Untermannigfaltigkeit des ℝ^{n}.

Definition 10.47. Sei M ⊂ ℝ^{n} eine nichtleere Teilmenge. M heißt ddimensionale C^{k}-Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n}, wenn für alle x ∈ M eine Umgebung U ⊂ ℝ^{n} von x in ℝ^{n} und ein C^{k}-Diffeomorphismus φ : U → V, V ⊂ ℝ^{n} offen, existieren so, daß

φ(M ∩ U) = ℝ_{0}^{d} ∩ V.

Das Paar (U, φ) heißt Karte der Untermannigfaltigkeit M. Sei A = {(U_{i}, φ_{i}) | i ∈ I} eine Menge von Karten von M mit

⋃_{i∈I} U_{i} = M.

Dann heißt A Atlas von M.

Beispiel: Es sei

S^{n−1} = {x ∈ ℝ^{n} | x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} = 1}

die Einheitssphäre im ℝ^{n}. Dann ist S^{n−1} ⊂ ℝ^{n} eine Untermannigfaltigkeit. Dies kann man wie folgt zeigen. Für p ∈ ℝ^{n} sei

i_{p}(x) = p + \frac{2}{∥ x − p ∥^{2}} (x − p), x ∈ ℝ^{n} − \{p\}.

Dann ist

i_{p} : ℝ^{n} − {p} → ℝ^{n} − {p}

ein Diffeomorphismus mit i_{p}^{−1} = i_{p}. Deshalb nennt man i_{p} die Inversion mit dem Pol p. Insbesondere sei N = (0, …, 0, 1) der Nordpol und S = (0, …, 0, −1) der Südpol von S^{n−1}. Die Inversion i_{N} : ℝ^{n}−{N} → ℝ^{n}−{N} ist ein Diffeomorphismus, der S^{n−1}−{N} auf die Hyperebene ℝ_{0}^{n−1} ⊂ ℝ^{n} abbildet, d.h., (ℝ^{n} − {N}, i_{N}) ist eine Karte für S^{n−1}. Eine zweite Karte erhält man aus der Inversion i_{S} bezüglich des Südpols S ∈ S^{n−1}. Diese beiden Kartengebiete ergeben eine Überdeckung von S^{n−1}. Damit haben wir gezeigt, daß S^{n−1} ⊂ ℝ^{n} eine Untermannigfaltigkeit ist. Nach Definition ist S^{n−1} die Lösungsmenge der Gleichung

∥ x ∥^{2}= 1, x ∈ ℝ^{n}.

Viele wichtige Untermannigfaltigkeiten ergeben sich ebenfalls als Lösungen von Gleichungen. Wie das Beispiel

X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2}(1 − x^{2}) − y^{2} = 0}

zeigt, ist eine solche Lösungsmenge im allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit. Die Gleichung

x^{2}(1 − x^{2}) − y^{2} = 0

hat in der Umgebung von (0, 0) zwei Zweige als Lösungen und ist deshalb keine Untermannigfaltigkeit. Wir beweisen jetzt einen allgemeinen Satz, der angibt, wann die Lösungsmenge einer Gleichung eine Umkehrmannigfaltigkeit ist.

Definition 10.48. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und f : U → ℝ^{m} sei differenzierbar. Ein Punkt x ∈ U heißt regulärer Punkt von f, wenn

df(x) : ℝ^{n} → ℝ^{m}

surjektiv ist. Ferner heißt y ∈ ℝ^{m} regulärer Wert von f, wenn alle x ∈ f^{−1}(y) reguläre Punkte sind. (y heißt auch regulärer Wert, wenn f^{−1}(y) leer ist.) x ∈ U heißt singulär, wenn df(x) : ℝ^{n} → ℝ^{m} nicht surjektiv ist. In diesem Falle heißt f(x) singulärer Wert von f.

Anders formuliert bedeutet dies: Der Punkt y ∈ ℝ^{m} ist regulärer Wert von f : U → ℝ^{m} genau dann, wenn für alle x ∈ f^{−1}(y) die Funktionalmatrix

(\begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂f_{1}}{∂x_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂f_{m}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂f_{m}}{∂x_{n}} \end{matrix} )

den Rang m hat. Insbesondere heißt dies für m = 1 :

df(x) ≠ 0 für alle x ∈ f^{−1}(y).

Satz 10.49. (Satz vom regulären Wert) Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und sei f : U → ℝ eine C^{1}-Abbildung. Weiter sei c ∈ ℝ^{m} ein regulärer Wert von f und M := f^{−1}(c). Wenn M ≠ ∅, so ist M ⊂ ℝ^{n} eine Untermannigfaltigkeit der Dimension

dim M = n − m.

Beweis: Sei M = f^{−1}(c) und sei a ∈ M. Sei weiter Z = ker(df(a)) und W = Z^{⊥}. Da df(a) : ℝ^{n} → ℝ^{m} surjektiv ist, gilt

1. df(a) | W ist eine Isomorphismus von W auf ℝ^{m}.

2. Die Abbildung i : Z × W → ℝ^{n}, die definiert ist durch i(x, y) = x + y, ist ein Isomorphismus.

Es sei k = n − m. Dann ist Z ≅ ℝ^{k}, W ≅ ℝ^{m} und i : ℝ^{k} × ℝ^{m} ⟶^{≅} ℝ^{n}.

Es genügt zu zeigen, daß i^{−1}(M) eine Untermannigfaltigkeit ist. Es sei f̃ = f ∘ i. Für (x, y) ∈ ℝ^{k} × ℝ^{m} und (h, k) ∈ ℝ^{k} × ℝ^{m} gilt

df̃(x, y)(h, k) = df(i(x, y))(i(h, k)) = df(x + y)(h + k).

Es sei (x_{0}, y_{0}) = i^{−1}(a). Dann gilt für das partielle Differential

d_{y}f̃(x_{0}, y_{0})(k) = df̃(x_{0}, y_{0})(0, k) = df(a)(k), k ∈ ℝ^{m}.

Aus 1) folgt, daß

d_{y}f(x_{0}, y_{0}) : ℝ^{m} → ℝ^{m}

ein Isomorphismus ist. Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt daher, daß offene Umgebungen U_{1} ⊂ ℝ^{k} von x_{0} und U_{2} ⊂ ℝ^{m} von y_{0} sowie eine C^{1}-Abbildung g : U_{1} → U_{2} existieren so, daß

f̃^{−1}(c)∩(U_{1}×U_{2}) = i^{−1}(M)∩(U_{1}×U_{2}) = {(x, g(x)) | x ∈ U_{1}}. (10.13)

Es sei φ : U_{1} × ℝ^{m} → U_{1} × ℝ^{m} definiert durch

φ(x, y) = (x, y − g(x)).

Entsprechend sei ψ : U_{1} × ℝ^{m} definiert durch

ψ(x, y) = (x, y + g(x)).

Dann sind ϕ und ψ C^{1}-Abbildungen mit ψ ∘ϕ = Id und ϕ∘ψ = Id, d.h. ϕ und ψ sind Diffeomorphismen und ϕ = ψ^{−1}. Es sei V = φ(U_{1} × U_{2}). Dann ist V ⊂ ℝ^{k} × ℝ^{m} offen und

φ : U_{1} × U_{2} → V

ist ein Diffeomorphismus. Ferner folgt aus (10.13)

φ(U_{1} × U_{2}) ∩ i^{−1}(M)) = U_{1} × {0}.

Damit ist (U_{1} × U_{2}, φ) eine Karte von i^{−1}(M) in der Umgebung von (x_{0}, y_{0}).

□

Beispiele:

1. Wir betrachten nochmals die Einheitssphäre S^{n−1} ⊂ ℝ^{n}. Es sei f : ℝ^{n} → ℝ definiert duch f(x) =∥ x ∥^{2}. Dann ist S^{n−1} = f^{−1}(1). Für x ∈ ℝ^{n} ist

df(x) = 2(x_{1}, …, x_{n})

und

df(x) = 2(x, v), v ∈ ℝ^{n}.

Daraus folgt, daß für alle x ∈ S^{n−1}

df(x) : ℝ^{n} → ℝ

surjektiv ist. Aus Satz 10.49 erhalten wir damit, daß S^{n−1} eine Untermannigfaltigkeit ist.

2. Es sei E ∈ Mat(n, ℝ) die Einheitsmatrix und

O(n) = {A ∈ Mat(n, ℝ) | AA^{t} = E}

die orthogonale Gruppe. Da Mat(n, ℝ) ≅ ℝ^{n^{2}}, können wir O(n) als Teilmenge von ℝ^{n^{2}} auffassen. Beh.: O(n) ⊂ ℝ^{2} ist eine Untermannigfaltigkeit der Dimension n(n − 1)/2. Beweis: Es sei

S(n) = {X ∈ Mat(n, ℝ) | X^{t} = X}

der Raum der symmetrischen n × n Matrizen. Dann ist S(n) ≅ ℝ^{\frac{n(n+1)}{2}} . Es sei

f : Mat(n, ℝ) → S(n)

definiert durch

f(X) = X^{t}X.

Nach Definition von O(n) ist O(n) = f^{−1}(E). Wir müssen also zeigen, daß die Voraussetzungen von Satz 10.49 für f erfüllt sind. Nach der Produktregel ist f stetig differenzierbar. Es sei A ∈ Mat(n, ℝ). Dann gilt für das Differential von f in A:

df(A)(H) = A^{t}H + H^{t}A, H ∈ ℝ^{n^{2}}.

Sei Y ∈ S(n). Wir setzen

H = \frac{1}{2}AY.

Dann ist

df(A)(H) = A^{t}(\frac{1}{2}AY) + (\frac{1}{2}AY)^{t}A = \frac{1}{2}A^{t}AY + \frac{1}{2}Y^{t}A^{t}A = Y,

da nach Voraussetzung Y = Y^{t} und A^{t}A = E gilt. Damit haben wir gezeigt, daß für jedes A ∈ O(n) das Differential

df(A) : ℝ^{n^{2}} → ℝ^{\frac{n(n+1)}{2}}

surjektiv ist. Aus Satz 10.49 folgt, daß O(n) eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n^{2}} ist. Für die Dimension gilt

dim O(n) = n^{2} − \frac{1}{2}n(n + 1) = \frac{1}{2}n(n − 1).

□

3. Es sei

SL(n, ℝ) = {A ∈ Mat(n, ℝ) | det A = 1}

die spezielle lineare Gruppe. Beh.: SL(n, ℝ) ist eine Untermannigfaltigkeit von Mat(n, ℝ ≅ ℝ^{n^{2}} der Dimension n^{2} − 1. Beweis: Es sei f : Mat(n, ℝ) → ℝ die Funktion f(A) = det(A). Dann ist SL(n, ℝ) = f^{−1}(1). Wir berechnen das Differential df(A), A ∈ Mat(n, ℝ) wie folgt. Eine Matrix X ∈ Mat(n, ℝ) fassen wir als n-Tupel der Spaltenvektoren auf:

X = (x_{1}, …, x_{n}), x_{j} = (x_{1_{j}} ; ⋮ ; x_{n_{j}} ) .

Dann ist

det : ℝ^{n} × ⋯ × ℝ^{n} → ℝ

eine multilineare alternierende Funktion. Für X, H ∈ Mat(n, ℝ) gilt daher

det(X + H) = det(x_{1} + h_{1}, …, x_{n} + h_{n})
= det(x_{1}, …, x_{n}) + det(h_{1}, x_{2}, …, x_{n})
+ ⋯ + det(x_{1}, …, x_{n−1}, h_{n}) + R(X, H).

Dabei ist R(X, H) eine Summe von Determinanten, bei denen mindestens zwei Spaltenvektoren von H auftreten. Daraus folgt

|R(X, H)| ≤ C ∥ H ∥^{2} .

Zusammen mit (10.14) ergibt dies

d(det(X))(H)
= det(h_{1}, x_{2}, …, x_{n}) + ⋯ + det(x_{1}, …, , x_{n−1}, h_{n}).

Für A, Y ∈ Mat(n, ℝ) folgt daraus

d(det(A))(AY) = det(y_{11}a_{1} + ⋯ + y_{n1}a_{n}, a_{2}, …, a_{n})
+ det(a_{1}, y_{12}a_{1} + ⋯ + y_{n2}a_{n}, a_{3}, …, a_{n}) + ⋯

= y_{11} det(a_{1}, …, a_{n}) + ⋯ + y_{nn} det(a_{1}, …, a_{n})

= Tr(Y) det(A).

Für A ∈ SL(n, ℝ) und Y ∈ Mat(n, ℝ) ergibt sich daraus

d(det(A))(AY) = Tr(Y).

Es folgt, daß für A ∈ SL(n, ℝ)

d(det(A)) : ℝ^{n^{2}} → ℝ

surjektiv ist und die Behauptung folgt aus Satz 10.49.

□

Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten kann man wie folgt charakterisieren.

Satz 10.50. Eine nicht leere Teilmenge M ⊂ ℝ^{n} ist genau dann eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem a ∈ M eine offene Umgebung U von a in ℝ^{n} und C^{1}-Funktionen

φ_{d+1}, …, φ_{n} : U → ℝ

gibt derart, daß gilt 1. M ∩ U = {x ∈ U | φ_{d+1}(x) = ⋯ = φ_{n}(x) = 0},

2. Die Vektoren gradφ_{d+1}(x), …, gradφ_{n}(x) sind in jedem Punkt x ∈ U linear unabhängig.

Beweis: 1) Es sei M ⊂ ℝ^{n} eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Es sei a ∈ M. Wir wählen eine Karte (U, φ) in a, d.h.. a ∈ U und

φ : U → V

ist ein Diffeomorphismus auf eine offene Menge V ⊂ ℝ^{n} so, daß

φ(M ∩ U) = ℝ_{0}^{d} ∩ V.  (10.15)

Es sei φ = (φ_{1}, …, φ_{n}), wobei φ_{i} : U → ℝ die i-te Komponente von φ ist. Dann sind φ_{d+1}, …, φ_{n} die gesuchten Funktionen, denn aus (10.15) folgt, daß für φ_{d+1}, …, φ_{n} die Bedingung 1) gilt und 2) folgt, da φ ein Diffeomorphismus ist und daher für x ∈ U

dφ(x) = (dφ_{1}(x), …, dφ_{n}(x)) : ℝ^{n} → ℝ^{n}

ein Isomorphismus ist.

2) Es sei a ∈ M und

φ_{d+1}, …, φ_{n} : U → ℝ

seien Funktionen in einer Umgebung U von a, für die 1) und 2) gelten. Wir betrachten die Abbildung f : U → ℝ^{n−d}, die definiert ist durch

f = (φ_{d+1}, …, φ_{n}).

Wegen 1) ist M ∩ U = f^{−1}(0). Aus 2) folgt, daß df(x) für jedes x ∈ U surjektiv ist. Deshalb ist 0 ein regulärern Wert von f. Aus Satz 10.49 folgt, daß M ∩ U eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n} ist. Da jeder Punkt q ∈ M eine solche Umgebung besitzt, ist M eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n}.

□

10.12. Der Tangentialraum

Defintion 10.51. Es sei M ⊂ ℝ^{n} eine nicht leere Teilmenge und x ∈ M. Der Vektor v ∈ ℝ^{n} heißt Tangentialvektor an M in x, wenn es eine C^{1}-Kurve γ : (−ϵ, ϵ) → M gibt mit γ(0) = x und γ̇(0) = v. Die Menge der Tangentialvektoren an M in x heißt Tangentialkegel T_{x}M von M in x. Falls T_{x}M ein Vektorraum ist, so heißt T_{x}M Tangentialraum an M in x.

Satz 10.52. Es sei M ⊂ ℝ^{n} eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Dann gilt für alle x ∈ M:

1. T_{x}M ist ein d-dimensionaler ℝ-Vektorraum.

2. Falls M = f^{−1}(c) die Niveaumenge einer C^{1}-Abbildung f : U → ℝ^{m} zu einem regulären Wert c ∈ ℝ^{m} ist, so gilt

T_{x}M = ker df(x).

Beweis: 1. Es sei x ∈ M und φ : U → V sei eine Karte mit x ∈ U. Dann ist

φ(U ∩ M) = ℝ_{0}^{d} ∩ V.

Weiter sei γ : (−ϵ, ϵ) → M eine C^{1}-Kurve mit γ(0) = x. Durch Übergang zu einem kleineren ϵ > 0 können wir annehmen, daß γ(t) ∈ U für alle t ∈ (−ϵ, ϵ). Dann gilt φ ∘ γ(t) ∈ ℝ_{0}^{d} für alle t ∈ (−ϵ, ϵ), d.h.,

φ ∘ γ : (−ϵ, ϵ) → ℝ_{0}^{d}

ist eine C^{1}-Kurve in ℝ_{0}^{d}. Daher ist \frac{d}{dt}(φ ∘ γ)(0) ∈ ℝ_{0}^{d}. Nach der Kettenregel ist

\frac{d}{dt}(φ ∘ γ)(0) = dφ(x)(γ̇)(0).

Es sei

L = (dφ(x))^{−1}(ℝ_{0}^{d}).

Dann haben wir gezeigt:

T_{x}M ⊂ L.  (10.18)

Sei andererseits v ∈ ℝ_{0}^{d} und ϵ > 0 so, daß φ(x) + tv ∈ V für alle t mit |t| < ϵ. Wir setzen

γ̃(t) = φ(x) + tv, t ∈ (−ϵ, ϵ).

Es sei γ = φ^{−1} ∘ γ̃. Dann ist

γ : (−ϵ, ϵ) → M

eine C^{1}-Kurve in M mit γ(0) = x. Daher gilt γ̇(0) ∈ T_{x}M. Aus der Kettenregel folgt

γ̇(0) = d(φ^{−1})(φ(x))( ˙γ̃(0)) = (dφ(x))^{−1}(v).

Daraus folgt L ⊂ T_{x}M. Zusammen mit (10.18) erhalten wir

T_{x}M = L.

Somit ist T_{x}M ein Vektorraum.

2. Sei γ : (−ϵ, ϵ) → M eine C^{1}-Kurve mit γ(0) = x. Da M = f^{−1}(c), ist f ∘ γ(t) = c für alle t ∈ (−ϵ, ϵ). Daraus folgt

0 = \frac{d}{dt}(f ∘ γ)(0) = df(x)(γ̇(0)),

d.h., T_{x}M ⊂ ker df(x). Nach 1) ist dim T_{x}M = d und daher

dim T_{x}M = d = dim ker df(x).

Daraus folgt

T_{x}M = ker df(x).
□

Beispiele:

1. S^{n}. Sei f(x) =∥ x ∥^{2} und sei a ∈ S^{n}. Dann ist df(a)(v) = 2⟨a, v⟩. Aus Satz 10.52 erhalten wir damit

T_{a}S^{n} = {v ∈ ℝ^{n+1} | ⟨a, v⟩ = 0}.

2. O(n). Sei f : Mat(n, ℝ) → S(n) die Abbildung f(X) = X^{t}X. Dann ist O(n) = f^{−1}(1). Im letzten Abschnitt haben wir gezeigt

df(A)H = A^{t}H + H^{t}A.

Es sei H ∈ ker df(A). Wir setzen Y = A^{t}H. Dann ist Y schiefsymmetrisch und H = AY. Sei umgekehrt Y schiefsymmetrisch und H = AY. Dann ist H ∈ ker df(A). Daraus folgt

T_{A}O(n) = {X ∈ Mat(n, ℝ) | ∃Y ∈ Mat(n, ℝ) : Y^{t} = −Y, X = AY }.

Insbesondere erhalten wir für den Tangentialraum an die Einheitsmatrix E ∈ O(n)

T_{E}O(n) = {X ∈ Mat(n, ℝ) | X^{t} = −X}.

Das ist der Raum der schiefsymmetrischen Matrizen.

3. SL(n, ℝ).

Für A ∈ SL(n, ℝ) ist

T_{A}SL(n, ℝ) = {X ∈ Mat(n, ℝ) | ∃Y ∈ Mat(n, ℝ) :
tr(Y) = 0 und X = AY }.

Insbesondere ist

T_{E}SL(n, ℝ) = {X ∈ Mat(n, ℝ) | tr(X) = 0}.

der Raum der Matrizen mit Spur Null. Es sei H ∈ T_{E}O(n). Wie wir aus Beispiel 2) wissen, ist H schiefsymmetrisch: H^{t} = −H. Es sei

e^{H} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{H^{k}}{k!} .

Dann ist (e^{H})^{t} = e^{H^{t}} und daher gilt

e^{H} · (e^{H})^{t} = e^{H} · e^{H^{t}} = e^{H+H^{t}} = e^{0} = E.

Dabei haben wir benutzt, daß H und H^{t} vertauschbare Matrizen sind und daher e^{H} · e^{H^{t}} = e^{H+H^{t}} gilt. Die Exponentialfunktion für schiefsymmetrische Matrizen liefert daher eine Abbildung.

exp : T_{E} = O(n) → O(n).

Für H ∈ T_{E}O(n) sei

γ : ℝ → O(n)

die Kurve γ(t) = exp(tH). Dies ist eine C^{1}-Kurve, für die gilt:

γ(0) = E, γ̇(0) = H.

Das Gleiche gilt für die Gruppe SL(n, ℝ). Aus der Formel

det(e^{X}) = e^{tr(X)}

folgt, daß für X ∈ T_{E}SL(n, ℝ) die Matrix e^{X} in SL(n, ℝ) liegt. Damit definiert X ⟼ e^{X} eine Abbildung

exp : T_{E}SL(n, ℝ) → SL(n, ℝ).

Für jedes X ∈ T_{E}SL(n, ℝ) ist γ(t) = exp(tx), t ∈ ℝ, eine C^{1}-Kurve in SL(n, ℝ) mit

γ(0) = E, γ̇(0) = X.

Bemerkung: O(n) und SL(n, ℝ) sind Beispiele für Liesche Gruppen. Unter einer Lieschen Gruppe versteht man eine Gruppe, die zugleich eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist so, daß Multiplikation und Inversenbildung differenzierbare Abbildungen sind. Ein weiteres Beispiel einer Lieschen Gruppe ist die allgemeine lineare Gruppe

GL(n, ℝ) = {X ∈ Mat(n, ℝ) | det X ≠ 0}.

Zu jeder Lieschen Gruppe G kann man den Tangentialraum T_{e}G im Einselement e ∈ G bilden. Es gibt dann ebenfalls eine Exponentialabbildung

exp : T_{e}G → G.

Wir können jetzt noch eine andere Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten angeben.

Defintion 10.53. Eine (n − 1)-dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit H ⊂ ℝ^{n} heißt glatte Hyperfläche.

Nach Satz 10.50 ist H ⊂ ℝ^{n} genau dann eine glatte Hyperfläche, wenn es zu jedem x ∈ H eine Umgebung U ⊂ ℝ^{n} von x und eine C^{1}-Funktion f : U → ℝ gibt so, daß gilt:

1. ∀x ∈ U : df(x) ≠ 0.

2. H ∩ U = {x ∈ U | f(x) = 0}.

Definition 10.54. Es seien H_{1}, …, H_{k} ⊂ ℝ^{n} glatte Hyperflächen und x ∈ H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{k}. Wir sagen, daß die Hyperflächen H_{1}, …, H_{k} sich transvesal in x schneiden, wenn

dim(T_{x}H_{1} ∩ ⋯ ∩ T_{x}H_{k}) = n − k.

Satz 10.55. Eine nicht leere Teilmenge M ⊂ ℝ^{n} ist genau dann eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem x ∈ M eine Umgebung U und n − d glatte Hyperflächen H_{d+1}, …, H_{n} gibt so, daß

1. M ∩ U = H_{d+1} ∩ ⋯ ∩ H_{n}

2. In jedem Punkt x ∈ M ∩ U schneiden sich diese Hyperflächen transversal.

Beweis:⇒) Sei M ⊂ ℝ^{n} eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit und sei x ∈ M. Wir wählen eine Umgebung U von x in ℝ^{n} und C^{1}- Funktionen φ_{d+1}, …, φ_{n} : U → ℝ wie in Satz 10.50. Dann sind die Nullstellenmengen

H_{j} = {x ∈ U | φ_{j}(x) = 0}

glatte Hyperflächen in U mit den gewünschten Eigenschaften. ⇐) Es seien umgekehrt H_{d+1}, …, H_{n} glatte Hyperflächen in U mit den im Satz angegebenen Eigenschaften. Nach Voraussetzung existieren C^{1}-Funktionen φ_{d+1}, …, φ_{n} : U → ℝ mit dφ_{j}(x) ≠ 0 für alle j = d + 1, …, n und für alle x ∈ U so, daß

H_{j} = {x ∈ U | φ_{j}(x) = 0}.

Aus Satz 10.52, 2), folgt

T_{x}H_{j} = ker dφ_{j}(x).

Wegen der Voraussetzung

dim(T_{x}H_{d+1} ∩ ⋯ ∩ T_{x}H_{n}) = d, x ∈ U,

folgt, daß die Differentiale dφ_{d+1}(x), …, dφ_{n}(x) in jedem Punkt x ∈ U linear unabhängig sind. Aus Satz 10.50 folgt, daß M eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n} ist.

□

10.13. Der Normalenraum

Defintion 10.56. Es sei M ⊂ ℝ^{n} eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit und x ∈ M. Dann heißt

N_{x}M := (T_{x}M)^{⊥}

der Normalenraum zu M in x. Die Elemente von N_{x}M heißen Normalenvektoren in x.

Satz 10.57. Sei f = (f_{1}, …, f_{n}) : U → ℝ^{m} eine C^{1}-Abbildung mit d = n−m ≥ 0 und c ∈ ℝ^{m} sei ein regulärer Wert von f. Sei M = f^{−1}(c). Dann sind für jedes x ∈ M die Vektoren {gradf_{1}(x), …, gradf_{m}(x)} eine Basis von N_{x}M.

Beweis: Nach Satz 10.52 ist

T_{x}M = ker df(x) = ker df_{1}(x) ∩ ⋯ ∩ ker df_{m}(x).

Also gilt:

v ∈ T_{x}M ⇔ ⟨ gradf_{i}(x), v⟩ = 0 für alle i, 1 ≤ i ≤ m.

Nach Definition von N_{x}M folgt:

gradf_{1}(x), …, gradf_{m}(x) ∈ N_{x}M.

Die Gradientenvektoren, als Zeilenvektoren aufgefaßt, sind die Zeilen der Jacobi-Matrix (∂f_{i}/∂x_{j}). Da nach Voraussetzung Rang df(x)) = m ist, sind die Gradienten gradf_{1}(x), …, gradf_{m}(x) linear unabhängig. Da andererseits

dim N_{x}M = n − dim T_{x}M = m

ist, bilden die Gradientenvektoren eine Basis von N_{x}M.

□

10.14. Extrema unter Nebenbedingungen Bei vielen Extremalaufgaben handelt es sich um die Bestimmung von Extrema einer Funktion unter Nebenbedingungen. Z.B. in der Mechanik die Bestimmung des Minimums der Wirkungsfunktion, wobei die Phasenbahn in einer festen Energiefläche verläuft.

Dieses Problem kann wie folgt formuliert werden: Gegeben seien U ⊂ ℝ^{n}, eine Funktion f : U → ℝ und eine Abbildung φ : U → ℝ^{m}. Es sei

M = {x ∈ U | φ(x) = 0}

die Nullstellenmenge von φ.

Definition 10.58. Der Punkt x_{0} ∈ M heißt

1. Maximum (Minimum) von f unter der Nebenbedingung φ = 0, wenn gilt:

∀x ∈ M : f(x) ≤ f(x_{0})(∀x ∈ M : f(x) ≥ f(x_{0})).

x_{0} heißt dann Extremum von f unter der Nebenbedingung φ = 0.

Satz 10.59. (Multiplikatorregel von Lagrange) Sei U ⊂ ℝ^{n} offen, f : U → ℝ differenzierbar, und φ = (φ_{1}, …, φ_{k}) : U → ℝ^{k} eine Abbildung so, daß φ_{i} ∈ C^{1}(U), i = 1, …, k. Wenn a ∈ U ein Extremum von f unter der Nebenbedingung φ = 0 ist und die Gradienten gradφ_{1}(a), …, gradφ_{k}(a) linear unaghängig sind, so existieren λ_{1}, …, , λ_{k} ∈ ℝ mit

gradf(a) = ∑_{i=1}^{k} λ_{i} gradφ_{i}(a).

Die Zahlen λ_{1}, …, λ_{k} heißen Lagrange-Multiplikatoren.

Beweis: Es sei M = {x ∈ U | φ(x) = 0}. Nach Voraussetzung hat die lineare Abbildung

dφ(a) : ℝ^{n} → ℝ^{k}

den Rang k. Nach eventueller Umnumerierung der Koordinaten können wir annehmen, daß bezüglich der Zerlegung ℝ^{n} = ℝ^{k}×ℝ^{n−k} das partielle Differential d_{x}φ(x_{0}, y_{0}) : ℝ^{k} → ℝ^{k} invertierbar ist, wobei a = (x_{0}, y_{0}). Nach dem Satz über implizite Funktionen existieren offenen Mengen U_{1} ⊂ ℝ^{k} von x_{0} und U_{2} ⊂ ℝ^{n−k} von y_{0} sowie eine C^{1}-Abbildung g : U_{2} → U_{1} so, daß g(y_{0}) = x_{0} und

M ∩ (U_{1} × U_{2}) = {(g(y), y) | y ∈ U_{2}}.

Es sei h : U_{2} → ℝ definiert durch

h(y) = f(g(y), y).

Nach Annahme hat h in y_{0} ein Extremum. Daher ist

0 = dh(y_{0}) = d_{x}f(x_{0}, y_{0}) ∘ (dg(y_{0})) + d_{y}f(x_{0}, y_{0}).

Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt

dg(y_{0}) = − (d_{x}φ(x_{0}, y_{0}))^{−1} ∘ d_{y}φ(x_{0}, y_{0}).

Zusammen mit obiger Gleichung erhalten wir daraus

d_{x}f(x_{0}, y_{0}) ∘ (d_{x}φ(x_{0}, y_{0}))^{−1} ∘ d_{y}(x_{0}, y_{0}) = d_{y}f(x_{0}, y_{0}).  (10.19)

Wir setzen nun

L = d_{x}f(x_{0}, y_{0}) ∘ (d_{x}φ(x_{0}, y_{0}))^{−1}.

Dann ist L eine lineare Abbildung L : ℝ^{k} → ℝ, d.h., es existieren λ_{1}, …, λ_{k} ∈ ℝ mit

L (x_{1} ; ⋮ ; x_{k}) = λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k}.

Nach Definition von L ist

L ∘ d_{x}φ(x_{0}, y_{0}) = d_{x}f(x_{0}, y_{0}),

und aus (10.19) folgt

L ∘ d_{y}φ(x_{0}, y_{0}) = d_{y}f(x_{0}, y_{0}).

Zusammenfassung dieser Gleichungen ergibt

L ∘ dφ(x_{0}, y_{0}) = df(x_{0}, y_{0}).

Wenn wir die linearen Abbildungen

L : ℝ^{k} → ℝ, dφ(x_{0}, y_{0}) : ℝ^{n} → ℝ^{k} und df(x_{0}, y_{0}) : ℝ^{n} → ℝ

in den Standardbasen durch Matrizen darstellen, folgt

gradf(a) = ∑_{i=1}^{k} λ_{i} gradφ_{i}(a).

□

Beispiel: Es sei A : ℝ^{n} → ℝ^{n} linear und symmetrisch, d.h., es gilt

⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩, ∀x, y ∈ ℝ^{n}.

Sei Q(x) := ⟨Ax, x⟩ die zugehörige quadratische Form. Wir wollen Q auf S^{n−1} maximieren, d.h., die Nebenbedingung lautet

φ(x) :=∥ x ∥^{2} −1 = 0.

Für die Gradienten von Q und φ erhält man

gradQ(x) = 2A(x), gradφ(x) = 2x.

Da Q(x) eine stetige Funktion auf der kompakten Menge S^{n−1} ist, existiert ein Maximum v_{1} ∈ S^{n−1} von Q(x). Aus der Multiplikatorregel von Lagrange folgt:

∃λ ∈ ℝ : A(v_{1}) = λv_{1},

d.h., v_{1} ist ein Eigenvektor von A. Da A symmetrisch ist, ist das othogonale Komplement von ℝv_{1} in ℝ^{n} wieder A invariant. Durch Induktion erhalten wir damit den bekannten Satz aus der linearen Algebra:

Satz. Es sei A ∈ Mat(n, ℝ) eine symmetrische Matrix. Dann existiert eine orthonormierte Basis v_{1}, …, v_{n} von ℝ^{n} mit

1. v_{1}, …, v_{n} sind Eigenvektoren von A

2. Es sei H_{k} = {v_{1}, …, v_{k}}^{⊥}, k ≥ 1. Dann ist der Eigenwert λ_{k} das Maximum von Q auf S^{n−1} ∩ H_{k−1} für k = 1, …, n.

Beweis: Wir konstruieren v_{1}, …, v_{n} induktiv. v_{1} haben wir bereits konstruiert. Es ist ein Maximum von Q auf S^{n−1}. Es seien v_{1}, …, v_{k} paarweise orthogonale Eigenvektoren von A mit den Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{k}. Wir suchen dann ein Maximum von Q auf S^{n−1} ∩ H_{k}, d.h., ein Maximum von Q unter den Nebenbedingungen

φ_{0}(x) : = φ(x) =∥ x ∥^{2} −1 = 0,
φ_{1}(x) : = ⟨v_{1}, x⟩ = 0,
⋮
φ_{k}(x) : = ⟨v_{k}, x⟩ = 0.

Wegen der Kompaktheit von S^{n−1} ∩ H_{k} hat Q : S^{n−1} ∩ H_{k} → ℝ ein Maximum v_{k+1}. Für die Differentiale dφ_{i} gilt

dφ_{0}(x) = 2x, dφ_{i}(x) = v_{i}, i = 1, …, k.

Für x ∈ S^{n−1} ∩ H_{k} sind daher dφ_{0}(x), dφ_{1}(x), …, , dφ_{k}(x) linear unabhängig. Nach der Multiplikatorregel existieren μ_{0}, …, μ_{k} ∈ ℝ mit

df(v_{k+1}) = ∑_{i=0}^{k} μ_{i}dφ_{i}(v_{k+1}),

d.h., es gilt

2A(v_{k+1}) = 2μ_{0}v_{k+1} + ∑_{i=1}^{k} μ_{i}v_{i}.  (10.20)

Nach Voraussetzung ist v_{k+1} ∈ H_{k}, d.h., ⟨v_{k+1}, v_{i}⟩ = 0 für alle i, 1 ≤ i ≤ k. Daher ist

⟨Av_{k+1}, v_{i}⟩ = ⟨v_{k+1}, Av_{i}⟩ = λ_{i}⟨v_{k+1}, v_{i}⟩ = 0 für alle i = 1, …, k.

Aus (10.21) folgt

0 = 2⟨Av_{k+1}, v_{i}⟩ = μ_{i} für alle i = 1, …, k,

und damit

Av_{k+1} = μ_{0}v_{k+1}.

v_{k+1} ist also ein Eigenvektor von A mit dem Eigenwert μ_{0}. Wegen

μ_{0} = μ_{0}⟨v_{k+1}, v_{k+1}⟩ = ⟨Av_{k+1}, v_{k+1}⟩ = Q(v_{k+1})

ist μ_{0} das Maximum von Q auf S^{n−1} ∩ H_{k}.

□

Die Multiplikatorregel von Lagrange kann man mit Hilfe des Normalenraumes wie folgt umformulieren:

Satz 10.60. Es seien f : U → ℝ und φ : U → ℝ^{k} C^{1}-Abbildungen. Weiter sei c ∈ ℝ^{k} ein regulärer Wert von φ und

M = {x ∈ U | φ(x) = c}.

Wenn f in a ∈ M unter der Nebenbedingung φ = c ein Extremum hat, so ist gradf(a) ∈ N_{a}M.

Beweis: Da c ein regulärer Wert von φ ist, ist wegen Satz 10.49 M ⊂ ℝ^{n} eine Untermannigfaltigkeit. Nach Satz 10.57 sind für jedes a ∈ M die Vektoren gradφ_{1}(a), …, gradφ_{k}(a) eine Basis von N_{a}M. Wenn a ein Extremum von f : M → ℝ ist, so folgt aus Satz 10.59, daß grad(a) ∈ N_{a}M.

□

Beispiel: Es sei M ⊂ ℝ eine C^{1}-Untermannigfaligkeit und x_{0} ∈ ℝ^{n} − M. Sei a ∈ M ein Punkt, der unter allen Punkten von M minimalen (oder maximalen) Abstand zu x_{0} hat, d.h., a ist ein Extremum der Funktion

f(x) =∥ x − x_{0} ∥

auf M. Die Funktion f ist auf ℝ^{n} − {x_{0}} differenzierbar und es gilt

gradf(x) = \frac{x − x_{0}}{∥ x − x_{0} ∥}.

Aus Satz 10.16 folgt daher a − x_{0} ∈ N_{a}M.

10.15. Differentation parameterabhängiger Integrale Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen und [a, b] ⊂ ℝ ein kompaktes Intervall. Weiter sei f : U × [a, b] → ℂ eine stetige Funktion. Für jedes x ∈ U können wir dann die Funktion

f_{x} : [a, b] → ℂ

betrachten, die durch f_{x}(t) = f(x, t) definiert ist. Dann ist f_{x} für jedes x ∈ U eine stetige Funktion auf [a, b] und wir können deshalb f_{x}(t) über [a, b] integrieren. Es sei F : U → ℂ die Funktion, die wir dadurch erhalten, d.h.,

F (x) := ∫_{a}^{b} f(x, t)dt, x ∈ U.

Dies ist ein Integral, das von dem Parameter x ∈ U abhängt. Wir nehmen jetzt an, daß für jedes t ∈ [a, b] die Funktion x ⟼ f(x, t) nach x_{j} partiell differenzierbar ist. Es entsteht dann die Frage, unter welchen Voraussetzungen F (x) partiell nach x_{j} differenzierbar ist und ob Differentation und Integration vertauschbar sind. Diese Frage wird durch den folgenden Satz beantwortet.

Satz 10.61. Es sei U ⊂ ℝ^{n} offen, f : U × [a, b] → ℂ stetig und F : U → ℂ definiert durch

F (x) = ∫_{a}^{b} f(x, t)dt.

Für jedes t ∈ [a, b] sei die Funktion x ⟼ f(x, t) nach x_{j} partiell differenzierbar und ∂_{i}f : U × [a, b] → ℂ sei stetig. Dann ist F (x) nach x_{j} stetig partiell differenzierbar und es gilt

\frac{∂F}{∂x_{j}} (x) = ∫_{a}^{b} \frac{∂f}{∂x_{j}} (x, t)dt.

Beweis: Wir können annehmen, daß f reellwertig ist. Sei x_{0} ∈ U und ϵ > 0. Wir setzen

ψ(x, t) := \frac{∂f}{∂x_{j}} (x, t) − \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0}, t).

Dann ist ψ : U × [a, b] → ℝ stetig und ψ verschwindet auf {x_{0}} × [a, b]. Es sei

W := {(x, t) ∈ U × [a, b] | |ψ(x, t)| < ϵ},

d.h., W = ψ^{−1}(−ϵ, ϵ). Da ψ stetig ist, ist W ⊂ U × [a, b] offen und {x_{0}} × [a, b] ⊂ W.

Lemma. Es existiert eine offenen Umgebung V ⊂ U von x_{0} so, daß V × [a, b] ⊂ W.

Beweis: Da W ⊂ U × [a, b] offen ist, existiert zu jedem t ∈ [a, b] eine offene Umgebung V_{t} von x_{0} in U und eine offenen Umgebung I_{t} von t in [a, b] mit

V_{t} × I_{t} ⊂ W.

Dann ist {I_{t} | t ∈ [a, b]} eine offene Überdeckung von [a, b]. Da [a, b] kompakt ist, existieren t_{1}, …, t_{r} ∈ [a, b] so, daß

[a, b] = I_{t_{1}} ∪ ⋯ ∪ I_{t_{r}}.

Es sei

V := V_{t_{1}} ∩ ⋯ ∩ V_{t_{r}}.

Dann ist V ⊂ U eine offene Umgebung von x_{0} und es gilt

V × [a, b] = V × (⋃_{i=1}^{r} I_{t_{i}}) = ⋃_{i=1}^{r}(V × I_{t_{i}}) ⊂ ⋃_{i=1}^{r}(V_{i_{i}} × I_{t_{i}}) ⊂ W.

□

Wir wählen die offene Umgebung V ⊂ U von x_{0} gemäß des Lemmas. Da V offen ist, existiert δ > 0 mit x_{0} + se_{j} ∈ V für alle s ∈ ℝ mit |s| < δ. Wir betrachten nun die Funktionen s ⟼ F (x_{0} + se_{j}) bzw. s ⟼ f(x_{0} +se_{j}, t), |s| < δ. Nach Voraussetzung ist s ⟼ f(x_{0} +se_{j}, t) für jedes t ∈ [a, b] stetig differenzierbar. Aus dem Mittelwertsatz folgt: Zu s, t existiert θ ∈ (0, 1) so, daß

f(x_{0} + se_{j}, t) − f(x_{0}, t) = \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0} + θse_{j}, t)s  (10.21).

Sei |s| < δ. Dann ist x_{0} + θse_{j} ∈ V und daher (x_{0} + θse_{j}, t) ∈ W. Auf Grund der Definition von W ist

|\frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0} + θse_{j}, t) − \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0}, t)| < ϵ  (10.22)

für alle t ∈ [a, b]. Aus (10.21) und (10.22) erhalten wir

|\frac{F (x_{0} + se_{j}) − F (x_{0})}{s} − ∫_{a}^{b} \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0}, t)dt|

= |∫_{a}^{b} \{\frac{f(x_{0} + se_{j}, t) − f(x_{0}, t)}{s} − \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0}, t)\} dt|

≤ ∫_{a}^{b} |\frac{f(x_{0} + se_{j}, t) − f(x_{0}, t)}{s} − \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0}, t)| dt

= ∫_{a}^{b} |\frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0} + θse_{j}, t) − \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0}, t)| dt < ϵ(b − a).

Daher ist

\frac{∂F}{∂x_{j}} (x_{0}) = ∫_{a}^{b} \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{0}, t)dt.

Die Stetigkeit folgt leicht auf Grund der Stetigkeit von ∂_{i}f(x, t). Übung! □ 10.16. Die Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung Der Satz 10.61 über die Differentation von parameterabhängigen Integralen findet unter anderem in der Variationsrechnung wichtige Anwendungen. In Naturwissenschaft und Technik werden viele Gleichgewichtszustände und Bewegungsvorgänge durch Minimalprinzipien charakterisiert. Dazu gehört z.B. das Prinzip der kleinsten Wirkung in der klassischen Mechanik. Es handelt sich dabei um die Untersuchung von kritischen Punkten von Funktionen in “unendlichen vielen Variablen”. Solche Probleme treten auch in der Geometrie auf wie z.B. bei der Untersuchung von Minimalflächen. Beispiel: Die Rotationsminimalfläche. Gegeben seien zwei koaxiale Kreise im ℝ^{3}. Gesucht ist eine Rotationsfläche, deren Rand diese Kreise bilden und deren Flächeninhalt minimal ist. Eine solche Fläche nennt man Katenoid.

Eine Rotationsminimalfläche (Katenoid).

Mathematische Formulierung: Zu gegebenen Punkten A = (a, α) und B = (b, β) mit a < b wird eine C^{1}-Funktion y : [a, b] → ℝ_{+} mit den Randwerten y(a) = α und y(b) = β gesucht so, daß die von dieser Funktion erzeugte Rotationsfläche einen minimalen Flächeninhalt hat.

Der Flächeninhalt der durch y : [a, b] → ℝ_{+} definierten Rotationsfläche ist gegeben durch

A(y) = 2π ∫_{a}^{b} y(x)\sqrt{1 + y′(x)^{2}} dx.

Der Beweis dieser Formel erfolgt in einem späteren Kapitel. Allgemein läßt sich dieses Problem wie folgt formulieren. Gegeben sei eine C^{2}-Funktion

L : [a, b] × ℝ × ℝ → ℝ

sowie Randwerte α, β ∈ ℝ. Die Funktion L heißt häufig Lagrange-Funktion oder, in der Physik, Wirkungsfunktion. Es sei

K = {y ∈ C^{2}([a, b]) | y reell, y(a) = α, y(b) = β}.

Weiter sei

K_{0} = {y ∈ C^{2}([a, b]) | y reell, y(a) = 0 = y(b)}.

Für alle φ, ψ ∈ K_{0}, und λ, ρ ∈ ℝ gilt λφ + ρψ ∈ K_{0}, d.h., K_{0} ist ein Vektorraum über ℝ, der allerdings unendlichdimensional ist. Sei φ ∈ K. Dann gilt

K = φ + K_{0},

d.h., K ist ein affiner Raum. Die Lagrange Funktion L(x, y, z) induziert eine Funktion

J : K → ℝ,

die definiert ist durch

J(y) = ∫_{a}^{b} L(x, y(x), y′(x))dx, y ∈ K.

Gesucht wird dann ein Element φ ∈ K so, daß J in φ sein Minimum (oder Maximum) annimmt, d.h.:

∀y ∈ K : J(φ) ≤ J(y) (J(φ) ≥ J(y)) .

Wir haben es jetzt mit einem Extremalproblem zu tun, dessen Definitionsbereich ein unendlichdimensionaler Raum ist. Wir leiten jetzt eine notwendige Bedingung für einen extremalen Punkt dieser Funktion J : K → ℝ her. Es sei φ ∈ K. Für jedes h ∈ K_{0} ist φ + th ∈ K_{0} für alle t ∈ ℝ. Es sei

F_{h}(t) = J(φ + th) = ∫_{a}^{b}(L(x, φ(x) + th(x), φ′(x) + th′(x))dx.

Nach Satz 10.61 ist F_{h} : ℝ → ℝ stetig differenzierbar und es gilt

F′_{h}(t) = ∫_{a}^{b} \frac{d}{dt} (L(x, φ(x) + th(x), φ′(x) + th′(x))dx

= ∫_{a}^{b} (\frac{∂L}{∂y}(x, φ(x) + th(x), φ′(x) + th′(x))h(x)

+ \frac{∂L}{∂z} (x, φ(x) + th(x), φ′(x) + th′(x))h′(x)) dx.

Auf Grund der Voraussetzung über L, φ und h ist der Integrand stetig in (x, t).

Definition 10.62. Die Ableitung

\frac{δJ}{δh} (φ) := F′_{h}(0)

heißt die erste Variation von J in Richtung h. Weiter heißt φ stationärer Punkt von J, wenn gilt

\frac{δJ}{δh} (φ) = 0 für alle h ∈ K_{0}.

Ist φ ∈ K ein Extremum von J, so hat jede Funktion F_{h}(t), h ∈ K_{0}, in 0 ∈ ℝ ein Extremum. Dann gilt F′_{h}(0) = 0 für alle h ∈ K_{0}, d.h., φ ist stationärer Punkt von J. Damit haben wir gezeigt: Wenn die Funktion J in φ ein Extremum annimmt, so ist φ stationär.

Die Situation ist also analog zum endlichdimensionalen Fall, wo jeder extremale Punkt x ∈ U einer Funktion f : U → ℝ notwendig ein kritischer Punkt ist, d.h., für den gradf(x) = 0 ist. Stationäre Punkte von J werden durch die Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung charakterisiert. Das ist der Inhalt des folgenden Satzes.

Satz 10.63. φ ∈ K ist ein stationärer Punkt von J genau dann, wenn für φ auf [a, b] die Gleichung

\frac{d}{dx} \frac{∂L}{∂z}(x, φ(x), φ′(x)) = \frac{∂L}{∂y}(x, φ(x), φ′(x))  (10.23)

gilt.

Beweis: Aus obiger Berechnung von F′_{h}(t) folgt, daß J in φ genau dann stationär ist, wenn für jedes h ∈ K_{0} gilt

∫_{a}^{b} (\frac{∂L}{∂y}(x, φ(x), φ′(x)h(x) + \frac{∂L}{∂z}(x, φ(x), φ′(x))h′(x)) dx = 0.

Durch partielle Integration folgt

∫_{a}^{b} \frac{∂L}{∂z}(x, φ(x), φ′(x))h′(x)dx = − ∫_{a}^{b} (\frac{d}{dx} \frac{∂L}{∂z}(x, φ(x), φ′(x))) h(x)dx.

Dabei haben wir benutzt, daß h(a) = h(b) = 0 gilt. Daraus folgt, daß J in φ stationär ist genau dann, wenn für alle h ∈ K_{0} gilt:

∫_{a}^{b} (\frac{∂L}{∂y}(x, φ(x), φ′(x)) − \frac{d}{dx} \frac{∂L}{∂z}(x, φ(x), φ′(x))) h(x)dx = 0.

(10.24)

Lemma 10.64. Es sei f : [a, b] → ℝ stetig und für jede C^{2}-Funktion h : [a, b] → ℝ mit h(a) = h(b) = 0 gelte

∫_{a}^{b} f(x)h(x)dx = 0.

Dann ist f = 0.

Beweis: Angenommen es existiere x_{0} ∈ (a, b) mit f(x_{0}) ≠ 0. Sei z.B. f(x_{0}) > 0. Wir wählen [a′, b′] ⊂ (a, b) so, daß x_{0} ∈ [a′, b′] und

f(x) ≥ \frac{1}{2}f(x_{0}) für alle x ∈ [a′, b′].

Da f : [a, b] → ℝ stetig ist, existiert ein solches Intervall. Wir wählen eine C^{2}-Funktion h : [a, b] → ℝ mit

1. h(x) > 0 für alle x ∈ (a′, b′).

2. h(x) = 0 für alle x ∈ [a, b] − (a′, b′). Zum Beispiel ist

h(x) := \begin{cases}(x − a′)^{4}(x − b′)^{4}, & x ∈ (a′, b′); \\ 0, & x ∉ (a′, b′). \end{cases}

eine solche Funktion. Dann gilt

∫_{a}^{b} f(x)h(x)dx ≥ \frac{1}{2}f(x_{0}) ∫_{a}^{b} h(x)dx > 0.

Dies ergibt einen Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist f = 0.

□

Aus (10.24) zusammen mit dem Lemma folgt

\frac{∂L}{∂y}(x.φ(x), φ′(x)) = \frac{d}{dx} \frac{∂L}{∂z}(x, φ(x), φ′(x)).

□

Die Eulersche Gleichung für eine stationäre Lösung ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Ausgeschrieben lautet sie

\begin{matrix}\frac{∂^{2}L}{∂z^{2}}(x, φ(x), φ′(x))φ′′(x) + \frac{∂^{2}L}{∂y∂z} (x, φ(x), φ′(x))φ′(x) \\ + \frac{∂^{2}L}{∂x∂z} (x, φ(x), φ′(x)) − \frac{∂L}{∂y}(x, φ(x), φ′(x)) = 0. \end{matrix}

Daraus erhalten wir folgendes nützliche Lemma.

Lemma 10.65. Wenn L nicht von x abhängt, so gilt für jede Lösung φ von (10.23)

E_{φ}(x) := \frac{∂L}{∂z}(φ(x), φ′(x))φ′(x) − L(φ(x), φ′(x))

ist konstant.

Beweis: Wegen \frac{∂L}{∂x} = 0 folgt aus obiger Gleichung

\frac{d}{dx}E_{φ}(x) = \frac{∂^{2}L}{∂y∂z} (φ(x), φ′(x))φ′(x)^{2} + \frac{∂^{2}L}{∂z^{2}}(φ(x), φ′(x))φ′(x)φ′′(x)

+ \frac{∂L}{∂z}(φ(x), φ′(x))φ′′(x)) − \frac{∂L}{∂y}(φ(x), φ′(x))φ′(x)

− \frac{∂L}{∂z}(φ(x), φ′(x))φ′′(x)

= φ′(x) (\frac{∂^{2}L}{∂y∂z} (φ(x), φ′(x))φ′(x) + \frac{∂^{2}L}{∂z^{2}}(φ(x), φ′(x))φ′′(x)

− \frac{∂L}{∂y}(φ(x), φ′(x))) = 0.

□

Beispiel: Rotationsminimalfläche. Das zu minimierende Integral ist bis auf eine Konstante

J(y) = ∫_{a}^{b} y(x)\sqrt{1 + y′(x)^{2}}dx.

Die Lagrange-Funktion ist demnach gegeben durch

L(x, y, z) = y\sqrt{1 + z^{2}}.

Wenn eine Minimallösung φ existiert, so gilt nach Satz 10.63 für φ die Differentialgleichung

\frac{d}{dx} (φ(x)\frac{φ′}{\sqrt{1 + φ′(x)^{2}}} ) − \sqrt{1 + φ′(x)^{2}} = 0  (10.25).

Da die Funktion L nicht von x abhängt, folgt aus dem letzten Lemma

\frac{∂L}{∂z}(φ, φ′)φ′ − L(φ, φ′) = c

für eine Konstante c ∈ ℝ. Daraus folgt

\begin{aligned}c & = \frac{φφ′}{\sqrt{1 + φ^{′2}}} φ′ − φ\sqrt{1 + φ^{′2}} \\ & = φ (\frac{φ^{′2}}{\sqrt{1 + φ^{′2}}} − \frac{1}{\sqrt{1 + φ^{′2}}} ) = \frac{φ}{\sqrt{1 + φ^{′2}}} . \end{aligned}

Wir setzen voraus, daß α, β > 0 gilt. Dann ist c > 0. Durch Einsetzen von φ/\sqrt{1 + φ^{′2}} = c in (10.25) erhalten wir die Differentialgleichung

φ′′ = \frac{1}{c^{2}} φ.

Als allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ergibt sich

φ(x) = c cosh (\frac{1}{c}(x − x_{0})) .

Diese Funktionen stellen die sogenannte Kettenlinie dar. Die von ihnen erzeugten Rotationsflächen heißen Katenoide. Man muß nun noch die Konstanten c und x_{0} so bestimmen, daß die Randbedingungen φ(a) = α und φ(b) = β erfüllt sind. Wir beschränken uns auf den Spetzialfall α = β > 0. O.B.d.A. nehmen wir dann a = −b und b > 0 an. Aus Symmetriegründen folgt x_{0} = 0. Zur Bestimmung von c müssen wir dann die Gleichung

α = c cosh (−\frac{b}{c}) = c cosh (\frac{b}{c})

lösen. Diese Gleichung ist äquivalent zu

\frac{cosh(\frac{b}{c})}{(\frac{b}{c})} = \frac{α}{b}.  (10.26)

Wir betrachten die Funktion

f(t) = \frac{1}{t} cosh(t).

Dann zeigt man leicht, daß f folgende Eigenschaften hat:

1. Es existiert t_{0} > 0 so, daß f in (0, t_{0}] streng monoton fällt und in [t_{0}, ∞) streng monoton wächst.

2. lim_{t↓0} f(t) = ∞ und lim_{t→∞} f(t) = ∞. Damit ist f(t_{0}) das absolute Minimum von f(t) in [0, ∞). Aus 1) und 2) folgt:

1. Für α/b < f(t_{0}) hat die Gleichung (10.26) keine Lösung.

2. Für α/b = f(t_{0}) gibt es genau eine Lösung c = b/t_{0} von (10.26).

3. Für α/b > f(t_{0}) existieren zwei Lösungen. Da die Euler-Lagrange Gleichung (10.23) nur ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines Minimums ist, haben wir auch im Falle α/b > f(t_{0}) noch nicht gezeigt, daß ein Minimum wirklich existiert. Wir haben lediglich gezeigt, daß es im Falle α/b > f(t_{0}) höchstens zwei Lösungen geben kann. Der Existenznachweis für das Vorliegen eines Minimum ist im allgemeinen wesentlich schwieriger und kann hier nicht diskutiert werden.

2. Hamiltonsches Extremalprinzip In der klassischen Mechanik ist die allgemeine Formulierung des Bewegungsgesetzes eines mechanischen Systems durch das sogenannte Prinzip der kleinsten Wirkung auch Hamiltonsches Extremalprinzip genannt, gegeben. Extremalprinzip: Jedem mechanischen System mit m Freiheitsgraden q = (q_{1}, …, q_{m}) ist eine bestimmte Funktion

L(t, q_{1}, …, q_{m}, q̇_{1}, …, q̇_{m}),

die Lagrangefunktion des Systems, zugeordnet. Weiter sei eine physikalische Bahnkurve, d.h., eine Lösung der Bewegungsgleichungen

φ(t) = {φ_{1}(t), …, φ_{m}(t)}, t_{1} ≤ t ≤ t_{2}

gegeben, die die vorgegebenen Randwerte φ(t_{1}) = a und φ(t_{2}) = b annimmt. Diese Bahnkurve minimiert das Wirkungsintegral

S(q) = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} L(t, q(t), q̇(t)) dt,

wobei über alle C^{2}-Funktionen q : [t_{1}, t_{2}] → ℝ^{m} mit q(t_{1}) = a, q(t_{2}) = b variiert wird. Wir haben es jetzt mit einer Lagrangefunktion L(t, q, q̇) zu tun, für die q, q̇ ∈ ℝ^{m} ist, d.h., gegeben ist eine C^{2}-Funktion

L : [a, b] × ℝ^{m} × ℝ^{m} → ℝ.

Satz 10.63 kann leicht auf diesen Fall verallgemeinert werden. Da alle q_{i}(t) unabhängig voneinander variiert werden, erhält man als notwendige Bedingung für die Extremalität von S(q) in q = φ, daß φ(t) Lösung der Euler-Lagrange Gleichungen

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} − \frac{∂L}{∂q_{i}} = 0, i = 1, …, m,  (10.27)

ist. Dies sind die gesuchten Bewegungsgleichungen des mechanischen Systems. Als Beispiel betrachten wir ein System von n Teilchen mit Potentialkräften. Das Potential sei U(r_{1}, …, r_{n}, t). Dann hat die Lagrangefunktion dieses Systems die natürliche Form

L = T − U = \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{n} m_{i}ṙ_{i}^{2} − U(r_{1}, …, r_{n}, t).  (10.28)

Hierbei ist m = 3n und

(q_{1}, …, q_{3n}) = (r_{1}, …, r_{n}).

Dann ist

\frac{∂L}{∂q_{k}} = −\frac{∂U}{∂q_{k}} , \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} = m_{i(k)} \frac{d^{2}q_{k}}{dt^{2}}

Die Notation m_{i(k)} deutet dabei an, daß man beim Abzählen der q_{k} die jeweils richtige Masse des zugehörigen Teilchens einsetzen soll. Anders geschrieben ergeben diese Gleichungen

m_{i} \frac{d^{2}r_{i}}{dt^{2}} = −∇_{i}U.

Die Euler-Lagrangegleichungen sind also genau die Newtonschen Gleichungen. Wenn die Lagrangefuntkion nicht von der Zeit abhängt, so erhält man als Verallgemeinerung von Lemma 10.65, daß die Funktion

H(q, q̇) = ∑_{k=1}^{m} q̇_{k} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} − L(q, q̇)

für jede Lösung φ(t) der Euler-Lagrange Gleichungen (10.27) konstant ist. In der Physik nennt man H(q, q̇) eine Konstante der Bewegung. Für ein n-Teilchensystem mit Potentialkräften und einem zeitunabhängigen Potential U ergibt sich

H(r, ṙ) = 2T − (T − U) = T + U = \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{m} m_{i}ṙ_{i}^{2} + U(r_{1}, …, r_{n}).

Dies ist die Energie des Systems.

\frac{∂H}{∂t} = 0

ist der Energieerhaltungssatz. Man nennt die Größe

p_{k} := \frac{∂L}{∂q̇_{k}}

den zu q_{k} kanonisch konjugierten Impuls. Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt, daß die Funktionen

p_{k} = \frac{∂L}{∂q̇_{k}} (t, q, q̇), k = 1, …, m,  (10.29)

genau dann lokal nach q̇_{k} aufgelöst werden können, wenn die Bedingung

det ((\frac{∂^{2}L}{∂q̇_{k}∂q̇_{l}} )_{k,l=1}^{m}) ≠ 0

erfüllt ist. Es ist dann q̇_{k} = q̇_{k}(t, q, p) und die Hamiltonfunktion ist durch

H(t, q, p) = ∑_{k=1}^{m} p_{k}q̇_{k} − L(t, q, q̇)

gegeben. Daraus folgt

\frac{∂H}{∂p_{k}} = q̇_{k}, k = 1, …, m,

und aus den Euler-Lagrangegleichungen (10.27) und (10.29) folgt

\frac{∂H}{∂q_{k}} = −\frac{∂L}{∂q_{k}} = −\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇} = −ṗ_{k}.

Diese Gleichungen sind die sogenannten kanonischen Bewegungsgleichugen des Systems:

q̇_{k} = \frac{∂H}{∂p_{k}} , ṗ_{k} = −\frac{∂H}{∂q_{k}} , k = 1, …, m.

Man kann nun umgekehrt die Hamiltonfunktion als Ausgangspunkt wählen. Die kanonischen Bewegungsgleichungen ergeben sich als Euler-Lagrangegleichungen für die Funktion

F (t, q, p, q̇, ṗ) = ∑_{k=1}^{m} p_{k}q̇_{k} − H(t, p, q).