AUTOMORPHE FORMEN UND L-FUNKTIONEN^{†}

WERNER MÜLLER

0. Einleitung

L-Funktionen spielen gegenwärtig in der zahlentheoretischen Forschung eine zentrale Rolle. Es handelt sich dabei um analytische Funktionen, die als Euler-Produkte vom Grad m ≥ 1

L(s) = ∏_{𝔭}L_{𝔭}(s)  (0.1)

definiert sind, wobei 𝔭 alle Primstellen eines Zahlkörpers F durchläuft. Die lokalen Faktoren L_{𝔭}(s) sind assoziiert mit lokalen Daten entweder eines arithmetisch-geometrischen Objektes wie z.B. einer algebraischen Varietät über ℚ oder mit einer automorphen Form und haben im allgemeinen die Form

L_{𝔭}(s) = ∏_{j=1}^{m}(1 − α_{j}(𝔭)N(𝔭)^{−s})^{−1}

wobei die α_{j}(𝔭) komplexe Zahlen sind und N(𝔭) die Norm von 𝔭 bezeichnet. Die L-Funktionen, die durch automorphe Formen definiert sind, nennt man automorphe L-Funktionen. Ein wesentlicher Grund für das Interesse an den L-Funktionen ist die (begründete) Hoffnung, daß sich aus der Untersuchung dieser Funktionen wichtige neue Erkenntnisse für die Zahlentheorie ergeben. Genauer gesagt vermutet man, daß alle arithmetischen und automorphen L-Funktionen eine analytische Fortsetzung besitzen und einer Funktionalgleichung genügen. Man erwartet dann z.B., daß das Verhalten der analytisch fortgesetzten Funktionen in speziellen Punkten wichtige globale Informationen über die zugrunde liegenden arithmetischen Objekte enthält. Wir erläutern dies genauer anhand einiger Beispiele.

†Vortrag gehalten anläßlich des 100. Geburtstages der Berliner Mathematischen Gesellschaft

Date: Aug., 2001.

1) Der Prototyp einer L-Funktion ist die Riemannsche Zetafunktion

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} = ∏_{p}(1 − p^{−s})^{−1}, Re(s) > 1.

Bekanntlich besitzt ζ(s) eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf ganz ℂ und genügt einer Funktionalgleichung. Die berühmte Riemannsche Vermutung besagt, daß alle im kritischen Streifen 0 < Re(s) < 1 enthaltenen Nullstellen von ζ(s) auf der Geraden Re(s) = 1/2 liegen. Wie Riemann in [R] gezeigt hat, hat die Richtigkeit dieser Vermutung bedeutende Konsequenzen für die Verteilung der Primzahlen.

2) Weitere Beispiele sind Dirichletsche L-Reihen. Es sei χ ein Dirichlet-Charakter modulo m, d.h., eine multiplikative Funktion χ : ℤ → ℂ, die durch einen Charakter von (ℤ/mℤ)^{∗} definiert ist. Die mit χ assoziierte L-Reihe ist dann definiert als

L(s, χ) = ∑_{n=1}^{∞} χ(n)n^{−s} = ∏_{p}(1 − χ(p)p^{−s})^{−1}, Re(s) > 1,

Genauso wie die Riemannsche Zetafunktion besitzt L(s, χ) eine analytische Fortsetzung auf ganz ℂ und genügt einer Funktionalgleichung. Dirichlet hat diese Reihen für den Beweis seines berühmten Satzes über die Anzahl der Primzahlen in einer arithmetischen Progression benutzt [Di, pp. 313-342]. Entscheidend für den Beweis von Dirichlets Satz ist das Nichtverschwinden der Funktionen L(s, χ) auf der Geraden Re(s) = 1. Dirichlets Beweis der analytischen Klassenzahlformel für reell quadratische Zahlkörper beruht ebenfalls auf der Anwendung von L-Reihen. In diesem Falle ist das Verhalten der L-Reihen im Punkte s = 1 von Bedeutung.

3) Ein typisches Beispiel einer arithmetischen L-Funktion ist die L-Funktion einer elliptischen Kurve E, die über ℚ definiert ist. Es sei E gegeben durch eine Weierstraßsche Gleichung

y^{2} = x^{3} + ax + b

a, b ∈ ℚ. Für jede Primzahl p existiert für E ein ”Néronsches Modell” E_{p}, welches mit E über ℚ_{p} birational äquivalent ist [Ne]. E_{p} ist gegeben durch eine Gleichung

Y^{2} + λXY + μY = X^{3} + αX^{2} + βX + γ

AUTOMORPHE FORMEN UND L-FUNKTIONEN 3

mit Koeffizienten aus ℤ_{p}. Wenn man diese Gleichung modulo p reduziert, so erhält man die Gleichung einer irreduziblen Kurve \overline{E}_{p} über dem Körper F_{p}. Wenn E an der Stelle p gute Reduktion hat, d.h., \overline{E}_{p} ist eine nichtsinguläre elliptische Kurve, dann sei \overline{E}_{p}(F_{p}) die Menge der F_{p}-rationalen Punkte der Kurve \overline{E}_{p} und a_{p} = p + 1 − #\overline{E}_{p}(F_{p}). Wir setzen dann

L_{p}(s, E) = (1 − a_{p}p^{−s} + p^{1−2s})^{−1}.

An den Stellen schlechter Reduktion kann ebenfalls ein lokaler L-Faktor definiert werden. Wenn \overline{E}_{p} einen gewöhnlichen Doppelpunkt hat, so ist

L_{p}(s, E) = (1 − ε_{p}p^{−s})^{−1},

wobei ε_{p} ∈ {1, −1}. Und zwar ist ε_{p} = 1 oder ε_{p} = −1, je nachdem ob die Tangenten am Doppelpunkt rational über F_{p} sind oder nicht. Wenn \overline{E}_{p} eine Spitze hat, so ist L_{p}(s, E) = 1. Die L-Funktion L(s, E) von E ist dann definiert durch

L(s, E) = ∏_{p} L_{p}(s, E).

Das Euler-Produkt ist absolut konvergent in der Halbebene Re(s) > 1. Inwzischen ist bekannt, daß jede für jede elliptische Kurve E/ℚ die L-Funktion L(s, E) eine analytische Fortsetzung hat und eine Funnktionalgleichung erfüllt. Das verhalten im Punkte s = 1/2 ist dann von besonderem Interesse. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besagt, daß die Ordnung der Nullstelle von L(s, E) in s = 1/2 übereinstimmt mit dem Rang der Gruppe der ℚ-rationalen Punkte von E.

4) Seit Hecke [H] ist die Theorie der L-Funktionen eng verknüpft mit der Theorie der automorphen Formen. Automorphe Formen im klassischen Sinne sind holomorphe Funktionen auf der oberen Halbebene ℍ, die sich bezüglich einer Untergruppe Γ ⊂ SL(2, ℝ) von endlichem Kovolumen einfach transformieren. Als Beispiel betrachten wir die Heckesche Kongruenzuntergruppe. Für N ∈ ℕ sei

Γ_{0}(N) = \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL(2, ℤ) | c ≡ 0 mod N\} .

Es sei k ∈ ℕ. Eine klassische Γ_{0}(N)-automorphe Form vom Gewicht k ist eine holomorphe Funktion f auf der oberen Halbebene ℍ, für die gilt:

(1) f (\frac{az+b}{cz+d}) = (cz + d)^{k}f(z) für alle (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Γ_{0}(N).

(2) f ist holomorph in jeder Spitze von Γ_{0}(N). Wenn f in jeder Spitze von Γ_{0}(N) verschwindet, so heißt f automorphe Spitzenform. Eine solche Funktion hat eine Fourierentwicklung der Form

f(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}e^{2πinz}.

Es sei

L(s, f) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}n^{−s}, Re(s) > 1.

Dann besitzt L(s, f) eine meromorphe Fortsetzung auf ganz ℂ und genügt einer Funktionalgleichung. Dies ist der Prototyp einer automorphen L- Funktion. Wie Hecke gezeigt hat, besitzt L(s, f) eine Darstellung als Euler-Produkt genau dann, wenn f eine Eigenfunktion aller Hecke-Operatoren T_{p} ist. Dabei operiert T_{p} auf f durch

(T_{p}f)(z) = p^{k−1} ∑_{\begin{matrix}a>0 \\ ad=p \end{matrix}} ∑_{b=0}^{d−1} f (\frac{az + b}{d}) d^{−k}

Wenn T_{p}f = c_{p}f für alle p ist und a_{1} = 1, so ist

L(s, f) = ∏_{p}(1 − c_{p}p^{−s} + p^{k−1−2s})^{−1}.

Damit ergibt sich eine neue Klasse von Euler-Produkten, die z.B. die Zetafunktionen imaginär quadratischer Zahlkörper enthält.

5) Der Versuch, Heckes Theorie so zu erweitern, daß die entsprechenden Euler-Produkte Dirichletsche Reihen mit Größencharakteren für reell quadratische Körper enthalten, führte Maaß [Ma] auf die Entdeckung nicht-holomorpher automorpher Formen. Es handelt sich dabei um C^{∞}- Funktionen f auf der oberen Halbebene, die invariant bezüglich Γ_{0}(N) sind und die Eigenfunktionen des hyperbolischen Laplace-Operators

Δ = −y^{2} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} )  (0.2)

sind. So ist z.B. eine Maaßsche Spitzenfunktion für SL_{2}(ℤ) eine C^{∞}- Funktion f auf ℍ, für die gilt

a) f(γz) = f(z) für alle γ ∈ SL_{2}(ℤ);

b) Δf = λf für ein λ > 1/4;
c) ∫_{SL_{2}(ℤ)\ℍ} |f(x + iy)|^{2}y^{−2} dxdy < ∞.

Mit anderen Worten, f ist eine L^{2}-Eigenfunktion von Δ, wobei Δ als Operator in L^{2}(Γ\ℍ) aufgefaßt wird. Da das kontinuierliche Spektrum der selbstadjungierten Erweiterung von Δ das Intervall [1/4, ∞) ist, sind die Eigenwerte zu den Spitzenformen in das stetige Spektrum eingebettet und daher sehr schwer zu studieren.

Wir nehmen zusätzlich an, daß f eine gerade Funktion ist, d.h., es gilt f(−\overline{z}) = f(z). Dann kann f bezüglich x in eine Fourier-Reihe der folgenden Form entwickelt werden

f(x + iy) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}\sqrt{y}K_{ir}(2πny) cos(2πnx),

wobei K_{s}(y) die modifizierte Besselfunktion bezeichnet und λ = 1/4 + r^{2}. Die f zugeordnete L-Funktion ist dann definiert durch

L(s, f) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}n^{−s}.

Diese L-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung und genügt einer Funktionalgleichung. Um als Euler-Produkt darstellbar zu sein, muß f Eigenfunktion der entsprechenden Hecke-Operatoren sein. Diese sind definiert durch

(T_{p}f)(z) = \frac{1}{\sqrt{p}} ∑_{\begin{matrix}a>0 \\ ad=p \end{matrix}} ∑_{b=0}^{d−1} f (\frac{az + b}{d}) .

Die Eigenräume von Δ sind invariant unter den Hecke-Operatoren. Es sei T_{p}f = c_{p} für alle p und f sei normiert durch a_{1} = 1. Dann ist

L(s, f) = ∏_{p}(1 − c_{p}p^{−s} + p^{−2s})^{−1}.

6) In der modernen Theorie der automorphen Formen ist der Begriff der automorphen Formen wesentlich weiter gefaßt. Anstelle von ℍ und Γ_{0}(N) betrachtet man jetzt allgemein einen irreduziblen symmetrischen Raum X = G/K vom nichtkompakten Typ und eine diskrete Untergruppe Γ ⊂ G, so daß Vol(Γ \ G) < ∞ gilt. Automorphe Funktionen bezüglich Γ sind dann C^{∞}-Funktionen f : Γ \ X → ℂ, die gemeinsame Eigenfunktionen des Ringes der invarianten Differentialoperatoren sind und die höchstens schwach wachsen. Automorphe Funktionen sind also unmittelbar verknüpft mit der Spektralzerlegung des Ringes der invarianten Differentialoperatoren auf G/K. Wenn man Γ-invariante Schnitte in einem beliebigen homogenen Vektrorraumbündel E → G/K einbezieht, so erhält man automorphe Formen im allgemeinen. Durch Übergang zum darstellungstheoretischen Standpunkt gelangt man zum allgemeinen Begriff einer automorphen Darstellung. Damit Hecke-Operatoren mit einbezogen werden können, ist es geeignet, mit adelischen Gruppen zu arbeiten. Wir betrachten den Fall G = GL_{n}, n ≥ 1. Es sei

𝔸 = ∏_{p≤∞}′ℚ_{p}

der Ring der Adèle von ℚ. 𝔸 besteht aus allen Folgen (α_{p}) mit α_{p} ∈ ℚ_{p} und α_{p} ∈ ℤ_{p} für fast alle p < ∞. Entsprechend sei

GL_{n}(𝔸) = ∏_{p≤∞}′ GL_{n}(ℚ_{p})

die Gruppe der 𝔸-wertigen Punkte, wobei ∏′ bedeutet, daß fast alle Komponenten g_{p} einer eines Elementes g ∈ GL_{n}(𝔸) in GL_{n}(ℤ_{p}) liegen. Eine Funktion ϕ ∈ L^{2}(GL_{n}(ℚ)\ GL_{n}(𝔸)) heißt Spitzenfunktion, wenn für alle Blockzerlegungen von 𝔫 × 𝔫 Matrizen und fast alle g ∈ GL_{n}(𝔸) gilt

∫ ϕ ([\begin{matrix}I_{n_{1}} & X \\ 0 & I_{n_{2}} \end{matrix}] g) dX = 0,

wobei X eine n_{1} × n_{2} Matrix mit n_{1} + n_{2} = n und adèlischen Einträgen ist. Es sei L_{0}^{2}(GL_{n}(ℚ)\ GL_{n}(𝔸)) der Unterraum der Spitzenfunktion. Dies ist ein invarianter Unterraum der rechtsregulären Darstellung von GL_{n}(𝔸) in L^{2}(GL_{n}(ℚ)\ GL_{n}(𝔸)). Eine automorphe Spitzendarstellung π von GL_{n} ist eine irreduzible unitäre Darstellung von GL_{n}(𝔸), die äquivalent ist zu einer Teildarstellung der rechtsregulären Darstellung von GL_{n}(𝔸) in L_{0}^{2}(GL_{n}(ℚ)\ GL_{n}(𝔸)). Dann gilt π ≅ ⊗π_{p}, wobei π_{p} eine irreduzible unitäre Darstellung von GL_{n}(ℚ_{p}) für p < ∞ und von GL_{n}(ℝ) für p = ∞ ist. Weiterhin ist für fast alle p die Darstellung π_{p} unverzweigt, d.h., π_{p} besitzt einen von Null verschiedenen Vektor, der invariant ist unter GL_{n}(ℤ_{p}). Die Standard L-Funktion L(s, π), die mit π assoziiert ist, ist ein Euler-Produkt vom Grade n

L(s, π) = ∏_{p<∞} L(s, π_{p}),

wobei

L(s, π_{p}) = ∏_{j=1}^{n}(1 − α_{j,π}(p)p^{−s})^{−1}  (0.3)

ist und die Zahlen {α_{j,π}(p)}_{j=1}^{n} durch die lokale Darstellung π_{p} bestimmt sind. An der Stelle p = ∞ ist der lokale Faktor L(s, π_{∞}) ein Produkt von Gamma-Funktionen. Wenn π_{∞} unverzweigt ist, so ist L(s, π_{∞}) von der Form

L(s, π_{∞}) = π^{−ns/2} ∏_{j=1}^{n} Γ (\frac{s − μ_{j}(π_{∞})}{2}) .

Die L-Funktion L(s, π) hat ebenfalls eine analytische Fortsetzung auf ganz ℂ und genügt der Funktionengleichung

L(s, π_{∞})L(s, π) = W_{π}q_{π}^{s−1/2}L(1 − s, π̃_{∞})L(1 − s, π̃),

wobei q_{π} ∈ ℕ der Führer von π, |W_{π}| = 1 und π̃ die kontragrediente Darstellung zu π ist. Aus den Standard L-Funktionen kann man durch einfache Operationen wie z.B. Bildung von Tensorprodukten neue L-Funktionen Konstruieren. So z.B. die Rankin-Selberg L-Funktionen. Es seien π_{1} und π_{2} automorphe Spitzendarstellungen von GL_{n_{1}}(𝔸) bzw. GL_{n_{2}}(𝔸). Wenn π_{1,p} und π_{2,p} beide in p unverzweigt sind, so ist der lokale L-Faktor der Rankin-Selberg L-Funktion L(s, π_{1} ⊗ π_{2}) definiert durch

L(s, π_{1,p} ⊗ π_{2,p}) = ∏_{j=1}^{n_{1}} ∏_{k=1}^{n_{2}} (1 − α_{j,π_{1}}(p)α_{k,π_{2}}(p)p^{−s})^{−1} ,

wobei die Zahlen {α_{j,π_{i}}(p)} durch (0.3) gegeben sind. Die analytischen Eigenschaften der Rankin-Selberg L-Funktionen sind vollständig bekannt [JPS], [Sh2]. Insbesondere hat L(s, π_{1}⊗π_{2}) eine analytische Fortsetzung und erfüllt eine Funktionnalgleichung. Andere Beispiele sind die L-Funktionen L(s, sym^{n} π) zu n-fachen symmetrischen Potenzen einer Spitzendarstellung π von GL_{2}(𝔸). An den unverzweigten Stellen p ist der lokale L-Faktor gegeben durch

L(s, sym^{n} π_{p}) = ∏_{j=0}^{n} (1 − (α_{1,π}(p))^{j}(α_{2,π}(p))^{n−j}p^{−s})^{−1} .

Die allgemeinen Vermutungen von Langlands [L] besagen nun, daß alle arithmetischen und automorphen L-Funktionen Produkte der Standard L-Funktionen L(s, π) sind. Dies impliziert insbesondere, daß jede dieser L-Funktionen eine analytische Fortsetzung hat und eine Funktionalgleichung erfüllt. Aus den Resultaten von Wiles [Wi] und [TW] folgt z.B. das jede über ℚ definierte elliptische Kurve E modular ist, d.h., es existiert eine holomorphe Spitzenform ϕ vom Gewicht 2 bezüglich einer Kongruenzuntergruppe von SL_{2}(ℤ), so daß die L-Funktion L(s, E) der elliptischen Kurve (siehe Beispiel 3)) mit der automorphen L-Funktion L(s, ϕ) übereinstimmt. Das Ziel diese Artikels ist es, einige Aspekte der Theorie der automorphen Formen und L-Funktionen zu erläutern. Es gibt verschiedene Einführungen in das Langlands-Programm [A4], [AG], [Ge], [Kn], die wir dem Leser zur weiterführenden Lektüre empfehlen. Hier werden wir uns vor allem mit den analytischen Aspekten beschäftigen. In §1 beschäftigen wir uns mit der Riemannschen Zetafunktion. Wir erläutern einige ihrer wichtigsten Eigenschaften und erklären den Zusammenhang zwischen der Lage der komplexen Nullstellen der Zetafunktion und der Primzahlverteilung. Schließlich diskutieren wir noch einige neuere Resultate über die Nullstellen der Zetafunktion. Eisensteinsche Reihen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der automorphen Formen und L-Funktionen. In §2 behandeln wir einige Grundbegriffe der Theorie der Eisensteinschen Reihen und erläutern insbesondere den Zusammenhang zwischen Eisensteinschen Reihen und automorphen L-Funktionen. In §3 betrachten wir automorphe L-Funktionen zu einer beliebigen reduktiven Gruppe G und erklären zwei der fundamentalen Vermutungen von Langlands. In §4 behandeln wir den Zusammenhang zwischen automorphen Formen und Streutheorie. Schließlich dikutieren wir in §5 einige Aspekte der Arthur-Selbergschen Spurformel. Die Spurformel ist gegenwärtig eine der wichtigsten Methoden, um Langlands’ Vermutungen anzugreifen.

1. Die Riemannsche Zetafunktion

Die Riemannschen Zetafunktion ζ(s) ist in der Halbebene Re(s) > 1 durch die absolut konvergente Reihe

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} n^{−s},

definiert. Sie ist die bekannteste und am besten untersuchte L-Funktion. Seit Riemanns fundamentaler Arbeit [R] spielt sie eine wichtige Rolle in der Mathematik. Sowohl die bekannten und als auch die vermuteten Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion bilden den Ausgangspunkt für entsprechende Vermutungen über allgemeine L-Funktionen. In diesem Abschnitt diskutieren wir deshalb ausführlich die Riemannsche Zetafunktion und einige ihrer wichtigsten Eigenschaften. Nach Euler hat ζ(s) die folgende Produktdarstellung

ζ(s) = ∏_{p<∞}(1 − p^{−s})^{−1}, Re(s) > 1,

wobei p alle Primzahlen durchläuft. Wie von Riemann [R] gezeigt wurde, hat ζ(s) eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf ℂ und genügt einer Funktionalgleichung. Es sei

ξ(s) := π^{−s/2}Γ(s/2)ζ(s).

Dann lautet die Funktionalgleichung

ξ(s) = ξ(1 − s).  (1.1)

Es existieren viele verschiedene Beweise dafür. Der Riemannsche Beweis benutzt die θ-Reihe

θ(z) = ∑_{n∈ℤ}e^{πin^{2}z}, Im(z) > 0.

Dies ist eine automorphe Form vom Gewicht 1/2 bezüglich der Hauptkongruenzuntergruppe

Γ(2) = \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL(2, ℤ) | a, d ≡ 1 mod2, b, c ≡ 0 mod2\} .

Insbesondere gilt

θ(−\frac{1}{z}) = (−iz)^{1/2}θ(z).  (1.2)

Es sei Γ(s) die Gamma-Funktion. Dann ist

π^{−s/2}Γ(s/2)ζ(s) = ∫_{0}^{∞} \frac{θ(it) − 1}{2}t^{s/2−1}dt,  (1.3)

d.h., ζ(2s) ist im wesentlichen die Mellintransformation von 1/2(θ(it)− 1). Indem man das Integral in (1.3) aufspaltet in

∫_{0}^{∞} = ∫_{0}^{1} + ∫_{1}^{∞},

im ersten Integral die Variablentransformation t ⟼ 1/t ausführt und die Transformationsformel (1.2) anwendet, erhält man für Re(s) > 1

\begin{aligned}π^{−s/2}Γ(s/2)ζ(s) = & \frac{1}{2} ∫_{1}^{∞} (t^{s/2−1} + t^{−1/2−s/2}) (θ(it) − 1)dt \\ & − \frac{1}{s} − \frac{1}{1 − s}. \end{aligned} (1.4)

Das Integral ist für alle s absolut konvergent. Daraus ergibt sich die analytische Fortsetzung von ζ(s). Außerdem ist die rechte Seite von (1.4) invariant unter s ⟼ 1 − s. Dies ergibt die Funktionalgleichung (1.1). Die Mellintransformation ordnet durch (1.3) der automorphen Form θ(z) die L-Reihe ζ(s) zu. Die Automorphie von θ, d.h., die Tranformationsformel (1.2) impliziert die analytische Forsetzung von ζ(s) zusammen mit der Funktionalgleichung (1.1). Umgekehrt erhält man durch die inverse Mellintransformation

\frac{θ(it) − 1}{2} = \frac{1}{2πi} ∫_{Re(s)=σ>0} t^{−s}π^{−s}Γ(s)ζ(2s)ds.

Die Funktionalgleichung (1.1) impliziert die Transformationsformel für θ. Dies wurde von Hamburger [Ha] benutzt, um die Zetafunktion eindeutig durch die Funktionalgleichung und die Lage des Poles zusammen mit dem Residuum eindeutig zu charakterisieren. Hecke hat diesen Beweis auf andere automorphe Formen und Dirichlet-Reihen verallgemeinert und ist so zu seiner Theorie gelangt. Wie Riemann [R] gezeigt hat, spielen die Nullstellen von ζ(s) im Streifen 0 < Re(s) < 1 eine fundamentale Rolle bei der Primzahlverteilung. Es sei

π(x) = #{p | p ≤ x}

die Anzahl der Primzahlen ≤ x. Der bereits von Gauß vermutete Primzahlsatz besagt

π(x) ∼ \frac{x}{ln x}, x → ∞.

Die beiden voneinander unabhängigen Beweise des Primzahlsatzes von Hadamard und de la Vallee Poisson benutzen beide daß ζ(1 + it) ≠ 0 für t ∈ ℝ. Daraus folgt, daß die nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) im Streifen 0 < Re(s) < 1 liegen. Von Littlewood wurde gezeigt, daß A > 0 existiert, so daß

ζ(σ + it) ≠ 0 für σ > 1 − \frac{A ln ln(|t| + 3)}{ln(|t| + 3)},  (1.5)

d.h., es existiert eine Nullstellen freie Region in Re(s) < 1. Es sei

li x = li 2 + ∫_{2}^{x} \frac{du}{ln u}.

Da

∫_{2}^{x} \frac{du}{ln u} = \frac{x}{ln x} + o (\frac{x}{ln x}) , x ≥ 4,

ist der Primzahlsatz äquivalent zu

π(x) ∼ li x, x → ∞.

Unter Verwendung von Littlewoods Resultat, kann man das Restglied genauer abschätzen und zwar gilt

π(x) = li x + O(xe^{−a\sqrt{ln x ln ln x}})

für x → ∞ und ein a > 0. Riemann hat in [R] folgende Vermutung aufgestellt:

Riemannsche Vermutung: Alle Nullstellen von ζ(s), die im Streifen 0 < Re(s) < 1 enthalten sind, liegen auf der Geraden Re(s) = 1/2.

Wenn die Riemannsche Vermutung richtig ist, so erhält man den Primzahlsatz mit bestmöglicher Abschätzung des Restgliedes, und zwar gilt dann

π(x) = li x + O(\sqrt{x} ln x)  (1.6)

[R], [Ch]. Umgekehrt folgt aus (1.6) die Riemannsche Vermutung. Die Riemannsche Vermutung ist gegenwärtig die berühmteste Vermutung in der Mathematik. Außer (1.6) hat sie noch viele andere wichtige Konsequenzen (siehe z.B. [Tm]) und es existieren viele äquivalente Umformulierungen. Gegenwärtig existiert aber kein wirklicher Ansatz für den Beweis der Riemannschen Vermutung. Selberg [Se2] hat gezeigt, daß eine Teilmenge der Nullstellen mit positiver Dichte auf der Geraden Re(s) = 1/2 liegt. Conrey [Cr] hat dieses Resultat wesentlich verbessert und gezeigt, daß 2/5 der Nullstellen auf der Geraden Re(s) = 1/2 liegen. Es gibt einige sehr interessante Versuche, Ansätze für einen Beweis zu finden. Insbesondere sind dies die Arbeiten von Deninger [De], [De1] und Connes [Co], [Co1], die allerdings beide sehr spekulativ sind. Ein Ausgangspunkt für einen möglichen Beweisansatz ist die (durch nichts motivierte) Vermutung von Polya und Hilbert, daß die nichttrivialen Nullstellen von der Form ρ_{j} = 1/2 + iγ_{j} sind, wobei die γ_{j} die Eigenwerte eines natürlichen Hermiteschen Operators sind, d.h., man sucht nach einer kanonischen Spektralinterpretation für die komplexen Nullstellen der Zetafunktion. Es gibt auch umfangreiche numerische Untersuchungen zur Riemannschen Vermutung. Riemann selbst hat die ersten Nullstellen berechnet. Die bisher umfangreichsten Rechnungen stammen von Odlyzko [Od] und Van de Lune, te Riele, Winter [VW]. In [VW] haben die Autoren gezeigt, daß die ersten 1, 5 · 10^{9} nichttrivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen. In Odlyzkos Rechnungen geht es mehr um die statistischen Eigenschaften der Nullstellen, und zwar um die Verteilung der normalisierten Abstände aufeinanderfolgender Nullstellen. In [Od] hat Odlyzko 79 Millionen aufeinanderfolgender Nullstellen in der Umgebung der 10^{20}sten Nullstelle berechnet. Diese Rechnungen zeigen eine erstaunliche Übereinstimmung mit der Verteilung der normalisierten Abstände der Eigenwerte zufälliger großer Hermitescher Matrizen. Dies hängt eng zusammen mit Fragen des Quantenchaos, d.h., der Untersuchung statistischer Eigenschaften von Energiespektren quantenmechanischer Systeme, deren zugrunde liegendes klassisches System chaotisches Verhalten hat. Für die Modellierung von Hamilton-Operatoren zufälliger dynamischer Systeme gibt es verschiedenen Theorien von zufälligen Hermiteschen Matrizen. Wenn das dynamische System bezüglich der Zeitumkehr nicht symmetrisch ist, so erfolgt die Modellierung durch das Gaußsche Unitäre Ensemble (GUE). Das Gaußsche Unitäre Ensemble vom Grade N ist der Raum GL_{N}(ℂ)/U(N) aller N × N Hermiteschen Matrizen zusammen mit einem bestimmten Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Maß ist dabei das eindeutig bestimmte Wahscheinlichkeitsmaß auf GL_{N}(ℂ)/U(N), das invariant ist unter Konjugation mit U(N) und für das die Matrixeinträge unabhängige Zufallsvariablen sind. Konkret ist das Maß gegeben durch

∏_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{π}} e^{−g_{ii}^{2}} ∏_{i<j} \frac{2}{π} e^{−2(a_{ij}^{2}+b_{ij}^{2})} ∏ dg_{ij},

wobei g_{ij} = a_{ij} + \sqrt{−1}b_{ij} für i < j. Die Rechnungen von Odlyzko zeigen eine erstaunliche Übereinstimmung der normalisierten Abstandsverteilungen der Nullstellen ρ_{j} im Bereich 10^{20} ≤ j ≤ 10^{20} + 7 · 10^{6} und der entsprechenden Verteilung der normalisierten Abstände der Eigenwerte für das GUE. Die Rechnungen von Odlyzko wurden angeregt durch Arbeiten von Montgomery [Mo] zu den Paar-Korrelationsfunktionen der Nullstellen. Dazu nehmen wir an, daß die Riemannsche Vermutung gilt. Wir schreiben die nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) als

\frac{1}{2} + iγ_{j}

mit γ_{j} ∈ ℝ, wobei die Nullstellen so geordnet, daß

⋯ ≤ γ_{−2} ≤ γ_{−1} ≤ 0 ≤ γ_{1} ≤ γ_{2} ≤ ⋯

gilt. Dann ist γ_{j} = −γ_{−j}, j ∈ ℕ und es gilt

#\{j | 0 ≤ γ_{j} ≤ T \} ∼ \frac{T log T}{2π} für T → ∞.

Wir normalisieren die γ_{j}’s durch

γ̂_{j} = \frac{γ_{j} log γ_{j}}{2π} , j ≥ 1.

Es sei ϕ ∈ S(ℝ), so daß der Träger von ϕ̂ in (−1, 1) enthalten ist. Dann hat Montgomery [Mo] bewiesen, daß

lim_{N→∞} \frac{1}{N} ∑_{1≤j≠k≤N} ϕ(γ̂_{j} − γ̂_{k}) = ∫_{ℝ} ϕ(x) (1 − (\frac{sin πx}{πx})^{2}) dx.

Wie in Metha [Me] gezeigt wird, ist die Funktion

r_{2}(x) := 1 − (\frac{sin πx}{πx})^{2}

die Dichte für die Korrelation von Paaren von Eigenwerten großer Hermitescher Matrizen. Von Rudnick und Sarnak [RS] wurden entsprechende Resultate für die n-fachen Korrelationsfunktionen bewiesen. Dies wird als Evidenz für die Existenz einer spektralen Interpretation der nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) angesehen.

2. Eisensteinsche Reihen

Eisensteinsche Reihen sind spezielle automorphe Formen, die in der Spektraltheorie der automorphen Formen und der Theorie der automorphen L-Funktionen eine sehr wichtige Rolle spielen. Für SL(2, ℝ) wurden die nichtanalytischen Eisensteinschen Reihen von Maaß [Ma] eingeführt und ihre Bedeutung für die Spektraltheorie wurde vor allem von Selberg [Se] im Zusammenhang mit der Entwicklung der Spurformel erkannt. Für eine allgemeine reduktive Gruppe G wurde die Theorie der Eisensteinschen Reihen von Langlands [L] entwickelt. Es sei Γ ⊂ SL(2, ℝ) eine Fuchssche Gruppe 1. Art mit nichtkompaktem Fundamentalbereich. Die Eisensteinschen Reihen bezüglich Γ sind den Spitzen von Γ zugeordnet. Wenn ∞ eine Spitze ist und der Stabilisator Γ_{∞} von ∞ gegeben ist durch

Γ_{∞} = \{(\begin{matrix}1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix}) | n ∈ ℤ\} ,

so ist die Eisensteinsche Reihe E(z, s) zur Spitze ∞ definiert durch

E(z, s) = ∑_{γ∈Γ_{∞}\Γ} Im(γ(z))^{s}, Re(s) > 1.  (2.1)

Für eine beliebige Spitze wird die assoziierte Eisensteinsche Reihe durch eine analoge Reihe definiert. Die Modulgruppe SL(2, ℤ) hat nur eine Äquivalenzklasse von Spitzen und die entsprechende Eisensteinsche Reihe, die der Spitze ∞ zugeordnet ist, ist

E(z, s) = ∑_{(m,n)=1} \frac{y^{s}}{|mz + n|^{2s}} , Re(s) > 1,  (2.2)

wobei y = Im(z) ist. Wenn die Anzahl der Γ-Äquivalenzklassen von Spitzen m ist, so gibt es für die Gruppe Γ genau m verschiedene Eisensteinschen Reihen

E_{i}(z, s), i = 1, …, m,

die in der Halbebene Re(s) > 1 durch Reihen analog zu (2.1) definiert sind. Als Funktionen von z sind es C^{∞}-Funktionen auf der Fläche Γ\ℍ und sie genügen der Differentialgleichung

ΔE_{i}(z, s) = s(1 − s)E_{i}(z, s), i = 1, …, m,

wobei Δ der hyperbolische Laplace-Operator (0.2) ist. Für die Spektraltheorie ist es allerdings erforderlich, die Eisensteinsche Reihen analytisch fortzusetzen, so daß sie auch für Re(s) = 1/2 definiert sind. Die Funktionen

λ ∈ ℝ ⟼ E_{i}(z, 1/2 + \sqrt{−1}λ), i = 1, …, m,

sind dann ein vollständiges System von verallgemeinerten Eigenfunktionen für den Laplace-Operator Δ der Fläche Γ\ℍ. Die Reihe (2.2) ist eine Epsteinsche Zetafunktion und es ist bekannt, daß diese Reihe eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion von s ∈ ℂ hat. Die analytische Fortsetzung ist holomorph auf der Geraden Re(s) = 1/2. Für eine beliebige Fuchssche Gruppe 1. Art hat Selberg die Existenz einer meromorphen Fortsetzung der Eisensteinschen Reihen in [Se] bewiesen. Die Eisensteinsche Reihe (2.2) ist invariant unter der Gruppe SL(2, ℤ). Insbesondere gilt

E(z + 1, s) = E(z, s).

Daher kann E(x + iy, s) in eine Fourier-Reihe bezüglich x entwickelt werden. Die Fourier-Entwicklung ist von der Form

\begin{aligned}E & (x + iy, s) = y^{s} + c(s)y^{1−s} \\ & + \frac{2\sqrt{y}}{ξ(2s)} ∑_{n=1}^{∞} n^{s−1/2}σ_{1−2s(n)}K_{s−1/2}(2πny) cos(2πnx), \end{aligned} (2.3)

wobei ξ(s) = π^{−s/2}Γ(s/2)ζ(s),

c(s) = \frac{ξ(2s − 1)}{ξ(2s)}  (2.4)

und

σ_{ν}(n) = ∑_{d|n} d^{ν}.

Von besonderer Bedeutung ist der konstante Term der Fourierentwicklung (2.3), der durch die ”Streumatrix” (2.4) bestimmt ist. Für eine beliebige Fuchssche Gruppe 1. Art Γ mit m Spitzen kann man die Eisensteinsche Reihe zur i-ten Spitze in der j-ten Spitze in eine entsprechende Fourier-Reihe entwickeln. Der konstante Term hat die Form

δ_{ij}y_{j}^{s} + C_{ij}(s)y_{j}^{1−s}  (2.5)

mit einer meromorphen Funktion C_{ij}(s). Die Matrix

C(s) = (C_{ij}(s))_{i,j=1}^{m}

ist die sogenannte ”Streumatrix”. Es sei

E(z, s) = ( E_{1}(z, s) ; ⋮ ; E_{m}(z, s)) .

Dann gelten die folgenden Funktionalgleichungen

\begin{aligned}Id & = C(s)C(1 − s); \\ E(z, s) & = C(s)(E(z, 1 − s)) \end{aligned}  (2.6)

[Se]. Für eine beliebige reduktive Gruppe G wurden die Existenz einer meromorphen Forsetzung der Eisensteinschen Reihen und die entsprechenden Funktionalgleichungen von Langlands bewiesen [L1]. Eisensteinsche Reihen für G sind assoziiert mit Γ-cuspidalen parabolischen Untergruppen von G. Als Beispiel betrachten wir G = SL_{n}. Der Einfachheit halber betrachten wir adèlische Eisenstein-Reihen. Es sei

K = SO(n) · ∏_{p<∞} SL_{n}(ℤ_{p}).

Dann ist K ⊂ G(𝔸) eine maximal kompakte Untergruppe. Eine maximale parabolische Standarduntergruppe P ⊂ G ist von der Form

P = \{(\begin{matrix}A & X \\ 0 & B \end{matrix}) | A ∈ GL_{n_{1}}, B ∈ GL_{n_{2}}, det A · det B = 1\} .

wobei n = n_{1} + n_{2}. Es sei

M = \{(\begin{matrix}m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{matrix}) | m_{1} ∈ GL_{n_{1}}, m_{2} ∈ GL_{n_{2}}, det m_{1} · det m_{2} = 1\} .

und

N = \{(\begin{matrix}Id_{n_{1}} & X \\ 0 & Id_{n_{2}} \end{matrix})\} .

Dann ist

P = M · N = N · M

eine Levi-Zerlegung von P. Es sei ϕ ∈ L^{2}(M(ℚ)\M(𝔸)) eine automorphe Form, die invariant ist unter Multiplikation von rechts mit k ∈ M(𝔸) ∩ K. Es sei

ϕ_{s}(nmk) = ϕ(m) (\frac{| det m_{1}|^{n_{2}}}{| det m_{2}|^{n_{1}}} )^{s+1/2} .

für n ∈ N(𝔸), m ∈ M(𝔸) und k ∈ K. Da G(𝔸) = P (𝔸) · K, ist ϕ_{s} eine Funktion auf G(𝔸). Für alle g ∈ G(𝔸) ist die Reihe

E(ϕ, s, g) = ∑_{γ∈P (ℚ)\G(ℚ)}ϕ_{s}(γ_{g})  (2.7)

absolut konvergent in der Halbebene Re(s) ≥ c für ein geeignetes c > 0. Diese Reihe hat eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion in s ∈ ℂ. Dies ist eine Eisensteinsche Reihe zu einer maximal parablolischen Untergruppe. Für eine automorphe Spitzenform ϕ hat E(ϕ, s) Eigenschaften analog zu den Eisensteinschen Reihen für die obere Halbebene. Die analytische Fortsetzung geschieht nach den gleichen Prinzipien. Wenn ϕ keine Spitzenfunktion ist, so ist die Konstruktion der analytischen Fortsetzung wesentlich komplizierter [L], [GS1]. Eine allgemeine parabolische Standardgruppe P ⊂ G ist der Stabilisator einer Flagge

0 ⊂ V_{1} ⊂ ⋯ ⊂ V_{r} ⊂ ℝ^{n}.

Dies entspricht einer Zerlegung n = n_{1} + ⋯ + n_{r}. Es sei N das unipotente Radikal von P und

M = \{(\begin{matrix}m_{1} & & & & & 0 \\ & m_{2} \\ & & . & . & . \\ & 0 & & & & m_{r} \end{matrix} ) | ∏_{i=1}^{r} m_{i} = 1\} .

Dann ist

P = N · M

eine Levi-Zerlegung von P. Es sei ϕ ∈ L^{2}(M(ℚ)\M(𝔸)) eine automorphe Form, die rechtsinvariant ist unter M(𝔸) ∩ K. Weiter sei s = (s_{1}, …, s_{r}) ∈ ℂ^{r} mit ∑ n_{i}s_{i} = 0. Sei

ϕ_{s}(nmk) = ϕ(m) ∏_{i=1} | det m_{i}|^{s_{i}+ρ_{i}},

wobei ρ_{i} > 0 geeignete reelle Zahlen sind. Die entsprechenden adèlische Eisenstein-Reihe ist dann wieder durch die Reihe (2.7) definiert. Diese Reihe konvergiert absolut in einem Gebiet der Form Re(s_{i} − s_{j}) ≥ c_{j} für i < j, i, j = 1, …, r, mit geeigneten c_{j} > 0. Die bisher betrachteten Eisensteinschen Reihen sind Funktionen auf G(ℚ)\G(𝔸), die rechtsinvariant unter K sind, d.h., es sind Funktionen auf G(ℚ)\G(𝔸)/K. Für SL_{n} gilt aber der starke Approximationssatz

SL_{n}(𝔸) = SL_{n}(ℚ) · SL_{n}(ℝ) · ∏_{p<∞} SL_{n}(ℤ_{p}).

Daher ist

G(ℚ)\G(𝔸)/K ≅ SL_{n}(ℤ)\ SL_{n}(ℝ)/SO(n).

Für n = 2 ist dies gerade die Riemannsche Fläche SL_{2}(ℤ)\ℍ. Die Eisensteinschen Reihen zu einem nichttrivialen K-Typ sind analog definiert. Aus technischen Gründen betrachten wir jetzt GL_{n} anstelle von SL_{n}. Es sei Z_{n} das Zentrum von GL_{n}. Der Quotient SL_{n}(ℚ)\ SL_{n}(𝔸) wird ersetzt durch Z_{n}(ℝ)^{0} GL_{n}(ℚ)\ GL_{n}(𝔸). Eine maximal kompakte Untergruppe von GL_{n}(𝔸) ist

K = O(n) · ∏_{p<∞} GL_{n}(ℤ_{p}).

Die Eisensteinschen Reihen, die rechtsinvariant unter K sind, werden genau so konstruiert wie im Falle von SL_{n}. Es sei P ⊂ GL_{n} eine maximale parabolische Standarduntergruppe, N das unipotente Radikal von P und M die Levi-Untergruppe. Dann existiert eine Zerlegung n = n_{1} + n_{2}, so daß

M = GL_{n_{1}} × GL_{n_{2}} .

Es sei ϕ ∈ L^{2}(Z_{M}(ℝ)^{0}M(ℚ)\M(𝔸)) eine automorphe Spitzenform, die rechtsinvarinant unter M(𝔸) ∩ K ist und

E(ϕ, s, g) = ∑_{γ∈P (ℚ)\ GL_{n}(ℚ)}ϕ_{s}(γg)

sei die assoziierte Eisensteinsche Reihe. Der konstante Term der Fourierentwicklung der Eisensteinschen Reihe (2.3) entspricht dem Integral

∫_{N(ℚ)\N(𝔸)} E(ϕ, s, ng)dn.

Um dieses Integral zu berechnen, machen wir zusätzliche Annahmen. Es sei π eine irreduzible unitäre Darstellung von M(𝔸), die eine Teildarstellung der rechtsregulären Darstellung von M(𝔸) im Hilbertraum L^{2}(Z_{M}(ℝ)^{0}M(ℚ) \M(𝔸)) ist. Dann ist π = π_{1} × π_{2}, wobei π_{i} eine irreduzible Darstellung von GL_{n_{i}}(𝔸) ist. Für s ∈ ℂ sei π_{i}[s] die Darstellung

g ∈ GL_{n_{i}}(𝔸) ⟼ π_{i}(g)| det g_{i}|^{s}.

Für s = (s_{1}, s_{2}) ∈ ℂ^{2} sei

π[s] = π_{1}[s_{1}] × π_{2}[s_{2}].

Dann ist π[s] eine Darstellung von M(𝔸). Wir setzen sie zu einer Darstellung von P (𝔸) = N(𝔸)M(𝔸) fort durch

π[s](nm) = π[s](m), n ∈ N(𝔸), m ∈ M(𝔸).

Es sei

Ind_{P (𝔸)}^{GL_{n}(𝔸)}(π[s])

die induzierte Darstellung. Wir nehmen an, daß ϕ im Raum der induzierten Darstellung liegt. Für die Darstellungen π_{i} ist

π_{i} = ⊗_{p}π_{i,p},

wobei π_{i,p} eine irreduzible unitäre Darstellung der Gruppe GL_{n_{i}}(ℚ_{p}) ist. Es sei π̌_{i} die kontragrediente Darstellung zu π_{i} und

L(s, π_{1} × π̌_{2}) = ∏_{p<∞} L(s, π_{i,p} × π̌_{2,p})

die Rankin-Selberg L-Funktion, die mit π_{1} und π̌_{2} assoziiert ist. Für fast alle p sind π_{1,p} und π_{2,p} unverzweigt. Es seien α_{i,j}(p), j = 1, …, n_{i}, die Parameter, die durch (0.2) bestimmt sind. Dann ist der lokale L-Faktor von L(s, π_{1} × π̌_{2}) definiert durch

L(s, π_{1,p} × π̌_{2,p}) = ∏_{i=1}^{n_{1}} ∏_{j=1}^{n_{2}}(1 − α_{1,i}(p)\overline{α_{2,j}(p)}p^{−s})^{−1}.

An der unendlichen Stelle ist L(s, π_{1,∞}×π̌_{2,∞}) ein Produkt von Gamma-Funktionen. Es sei

Λ(s, π_{1} × π̌_{2}) = L(s, π_{1,∞} × π̌_{2,∞})L(s, π_{1} × π̌_{2})

die vervollständigte L-Funktion. Dann genügt L(s, π_{1} × π̌_{2}) der Funktionalgleichung

Λ(s, π_{1} × π̌_{2}) = ϵ(s, π_{1} × π̌_{2})L(1 − s, π̌_{1} × π_{2}),

wobei der ϵ-Faktor die Form

ϵ(s, π × π̌_{2}) = W (π_{1} × π̌_{2})N(π_{1} × π̌_{2})^{1/2−s}

hat mit |W | = 1 und N ∈ ℕ. Der konstante Term der Eisensteinschen Reihe ist dann gleich

ϕ_{s}(g) + \frac{Λ(s, π, ×π̌_{2})}{ϵ(s, π_{1} × π̌_{2})Λ(1 + s, π_{1} × π̌_{2})}ϕ_{−s}(g).  (2.8)

Diese Formel ist völlig analog zur Formel (2.5) für den konstanten Term der Eisensteinschen Reihe (2.2). Da E(ϕ, s, g) eine meromorphe Funktion von s ∈ ℂ ist, gilt dies auch für die rechte Seite von (2.8). Daraus ergibt sich unmittelbar die analytische Fortsetzung der Rankin-Selberg L-Funktion L(s, π_{1} × π̌_{2}). Wir haben bisher nur automorphe Formen betrachtet, die rechtsinvariant sind bezüglich der maximal kompakten Untergruppe K. Dies entspricht Funktionen auf SL_{n}(ℤ)\ SL_{n}(ℝ)/SO(n). Für N ∈ ℕ sei

Γ(N) = {γ ∈ SL_{n}(ℤ) | γ ≡ Id mod N}

die Hauptkongruenzuntergruppe. Dann existiert eine offene kompakte Untergruppe K(N) ⊂ K, so daß

Z_{n}(ℝ)^{0} GL_{n}(ℚ)\ GL_{n}(𝔸)/K(N) ≅ ⨆_{(ℤ/Nℤ)^{∗}} Γ(N)\ SL_{n}(ℝ)/SO(n).

Die Eisensteinschen Reihen zur Gruppe Γ(N) können dann in der gleichen Weise adèlisch behandelt werden. In den konstanten Termen treten dann wiederum Rankin-Selberg L-Funktionen auf. Wenn man GL_{n} durch eine beliebige über ℚ definierte reduktive algebraische Gruppe G ersetzt, so gelangt man durch die Untersuchung der konstanten Terme der entsprechenden Eisensteinschen Reihen zur allgemeinen Form einer automorphen L-Funktion. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß G über ℚ zerfällt. Wir definieren dies hier nicht. Es bedeutet unter anderem, daß wir wie im Fall von GL_{n} von den Gruppen der ganzzahligen Punkte G(ℤ) und G(ℤ_{p}) sprechen können. Die Eisensteinschen Reihen sind assoziiert mit den parabolischen Untergruppen P von G, die über ℚ definiert sind. Jede solche Gruppe P hat eine Levi-Zerlegung

P = N · M,

wobei N das unipotente Radikal von P und M eine Levi-Untergruppe ist. M ist eine reduktive algebraische Gruppe, die über ℚ definiert ist. Es sei A_{M} die zerfallende Komponente des Zentrums von M. Weiter sei X(M)_{ℚ} die Gruppe der rationalen Charaktere von M,

𝔞_{M} = Hom(X(M)_{ℚ}, ℝ),

und 𝔞_{M,ℂ}^{∗} sei die Komplexifizierung von 𝔞_{M}^{∗}. Wir definieren einen Homomorphismus

H_{M}: M(𝔸) → 𝔞_{M}

durch

e^{⟨H_{M} (m),χ⟩} = ∏_{v} |χ(m_{v}) |_{v}.

Es sei

M(𝔸)^{1} = ker H_{M}.

Wir setzen H_{M} zu einer Abbildung

H_{P} : G(𝔸) → 𝔞_{M}

fort durch

H_{P} (nmk) = H_{M}(m), n ∈ N(𝔸), m ∈ M(𝔸), k ∈ K.

Da G(𝔸) = P (𝔸) · K ist, ist diese Funktion wohl definiert. Wir fixieren eine maximale kompakte Untergruppe

K = ∏_{v} K_{v}

von G(𝔸). Für fast alle v ist K_{v} = G(ℤ_{v}). Assoziiert mit P ist ein Raum A^{2}(P) vom automorphen Formen. Es sei Z(𝔤_{ℂ}) das Zentrum der universellen einhüllenden Algebra der komplexifizierten Liealgebra 𝔤 von G. Dann ist A^{2}(P) der Raum der meßbaren Funktionen

ϕ : A_{M}(ℝ)^{0}N(𝔸)M(ℚ)\G(𝔸) → ℂ

mit folgenden Eigenschaften:

(1) Der Raum, der durch die Funktionen

g ∈ G(𝔸) ⟼ (Dϕ)(gk), k ∈ K, D ∈ Z(𝔤_{ℂ}),

aufgespannt wird, ist endlich dimensional. (2)

∥ ϕ ∥^{2}= ∫_{K} ∫_{M(ℚ)\M(𝔸)^{1}} |ϕ(mk)|^{2}dmdk < ∞.

Eine Funktion ϕ ∈ A^{2}(P) heißt automorphe Spitzenform, wenn für alle parabolischen Untergruppen Q = N_{Q}M_{Q} mit Q ⫋ P gilt:

∫_{N_{Q}(ℚ)\N_{Q}(𝔸)} ϕ(ng) dg = 0

für fast alle g ∈ G(𝔸). Mit A^{2}(P) ⊂ A^{2}(A) bezwichnen wir den Unterraum der Spitzenformen. Es sei ρ_{P} = 1/2 ∑ α, wobei α die positiven Wurzeln von (P, A_{M}) durchläuft. Für ϕ ∈ A^{2}(P) und λ ∈ 𝔞_{M,ℂ}^{∗} ist die Eisensteinsche Reihe definiert durch

E(ϕ, λ, g) = ∑_{γ∈P (ℚ)\G(ℚ)}ϕ(γg)e^{(λ+ρ_{P})(H_{P} (γ_{g}))}.  (2.9)

Die Reihe konvergiert absolut für Re(λ) in der positiven Kammer und die dadurch definierte Funktion von λ hat eine meromorphe Fortsetzung auf ganz 𝔞_{M,ℂ}^{∗}. Es sei P′ = N′ ·M′ eine weitere rationale parabolische Untergruppe von G. Der konstante Term von E(ϕ, λ, g) bezüglich P′ ist definiert als

∫_{N′(ℚ)\N′(𝔸)} E(ϕ, λ, n′g)dn′.  (2.10)

Für den Fall der oberen Halbebene entspricht dies dem nullten Fourierkoeffizienten (2.5) in der j-ten Spitze der Eisensteinschen Reihe E_{i}(z, s). Die Untersuchung des konstanten Terms ist von zentraler Bedeutung für die Theorie der Eisensteinschen Reihen und automorphen L-Funk-tionen. Wenn ϕ keine Spitzenform ist, so ist der konstante Term sehr kompliziert. Für eine Spitzenform ϕ ergibt sich andererseits eine sehr einfache Formel. Besonders einfach wird die Formel für maximale parabolische Gruppen. Deshalb nehmen wir jetzt an, daß P und P′ maximale parabolische Untergruppen sind, d.h., es ist dim 𝔞_{M}/𝔞_{G} = 1 und dim 𝔞_{M′}/𝔞_{G} = 1. Zur Berechnung des konstanten Termes in diesem Fall machen wir weitere Annahmen. Es sei π = ⊗_{v}π_{v} eine automorphe Spitzendarstellung von M(𝔸), die trivial ist auf A_{M}(ℝ)^{0}. Dabei ist π_{v} eine irreduzible unitäre Darstellung der lokalen Gruppe G(ℚ_{v}). Für λ ∈ 𝔞_{M,ℂ}^{∗} sei π_{λ} die Darstellung von M(𝔸), die definiert ist durch π_{λ}(m) = π(m) exp(λ(H_{M}(m)). Da M(𝔸) = P (𝔸)/N(𝔸) ist, können wir π_{λ} zu einer Darstellung von P (A) fortsetzen. Es sei

I_{P}^{G}(π, λ) = Ind_{P (𝔸)}^{G(𝔸)}(π_{λ})

die induzierte Darstellung. Wir realisieren I_{P}^{G}(π, λ) in einem von λ unabhängigen Hilbertraum H_{P} (π). Es sei H_{P}^{0} (π) ⊂ H_{P} (π) der Unterraum der K-endlichen Vektoren. Wir nehmen an, daß ϕ im Raum H_{P}^{0} (π) liegt. Dann ergibt sich für den konstanten Term

\begin{matrix}∫_{N′(ℚ)\N′(𝔸)} E(ϕ, λ, & n′g)dn′ = ϵ_{P,P′}ϕ(g)e^{(λ+ρ_{P})(H_{P} (g))} \\ + (M(w, π, λ)ϕ)(g)e^{(wλ+ρ_{P′})(H_{P′}(g))}. \end{matrix} (2.11)

Dabei ist ϵ_{P,P′} ∈ {0, 1}, w : 𝔞_{M} → 𝔞_{M′} ein Isomorphismus, der durch Einschränkung auf 𝔞_{M} von Ad(y) für ein y ∈ G(ℚ) definiert ist, und

M(w, π, λ) : H_{P}^{0} (π) → H_{P′}^{0}(π^{w})  (2.12)

ist der Verkettungsoperator der induzierten Darstellungen I_{P}^{G}(π, λ) und I_{P′}^{G}(π^{w}, wλ). Die Untersuchung des konstanten Terms ist damit auf die Untersuchung des Verkettungsoperators zurückgeführt. Es sei π_{v} eine irreduzible unitäre Darstellung von M(ℚ_{v}) und

I_{P}^{G}(π_{v}, λ) = Ind_{M(ℚ_{v})N(ℚ_{v})}^{G(ℚ_{v})}(π_{v} ⊗ exp(λ(H_{P_{v}}(·)) ⊗ 1)

die von π_{v} induzierte Darstellung. Dann ist

I_{P}^{G}(π, λ) ≅ ⊗_{v}I_{P}^{G}(π_{v}, λ).

Es existiert eine endliche Menge S von Stellen, die ∞ enthält, so daß π_{v} für alle v ∉ S unverzweigt ist. Dies bedeutet, daß π_{v} einen von Null verschiedenen Vektor hat, der invariant ist unter der maximal kompakten Untergruppe M(ℤ_{v}) von M(ℚ_{v}). Für alle v ∉ S existiert dann eine eindeutig bestimmte Funktion ϕ_{v}^{0} im Hilbertraum von I_{P}^{G}(π_{v}, λ), die K_{v}-invariant ist und die durch ϕ_{v}^{0}(e_{v}) = 1 normiert ist. Es sei ϕ̃_{v}^{0} die entsprechende Funktion im Raum der induzierten Darstellung I_{P}^{G}(π_{v}^{w}, wλ). Wir wählen jetzt ϕ so, dass ϕ = ⊗_{v}ϕ_{v}, wobei ϕ_{v} im Raum von I_{P}^{G}(π_{v,λ}) liegt und ϕ_{v} = ϕ_{v}^{0} für alle v ∉ S gilt. Dann ist

M(w, π, λ)ϕ = ⊗_{v}(M(w, π_{w}, λ)ϕ_{v}),  (2.13)

wobei M(w, π_{v}, λ)ϕ der Verkettungsoperator der induzierten Darstellungen I_{P}^{G}(π_{v}, λ) und I_{P}^{G}(π_{v}^{w}, wλ) ist. Außerdem existiert für alle v ∉ S eine Funktion m(w, π_{v}, λ) mit

M(w, π_{v}, λ)ϕ_{v}^{0} = m(w, π_{v}, λ)ϕ̃_{v}^{0}.  (2.14)

Dies ist Langlands L-Faktor an der Stelle v. Um den L-Faktor genauer zu beschreiben, benötigen wir den Begriff der L-Gruppe. Es sei H eine reduktive algebraische Gruppe, die über ℚ definiert ist und die über ℚ zerfällt. Einer solchen Gruppe ist in kanonischer Weise eine komplexe reduktive Liesche Gruppe^{L}H^{0}, die ”L-Gruppe von H”, zugeordnet [L]. Die Konstruktion erfolgt mit Hilfe des dualen Wurzelsystems. Beispiele sind in der folgenden Tabelle enthalten.

H  ^{L}H^{0}
GL_{n}  GL_{n}(ℂ)
SL_{n}  PGL_{n}(ℂ)
PGL_{n}  SL_{n}(ℂ)
Sp_{2n} SO_{2n+1}(ℂ)
SO_{2n+1} Sp_{2n}(ℂ)

Für p < ∞ können die unverzweigten Darstellungen π_{p} von H(ℚ_{p}) durch halbeinfache Konjugationsklassen {t(π_{p})} in ^{L}H^{0} parametrisiert werden. Auf Grund unserer Annahme über G ist M eine reduktive algebraische Gruppe, die über ℚ definiert ist und die über ℚ zerfällt. Für p ∉ S sei {t(π_{p})} die Konjugationsklasse in ^{L}M^{0}, die π_{p} entspricht. Es existieren nun endlichdimensionale komplexte Darstellungen r_{1} …, r_{m} von ^{L}M^{0}, so daß für alle p ∉ S gilt:

m(w, π_{p}, λ) = ∏_{i=1}^{m} det (Id −r_{i}(t(π_{p}))p^{−(λ(α̌)+1)}) ; det (Id −r_{i}(t(π_{p}))p^{−λ(α̌)})  (2.15)

wobei α die einfache Wurzel von (P, A_{M}) und α̌ ∈ 𝔞_{M} die zu α duale Wurzel ist. Für eine beliebige endlichdimensionale Darstellung r von LM^{0} sei

L_{S}(s, π, r) = ∏_{p∉S} det(Id −r(t(π_{p}))p^{−s})^{−1}.  (2.16)

Dann folgt aus (2.13) - (2.16)

M(w, π, λ)ϕ = ∏_{i=1}^{m} \frac{L_{S}(λ(α̌), π, r_{i})}{L_{S}(λ(α̌) + 1, π, r_{i})} ⊗_{v∈S} (M(w, π_{v}, λ)ϕ_{v}) ⊗_{v∉S} ϕ̃_{v}. (2.17)

Da E(ϕ, λ, g) eine meromorphe Funktion von λ ∈ 𝔞_{M,ℂ}^{∗} ist, folgt, daß auch (2.17) eine meromorphe Funktion von λ ∈ 𝔞_{M,ℂ}^{∗} ist. Diesen Umstand kann man nun benutzen, um zu zeigen, daß die entsprechenden partiellen L-Funktionen eine meromorphe Fortsetzung besitzen [L], [GS1].

3. Automorphe L-Funktionen

Die obige Berechnung des konstanten Termes von Eisensteinschen Reihen war der Ausgangspunkt, der Langlands [L], [L2] zu seiner allgemeinen Definition einer automorphen L-Funktion und den damit verbundenen Vermutungen veranlaßt hat. Bisher haben wir nur den Fall einer über ℚ zerfallenden reduktiven algebraischen Gruppe betrachtet. Für eine beliebige reduktive algebraische Gruppe über ℚ (oder allgemeiner einem Zahlkörper) muß der Begriff der L-Gruppe erweitert werden. Die bisherige L-Gruppe ^{L}G^{0} wird ersetzt durch

LG = ^{L}G^{0} ⋊ Gal(\overline{ℚ}/ℚ).

Wenn G über ℚ zerfällt, so operiert Gal(\overline{ℚ}/ℚ) trivial auf ^{L}G^{0} und wir können ^{L}G durch ^{L}G^{0} ersetzen. Ein allgemeinerer Fall ist der einer über ℚ quasizerfallenden Gruppe, die über einer endlichen Galois-Erweiterung F von ℚ zerfällt. Dann betrachten wir die endliche Form der L-Gruppe

LG = ^{L}G^{0} ⋊ Gal(F/ℚ).

Dies ist dann eine komplexe Liesche Gruppe. Dann gilt für fast alle Primstellen p, daß G über ℚ_{p} quasi-zerfallend ist und über der unverzweigten Erweiterung F_{𝔭} für ein 𝔭|p zerfällt. Es sei F r_{p} ∈ Gal(F_{𝔭}/ℚ_{p}) der Frobeniusautomorphismus. Dann entsprechen die unverzweigten Darstellungen π_{p} von G(ℚ_{p}) eineindeutig den ^{L}G^{0}-halbeinfachen Konjugationsklassen t(π_{p}) × F r_{p} in

LG(ℚ_{p}) = ^{L}G^{0} ⋊ Gal(F_{𝔭}/ℚ_{p}).

Eine endlichdimensionale Darstellung von ^{L}G ist ein stetiger Homomorphismus

r : ^{L}G → GL_{n}(ℂ),

so daß die Einschränkung auf ^{L}G^{0} komplex analytisch ist. Definition 3.1. Es sei π = ⊗_{v}π_{v} eine automorphe Darstellung von G(𝔸) und S sei eine endliche Menge von Stellen mit ∞ ∈ S, so daß π_{p} unverzweigt ist für alle p ∉ S. Für eine endlichdimensionale komplexe Darstellung von ^{L}G sei

L_{p}(s, π, r) = det(Id −r(t(π_{p}))p^{−s})^{−1}, p ∉ S,

und

L_{S}(s, π, r) = ∏_{p∉S} L_{p}(s, π, r).

Dies ist die allgemeine Form einer automorphen L-Funktion. Wenn G = GL_{n} und r die Standarddarstellung von ^{L}G^{0} = GL_{n}(ℂ) ist, so kann L_{S}(s, π, r) durch entsprechende Faktoren L_{p}(s, π, r) an den endlichen Stellen p ∈ S ergänzt werden und die komplettierte L-Funktion L(s, π, r) ist gerade die Standard L-Funktion L(s, π) für GL_{n}. Diese L-Funktion besitzt eine meromorphe Fortsetzung und genügt einer Funktionalgleichung. Im allgemeinen ist wenig bekannt über die Existenz einer analytischen Fortsetzung. Zwei der grundlegenden Vermutungen von Langlands [L] sind dann die folgenden. Vermutung A: Es sei π eine automorphe Darstellung von G(𝔸) und r eine endlichdimensionale Darstellung von ^{L}G. Dann besitzt L_{S}(s, π, r) eine meromorphe Fortsetzung auf ganz ℂ mit endlich vielen Polen und genügt einer Funktionalgleichung, die L_{S}(s, π, r) und L_{S}(1 − s, π̃, r) verknüpft. Bemerkung: Die Existenz einer genauen Funktionalgleichung bedeutet insbesondere, daß die lokalen L-Faktoren L_{p}(s, π, r) auch an den Stellen p ∈ S definiert werden können. Vermutung B: (Funktorialitätsprinzip) Es seien G und G′ reduktive algebraische Gruppen über ℚ, die quasizerfallend sind. Sei ρ : ^{L}G → LG′ ein L-Homomorphismus. Dann existiert für jede automorphe Darstellung π von G eine automorphe Darstellung π′ von G′ und eine endliche Menge S von Stellen mit ∞ ∈ S, so daß

ρ{(t(π_{p})}) = {t(π′_{p})}

für alle p ∉ S. Insbesondere gilt für eine Darstellung r : ^{L}G → GL_{n}(ℂ)

L_{S}(s, π′, r) = L_{S}(s, π, r ∘ ρ).  (3.1)

Es sei G beliebig und G′ = GL_{n}. Dann ist ^{L}G′ = GL_{n}(ℂ). Es sei ρ : ^{L}G → GL_{n}(ℂ) ein Homomorphismus von L-Gruppen und r_{0} : LG′ = GL_{n}(ℂ) → GL_{n}(ℂ) die Standarddarstellung. Dann folgt aus (3.1)

L_{S}(s, π′, r_{0}) = L_{S}(s, π, ρ).

Die L-Funktion auf der linken Seite ist die Standard L-Funktion für GL_{n} und hat daher eine analytische Fortsetzung. Damit impliziert Vermutung B die Vermutung A. Unter der Annahme, daß die obigen Vermutungen richtig sind, wird man in natürlicher Weise auf weitergehende Vermutungen über die analytischen Eigenschaften von L-Funktionen geführt [IS], [Sa1]. Da nach Vermutung B jede L-Funktion mit einer Standard L-Funktion für GL_{n} übereinstimmt, genügt es, die Standard L-Funktionen L(s, π) für Spitzendarstellungen π von GL_{n}(𝔸) zu betrachten. Als erstes erwartet man, daß die Verallgemeinerung der Riemannschen Vermutung für alle L-Funktionen gilt. Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung: Es sei π eine automorphe Spitzendarstellung von GL_{n}(𝔸). Dann liegen alle Nullstellen der vervollständigten Standard L-Funktion

Λ(s, π) := L(s, π_{∞})L(s, π)

auf der Geraden Re(s) = 1/2. Für diese Vermutung gilt natürlich erst recht, was für die Riemannsche Vermutung gesagt wurde. Rudnick und Sarnak haben in [RS] gezeigt, daß unter Annahme dieser Vermutung die komplexen Nullstellen das gleiche statistische Verhalten aufweisen wie die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, d.h., die Verteilung der Abstände aufeinanderfolgender Nullstellen scheint dem GUE Gesetz für Abstände der Eigenwerte großer zufälliger Hermitescher Matrizen zu folgen. Wesentlich realistischer als die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung ist die Frage nach der Existenz von nullstellenfreien Bereichen, d.h., einer Verallgemeinerung von (1.5). Auf Grund einer privaten Mitteilung von P. Sarnak ist es eventuell möglich, dies für diejenigen automorphen L-Funktionen zu beweisen, die in den konstanten Termen von cuspidalen Eisensteinschen Reihen zu maximal parabolischen Gruppen auftreten. Eine weitere wichtige Vermutung ist die folgende. Verallgemeinerte Ramanujansche Vermutung: Es sei π eine automorphe Spitzendarstellung von GL_{n}(𝔸). Es sei v eine Stelle, so daß π_{v} unverzweigt ist und es seien α_{j,π}(v) bzw. μ_{j}(π_{∞}) die Parameter, die durch die lokalen L-Faktoren bestimmt werden. Dann gilt

|α_{j,π}(v)| = 1, v < ∞; Re(μ_{j}(π_{v})) = 0, v = ∞.

Diese Vermutung hat ebenfalls eine ganze Reihe von Konsequenzen, unter anderem auch für die Spektraltheorie. Für die weitere Diskussion dieser Vermutung und weiterer Vermutungen verweisen wir auf [IS], [Sa1].

4. Automorphe Formen und Streutheorie

In der Spektraltheorie der automorphen Formen handelt es sich im einfachsten Fall um die Untersuchung der Spektralzerlegung des Laplace-Operators (0.2) auf einer hyperbolischen Fläche Γ\ℍ, die nicht kompakt ist, aber endlichen Flächeninhalt hat. Das Standardbeispiel ist die Modulfläche SL_{2}(ℤ)\ℍ. Die Eisensteinschen Reihen spielen dabei die Rolle der verallgemeinerten Eigenfunktionen für Δ. Es existiert also ein stetiges Spektrum und damit ”Streuzustände”. Von Gelfand wurde zuerst bemerkt, daß es in der Spektraltheorie des Laplace-Operators Δ auf Γ\ℍ viele Analogien zur Spektraltheorie eines eindimensionalen Schrödinger-Operators −d^{2}/dx^{2} + V (x) auf ℝ^{+} gibt. Faddejev hat dies in [Fa] genauer untersucht, und zwar hat er Methoden der stationären Streutheorie angewendet, um die Spektralzerlegung des Laplace-Operators Δ auf Γ\ℍ zu studieren. Insbesondere wurden dabei der Resolventenkern und die Eisensteinschen Reihen analytisch fortgesetzt. Die Streutheorie für automorphe Formen wurde in Arbeiten von Faddejev, Pavlov [FP] und Lax, Phillips [LP] weiterentwickelt. Diesen Arbeiten liegt die Lax-Phillips-Streutheorie zugrunde. Dabei handelt es sich um den dynamischen Zugang zur Streutheorie. Colin de Verdiere hat in [CV] eine sehr einfache Methode zur analytischen Fortsetzung gefunden. Diese Methode wurde in [Mu1] verallgemeinert und zur Untersuchung von Singulariäten Eisensteinscher Reihen für allgemeine reduktive Gruppen angewendet. Daraus ergeben sich wichtige Konsequenzen für die Spektraltheorie im Falle von Gruppen höheren Ranges [Mu1], [Mu2]. Der Zusammenhang zwischen automorphen Formen und Streutheorie ergibt sich wie folgt. Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß die Fläche X = Γ\ℍ nur eine Spitze hat, die in ∞ liegt. Dann hat X eine Zerlegung der Form

X = X_{0} ∪ Y,  (4.1)

wobei X_{0} eine kompakte Riemannsche Fläche mit Rand ist und Y ≅ S^{1} × [1, ∞). Es sei H die selbstadjungierte Erweiterung von

Δ : C_{0}^{∞}(Γ\ℍ) → L^{2}(Γ\ℍ).

Weiter sei H_{0} die selbstadjungierte Erweiterung von

Δ_{0} := −y^{2} \frac{d^{2}}{dy^{2}} : C_{0}^{∞} ((1, ∞)) → L^{2} ((1, ∞), y^{−2}dy) ,

die wir durch die Wahl Dirichletscher Randbedingungen erhalten. Wir identifizieren L^{2}((1, ∞), y^{−2}dy) mit einem Unterraum von L^{2}(X) und setzen (H_{0} + Id)^{−2} zu einem Operator in L^{2}(X) fort, indem wir den Operator im orthogonalen Komplement von L^{2}((1, ∞), y^{−2}dy) gleich Null setzen. Dann kann man zeigen, daß

(H + Id)^{−2} − (H_{0} + Id)^{−2}

ein Operator der Spurklasse ist. Damit können wir (H, H_{0}) als ein ”quantenmechanisches Streusystem” auffassen. H_{0} ist dabei der freie Hamiltonoperator. Das zugrunde liegende klassische System ist der geodädische Fluss auf der Fläche X. Aus dem Invarianzprinzip für Wellenoperatoren von Birman und Krein [Ka] folgt, dass die Wellenoperatoren

W_{±} = s − lim_{t→±∞} e^{itH}Je^{−itH_{0}}

existieren und vollständig sind. Dies bedeutet, dass H_{0} und der absolut stetige Teil von H unitär äquivalent sind. Damit ist das stetige Spektrum von Δ vollständig bekannt. Der Streuoperator ist definiert als

S = W_{−}^{∗} ∘ W_{+}.

Es sei {E_{0}(λ)} die Spektralfamilie von H_{0}. Dann ist

S = ∫_{1/4}^{∞} S(λ) dE_{0}(λ),

und S(λ) ist die Streumatrix zur Energie λ. Im vorliegenden Fall ist S(λ) eine Funktion. Für eine Fläche Γ\ℍ mit m Spitzen ist S(λ) eine m × m Matrix. Die Streumatrix S(λ) hängt mit der Matrix C(s), die durch die konstanten Terme (2.5) der Eisensteinschen Reihen bestimmt wird, zusammen durch

S (\frac{1}{4} + λ^{2}) = C (\frac{1}{2} + iλ) , λ ∈ ℝ.

Die Matrix C(s) ist die Streumatrix im Sinne der stationären Streutheorie, und zwar im folgenden Sinne. Man kann y^{1/2+it} als einlaufende ebene Welle betrachten. Die Wechselwirkung mit dem kompakten Teil X_{0} wird durch die verallgemeinerte Eigenfunktion E(z, 1/2 + it) beschrieben. Für y → ∞ ist

E(z, 1/2 + it) = y^{1/2+it} + c(1/2 + it)y^{1/2−it} + O(e^{−cy}).

Dabei kann man y^{1/2−it} als auslaufende ebene Welle ansehen und die Funktion c(1/2 + it) als den Reflektionskoeffizienten. Die stationäre Streutheorie führt auf die analytische Fortsetzung des Resolventenkernes und der verallgemeinerten Eigenfunktionen. Daraus ergibt sich auch die analytische Fortsetzung der Streumatrix. Die Pole der Streumatrix nennt man in der Physik ”Resonanzen”. Auf Grund von (2.4) sind die Resonanzen für Γ = SL_{2}(ℤ) gerade die komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Aus den Methoden der stationären Streutheorie gewinnt man auch neue Resultate über die analytischen Eigenschaften von Eisensteinschen Reihen und damit auch von automorphen L-Funktionen. In [Se] hat Selberg eine Fredholmsche Integralgleichung benutzt, um die Eisensteinschen Reihen E_{i}(z, s), i = 1, ..., m, für eine Fuchssche Gruppe 1. Art analytische fortzusetzen. In der Integralgleichung wird dabei die Greensche Funktion verwendet. Aus Selbergs Methode folgt außerdem, daß sich E_{i}(z, s) darstellen läßt als

E_{i}(z, s) = \frac{u_{i}(z, s)}{φ_{i}(s)},  (4.2)

wobei u_{i}(z, s) und φ_{i}(s) ganze Funktionen in s der Ordnung ≤ 4 sind. Analoge Methoden wurden von Colin de Verdiere [CV] und in [Mu3] entwickelt. Beide Methoden beruhen darauf, daß die Eisensteinschen Reihen E_{i}(z, s), i = 1, ..., m, die eindeutig bestimmten Lösungen der Differentialgleichung

ΔE_{i}(z, s) = s(1 − s)E_{i}(z, s)

sind, die in der j-ten Spitze für y_{j} → ∞ die Asymptotik

E_{i}((x_{j}, y_{j}), s) = δ_{ij}y_{j}^{s} + C_{ij}(s)y_{j}^{1−s} + O(e^{−cy_{j}})

haben. Wir nehmen wieder an, daß X nur eine Spitze hat. Es sei f ∈ C^{∞}(ℝ) mit f(y) = 1 für y ≥ 3 und f(y) = 0 für y ≤ 2. Für s ∈ ℂ betrachten wir fy^{s} als C^{∞}-Funktion auf Y. Es sei

h(s) := (Δ − s(1 − s))(fy^{s}).

Dann ist h(s) ∈ C_{0}^{∞}(Y). Wir setzen h(s) durch Null zu einer C^{∞}- Funktion auf X fort. Dann ist h(s) ∈ C_{0}^{∞}(Y). Aus der obigen Charakterisierung der Eisensteinschen Reihen folgt leicht, daß

E(z, s) = fy^{s} − (\overline{Δ} − s(1 − s))^{−1}(h(s)), Re(s) > 1. (4.3)

Diese Formel reduziert die analytische Fortsetzung der Eisensteinschen Reihe auf die analytische Fortsetzung der Resolvente als Operator in geeigneten Banachräumen. In [Mu3] werden dazu gewichtete L^{2}-Räume benutzt. Die Methode von Colin de Verdiere verwendet den an der Stelle a > 1 ”abgeschnittenen Laplace-Operator” Δ_{a}, der rein diskretes Spektrum hat. Es sei H_{a}^{1}(X) ⊂ H^{1}(X) der Unterraum, der aus allen Funktionen besteht, deren nullter Fourierkoeffizient auf [a, ∞) verschwindet. Dann ist Δ_{a} der selbstadjungierte Operator, der die quadratische Form

f ∈ H_{a}^{1}(X) ⟼∥ df ∥^{2}

repräsentiert. Aus dieser Methode ergibt sich ebenfalls, daß sich die Eisensteinschen Reihen und die Streumatrix als Quotienten ganzer Funktionen der Ordnung ≤ 4 darstellen lassen. Die hier beschriebenen Methoden benutzen nicht, daß X eine hyperbolische Fläche ist. Wesentlich ist nur die hyperbolische Struktur der Enden. Wir können den kompakten Teil X_{0} in (4.1) durch eine beliebige kompakte Fläche mit Rand S^{1} und eine beliebige Riemannsche Metrik auf X_{0} ersetzen, die in einer Umgebung des Randes mit der hyperbolischen Metrik übereinstimmt. Den Laplaceoperator auf der entsprechenden vollständigen Fläche kann man als ein geometrisches Pendant zum Schrödinger-Operator −d^{2}/dx^{2} + V (x) in ℝ^{+} mit V ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{+}) ansehen. Die Spektraltheorie für Δ läßt sich völlig ananlog zum Fall einer hyperbolischen Fläche entwickeln [Mu4]. Bisher haben wir nur den Fall des Laplace-Operators auf einer hyperbolischen Fläche betrachtet. Methoden der stationären Streutheorie können aber auch in gewissem Umfang zur Untersuchung der Spektralzerlegung des Laplace-Operators auf höherdimensionalen lokal symmetrischen Räumen Γ\G/K von endlichem Volumen eingesetzt werden.

Das betrifft insbesondere lokal symmetrische Räume vom Rang 1. Ein typisches Beispiel hierfür sind Hilbertsche Modulmannigfaltigkeiten. Eine solche Mannigfaltigkeit ist von der Form

Γ\(ℍ × ⋯ × ℍ),

wobei das kartesische Produkt aus n Exemplaren der oberen Halbebene besteht und Γ ⊂ SL_{2}(ℝ)^{n} eine Hilbertsche Modulgruppe ist. Eine Hilbersche Modulgruppe ist assoziiert mit einem total reellen Zahlkörper F vom Grade n. Es sei O_{F} der Ring der ganzen algebraischen Zahlen in F. Weiter seien α ↦ α^{(i)} ∈ ℝ, i = 1, ..., n, die verschiedenen Einbettungen von F in ℝ. Die Einbettung

(\begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix}) ∈ SL_{2}(O_{F}) ↦ ((\begin{matrix}α^{(1)} & β^{(1)} \\ γ^{(1)} & δ^{(1)} \end{matrix}) , ..., (\begin{matrix}α^{(n)} & β^{(n)} \\ γ^{(n)} & δ^{(n)} \end{matrix})) ∈ SL_{2}(ℝ)^{n}

bildet SL_{2}(O_{F}) isomorph auf eine diskrete Untergruppe Γ ab. Die Spektraltheorie für den Rang 1 Fall wurde in [Mu5] entwickelt. Die Enden eines lokal symmetrischen Raumes vom Rang 1 haben die Struktur einer gefaßerten Spitze. Ein typisches Beispiel eines lokal symmetrischen Raumes von höherem Rang ist

SL_{n}(ℤ)\ SL_{2}(ℝ)/SO(n), n ≥ 3.

Im Falle höheren Ranges ist es bisher nur möglich, einen bestimmten Teil des stetigen Spektrums mit Methoden der Streutheorie zu behandeln, und zwar kann man durch Verallgemeinerung der Methode von Colin de Verdiere alle Eisensteinschen Reihen, die zu Spitzenformen bezüglich maxiamal parabolischer Gruppen gehören, analytisch fortsetzen. Wir gehen darauf etwas ausführlicher ein. Es sei G eine reduktive algebraische Gruppe, die über ℚ definiert ist. Wir fixieren eine maximal kompakte Untergruppe K ⊂ G(𝔸). Es sei P ⊂ G eine maximale parabolische Untergruppe, die über ℚ definiert ist, mit Levi-Komponente M. A_{0}^{2}(P) sei der in §3 definierte Raum der automorphen Spitzenformen. In [Mu1] wurde die Methode von Colin de Verdiere so verallgemeinert, daß damit alle Eisensteinschen Reihen der Form

E(ϕ, λ, g), ϕ ∈ A_{0}^{2}(P),

analytisch fortgesetzt werden können. Es sei α die einfache Wurzel von (P, A_{M}) und α̃ = ⟨ρ_{P} , α⟩^{−1}ρ_{P}. Dann hängt E(ϕ, λ, g) nur von λ ∈ ℂα̃ ab. Es sei

E(ϕ, s, g) := E(ϕ, sα̃, g).

Aus obiger Methode der analytischen Fortsetzung ergibt sich folgende Verallgemeinerung von Selbergs Resultat (4.2).

Satz 4.1. Es sei n = dim G(ℝ)/K_{∞}. Für alle ϕ ∈ A_{0}^{2}(P) existieren ganze Funktionen Ẽ(ϕ, s, g) und h(s) der Ordnung ≤ n + 2, so daß

E(ϕ, s, g) = \frac{Ẽ(ϕ, s, g)}{h(s)}, s ∈ ℂ.

Mittels Langland’s Theorie der residualen Eisensteinschen Reihen [L] wurde dies in [Mu2] auf Eisensteinsche Reihen zu beliebigen P und ϕ ∈ A^{2}(P) verallgemeinert. Es sei π eine automorphe Spitzendarstellung von M(𝔸) und

M(w, π, s) := M(w, π, sα̃),

wobei M(w, π, λ) der Verkettungsoperator (2.12) ist. Es sei ϕ ∈ H_{P}^{0} (π), ϕ = ⊗_{v}ϕ_{v}. Dann folgt aus (2.11) und Satz 4.1, daß M(w, π, s)ϕ ebenfalls der Quotient von zwei ganzen Funktionen der Ordnung ≤ n + 2 ist. Auf Grund von (2.17) hat dies Konsequenzen für die automorphen L- Funktionen, die im Verkettungsoperator auftreten. Dies wurde von Gelbart und Shahidi in [GS] genauer untersucht. Es sei G quasizerfallend und π sei eine generische Spitzendarstellung von M(𝔸) (siehe [Sh1] für die Definition von ”generisch”). Es seien r_{i} : ^{L}M → GL_{n_{i}}(ℂ) die Darstellungen, die in (2.17) auftreten und es seien L_{S}(s, π, r_{i}) die entsprechenden L-Funktionen. Shahidi [Sh1] hat gezeigt, daß für generische π lokale L-Faktoren L_{p}(s, π, r_{i}) an den verzweigten Stellen p ∈ S existieren. Es sei

L(s, π, r_{i}) = ∏_{p∈S} L_{P} (s, π, r_{i}) · L_{S}(s, π, r_{i})

die vervollständigte L-Funktion. Weiterhin können die lokalen Verkettungsoperatoren M(w, π_{v}, s) durch die lokalen L-Faktoren und ϵ-Faktoren normalisiert werden [Sh1]. Dann haben Gelbart und Shahidi [GS] folgenden Satz bewiesen. Satz 4.2. Die normalisierten lokalen Verkettungsoperatoren seien für v ∈ S ungleich Null und holomorph für Re(s) ≥ 1/2. Dann haben die L-Funktionen L(s, π, r_{i}), i = 1, ...m, nur endlich viele Pole und sind meromorphe Funktionen der Ordnung 1. Es sei N(T) die Anzahl der Nullstellen von L(s, π, r_{i}) im Streifen 0 ≤ Re(s) ≤ 1, | Im(s)| ≤ T. Dann folgt, daß c > 0 existiert, so daß

N(T) ≤ cT log T.  (4.4)

Auf Grund von (2.17) ergibt dies für die Anzahl der Polstellen des Verkettungsoperators in H_{P} (π)^{K} eine analoge Abschätzung. In [Mu1] wurden gröbere, aber allgemeingültige Abschätzungen für die Anzahl der Pole bewiesen. Eine Abschätzung der Form (4.4) kann man nur für arithmetische Gruppen Γ erwarten. Wir bezeichnen mit R die rechtsreguläre Darstellung von G(𝔸) im Hilbertraum L^{2}(Z(ℝ)^{0}G(ℚ)\G(𝔸)) und es sei R^{d} die Einschränkung von R auf den Unterraum, der von allen irreduziblen Teildarstellungen von R aufgespannt wird. Für f ∈ C_{0}^{∞}(G(𝔸)) sei

R^{d}(f) = ∫_{G(𝔸)} f(g)R^{d}(g) dg.

Dann folgt aus den in [Mu1] bewiesenen Resultaten über die Pole der Eisensteinschen Reihen folgendes Theorem. Theorem 4.3. Für alle K-endlichen f ∈ C_{0}^{∞}(G(𝔸)) ist R^{d}(f) ein Operator der Spurklasse. In [Mu6], und unabhängig von Ji in [Ji], wurde dies auf alle Funktionen f ∈ C_{0}^{∞}(G(𝔸)) verallgemeinert. Theorem 4.3 ist von Bedeutung für die Arthur-Selbergsche Spurformel, die wir im nächsten Abschnitt behandeln.

5. Spurformel und Existenz von Spitzenformen

Die Spurformel ist gegenwärtig eines der wichtigsten Hilfsmittel, um Probleme in der Theorie der automorphen Formen und L-Funktionen anzugreifen. Insbesondere hofft man, daß man mit Hilfe der Spurformel das Funktorialitätsprinzip, d.h., Vermutung B allgemein beweisen kann. Darüber hinaus sind viele andere Anwendungen der Spurformel zu erwarten wie z.B. Anwendungen auf die Untersuchung der Feinstruktur des diskreten Spektrums und der Existenz von automorphen Formen. Die Idee der Spurformel geht auf Selberg zurück [Se], [Se1], der sie für die Gruppe SL_{2}(ℝ) entwickelt hat. Arthur [A1],[A2], hat die Spurformel auf allgemeine reduktive Gruppen verallgemeinert. Allerdings gibt es bei der Arthurschen Spurformel gegenwärtig noch eine Reihe analytischer Probleme und die Spurformel hat noch nicht die explizite Form der Selbergschen Spurformel für SL_{2}(ℝ) erreicht. Die Arthursche Spurformel wird zur Zeit in erster Linie zum Vergleich von Spurformeln für unterschiedlich Gruppen G im Zusammenhang mit dem Funktorialitätsprinzip angewendet. Arthur und Clozel [AC] haben z.B. mit Hilfe der Spurformel die Existenz von Basiswechsel für zyklische Erweiterungen eines Zahlkörpers im Falle von GL_{n} bewiesen. Wir betrachten zuerst den Fall G = SL_{2}(ℝ). Es sei Γ ⊂ SL_{2}(ℝ) eine Fuchssche Gruppe 1. Art. Die Anzahl der Spitzen von Γ\ℍ sei m. Es sei Δ der hyperbolische Laplace-Operator. Wir fassen Δ auf als unbeschränkten Operator in L^{2}(Γ\ℍ) mit dem Definitionsbereich C_{0}^{∞}(Γ\ℍ). Es sei \overline{Δ} die selbstadjungierte Erweiterung von Δ. Das Spektrum von \overline{Δ} besteht aus dem Punktspektrum σ_{p}(\overline{Δ}) und dem absolut stetigen Spektrum σ_{ac}(\overline{Δ}). Nach Selberg [Se] gilt

σ_{ac}(\overline{Δ}) = [1/4, ∞),  (5.1)

wobei jeder Punkt die Vielfachheit m hat. Das Punktspektrum besteht aus Eigenwerten endlicher Vielfachheit

0 = λ_{0} < λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ ⋯

mit ∞ als den einzig möglichen Häufungspunkt. Die zugehörigen Eigenfunktionen sind die Maaßschen automorphen Funktionen. Es ist sehr wenig über das Punktspektrum bekannt. Selbst für die Gruppe SL_{2}(ℤ) wurde bisher kein Eigenwert explizit angegeben. Die Existenz von Maaßschen automorphen Spitzenfunktionen ist nach wie vor mysteriös. Man erwartet, daß Spitzenformen im wesentlichen nur für arithmetische Gruppen Γ existieren. Dies wird wesentlich unterstützt durch die Arbeit von Phillips und Sarnak [PS]. Auf Grund von (5.1) sind alle Eigenwerte λ ≥ 1/4 eingebettet in das stetige Spektrum. Wie aus der mathematischen Physik bekannt ist, sind eingebettete Eigenwerte sehr instabil gegenüber Störungen. Colin de Verdiere [CV1] hat gezeigt, daß für eine generische Störung der hyperbolischen Metrik der Laplace-Operator für diese Metrik keine eingebetteten Eigenwerte hat. Bei ”Einschalten” der Störung gehen die Eigenwerte in Resonanzen über. Aus diesem Grund können allgemeine Methoden zur Untersuchung von Eigenwerten elliptischer Operatoren auf kompakten Mannigfaltigkeiten nicht angwendet werden. Eine Methode zur Untersuchung des diskreten Spektrums ist die Selbergsche Spurformel. Für λ ≥ 0 sei

N(λ) = #{j | λ_{j} ≤ λ}.

Dann gilt

lim sup_{λ→∞} \frac{N(λ)}{λ} ≤ \frac{Area(Γ\ℍ)}{4π}  (5.2)

[CV1], [Do]. Für f ∈ S(ℝ) sei f(Δ) mittels Spektralsatz definiert. Es sei L_{p}^{2}(Γ\ℍ), der Unterraum von L^{2}(Γ\ℍ), der von den Eigenfunktionen von \overline{Δ} aufgespannt wird. Dann folgt aus (5.2), daß

f(Δ)_{p} := f(Δ) ↾ L_{p}^{2}(Γ\ℍ)

ein Operator der Spurklasse ist und die Spur gegeben ist durch

Tr(f(Δ)_{p}) = ∑_{j} f(λ_{j}),

wobei die Reihe auf der rechten Seite absolut konvergiert. Der Inhalt der Spurformel ist es nun, diese Spur auf anderem Wege zu berechnen. Dazu bemerken wir zuerst, daß f(Δ) ein Integraloperator mit einem C^{∞}-Kern K(z_{1}, z_{2}) ist. Dieser Kern kann wie folgt beschrieben werden. Es sei h ∈ C^{∞}(G) die sphärische Fouriertranformation von f. Dann ist h biinvariant unter K = SO(2). Es sei f so gewählt, daß der Träger von h kompakt ist. Dann ist

K(g_{1}K, g_{2}K) = ∑_{γ∈Γ} h(g_{1}^{−1}γg_{2}).  (5.3)

Es seien E_{1}(z, s), ..., E_{m}(z, s) die Eisensteinschen Reihen bezüglich Γ. Weiter sei

\begin{matrix}K_{p}( & z_{1}, z_{2}) = K(z_{1}, z_{2}) \\ − \frac{1}{4π} ∑_{j=1}^{m} ∫_{−∞}^{∞} f(λ)E_{j}(z_{1}, 1/2 + iλ)E_{j}(z_{2}, 1/2 − iλ) dλ. \end{matrix} (5.4)

Dann ist K_{p}(z_{1}, z_{2}) der Integralkern von f(Δ)_{p} und es ist

Tr(f(Δ)_{p}) = ∫_{Γ\ℍ} K_{p}(z, z) dvol(z).  (5.5)

Dies ist die erste Stufe der Spurformel. Die nächste Stufe ist die Berechnung des Integrals auf der rechten Seite. Dazu verwendet man (5.3) und (5.4). Das kontinuierliche Spektrum und jede Konjugationsklasse von Γ liefern einen Beitrag zum Integral. Um die entgültige Form der Spurformel anzugeben, gehen wir mittels λ = s(1 − s) zum Spektralparameter s über. Wir schreiben also die Eigenwerte als

λ_{j} = \frac{1}{4} + r_{j}^{2},

mit r_{j} ∈ ℂ, Re(r_{j}) ≥ 1/2. Es sei f eine analytische Funktion im Streifen | Im(z)| ≤ \frac{1}{2} + δ, δ > 0, so daß gilt

f(z) = f(−z), |f(z)| ≤ C(1 + |z|)^{−2−δ}.

Es sei C(s) die Streumatrix, die durch (2.5) definiert ist und

ϕ(s) = det C(s).

Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß Γ keine Elemente endlicher Ordnung enthält. Dann ist

∑_{j} f(r_{j}) − \frac{1}{4π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{ϕ′(1/2 + ir)}{ϕ(1/2 + ir)} dr + \frac{1}{4}ϕ(1/2)f(0)

= \frac{Vol(Γ\ℍ)}{4π} ∫_{−∞}^{∞} rf(r) tanh(πr) dr

+ ∑_{\{γ\}_{Γ}} \frac{l(γ_{0})}{2 sin h (\frac{l(γ)}{2})}f̂(l(γ))

− \frac{m}{2π} ∫_{−∞}^{∞} f(r)\frac{Γ′}{Γ} (1 + ir)dr + \frac{m}{4}f(0) − m ln 2f̂(0).

(5.6)

Dabei durchläuft {γ}_{Γ} alle Γ-Konjugationsklassen von hyperbolischen Elementen γ ∈ Γ. Jede solche Konjugationsklasse bestimmt eine geschlossene Geodäte τ_{γ} auf Γ\ℍ und l(γ) bezeichnet die Länge von τ_{γ}. Jedes hyperbolische Element γ ist ein Potenz eines primitiven Elementes γ_{0}. Die linke Seite von (5.6) enhält alle Beiträge des Spektrums und wird daher ”spektrale Seite” genannt. Die rechte Seite enthält nur geometrische Daten und wird ”geometrische Seite” der Spurformel genannt. Die spektrale Seite enthält als Beitrag des kontinuierlichen Spektrums das Integral, das durch die Streumatrix gegeben ist. Um also die Spurformel zur Untersuchung des diskreten Spektrums anwenden zu können, benötigt man Informationen über die geometrische Seite und die Streumatrix. Als Beispiel betrachten wir den Wärmeleitungsoperator e^{−tΔ}, t > 0. Die entsprechende Funktion f_{t} ∈ S(ℝ), die in die Spurformel einzusetzen ist, ist gegeben durch

f_{t}(r) = e^{−(1/4+r^{2})t}.

Die entsprechende Funktion h_{t} ∈ C^{∞}(G), die den Wärmeleitungskern auf der oberen Halbebene repräsentiert, hat keinen kompakten Träger, liegt aber im Schwarz-Raum C^{1}(G) von G. Für diese Funktionen gilt die Spurformel (5.6) ebenfalls. Wir setzen f_{t} in die Spurformel ein und untersuchen das Verhalten der rechten Seite für t → 0. Als erstes betrachten wir die Beiträge der hyperbolischen Konjugationsklassen. Für die Fouriertransformation von f_{t} gilt

f̂_{t}(x) = \frac{e^{−t/4−x^{2}/4t}}{\sqrt{4πt}} .

Damit ist der hyperbolische Term gleich

H(t) := ∑_{\{γ\}_{Γ}} \frac{l(γ_{0})}{2 sin h (\frac{l(γ)}{2})} \frac{e^{−t/4−l(γ)^{2}/4t}}{\sqrt{4πt}}

und es folgt unmittelbar

H(t) = O(e^{−c/t})

für t → 0. Die restlichen Terme kann man entsprechend behandeln und erhält

\begin{aligned}∑_{j} e^{−tλj} − \frac{1}{4π} ∫_{−∞}^{∞} & e^{−(1/4+r^{2})t} \frac{ϕ′(1/2 + ir)}{ϕ(1/2 + ir)} dr \\ & = \frac{Vol(Γ\ℍ)}{4π}t^{−1} + O(t^{−1/2} log t) \end{aligned}  (5.7)

für t → 0. Für eine beliebige Gruppe Γ ist sehr wenig bekannt über die Eigenschaften der Streumatrix, so daß man aus (5.7) keine Rücklschlüsse auf die Existenz von Eigenwerten ziehen kann. Andererseits ist für Γ = SL_{2}(ℤ) die Streumatrix gegeben durch (2.4). Für die logarithmische Ableitung der Riemannschen Zetafunktion gilt bekanntlich

|\frac{ζ′(1 + ir)}{ζ(1 + ir)}| ≤ C(log |r|)^{6}, |r| ≥ 3,

[Pa]. Zusammen mit den entsprechenden Abschätzungen der logarithmischen Ableitung der Γ-Funktion folgt daraus, daß das Integral auf der linken Seite von (5.7) abgeschätzt werden kann durch Ct^{−1/2}(log t)^{6} für t ≤ 1. Daraus folgt

∑_{j} e^{−tλ_{j}} = \frac{Vol(SL_{2}(ℤ)\ℍ)}{4π}t^{−1} + O(t^{−1/2}(log t)^{6}).

Die Anwendung eines Tauberschen Satzes ergibt die Gültigkeit der Weylschen Formel für SL_{2}(ℤ):

N(λ) = \frac{Vol(SL_{2}(ℤ)\ℍ)}{4π}λ + o(λ),

die von Selberg in [Se] bewiesen wurde. Die gleiche Methode führt auf die Weylsche Formel für alle Hauptkongruenzuntergruppen Γ(N). Es sei

F = {z ∈ ℍ | | Re(z)| ≤ 1/2, |z| ≥ 1}

der Standardfundamentalbereich von SL_{2}(ℤ). Dann ist F invariant bezüglich der Abbildung T_{−1}(z) = −\overline{z}. Daher kann man die Maaßschen automorphen Funktionen in gerade und ungerade einteilen. Die Eisensteinsche Reihe (2.2) ist gerade. Deshalb hat Δ im Raum der ungeraden L_{2}-Funktionen rein diskretes Spektrum. Daher kann man die Existenz von ungeraden Spitzenfunktionen mit Standardmethoden wie z.B. dem Mini-Max-Prinzip beweisen. Für die Existenz von geraden Spitzenfunktionen existiert gegenwärtig nur die oben beschriebene Methode, die auf Anwendung der Spurformel beruht. Für eine allgemeine reduktive Gruppe G gibt es die Spurformel von Arthur [A2], die adèlisch formuliert ist und sich daher auf arithmetische Gruppen beschränkt. Im Falle höheren Ranges ist dies auf Grund der Resultate von Margulis aber keine Einschränkung. Die Spurformel von Arthur ist eine Identität von Distribution auf der Gruppe G(𝔸)^{1} der Form

∑_{χ∈𝔛}J_{χ}(f) = ∑_{𝔬∈𝔒}J_{𝔬}(f), f ∈ C_{0}^{∞}(G(𝔸)^{1}).

Die Distributionen J_{𝔬} werden parametrisiert durch halbeinfache Konjugationsklassen in G(ℚ) und sind im wesentlichen gewichtete Orbitalintegrale, d.h., diese Distributionen enthalten die geometrische Information. Die Distributionen J_{χ} sind definiert durch abgeschnittene Eisensteinsche Reihen. Sie werden parametrisiert durch die Menge der cuspidalen Daten 𝔛. Diese Menge besteht aus Orbiten unter der Weylgruppe von Paaren (M_{B}, r_{B}), wobei M_{B} die Levi-Komponente einer parabolischen Standarduntergruppe ist und r_{B} ist eine irreduzible automorphe Spitzendarstellung von M_{B}(𝔸)^{1}. In [A3] hat Arthur explizite Formeln für die Distributionen J_{χ} angegeben. Sie können ausgedrückt werden durch verallgemeinerte logarithmische Ableitungen von Verkettungsoperatoren. Es sind Verallgemeinerungen der Integrale

∫_{−∞}^{∞} f(r) Tr (\frac{d}{ds}C(1/2 + ir)C(1/2 − ir)^{−1}) dr.

Mit Hilfe der Faktorisierungseigenschaften der Verkettungsoperatoren und (2.17) führt dies auf Integrale, die logarithmische Ableitungen von automorphen L-Funktionen und Ableitungen von lokalen Verkettungsoperatoren enthalten. Die Untersuchung der Distributionen J_{χ} führt damit auf ein lokales und ein globales Problem. Das globale Problem bedeutet vor allem die Untersuchung des Verhaltens von

\frac{L′_{S}(1 + it, π, r_{j})}{L_{S}(1 + it, π, r_{j})}

für |t| → ∞, wobei L_{S}(s, π, r_{j}) automorphe L-Funktionen sind, die in den konstanten Termen der Verkettungsoperatoren auftreten. Man erwartet, daß sich die logarithmischen Ableitungen genauso verhalten wie im Falle der Riemannschen Zetafunktion. Dies bedeutet insbesondere die Existenz von nullstellenfreien Bereichen in Re(s) < 1. Das lokale Problem hängt eng mit der Ramanujan-Vermutung zusammen. Für Details verweisen wir auf [Mu7]. Die Hoffnung, daß diese Probleme lösbar sind, führt auf die Vermutung, daß die Weylsche Formel im höheren Rang Fall stets gilt. Es sei G eine halbeinfache algebraische Gruppe, die über ℚ definiert ist, und K_{∞} ⊂ G(ℝ) eine maximal kompakte Untergruppe. Es sei X = G(ℝ)/K_{∞} und Γ ⊂ G(ℝ) ein nichtuniformes Gitter. Es sei Δ der Laplace-Operator auf Γ\X bezüglich einer invarianten Metrik auf X. Es seien

0 = λ_{0} < λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ ⋯

die Eigenwerte von Δ in L^{2}(Γ\X). Sei

N(λ) = #{j | λ_{j} ≤ λ}.

In [Mu8], [Sa] wurde folgende Vermutung aufgestellt. Vermutung C: Wenn Rang_{ℝ} G > 1 ist, so ist

N(λ) = \frac{Vol(Γ\X)}{Γ(n/2 + 1)(4π)^{n/2}} λ^{n/2} + o(λ^{n/2})

für λ → ∞ und n = dim X. Bisher sind nur wenige Fälle bekannt, für die die Weylsche Formel gilt. Efrat [Ef] hat gezeigt, daß für Hilbertsche Modulmannigfaltigkeiten Γ\ℍ^{n} die Vermutung C richtig ist. S. Miller [Mi] hat dies für SL_{3}(ℤ) bewiesen.

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