FILTER, ULTRAFILTER UND EINFÜHRUNG VON ℝ^{∗}

ZIEL: Beweis der Existenz eines Erweiterungskörpers ℝ^{∗} ⊃ ℝ, der infinitesimale und unendliche Elemente enthält.

Filter und Ultrafilter für ⟨P(I), ⊆⟩ Sei I ≠ ∅ und P(I) := {A | A ⊂ I}. Eine Menge F ⊆ P(I) heißt Filter über I, falls gilt:

(1) F ≠ ∅ und ∅ ∉ F;

(2) A, B ∈ F ⟹ A ∩ B ∈ F;

(3) A ∈ F, A ⊆ B ⊆ I ⟹ B ∈ F.

Für einen Filter F über I sind äquivalent:

(1) Zu F gibt es keinen echten Oberfilter, d.h. (G Filter und F ⊆ G) ⟹ F = G;

(2) A ⊆ I → (A ∉ F ↔ I − A ∈ F).

Erfüllt F eine der Aussagen (1) oder (2), dann heißt F Ultrafilter über I. Beispiel: Sei I unendlich, k ∈ I fest und F := {A ⊆ I|k ∈ A}. Dann ist F ein Ultrafilter.

Häufig benutzte Aussagen Für jeden Filter F über I gilt:

(1) I ∈ F

(2) A, B ∈ F und A ∩ B ⊂ C ⟹ C ∈ F

Der Filter C der koendlichen Mengen Sei C := {A ⊆ ℕ | ℕ − A ist endlich } die Menge der koendlichen Teilmengen von ℕ. Dann ist C ein Filter über ℕ.

Lemma von ZORN Sei ⟨X, ≤⟩ eine partielle Ordnung, dann gilt: Jede linear geordnete Menge K ⊂ X hat eine obere Schranke ⟹ X besitzt ein maximales Element.

Existenz von Ultrafiltern Satz: Zu jedem Filter F_{0} über I existiert ein diesen Filter umfassender Ultrafilter.

Definition von ℝ^{∗} Wähle einen Ultrafilter F mit C ⊂ F. Für α, β ∈ ℝ^{ℕ} definiere die Sprechweise α(i) = β(i) f.ü. :⇔ {i ∈ ℕ | α(i) = β(i)} ∈ F.

Schreibe α ∼ β, falls α(i) = β(i) f.ü. Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation in ℝ^{ℕ}.

Für r ∈ ℝ sei r_{ℕ} ∈ ℝ^{ℕ} die konstante Folge (r, r, r, ...). Für α ∈ ℝ^{ℕ} setze

\overline{α} := \{ \begin{matrix}r, & falls ∃r ∈ ℝ α ∼ r_{ℕ} \\ \{β ∈ ℝ^{ℕ} | β ∼ α\} & sonst. \end{matrix}

Schließlich definiere ℝ^{∗} := \{\overline{α} | α ∈ ℝ^{ℕ}\}.

Es gilt:

(1) ∀α, β ∈ ℝ^{ℕ} \overline{α} = \overline{β} ⇔ α ∼ β;

(2) ∀r ∈ ℝ \overline{r_{ℕ}} = r;

(3) ℝ ⊂ ℝ^{∗}.

Struktur auf ℝ^{∗} Seien α, β ∈ ℝ^{ℕ}. Setze

\overline{α} +^{∗} \overline{β} := \overline{α + β}, \overline{α} ·^{∗} \overline{β} := \overline{α · β}

und schreibe

\overline{α} ≤^{∗} \overline{β} :⇔ \{i ∈ ℕ | α(i) ≤ β(i)\} ∈ F.

Dann sind \overline{α} +^{∗} \overline{β}, \overline{α} ·^{∗} \overline{β} und die Gültigkeit von \overline{α} ≤^{∗} \overline{β} unabhängig von den speziellen Representanten α und β. Außerdem sind +^{∗}, ·^{∗}, ≤^{∗} in ℝ^{∗} Fortsetzungen von +, ·, ≤ in ℝ.

Satz: ⟨ℝ^{∗}, +, ·, ≤⟩ ist ein angeordneter Körper.

Endlich, unendlich, infinitesimal und ≈ Seien \overline{α}, \overline{β} ∈ ℝ^{∗}. Dann heißt

(1) \overline{α} endlich oder finit, falls ∃n ∈ ℕ |\overline{α}| ≤ n;

(2) \overline{α} unendlich, falls ∀n ∈ ℕ |\overline{α}| ≥ n;

(3) \overline{α} infinitesimal, falls ∀n ∈ ℕ |\overline{α}| ≤ 1/n;

(4) \overline{α} unendlich nahe bei \overline{β} oder \overline{α} infinitesimal benachbart zu \overline{β} (geschrieben: \overline{α} ≈ \overline{β}), falls \overline{α} − \overline{β} infinitesimal ist.

Eigenschaften von ℝ^{∗}

(1) ℝ^{∗} enthält von 0 verschiedene infinitesimale Elemente.

Zum Beispiel gilt für α ∈ ℝ^{ℕ} : Wenn lim_{n→∞} α(n) = 0, dann ist \overline{α} infinitesimal.

(2) ℝ^{∗} enthält unendliche Elemente, d.h. ℝ^{∗} ist nicht archimedisch.

Zum Beispiel ist \overline{α} unendlich, falls lim_{n→∞} α(n) = ∞.

(3) ℝ^{∗} ist nicht (ordnungs)vollständig.

(4) ≈ ist eine Äquivalenzrelation über ℝ^{∗}.

(5) Endliche Elemente liegen unendlich nahe bei einer rellen Zahl.

Genauer: ∀\overline{α} ∈ ℝ^{∗}∃!r ∈ ℝ\overline{α} ≈ r.