Wintersemester 2002/2003

Seminar zur Logik: Nichtstandardanalysis Nichtstandardtopologie

Alexander Rothkegel

28.1.03

1. Nichtstandardeinbettung Sei ^{∗} : Ŝ → ^{ ˆ∗}S eine satztreue Einbettung, dann heißt ^{∗} eine starke Nichtstandard-Einbettung, falls für jedes System C ⊂ Ŝ − S mit nicht leeren endlichen Durchschnitten gilt:

⋂_{C∈C} ^{∗}C ≠ ∅.

2. Folgerung Sei F ≠ ∅ ⊂ P(X). Dann gilt

∗A ⊂ ⋃_{F ∈F} ^{∗}F ⇒ (A ⊂ ⋃_{F ∈F_{0}} F für ein endliches F_{0} ⊂ F).

3. Topologischer Raum Sei X eine nicht leere Menge und T ⊂ P(X). Das Paar (X, T ) heißt topologischer Raum, falls gilt: (α) ∅, X ∈ T , (β) A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T , (γ) O ⊂ T ⇒ ⋃ O ∈ T .

4. Infinitesimal-Benachbartsein von Punkten Sei T_{x} = {T ∈ T : x ∈ T } die Menge der offenen Mengen, die x enthalten. Definiere ≈_{T} ⊂ (^{∗}X × X) durch

y ≈_{T} x :⟺ ∀O ∈ T_{x}(y ∈ ^{∗}O).

5. Grenzwerte von Folgen Sei x_{n} ∈ X ein Folge und x ∈ X. Es ist äquivalent (α) ∀h ∈ ^{∗}ℕ − ℕ(^{∗}x_{h} ≈_{T} x), (β) x_{n} ⟶ x bez. T , d.h. ∀O ∈ T_{x}∃n_{0} ∈ ℕ∀n ≥ n_{0}(x_{n} ∈ O).

6. Kriterium für Offenheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit

• O offen ⟺ ∀y ∈ ^{∗}X∀x ∈ O(y ≈_{T} ⟹ y ∈ ^{∗}O),

• O abgeschlossen ⟺ ∀y ∈ ^{∗}A∀x ∈ X(y ≈_{T} ⟹ x ∈ A),

• K kompakt ⟺ ∀y ∈ ^{∗}K∃x ∈ K(y ≈_{T} x).

7. Hausdorffräume Für einen topologischen Raum (X, T ) und x_{1}, x_{2} ∈ X ist äquivalent: (α) x_{1} ≠ x_{2} ⟹ ∃O_{1} ∈ T_{x_{1}}∃O_{2} ∈ T_{x_{2}}(O_{1} ∩ O_{2} = ∅), (β) ∀y ∈ ^{∗}X(y ≈_{T} x_{1} ∧ y ≈_{T} x_{2} ⟹ x_{1} = x_{2}).

8. Stetige Abbildungen Sei f : (X_{1}, T_{1}) ⟶ (X_{2}, T_{2}). Dann ist äquivalent: (α) ∀O ∈ T_{2}(f^{−1}(O) ∈ T_{1}), (β) ∀x_{1} ∈ X_{1}∀y_{1} ∈ ^{∗}X(y_{1} ≈_{T_{1}} x_{1} ⟹ ^{∗}f(y_{1}) ≈_{T_{2}} f(x_{1})).

9. Korollar Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Dann gilt: (α) (K kompakt und A ⊂ K abgeschlossen ) ⟹ A kompakt, (β) (X hausdorffsch und A ⊂ X kompakt ) ⟹ A abgeschlossen, (γ) (f stetig und K ⊂ X kompakt ) ⟹ f(K) kompakt.

10. Weitere topologische Definitionen Sei X eine nicht leere Menge und S ⊂ P(X). Es sei T (S) das System beliebiger Vereinigungen und endlichen Durchschnitten von Mengen aus S. Dann heißt T (S) die von S erzeugte Topologie. Seien (X_{i}, T_{i}) topologische Räume und φ : X ⟶ X_{i} Abbildungen für jedes i ∈ I. Die von

S := {φ_{i}^{−1}(O_{i}) : O_{i} ∈ T_{i}, i ∈ I}

erzeugte Topologie auf X heißt die initiale Topologie auf X bezüglich der Abbildungen φ_{i}, i ∈ I. Sie ist die kleinste Topologie bezüglich der alle Abbildungen φ_{i} stetig sind. Seien I und X_{i}, i ∈ I nicht leere Mengen. Es ist

X = ∏_{i∈I} X_{i} = {x ∈ B^{I} : ∀i ∈ I(x(i) ∈ X_{i})}, B = ⋃_{i∈I} X_{i}

die Produktmenge von X_{i}, i ∈ I. Für jedes i ∈ I ist die Projektionsabbildung auf die i-te Koordinate folgendermaßen definiert:

π_{i}(x) := x(i), π_{i} : X ⟶ X_{i}.

Als Topologie für den Produktraum X wählt man normalerweise die initiale Topologie der Projektionen π_{i}, i ∈ I.

11. Lemma Sei S ⊂ P(x) und T die von S erzeugte Topologie. Dann gilt für y ∈ ^{∗}X, x ∈ X:

y ≈_{T} x ⟺ ∀O ∈ S(x ∈ O ⟹ y ∈ ^{∗}O).

12. Die Relation ≈ bezgl. der initialen Topologie Seien (X_{i}, T_{i}) topologische Räume und φ_{i} : X ⟶ X_{i} Abbildungen für i ∈ I. X sei mit der initialen Topologie der φ_{i} versehen. Dann gilt für y ∈ ^{∗}X, x ∈ X:

y ≈ x ⟺ ∀i ∈ I(^{∗}φ_{i}(y) ≈_{T_{i}} φ_{i}(x))

13. Produkttopologie (Satz von Tychonoff) Seien (X_{i}, T_{i}) topologische Räume, und es sei X = ∏_{i∈I} X_{i} mit der Produkttopologie ausgestattet. Dann gilt:

∀i ∈ I(X_{i} kompakt) ⟺ X kompakt,

∀i ∈ I(X_{i} hausdorffsch) ⟹ X hausdorffsch.

14. Topologische Vektoräume Sei (X, +, ·) ein Vektorraum über ℝ und T eine Topologie auf X. Dann heißt (X, T ) topologischer Vektorraum, falls Skalarmultiplikation und Addition bezüglich der Produkttopologien von (X × X) und (ℝ × X) stetig sind. D.h. für y_{1}, y_{2} ∈ ^{∗}X); x_{1}, x_{2} ∈ X; α, β ∈ ℝ gilt:

• (y_{1} ≈_{T} x_{1} ∧ y_{2} ≈_{T} x_{2}) ⟹ y_{1} + y_{2} ≈_{T} x_{1} + x_{2},

• (β ≈ α) ∧ y_{1} ≈_{T} x_{1}) ⟹ β · y ≈_{T} α · x.

15. Dualraum Sei (X, T ) ein topologischer Vektorraum über ℝ. Dann heißt

X′ := {f ∈ ℝ^{X} : f linear und stetig}

topologischer Dualraum von X. Es sei X′ versehen mit der initialen Topologie der Abbildungen φ_{x} : X′ ⟶ ℝ, x ∈ X, mit

φ_{x}(f) := f(x), f ∈ X′.

Diese Topologie heißt die schwach’-Topologie von X′.

16. Satz von Banach-Alaoglu Sei (X, T ) ein topologischer Vektorraum über ℝ und O eine offene Menge, die das Nullelement von X enthält. Dann ist

O^{P} := {f ∈ X′ : ∀x ∈ O(|f(x)| ≤ 1)}

kompakt bezgl. der schwach’-Topologie von X′.