12. November 2002

Seminar zur Logik: Nichtstandardanalysis

Ultraprodukte und Ultrapotenzen

— Christian Panten —

Definition 1 (L-Struktur 𝔄) Sei S eine Menge. Und für alle s ∈ S gebe es eine L-Struktur 𝔄_{s}. Weiter sei U ein Ultrafilter. Nun definieren wir eine Äquivalenz-Relation ∼ auf B :≡ ×_{s∈S} A_{s} durch f ∼ g :≡ {s ∈ S | f(s) = g(s)} ∈ U.

Grundmenge: A :≡ B/ ∼ :≡ {[h] | h ∈ B}

Relationen: R_{i}([h_{0}] … [h_{t(i)−1}]) :≡ {s ∈ S | R_{i}^{𝔄_{s}} (h_{0}(s) … h_{t(i)−1}(s)) } ∈ U

Funktionen: f_{j}([h_{0}] … [h_{t(j)−1}]) :≡ [(f_{j}^{𝔄_{s}} (h_{0}(s) … h_{t(j)−1}(s)) | s ∈ S)]

Konstanten: c_{k} :≡ [(c_{k}^{𝔄_{s}} | s ∈ S)]

Definition 2 (Ultraprodukt und Ultrapotenz) Die oben definierte L-Struktur heißt das Ultraprodukt der (𝔄_{s} | s ∈ S) über U. Wir bezeichnen das Ultraprodukt mit ∏_{s∈S} 𝔄_{s}/U. Sind alle 𝔄_{s} gleich einer L-Struktur 𝔅, so schreiben wir 𝔅^{S}/U. Diese L-Struktur heißt dann die Ultrapotenz von 𝔅 über U.

Satz 3 (Satz von Łoś) Sei 𝔄 :≡ ∏_{s∈S} 𝔄_{s}/U.

(i) Sei r(x_{0}, ..., x_{n})∈ Tm(L) und seien [h_{0}], ..., [h_{n}] ∈ A. Dann gilt r^{𝔄}[[h_{0}], ..., [h_{n}]] = [ (r^{𝔄_{s}} [h_{0}(s), ..., h_{n}(s)] | s ∈ S) ].

(ii) Sei φ (x_{0}, …, x_{n}) ∈ Fml(L) und seien [h_{0}], ..., [h_{n}] ∈ A. Dann gilt 𝔄 ⊧ φ[[h_{0}], …, [h_{n}]] ⟷ {s ∈ S | 𝔄_{s} ⊧ φ [h_{0}(s), …, h_{n}(s)] } ∈ U.

Korollar 4 Sei φ ∈ Fml_{0}(L). Dann gilt: ∏_{s∈S} 𝔄_{s}/U ⊧ φ ⟺ {s ∈ S | 𝔄_{s} ⊧ φ} ∈ U.

Korollar 5 Sei 𝔅 eine L-Struktur. Dann ist durch ι(b) :≡ [ (b | s ∈ S) ] eine elementare Einbettung ι : 𝔅 ≺ 𝔅^{S}/U gegeben.

Korollar 6 Ist U ein Hauptultrafilter, d. h. ∃s_{0} ∈ S mit U = {x ⊂ S | s_{0} ∈ x}, so ist ∏_{s∈S} 𝔄_{s}/U ≅ 𝔄_{s_{0}}.

Satz 7 Sei Φ ⊂ Fml_{0}(L) und jede endliche Teilmenge s ⊂ Φ habe ein Modell 𝔄_{s}. Dann existiert ein Ultrafilter U auf S :≡ \{s ⊂ Φ | \overline{\overline{s}} < ℵ_{0}\}, so daß ∏_{s∈S} 𝔄_{s}/U ein Modell von Φ ist. Dies impliziert: Ist Φ endlich erfüllbar, so ist Φ erfüllbar. (Kompaktheitssatz)

Definition 8 Eine Klasse K von L-Strukturen heißt Δ-elementar genau dann, wenn ∃Φ ⊂ Fml_{0}(L) mit K = Mod^{L}(Φ). Wobei Mod^{L}(Φ) definiert ist als: Mod^{L}(Φ) = {𝔄 | 𝔄 ist L-Struktur ∧ 𝔄 ⊧ Φ}

Satz 9 Sei κ eine Menge von L-Strukturen. κ ist genau dann Δ-elementar, wenn κ bzgl. elementarer Äquivalenz und gegen Ultraproduktbildung abgeschlossen ist.

Definition 10 Eine Klasse K von L-Strukturen heißt elementar genau dann, wenn ∃φ ∈ Fml_{0}(L) mit K = Mod^{L}(φ).

Korollar 11 Eine Klasse κ von L-Strukturen ist genau dann elementar, wenn sowohl κ als auch ihr Komplement κ^{∗} :≡ {𝔄 | 𝔄 ist eine L-Struktur und 𝔄 ∉ κ} bzgl. elementarer Äquivalenz und gegen Ultraproduktbildung abgeschlossen sind.