Seminar zur Logik: Nichtstandardanalysis Summen, Polynome, Integrale

Referent: Ernst Maresch

14.1.2003

1. Satz: Sei ν ∈ ℕ beliebig, aber fest. Sei X ∈ Ŝ. Setze

𝔄 := {a : E ⟶ X : ∅ ≠ E ⊆ S_{ν} endlich},
∑(a) := ∑_{i∈E} a(i) ∈ X für a ∈ 𝔄.

Dann sind 𝔄, ∑ ∈ Ŝ, und es gilt:

∗𝔄 = {b : H ⟶ ^{∗}X intern : ∅ ≠ H ⊆ ^{∗}S_{ν} ^{∗}-endlich},
∗ ∑(b) = ∑_{i∈H} b(i) ∈ ^{∗}X für b ∈ ^{∗}𝔄.

2. Satz: Berechnung von ∑_{i=0}^{h} ^{∗}a_{i}x^{i} für reelle x: Sei a_{n}, n ∈ ℕ, eine Folge reeller Zahlen. Es sei f : D ⟶ ℝ eine Funktion mit D ⊆ ℝ, so dass gilt:

∀x ∈ D : f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}.

Dann gilt für x ∈ D :

∀h ∈ ^{∗}ℕ − ℕ : f(x) ≈ ∑_{i=0}^{h} ^{∗}a_{i}x^{i}.

3.Definition und Satz: Sei A eine Algebra über Ω ∈ Ŝ − S. A : {1, ..., h} ⟶ ^{∗}A ist eine ^{∗} − endliche ^{∗}A-Zerlegung von ^{∗}Ω, wenn A intern ist und wenn gilt:

∅ ≠ A_{i} := A(i) ∈ ^{∗}A, i = 1, ..., h, disjunkt und ⋃_{i=1}^{h} A_{i} = ^{∗}Ω.

Das System aller *-endlichen ^{∗}A-Zerlegungen von ^{∗}Ω ist der *-Wert ^{∗}Z des Systems Z aller endlichen A-Zerlegungen von Ω.

4. Satz: Darstellung von Integralen durch *-endliche Summen: Sei ^{∗} : Ŝ ⟶ ^{∗}Ŝ eine starke Nichtstandard-Einbettung. Sei A eine Algebra über Ω ∈ Ŝ − S. Dann gibt es eine *-endliche ^{∗}A-Zerlegung A : {1, ..., h} ⟶ ^{∗}A von ^{∗}Ω, so dass für jeden Inhalt μ : A ⟶ [0, ∞[, für jede beschränkte μ-integrierbare Funktion f und jede interne Auswahl ω_{i} ∈ A_{i}, i = 1, ..., h, gilt:

∫ fdμ ≈ ∑_{i=1}^{h} ^{∗}f(ω_{i}) ^{∗}μ(A_{i}).

5. Satz: Charakterisierung von *-endlichen Polynomen: Sei P olℝ ⊆ ℝ^{ℝ} das System aller Polynome. Dann ist ^{∗}(P olℝ) das System aller q : ^{∗}ℝ ⟶ ^{∗}ℝ, für die eine interne Funktion b : {0, ..., h} ⟶ ^{∗}ℝ, h ∈ ^{∗}ℕ, existiert, so dass mit b_{i} := b(i) gilt:

q(x) = ∑_{i=0}^{h} b_{i}x^{i} ∀x ∈ ^{∗}ℝ.

6. Satz (Potenzreihen und *-endliche Polynome): Sei f : ℝ ⟶ ℝ und a_{n}, n ∈ ℕ, eine Folge reeller Zahlen. Dann sind äquivalent:

1. ∀x ∈ ℝ f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n};

2. ∀h ∈ ^{∗}ℕ − ℕ, x ∈ fin(^{∗}ℝ) ^{∗}f(x) ≈ ∑_{i=0}^{h} ^{∗}a_{i}x^{i}.

7. Satz: Sei f : ℝ ⟶ ℝ und q ein *-endliches Polynom mit

∗f(x) ≈ q(x) ∀x ∈ ^{∗}ℝ.

Dann ist f ein Polynom. Definition:

(i) g heißt *-stetig in x_{0} ∈ ^{∗}ℝ, falls gilt:

∀ε ∈ ^{∗}ℝ^{+} ∃δ ∈ ^{∗}ℝ^{+} : x ∈ ^{∗}ℝ, |x − x_{0}| ≤ δ ⟹ |g(x) − g(x_{0})| ≤ ε;

(ii) g heißt ≈-stetig in x_{0}, falls gilt: x ∈ ^{∗}ℝ, x ≈ x_{0} ⟹ g(x) ≈ g(x_{0}).

8. Satz: Für f : ℝ ⟶ ℝ sind äquivalent:

1. ^{∗}f ist *-stetig in allen x_{0} ∈ ^{∗}ℝ;

2. ^{∗}f ist *-stetig in allen x_{0} ∈ fin(^{∗}ℝ);

3. ^{∗}f ist ≈-stetig in allen x_{0} ∈ fin(^{∗}ℝ);

4. f ist stetig. Definition: Eine δ-Funktion ist eine nicht-negative, *-stetige Funktion von ^{∗}ℝ nach ^{∗}ℝ mit:

1. ^{∗} ∫ δ(x)dx = 1;

2. ^{∗} ∫_{−ε}^{ε} δ(x)dx ≈ 1, ε ≈ 0, ε ≥ 0.

9. Satz: Sei f ∈ C(ℝ) mit f ≥ 0 und ∫ f(x)dx = 1. Dann gilt für jedes h ∈ ^{∗}ℕ − ℕ:

δ(x) := h ^{∗}f(hx), x ∈ ^{∗}ℝ, ist eine δ-Funktion,

und es ist δ ∈ ^{∗}C^{(k)}, falls f ∈ C^{(k)} ist.

10. Satz: Es gibt δ-Funktionen, die den folgenden vier Bedingungen genügen:

1. ^{∗} ∫ δ(x)dx = 1;

2. δ(x) = 0 für x ≈ / 0;

3. ^{∗} ∫ δ(x) ^{∗}ϕ(x)dx ≈ ϕ(0) für ϕ ∈ C_{0}^{(∞)};

4. δ ∈ ^{∗}C^{(∞)}.