Das Transferprinzip und Nichtstandardeinbettungen

Frederik Stefan Herzberg Seminar zur Logik: Nichtstandardanalysis Wintersemester 2002/03 Mathematisches Institut der Universität Bonn

19. November 2002

Zusammenfassung

Unter dem “Transferprinzip“ versteht man zunächst nur einen Teil der Definition von “satztreue Einbettung“; dieses Konzept ist eine Verallgemeinerung der später zu definierenden “Nichtstandardeinbettung“. Inhalt des Transferprinzips ist, daß sich Aussagen einer mathematischen Theorie (Standardtheorie), die in eine andere (Nichtstandardtheorie) eingebettet wird, auf die Bilder unter der Nichtstandardeinbettung übertragen lassen. Einige Objekte der Nichtstandardtheorie haben engeren Bezug zur Standardwelt als andere: In diesem Sinne werden wir die Objekte der Nichtstandardtheorie in externe und interne Elemente klassifizieren.

Zuallererst wollen wir sauber definieren, was unter den “Objekten einer mathematischen Theorie“ zu verstehen ist:

Definition 1 Sei V ≠ ∅ eine Menge, die Menge der “Urelemente“. Wir definieren induktiv V_{0} := V und V_{ν+1} := V_{ν} ∪ P (V_{ν}) für ν ∈ ℕ_{0} = ω. Außerdem definieren

V̂ := ⋃_{ν=0}^{∞} V_{ν}

als die Superstruktur über V.

Alternative Beschreibungen der Superstruktur V̂ ergeben sich aus

Proposition 1 1. Für alle ν ∈ ℕ_{0} = ω gilt V_{ν+1} = V ∪ P (V_{ν}).

2. Für alle ν ∈ ℕ_{0} ist V_{ν} transitiv.

3. V̂ = V ∪ ⋃_{ν=0}^{∞} P (V_{ν})

Die V_{ν} stehen in folgenden Beziehungen zueinander:

Proposition 2 Für alle ν ∈ ℕ gilt

1. A ∈ V_{ν} − V ⇔ A ⊂ V_{ν−1}

2. A ∈ V_{ν} − V ⇒ P (A) ∈ V_{ν+1}

3. B ⊂ A ∈ V_{ν} − V ⇒ B ∈ V_{ν}

4. ∀j ∈ J A_{j} ∈ V_{ν} − V ⇒ ⋃_{j∈J} A_{j} ∈ V_{ν}

5. a, b ∈ V_{ν−1} ⇔ {a, b} ∈ V_{ν} 6. a, b ∈ V_{ν−1} ⇔ ⟨a, b⟩ = {{a}, {a, b}} ∈ V_{ν+1}

7. A, B ∈ V_{ν} − V ⇒ A × B ∈ V_{ν+2}

Man beachte für das folgende, daß in [Landers/Rogge] “Menge“ im Zusammenhang mit einer Superstruktur V̂ nicht mengentheoretisch – etwa in Abgrenzung zu “Klassenterm“ – zu verstehen ist, sondern lediglich Elemente von V̂ − V bezeichnet. Die Definition von n-Tupeln erfolgt induktiv auf der Grundlage des Paarbegriffs nach Kuratowski: ⟨a⟩ := a, ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩ := ⟨⟨a_{1}, …, a_{n−1}⟩, a_{n}⟩. Das Zeichen “g ↾ a“ bei [Landers/Rogge] entspricht “g(a)“ in [Koepke/Burghardt] mit dem Unterschied, daß g ↾ a im Falle der Nichteindeutigkeit ∅ und nicht V denotiert.

Proposition 3 1. V̂ ist transitiv

2. V̂ ∉ V̂

3. A ∈ V̂ Menge ⇒ P (A) ∈ V̂

4. A ∈ V̂ Menge, B ⊂ A ⇒ B ∈ V̂

5. A_{1}, …, A_{n} ∈ V̂ Mengen ⇒ A_{1} ∪ … ∪ A_{n} ∈ V̂, A_{1} × … × A_{n} ∈ V̂

6. a_{1}, …, a_{n} ∈ V̂ ⇒ {a_{1} … a_{n}} ∈ V̂, ⟨a_{1} … a_{n}⟩ ∈ V̂

7. A_{1}, …, A_{n} ∈ V̂ Mengen ⇒ ⋃_{j=1}^{n} A_{j} ∈ V_{ν} für ein ν ∈ ℕ.

Sind R, R_{1}, R_{2} ∈ V̂ Relationen, so gilt

8. ⟨a, b⟩ ∈ R ⇒ a, b ∈ V̂

9. D(R), W (R) ∈ V̂

10. R[A] ∈ V̂ für alle Mengen A

11. R^{−1} ∈ V̂

12. R_{2} ∘ R_{1} ∈ V̂

13. Sind A, B ∈ V̂ Mengen und f : A → B, so ist f ∈ V̂.

14. g ↾ a ∈ V̂ für alle g, a ∈ V̂

15. Ist ∅ ≠ A ∈ V̂ eine Menge, R eine Relation über A und ⊖ eine Operation über A, so sind ⊖, R ∈ V̂ und ⊖ ↾ ⟨a, b⟩ ∈ V̂ für alle a, b ∈ A.

Nun wollen wir in der mathematischen Theorie mit Objekten aus V̂ auch Aussagen betrachten:

Definition 2 Sei V̂ eine Superstruktur. Elemente von V̂ und Variable wollen wir als Terme in V̂ bezeichnen. Ferner soll gelten: Sind τ, ρ Terme, so auch ⟨τ, ρ⟩ und τ ↾ ρ.

Definition 3 Sind τ, ρ Terme in V̂, so sind τ = ρ und τ ∈ ρ Formeln in V̂, die wir auch Elementarformeln nennen. Sind ψ, χ Formeln in V̂, \underline{x} eine Variable und τ ein Term in V̂, so sind ¬ψ, (ψ ∧ χ) und ∀\underline{x} ∈ τ ψ Formeln in V̂.

Definition 4 Sei φ eine Formel in V̂, an deren j-ter Stelle die Variable \underline{x} steht. Dann hat \underline{x} an der j-ten Stelle ein gebundenes Auftreten, falls sich die j-te Stelle von φ in einem Teilstück von φ der Gestalt ∀\underline{x} ∈ τ ψ mit einem Term τ und einer Formel ψ befindet. Andernfalls hat \underline{x} an dieser Stelle ein freies Auftreten. Eine Variable, die an mindestens einer Stelle von φ frei vorkommt, heißt freie Variable. Eine Aussage ist eine Formel in V̂ ohne freie Variable.

Zu einer Formel φ in V̂ definiert man lo(φ) als die Anzahl des Auftretens von “¬“, “∧“ und “∀“ in φ. Um in gewohnter Weise den Begriff der Gültigkeit einer Aussage zu definieren, braucht man Satz 1 1. Sei φ eine Aussage in V̂ mit lo(φ) = 0. Dann besitzt φ genau eine der

Formen τ = ρ und τ ∈ ρ mit Termen τ, ρ in V̂, in denen keine Variable auftreten und die daher Elemente von V̂ sind.

2. Sei φ eine Aussage in V̂ mit lo(φ) ≥ 1. Dann besitzt φ genau eine der Formen • ¬ψ mit einer Aussage ψ

• (ψ ∧ χ) mit Aussagen ψ, χ

• ∀\underline{x} ∈ τ ψ mit einer Variablen \underline{x}, einem Term τ ohne Variable und einer Formel

ψ, in der höchstens \underline{x} frei vorkommt.

Nun kann man wie gewohnt definieren: τ = ρ ist gültig genau dann, wenn τ und ρ dasselbe Element bezeichnen, etc. etc.

Wir sind jetzt in der Lage, folgende Definition präzise zu treffen:

Definition 5 ^{∗}: Ŝ → Ŵ heißt eine satztreue Einbettung, falls 1. ^{∗}S = W

2. ^{∗}s = s für alle s ∈ S

3. (Transferprinzip) Jede Aussage φ in Ŝ ist genau dann gültig, wenn die Aussage ^{∗}φ gültig ist, die aus φ hervorgeht, indem man alle in φ vorkommenden Elemente aus Ŝ durch ihre Bilder unter ^{∗} ersetzt.

Man schreibt auch ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S, da ^{∗}S = W.

Zunächst kann man mit Hilfe des Transferprinzips zeigen, daß sich elementare Eigenschaften mathematischer Objekte unter satztreuen Einbettungen erhalten. Ein wichtiges Zwischenziel wird sein, daß für S = ℝ mit ℝ auch ^{∗}ℝ ein angeordneter Körper ist. Proposition 4 Sei ^{∗} : Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine satztreue Einbettung, a, b, a_{1}, …, a_{n} ∈ Ŝ und A, B ∈ Ŝ − S. Es gilt:

1. a = b ⇔ ^{∗}a = ^{∗}b

2. a ∈ b ⇔ ^{∗}a ∈ ^{∗}b

3. a Menge ⇔ ^{∗}a Menge

4. A ⊂ B ⇔ ^{∗}A ⊂ ^{∗}B

5. A transitiv ⇔ ^{∗}A transitiv

6. ^{∗}∅ = ∅

7. ^{∗}⟨a_{1}, …, a_{n}⟩ = ⟨ ^{∗}a_{1}, …, ^{∗}a_{n}⟩

8. ^{∗}(a ↾ b) = ^{∗}a ↾ ^{∗}b

9. ^{∗}a = a für alle a ∈ S^{n} und n ∈ ℕ

10. { ^{∗}a | a ∈ A} ⊂ ^{∗}A

11. A endliche Menge ⇒ ^{∗}A endliche Menge, ^{∗}A = { ^{∗}a | a ∈ A}

12. A ⊂ S^{n} ⇒ A ⊂ ^{∗}A, ^{∗}A ∩ S^{n} = A Von deutlich größerer Allgemeinheit ist aber folgender Satz 2 (^{∗}-Werte durch Formeln definierter Mengen) Wenn ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine satztreue Einbettung ist, A ∈ Ŝ eine Menge und φ eine Aussage in Ŝ ist, so gilt: ∗{⟨a_{1}, …, a_{n}⟩ ∈ ^{∗}A | φ[a_{1}, …, a_{n}] gültig} = {⟨b_{1}, …, b_{n}⟩ ∈ A | ^{∗}φ[b_{1}, …, b_{n}] gültig}. Mit Hilfe von Lemma 1 Wenn ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine satztreue Einbettung und ν ∈ ℕ_{0} ist, so gilt

A, B ⊂ S_{ν} ⇒ A × B ⊂ S_{ν+2}, ^{∗}A × ^{∗}B ⊂ ^{∗}S_{ν+2}

liefert der vorherige Satz weitere Möglichkeiten des “Transfers“: Proposition 5 Seien ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine satztreue Einbettung, A, B, A_{0} ∈ Ŝ Mengen und R, R_{1}, R_{2} ∈ Ŝ Relationen. Es sind dann auch ^{∗}R, ^{∗}R_{1}, ^{∗}R_{2} Relationen und weiterhin gilt:

1. ^{∗}(A∩B) = ^{∗}A∩^{∗}B, ^{∗}(A−B) = ^{∗}A−^{∗}B, ^{∗}(A∪B) = ^{∗}A∪^{∗}B, ^{∗}(A×B) = ^{∗}A×^{∗}B 2. ^{∗}(D(R)) = D( ^{∗}R), ^{∗}(W (R)) = W (R ^{∗}), ^{∗}(R[A_{0}]) = ^{∗}R[ ^{∗}A_{0}]

3. ^{∗}(R^{−1}) = ( ^{∗}R)^{−1}

4. ^{∗}(R_{2} ∘ R_{1}) = ^{∗}R_{2} ∘ ^{∗}R_{1} Diese allgemeinen Resultate über Relationen lassen sich natürlich verwenden, um Aussagen über die Bilder von Funktionen unter ^{∗} zu erhalten. Es gilt aber noch mehr: Proposition 6 Seien ^{∗} : Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine satztreue Einbettung, A, B, ∈ Ŝ Mengen und f : A → B eine Funktion. Dann ist f ∈ Ŝ und weiter gilt:

1. ^{∗}f : ^{∗}A → ^{∗}B ist eine Funktion.

2. f injektiv ⇒ ^{∗}f injektiv

3. f surjektiv ⇒ ^{∗}f surjektiv

4. ^{∗}(f(a)) = ^{∗}f( ^{∗}a) für alle a ∈ A

5. A ⊂ S^{n}, B ⊂ S^{n} ⇒ ∀a ∈ A ^{∗}f(a) = f(a) Schließlich lassen sich Operationen und Relationen über einer bestimmten Menge völlig umstandslos unter einer satztreuen Einbettung übertragen. Proposition 7 Seien ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine satztreue Einbettung, ∅ ≠ A ∈ Ŝ eine Menge, ⊖ eine Operation in A, R eine Relation über A und a, b ∈ A. Dann gilt

1. ^{∗}⊖ ist eine Operation über ^{∗}A und ^{∗}(a ⊖ b) = ^{∗}a ⊖ ^{∗}b.

2. ^{∗}R ist eine Relation über ^{∗}A und ^{∗}(a R b) ⇔ ^{∗}a ^{∗}R ^{∗}b.

3. Ist A ⊂ S^{n}, so ist A ⊂ ^{∗}A und ^{∗}⊖, ^{∗}R sind Fortsetzungen von ⊖, R. In Zeichen:

a ^{∗}⊖ b = a ⊖ b und a R b ⇔ a ^{∗}R b. Diese Proposition liefert als Korollare die folgenden Sätze: Korollar 1 Sei ^{∗} : Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine satztreue Einbettung und ∅ ≠ X ∈ ^{ ˆ ∗}S eine Menge. Dann gilt:

1. ⟨X, ≤⟩ partiell geordnet ⇒ ⟨ ^{∗}X, ^{∗} ≤⟩ partiell geordnet.

2. ⟨X, ≤⟩ total geordnet ⇒ ⟨ ^{∗}X, ^{∗} ≤⟩ total geordnet.

3. ⟨X, +, 0⟩ kommutative Gruppe ⇒ ⟨ ^{∗}X, ^{∗}+, ^{∗}0⟩ kommutative Gruppe

4. ⟨X, +, ·, 0, 1⟩ Körper ⇒ ⟨ ^{∗}X, ^{∗}+, ^{∗}·, ^{∗}0, ^{∗}1⟩ Körper

5. ⟨X, +, ·, 0, 1, ≤⟩ angeordneter Körper ⇒ ⟨ ^{∗}X, ^{∗}+, ^{∗}·, ^{∗}0, ^{∗}1, ^{∗} ≤⟩ angeordneter Körper.

Korollar 2 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine satztreue Einbettung mit ℝ ⊂ S. Dann ist ℝ ⊂ ^{∗}ℝ und es gilt: ⟨ ^{∗}ℝ, ^{∗}+, ^{∗}·, ^{∗}0, ^{∗}1, ^{∗} ≤⟩ ist ein angeordneter Körper, wobei ^{∗}− die Subtraktion, ∗÷ die Division und ^{∗}|.| die Betragsfunktion in dem angeordneten Körper ^{∗}ℝ ist.

Wir wollen nun spezielle satztreue Einbettungen für die Zwecke der Nichtstandardanalysis betrachten:

Definition 6 Eine Nichtstandardeinbettung ist eine satztreue Einbettung ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S mit ℝ ⊂ S und ℝ ≠ ^{∗}ℝ.

Proposition 8 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung. Dann gilt 1. ℕ ⫋ ^{∗}ℕ

2. k ∈ ^{∗}ℕ − ℕ ⇒ ∀n ∈ ℕ k > n, k − 1 ∈ ^{∗}ℕ − ℕ

3. ^{∗}ℕ − ℕ besitzt kein kleinstes Element.

Die Elemente von ^{∗}ℕ heißen hypernatürliche Zahlen. Definition 7 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung. Dann heißt

ℑ := ⋃_{A∈Ŝ−S} ^{∗}A

die Nichtstandardwelt. Elemente von ℑ heißen intern, Elemente von ^{ ˆ ∗}S −ℑ heißen extern. Handelt es sich dabei um Mengen, so spricht man von internen Mengen bzw. von externen Mengen. Eine alternative Charakterisierung von ℑ liefert uns das Lemma 2 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung. Dann gilt

1. ℑ = ⋃_{ν=0}^{∞} ^{∗}S_{ν}

2. b_{1}, …, b_{k} ∈ ℑ ⇒ ∃ν ∈ ℕ b_{1}, …, b_{k} ∈ ^{∗}S_{ν}

3. B_{1}, …, B_{k} ∈ ℑ Mengen ⇒ ∃ν ∈ ℕ B_{1}, …, B_{k} ⊂ ^{∗}S_{ν}

Proposition 9 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ∗}S eine Nichtstandardeinbettung. Dann gilt 1. ℑ ist transitiv

2. ∅ ∈ ℑ, ℑ ∉ ℑ

3. ∀a ∈ Ŝ ^{∗}a ∈ ℑ

4. ∀a, b ∈ ℑ ⟨a, b⟩, a ↾ b, {a, b} ∈ ℑ

5. ^{∗}(P (A)) = {B ∈ ℑ | B ⊂ ^{∗}A}

6. ℑ ist die kleinste transitive Menge H mit ∀a ∈ Ŝ ^{∗}a ∈ H.

Der letzte Punkt deutet bereits an, daß sich weitere Aussagen über interne Mengen als nützlich erweisen werden. Letztlich werden wir mit Hilfe der Reichhaltigkeit interner Mengen wichtige Beweisprinzipien der Nichtstandardanalysis erhalten (Verweis zum darauffolgenden Seminarvortrag)

Proposition 10 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung. Dann gilt 1. Jede nichtleere interne Teilmenge von ^{∗}ℕ hat ein kleinstes Element.

2. ^{∗}ℕ − ℕ ∈ Ŝ − ℑ

Definition 8 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung, φ eine Formel in ^{ ˆ ∗}S. Wenn alle in φ vorkommenden Elemente von ^{ ˆ ∗}S intern sind, heißt φ eine interne Formel. Ist φ obendrein eine Aussage, so nennt man φ eine interne Aussage.

Satz 3 (Prinzip der internen Definition) Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung, ψ[\underline{x_{1}}, …, \underline{x_{n}}] eine interne Formel, B eine interne Menge. Dann ist auch

{⟨b_{1}, …, b_{n}⟩ ∈ B | ψ[b_{1}, …, b_{n}] gültig}

intern.

Korollar 3 Seien ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung, A, B interne Mengen. Dann sind auch A ∩ B, A ∪ B, A − B und A × B intern.

Gleichsam als “Subkorollar“ aber mit erheblicher technischer Bedeutung für anschließende Beweise folgt

Proposition 11 Seien ^{∗} : Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung, R, R_{1}, R_{2} interne Relationen und B_{0} eine interne Menge. Dann sind D(R), W (R), R[B_{0}], R^{−1}, R_{2} ∘ R_{1} sowie die identische Abbildung auf B_{0} intern.

Lemma 3 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung. Dann gilt:

1. E ⊂ D, |E| < ω, D intern ⇒ E intern

2. E ⊂ D, E extern, D intern ⇒ D − E extern

3. ℕ ist extern.

Korollar 4 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung.

1. A ∈ Ŝ, |A| ≥ ω ⇒ {^{∗}a | a ∈ A}, ^{∗}A − {^{∗}a | a ∈ A}, P (^{∗}A) sind extern.

2. A ⊂ S^{n}, |A| ≥ ω ⇒ A, ^{∗}A − A sind extern, A ⫋ ^{∗}A.

3. ℕ, ^{∗}ℕ − ℕ, ℝ, ^{∗}ℝ − ℝ, S, ^{∗}S − S sind extern.

Definition 9 Ist ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung, so bezeichnet man alle ^{∗}a mit a ∈ Ŝ als Standardelemente und alle ^{∗}a mit a ∈ Ŝ − S als Standardmengen.

Wir wollen nun interne Mengen angeben, die keine Standardmengen sind:

Proposition 12 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung. Dann gilt

1. A ⊂ S^{n}, |A| ≥ ω, ∅ ≠ E ⊂^{∗} A − A, E ∈ ℑ ⇒ E ist keine Standardmenge.

2. a, b ∈ ^{∗}ℝ, a < b, (a ∉ ℝ ∨ b ∉ ℝ) ⇒ {x ∈ ^{∗}ℝ | a ≤ x ≤ b} ist intern, aber keine Standardmenge.

Der Begriff der internen Menge gewinnt, insbesondere für Zwecke der Analysis, besondere Bedeutung durch den folgenden, abschließenden

Satz 4 Sei ^{∗}: Ŝ → ^{ ˆ ∗}S eine Nichtstandardeinbettung, ∅ ≠ A, B ∈ Ŝ. Dann ist

∗(B^{A}) = {f ∈ ℑ | f : ^{∗}A → ^{∗}B}.

(“B^{A}“ in [Landers/Rogge] entspricht hierbei natürlich “^{A}B“ in [Koepke/Burghardt].)

Literatur

[Koepke/Burghardt] Koepke, Peter/Burghardt, Manfred: Mengenlehre. Ein Skript zu den Grundlagen der Mathematik mit einer Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie; Bonn: Mathematisches Institut, 1996.

[Landers/Rogge] Landers, Dieter/Rogge, Lothar: Nichtstandard Analysis; Berlin [u.a.]: Springer, 1994.