SEMINAR: NICHTSTANDARD-ANALYSIS 2. EINFACHE KONSEQUENZEN

ALEXANDER GILBERS

Nachdem wir den Erweiterungskörper ^{∗}ℝ von ℝ konstruiert haben, können wir nun jeder Funktion f : ℝ ⟶ ℝ eine Funktion ∗f : ^{∗}ℝ ⟶ ^{∗}ℝ zuordnen, die f fortsetzt.

Satz 1 (Die Funktion ^{∗}f als Fortsetzung der Funktion f). Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion. Für ᾱ ∈ ^{∗}ℝ setze

∗f(ᾱ) := β̄ mit β(i):= f(α(i)) für i ∈ ℕ. Es ist ^{∗}f(ᾱ) nicht von der speziellen Darstellung von ᾱ abhängig. Daher ist ^{∗}f : ^{∗}ℝ ⟶ ^{∗}ℝ eine Funktion, und es gilt:

(1) ^{∗}f(r) = f(r) für alle r ∈ ℝ;

(2) ^{∗}f(ᾱ) = \overline{f ∘ α} für alle ᾱ ∈ ^{∗}ℝ.

Beweis:

(2) Sei ᾱ′ = ᾱ. Dann gilt: α(i) = α′(i) fast überall ⇒ f(α(i)) = f(α′(i)) fast überall ⇒^{∗} f(ᾱ) =^{∗} f(ᾱ′)

(1) ^{∗}f(r) =^{∗} f(r_{ℕ}) = \overline{f ∘ r_{ℕ}} = \overline{(f(r))_{ℕ}} = f(r)

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Satz 2 (Eigenschaften von f ⟶ ^{∗}f). Seien f, g : ℝ ⟶ ℝ zwei Funktionen und x_{0} ∈ ℝ. Dann gilt:

(1) (i) ^{∗}(f + g) = ^{∗}f + ^{∗}g, ^{∗}(f − g) = ^{∗}f − ^{∗}g, ^{∗}(f · g) = ^{∗}f · ^{∗}g;

(2) ^{∗}(g ∘ f) = ^{∗}g ∘ ^{∗}f;

(3) f(x) = f(x_{0})+(x−x_{0})g(x) für alle x ∈ ℝ ⟹ ^{∗}f(x) = f(x_{0})+ (x − x_{0})^{∗}g(x) für alle x ∈ ^{∗}ℝ.

Beweis:

(1) ^{∗}(f + g)(ᾱ) = \overline{(f + g) ∘ α} = \overline{f ∘ α + g ∘ α} = \overline{f ∘ α} + \overline{g ∘ α} = ∗f(ᾱ) +^{∗}g(ᾱ)

(2) ^{∗}(g∘f)(ᾱ) = \overline{(g ∘ f) ∘ α} = \overline{g ∘ (f ∘ α)} = ^{∗}g(\overline{f ∘ α}) = ^{∗}g(^{∗}f(ᾱ)) = (^{∗}g ∘^{∗}f)(ᾱ)

(3) Mit x = ᾱ ∈ ^{∗}ℝ gilt:

∗f(x) = \overline{f ∘ α} = \overline{(f(x_{0}))_{ℕ} + (α − (x_{0})_{ℕ})g ∘ α} = \overline{(f(x_{0}))_{ℕ}} + (ᾱ − \overline{(x_{0})_{ℕ})}\overline{g ∘ α} = f(x_{0}) + (ᾱ − x_{0})\overline{g ∘ α} = f(x_{0}) + (x − x_{0})^{∗}g(x)

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Die Funktion f(x) = x, x ∈ ℝ wird durch die Funktion f(x) = x, x ∈ ^{∗}ℝ fortgesetzt. Nach dem letzten Satz gehen für n ∈ ℕ auch die Funktionen f(x) = n · x, x ∈ ℝ in f(x) = n · x, x ∈ ^{∗}ℝ und die Funktionen f(x) = x^{n}, x ∈ ℝ in f(x) = x^{n}, x ∈ ^{∗}ℝ über. Die Fortsetzung der Funktion f mit f(x) = \frac{1}{x} für x ≠ 0 und f(x) = 0 für x = 0 bildet unendliche Elemente von ^{∗}ℝ auf infinitesimale ab, z.B.: ∗f(\overline{(n)_{n∈ℕ}}) = \overline{(\frac{1}{n})_{n∈ℕ}}. Umgekehrt werden infinitesimale Elemente x ≠ 0 auf unendliche Elemente abgebildet. Die Bilder der infinitesimal benachbarten infinitesimalen Elemente sind aber im Allgemeinen nicht mehr infinitesimal benachbart: ∗f(\overline{(\frac{1}{n})_{n∈ℕ}}) = \overline{(n)_{n∈ℕ}}, ^{∗}f(\overline{(\frac{1}{2n})_{n∈ℕ}}) = \overline{(2n)_{n∈ℕ}}. Nach dem Nachweis dieser Eigenschaften von ^{∗}f kann man jetzt daran gehen, unter Verwendung von Elementen aus ^{∗}ℝ ein elegantes Stetigkeitskriterium für reelle Funktionen aufzustellen.

Satz 3 (Nichtstandard-Kriterium für Stetigkeit). Sei f : ℝ ⟶ ℝ eine Funktion und x_{0} ∈ ℝ. Dann sind äquivalent:

(1) f ist stetig in x_{0}.

(2) (x ∈ ^{∗}ℝ und x ≈ x_{0}) ⟹ ^{∗}f(x) ≈ f(x_{0}).

Beweis: ”⇒ “: Sei ^{∗}ℝ ∋ x ≈ x_{0}. Es ist zu zeigen: |^{∗}f(x) − f(x_{0})| ≤ \frac{1}{n} für alle n ∈ ℕ. Sei n ∈ ℕ fest; dann gibt es nach (1) ein δ ∈ ℝ mit δ > 0, so dass (r ∈ ℝ und |r − x_{0}| ≤ δ) ⟹ |f(r) − f(x_{0})| ≤ \frac{1}{n}. Für ein geeignetes α ∈ ℝ^{ℕ} ist x = ᾱ. Somit gilt: ᾱ ≈ x_{0} ⇒ ᾱ ≈ \overline{(x_{0})_{ℕ}} ⇒ |α(i) − x_{0}| ≤ δ fast überall ⇒ |f(α(i)) − f(x_{0})| ≤ \frac{1}{n} f.ü. ⇒ |\overline{f ∘ α} − f(x_{0})| ≤ \frac{1}{n} Da \overline{f ∘ α} = ^{∗}f(ᾱ) = ^{∗}f(x) ist, erhalten wir |^{∗}f(x) − f(x_{0})| ≤ \frac{1}{n}.

”⇐“: Sei nun indirekt f nicht in x_{0} stetig. Dann existieren ein ε ∈ ℝ mit ε > 0 und zu jedem i ∈ ℕ ein α(i) ∈ ℝ, so dass gilt:

(i) |α(i) − x_{0}| ≤ \frac{1}{i} (ii) |f(α(i)) − f(x_{0})| ≥ ε Nach (i) gilt: x := ᾱ ≈ x_{0} und somit nach (2): ^{∗}f(x) ≈ f(x_{0}), also |^{∗}f(x) − f(x_{0})| < ε. Nach (ii) gilt aber wegen \overline{f ∘ α} = ^{∗}f(x): |^{∗}f(x) − f(x_{0})| ≥ ε. Widerspruch!

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Der Nachweis einfacher Tatsachen ist bei Verwendung des Nichtstandard-Kriteriums möglich und nicht schwieriger als die Standardbeweise. Als Beispiel die Beweise der folgenden beiden Korollare:

Korollar 1. Seien f, g : ℝ ⟶ ℝ Funktionen, die in x_{0} stetig sind. Dann sind auch f + g, f − g, f · g stetig in x_{0}.

Beweis: Sei x ∈ ℝ mit x ≈ x_{0}. Dann gilt ^{∗}f(x) ≈ f(x_{0}), ^{∗}g(x) ≈ g(x_{0}). Es gilt: ∗(f +g)(x) = ^{∗}f(x)+^{∗}g(x) ≈ f(x_{0})+g(x_{0}) = (f +g)(x_{0}). Also folgt aus dem letzten Satz die Stetigkeit von (f+g). Der Beweis für (f-g) verläuft genauso. Da f(x_{0}), g(x_{0}) endlich sind, folgt ausserdem: ∗(f · g)(x) = ^{∗}f(x) ·^{∗}g(x) ≈ f(x_{0}) · g(x_{0}) = (f · g)(x_{0}). Also ist fg in x_{0} stetig.

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Korollar 2. Sei f : ℝ ⟶ ℝ in x_{0} stetig und g : ℝ ⟶ ℝ in f(x_{0}) stetig. Dann ist g ∘ f in x_{0} stetig.

Beweis: Sei ^{∗}ℝ ∋ x ≈ x_{0}, dann ist ^{∗}f(x) ≈ f(x_{0}). Da g in f(x_{0}) stetig ist, folgt: ∗(g ∘ f)(x) = ^{∗}g(^{∗}f(x)) ≈ g(f(x_{0})) = (g ∘ f)(x_{0}). Also ist (g ∘ f) in x_{0} stetig.

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Satz 4 (Nichtstandard-Kriterium für gleichmäßige Stetigkeit). Sei f : ℝ ⟶ ℝ eine Funktion. Dann sind äquivalent:

(1) f ist gleichmäßig stetig.

(2) (x, y ∈ ^{∗}ℝ und x ≈ y) ⟹ ^{∗}f(x) ≈ ^{∗}f(y).

Beweis: ”⇒ “: Seien x, y ∈ ^{∗}ℝ mit x ≈ y. Es ist zu zeigen: |^{∗}f(x) −^{∗}f(y)| ≤ \frac{1}{n} für alle n ∈ ℕ. Sei n ∈ ℕ fest; dann gibt es nach (1) ein δ ∈ ℝ mit δ > 0, so dass (r, s ∈ ℝ und |r − s| ≤ δ) ⟹ |f(r) − f(s)| ≤ \frac{1}{n}.

Für geeignete α, β ∈ ℝ^{ℕ} ist x = ᾱ, y = β̄. Wegen ᾱ ≈ β̄ gilt: |α(i) − β(i)| ≤ δ fast überall ⇒ |f(α(i)) − f(β(i))| ≤ \frac{1}{n} f.ü. ⇒ |\overline{f ∘ α} − \overline{f ∘ β}| ≤ \frac{1}{n}, und es gilt somit: |^{∗}f(x) −^{∗}f(y)| = |^{∗}f(ᾱ) −^{∗}f(β̄)| = |\overline{f ∘ α} − \overline{f ∘ β}| ≤ \frac{1}{n}.

”⇐“: Sei nun indirekt f nicht gleichmäßig stetig. Dann existieren ein ε ∈ ℝ mit ε > 0 und zu jedem i ∈ ℕ Zahlen α(i), β(i) ∈ ℝ, so dass gilt:

(i) |α(i) − β(i)| ≤ \frac{1}{i} (ii) |f(α(i)) − f(β(i))| ≥ ε

Nach (i) gilt: ᾱ ≈ β̄ und somit nach (2): ^{∗}f(ᾱ) ≈ ^{∗}f(β̄). Nach (ii) gilt aber: |^{∗}f(ᾱ) −^{∗}f(β̄)| ≥ ε. Widerspruch!

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Satz 5 (Nichtstandard-Kriterium für Differenzierbarkeit). Sei f : ℝ ⟶ ℝ eine Funktion und x_{0} ∈ ℝ. Sei c ∈ ℝ; dann sind äquivalent:

(1) f ist in x_{0} differenzierbar mit Ableitung f′(x_{0}) = c;

(2) \frac{^{∗}f(x_{0}+dx)−f(x_{0})}{dx} ≈ c für alle 0 ≠ dx ≈ 0.

Beweis: Setze g(x) := \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} für x ∈ ℝ mit x ≠ x_{0} und g(x_{0}) := c. Dann gilt:

(1) ⟺g ist stetig in x_{0} ⟺ ^{∗}g(x) ≈ c für alle x ∈ ^{∗}ℝ mit x ≈ x_{0};

(2) ⟺ \frac{^{∗}f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} für alle x ∈ ^{∗}ℝ mit x ≈ x_{0} und x ≠ x_{0}. Daher ist (1) äquivalent zu (2), falls folgendes gilt:

(i) ^{∗}g(x) = \frac{^{∗}f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} für alle x ∈ ^{∗}ℝ mit x ≠ x_{0}. Nach Definition von g ist f(x) = f(x_{0}) + (x − x_{0})g(x), x ∈ ℝ, und aus Satz 2 folgt nun: ∗f(x) = f(x_{0}) + (x − x_{0})^{∗}g(x), x ∈ ^{∗}ℝ. Daraus folgt (i).

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Einen Ausblick auf das Transfer-Prinzip erlaubt diese Formulierung eines ”eingeschränkten Transfer-Prinzips“.

Satz 6 (Eingeschränktes Transfer-Prinzip). Es sei φ eine Aussage, in der Funktionen f_{1}, …, f_{m}, die Menge ℝ, reelle Zahlen sowie +, −, ·,≤, | | und die Zeichen =, ∈, ∧, ∨, ¬, ⇒, ∀\underline{x}, ∃\underline{y}, vorkommen; dabei sind \underline{x}, \underline{y} Variable. Dann ist die Aussage φ genau dann gültig, wenn die Aussage ^{∗}φ gültig ist; dabei entsteht ^{∗}φ aus φ dadurch, dass f_{1} …, f_{m} durch ^{∗}f_{1} …,^{∗} f_{m} und ℝ durch ^{∗}ℝ ersetzt werden.

Mit Hilfe des Transfer-Prinzips kann man Aussagen, die in ℝ gelten auf ^{∗}ℝ übertragen. Dabei muss man allerdings darauf achten, dass in der Aussage keine anderen Zeichen verwendet werden, als die oben aufgeführten. Zum Beispiel bleibt die Kommutativität der Addition für Elemente von ∗ℝ erhalten. Denn die Gültigkeit der Aussage

φ ≡ (∀\underline{x} ∈ ℝ)(∀\underline{y} ∈ ℝ)\underline{x} + \underline{y} = \underline{y} + \underline{x} überträgt sich auf die Gültigkeit der Aussage

∗φ ≡ (∀\underline{x} ∈ ^{∗}ℝ)(∀\underline{y} ∈ ^{∗}ℝ)\underline{x} + \underline{y} = \underline{y} + \underline{x}.