Mathematisches Institut

Mengenlehre & Logik II

Sommersemester 2001 Benedikt Löwe

Blatt 9 Abgabetermin: 28. Juni 2001

Aufgabe 41 (wiederholt von Blatt 8)

Sei ⟨X, τ⟩ ein topologischer Raum. Zeigen Sie, daß die Familie der mageren Mengen ein σ-Ideal bildet. (Vergleichen Sie Proposition (11.2).)

Aufgabe 42 (wiederholt von Blatt 8)

Sei ⟨X, τ⟩ ein topologischer Raum und A ⊆ X.

(1) Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) A ist nirgends dicht im Sinne von Definition (11.1), und

(b) für alle offenen Mengen P ⊆ X gilt, daß A ∩ P nicht dicht in P ist.

(2) Zeigen Sie, daß der Abschluß einer nirgends dichten Menge wieder nirgends dicht ist.

(3) Zeigen Sie, daß das Komplement einer nirgends dichten Menge dicht ist.

Aufgabe 43 (wiederholt von Blatt 8)

Zeigen Sie die Aussage von Proposition (11.6) “Es gibt eine Teilmenge A ⊆ ω^{ω}, die nicht die Baire-Eigenschaft hat” durch einen direkten Beweis, d.h. ohne Verwendung von (7.12).

Idee: Siehe Blatt 8.

Aufgabe 44

Zeigen Sie, daß LO und die Menge A definiert durch

⟨x, y⟩ ∈ A ⟺ y ∈ LO und x ist eine absteigende Kette durch y

Borelmengen sind. (Sie finden die Definitionen in (12.5).)

Aufgabe 45 Zeigen Sie, daß die Menge WT Π_{1}^{1}(2^{ω}) ist. (Die Definition finden Sie in (12.10).)

Aufgabe 46

Sei c : 2^{ω} → 𝔓(ω^{<ω}) die Bijektion, die wir zum Kodieren von Bäumen verwenden. Sei π die Abbildung, die jedem x den Kode für den Baum T_{x} zuordnet, d.h.

c(π(x)) = T_{x}.

Zeigen Sie, daß die Abbildung π stetig ist.