Mathematisches Institut

Mengenlehre & Logik II

Sommersemester 2001 Benedikt Löwe

Blatt 7 Abgabetermin: 15. Juni 2001 (Postfach “Rohde”)

Aufgabe 32 (Wiederholt von Blatt 6)

Sei ⟨ξ, τ_{<}⟩ eine Ordinalzahltopologie (d.h. eine Ordinalzahl mit der Ordnungstopologie) und α ∈ ξ mit

α = ω^{α_{n}}k_{n} + … + ω^{α_{0}}k_{0}

(wobei α_{n} > … > α_{0} und 0 < k_{i} < ω; der Satz über die Cantor-Normalform sagt, daß jede Ordinalzahl eine eindeutige solche Darstellung hat).

Dann gilt: rank_{CB}(α) = α_{0}.

Aufgabe 33 (Wiederholt von Blatt 6)

(1) Sei ⟨X, τ⟩ ein topologischer Raum und seien A, B ⊆ X mit A∩B = ∅, A∪B = X und A, B ∈ τ. Dann sind A ⨿ B und X homöomorph.

(2) Seien ⟨X, τ⟩ und ⟨Y, τ^{∗}⟩ polnische Räume. Dann ist auch X ⨿ Y ein polnischer Raum.

Aufgabe 34

Sei ⟨X, τ ein polnischer Raum mit Metrik d. Sei F ⊆ X eine abgeschlossene Menge. Dann können wir eine Metrik auf X \ F wie folgt definieren:

d^{∗}(x, y) := d(x, y) + |\frac{1}{d(x, F)} − \frac{1}{d(y, F)}| .

Zeigen Sie:

(1) d^{∗} ist eine vollständige Metrik auf X \ F, und

(2) die von d^{∗} erzeugte Topologie ist gleich der Subraumtopologie.

Aufgabe 35

Seien X und Y polnische Räume und F ⊆ X abgeschlossen. Sei f : F → Y eine stetige Funktion.

(1) Zeigen Sie, daß f ⊆ X × Y eine abgeschlossene Teilmenge ist.

(2) Braucht man wirklich, daß X und Y polnisch sind? Welche Eigenschaften der topologischen Räume reichen aus um (1) zu beweisen?

Aufgabe 36

Gruppieren Sie die folgenden Ordinalzahlen nach Homöomorphietypen:

• ω^{7} + 7,

• ω^{7} + ω · 7 + 7,

• ω^{7} + ω^{7},

• ω^{7} + ω^{7} + 7,

• ω · 7 + 7,

• ω · 7 + ω^{7} + 7,

• ω^{7} · ω^{7} + 7,

• ω^{7} + ω · ω^{7} + 7,

• ω^{7} + ω · 7 + ω · 7 + ω · 7 + 7 + 7 + 7,

• ω^{7} + ω · 7 + 7 + ω^{7} + ω · 7 + 7,

• 7,

• ω · 7,

• ω · 7 + 7 + 7 + ω^{7}.

Aufgabe 37

(1) Zeigen Sie, daß die Punktklasse Σ_{1}^{1} eine Fettdruck-Punktklasse ist, d.h. abgeschlossen unter stetigen Urbildern ist.

(2) Zeigen Sie, daß die Punktklasse Σ_{1}^{1} unter Projektionen abgeschlossen ist.

(3) Sei S = ⟨S_{s} ; s ∈ ω^{<ω}⟩ eine Familie von Mengen. Wir definieren A(S) := ⋃_{x∈ω^{ω}} ⋂_{n∈ω} S_{x↾n}. Wir sagen, eine Punktklasse Γ sei unter der Operation A abgeschlossen, falls für alle Familien S = ⟨S_{s} ; s ∈ ω^{<ω}⟩ mit S_{s} ∈ Γ für alle s ∈ ω^{<ω}, die Menge A(S) immer noch in Γ ist.

Zeigen Sie, daß Σ_{1}^{1} unter der Operation A abgeschlossen ist.

Aufgabe 38

Wir verallgemeinern den Begriff κ-Suslin ein wenig: Eine Menge A ⊆ (ω^{ω})^{n} heisst κ-Suslin falls eine Menge X mit Mächtigkeit κ und ein Baum T auf X × ω^{n} existiert, so daß A = p([T]). Zeigen Sie:

(1) Falls A ⊆ (ω^{ω})^{n+1} κ-Suslin ist, so ist auch p(A) ⊆ (ω^{ω})^{n} κ-Suslin.

(2) Falls ⟨A_{ξ} ; ξ < κ⟩ eine Familie von Mengen ist, von denen jede κ-Suslin ist, so ist auch ⋃_{ξ<κ} κ-Suslin.

(3) Die Σ_{1}^{1}(ω^{ω})-Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung.

(4) Jede κ-Suslin-Menge A erfüllt die folgende schwache Form der Kontinuumshypothese: Entweder ist die Kardinalität von A kleiner oder gleich κ, oder sie ist 𝔠.

Aufgabe 39

Seien I und J beliebige Indexmengen. Seien A und B Mengen mit A = ⋃_{i∈I} A_{i} und B = ⋃_{j∈J} B_{j}. Wir nehmen an, daß für alle i ∈ I und j ∈ J eine Menge C_{ij} existiert, die A_{i} und B_{j} separiert. Dann separiert C := ⋃_{i∈I} ⋂_{j∈J} C_{ij} A und B.