Mathematisches Institut

Mengenlehre & Logik II

Sommersemester 2001 Benedikt Löwe

Blatt 6 Abgabetermin: 31. Mai 2001

Aufgabe 28 Beweisen Sie, daß die Anzahl der Borelmengen 𝔠 ist. (Hinweis: Induktion nach α. Den Induktionsanfang bildet die Baumdarstellung der

Π_{1}^{0}-Mengen und die Berechnung der Mächtigkeit von PT.)

Aufgabe 29 In dieser Aufgabe arbeiten wir nicht in ZFC, sondern in ZF+¬AC ! Nehmen Sie an, daß es eine Familie ⟨X_{i} ; i ∈ ω⟩, so daß jede Menge X_{i} abzählbar ist

und ω^{ω} = ⋃_{i∈ω} X_{i}. (Warum widerspricht das AC?) Zeigen Sie, daß dann jede Teilmenge A ⊆ ω^{ω} eine F_{σ}-Menge ist.

Wie verhält sich dies mit der Konstruktion einer universellen G_{δ}-Menge? Warum ist dies kein Widerspruch?

Achtung: Diese Aufgabe ist leicht aber etwas subtil, weil eine korrekte Bearbeitung voraussetzt, daß man strikt ohne Verwendung des Auswahlaxioms arbeitet. Man sollte sich vorher sehr genau überlegen, welche Operationen ohne das Auswahlaxiom noch erlaubt sind. Z.B. kann man ohne AC nicht folgern, daß eine Familie ⟨x_{ij} ; i, j ∈ ω⟩ gibt, so daß x_{ij} das i-te Element von X_{j} ist.

Aufgabe 30 Zeigen Sie die folgende äquivalente Umformulierung des Cantor-Bendixson-Ranges: Seien X ein topologischer Raum, x ∈ X und α eine Ordinalzahl. Äquivalent sind:

(1) rank_{CB}(X) = α, und

(2) x ∉ CB_{α+1}(X) und es existiert ein Filter F auf R_{α}, der gegen x konvergiert.

Aufgabe 31

Folgen Sie Beispiel (9.7) und geben Sie Beispiele für Teilmengen von ω^{ω} an, die Cantor-Bendixson-Zahl ω, ω + 1 und ω^{2} haben.

Aufgabe 32

Sei ⟨ξ, τ_{<}⟩ eine Ordinalzahltopologie (d.h. eine Ordinalzahl mit der Ordnungstopologie) und α ∈ ξ mit

α = ω^{α_{n}}k_{n} + … + ω^{α_{0}}k_{0}

(wobei α_{n} > … > α_{0} und 0 < k_{i} < ω; der Satz über die Cantor-Normalform sagt, daß jede Ordinalzahl eine eindeutige solche Darstellung hat).

Dann gilt: rank_{CB}(α) = α_{0}.

Aufgabe 33

(1) Sei ⟨X, τ⟩ ein topologischer Raum und seien A, B ⊆ X mit A∩B = ∅, A∪B = X und A, B ∈ τ. Dann sind A ⨿ B und X homöomorph.

(2) Seien ⟨X, τ⟩ und ⟨Y, τ^{∗}⟩ polnische Räume. Dann ist auch X ⨿ Y ein polnischer Raum.