Mathematisches Institut

Mengenlehre & Logik II

Sommersemester 2001 Benedikt Löwe

Blatt 3 Abgabetermin: 10. Mai 2001

Aufgabe 12 (Wiederholt von Übungsblatt 2)

Sei X mit der diskreten Topologie versehen, und sei S_{Stone} := {O_{A} ; ∅ ≠ A ⊆ X} die Basis des Stoneraums � (X) über X wie in Definition (3.6).

(1) Zeigen Sie, daß jede Menge dieser Basis sowohl offen als auch abgeschlossen ist. (Vgl. (3.7).)

(2) Zeigen Sie, daß einpunktige Mengen {F} abgeschlossen sin d.

(3) Zeigen Sie darüber hinaus, daß die speziellen einpunktigen Mengen {F({{x}})}, die einen Hauptultrafilter enthalten, sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

(4) Zeigen Sie, daß für alle U ⊆ � (X) gilt:

cl(U) := {F ; ∀A ∈ F(∃F^{∗} ∈ U(A ∈ F^{∗}))}.

(5) Betrachten Sie die stetige Funktion j : X → � (X) aus (3.8) und (3.9) definiert

durch

j : x ↦ F({{x}})

und deren Bild j[X] versehen mit der Subraumtopologie. Zeigen Sie, daß j[X] und X homöomorph sind. [D.h., j bettet X dicht in � (X) ein.]

Aufgabe 13

Prüfen Sie nach, daß x genau dann ein Häufungspunkt der Folge ⟨x_{i} ; i ∈ ω⟩ ist, wenn x ein Berührpunkt des von ⟨x_{i} ; i ∈ ω⟩ erzeugten Filters ist. (Vgl. (4.2).)

Aufgabe 14

Sei X ein topologischer Raum, A ⊆ X, F ein Filter auf A und x ∈ X. Zeigen Sie, daß x genau dann ein Berührpunkt von F ist, wenn es einen Filter G ⊇ F auf A gibt, der gegen x konvergiert. (Vgl. (4.3).)

Aufgabe 15

Sei X ein Hausdorffscher Raum und A ⊆ X mit der Subraumtopologie versehen. Zeigen Sie, daß A ebenfalls Hausdorffsch ist. (Vgl. (4.5).)

Aufgabe 16

Wir definieren einen neuen Begriff der Konvergenz: Sei X ein topologischer Raum und x⃗ := ⟨x_{α} ; α < ω_{1}⟩ eine Folge der Länge ω_{1}. Wir sagen, daß x⃗ gegen x konvergiert, falls es für jedes U ∈ U(x) ein β < ω_{1} gibt, so daß {x_{α} ; α > β} ⊆ U.

Sei nun A ⊆ X. Wir betrachten die Menge der ω_{1}-Limiten von A:

LP_{ω_{1}}(A) := {x ∈ X ; ∃x⃗ ⊆ A (x⃗ konvergiert gegen x) }.

Zeigen Sie:

(1) LP_{ω_{1}}(A) ⊆ cl_{X}(A).

(2) Es gibt einen topologischen Raum X und eine Teilmenge A ⊆ X mit LP_{ω_{1}}(A) ≠

cl_{X}(A). (Tip: Verallgemeinern Sie den Beweis von (4.9) auf X = ω_{2} + 1.)

(3) Verallgemeinern Sie das Phänomen von (2) auf Folgen beliebiger fixierter Länge.

Aufgabe 17

Die Cantormenge (wie definiert in (5.2)) besteht exakt aus denjenigen reellen Zahlen zwischen 0 und 1, deren Ternärbruchentwicklung keine 1 enthält.