Mathematisches Institut

Mengenlehre & Logik II

Sommersemester 2001 Benedikt Löwe

Blatt 2 Abgabetermin: 3. Mai 2001

Aufgabe 7

(1) Sei α eine beliebige abzählbare Ordinalzahl mit der Ordnungstopologie. Zeigen Sie, daß 𝔅(τ_{<}) die diskrete σ-Algebra ist.

(2) Listen Sie alle Topologien und σ-Algebren auf der Menge 3 = {0, 1, 2} auf. Welche der Topologien ist die Ordnungstopologie? Welche der σ-Algebren ist die von der Ordnungstopologie erzeugte σ-Algebra?

Aufgabe 8

(1) Seien n und m natürliche Zahlen mit n ≠ m. Zeigen Sie: Dann sind ⟨ω · n, τ_{<}⟩ und ⟨ω · m, τ_{<}⟩ nicht homöomorph.

(2) Zeigen Sie: Keiner der Räume ⟨ω · n, τ_{<}⟩ ist homöomorph zu ⟨ω^{2}, τ_{<}⟩.

Aufgabe 9 Sei ⟨X, τ⟩ ein topologischer Raum und A ⊆ X. Zeigen Sie, daß die Menge

{A ∩ O ; O ∈ τ}

die Subraumtopologie auf A ist.

Aufgabe 10

(1) Sei U ein Ultrafilter auf X. Zeigen Sie, daß

μ_{U} := \{ \begin{matrix}0 & if A ∉ U \\ 1 & if A ∈ U \end{matrix}

ein zweiwertiges Maß auf der diskreten σ-Algebra auf X ist. (Vgl. (3.10)(a).)

(2) Sei μ ein zweiwertiges Maß auf der diskreten σ-Algebra auf X. Zeigen Sie, daß U_{μ} := {A ⊆ X ; μ(A) = 1} ein Ultrafilter auf X ist. (Vgl. (3.10)(b).)

(3) Sei μ ein Maß auf einer σ-Algebra 𝔄. Zeigen Sie: Die Menge der μ-Nullmengen bildet ein Ideal, welches unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist. (Ein solches Ideal nennt man auch ein σ-Ideal.)

Aufgabe 11

Seien X und Y zwei Mengen, π : X → Y eine Abbildung, F ein Filter auf Y und I ein Ideal auf Y. Man definiere:

A ∈ π^{∗}F :↔ π[A] ∈ F, und
A ∈ π^{∗}I :↔ π[A] ∈ I.

(1) Zeigen Sie, daß π^{∗}F ein Filter ist, wenn π[X] ∈ F.

(2) Zeigen Sie, daß π^{∗}I ein Ideal ist, wenn π[X] ∉ I.

(3) Nehmen Sie an, π sei surjektiv und F sei ein Ultrafilter. Zeigen Sie, daß dann auch π^{∗}F ein Ultrafilter ist.

Aufgabe 12

Sei X mit der diskreten Topologie versehen, und sei S_{Stone} := {O_{A} ; ∅ ≠ A ⊆ X} die Basis des Stoneraums � (X) über X wie in Definition (3.6).

(1) Zeigen Sie, daß jede Menge dieser Basis sowohl offen als auch abgeschlossen ist. (Vgl. (3.7).)

(2) Zeigen Sie, daß einpunktige Mengen {F} abgeschlossen sind.

(3) Zeigen Sie darüber hinaus, daß die speziellen einpunktigen Mengen {F({{x}})}, die einen Hauptultrafilter enthalten, sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

(4) Zeigen Sie, daß für alle U ⊆ � (X) gilt:

cl(U) := {F ; ∀A ∈ F(∃F^{∗} ∈ U(A ∈ F^{∗}))}.

(5) Betrachten Sie die stetige Funktion j : X → � (X) aus (3.8) und (3.9) definiert

durch

j : x ↦ F({{x}})

und deren Bild j[X] versehen mit der Subraumtopologie. Zeigen Sie, daß j[X] und X homöomorph sind. [D.h., j bettet X dicht in � (X) ein.]