Mathematical Logic Group
(Department of Mathematics, University of Bonn)

Projekt Determiniertheit und Kombinatorik

Das Projekt "Determiniertheit und Kombinatorik" wird von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (KO 1353/3-1) und der Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (DN 61-532) im Rahmen des bilateral cooperation programme NWO-DFG gefördert.

Projektmitglieder:

Zusammenfassung:

Das Projekt ``Determiniertheit und Kombinatorik'' ist ein internationales Forschungsprojekt mit dem Ziel, starke kombinatorische Konsequenzen von Determiniertheitsaxiomen und deren Stärke in der Konsistenzstärkehierarchie mit der Erzwingungsmethode und inneren Modellen zu untersuchen. Hierbei geht es insbesondere um infinitäre Partitionseigenschaften wie die starke und die schwache Partitionseigenschaft der projektiven Ordinalzahlen und andere Kardinalzahleigenschaften unterhalb der deskriptiven Kardinalzahl Theta. Das Projekt verbindet in besonderer Weise Deskriptive Mengenlehre und infinitäre Kombinatorik in Modellen ohne Auswahlaxiom.

Bisherige Arbeiten im Rahmen des Projekts

Ziele und Arbeitsprogramm

Das Projekt gliedert sich in drei Schwerpunktbereiche auf. Wir wollen (a) weitere Anwendungen der Beschreibungstheorie von S.Jackson finden und ausarbeiten, wir wollen (b) analoge Ergebnisse zur Theorie von ZF+AD unter Annahme von verschiedenen Varianten von Determiniertheitsaxiomen erarbeiten, und wir wollen (c) die Konsequenzen von Determiniertheit mit Methoden der inneren Modelltheorie auf Konsistenzstärke untersuchen.

(a) Anwendung der Jacksonschen Beschreibungstheorie

S.Jackson unterscheidet bei der Behandlung der kombinatorischen Konsequenzen von AD zwischen der sogenannten Typ I-Theorie (erststufige Aussagen über Mengen von Ordinalzahlen; z.B. Aussagen wie die starke Partitionseigenschaft) und der Typ II-Theorie (zweitstufige Aussagen über Mengen von Ordinalzahlen; z.B. Aussagen über Superkompaktheits-Maße).
Die Typ I-Theorie ist inzwischen recht gut verstanden. Allerdings ist hierzu nahezu nichts veröffentlicht. S.Jackson hat in den Jahren seit 1990 mit Hilfe der Beschreibungstheorie die Typ I-Theorie bis über das Supremum der projektiven Ordinalzahlen hinaus erforscht. Es wäre nötig, diese Ergebnisse in einer allgemein zugänglichen Form aufzuschreiben und der Öffentlichkeit zu präsentieren. Die bislang von S.Jackson veröffentlichten Artikel und Bücher behandeln nur die untersten Stufen der projektiven Hierarchie.
Im Gegensatz dazu ist von der Typ II-Theorie noch nicht viel bekannt. Im wesentlichen beschränken sich die Kenntnisse der Typ II-Theorie auf die Arbeiten von H.Becker, S.Jackson sowie C.Di Prisco und J.Henle , die von S.Bold in seiner Diplomarbeit aufgearbeitet wurden.
Die Techniken, die B.Löwe in seiner Arbeit über Kleinbergsequenzen verwendet hat, um die Kleinberg-Folgen zwischen delta13 und delta15 zu berechnen, sollten sich auch auf höhere projektive Ordinalzahlen verallgemeinern lassen, wenn man ein Analogon vom Jackson-Khafizov-Resultat über die exakte Bestimmung der Konfinalitätsfunktion beweisen kann.

(b) Andere Determiniertheitsannahmen

Es gibt verschiedene Varianten des Axioms der Determiniertheit. Einige davon sind Verstärkungen (lange Spiele, Spiele mit komplizierteren Zügen, z.B. ADR), andere sind echte Varianten (Veränderung der Bedingungen für Strategien, wie z.B. bei der Blackwell-Determiniertheit). Ziel des Schwerpunktes (b) ist die Untersuchung solcher Varianten des Axioms der Determiniertheit und die eventuelle Übertragung der Ergebnisse aus der AD-Situation.
B.Löwe hat auf dem Gebiet der Blackwell-Determiniertheit gearbeitet. Seine Arbeiten enthalten unter anderem einen Beweis der starken Partitionseigenschaft von aleph1 unter Annahme des Axioms der Blackwell-Determiniertheit. Bislang sind die Jackson-Ergebnisse nicht unter Annahme des Axioms der Blackwell-Determiniertheit simulierbar, aber einige Teilergebnisse sind sicherlich übertragbar. Ein neuer Beweis der starken Partitionseigenschaft von aleph1 von S.Jackson gibt eine neue und uniforme Beweismethode für kombinatorische Eigenschaften der projektiven Ordinalzahlen, die eventuell auch einen uniformen (nicht-induktiven) Beweis der Partitionseigenschaften der projektiven Ordinalzahlen ermöglicht. Es wäre zu untersuchen, ob ein solcher Beweis im Gegensatz zum induktiven Beweis auch unter Annahme von Blackwell-Determiniertheit geführt werden kann.

Im Bereich der verallgemeinerten Determiniertheitsaxiome ergeben sich Verbindungen zu den Amsterdamer Projekten InIGMA und VMOSII, an denen B.Löwe zusammen mit Johan van Benthem und Peter van Emde Boas beteiligt ist.

(c) Konsistenzstärkeanalyse

Wie in den vorherigen Abschnitten beschrieben, hat AD weitreichende Konsequenzen in der infinitären Kombinatorik, die Konsistenzstärke dieser Auswirkungen ist jedoch oft noch unbekannt. Die Existenz von konfinal vielen Kardinalzahlen mit der starken Partitionseigenschaft unterhalb von Theta ist nach Ergebnissen von Kechris und Woodin äquikonsistent mit AD, aber über die Konsistenzstärke der starken oder schwachen Partitionseigenschaft einer einzelnen Kardinalzahl ist fast nichts bekannt:
Aus Arbeiten von Ralf Schindler über aufeinanderfolgende schwach kompakte Kardinalzahlen ergibt sich als untere Schranke für die Konsistenzstärke (unter geeigneten metamathematischen und kombinatorischen Annahmen) für die starke Partitionseigenschaft einer Kardinalzahl eine Woodin-Kardinalzahl. Es ist unbekannt, ob ähnliches für die schwache Partitionseigenschaft möglich ist. Ebenso ist unbekannt, ob man mit Methoden der Kernmodellinduktion mehr erhalten kann. Kernmodellinduktion ist eine von Hugh Woodin entwickelte Technik, mit der man innere Modelle von höheren Determiniertsaxiomen konstruieren kann, um höhere untere Schranken der Konsistenzstärke zu erhalten.

Auch unbekannt ist, ob die starke Partitionseigenschaft mit zwei Farben (also kappa->(kappa)kappa2) und die starke Partitionseigenschaft mit weniger als kappa Farben äquikonsistent oder sogar äquivalent sind.
Ähnliche Fragen kann man für andere Muster von großen Kardinalzahlen, die unter AD auftauchen, stellen. Dieses Projekt wurde von A.Apter für meßbare Kardinalzahlen begonnen. Im Jahre 2000 hat P.Koepke zusammen mit A.Apter die Konsistenzstärke der Aussage "alephomega ist Rowbottom" in der Basistheorie ZF exakt berechnet.
Im April 2002 haben A.Apter und P.Koepke bei einem Besuch in New York zahlreiche Varianten der Aussage "alephomega ist Rowbottom" untersucht und Strategien für ihre Untersuchung mit Forcing-Methoden, Großen Kardinalzahlen und Inneren Modellen entworfen. Zu diesem Teilprojekt gehört auch die Konstruktion von Modellen ohne Auswahlaxiom, in denen der Satz von Silver "Wenn die GCH unterhalb einer singulären Kardinalzahl kappa von überabzählbarer Konfinalität gilt, so gilt sie auch für kappa" gilt oder der Satz von Shelah "Wenn die GCH unterhalb von alephomega gilt, so ist alephomega4 > 2alephomega" falsch ist. Dies zeigt, daß diese Sätze und die Shelahsche pcf-Theorie wesentlich auf dem Auswahlaxiom beruhen.

Last changed: November 25th, 2003