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\P\vskip1cm

\centerline{\cmrXX Differentialgeometrie I, WS00/01}
\centerline{\cmrX H. Karcher, Bonn}

\vskip3cm\LF
{\sc \P0. Kommentiertes Inhaltsverzeichnis}
\LF
{\sc \P1. Bogenl\"ange in Metrischen R\"aumen,} 18.10 - 3.11.
\LF
{\sc \P2. Kurvenkr\"ummung, metrische Definition,} 3.11. - 10.11.
\LF
{\sc \P3. Weitere Metrische R\"aume,} 15.11. - 29.11.
\LF
{\sc \P4. Differentialgleichung der Geod\"atischen,} 1.12. - 13.12.
\LF
{\sc \P5. Kr\"ummung von Hyperfl\"achen,} 15.12. - 20.12.
\LF
{\sc \P6. Hyperbolische Geometrie,} 5.1. - 10.1.
\LF
{\sc \P7. Kovariante Ableitung,} 12.1. - 19.1.
\LF
{\sc \P8. Riemannsche Differentialrechnung I,} 24.1. - 31.1.
\LF
{\sc \P9. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten,} 2.2. - 7.2.
\LF
{\sc 10. Riemannsche Differentialrechnung II,} 9.2.
\LF
{\sc 11. Theorema Egregium,} 14.2.
\LF
{\sc 12. Linearisierung von Differentialgleichungen,} 16.2.
\LF
{\sc 13. Zwei Nachtr\"age zur Kurventheorie}
\vskip5mm\LF
{\sc Die \"Ubungsaufgaben sind wesentlicher Teil dieser Vorlesung.}

\vfill\eject
\centerline{\sc  0. Kommentiertes Inhaltsverzeichnis}
\LF
{\it 1. Bogenl\"ange in Metrischen R\"aumen,} \hfill S.4 \lf
Definition und Stetigkeitseigenschaften der Bogenl\"ange, Innere Metrik und
Arzela-Ascoli K\"urzeste, Zusammenspiel mit der Differentialrechnung:
Konvexit\"at,
K\"urzeste auf $\BS^2$.
\LF
{\it  2. Kurvenkr\"ummung,} \hfill S.7  \lf
Verallgemeinerbare Definitionen: ``Kippgeschwindigkeit der Normalen'' und
``L\"angen\"an\-derung in Parallelkurvenscharen'', erste Ausdehnung: $\BS^2$,
Rekonstruktion von Kurven in $\BR^2, \BS^2$ aus ihrer Kr\"ummung, Frenettheorie
in $\BR^3$ und Charakterisierung sph\"arischer Kurven.
\LF
{\it  3. Weitere Metrische R\"aume,} \hfill S.12  \lf
Abstand zwischen den Bahnen von Isometriegruppen, Hausdorff-Abstand
zwischen kompakten
Mengen, rektifizierbare Verbindbarkeit, Innere Metrik auf Funktionsgraphen
$f:\BR^d\to\BR$, Graph-Karten auf den Niveaumengen von $h:\BR^n\to \BR^c$,
Beispiel
$SO(n)$, $\exp: Skew(n)\to SO(n)$ und K\"urzeste.
\LF
{\it  4. Differentialgleichung der Geod\"atischen,} \hfill S.17  \lf
Herleitung f\"ur Untermannigfaltigkeiten, sowohl in der Beschreibung als
Niveau von $h$
wie auch als parametrisiertes Bild $F(B)$, Christoffelabbildung $\Gamma$ als
Tangentialkomponente der zweiten Ableitung von $F$, Kurvenkr\"ummung
relativ zur inneren
Metrik von Untermannigfaltigkeiten, Bestimmung der Christoffelabbildung
$\Gamma$
aus den Ersten Ableitungen der Riemannschen Metrik.
\LF
{\it  5. Kr\"ummung von Hyperfl\"achen,} \hfill S.22   \lf
Kippgeschwindigkeit eines Normalenfeldes $N$ einerseits und \"Anderung der
Riemannschen
Metrik in Parallelfl\"achenscharen $F_\epsilon = F + \epsilon\cdot N$
andererseits
f\"uhren auf dieselbe ``Weingartenkr\"ummung'', das symmetrische
Endomorphismenfeld
$S$, $TN = TF\cdot S$, Uminterpretation als ``Hyperfl\"achengleichungen''
bei gegebener
Metrik $g$ und Kr\"ummung $S$, Speziali\-sierung l\"angs Kurven zu
gew\"ohnlichen
Differentialgleichungen.
\LF
{\it  6. Hyperbolische Geometrie,} \hfill S.26  \lf
Hyperboloid Modell im Lorentzraum, transitive Isometriegruppe $O(n,1)$,
K\"urzeste,
Drei\-ecksformeln, stereographische Projektion.
\LF
{\it  7. Kovariante Ableitung,} \hfill S.29  \lf
Minimal rotierende Vektorfelder a) im Normalenb\"undel von Kurven in $\BR^n$,
b) im Tangentialb\"undel von Untermannigfaltigkeiten, l\"angs Kurven,
Beschreibung
durch gew\"ohnliche Differentialgleichungen, Interpretation als
``Parallelverschiebung''
l\"angs Kurven, Differentiation von Linearkombinationen ``paralleler''
Vektorfelder,
kovariante und kontravariante Vektoren, kovariante Ableitung vertr\"aglich mit
Kartenwechseln.
\LF
{\it  8. Riemannsche Differentialrechnung I,} \hfill S.32  \lf
Symmetrische Hessesche von Funktionen, Lieklammer von Vektorfeldern und
iterierte
Ab\-leitung von Funktionen, kovariante Ableitung von Endomorphismenfeldern,
Codazzi Glei\- chung, Nabelhyperfl\"achen ($S=f\cdot\id$), kommutierende
Fl\"usse
von Vektorfeldern und $[X,Y]=0$, Koszul-Formel: kovariante Ableitung f\"ur jede
Riemannsche Metrik.
\LF
{\it  9. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten,} \hfill S.39  \lf
Abstraktion auf Grund der bei Untermannigfaltigkeiten gesammelten Erfahrungen:
Karten, differenzierbare Kartenwechsel, Tangentialvektoren m\"ussen anders als
vorher definiert werden: als \"Aquivalenzklassen, erster Erfolg: Integration
von Vektorfeldern auf Mannigfal\-tig\-keiten.
\LF
{\it 10. Riemannsche Differentialrechnung II,} \hfill S.41  \lf
Iterierte und tensorielle zweite Ableitungen von Vektorfeldern, der
schiefsymmetrische
Teil der zweiten Ableitung eines Vektorfeldes: $(D^2_{X,Y} - D^2_{Y,X})Z$
ist (meistens)
nicht null und h\"angt nur von den Werten von $Z$ ab (lokale Formel),
Kr\"ummungstensor,
Produktregel f\"ur $(D^2_{X,Y} - D^2_{Y,X})$ und Symmetrien des
Kr\"ummungstensors.
\LF
{\it 11. Theorema Egregium,} \hfill S.43  \lf
Riccati Differentialgleichung f\"ur die geod\"atische Kr\"ummung von
Parallel\-kurven\-scharen wird vom Kr\"ummungstensor kontrolliert, auf
Fl\"achen
auch von der Determinante $\det S$ der Weingartenabbildung: Gau\ss\
Theorema Egregium,
Hyperfl\"achenversion durch Differenzieren der Fl\"achengleichungen.
\LF
{\it 12. Linearisierung von Differentialgleichungen,} \hfill S.47  \lf
Differenzierbare Abh\"angigkeit der L\"osungen von Parametern in der
Differentialgleichung, die Ableitung l\"ost die ''linearisierte
Differentialgleichung'',
Linearisieren der geod\"atischen Gleichung gibt die Jacobische
Differentialgleichung.
\LF
{\it 13. Zwei Nachtr\"age zur Kurventheorie,} \hfill S.48   \lf
Kurventheorie f\"ur zweimal stetig differenzierbare Kurven in
$d$-dimensiona\-len Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von im
Normalenb\"undel
parallelen Vektorfeldern, Spezialisierung der Hyperfl\"achengleichung
l\"angs Kurven
unter Benutzung (Riemannsch) paralleler Basen.

\vfill\eject\noindent
{\bf 1. + 2. Woche} \hfill 18.10.-27.10.2000 \lf
\centerline{\sc 1. Bogenl\"ange, Konvexit\"at, Beispiele}
\LF
Definition der Bogenl\"ange in metrischen R\"aumen $M$ f\"ur (stetige) Kurven
$c : [a,b] \to M$ mit Hilfe von Einteilungen $\ST,\  a=t_0 < t_1,\dots,<t_n
= b$
durch \lf  \Ph3
 $\La(c):= \sup_{\ST} \sum_{j=1}^n d(c(t_j), c(t_{j-1}))  \hbox{ falls }
<\infty$.
\LF
Satz: Die Bogenl\"angenfunktion $l : [a,b] \to [0,\La],\ l(t) :=
\La(c|_{[a,t]})\ $
      ist stetig.
\lf
Beweis. W\"ahle zun\"achst eine Einteilung von $[a,b]$, so da\ss\ die
Approximationssumme
bis auf $\epsilon$ an das Supremum heran reicht. F\"uge $t$ in die
Unterteilung ein
und verfeinere die Teilintervalle vor und nach $t$ so, da\ss\ alle Punkte
dieser beiden
Teilintervalle von $c(t)$ einen Abstand $< \epsilon$ haben. Dann ist die
Bogenl\"angenfunktion in diesen Teilintervallen h\"ochstens um $2\epsilon$
von $l(t)$
verschieden.
\LF
Satz: Jede (stetige) rektifizierbare Kurve kann nach der Bogenl\"ange
parametrisiert
werden.
\lf
Bilde $s\in [0, l(b)]$ auf irgendeinen Punkt $c(t)$ mit $l(t)=s$ ab.
\LF
Satz: F\"ur stetig differenzierbare Kurven  in normierten
Vektorr\"aumen, also f\"ur $ c : [a,b] \to V,|.|$,  gilt: \lf  \Ph3
$ l'(t) = |c'(t)|$, also $ \La(c|_{[a,t]}) = \int_a^t |c'(\tau)|\ d\tau$.
\lf
Beweis. Wegen $|c(t_2) - c(t_1)| = |\int_{t_1}^{t_2} c'(\tau) \ d\tau|$
        $\le \int_{t_1}^{t_2} |c'(\tau)| \ d\tau $ ist das Integral
       $\int_a^b |c'(\tau)|\ d\tau $ obere Schranke f\"ur alle
Approximationssummen.
\lf    Wegen $|c(t) - c(t_1)|/|t-t_1| \le |l(t) - l(t_1)|/|t-t_1|
        \le \int_{t_1}^{t} |c'(\tau)| \ d\tau \big/ (t-t_1) $  ist
$t\mapsto l(t)$
       bei $t_1$ (stetig) differenzierbar mit Ableitung $l'(t_1) = |c'(t_1)|$.
\LF
Falls in $M$ je zwei Punkte $p,q$ {\bf rektifizierbar verbindbar} sind, so
definieren
wir  eine neue Metrik auf $M$, die
{\bf innere Metrik}, durch \lf  \Ph2
$ d_{inner}(p,q) := \inf \{\La(c);\ c \hbox{ ist rektifizierbar mit }
c(0)=p, c(1)=q\}$.
\LF
Satz: F\"ur jede rektifizierbare Kurve $c$ gilt $\La(c) = \La_{inner}(c)$.
\lf
Denn jede Approximationssumme f\"ur $\La_{inner}(c)$ hat $\La(c)$ als obere
Schranke.
\LF
Damit {\bf Konvergenz} bez\"uglich beider Metriken dasselbe ist, verlangen
wir sogar
{\bf Verbindbarkeit durch kurze Kurven}:
\lf Jeder Punkt $p\in M$ besitzt eine Umgebung $U$ so da\ss\ jedes $q\in
U$ durch eine Kurve $c$ mit $p$ in $U$ verbindbar ist, f\"ur die gilt: $\La(c) \le
\Const_U\cdot d(p,q)$.
\LF
Satz: Halbstetigkeit der Bogenl\"ange. Sei $\{c_m\}$ eine Folge
rektifizierbarer
Kurven in $M$ mit gleichm\"a\ss ig beschr\"ankter L\"ange und gleichm\"a\ss ig
konvergent gegen eine Grenzkurve $c_\infty$, so ist $c_\infty$
rektifizierbar und
es gilt sogar: \lf  \Ph{4.5}
          $\La(c_\infty) \le \liminf \La(c_m)$.
\lf
Beweis. Man kann annehmen, die Kurven seien alle mit $[0,1]$
parametrisiert. Zu jeder
Unterteilung $0=t_0 < t_1 \dots < t_K =1$ und jedem $\epsilon >0$ w\"ahle $n^*$
so, da\ss\ $n\ge n^* \Rightarrow 2K\cdot d(c_\infty(t_k) , c_n(t_k)) <
\epsilon$.           
Dann ist die zugeh\"orige Approximationssumme f\"ur $\La(c_\infty)$ 
wegen der Dreiecksungleichung h\"ochtens $\La(c_n) + \epsilon$. \lf
( $d(c_\infty(t_k) , c_\infty(t_{k-1})) \le d(c_\infty(t_k) , c_n(t_k)) 
+ d(c_n(t_k) , c_n(t_{k-1})) + d( c_n(t_{k-1}) , c_\infty(t_{k-1})) $.)
\LF
Als letzte Voraussetzung \"uber $M$ verlangen wir, da\ss\ abgeschlossene Kugeln
{\bf kompakt} sind. Dann gibt es k\"urzeste Verbindungen in $M$:
\LF
Satz:\ {\sc Hopf-Rinow I} oder {\sc Existenz von Arzela-Ascoli
K\"urzesten}. \lf
Zu je zwei Punkten $p,q \in M$ gibt es eine Verbindungskurve $c$ mit
$\La(c) = d_{inner}(p,q)$.
\LF
Beweis. Betrachte eine Minimalfolge von Kurven $c_n$ deren L\"angen gegen
$d_{inner}(p,q)$ konvergieren. Wir k\"onnen sie proportional zur Bogenl\"ange
mit $[0,1]$ parametrisieren, sie sind dann gleichm\"a\ss ig Lipschitz stetig.
Mit der Kompaktheit der Kugeln wird eine Teilfolge konstruiert, deren Werte
an allen Stellen $ t=Z*2^{-k}, Z\in\BN, 0\le Z\le 2^k$ konvergieren. Daraus
folgt (mit der gleichm\"a\ss igen Lipschitzschranke), da\ss\ diese Teilfolge
gleichm\"a\ss ig gegen eine Grenzkurve $c_\infty$ konvergiert. Nach Wahl
von $c_n$
als Minimalfolge, wegen der Halbstetigkeit und wegen der Definition der
inneren
Metrik gilt schlie\ss lich:\lf \Ph2
$\La(c_\infty) \le \liminf \La(c_n) = d_{inner}(p,q) \le \La(c_\infty)$.
\LF
Vermischt mit diesen S\"atzen haben wir Beispiele betrachtet und dabei \"uber
{\bf konvexe Mengen} in normierten Vektorr\"aumen (manchmal mit
euklidischer Norm)
bewiesen:
\LF
Satz: Die Einheitskugeln von Normen, $K:=\{v\in V;\ |v|\le 1\}$, sind konvex.
Umgekehrt
definiert jede konvexe, kompakte, symmetrische ($v\in K \Rightarrow -v\in
K$) und eine
Nullumgebung enthaltende Menge $K$ eine Norm:
$|v|:=1/ \sup\{\lambda;\ \lambda\cdot v \in K\}$.
\LF
Satz: Die R\"ander ebener beschr\"ankter konvexer Gebiete sind rektifizierbar.
\lf
Beweis. Liegt eine konvexes Polygon $P$ im Innern eines konvexen Polygons
$Q$, so
kann man durch Verl\"angern jeweils einer Seite von $P$ ein St\"uck von $Q$
abschneiden. Wegen der Dreiecksungleichung w\"achst die L\"ange der \"au\ss
eren
Polygone nicht. Nach endlich vielen Schritten hat man l\"angenverkleinernd das
\"au\ss ere Polygon auf $P$ reduziert. Daher haben die L\"angen der
Sehnenpolygone $P$ eines ebenen beschr\"ankten konvexen Gebietes, das also 
in einem Parallelogramm $Q$ enthalten ist, den Umfang von $Q$ als obere Schranke. --
Daraus folgt auch:
\LF
Satz: Liegt eine geschlossene konvexe Kurve im Innengebiet einer anderen,
so hat die
 \"au\ss ere die gr\"o\ss ere L\"ange.
\LF
Folgerung: Auf dem Rand kompakter konvexer Mengen l\"a\ss t sich die innere
Metrik
einf\"uh\-ren, weil jeder ebene Schnitt durch zwei Randpunkte eine
rektifizierbare
Verbindungskurve liefert.
\LF
Satz: Ist $K$ kompakt und konvex und ist $p \notin K$, so gibt es einen
eindeutig
bestimmten {\bf n\"achsten Punkt} $\pi(p)\in K$, und die Hyperebene $H$
senkrecht auf
der Verbindung $p\pi(p)$ und durch $\pi(p)$ l\"a\ss t $K$ auf der von $p$
abgewandten
Seite. Sie hei\ss t daher {\bf St\"utzhyperebene} und wird mit dem
Einheitsvektor
$n= n(p):= (p-\pi(p))/|p-\pi(p)|$ beschrieben als \lf \Ph4
$ H = \{x\in V;\ \langle x,n \rangle = \langle \pi(p),n \rangle\}$.
\lf
In jedem Randpunkt $r\in\partial K$ gibt es eine solche St\"utzhyperebene.
\lf
Beweis. Die Kugel um $p$ durch $\pi(p)$ enth\"alt keine Punkte von $K$ im
Innern.
L\"age nun irgend ein Punkt $q\in K$ auf der $p$ zugewandten Seite der
Hyperebene,
so w\"are die Strecke $\overline{\pi(p)q}$ in $K$ und w\"urde das Innere
der Kugel
treffen. -- Zu jedem Randpunkt $r$ gibt es eine Folge $p_n \notin K$ mit
$\lim p_n =r$;
die St\"utzhyperebenen in $\pi(p_n)$ (evtl. eine Teilfolge) konvergieren gegen
eine St\"utzhyperebene in $r$ (benutze die in der Beschreibung von $H$
verwendeten St\"utzfunktionen $x\mapsto \langle x, n(p) \rangle$).
\LF
Der Begriff ``konvex'' l\"a\ss t also Analysis und Geometrie eng zusammen
arbeiten. Noch
ein Beispiel dazu:
\LF
Satz: F\"ur die Hessesche von $f:\BR^d \to \BR$ gelte $T^2f \ge 0$. Dann
sind die
{\it Subniveaus} von $f$, also die Mengen $N_w:=\{x\in\BR^d;\ f(x)\le w\}$,
konvex.
\LF
Weitere Beispiele metrischer R\"aume, in denen die bisher gew\"unschten
Voraussetzungen
erf\"ullt sind.\lf
1) Betrachte die Graphen stetig differenzierbarer $f:\BR^d\to \BR^c$ in
$\BR^{n=c+d}$,
also $G_f:=\{(x,f(x))\in\BR^n\}$. Sei
$c:[0,1]\to\BR^d$ stetig differenzierbar mit $c(0)=p,c(1)=q$. Die Ableitung
von $f$
ist auf dem kompakten Bild von $c$ beschr\"ankt, $|Tf| \le L$. Daher gilt:
\lf \Ph{3.5}
$ |p-q|_{\BR^d} \le \La(f\circ c) \le \sqrt{1+L^2}\cdot\La(c)$. \lf
Damit sind $(p,f(p)),\ (q,f(q))\in G_f$
so kurz rektifizierbar verbindbar, da\ss\ die euklidische
Unterraummetrik auf $G_f \subset \BR^n$ und die innere Metrik auf $G_f$ lokal
\"aquivalent sind. Offenbar sind abgeschlossene Kugeln kompakt.
\LF
2.) Auf $O(n)$ haben wir eine Metrik definiert durch: \lf \Ph2
$d(A,B) := \max\{|A\cdot x - B\cdot x|;\ x\in\BR^n,\ |x|=1\} = d(\id,
A^{-1}B) $. \lf
 Mit Hilfe der Normalformen orthogonaler Abbildungen haben wir ``kurze''
Verbindungen
zwischen $A,B\in SO(n)$ gefunden. (Die Besprechung ist nicht ganz fertig.)
\LF
3.) Wir haben verschiedene Mengen geometrischer Objekte, insbesondere die
Menge der
Geraden durch $0$ in $\BR^n$, zu metrischen R\"aumen gemacht.
\LF
4.) Wir haben begonnen, auf den Bildern von Abbildungen $F:\BR^d \to
\BR^n,\ \rang(TF)=d$,
eine innere (``Riemannsche'') Metrik zu definieren.
\LF
\LF
{\bf 3.+ 4.~Woche} \hfill 3.11. - 10.11.2000 \lf
Beispiele von Arzela-Ascoli K\"urzesten: \lf
1.) In der Banachebene $\BR^2,\ |(x,y)|:= \max(|x|,|y|)$ gibt es
\"uberabz\"ahlbar
viele K\"urzeste zwischen zwei Punkten; wegen der geraden St\"ucke auf dem
Rand der
Einheitskugel ist die Dreiecksungleichung unerwartet h\"aufig {\bf nicht}
strikt. Viele
K\"urzeste sind nicht differenzierbar (aber nat\"urlich Lipschitz stetig).
\lf
2.) Auf dem Zylinder $Zyl :=\{(x,y,z)\in \BR^3;\ h(x,y,z):=x^2 + y^2 =R^2
\}$ finden wir
alle K\"urzesten, weil die Abbildung $ \BR^2 \to Zyl,\ (x,y) \mapsto
(R\cos(x/R),\ R\sin(x/R),\ y)$ {\bf l\"angentreu} ist. K\"urzeste in $Zyl$
sind Bilder
unter $F$ von K\"urzesten in $\BR^2$, also Schraubenlinien (und
Spezialf\"alle).
\lf
3.) Auf der Zweisph\"are $\BS^2 :=\{(x,y,z)\in \BR^3;\ h(x,y,z):=x^2 + y^2
+ z^2 =R^2 \}$
finden wir, da\ss\ die Gro\ss kreise ( = ebene Schnitte durch $0\in \BR^3$)
einzige
K\"urzeste sind. Wegen der gro\ss en Isometriegruppe gen\"ugt es,
Verbindungen vom
Nordpol zu anderen Punkten zu betrachten. Wir beschreiben $\BS^2$ mit
sph\"arischen
Polarkoordinaten: \lf $ (\theta, \varphi) \mapsto
 F(\theta, \varphi):=(\sin\theta \cos\varphi, \sin\theta \sin\varphi,
\cos\theta )$,
\ \ \ also Kurven als $ c(t):=F(\theta(t), \varphi(t))$. \lf
Dann gilt f\"ur die L\"ange stetig differenzierbarer $c$: \lf   L\"ange($c$) =
$\int |\dot c(t)| dt = \int |\dot\theta^2(t) + \sin^2(\theta) \dot\varphi^2(t)|
 \ge \int |\dot\theta(t)| \ge \dot\theta(t) = \theta(1)$. \lf
Gleichheit gilt f\"ur monoton parametrisierte Gro\ss kreisb\"ogen,
h\"ochstens der L\"ange
$\pi$.
\LF
\centerline{\sc 2. Kr\"ummung von Kurven, verallgemeinerbare Definitionen}\lf
Wir geben drei konzeptionell verschiedene Definitionen; die letzte sieht am
kompliziertesten
aus, aber sie verwendet nur die Bogenl\"ange und ``senkrecht stehen'';
daher l\"a\ss t sie sich
am leichtesten verallgemeinern -- zun\"achst auf sph\"arische Kurven. \lf
1.) Wir schreiben einen Kreis hin, der an der Stelle $s_0$ bis zur zweiten
Ableitung mit
der Kurve $c$ \"ubereinstimmt: \lf
$$ \eqalign{
k(s): = &c(s_0) + c''/|c''|^2(s_0) +   \cr
        &{1 \over |c''(s_0)|}
 \left(c'(s_0)\sin(|c''(s_0)|(s-s_0)) - {c''
\over|c''|}(s_0)\cos(|c''(s_0)|(s-s_0)) \right)
\cr} $$
Dieser Kreis approximiert am besten (n\"amlich mit einem
$o((s-s_0)^2)$-Fehler), er hei\ss t
{\bf Kr\"ummungskreis} und sein Radius ist der Kr\"ummungsradius,
$=1/|c''(s_0)|$.
\LF
2.) Anschaulich betrachtet rotieren die Normalen l\"angs "st\"arker"
gekr\"ummter Kurven
"schneller". Wir wollen also die Kr\"ummung mit der
Rotationsgeschwindigkeit der Normalen
messen. -- Au\ss erdem wollen wir den Kreis $\varphi \mapsto
\exp(i\cdot\varphi)$ als
positiv umlaufen und positiv gekr\"ummt verabreden, den Kreis
$\varphi \mapsto \exp(- i\cdot\varphi)$ dagegen als
negativ umlaufen und negativ gekr\"ummt ansehen, wie in der
Funktionentheorie. Daher
verabreden wir die $90^\circ$-Drehung im Gegenuhrzeigersinn als die {\bf
positive} und
bezeichnen sie mit $\R90$. Dem entsprechend unterscheiden wir {\it innere}
und {\it \"au\ss ere}
Normalen einer Kurve $c$, bei $\dot c(t)\not=0$ ist $\R90\dot c(t)$ innere und
$-\R90\dot c(t)$ \"au\ss ere Normale. -- Schlie\ss lich verabreden wir
f\"ur diese erste
Kr\"ummungsdiskussion, da\ss\ die Kurve $c$ nach der Bogenl\"ange
parametrisiert sein soll;
{\it diese Konvention wird meist signalisiert, indem der Parameter mit $s$
und die
Ableitung mit $c'(s)$ bezeichnet wird, also immer $|c'(s)|=1$}. \lf
\"Au\ss ere Normale: $n(s) := -\R90c'(s)$, also \lf \phantom{
\"Au\ss ere Normale:}$n'(s) := -\R90c''(s) \perp n(s)$. \lf
Die Geschwindigkeit der Normalenrotation ist also $=|c''(s)|$, oder besser mit
Ber\"ucksichti\-gung des Vorzeichens $=\langle n'(s),c' \rangle = \langle c'',
\R90c'(s)\rangle = det(c'(s),c''(s))$.
\LF
3.) Anschaulich betrachtet sollten die ``Parallelkurven'' einer
``st\"arker'' gekr\"ummten
Kurve schneller wachsende L\"ange haben als die einer ``schw\"acher''
gekr\"ummten, man
betrachte z.B. konzentrische Kreise. Wir verfolgen diese Idee rechnerisch:\lf
\"Au\ss ere Parallelkurven (Definition):
     $c_\epsilon(s) := c(s) + \epsilon\cdot n(s),\ n(s) :=  -\R90c'(s)$. \lf
$\La(c_\epsilon|_{[a,s]}) = \int_a^s |c'_\epsilon(\sigma)| d\sigma
    = \int_a^s\sqrt{\langle c'+\epsilon n',  c'+\epsilon n'\rangle}(\sigma)
d\sigma $. \lf
Wir messen ``\"Anderungsgeschwindigkeit der L\"ange'' durch die Ableitung
nach $\epsilon$:
 \lf
$\Dd{\epsilon}\La(c_\epsilon|_{[a,s]})\big|_{\epsilon =0} =
     \int_a^s {\langle c',  n'\rangle}(\sigma) d\sigma $. \lf
Und wir interessieren uns jetzt f\"ur die L\"angen\"anderung ``kleiner''
St\"ucke
der Kurve $c$, daher differenzieren wir auch noch nach $s$: \lf
$$\Dd{s}\Dd{\epsilon}\La(c_\epsilon|_{[a,s]})\big|_{\epsilon =0} =
    \langle c', n'\rangle(s).$$
{\it Zusammenfassung.} Aus allen drei anschaulichen Vorstellungen ergibt
die Rechnung, da\ss\
``Kr\"ummung'' durch {\bf dieselbe Formel} pr\"azisiert wird.
\LF
Wir definieren daher die
{\bf Kr\"ummungsfunktion} $\kappa(s)$ einer Kurve $c$ mit \"au\ss erer
Normale $n$ durch
$$ \kappa(s):= \langle c', n' \rangle(s) = \langle \R90 c', c'' \rangle(s),\ \
             |\kappa| = |c''|.$$
{\bf Umparametrisieren}: Ist die Kurve $t\mapsto c(t)$ nicht nach der
Bogenl\"ange
parametrisiert, so ist die Ableitung der L\"angenfunktion $d/dt\ l(t) =
|\dot c(t)|$. Daher
ist $c' = \dot c/|\dot c|,\ n(t) = -\R90\dot c/|\dot c|(t)$ und $d/ds =
d/dt\cdot1/|\dot c|$.
Daher haben wir auch f\"ur {\it beliebige} Parametrisie\-rungen
``dieselbe'' Formel f\"ur
die Ableitung der \"au\ss eren Normalen:
$$ \dot n(t) = \kappa(t)\cdot\dot c(t).\ \ \hbox{ Auch: }
               \kappa(t) = \det(\dot c, \ddot c)\cdot|\dot c|^{-3}(t).$$
\lf
Ich habe diskutiert, warum die ersten beiden Ans\"atze sich weniger gut zum
Verallgemeinern
eignen. F\"ur {\bf sph\"arische Kurven} $c:[a,b] \to \BS^2$ k\"onnen wir
die Rechnung mit den
Parallelkurven direkt nachmachen: Wir parametrisieren $c$ nach der
Bogenl\"ange $s$ und
beschreiben die an $\BS^2$ tangentiale {\it \"au\ss ere Normale} von $c$ als
$n = c' \times c$. Ferner erreichen wir die Paral\-lelkurve im Abstand
$\epsilon$, indem wir
die K\"urzeste (Gro\ss kreis) in Richtung $n(s)$ das St\"uck $\epsilon$
verfolgen, also:
$$ c_\epsilon(s) = \cos\epsilon\cdot c(s) + \sin\epsilon\cdot n(s).$$
Dann wird wieder
$$\Dd{s}\Dd{\epsilon}\La(c_\epsilon|_{[a,s]})\big|_{\epsilon =0} =
    \langle c', n'\rangle(s),$$
aber die Interpretation ist etwas anders als vorher, weil $n'$ und $c'$
(bei etwas
komplizier\-teren Beispielen als diesem) nicht mehr
proportional sind. Wir m\"ussen zun\"achst Beispiele ansehen.
\LF
Kreise auf $\BS^2$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert, mit Tangential-
und Normalfeld:
$$\eqalign{
k(s):= &\big(\sin r\cdot \cos(s/\sin r),\ \sin r\cdot \sin(s/\sin r),\ \cos
r\big),  \cr
k'(s)= &\big( -\sin(s/\sin r),\  \cos(s/\sin r),\ 0\big),   \cr
n(s)= &\big(\cos r\cdot \cos(s/\sin r),\ \cos r\cdot \sin(s/\sin r),\ \sin
r\big).
\cr}$$
Daraus folgt f\"ur die Kr\"ummung: $\kappa(s) = \hbox{ctg } r$. Also f\"ur
kleine $r$
ungef\"ahr wie im Euklidi\-schen $\sim 1/r$, aber $\hbox{ctg}(\pi/2) = 0$.
Der Kreis vom
Radius $\pi/2$ ist ein Gro\ss kreis, also (st\"uckweise) {\bf K\"urzeste},
wir erhalten
also: {\it Wie in $\BR^2$ sind auch in $\BS^2$ K\"urzeste ungekr\"ummt}.
Dies betrachte
ich als erstes Indiz einer erfolgreichen Verallgemeinerung.
\lf
Au\ss erdem: Die Kr\"ummung $\hbox{ctg }r$ eines Breitenkreises in der
Metrik der Kugel
ist gleich der euklidischen Kr\"ummung dieses Kreises, betrachtet als Kurve
im Tangentialkegel der Kugel.
\LF
{\it Wieviel wei\ss\ man \"uber eine Kurve, wenn man ihre
Kr\"ummungsfunktion kennt?} \lf
Satz: Zu jeder stetigen Kr\"ummungsfunktion $\kappa(s)$ gibt es in den
metrischen
R\"aumen $\BR^2$ und $\BS^2$ eine bis auf die Anfangsdaten eindeutig
bestimmte Kurve
mit der gegenen Kr\"ummungs\-funktion.
\LF
Beweis in $\BR^2$. Betrachte unsere die Kr\"ummung definierenden
Gleichungen $n'(s)=\kappa(s)\cdot c'(s)$ bzw. $c''(s)= -\kappa(s)\cdot
n(s)$, und
interpretiere sie bei gegebenem $\kappa$ als Differentialglei\-chung f\"ur
$(n,\ c')$.
Dann gibt es zu gegebenen Anfangsdaten {\bf genau eine} L\"osung $s\mapsto
(n(s),\
c'(s))$ und zu der zweiten Komponente genau eine Stammfunktion
$\tilde c(s):=c(0) +\int_0^s c'(\sigma) d\sigma$. Nun mu\ss\  man noch
zeigen, da\ss\ die so hingeschriebene Kurve $\tilde c$ tats\"achlich das
gegebene
$\kappa$ als Kr\"ummungsfunktion hat. Dazu gen\"ugt es, zu zeigen, da\ss\
die durch
die Differentialgleichung bestimmte  L\"osung $s\mapsto (n(s),\ c'(s))$
f\"ur jedes $s$
eine ON-Basis von $\BR^2$ liefert.
\LF
{\bf Hilfssatz} (Charakterisierung von ON-Basifeldern durch
Differentialgleichungen).\lf
a) Sei in $\BR^d$ eine Schar von ON-Basen $s\mapsto e_j(s),\ j=1\dots d$,
gegeben. Dann lassen sich die Ableitungen durch die Basis ausdr\"ucken:
$$ e_j'(s) = \sum_{n=1}^d a_{jn}(s)\cdot e_n(s),
\hbox{ \bf notwendig gilt: } a_{jn}=-a_{nj}.$$
b) Liest man die vorherige Zeile bei gegebenen $a_{jn}(s)=-a_{nj}(s)$ als
Differentialgleichung, so besteht jede L\"osung zu {\bf orthonormalen
Anfangsdaten} f\"ur
alle $s$ aus orthonormalen Vektoren $\{e_j(s);j=1\dots d\}$.
\lf
Beweis zu a). Die Koeffizienten der Linearkombination von $e_j'(s)$ sind
$\langle e_j'(s), e_n(s) \rangle$; aber durch Differenzieren der konstanten
Funktionen
$h_{jn}(s):=\langle e_j(s), e_n(s) \rangle$ findet man
$$a_{jn}(s)+a_{nj}(s)=
\langle e_j'(s), e_n(s) \rangle + \langle e_j(s), e_n'(s) \rangle
=h_{jn}'(s)=0.$$
Beweis zu b). Zu einer L\"osung $\{e_j(s)\}$ der Differentialgleichung
definiere die
Funktionen $h_{jn}(s):=\langle e_j(s), e_n(s) \rangle$, mit
$h_{jj}(0)=1,\ h_{j\ne n}(0)=0$ wegen der Voraussetzung orthonormaler
Anfangsdaten.
Differentiation dieser Funktionen und Einsetzen der Differentialglei\-chung
f\"ur die $e_j(.)$ ergibt:
$$\eqalign{
  h_{jn}'(s) &= \sum_k a_{jk}(s)\langle e_k(s),e_n(s) \rangle +
               \sum_k a_{nk}(s)\langle e_j(s),e_k(s) \rangle        \cr
             &= \sum_k a_{jk}(s)h_{kn}(s) +
               \sum_k a_{nk}(s)h_{jk}(s).
          \cr}$$
Diese Differentialgleichungen werden durch die {\bf konstanten Funktionen}
gel\"ost,
die die richtigen Anfangsdaten ($0$ oder $1$) haben.
Der Eindeutigkeitssatz beweist
Hilfssatz Teil b) und damit den Satz \"uber Kurven in $\BR^2$.
\LF
Beweis in $\BS^2$. Zu einer nach der Bogenl\"ange parametrisierten
sph\"arischen Kurve $s\mapsto c(s)\in \BS^2$ ist
$s\mapsto \{c(s), c'(s), n(s):=c'(s)\times c(s)\}$
eine Schar von ON-Basen in $\BR^3$. F\"ur die Ableitung dieser Basen gilt
Hilfssatz Teil a); zusammen mit der Definition der Kr\"ummung
$\kappa(s)=\langle n'(s), c'(s) \rangle$ erhalten wir:
$$\left( \matrix{ c(s) \cr  c'(s)  \cr  n(s)}\right)'=
  \left( \matrix{ 0 & 1 & 0 \cr -1 & 0 &-\kappa(s) \cr 0 & \kappa(s) &
0}\right)
  \cdot \left( \matrix{ c(s) \cr  c'(s)  \cr  n(s)}\right).
$$
Dies ist bei gegebenem $\kappa(s)$ wieder eine Differentialgleichung mit
schiefsymmetrischer Koeffizientenmatrix. Zu gegebenen orthonormalen
Anfangsdaten
besteht die (eindeutige) L\"osung aus ON-Basen, der erste Basisvektor ist
dann eine
sph\"arische Kurve mit dem zweiten als Tangentialfeld und dem dritten als
\"au\ss erem Normalenfeld,
also mit dem gegebenen $\kappa(s)$ als Kr\"ummungsfunktion.  \hfill 8.11.2000
\LF
Kurven in $\BR^3$. Man kann die Rechnung zur L\"ange von Parallelkurven
wiederholen,
das f\"uhrt dazu, da\ss\ eine {\it unter Isometrien invariante} Definition
der Kurvenkr\"ummung die folgende ist:\lf\Ph7
                   $\kappa(s):=|c''(s)|$. \lf
Beachte: Kr\"ummung mu\ss\ ohne Vorzeichen definiert werden, weil man mit einer
$180^\circ$-Drehung einen (anscheinend) positiv umlaufenen Kreis in einen
negativ
umlaufenen umwenden kann. -- In Aufgabe 10 wird angeleitet, nicht ebene
geschlossene
Raumkurven {konstanter} Kr\"ummung zu konstruieren.
\lf
Um die 2-dimensionale Kurventheorie nachzumachen, suchen wir eine mit
Isometrien
ver\-tr\"ag\-liche Schar von ON-Basen l\"angs der gegebenen Kurve $c$.
Unter der
{\it Voraussetzung:} $c''\ne~0$ (oder: $\{c'(s),c''(s)\}$ sind linear
unabh\"angig)
haben wir die \lf \Ph2
{\bf Frenet-Basis:} $\{\ c'(s),\ e_2(s):= c''/|c''|(s),\ e_3(s):=c'\times
e_2(s)\ \}$.
\lf
Die schiefsymmetrische Matrix, die die Ableitung dieser Vektoren
beschreibt, hat nach
De\-fi\-nition der Kr\"ummung als erste Zeile: $(0\ \kappa\ 0)$. Daher
fehlt zum
vollst\"andigen Ausf\"ullen nur $\langle e_2', e_3 \rangle(s)=: \tau(s)$.
Das liefert
die {\bf Frenet Gleichungen:}
$$\left( \matrix{ c'(s) \cr  e_2(s)  \cr e_3(s)}\right)'=
  \left( \matrix{ 0 & \kappa(s) & 0 \cr -\kappa(s) & 0 &\tau(s) \cr
                  0 & -\tau(s) & 0}\right)
  \cdot \left( \matrix{ c'(s) \cr  e_2(s)  \cr e_3(s)}\right).
$$
Mit denselben Argumenten wie vorher gilt ein Existenz-~und
Eindeutigkeitssatz. --
Ich behandele die h\"oherdimensionale Version der Frenet-Theorie nicht, da die
Voraussetzungen zu unerfreulich werden: In $\BR^d$ mu\ss\ eine Frenet-Kurve die
ersten $d-1$ Ableitungen {\it linear unabh\"angig} haben, so da\ss\ z.B. in
$\BR^4$
die ebenen Kurven keine Frenet-Kurven mehr sind. Trotzdem gibt es Fragen,
die die
Frenet-Theorie beantwortet: Eine Kurve in $\BS^2$ ist immer eine
Frenet-Kurve in $\BR^3$,
 n\"amlich: $\langle c, c' \rangle = 0 \Rightarrow
  0 = \langle c, c' \rangle' = \langle c', c' \rangle + \langle c, c''
\rangle$,
also $c''\ne 0$! Daher geh\"ort die Frage: ``Kann man an $\kappa(s),
\tau(s)$ feststellen,
ob die Kurve $c$ eine sph\"arische Kurve ist?'' in den Bereich der
Frenet-Theorie.
\lf
Wir definieren die Begriffe {\it Schmiegebene} und {\it Schmiegkugel} einer
Frenet-Kurve. Eine Ebene $E:=\{x\in\BR^3;\ \langle x-c(s_0), N \rangle\}$
hei\ss t
``Schmiegebene'', falls die Funktion $h(s):=\langle c(s)-c(s_0), N
\rangle$, die
angibt, wie ``schnell'' die Kurve aus der Ebene herausl\"auft, mit
m\"oglichst vielen
Ableitungen in $s_0$ verschwindet. Aus $h'(s_0)=0,\ h''(s_0)=0$ folgt
$N=e_3(s_0)$.
Analog hei\ss t eine Kugel $K:=\{x\in\BR^3;\ \langle x-m, x-m \rangle-R^2 =0\}$
``Schmiegkugel'', wenn die das Abheben von der Kugel beschreibende Funktion
$ h(s):= \langle c(s)-m, c(s)-m \rangle-R^2$ bei $s=s_0$ mit m\"oglichst vielen
Ableitungen verschwindet: \lf
$h(s_0)=0 \Rightarrow R:= |c(s_0)-m|$, \lf
$h'(s_0)=0 \Rightarrow \langle c'(s_0), c(s_0)-m \rangle = 0$, \lf
$h''(s_0)=0 \Rightarrow \langle c''(s_0), c(s_0)-m \rangle =
 -\langle c'(s_0), c'(s_0) \rangle$, \lf
$h'''(s_0)=0 \Rightarrow \langle c'''(s_0), c(s_0)-m \rangle = 0$.\lf
Hieraus soll der Radiusvektor $m-c(s_0)$ als Linearkombination der Frenet-Basis
berechnet werden; dazu fehlt nur, $c'''$ durch Differenzieren der
Frenet-Gleichungen
zu berechnen: \lf\Ph{2.5}
$ c''' = (\kappa\cdot e_2)' =  \kappa'\cdot e_2 + \kappa\cdot e_2'
       =  \kappa'\cdot e_2  +  \kappa\cdot (-\kappa\cdot c' + \tau\cdot e_3)$:
$$m(s) = c(s) + 1/\kappa(s)^2 \cdot c''(s) -
\kappa'/(\kappa^2\cdot\tau)(s)\cdot e_3(s). $$
Nun l\"a\ss t sich die geometrische Frage leicht beantworten: F\"ur
sph\"arische
Kurven ist offensichtlich die Schmiegkugel von $s$ unabh\"angig. Umgekehrt
folgt
aus $m'(s)=0$ auch die Konstanz des Radius (nachrechnen). Beim
Differenzieren von $m(s)$
fallen alle Terme weg, au\ss er denen proportional zu $e_3$:\lf\Ph{3.5}
$m'(s) = (\tau/\kappa - \big(\kappa'/(\kappa^2\cdot\tau)\big)')(s)\cdot
e_3(s)$.  \lf
Diese (nicht \"ubersichtliche) Bedingung an $\kappa, \tau$ charakterisiert die
sph\"arischen Kurven.

\LF\LF
{\bf 5.~Woche} \hfill 15.11. - 17.11.2000 \lf
\centerline{\sc 3. Weitere metrische R\"aume mit Arzela-Ascoli K\"urzesten.}
\LF
Kleinigkeiten: Abstand $d(x,A):=\inf\{d(x,a); a\in A\}$ zwischen Punkt $x$ und
Teilmenge~$A$. Anwendung: Abstand von Bahnen von Isometriegruppen:
$d(G*m_1, G*m_2) := d(m_1, G*m_2)$ (Unabh\"angigkeit vom Repr\"asentanten
$m_1\in G*m_1$
pr\"ufen!) \lf
$\epsilon$-Umgebung einer Menge $A$: $U_\epsilon(A):=\{x\in M; d(x,A)
\le\epsilon\}$. \lf
Hausdorff-Abstand zwischen kompakten Mengen $A,B$ (Dreiecksungleichung
pr\"ufen):
\lf \Ph{3}
$d(A,B):= \inf\{\epsilon;\ A\subset U_\epsilon(B) \hbox{ und }B\subset
U_\epsilon(A)\}$
\lf
F\"ur zus\"atzlich konvexe $A,B$ sind Minkowskis Summen: \lf
$ A\cdot(1-t) + B\cdot t := \{x=a\cdot(1-t) + b\cdot t; a\in A,b\in B\},
0\le t \le 1$
wieder konvex, diese Kurve im metrischen
Raum der kompakten konvexen Mengen ist rektifizierbar und sogar K\"urzeste.
-- Wir
wollen bei den folgenden einfacheren Beispielen daran denken, da\ss\
Definitionen
m\"oglichst auch in komplizierteren Situationen anwendbar sein sollen.
\LF
Prototyp-Argument: Je zwei Punkte einer offenen zusammenh\"angenden Menge
in $\BR^d$
sind durch eine stetige Kurve, und dann sogar durch einen Polygonzug, also
rektifizierbar,
verbindbar. Arzela-Ascoli K\"urzeste brauchen aber nicht zu existieren
(offene Kreisscheibe
ohne Mittelpunkt).
\LF
Mein Plan war, auf Niveaumengen $N_w := \{x\in \BR^n; h(x):=w\}$ stetig
differenzierbarer
Funktionen $H:\BR^n\to\BR^c$ K\"urzeste zu identifizieren und metrische
Kurvenkr\"ummung
zu definieren. Es war jedoch ein Einschub n\"otig \"uber die Ableitung von
Funktionen,
einerseits als Linearformen betrachtet, andererseits als Gradientenvektor.
Dieser ist
dreiteilig: \lf
1.) Abstrakte Zusammenfassung (nicht aufgeschrieben),   \lf
2.) Polarkoordinaten f\"ur die Euklidische Ebene,       \lf
 3.) Riemannsche Metrik f\"ur den Graph einer Funktion. \lf
{\it Bemerkung}: Ich schreibe Spaltenvektoren als $(a;b)$, Zeilenvektoren
als $(a,b)$.
\lf
In ebenen Polarkoordinaten ist die L\"ange einer Kurve $c(t) = (r(t);
\phi(t))$ berechenbar
als: \lf
$\La(c) = \int (\dot r(t)^2 +r(t)^2\cdot\dot\phi(t)^2)^{1/2} dt$. Mit
anderen Worten,
wir verwenden die von $r$ abh\"angigen  Skalarprodukte:
$$ \big\langle \left({v_r \atop v_\phi}\right),
  \left({w_r \atop w_\phi}\right) \big\rangle_{{Polar}} :=
  v_r\cdot w_r + r^2\cdot v_\phi\cdot w_\phi.$$
F\"ur die Ableitung einer Funktion $h: (r;\phi) \mapsto h(r,\phi)$ gilt dann:
$$ \eqalign{
    (h\circ c)^{\cdot}(t) &= Th|_{c(t)}\cdot \dot c(t) =
                   \Dd r h\cdot \dot r(t) +  \Dd \phi h\cdot \dot \phi(t) \cr
&=\big\langle \left({\Dd r h \atop r^{-2}\Dd \phi h}\right),
  \left({\dot r(t) \atop \dot \phi(t)}\right) \big\rangle_{{Polar}}
 = \big\langle \grad_{Polar}h  ,
  \left({\dot r(t) \atop \dot \phi(t)}\right) \big\rangle_{{Polar}}
    \cr}$$
d.h. der {\it Gradient in Polarkoordinaten} berechnet sich aus den
partiellen Ableitungen
und aus der Fu\ss punktkoordinate $r$ als:
$$\grad_{Polar}h =(\Dd r h ;\   r^{-2}\Dd \phi h).$$
\lf
Das n\"achste Beispiel geht ebenso:\lf
Sei $f: \BR^d\to \BR$ eine stetig differenzierbare Funktion. Wir wollen
$ \Gp f := \{(x,f(x); x\in\BR^d\}$ mit seiner inneren Metrik betrachten,
und wir
betrachten $x$ als Koordinate des Punktes $(x,f(x))$. Eine Kurve $t\mapsto
c(t)\in\BR^d$
ist dann die Koordinatenbeschreibung der Kurve $t\mapsto (c(t),f(c(t))\in
\Gp f $. Ihre
L\"ange berechnet man mit den von $x$ abh\"angigen sogenannten
{\bf Riemannschen Skalarprodukten} f\"ur $v,w\in\BR^d$:
$$\big\langle v,\ w  \big\rangle_{{Graph}}
  := \langle v,w\rangle + (Tf_x\cdot v) \cdot (Tf_x\cdot w),\ \
       \La (c)=\int \langle \dot c(t) , \dot c(t) \rangle^{1/2}_{{Graph}} dt.$$
Wie im Fall der Polarkoordinaten werden Funktionen auf $\Gp f$ als
Funktionen der
Koordinaten beschrieben, $x\mapsto h(x)\in\BR$. Nat\"urlich gilt wieder:
$$ (h\circ c)^\cdot(t) = Th|_{c(t)}\cdot \dot c(t)
       = \sum_{j=1}^d \Dd{x^j}h \cdot \dot c_j(t)
       = \big\langle \grad_{{Graph}}h ,\  \dot c(t) \big\rangle_{{Graph}}.$$
Daraus finden wir mit der transponierten Abbildung $Tf^t$
$$ \grad_{{Graph}}h(x) =
          (\id + Tf^t|_x\cdot Tf|_x)^{-1}\cdot(\Dd{x^1}h;\dots;\Dd{x^d}h ).$$
{\it Es ist wichtig, da\ss\ Sie die lineare Abbildung $Th$ und den vom
verwendeten
Skalarprodukt abh\"angigen Gradienten von $h$, die ja beide die Ableitung
von $h$
beschreiben, sicher unterscheiden k\"onnen.} \hfill 17.11.00
%%%%%%%%%%%%%%
%-----------------------------------------------------------------------%%%%%%%%
%%%
%%%%%%%%%%%%%%
\LF
{\bf 6. Woche,} \hfill 22.11.-24.11.2000 \lf
Das Urbild eines Wertes $w$ einer stetig differenzierbaren Funktion
$h:\BR^n \to \BR^c$
nennen wir Niveaumenge $N_w:=\{x\in\BR^n;\ h(x)=w\}$ von $h$. Beispiele wie
$h(x,y):=x^2(1-x^2) - y^2,\lf  w=0$ ($N_w$ ist eine Kurve wie eine liegende
acht) oder
$h(x,y,z):=x^2+y^2-z^2,\ w=0$ ($N_w$ ist ein Rotationskegel mit vertikaler
Achse) zeigen:
Niveaumengen sehen nicht \"uberall wie ``Fl\"achen'' aus, an Stellen $x\in
N_w$ mit
$\grad h|_x =0$ kann die Niveaumenge Singularit\"aten haben. {\it Wir
betrachten zun\"achst
nur Niveaumengen, auf denen z.B. $\grad h|_x =0$ {\bf nicht} vorkommt}.
Genauer machen wir die
aus dem linearen Fall bekannte Voraussetzung, f\"ur lineares $h$ ist $h$
genau dann
surjektiv, wenn der Rang gleich der Dimension $c$ des Bildes ist:
\LF
Falls f\"ur jeden Punkt $x\in N_w$ gilt $\rang(Th|x :\BR^n\to\BR^c) = c$,
so k\"onnen wir
erstens schreiben $\BR^n = \ker Th|x \oplus \BR^c,\ \ker Th|x = \BR^d $ und
die Ableitung $Th$
mit partiellen Ableitungen ausdr\"ucken, $v=(v_1,v_2)\in \BR^d \oplus \BR^c,\
Th|x\cdot v = (T_1h|x\cdot v_1, T_2h|x\cdot v_2)$; die
H\"ochstrangvoraussetzung sagt,
da\ss\ $T_2h|x$ {\bf invertierbar} ist. Die Aussage des Satzes \"uber
implizite Funktionen
ist nun: \lf
Zu jedem $p=(p_1, p_2)\in N_w$ gibt es eine Umgebung $U(p_1) \subset \BR^d$
und eine
differenzierbare Abbildung $h_2 : U(p_1) \to \BR^c$ mit $h(x_1,\ h_2(x_1))
=w$; ferner: mit
der Kettenregel gilt $Th_2|{x_1} = -\left(T_2h|_x\right)^{-1}\cdot
T_1h|_x,\ x=(x_1,h_2(x_1))$.
Und: Der Graph von $h_2$ ist eine Umgebung von $p$ in $N_w$. \lf
Kleine St\"ucke, auch ``Standardumgebungen'', in Niveaumengen sind also als
Graphen
be\-schreibbar.
\LF
Nun k\"onnen wir die bereits vorgef\"uhrten Argumente wiederholen und
bekommen: In den
Standardumgebungen sind je zwei Punkte durch ``kurze'' rektifizierbare
Kurve verbindbar (d.h.
nicht l\"anger als zweimal der Abstand). Zusammenhangskomponenten von
Niveaumengen sind
auch wegzusammenh\"angend, und ferner rektifizierbar zusammenh\"angend.
Daher ist die innere
Metrik f\"ur Niveaumengen definierbar, und zwar als vollst\"andige Metrik.
Offenbar sind
abgeschlossene Kugeln kompakt. Daher funktioniert unser Arzela-Ascoli
Beweis f\"ur die
Existenz von K\"urzesten. -- {\it Wie sehen diese K\"urzesten aus?}  \hfill
22.11.2000
\LF
Als Beispiel zu dem vorhergehenden Satz behandeln wir zun\"achst die
orthogonale Gruppe
$O(n)$ von $\BR^n$ mit standard Skalarprodukt $\langle v, w
\rangle|_{\BR^n}$. Dazu definieren
wir auf den quadratischen Matrizen $M(n,n) =\BR^{n^2}$ ein Skalarprodukt. Sei
$ A=(a_{ij}), B=(b_{ij}) \in M(n,n)$, setze \lf \Ph{4}
$\big\langle A, B \big\rangle :=\spur(A\cdot A^t) = \sum_{i,j=1}^n
a_{ij}b_{ij}$. \lf
Die Matrixmultiplikation mit Elementen $U\in O(n)$, die per Definition auf
$\BR^n$
eine isometri\-sche Operation ist, ist auch auf $M(n,n)$ isometrisch:
$U\in O(n)\Rightarrow \big\langle A, B \big\rangle
   = \big\langle U\cdot A, U\cdot B \big\rangle
   = \big\langle A\cdot U, B\cdot U \big\rangle$. Au\ss erdem gilt
$\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|$. \lf
Symmetrische Endomorphismen, $S\in \Sym(n) \Leftrightarrow
     \langle S\cdot v,w\rangle =  \langle  v,S\cdot w\rangle$ und \lf
schiefsymmetrische Endomorphismen, $A\in \Skew(n) \Leftrightarrow
     \langle A\cdot v,w\rangle = - \langle  v,A\cdot w\rangle$  \lf
sind orthogonal wegen
$\big\langle S, A \big\rangle = \spur SA^t = \spur (-SA) = -\spur AS =
 -\big\langle A, S \big\rangle$.
\LF
Die quadratische Funktion $h:M(n,n)\to\Sym(n),\ h(M):=M\cdot M^t$ hat als
Urbild
$h^{-1}(\id)$ offenbar die orthogonale Gruppe $O(n)$. Die Ableitung ist
$Th|_\id(A) = A+A^t$, also ist $\ker(Th|_\id) = \Skew(n)$ und $Th|_\id$ ist
auf dem
orthogonalen Komplement $\Sym(n)$ des Kernes Multiplikation mit 2. (Es
gen\"ugt, diese
eine Ableitung auszurechnen, denn f\"ur $U\in h^{-1}(\id)$ gilt $
h(A)=h(A\cdot U)$,
also $Th|_U(A\cdot U) = (Th|_\id)(A)$.)
\LF
Daher sind alle Voraussetzungen f\"ur die Anwendung des Satzes \"uber
implizite Funktionen
erf\"ullt, d.h. wir haben die eben gezogenen Folgerungen: Je zwei
``Punkte'' der
Zusammenhangskomponente $SO(n)$ von $h^{-1}(\id)$ sind durch eine
Arzela-Ascoli K\"urzeste
verbindbar. Diese sollen identifiziert werden -- {\it mit genau demselben
Verfahren, das
wir f\"ur $\BS^2$ schon vorgef\"uhrt haben}. \lf
Erste Voraussetzung ist, Ersatz f\"ur die Gro\ss kreise auf $\BS^2$ zu
finden. Wir
differenzieren Matrixfunktionen: $P(M):=M^3,\ P(M+A) = M^3 +M^2A+MAM+AM^2
+$ in $A$
quadratische Terme, d.h. $TP|_M(A) = M^2A+MAM+AM^2$. Andere Potenzen
entsprechend, ebenso
konvergente Potenzreihen. Insbesondere:
$$ \eqalign{
     \exp &:M(n,n) \to M(n,n),\ \exp(M) := \id + M + \sum_{k=2}^\infty
M^k/k!   \cr
     T\exp|_M(A) &= A + (MA+AM) + \sum_{k=2}^\infty (M^k A + M^{k-1}AM
+\dots +AM^k)/(k+1)!
   \cr }$$
Daraus folgt zun\"achst $\exp(t_1A)\cdot\exp(t_2A) = \exp((t_1+t_2)A)$; mit
$t\mapsto \exp(t\cdot A)$ haben wir also
1-Parameter Untergruppen der Endomorphismengruppe $Gl(n)$. Wegen $\exp(A)^t
= \exp(A^t)$
gilt au\ss erdem $\exp:\Skew \to SO(n)$. Wir wollen sehen, da\ss\
gen\"ugend kurze St\"ucke
{\it dieser 1-Parameter Untergruppen von $SO(n)$ die gesuchten K\"urzesten
in $SO(n)$ sind}.
\LF
Wir hatten Kurven $c:[0,1]\to\BS^2$ im Definitionsbereich der
Polarkoordinatenabbildung
$(\theta,\varphi)\mapsto (\sin\theta \cos\varphi; \sin\theta \sin\varphi;
\sin\theta)$
beschrieben durch $t\mapsto (\theta(t),\varphi(t))$ und hatten nachge\-rechnet:
$|\dot c(t)|\ge\dot\theta(t)$ und daher $\La(c)\ge \theta(1)$. Dies zeigt,
da\ss\
 $\La(c) $ mindestens so gro\ss\ ist wie die L\"ange des Meridians vom
Nordpol $=c(0)$
zum Endpunkt von~$c$.
\LF
Ebenso wollen wir jetzt Kurven $c:[0,1]\to SO(n),\ c(0)=\id,$ im
Definitionsbereich von
$\exp:\Skew(n)\to SO(n)$ beschreiben als $t\mapsto A(t)\in \Skew$.
Hauptaufgabe ist zu zeigen
$|\dot c(t)| \ge \|A(t)\|\Dot$,
denn dann folgt: $\La(c)\ge\|A(1)\| =$ L\"ange des St\"uckes
$t\in[0,1]\to \exp(t\cdot A(1))$ einer 1-Parameter Untergruppe. Dazu
m\"ussen die
Tangentialvektoren $A\Dot(t)$ der Kurve in $\Skew(n)$ in ihren
Radialanteil und dazu senkrechten Anteil zerlegt werden: \lf \Ph{2}
$ A\Dot(t) = A\Dot(t)^{rad} + A\Dot(t)^\perp$, mit
$ A\Dot(t)^{rad} := \big\langle A\Dot(t), A(t)\big\rangle\cdot
A(t)/\|A(t)\|^2$. \lf
Als letztes brauchen wir, da\ss\ die Ableitung $T\exp$ sich ziemlich gut
mit dem auf
$M(n,n)$ verwendeten Skalarprodukt vertr\"agt (analog wie bei den sph\"arischen
Polarkoordinaten):
$$ \exp:\Skew\to SO(n)\ \hbox{ \bf ist radial l\"angentreu: }\
\big\langle T\exp|_A(B),\ T\exp|_A(A) \big\rangle = \big\langle B,\ A
\big\rangle.$$
\hfill 24.11.2000
\LF
{\bf 7. Woche,} 29.11.-1.12.2000 \lf
Wiederholende Gegen\"uberstellung von $\BS^2\subset \BR^3$ und
$SO(n)\subset \BR^{n^2}$.
Beide Teilmengen sind Niveaus quadratischer Funktionen, $h(x):=\langle x
,x\rangle|_{\BR^3}$
bzw. $h(M):=M\cdot M^t\in \Sym(n)$. Der Satz \"uber implizite Funktionen
ist anwendbar,
die entsprechenden lokalen Koordinaten zeigen, da\ss\ wir innere Metrik und
Arzela-Ascoli
K\"urzeste haben. Beide Niveaus sind {\it homogen} unter einer
Isometriegruppe des
umgebenden Raumes, $SO(3):\BS^2 \to \BS^2$ bzw. $SO(n): M(n,n)\to M(n,n),
L|_U(M):=U\cdot M$.
Daher werden k\"urzeste Verbindungen mit einem speziellen Punkt
($Nordpol\in \BS^2,\ \id\in SO(n)$) untersucht. In beiden F\"allen kennen
wir spezielle
Kurven, Gro\ss kreise bzw. 1-Parameter Untergruppen, die als K\"urzeste
nachgewiesen werden
sollen. Dazu werden Kurven $c$ auf $\BS^2$ mit Hilfe einer
Polarkoordinatenabbildung
$P:(\theta,\varphi)\mapsto (\sin\theta \cos\varphi; \sin\theta \sin\varphi;
\cos\theta)$
beschrieben als $c(t)=P(\theta(t),\varphi(t)$; ganz entsprechend werden
Kurven $c$ in
einer Umgebung von $\id\in SO(n)$ mit Hilfe der Exponentialreihe
beschrieben als
$c(t)=\exp A(t),\ A(t)\in\Skew(n)$. Mit Hilfe der Ableitungen $TP,\ T\exp$
wird dann gezeigt:
\lf
f\"ur $\BS^2$: $|\dot c(t)|=\big(\dot \theta(t)^2 +
\sin^2\theta(t)\dot\varphi(t)^2\big)^{1/2}
\ge |\dot \theta(t)|\ge \dot \theta(t)$, also
$\La(c)\ge \theta(1) = $L\"ange des Meridians vom Nordpol nach $c(1)$, also
ist der Meridian
k\"urzeste Verbindung. \lf
f\"ur $SO(n)$:  $|\dot c(t)|\ge |\ddd t\ |A(t)| |\ge \ddd t\ |A(t)|$, also
$\La(c)\ge |A(1)| = $L\"ange der Kurve $t\mapsto \exp(t\cdot|A(1)|)$;
dieses St\"uck einer 1-Parameter Untergruppe ist also K\"urzeste.
\LF
Aus der Formel f\"ur $T\exp|_A(B)$ und aus $\spur A^{l_1}BA^{n_1} = \spur
A^{l_2}BA^{n_2}$,
falls $l_1+n_1 = l_2+n_2$, folgt nun die angek\"undigte radiale
L\"angentreue:\lf\Ph{4}
 $\big\langle T\exp|_A(B), T\exp|_A(A)\big\rangle =  $\big\langle B,A
$\big\rangle$ \lf
(Beachte: $\spur ((\sum A^{k-1}B + \dots + BA^{k-1})/k!\cdot A^n) =
           \spur ((\sum A^{k-1}B)/(k-1)!\cdot A^n) = \spur(A^n\exp(A)\cdot
B)$. \lf
Dies wird f\"ur $A=A(t), B=A\Dot(t) = A\Dot(t)^{rad} + A\Dot(t)^\perp$
benutzt und liefert
mit $\ddd t |A(t)| = \big\langle A\Dot(t), A(t) \big\rangle/||A(t)||^2$ die
noch fehlende
Ungleichung: \lf
$|\dot c(t)| = \big\langle T\exp|_{A(t)}(A\Dot(t)),
             T\exp|_{A(t)}(A\Dot(t)^{rad} + A\Dot(t)^\perp)\big\rangle^{1/2}
           \ge |A\Dot(t)^{rad}| \ge \ddd t |A(t)|$.
\LF
Nach diesen beiden analogen Beispielen behandeln wir auch den folgenden
Satz nach demselben
Muster: Sei $h:\BR^n \to \BR^c$ stetig differenzierbar, betrachte die
Niveaumenge
$N_w = \{x\in\BR^n;\ h(x) = w\in\BR^c\}$. Setze ferner voraus, da\ss\ der
Satz \"uber
implizite Funktionen anwendbar ist, also f\"ur jedes $p\in N_w$ sei
$\rang(Th|_p) = c$.
Dann besitzt jedes $p\in N_w$ eine Umgebung $U\subset N_w$, die sich als
Graph (der
implizit definierten) Funktion $h_2:\ker(Th_p) \to \hbox{bild}(Th_p),\
h(x,h_2(x))=w$
beschreiben l\"a\ss t. Dann kann man auf jeder Komponente von $N_w$ die
innere Metrik
definieren und die Arzela-Ascoli K\"urzesten existieren in $N_w$. {\it Wie
sehen sie aus}?
\lf
Strategie: a) Beschreibe Kandidaten (wie eben Gro\ss kreise oder
1-Parameter Gruppen), \lf
b) zeige (in denselben Schritten wie eben), da\ss\ die Kandidaten lokal
K\"urzeste sind.
\hfill 29.11.00
\LF\LF
\centerline{\sc 4. Herleitung der Differentialgleichung der Geod\"atischen}\lf
Wir wollen wie in der Variationsrechnung {\it notwendige} Bedingungen
herleiten, die
eine K\"urzeste $c:[0,1]\to N_w \subset \BR^n$ erf\"ullen mu\ss. Da wir
nicht beweisen
k\"onnen, da\ss\ die Arzela-Ascoli K\"urzesten differenzierbar sind, und da
wir andererseits
von den Kandidaten {\it ohne Bezug auf ihre Herleitung} zeigen werden,
da\ss\ sie K\"urzeste
sind, d\"urfen wir beim Auffinden der Kandidaten bequeme
Zusatzvoraussetzungen machen: Wir
werden f\"ur dreimal stetig differenzierbare K\"urzeste eine
Differentialgleichung
zweiter Ordnung herleiten. Alle L\"osun\-gen der Dgl nennen wir {\bf
Geod\"atische}, und
wir zeigen, da\ss\ gen\"ugend kurze St\"ucke von diesen tats\"achlich {\it
K\"urzeste} sind.
\lf
Ich bespreche zwei Wege: Im ersten Fall suchen wir notwendige Bedingungen
f\"ur Kurven
$c:[0,1] \to Nw\subset \BR^n$ von $p$ nach $q$, f\"ur die die L\"ange in
$\BR^n$,
$\La(c)=\int_0^1 |c'(s)| ds$, minimal ist unter der Nebenbedingung
bild$(c)\in N_w$.
Im zweiten Fall benutze ich eine Parametrisierung $F:B^d\to N_w$ und suche
notwendige
Bedingungen f\"ur Kurven $\gamma:[0,1]\to N_w$, f\"ur die die Riemannsche
L\"ange minimal
ist,   \lf\Ph{2.5}
$\La_{Riemann}(\gamma) = \int_0^1 \langle TF|_{\gamma(s)}\cdot \gamma'(s),
       TF|_{\gamma(s)}\cdot \gamma'(s) \rangle ^{1/2}ds$.   \lf
Da f\"ur $c=F\circ\gamma$ gilt $\La_{\BR^n}(c) = \La_{Riemann}(\gamma)$
wird inhaltlich
in beiden F\"allen dasselbe Problem gel\"ost; obwohl die Formeln recht
verschieden aussehen,
sind auch die Argumentationsschritte dieselben (und evtl.~aus der
Variationsrechnung bekannt).
\lf
{\sc Weg I}. Wir benutzen die lokale Parametrisierung, um Nachbarkurven
$c_t$ so zu
konstruieren, da\ss\ die Vektorfelder $V(s):= \ddd t\, c_t(s)|_{t=0}$ in
kleinen Umgebungen {\it
jedes} Kurvenpunktes $c(s_0)$ {\bf beliebig} gew\"ahlt werden k\"onnen.
F\"ur solche Kurven
gilt dann, {weil $c$ K\"urzeste ist}: $\La(c_t) \ge \La(c)$. Daraus folgt
(setze voraus
$|c'|=1$):\lf \Ph{1}
$ 0 = \ddd t \La(c_t)|_{t=0} = \int_0^1 \langle \ddd t c'_t(s), c'_0(s) \rangle
= -\int_0^1 \langle \ddd t c_t(s), \ddd s c'_0(s) \rangle$. \lf
Benutze dabei f\"ur die partielle Integration: $V(0)=0, V(1)=0$ und
 \lf\Ph{2}
$\ddd s\langle \ddd t\, c_t(s), \ddd s\, c_t(s) \rangle =
\langle \ddd s\, \ddd t\, c_t(s), \ddd s\, c_t(s) \rangle
+ \langle \ddd t\, c_t(s), \ddd s\, c'_t(s) \rangle$.
\lf
{\it Indirekte Annahme}: Die Tangentialkomponente der zweiten Ableitung,
$c''^{tan}(s_0)$ sei $\ne 0$. (Wegen Bogenl\"angenparametrisierung ist
$c'\perp c''$,
als Tangentialkomponente $ c''^{tan}$ von $c''$
bezeichnen wir die Komponente von $c''$ tangential an die Niveaumenge
$N_w$.)
\lf
Benutze die lokale Parametrisierung $F:B_r(0)\to N_w$, also die Beschreibung
$c|_{[s_0-\delta, s_0+\delta]} = F\circ \gamma$, um die Nachbarkurven
$c_t(s) := F(\gamma(s)+t\cdot v(s))$ so zu definieren, da\ss\
$\ddd t\, c_t(s)|_{t=0} = \lambda(s)\cdot c''^{tan}(s),\ \lambda >0$ in
$(s_0-\delta, s_0+\delta)$ und $=0$ au\ss erhalb. Dann folgt:\lf
$\ddd t \La(c_t)|_{t=0} = \int_0^1 \langle V(s), c''(s) \rangle > 0$, im
Widerspruch
zu den eben abgeleiteten not\-wendigen Bedingungen.
\lf
Zusatz. Die damit hergeleitete Bedingung $c''^{tan}=0$ ist unter Hinzunahme der
Nebenbedingung $h(c(s))=w$ eine gew\"ohnliche Differentialgleichung: \lf
$h(c(s))=w$ ist \"aquivalent mit $h(c(0))=w, \langle \grad h|_{c(s)},
c'(s)\rangle = 0$,
und dies ist \"aquivalent mit
$h(c(0))=w, \langle \grad h|_{c(0)}, c'(0)\rangle = 0,
 \langle T\grad h|_{c(s)}(c'(s)), c'(s)\rangle + \langle \grad h|_{c(s)},
c''(s)\rangle = 0$.
Daher folgt die gesuchte Differentialgleichung (deren L\"osungen $h\circ c
= w$ erf\"ullen):
$$ c''(s) =  -\big\langle T\grad h|_{c(s)}(c'(s)),
             c'(s)\rangle\cdot \grad h/|\grad h|^2(c(s)) .$$
{\sc Weg II}. Ich erinnere daran, da\ss\ zwar die zweite Ableitung einer
Funktion
$f:\BR^n\to \BR^1$ durch eine Matrix (Hesse-Matrix) beschrieben wird,
da\ss\ aber f\"ur
h\"oherdimensionale Abbildungen $F:\BR^n\to \BR^{c>1}$ schon die erste
Ableitung durch
die Jacobi-Matrix beschrieben wird, so da\ss\ die Matrixkonventionen keinen
Platz f\"ur
die Beschreibung der zweiten Ableitung lassen. \"Ublich sind entweder {\it
Multiindices}
oder etwas mehr Lineare Algebra: Die zweite Ableitung $T^2F|_x(v)$
approximiert die
Differenz linearer Abbildungen $TF|_{x+v} - TF|_x$. Diese linearen
Abildungen k\"onnen
auf ein weiteres Argument angewandt werden
\lf\Ph{3}
$T^2F|_x(v)(w) \sim TF|_{x+v}(w) - TF|_x(w)$.\lf
Die Lineare Algebra interpretiert die linke Seite als {\it bilineare
Abbildung} und der
Satz von Schwartz \"uber die Symmetrie der zweiten Ableitungen sagt, da\ss\
das Ergebnis
von der Reihenfolge von $v,w$ bzw.~$w,v$ unabh\"angig ist. Daher fassen wir
die zweite
Ableitung von $F:\BR^n \to \BR^c$ auf als {\it symmetrische bilineare
Abbildung}: \lf \Ph{3}
$v,w\in\BR^n \Rightarrow T^2F|_x(v,w) = T^2F|_x(w,v) \in \BR^c$. \lf
Z.B. lautet dann die zweite Taylorapproximation: \lf \Ph{3}
$F(x+v) = F(x) + TF|_x(v) + T^2F|x(v,v) + o(|v|^2)$. \lf
F\"ur die partielle Integration im folgenden ben\"otigen wir Produkt- und
Kettenregel:
$$ \eqalign{
  \ddd s\ \big\langle TF|_{\gamma_t(s)}(\ddd t\,\gamma_t(s)),\ \
                TF|_{\gamma_t(s)}&(\ddd s\,\gamma_t(s)) \big\rangle =  \cr
\big\langle T^2F|_{\gamma_t(s)}(\ddd s\,\gamma_t(s), \ddd t\,\gamma_t(s))  +
            TF|_{\gamma_t(s)}&(\ddd s\,\ddd t\,\gamma_t(s)),\ \
                TF|_{\gamma_t(s)}(\ddd s\,\gamma_t(s)) \big\rangle  = \cr
\big\langle TF|_{\gamma_t(s)}(\ddd t\,\gamma_t(s)),\ \
T^2F|_{\gamma_t(s)}(\ddd s\,\gamma_t(s), d&/ds\,\gamma_t(s))  +
            TF|_{\gamma_t(s)}(\ddd s\,\ddd s\,\gamma_t(s))   \big\rangle .
\cr} $$
Wir haben wieder, weil $c = F\circ \gamma$ als differenzierbare K\"urzeste
vorausgesetzt wird
und weil die vereinfachende Voraussetzung $|TF_\gamma(\gamma')|=1$ gemacht
wird,
\lf\Ph{2}
$0 = \ddd t\,\La(c_t)|_{t=0} = \ddd t\, \La_{Riemann}(\gamma_t)|_{t=0} =  \lf
   \int_0^1 \big\langle \ddd t (TF|_{\gamma_t}(\gamma_t'(s))),
                    TF|_{\gamma_t}(\gamma_t'(s)) \big\rangle   =
 -  \int_0^1 \big\langle TF|_{\gamma_t}(\ddd t\, \gamma_t(s)),
                   \ddd s\, TF|_{\gamma_t}(\gamma_t'(s)) \big\rangle  =
\lf\Ph{2.2}
 \int_0^1 \big\langle TF|_{\gamma_t}(v(s)),\
T^2F|_{\gamma_t}(\gamma_t'(s),\,\gamma_t'(s))  +
TF|_{\gamma_t}(\gamma_t''(s)) \big\rangle$.\lf
Wir haben also wieder durch die partielle Integration die $s$-Ableitung des
Variationsvektorfeldes $v$ in eine zweite Ableitung der Kurve $\gamma$
verwandelt. Wie im
ersten Weg wird jetzt ausgenutzt, da\ss\ $v$ ein beliebiges Vektorfeld ist,
also
$TF|_\gamma(v(s))$ ein beliebiges an die Niveaumenge tangentiales
Vektorfeld l\"angs der
als K\"urzeste vorausgesetzten Kurve $c=F\circ\gamma$. Daher ist wieder
notwendig, da\ss\
der tangentiale Anteil des rechten Skalarproduktargumentes verschwindet, also
\lf\Ph{3.5}
$\left(T^2F|_{\gamma_t}(\gamma_t'(s),\,\gamma_t'(s))  +
          TF|_{\gamma_t}(\gamma_t''(s))\right)^{tang N_w} = 0$.\lf
Schlie\ss lich schreiben wir dies vollst\"andig im Definitionsbereich von
$F$, indem wir
(unter Benutzung des H\"ochstrangs von $TF|_\gamma$) den Tangentialanteil
der zweiten
Ableitung im Urbild von $TF$ ausdr\"ucken: \lf\Ph{4.5}
$T^2F|_x(v,w)^{tang} = TF|_x\circ \Gamma|_x(v,w)$ \lf\Ph{2.5}
(Definition der symmetrischen bilinearen Abbildung $\Gamma$). \lf
Die {\bf  Differentialgleichung der Geod\"atischen} lautet dann:
$$ \gamma''(s) + \Gamma|_{\gamma(s)}(\gamma'(s),\gamma'(s)) = 0.$$
\Ph{1}\hfill 1.12.00
\LF
{\bf 8. Woche,} 8.12.2000 \lf
Die Rechnungen zur Differentiation der L\"ange von Kurvenscharen, \lf\Ph{2}
$\ddd\epsilon\La(c_\epsilon) =
  - \int_I \langle \ddd\epsilon c_\epsilon(s), c_0''(s)\rangle ds $
\Ph{2}(Randterm $=0$) \lf
wurde wiederholt, um noch einmal (mit dem Argument der Variationsrechnung) die
Diffe\-rentialgleichung der Geod\"atischen, $c''^{tang\,N_w} = 0$,
herzuleiten. Hierbei
ist entscheidend, da\ss\ das ``Variationsvektorfeld''
$v(s) := \ddd\epsilon c_\epsilon(s)|_{\epsilon=0}$ so flexibel gew\"ahlt
werden kann, da\ss\
f\"ur {\it jedes} $s$ tats\"achlich {\it jeder} Tangentialvektor $v$ von
$N_w$ mit Fu\ss punkt
$c(s)\in N_w$ als Wert $v = v(s)$ eines Variationsvektorfeldes auftreten
kann. Hierzu haben
wir die lokalen Graph-Koordinaten f\"ur die Niveaumenge benutzt.
\LF
{\it Definition der {\bf Kr\"ummung von Kurven} relativ zur inneren Metrik der
Niveaumenge $N_w$}.
Wir w\"ahlen in der eben wiederholten Rechnung das Variationsvektorfeld
$v(s)\perp c'(s)$
und als Einheitsvektorfeld. Dann erf\"ullt die Kurvenschar $c_\epsilon(s)$
dieselben
Zwecke wie fr\"uher eine Schar aus Parallelkurven, denn in der Ableitung
$\ddd s\ddd\epsilon\La(c_\epsilon) =
  -  \langle \ddd\epsilon c_\epsilon(s), c_0''(s)\rangle  $
merkt man von der Parallelschar nicht mehr als $|v(s)|=1,\ v(s)\perp
c'(s)$. Den gr\"o\ss ten
Wert, den diese Ableitung annehmen kann, bezeichnen wir in $\BR^{n>2}$ als
{\it Kr\"ummung}
der Kurve, genauer, um an die Definition mit Hilfe der inneren Metrik von
$N_w$ zu
erinnern, als {\bf geod\"atische Kr\"ummung} $\kappa_g(s)=
|c''^{tang}(s)|$. Falls $N_w$
Dimension 2 hat, k\"onnen wir wie in $\BR^2$ und $\BS^2$ die Kr\"ummung
{\it mit Vorzeichen}
definieren. Z.B.~f\"ur Niveaufl\"achen von Funktionen $h:\BR^3 \to\BR^1$
w\"ahlen wir durch
$N(x):=\grad h/|\grad h|(x)$ ein Normalenvektorfeld der Fl\"ache und damit
zu jeder Kurve $c$
eine {\it {\it \"au\ss ere  Normale} $v(s) := c'(s) \times N(c(s))$. Damit
definieren wir
die {\bf geod\"atische Kr\"ummung mit Vorzeichen} durch}: \lf \Ph{2}
$\kappa_g(s)= \langle v'(s),\ c'(s) \rangle = -\langle v(s),\ c''(s)
\rangle $,
\ \  beachte $|c'(s)|=1$.
\lf
Eine Kurve $c: I\to N_w$ mit dieser Kr\"ummung erf\"ullt dann die
Differentialgleichung:
\lf\Ph{0.4}
$c'' = \langle c'', N\rangle \cdot N + \langle c'', v\rangle \cdot v =
\lf\Ph{1}
       - \langle c',\ T\grad h|_{c(s)}(c'(s))\rangle\cdot \grad h/|\grad
h|^2(c(s)) -
        \kappa_g(s)\cdot c'(s)\times \grad h/|\grad h|(c(s)$. \lf
{\it Umgekehrt}, ist eine Kr\"ummungsfunktion $\kappa_g(s)$ gegeben, so ist
die L\"osung
dieser Differentialgleichung zu den Anfangsdaten $c(0)\in N_w,\ c'(0)\perp
\grad h(c(0))$
eine Kurve in $N_w$, deren geod\"atische Kr\"ummung gleich der gegebenen
Funktion $\kappa_g(s)$
ist! Dazu gen\"ugt es zu zeigen, da\ss\ jede solche L\"osung $c$ in $N_w$
liegt, denn dann
folgt erstens $c''\perp c'$, also $\langle c',c' \rangle(s)=1$ und zweitens
ist die
geod\"atische Kr\"ummung dieser L\"osungskurve nach Definition
$-\langle c''(s),\ c'(s)\times N(c(s)) \rangle$, also nach Einsetzen der
Differentialgleichung
 tats\"achlich $=\kappa_g(s)$. Und die L\"osung liegt in $N_w$, denn die
Ableitung von
$\langle\grad h(c(s)), c'(s)\rangle$ ist nach Differenzieren und
Einsetzen der Differentialgleichung null. \lf
Damit haben wir die Theorie euklidischer ebener Kurven in die betrachteten
metrischen
R\"aume verallgemeinert. Beachte: Kandidaten f\"ur K\"urzeste sind die
ungekr\"ummten Kurven,
die mit $\kappa_g(s)=0$.
\LF
Ich habe wiederholt, was wir dabei \"uber die Niveaumengen benutzt haben;
vor allem: Aus
dem Satz \"uber implizite Funktionen folgt die Existenz der
Graphkoordinaten, und, falls
die Zentren dieser Koordinaten nahe genug beieinander liegen, so sind die
Koordinatenwechsel
(dort wo sie definiert sind) bijektiv und bidifferenzierbar. Diese
wichtigen Eigenschaften
sind die Grundlage f\"ur die axiomatische Definition des Begriffs
{\bf differenzierbare Untermannigfaltigkeit} des $\BR^n$. -- Ich werde
diesen Begriff
ein\"uben, indem ich die Rechnung vom Ende der letzten Woche in diesem
axiomatischen Kontext
wiederhole. Der n\"achste Satz ist dann:\lf
Die durch $TF|_x\circ\Gamma(v,w) := T^2F|_x(v,w)^{tang}$ definierte und
f\"ur die
Differentialgleichung der Geod\"atischen sowie die Berechnung von
$\kappa_g$ ben\"otigte
bilineare und symmetrische Abbildung $\Gamma$ l\"a\ss t sich allein aus der
Metrik
berechnen (statt aus der Tangentialkomponente der zweiten Ableitung).
\hfill 8.12.00
\LF    %%% \eject\noindent
                {\bf 9. Woche,} 13.-15.12.2000 \lf
Wiederholung: Ob man Ableitungen von $F:\BR^d\to\BR^n$ mit Hilfe der
eindimensionalen
partiellen Ableitungen berechnet (und sich dabei \"uber die gew\"ahlten
Basen im klaren
sein mu\ss) oder ob man basisunabh\"angig beste lineare Approximationen
angeben kann
(wie im Beispiel: $P:\ M(n,n)\to M(n,n),\ M\mapsto P(M):=M^3$ mit Hilfe der
binomischen
Formel $P(M+A) - P(M) = M^2A + MAM + AM^2 +O(\|A\|^2)$ ), h\"angt
nat\"urlich davon ab,
wie die zu differenzierende Abbildung $F$ gegeben ist. In nicht auf
Beispiele bezogenen
allgemeinen Argumenten sollte man pr\"agnante Bezeichnungen verwenden, die eine
\"ubersichtliche Formulierung der Differentiationsregeln erlauben. Oft sind die
Differenzenquotienten leichter zu interpretieren, w\"ahrend f\"ur die
Ableitungen bessere
Rechenregeln zur Verf\"ugung stehen; bis auf \epd-Fehler haben wir: \lf\Ph{2}
$F(x+w) - F(x) \sim TF|_x(w),\ TF|_{x+v}(w) - TF|_x(w) \sim T^2F|_x(v,w)$.
$$ \eqalign{
  \hbox{Differentiationsregeln: }\
  T_v(F\circ &f)|_x = T(F\circ f)|_x(v) = TF|_{f(x)}\cdot Tf|_x(v)  \cr
  T^2(F\circ f)|_x(v,w) &= T^2F|_{f(x)}(Tf|_x(v),Tf|_x(w)) +
TF|_{f(x)}\circ T^2f|_x(v,w)
\cr } $$
\lf
Nun sei $M$ eine $d$-dimensionale Riemannsche Untermannigfaltigkeit von
$\BR^n$; wir
wiederholen die Herleitung der Differentialgleichung der Geod\"atischen.
Die \"Anderung
besteht darin, da\ss\ wir nicht mehr mit dem Satz \"uber implizite Funktionen
{\it konstruierte} (Graph-) Koordinaten haben, sondern {\it axiomatisch
geforderte}
lokale Koordinaten $F:B^d \to \BR^n,\ x\in B^d \Rightarrow \rang(TF|_x) =
d$. Aus dieser
Voraussetzung folgt offenbar lokal die ``kurze rektifizierbare
Verbindbarkeit''; f\"ur
{\it zusammenh\"angende} Untermannigfaltigkeiten folgt daraus die globale
rektifizierbare
Verbindbarkeit, also die Existenz der inneren Metrik. Offenbar sind Kugeln
kompakt, also
existieren Arzela-Ascoli K\"urzeste. F\"ur gen\"ugend glatte K\"urzeste
$\gamma$ folgt aus
dem Variationsargument die Differentialgleichung der Geod\"atischen f\"ur
$\gamma$. Die
Rechnung ist dieselbe wie am 1.12., aber wir m\"ussen hervorheben, da\ss\
es f\"ur den
indirekten Beweis gen\"ugt, nur Variationsvektorfelder zur Verf\"ugung zu
haben, die
au\ss erhalb einer Koordinatenumgebung null sind, innerhalb aber so
gew\"ahlt werden
k\"onnen, da\ss\ aus der Annahme $(F\circ\gamma)''(s_0)^{tangential} \ne 0$
ein Widerspruch
folgt.
\LF
Wenn man schlie\ss lich mit Mannigfaltigkeiten arbeitet, {\it mu\ss\ man
alle Argumente
in den Definitionsbereichen lokaler Karten f\"uhren}. Wir bereiten das vor,
indem wir auch
f\"ur Untermannigfaltigkeiten anstreben, m\"oglichst viele Eigenschaften im
Definitionsbereich lokaler Karten zu beschreiben. Der Verlust an
Anschaulichkeit wird
kompensiert, weil man niedrigerdimensional rechnen kann. Die Riemannsche Metrik
(Definition auf $B^d$: F\"ur $x\in B^d$ setze:
$g_x(v,w):= \langle TF_x\cdot v,\ TF_x\cdot w \rangle$ ) war das erste
Beispiel daf\"ur.
Jetzt folgt die Differentialgleichung der Geod\"atischen: \Ph{1}
$ TF\cdot( \ddot c(t) + \Gamma(\dot c(t), \dot c(t)) = 0 $.
\LF
{\it Satz}. Die f\"ur die geod\"atische Differentialgleichung wichtige und
(wegen der H\"ochstrang-Voraussetzung) durch \lf\Ph{2}
$(T^2F|_x(v,w))^{tangential} = TF|_x\cdot \Gamma_x(v,w),\ x\in B^d,\
v,w\in\BR^d$ \lf
definierte {\bf bilineare symmetrische Christoffelabbildung} $(v,w)\mapsto
\Gamma_x(v,w)$
l\"a\ss t sich aus der Riemannschen Metrik berechnen durch die Formel:
$$ g_x(\Gamma_x(v,w),\ u) = -T_ug_x(v,w) + T_vg_x(w,u) + T_wg_x(u,v).$$
Beachte: Wie bei allen anderen Ableitungen haben wir $T_ug_x(v,w) \sim
g_{x+u}(v,w) - g_x(v,w)$.
\LF
{\it Beweis} Wir differenzieren die Definition der Riemannschen Metrik: \lf
$T_ug_x(v,w)          := \langle T^2F_x(u,v),\ TF_x\cdot w \rangle
                         + \langle TF_x\cdot v,\ T^2F_x(u,w) \rangle$ \lf
$\phantom{T_ug_x(v,w):}= \langle T^2F_x(u,v)^{tangential},\ TF_x\cdot w \rangle
                         + \langle TF_x\cdot v,\ T^2F_x(u,w)^{tangential}
\rangle$ \lf
$\phantom{T_ug_x(v,w):}= g_x(\Gamma_x(u,v),\ w) + g_x(v,\ \Gamma_x(u,w))$. \lf
Vertauscht man in der so erhaltenen Identit\"at die Argumente $u,v,w$
zweimal zyklisch
und kombiniert diese drei Gleichungen mit den Vorzeichen $-,+,+$ (wie in
der Behauptung),
so erh\"alt man die gew\"unschte Formel, weil wegen der Symmetrie der
Metrik $g(v,w)=g(w,v)$
und der Symmetrie der Christoffelabbildung $\Gamma(v,w)=\Gamma(w,v)$ die
unerw\"unschten
Christoffelterme (mit $\Gamma(u,v)$ und $\Gamma(u,w)$) herausfallen. \hfill
13.12.
\lf

\centerline{\sc 5. Definition der Kr\"ummung von Hyperfl\"achen} \noindent
Als $d$-dimensionale Hyperfl\"achen bezeichnen wir $d$-dimensionale
Untermannigfaltigkeiten
in $\BR^{d+1}$, z.B.~Niveaus von Funktionen $f:\BR^{d+1}\to\BR^1, \grad f
\ne 0$
oder (lokal) Bilder von Abbildungen $F:B^d \to \BR^{d+1},\ \rang(TF|_x) =
d$. \lf
Vergleicht man Kugeln und Zylinder (beide homogen eingebettet, also
\"uberall ``gleich''
gekr\"ummt, weil die Definition nur akzeptabel ist, wenn sie mit Isometrien
vertr\"aglich
ist), so sieht man erstens, da\ss\ Approximation von Fl\"achen durch Kugeln
nicht so gut
geeignet ist, Kr\"ummungseigenschaften zu erfassen, wie die beste
Approximation von Kurven
durch Kreise; und man sieht zweitens, da\ss\ man nicht darum herum kommt zu
akzeptieren,
da\ss\ Fl\"achen in verschiedenen Richtungen (an einem Punkt) verschieden
gekr\"ummt sein
k\"onnen. \lf
Wir versuchen es mit dem zweiten Weg, Kr\"ummung zu fassen, mit der
Kippgeschwindigkeit
der Normalen. Ich f\"uhre dies f\"ur Niveaufl\"achen und Bildfl\"achen
parallel vor, weil
das Konzept wichtiger ist als die beschreibenden Formeln. F\"ur die
Niveauhyperfl\"achen
einer Funktion k\"onnen wir leicht ein Einheitsvektorfeld definieren,
da\ss\ auf den Niveaus
senkrecht steht:\lf
F\"ur $p\in \BR^n, \grad f|_p\ne 0$ setze $ N(p):= \grad f/|\grad f| (p)$.
Ist dann
$c:I\to f^{-1}(w)\subset \BR^n$ Kurve in einem Niveau, so k\"onnen wir
leicht das
Normalenfeld $N$ l\"angs $c$ differenzieren:
$$ (N\circ c)'(s) = {T_{c'(s)}\grad f|_{c(s)} \over |\grad f|_{c(s)}|}
                   - \left\langle T_{c'(s)}\grad f|_{c(s)} ,\grad f
\right\rangle(c(s))
                   \cdot{ \grad f|_{c(s)} \over |\grad f|_{c(s)}|^3}. $$
F\"ur eine Bildfl\"ache $F:B^d \to \BR^{d+1}$ beschreiben wir ein
Normalenfeld ebenfalls
als Abbildung, mit demselben Definitionsbereich wie $F$. Wegen der
Voraussetzung
$\rang(TF|_x) = d$ gibt es in jedem Punkt des Bildes zwei
(entgegengesetzte) Einheitsnormalen,
es gibt also zwei {\it stetige} Normalenfelder, wir w\"ahlen eines und
bezeichnen es mit
\lf \Ph{3}
$ N: B^d \to \BS^d\subset\BR^{d+1},\ x\in B^d\Rightarrow N(x)\perp
\hbox{bild}(TF|_x)$. \lf
Kurven $c$ im Bild von $F$ werden im Definitionsbereich beschrieben durch
\lf \Ph{5.5}
$ \gamma:I\to B^d,\ c:= F\circ \gamma$. \lf
Wieder differenzieren wir die Normale l\"angs der Kurve: \lf
$$ \eqalign{
 (N\circ\gamma)'(s) &= T_{\gamma'(s)}N|_{\gamma(s)} \subset
\hbox{bild}(TF|_{\gamma(s)})
                                         =N(\gamma(s))^\perp \cr
                    &=: TF|_{\gamma(s)} \big( S|_{\gamma(s)}\cdot
\gamma'(s) \big).
\cr}$$
Hier wird f\"ur jedes $x\in B^d$ eine lineare Abbildung $S_x: \BR^d\to
\BR^d$ definiert,
die im Definitionsbereich von $N$ die Ableitung dieses Normalenfeldes
beschreibt. Nat\"urlich
ist auch hier wesentlich die H\"ochstrangvoraussetzung \"uber $F$, so
da\ss\ {\it jeder}
Vektor senkrecht zu $N(x)$ im Bild von $TF|_x$ liegt (ganz \"ahnlich wie
bei der Definition
der Christoffelabbildung). \lf
Betrachte noch einmal die Rechnung zu den Niveaufl\"achen, auch dort ergab
sich die
Kipp\-geschwindigkeit (also die Ableitung) der Normale als die {\it
lineare} Abbildung
$TN|_p : N(p)^\perp \to N(p)^\perp$, sogar genauer: $TN|_p$ ist die
Komposition von
$T\grad f$ mit der Orthogonalprojektion auf den Tangentialraum $N(p)^\perp$
des Niveaus.
\lf
Wir haben die Abbildung $S$ am Beispiel von Rotationsfl\"achen
ausgerechnet. Wir fanden
eine $g_x(.,.)$-symmetrische Abbildung, deren Eigenvektoren tangential an
die Meridiane
und Breitenkreise waren. (Bitte nachrechnen und evtl.~in den \"Ubungen fragen.)
\lf
Tats\"achlich gilt der {\it Satz}:\ \  Jede der Abbildungen $S_x$ ist
$g_x(.,.)$-symmetrisch.
\lf
{\it Beweis}. Sei $\gamma:I\to B^d,\ v\in\BR^d$. Differenziere
 $0 = \langle N\circ \gamma,\ TF|_{\gamma(s)}(v) \rangle|_{\BR^n}$ :
\lf
$ 0 = \langle T_{\gamma'(s)}N|_{\gamma(s)},\ TF|_{\gamma(s)}(v) \rangle +
      \langle N\circ \gamma,\ T^2F|_{\gamma(s)}(\gamma'(s),\ v) \rangle$,
\lf
also folgt mit $\gamma(s) = x,\gamma'(s)=u$ und mit der Symmetrie der
zweiten Ableitung $T^2F$
die Behauptung:
$$ \eqalign{
 -\langle N(x),\ T^2F|_x(u,\ v) \rangle =
  \langle T_uN|_x,\ TF|_x(v) \rangle = \langle TF|_x(S\cdot u),\ TF|_x(v)
\rangle
   = g_x(S\cdot u, v)
\cr} $$
Die Abbildung $S_x$ hei\ss t {\bf Weingartenabbildung} oder {\bf shape
operator} der
Hyperfl\"ache; die zugeh\"orige Bilinearform $b_x(v,w):= g_x(S_x\cdot v,\
w)$ hei\ss t
{\bf zweite Fundamentalform}.
 %%%%%% \eject\noindent
                {\bf 10. Woche,} \hfill 20.12.2000 \lf
{\it Wiederholung}, Rotationsgeschwindigkeit von Vektorfeldern bei Kurven:
Sei $c:I\to\BR^2$
eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte Kurve und $n:I\to\BR^2$ das
\"au\ss ere
Normalenfeld. Dann gilt $n'(s) = \kappa(s)\cdot c'(s)$. Definiere dazu
$\alpha(s):=\int_0^s \kappa(\sigma) d\sigma$. Ich will anschaulicher
machen, da\ss\
$\kappa$ die Rotationsgeschwindigkeit des Normalenfeldes $n$ (und dann
nat\"urlich auch
die Rotationsgeschwindigkeit von $c' = \R90\cdot n$ mit
$c''(s)=-\kappa(s)\cdot n(s)$) ist.
Dazu definiere ich das Vektorfeld $v(s):= c'(s)\cdot \cos\alpha(s) +
n(s)\cdot \sin\alpha(s)$,
bei dem $c'(s)$ um den Winkel $\alpha(s)$, also mit der {\it
Rotationsgeschwindigkeit}
$\kappa(s)$, zur\"uckgedreht wird. Dies Vektorfeld sollte parallel sein,
und in der Tat:
Differenzieren ergibt $v'(s)=0$.
\lf
{\it Akzente}. Bei der Behandlung von Untermannigfaltigkeiten wollen wir im
Definitionsbereich
lokaler Koordinaten $F:B^d\to\BR^{d+1}$ die Geometrie des Bildes von $F$
beschreiben.
Beispiele: Riemannsche Metrik $g_x(v,w):=\langle TF_x\cdot v, TF_x\cdot w
\rangle$, damit
die Bogenl\"ange von $c:=F\circ\gamma$ als $g$-L\"ange von $\gamma$. Die
Differentialgleichung
der Geod\"atischen $\gamma'' + \Gamma_\gamma(\gamma',\ \gamma')(s) = 0$ ist
wirklich im
Definitionsbereich von $F$ beschrieben, weil wir $\Gamma$ aus $g,\ Tg$
ausgerechnet haben,
$2g_x(\Gamma_x(v,w),u) = -T_ug|_x(v,w) + T_vg|_x(w,u) + T_wg|_x(u,v) $.
Auch die Kr\"ummung
haben wir letztes Mal im Definitionsbereich der lokalen Koordinaten
beschrieben,
weil wir die Rotationsgeschwindigkeit der
Normale $N:B^d\to \BS^d \subset \BR^{d+1}$ l\"angs einer Kurve $\gamma:I\to
B^d$ im
Definitionsbereich durch eine $g$-symmetrische
lineare Abbildung $S_{\gamma(s)}:\BR^d\to\BR^d$ beschrieben haben: \lf\Ph{5}
$TN_x(u) =: TF_x(S_x\cdot u)$. \lf
Nun beoachten wir, da\ss\ -- analog wie bei Kurven -- die
L\"angen\"anderung beim \"Ubergang
zu {\it Parallelfl\"achen} $F_\epsilon := F + \epsilon\cdot N$ durch {\it
dieselbe lineare
Abbildung $S$} beschrieben wird. Aus \lf \Ph{4}
$TF_\epsilon = TF + \epsilon\cdot TN = TF\cdot(\id + \epsilon S)$ \lf
berechnen wir die zu dieser Parametrisierung geh\"orige Riemannsche Metrik:
\lf\Ph{3}
$g_\epsilon(v,w) = g((\id + \epsilon S)\cdot v, (\id + \epsilon S)\cdot
w)$, also \lf \Ph{4}
$\Dd\epsilon g_\epsilon(v,w)|_{\epsilon=0} = 2g(S\cdot v, w)$.
\LF
{\it Damit ist es ausreichend gerechtfertigt, die Weingartenabbildung $S$
(auch shape operator)
als {\bf Kr\"ummung der Hyperfl\"ache} zu bezeichnen}.
\LF\Ph{4}
{\sc Die Hyperfl\"achengleichungen}\lf
Bisher haben wir eine Hyperfl\"ache als gegeben angesehen und Metrik,
Geod\"atische und
Kr\"um\-mung durch Gleichungen beschrieben. Nun \"andern wir den Standpunkt
und betrach\-ten
Metrik und Kr\"ummung als gegeben (und zwar als Abbildungen
$x\mapsto g_x(.,.),\ x\mapsto S_x(.),\ x\in B^d$) und fragen, {\it wie weit
ein parametrisiertes
Hyperfl\"achenst\"uck $F:B^d\to \BR^{d+1}$ durch Metrik und Kr\"ummung
bestimmt ist}. Dann
passiert etwas \"Ahnliches wie bei Kurven: Die zur Definition von
Weingartenabbildung $S$
und Christoffelabbildung $\Gamma$ benutzten Glei\-chungen bekommen eine
{\it zweite Interpretation},
sie sind nun Differentialgleichungen, die leicht einen Eindeutigkeitssatz
zur Folge haben,
aber schlie\ss lich auch zu der Existenzaussage f\"uhren: Falls Metrik und
Kr\"ummung
ber\"uhmte notwendige Vertr\"aglichkeitsbedingungen erf\"ullen so gibt es
tats\"achlich
(bis auf Anfangswerte eindeutig) ein Fl\"achenst\"uck mit dieser Metrik und
dieser Kr\"ummung.
$$ \eqalign{
& \Ph{2} \hbox{ \bf Die Hyperfl\"achengleichungen}\cr
TN|_x(u) &= TF|_x(S_x\cdot u), \Ph{4.3}\hbox{ (Weingartenformel)} \cr
T^2F|_x(v,w) &= TF|_x(\Gamma_x(v,w)) - g_x(S\cdot v,w)\cdot N(x),\Ph{0.2}
                \hbox{(Gau\ss sche Ableitungsgleichung)}
\cr}$$
Bemerkung. {\it Im gr\"o\ss ten Teil der Literatur wird zur Definition der
Weingartenabbildung
von $\BS^2$ die {\bf innere} Normale genommen, so da\ss\ die Gau\ss sche
Normalenabbildung $N$
dann die orientierungsumkehrende Antipodenabbildung ist. Dem schlie\ss e
ich mich nicht an. Da
jedoch die Weingartenabbildung der Sph\"are nach Meinung aller Autoren
positive Eigenwerte
haben soll, steht in der Literatur in der Weingartenformel das
Minuszeichen, das bei mir
in der Gau\ss schen Ableitungsgleichung steht. Meine bevorzugte Normale der
Sph\"are ist dann
die {\bf \"au\ss ere}; sie wird auch in der Analysis bevorzugt: $N = \grad
r,\ r:\BR^d\to\BR$}.
\LF
Da die Hyperfl\"achengleichung nicht zu den im Grundstudium behandelten
Differentialglei\-chungen geh\"ort, ist der folgende Satz wichtig: \lf
{\it Behauptung}: Betrachtet man die Hyperfl\"achengleichung nur l\"angs
einer Kurve
$\gamma:I\to B^d$, so vereinfacht sie sich zu einer
{\bf linearen gew\"ohnlichen Differentialgleichung.} \lf
{\it Folgerung}: Eine Hyperfl\"ache ist durch Metrik und Kr\"ummung {\bf
eindeutig bestimmt}
(nat\"urlich bis auf die Wahl von
Anfangsdaten $F(x_0)=F_0\in\BR^{d+1}, TF|_{x_0} = L_0$ mit
          $\langle L_0(v),L_0(w) \rangle = g_{x_0}(v,w)$ ), und
falls zu der gegebenen Metrik und Kr\"ummung \"uberhaupt eine Hyperfl\"ache
geh\"ort).
\LF
{\it Beweis}. Zur Herleitung der Gleichungen sei wieder eine Hyperfl\"ache
$F:B^d\to \BR^{d+1}$
mit Normalenfeld $N:B^d\to \BS^d\subset \BR^{d+1}$ sowie eine Kurve
$\gamma:I\to B^d$ als
{\it gegeben} angenommen. Definiere: $n:I\to  \BR^{d+1},\
n(t):=N\circ\gamma(t)$ und
$L:I\to \Hom(\BR^d,  \BR^{d+1}),\ L(t) := TF|_{\gamma(t)}$. Differenziere
mit der Kettenregel,
benutze die Hyperfl\"achengleichung und finde eine lineare
Differentialgleichung f\"ur
$(n(.); L(.))$:
$$ \eqalign{
  \dot n(t) &= L(t)\circ S_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t)) \cr
  \dot L(t)(.) &= L(t)\circ\Gamma(\dot \gamma(t), . ) -
                  g_{\gamma(t)}(S_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t)),\ .\ )\cdot n(t)
\cr} $$

 \hfill 20.12.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%-----------------------------------------------------------------------%%%%%%%%
%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\LF
{\bf 11. Woche} \hfill 5.1.2001 \lf\Ph{4}
{\sc 6. Hyperbolische Geometrie}
\LF
Bisher waren wir von metrischen R\"aumen ausgegangen, hatten dann
Bogenl\"angen von Kurven
und evtl. die innere Metrik definiert; zum Beispiel auf
Untermannigfaltigkeiten von $\BR^d$
erhielten wir so Riemannsche Metriken. Die hyperbolische Geometrie
definieren wir anders:
Auf einer quadratischen Hyperfl\"ache von $\BR^{d+1}$ definieren wir mit
Hilfe einer
{\it indefiniten} Bilinearform $\Langle x, y \Rangle :=
     \sum_{j=1}^{j=d} x_jy_j - x_{d+1}y_{d+1}$ (genannt {\it Lorentzform})
auf jedem Tangentialraum ein {\it positiv definites} Skalarprodukt, also
eine Riemannsche
Metrik; Abst\"ande in der Hyperfl\"ache {\it definieren} wir als Infimum
der L\"ange von
Verbindungskurven. Die Hyperfl\"ache wird so zu einem metrischen Raum
(genannt {\it hyperbolischer
Raum}), der nicht als Teilraum eines vorher gegebenen metrischen Raumes
konstruiert wurde.
\lf
Die Hyperfl\"ache $H$ ist das $-1$-Niveau der quadratischen Funktion
$f(x):=\Langle x,x\Rangle$;
es handelt sich um ein zweischaliges Hyperboloid, wir betrachten die obere
H\"alfte. Die
Ableitung von $f$ verschwindet nur auf dem Niveau $f(x)=0$ bei $x=0$.
\lf
Die orthogonale Gruppe $O(d,1)$ der Lorentzform besteht aus allen
Endomorphismen $A$ mit
$\Langle x,y\Rangle = \Langle A\cdot x,\ A\cdot y\Rangle$. Die orthogonale
Gruppe $O(d)$
von $\BR^d\times\{0\}$ ist Untergruppe von $O(d,1)$ und zwar Standgruppe
des Punktes
$(0;\dots;1)\in H$. \lf
{\it Satz}. Die Gruppe $O(d,1)$ operiert {\it transitiv} auf $H$.
\lf
Wegen der $O(d)$-Rotationssymmetrie gen\"ugt es zu zeigen, da\ss\ der
Scheitelpunkt
$S:=(0;\dots;1)$ in jeden anderen Punkt des Meridians in der
$x_1$-$x_{d+1}$-Ebene
transportiert werden kann. Das gelingt mit den Lorentz-Isometrien:
$$ A:= \left(\matrix{ \cosh r & 0\dots 0 & \sinh r \cr
                      0 & \dots 1 \dots & 0     \cr
                      \sinh r & 0\dots 0 & \cosh r} \right) \in O(d,1)$$
Diese Abbildungen sind in $O(d,1)$ wegen $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$.
\LF
Wir parametrisieren $H$ mit Polarkoordinaten und berechnen die Riemannsche
Metrik in diesen
Koordinaten: \lf\Ph{3}
$P:[0,\ \infty)\times \BS^{d-1} \to H,\ P(r,e):= (\sinh r\cdot e;\ \cosh
r)$ \lf
Eine Kurve $c$ wird in Polarkoordinaten gegeben als $c(t)= P(r(t),e(t))$.
Wir finden
\LF\Ph{3}
$\Langle \dot c(t), \dot c(t) \Rangle = \dot r(t)^2 +\sinh(r(t))^2\cdot
                     \langle \dot e(t), \dot e(t) \rangle$.      \lf
Daraus folgt erstens, da\ss\ $r$ Bogenl\"angenparameter auf den Meridianen
$r\mapsto (r, e=const)$
ist. Zweitens ist jede andere Kurve vom Scheitel $S, r(0)=0,$ mindestens so
lang wie der
Meridian $r\mapsto (r, e(1))$: \lf\Ph{3}
$ |\dot c(t)|_H = \left(\dot r(t)^2 +\sinh(r(t))^2\cdot
                    \langle \dot e(t), \dot e(t) \rangle\right)^{1/2}
               \ge |\dot r(t)| \ge \dot r(t)$.  \lf
Also: \lf\Ph{4}
$\La_H(c) = \int_0^1  |\dot c(t)|_H dt \ge \int_0^1 \dot r(t) dt = r(1)$.
\lf
Daher sind die Meridiane K\"urzeste. Au\ss erdem sind sie {\it
zweidimensionale ebene Schnitte}
des Hyperboloids mit Ebenen durch die $(d+1)$-Achse in $\BR^{d+1}$; mit
Hilfe der Isometrien
aus $O(d,1)$  k\"onnen diese speziellen ebenen Schnitte in beliebige ebene
Schnitte durch $0$
abgebildet werden, und umgekehrt. Damit kennen wir alle Geod\"atischen in
$H$ und wir wissen,
da\ss\  sie K\"urzeste sind.
\LF
Projiziert man die Hyperboloidschale von $0$ aus auf die Tangentialebene
$\BR^d\times \{1\}$
im Scheitel, so ist das bijektive  Bild von $H$ die (offene)
Einheitsvollkugel, und die
(geradlinigen) Sehnen sind die Bilder der Geod\"atischen. Dies Bild unter
Zentralprojektion
hei\ss t Kleinsches Modell des hyperbolischen Raumes (und auch: Projektives
Modell).
\hfill 5.1.01
\LF
{\bf 12. Woche}  10.1.-12.1.2001 \lf
Wiederholung vom letzten Mal. \lf
Weitere Analogien zur Sph\"are: F\"ur den Abstand von zwei Punkten $P,Q\in
H$ gilt: \lf\Ph{5}
$\cosh d_H(P,Q) = - \Langle P,Q \Rangle$, \lf
und f\"ur zwei Tangentialvektoren $v,w$ in $P$,
also $\Langle P,v \Rangle =0 =\Langle P,w \Rangle$, gilt: \lf\Ph{5.3}
$\cos <\!\!\!)(v,w) = \Langle v,w \Rangle$.
\LF
Die folgende Herleitung der hyperbolischen Dreiecksformeln ist v\"ollig
analog zur Herleitung
der entsprechenden sph\"arischen Formeln. Wie in der Euklidischen Ebene
\"ublich seien
$A,B,C$ die Ecken eines Dreiecks, $\alpha, \beta, \gamma$ die Winkel an
diesen Ecken und
$a,b,c$ die L\"angen der gegen\"uberliegenden Seiten. Euklidisch ergibt
Orthogonalprojektion
auf die Seite $c$ die ``Projektionsforml'': $a\cdot\cos\beta +
b\cdot\cos\alpha = c$;
die H\"ohe $h$ \"uber der Seite $c$ berechnet sich als:
$a\cdot\sin\beta = h = b\cdot\sin\alpha$ (``Sinussatz''); schlie\ss lich
hat man den
``Kosinussatz'': $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$. Analoge, die
Dreiecksgeometrie
beherrschende Formeln werden hergeleitet. Der Fall $d+1 = 3$ gen\"ugt.
\lf
Mit den Isometrien aus $O(d,1)$ bringen wir $A$ in den Scheitel des
Hyperboloids und $B$
in die vertikale Koordinatenebene durch die $x_1$-Achse. Dann haben die
Eckpunkte folgende
Koordinaten:
$$ A= \left( \matrix{ 0 \cr 0 \cr 0 } \right) \ \
   B= \left( \matrix{ \sinh c \cr 0 \cr \cosh c } \right) \ \
   C= \left( \matrix{ \sinh b\cos\alpha \cr \sinh b\sin\alpha \cr \cosh b }
\right).
$$
Au\ss erdem geben wir eine Spiegelung $Sp \in O(d,1)$ an, die $A$ und $B$
vertauscht. Die
Koordinaten des Punktes $Sp\cdot C$ berechnen sich einerseits via
Matrixmultiplikation aus
$\alpha, b,c$, andererseits analog zu $C$ direkt aus $a,\beta$:
$$ Sp= \left( \matrix{-\cosh c & 0 & \sinh c \cr
                       0 & 1 & 0 \cr
                      -\sinh c & 0 & \cosh c } \right) $$
$$
Sp\cdot C= \left( \matrix{ \sinh a\cos\beta \cr \sinh a\sin\beta \cr \cosh
a } \right)=
\left( \matrix{ -\cosh c\sinh b\cos\alpha  + \sinh c \cosh b\cr
\sinh b\sin\alpha \cr \cosh c\cosh b - \sinh c \sinh b \cos\alpha} \right)
=\left( \matrix{ Projekt.-satz \cr Sinussatz \cr Kosinussatz } \right)
$$
Anders als im Euklidischen kann man auch aus den drei Winkeln die
Seitenl\"angen ausrechnen.
Multipliziere zun\"achst Gleichung (1) mit $\cos\alpha$ und addiere
Gleichung (1) nach Vertauschen
von $b,c$:
$$ \sinh a\cdot(\cos\alpha\cos\beta + \cos\gamma) = \sinh b \cosh c
\sin^2\alpha$$
Nachdem man rechts den Sinussatz benutzt hat kann man durch $\sinh a$
k\"urzen und erh\"alt
den
$$\hbox{``Winkelkosinussatz''}: \Ph{1.5}
  \cos\gamma = - \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\cosh c .\Ph{3.5}$$
Man \"uberpr\"ufe, da\ss\ man mit diesem Verfahren die analogen
sph\"arischen Formeln herleiten
kann (ein anderes Vorzeichen im Kosinussatz). Im Grenzwert kurzer
Seitenl\"angen erh\"alt
man mit $\sinh x \sim x, \cosh x \sim 1$ aus den ersten beiden Formeln die
Euklidischen
Versionen, beim Kosinussatz ben\"otigt man $\cosh x \sim 1+x^2/2$ und
vernachl\"assigt Fehler
vierter Ordnung. Der Winkelkosinussatz hat den Grenzwert
$\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta)$
oder $\alpha+\beta+\gamma = \pi$. In Aufgabe 37 werden Anwendungen dieser
Formeln ge\"ubt.
\LF
So wie man von der Erde durch Projektion gute Karten herstellt, so
erleichtern es Karten oder
Modelle, sich die hyperbolische Ebene vorzustellen. Die Zentralprojektion
auf das Kleinsche
Modell wurde schon beschrieben: Geod\"atische haben geradlinige Bilder.
Stereographische
Projektion vom unteren Scheitel $-S = (0; \dots 0; -1)$ bildet die
Einheitsvollkugel
$\{(x,0)\in \BR^{d+1}; |x|<1 \}$ bijektiv auf das Hyperboloid ab durch die
Formel
$$St(x) := {1 \over 1 - \langle x,x \rangle}
    \left(\matrix{ 2x \cr 1 + \langle x,x \rangle} \right) \in H \subset
\BR^{d+1}$$
Diese Abbildung ist winkeltreu, vgl. Aufgabe 38. Die Urbilder der
Geod\"atischen sind Kreise
die senkrecht auf dem Rand der Einheitskugel $|x|<1$ stehen. Die
R\"uckseite von Blatt 11
zeigt ein regelm\"a\ss iges Vierzehneck in stereographischer Projektion.
\hfill  10.1.01
\LF
Die Urbilder (unter $St$) ebener Schnitte von $H$ sind gegeben als \lf\Ph{3.5}
$\{x\in\BR^d;\
      \langle a, 2x \rangle + b(1+\langle x,x \rangle) + c(1-\langle x,x
\rangle)=0\}.$  \lf
Im Falle $b=c$ handelt es sich um ebene Schnitte durch das
Projektionszentrum $(0; \dots ;-1)$,
die Urbilder sind Sehnen der Kugel $|x|<1$. Andernfalls bezeichne
$m := -a/(b-c); r^2:= |m|^2 -(b+c)/(b-c)$, dann erf\"ullen die Urbilder die
Kreisgleichung
$\langle x-m, x-m \rangle = r^2$. F\"ur Geod\"atische ist $c=0,\ r^2 =
|m|^2-1$, die Urbilder
sind also Kreise, die den Rand der Einheitskugel senkrecht schneiden;
siehe R\"uckseite von Blatt 11. \lf
Kommentar zu Kleins Identifizierung der Kanten seines Vierzehnecks zu einer
Fl\"ache mit
$\chi = -4$, also topologisch einer Sph\"are mit drei Henkeln.\lf
Wiederholung offener Fragen: (1) Kurventheorie in h\"oheren Dimensionen,
auch zur Anwendung
auf die Hyperfl\"achengleichung. (2) Sind kurze St\"ucke von Geod\"atischen
tats\"achlich
K\"urzeste? (3) Sei $G$ Isometriegruppe z.B. einer Riemannschen
(Unter)-Mannigfaltigkeit $M$;
wie kann man $M/G$ zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeit machen? (Ein
metrischer Raum ist
$G/M$ schon.) Bei der Beantwortung hilft das folgende wesentliche Werkzeug:
\LF\LF
\centerline{\sc 7. Kovariante Ableitung}

\noindent
Ziel ist, in verschiedenen Situationen die nicht wirklich passende
Euklidische Differentiation
durch eine ``bessere Ableitung'' zu ersetzen. Dazu charakterisieren wir ein
euklidisch
paralleles Vektorfeld $v(t)$ l\"angs einer Kurve $c(t)$ durch die
Eigenschaft, da\ss\ die
Ableitung $\dot v(t)$ m\"oglichst klein ist. Diese Eigenschaft l\"a\ss t
sich verallgemeinern.
Falls man Basen $\{v_j(t)\}$ aus l\"angs $c$ {\it parallelen} Vektorfeldern
finden kann, so
lassen sich beliebige Vektorfelder als Linearkombinationen schreiben und
mit der
Produktregel differenzieren; $ X(t) = \sum_{j=1}^n x^j(t)\cdot v_j(t)$ hat
die neue
Ableitung ${d^{neu} \over dt} X(t) = \sum_{j=1}^n \dot x^j(t)\cdot v_j(t)$.
-- Es wird eine
Weile dauern, bis man einsieht, da\ss\ hier nicht nur ein formaler Trick
benutzt wird,
sondern da\ss\ man eine wesentliche neue Struktur gefunden hat.
\lf
{\it Beispiel 1}, Differentiation im Normalenb\"undel einer Kurve $c$. \lf
Es sei $v(t)\perp \dot c(t)$ ein normales Vektorfeld l\"angs $c$. Durch
Differenzieren von
$\langle v(t), \dot c(t) \rangle = 0$ findet man f\"ur die $\dot
c(t)$-Komponente von
$\dot v(t)$: \lf\Ph{5.5}
$ \dot v(t)^{\dot c} = -\langle v(t), \ddot c(t) \rangle\cdot\dot c(t).  $ \lf
$\dot v(t)$ wird m\"oglichst klein, wenn wir verlangen:
$ \dot v(t)^{\dot c} = \dot v(t)= -\langle v(t), \ddot c(t)
\rangle\cdot\dot c(t)$.
Diese gew\"ohnliche Differentialgleichung liefert zu jedem Startwert
$v(0)\perp \dot c(0)$
ein Vektorfeld  $v(t)\perp \dot c(t)$. Dies \"ahnelt tats\"achlich einer
Parallelverschiebung,
denn das Skalarprodukt $\langle v(t), \tilde v(t)\rangle$ zweier solcher
``paralleler''
Vektorfelder ist konstant, wir k\"onnen also eine ONBasis $v_j(0)$
fortsetzen zu einer
ONBasis $v_j(t)$. Dabei impliziert $\langle v_j(0), \dot c(0)\rangle = 0$ auch
$\langle v_j(t), \dot c(t)\rangle = 0$, also wirklich eine
Parallelverschiebung im
Normalenb\"undel. -- Zun\"achst haben wir nur eine kleine Rechtfertigung:
Nach Aufgaben 16, 34
haben diese ``parallelen'' Vektorfelder geometrische Bedeutung: Sie liefern
auf den R\"ohren die
Orthogonaltrajektorien der R\"ohrenkreise, au\ss erdem sind diese Kurven
Kr\"ummungslinien.
\lf
{\it Beispiel 2}, Differentiation von Tangentialfeldern von Hyperfl\"achen
l\"angs Kurven. \lf
Wir w\"ahlen die parametrisierte Beschreibung $F:B^d \to \BR^{d+1}$ mit
Normalenfeld
$N:B^d \to \BS^d\subset \BR^{d+1}$. Betrachte eine Kurve $\gamma: I\to B^d,
c:=F\circ\gamma$
mit einem Tangentialfeld l\"angs $c$: $v(t) := TF_{\gamma(t)}\nu(t).$
Verlangen wir wieder,
da\ss\  $v(t)$ {\it m\"oglichst wenig rotiert}, so finden wir durch
Differenzieren von
$\langle v(t), N\circ \gamma\rangle = 0$ die Normalkomponente: \lf\Ph{2.5}
$\dot v(t)^N = - \langle v(t), TF_\gamma (S\cdot \dot\gamma(t) ) \rangle
\cdot N\circ \gamma
  = g(\nu(t), S\cdot \dot\gamma(t) )\cdot N\circ \gamma$.  \lf
Wieder rotiert $v(t)$ {\it minimal}, wenn die Komponente von $\dot v(t)$
tangential an die
Hyperfl\"ache null ist. Das ergibt wieder eine Differentialgleichung:
\lf\Ph{3.5 }
$ TF_\gamma\cdot(\dot \nu(t) + \Gamma_\gamma(\dot \gamma(t), \nu(t)) )=0$
        oder einfacher \lf\Ph{4}
$ \dot \nu(t) + \Gamma_\gamma(\dot \gamma(t), \nu(t)) =0$.\lf
Diese ist wieder zu jedem Anfangswert eindeutig l\"osbar und liefert an die
Hyperfl\"ache
tangentiale Vektorfelder l\"angs $c$. Das Skalarprodukt von zweien ist
konstant, weil die
Ableitung von $ \langle v_1(t),\ v_2(t)\rangle $ null ist
(wegen $\dot v_j(t)\sim N\circ \gamma$). Damit sind auch hier die
Mindestanforderungen
an eine verallgemeinerte Parallelverschiebung erf\"ullt. Au\ss erdem sehen
wir, da\ss\
das Tangentialfeld $\nu=\dot\gamma$ von Geod\"atischen ``parallel'' ist --
analog wie
bei Euklidischen Geraden.
\hfill 12.1.01
\LF
{\bf 13. Woche}  17.1.-19.1.2001 \lf
{\it Variation zu Beispiel 2}. Wir bezeichnen wieder ein Vektorfeld $v$
l\"angs einer
Kurve $c= F\circ\gamma$ in einer parametrisierten Untermannigfaltigkeit in
$\BR^n$ als {\it
minimal rotierend}, wenn an jeder Stelle $t$ die Ableitung in $\BR^n$ so
klein wie
m\"oglich ist. F\"ur jedes Normalenfeld $N$ ergibt Differenzieren von
$\langle N\circ\gamma(t),\ v(t) \rangle = \langle N\circ\gamma(t),\
TF\cdot\nu(t) \rangle$,
da\ss\ die Normalkomponente $\langle \dot v(t),\ N\circ\gamma(t) \rangle $
in Richtung $N$ durch den Wert $v(t)$
und durch die Ableitung der Normale $N\circ\gamma$ bestimmt ist. Wir k\"onnen
durch tangentiales Drehen {\it nur} die
Tangentialkomponente beeinflussen und {\it fordern} da\ss\ sie null ist.
Das f\"uhrt
im Definitionsbereich der Parametrisierung auf die gew\"ohnliche
Differentialglei\-chung:
\lf\Ph{5}
$ \dot \nu(t) + \Gamma_{\gamma(t)}(\dot \gamma(t), \nu(t)) = 0$. \lf
Mit anderen Worten: Zu jedem Startvektor tangential an die
Untermannigfaltigkeit in
$\gamma(0)$ gibt es genau ein (durch eine gew\"ohnliche
Differentialglei\-chung bestimmtes)
{\it minimal rotierendes} Vektorfeld $\nu()$ l\"angs $\gamma()$. Das
Skalarprodukt von
zwei solchen Vektorfeldern ist konstant, da $v_j(t)=TF_\gamma\cdot\nu_j(t)$
tangential und $\dot v_j(t)$ normal zur Untermannigfaltigkeit ist. Daher
bezeichnen wir
solche Vektorfelder als {\it im Riemannschen Sinne parallel}. Ihre
Riemannsche Ableitung
definieren wir als null, Linearkombinationen von parallelen Vektorfeldern
$\nu_j(t)$,
deren Koeffizienten Funktionen $x^j(t)$ sind,
definieren wir wie im Euklidischen ``komponentenweise''. In Formeln:
${D \over dt}\Sigma x^j(t)\cdot\nu_j(t) = \Sigma \dot x^j(t)\cdot\nu_j(t)$.
Schlie\ss lich:
$$
{D \over dt} v(t) := ({d \over dt} v(t))^{tang} =
                  TF_\gamma({d \over dt} \nu(t) +
\Gamma_\gamma(\dot\gamma(t), \nu(t))
                    =  TF_\gamma({D \over dt} \nu(t)). $$

\noindent {\it Kovariante und kontravariante Vektoren}. Wir hatten schon
betont, da\ss\
die beiden Beschreibungen der Ableitung einer Funktion $h$, n\"amlich
Differential $dh$
und Gradient $\grad h$, sicher unterschieden werden m\"ussen. Daran geht
jetzt gar kein
Weg mehr vorbei, da wir Kartenwechsel von (Unter)mannigfaltigkeiten
behandeln m\"ussen.
Es seien $F :B^d \to \BR^n$ und $\tilde F :\tilde B^d \to \BR^n$
zwei lokale Beschreibungen derselben
Untermannigfaltigkeit, d.h. es gibt einen {\it
Koordinatenwechseldiffeomorphismus}
$\Psi: \tilde B^d \to B^d$ mit $ \tilde F = F\circ \Psi$. Wir stellen
zusammen, wie
dieselben Objekte auf der Untermannigfaltig $M^d$ in den beiden Karten
beschrieben werden:
\lf
Kurven $c:I\to M^d$ durch Kurven $\tilde \gamma: I \to \tilde B^d$ bzw.
$\gamma: I \to B^d$
mit $\tilde F\circ \tilde \gamma = F\circ \gamma$, also $\Psi\circ \tilde
\gamma = \gamma$.
\lf
Deren Tangentialvektoren $c'(t)$ also durch $\tilde \gamma'(t)$ bzw.
$\gamma'(t)$
mit $T\Psi_{\tilde \gamma}\cdot \tilde\gamma'(t) = \gamma'(t)$.
\lf
Funktionen $h: M^d \to \BR^1$ durch $\tilde f = h\circ \tilde F$ bzw. $f =
h\circ F$,
also $\tilde f = f\circ \Psi$.
\lf
Die Ableitung von $h$  also durch die Differentiale $ d\tilde f = df \circ
T\Psi$.
\LF
Wir halten fest: Die Jacobische $T\Psi$ des Koordinatenwechsels wird -- in
\"Ubereinstimmung mit den Resultaten der linearen Algebra -- bei der
Transformation
der Tangentialvektoren von Kurven {\it anders benutzt} als bei der
Transformation von
Differentialen (diese sind ja aus dem Dualraum jener). Nach Wahl einer Basis
$e_1\dots e_d$ f\"ur $\BR^d$ werden die Koeffizienten der Linearkombination
eines Vektors $v\in \BR^d$, also $v= \Sigma_{j=1}^d v^j\cdot e_j$, als
{\it Spaltenvektoren} notiert, mit {\it oberen Indices} geschrieben und als
{\it kontravariante Komponenten} bezeichnet. Die Dualbasis wird $dx^j$
geschrieben,
weil diese Linearformen auch die konstanten Ableitungen der
Koordinatenfunktionen
$x^j :\BR^d \to \BR^1$ sind (diese sind definiert durch $x = \Sigma
x^j(x)\cdot e_j$).
Bez\"uglich dieser Dualbasis haben wir die Darstellung
$df = \Sigma df(e_j)\cdot dx^j = \Sigma (df)_j\cdot dx^j$; die
Koeffizienten hei\ss en
{\it kovariante Komponenten}, sie werden mit {\it unteren Indices}
geschrieben und
in \"Ubereinstimmung mit der Matrixrechnung als {\it Zeilenvektoren} notiert.
\LF
Auch die Riemannsche Metrik $g$ und die Weingartenabbildung $S$
transformieren sich
beim Koordinatenwechsel allein mit Hilfe der Jacobischen $T\Psi$, auch hier
in beiden
F\"allen verschieden. (Man nennt die Metrik einen zweifach kovarianten
Tensor, die
Weingartenabbildung einen einfach ko- und einfach kontra-varianten Tensor).
\lf
Wichtig ist nun, wahrzunehmen, da\ss\ sich die Ableitung eines
Vektorfeldes, z.B. die
zweite Ableitung einer Kurve, beim Koordinatenwechsel {\bf nicht} allein
mit der
Jacobischen ver\"an\-dert, auch die zweite Ableitung $T^2\Psi$ wird
ben\"otigt. Anders
als wir das von der euklidi\-schen Differentialrechnung gew\"ohnt sind,
k\"onnen wir
also $\ddot c(t)$ nicht mehr als Vektorfeld auffassen. \lf
Beobachten Sie: $\gamma''(t) = T^2\Psi(\tilde \gamma'(t), \tilde \gamma'(t))
               + T\Psi\cdot \tilde \gamma''(t)$.
\lf
{\bf Satz} Die kovariante Ableitung verh\"alt sich dagegen wie wir es
gewohnt sind,
sie transformiert sich als {\it Vektor}, mit der Jacobischen allein:
Seien $\tilde \nu(t)$ bzw.  $\nu(t)$ Vektorfelder l\"angs $\tilde
\gamma(t)$ bzw.
$\gamma(t)$ mit $\nu(t) = T\Psi\cdot \tilde \nu(t)$ (d.h. sie beschreiben
dasselbe
tangentiale Vektorfeld $v(t) = T\tilde F\cdot \tilde \nu(t) = TF\cdot \nu(t)$
l\"angs $c=\tilde F\circ \tilde \gamma = F\circ \gamma$). Dann gilt:
     $$ T\Psi\cdot {\tilde D \over dt} \tilde \nu(t) = { D \over dt}
\nu(t) .$$
Zum Beweis: Differenzieren wir $TF\circ T\Psi = T\tilde F$ und nehmen die
Tangentialkomponente, um das Transformationsverhalten der Christoffelabbildung
zu bestimmen; auch dazu wird die zweite Ableitung ben\"otigt, so da\ss\
$\Gamma$
ebenfalls kein Tensor ist. Aber die hier auftretende zweite Ableitung,
n\"amlich
\lf\Ph{5}
$T\Psi\cdot\tilde\Gamma = \Gamma(T\Psi\ ,T\Psi\ ) + T^2\Psi(\ ,\ )$,  \lf
und die beim \"ublichen Differenzieren von $T\Psi\cdot \tilde\nu = \nu$
auftretende
zweite Ableitung, n\"amlich
\LF\Ph{4.5}
${d \over dt}\nu(t) = T^2\Psi(\tilde \gamma'(t), \tilde \nu(t))
               + T\Psi\cdot {d \over dt}\tilde \nu(t)(t)$
\LF
kompensieren sich in
${ D \over dt}  \nu(t) = { d \over dt}  \nu(t) + \Gamma(\gamma'(t),\nu(t))$
bzw.
${ \tilde D \over dt}  \tilde \nu(t) =
{ d \over dt}  \tilde \nu(t) + \tilde \Gamma(\tilde \gamma'(t),\tilde
\nu(t))$ \LF
gerade so, da\ss\ die Behauptung
$ T\Psi\cdot {\tilde D \over dt} \tilde \nu(t) = { D \over dt}  \nu(t)$
\"ubrig bleibt.
\lf
{\it Die Bedeutung dieses Resultates kann nicht \"ubersch\"atzt werden}.
\hfill 19.1.01
\LF\LF
{\bf 14.Woche.} 24.1. - 26.1.01

\centerline{\sc  8. Riemannsche Differentialrechnung I}
\noindent
Wiederholung: W\"ahrend im $\BR^n$ die zweite Ableitung $\ddot c$ einer Kurve
wieder ein Vektorfeld l\"angs $c$ ist, ist das in Untermannigfaltigkeiten
nicht so:
In $\BR^n$  betrachtet ist $\ddot c$ i.a. nicht tangential an die
Untermannigfaltigkeit,
und in Karten betrachtet transformiert sich die zweite Ableitung nicht richtig:
Aus $\gamma = \Psi\circ\tilde\gamma$ folgt
$\gamma'' = T\Psi\cdot\tilde\gamma'' + T^2\Psi(\tilde\gamma',\
\tilde\gamma')$. Von der
kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes $\nu$ l\"angs $\gamma$ aber hatten
wir gezeigt,
da\ss\ sie sich ``richtig'', also allein mit der Jacobischen, transformiert:
$ T\Psi\cdot {\tilde D \over dt} \tilde \nu(t) = { D \over dt}  \nu(t)$.
\LF
Dies Differenzieren l\"angs Kurven entspricht den euklidischen
Richtungsableitungen.
Wir wollen als n\"achstes Vektorfelder auf der Untermannigfaltigkeit
differenzieren,
im euklidi\-schen sind deren Ableitungen  Endomorphismenfelder:
${d \over dt}X(p+t\cdot v)|_{t=0} = TX|_p(v) = T_vX|_p$.
\LF
Vektorfelder auf der Untermannigfaltigkeit werden in lokalen Karten beschrieben
durch Abbildungen $\tilde\xi :\tilde B^d \to\BR^d$ bzw. $\xi :B^d \to\BR^d$ mit
dem \lf\Ph{3.5}
   Transformationsverhalten $ \xi\circ\Psi = T\Psi\cdot \tilde\xi$, \lf
nat\"urlich,
denn dann folgt in $\BR^n$: $TF(\xi(x)) = T\tilde F(\tilde\xi(\tilde x))$.
Solche
Vektorfelder k\"onnen wir bereits l\"angs Kurven {\it kovariant}
differenzieren:
Wenn wir definieren $\tilde \nu(t(:=\tilde \xi(\tilde \gamma(t))$ bzw.
$\nu(t(:=\xi(\gamma(t))$, so erhalten wir \LF\Ph{4.5}
$ {D \over dt} \xi(\gamma(t)) = T\xi|_\gamma \cdot \dot \gamma(t)
                               + \Gamma_\gamma(\dot \gamma,
\xi(\gamma))(t)$. \lf
Entscheidend ist nun die Beobachtung, da\ss\ die rechte Seite {\bf linear} von
$\dot \gamma(t)$ abh\"angt, ganz genau so wie bei euklidi\-schen
Richtungsableitungen!
Deshalb definieren wir die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes $\xi
:B^d \to\BR^d$
als das {\it Endomorphismenfeld}: \LF\Ph{3.5}
$ x\mapsto D\xi|_x$ mit $\  D\xi|_x(\nu) := T\xi|_x(\nu) + \Gamma_x(\nu,\
\xi(x))$.
\LF
Und der Name ``Endomorphismenfeld'' ist gerechtfertigt, denn aus dem
Transformationsverhalten der kovarianten Richtungsableitungen folgt die
``richtige''
Transformation: \lf\Ph{6}
$ D\xi\cdot T\Psi =  T\Psi\cdot D\tilde\xi$. \lf
Nach diesem ersten Erfolg wollen wir jetzt eine Riemannsche zweite
Ableitung von
Funktionen definieren, also die euklidische Rechnung
$${d\over ds} df|_{x+s\cdot k}(h)|_{s=0} = \hesse f|_x(k,h) =
{d\over ds}\langle \grad f(x+s\cdot k),\ h \rangle|_{s=0} =
  \langle\Hesse f|_x(k), h \rangle
$$
verallgemeinern. In dieser Rechnung wird allerdings das {\it konstante}
(oder parallele)
Vektorfeld $h$ verwendet, das haben wir im Riemannschen Fall nicht. Aber
die euklidische
Rechnung ist nur wenig anders wenn wir statt $h$ ein beliebiges Vektorfeld
$H(x)$ verwenden:
$${d\over ds} df|_{x+s\cdot k}(H(x+s\cdot k))|_{s=0} =
           \hesse f|_x(k,H(x)) + df_x\cdot (TH|_x\cdot k)
$$
In dieser Form k\"onnen wir sie Riemannsch einfach kopieren, indem wir das
Vektorfeld
$H$ {\it kovariant} differenzieren:
$${d\over ds} df|_{x+s\cdot k}(H(x+s\cdot k))|_{s=0} =
           \hesse_g f|_x(k,H(x)) + df_x\cdot (DH|_x\cdot k)
$$
Von den hier auftretenden drei Termen sind der linke und der rechte
invariant definiert
(Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes benutzt nur
$\Psi$ f\"ur die
Fu\ss\-punkte und im \"ubrigen die Jacobische $T\Psi$), also k\"onnen wir
diese Gleichung als
Definition der Riemannschen Hesseform, $\hesse_g f$, ansehen. Durch
Subtraktion der
euklidischen und der Riemannschen Formel bekommen wir eine
koordinatenabh\"angige
Beschreibung (benutze die lokale Formel $\ DH\cdot k - TH\cdot k =
\Gamma(k, H(x))$ ):
$$ \hesse_g f|_x(k,h) =  \hesse f|_x(k,h) - df_x\cdot(\Gamma_x(k,h)). $$
Auf der rechten Seite hat nur die Differenz, nicht jeder Term einzeln, eine
Bedeutung
{\it unabh\"angig von den verwendeten Koordinaten}; trotzdem lesen wir aus
dieser
lokalen Darstellung sofort ab, da\ss\ $\hesse_g f|_x(k,h)$ wie im euklidischen
{\it symmetrisch} ist und, ebenfalls wie gewohnt, falls man Vektorfelder
einsetzt, so
h\"angt das Ergebnis $\hesse_g f|_x(H(x), K(x))$ an der Stelle $x$ nur von
den Werten
$H(x),K(x)$ ab, wie zwar die Bezeichnung erwarten l\"a\ss t, wie es aber
nicht aus
der Definition offensichtlich ist. -- Schlie\ss lich hat man auch denselben
Zusammenhang zwischen Hesseform und Hesse-Endomorphismus wie im
euklidischen, denn
die kovariante Ableitung von Vektorfeldern erlaubt, das Riemannsche
Skalarprodukt
nach der Produktregel zu differenzieren:
$$ \eqalign{
{d\over ds} g_{x+s\cdot k}(\grad_g f|_{x+s\cdot k}, H(x+s\cdot k) ) &=
  g_x(D\grad_g f|_x(k), H(x)) + g_x(\grad_g f, DH|_x\cdot k) \cr
= {d\over ds} df|_{x+s\cdot k}(H(x+s\cdot k))|_{s=0}
&= \hesse_g f(k,H(x)) + df_x\cdot(DH|_x\cdot k).
\cr}$$
Die linken Seiten der beiden Zeilen sind gleich nach Definition von
$\grad_g f$,
auf der rechten Seite sind die jeweils zweiten Terme aus demselben Grund
gleich, wir
haben also wie behauptet
$$  g_x(\Hesse_g f|_x(k), H(x)) := g_x(D\grad_g f|_x(k), H(x)) = \hesse_g
f(k,H(x));$$
insbesondere ist der Riemannsche Hesse-Endomorphismus $g$-symmetrisch. {\it
Damit haben wir
einen nennenswerten Teil der euklidischen Differentialrechnung in die nicht
mehr
Vektorraum basierte Riemannsche Situation \"ubertragen}.  \hfill 24.1.01
\LF
Wiederholende Betonung der Produktregeln:
Seien $X,Y$ Vektorfelder auf einer Riemann\-schen (bisher:
Unter-)Mannigfaltigkeit, $\gamma$
sei eine Kurve, $f: M\to \BR$ eine Funktion, dann gilt:
$$ \eqalign{
{d \over dt} g(X,Y)\circ\gamma &= g(D_{\dot\gamma(t)}X, Y) + g(X,
D_{\dot\gamma(t)}Y) \cr
  {d \over dt}df(X)\circ\gamma &=
     \hesse_g f(\dot\gamma(t),X(\gamma(t))) + df(D_{\dot\gamma(t)}X)
\cr}$$
Die iterierten Ableitungen von Funktionen in Richtung von Vektorfeldern
h\"angen von der
Reihenfolge ab, die {\bf Lieklammer} $[X,Y]$ der Vektorfelder sagt, wie:
$$\eqalign{
&T_X(T_Y f) = \hesse f(X,Y) + df\cdot T_XY, \ \  \hbox{ also: } \cr
&T_X(T_Y f) - T_Y(T_X f) = df\cdot (T_XY - T_YX) =: df\cdot [X,Y].
\cr}$$
Diese euklidische Rechnung kann in jedem Koordinatensystem ausgef\"uhrt
werden, und da
die linke Seite unabh\"angig von der Karte Sinn macht, mu\ss\ das auch
rechts gelten. Zur
\"Ubung rechnen wir das nach. Dasselbe Vektorfeld auf der Untermannigfaltigkeit
wird in zwei Karten durch zwei $\BR^d$-wertige Abbildungen $X, \tilde X$
gegeben, wenn diese das richtige Transformationsverhalten haben, n\"amlich
$X\circ\Psi = T\Psi\cdot \tilde X$. Differentiation l\"angs einer Kurve
$\tilde\gamma$, mit $\gamma' = T\Psi\cdot\tilde\gamma'$, ergibt das
richtige Transformationsverhalten:
$$
  DX|_\gamma\gamma' = DX|_\gamma T\Psi\cdot\tilde\gamma' \ =\
               T\Psi\tilde D \tilde X\cdot\tilde\gamma' =
               T\Psi\tilde D \tilde X\cdot (T\Psi)^{-1}\cdot \gamma'.
$$
Die Bedeutung der Lieklammer beruht nicht nur auf der Formel f\"ur das
Vertauschen iterierter Ableitungen, wie wir noch sehen werden. Wir beobachten
jedoch sofort: Wegen der Symmetrie der Christoffelabbildung kann die
Lieklammer mit {\it jeder Riemannschen Ableitung}
genau wie im euklidischen berechnet werden:
$$
  \Gamma(X,Y) = \Gamma(Y,X)\  \Rightarrow\  D_XY - D_YX = T_XY - T_YX = [X,Y].
$$
Ehe wir zu Beispielen und Anwendungen kommen, entwickeln wir die Riemannsche
Diffe\-rentialrechnung noch einen Schritt weiter. Weil die Weingarten Abbildung
ein Endomorphismenfeld ist, und weil das kovariante Differential eines
Vektorfeldes ein Endomorphismenfeld ist, wollen wir diese kovariant
differenzieren. Um die \"Ahnlichkeit mit dem euklidischen Fall hervorzuheben,
mu\ss\ man nur auf die Verwendung der {\it parallelen} standard Basisfelder
verzichten, dann ergibt die euklidische Produktregel f\"ur ein
Endomorphismenfeld $A$ und Vektorfelder $Y, Z:=A\cdot Y$: \lf\Ph{4.5}
$ T_XZ = (T_XA)\cdot Y + A\cdot T_XY. $
\lf
Hierbei verstehen wir, was $T_XA \sim (A_{(x+t\cdot X)} - A_x)/t$ bedeutet,
weil wir im $\BR^d$ Parallelverschiebung zur Identifizierung der Vektoren
und Endomorphismen mit verschiedenen Fu\ss punkten verwenden. Offenbar ist
ein Endomorphismenfeld genau dann parallel, wenn es bez\"uglich einer Basis
aus parallelen Vektorfeldern durch eine konstante Matrix repr\"asen\-tiert
wird.
Daher nennen
wir im Riemannschen Fall ein Endomorphismenfeld $A$ {\it parallel l\"angs
einer Kurve} $\gamma$, wenn {\it f\"ur jedes parallele Vektorfeld $Y$ l\"angs
$\gamma$ auch $A\cdot Y$ parallel l\"angs $\gamma$ ist}.  Hieraus {\bf folgt}
dann die Riemannsche Produktregel f\"ur $Z:=A\cdot Y$:   \lf
Produktregel: \Ph{2} $ D_XZ = (D_XA)\cdot Y + A\cdot D_XY. $
\lf
In einem Teil der Literatur wird diese Gleichung als {\it Definition} von
$(D_XA)$ angesehen, ich betrachte die Produktregel als Satz, der aus der
dar\"uber stehenden Definition eines parallelen Endomorphismenfeldes folgt.
\LF
Beispiele. Offenbar ist die Identit\"at ein paralleles Endomorphismenfeld. --
Die Ableitung von $A := f\cdot \id$, bzw. mit Fu\ss punkten
$A|_x := f(x)\cdot \id|_x$, ist $D_XA\cdot Y = df(X)\cdot Y$. -- Auf
zweidimensionalen Fl\"achen in $\BR^3$, mit Normalenfeld $N$, haben wir die
positive $90^\circ$-Drehung auf jedem Tangentialraum, also
$\R90\cdot v := N\times v$. Dies Endomorphismenfeld ist {\it parallel}. Denn,
ein tangentiales Vektorfeld $X(t)$ l\"angs einer Kurve $c(t)$ ist ja parallel,
wenn $\dot X(t)$ proportional zu $N$ ist, $\dot X(t)\sim N$; aber das
Vektorfeld
$Y(t) := \R90\cdot X(t)$ ist {\it ebenfalls parallel}, weil $\dot Y(t)\sim N$
aus der euklidischen Produktregel f\"ur $Y(t) = N\circ c(t) \times X(t)$ folgt.
\lf
Schlie\ss lich wenden wir uns den Fl\"achengleichungen wieder zu. F\"ur die
zweite euklidische Ableitung der Immersion $F$ (gegeben als $n$ Funktionen
$F = (F^1,\dots F^n)$ ) hatten wir
$$ \hesse F(X,Y) :=T^2F(X,Y) = TF\cdot \Gamma(X,Y) - g(S\cdot X, Y)\cdot N. $$
Hier sind zwei von drei Termen nur in lokalen Koordinaten definiert,
ohne invariante Bedeutung.
Ohne die Gleichung inhaltlich zu ver\"andern fassen wir die beiden
nicht invarianten Terme zusammen: Wir erkennen den lokalen Ausdruck f\"ur die
Riemannsche Hesseform wieder (die Weingartenformel sei,
als zweite der Fl\"achengleichungen, hinzugef\"ugt):
$$ \eqalign{
\hesse_g F(X,Y):=D^2F(X,Y) &= - g(S\cdot X, Y)\cdot N. \cr
      TN\cdot Y &= TF\cdot S\cdot Y
 \cr}$$
Nun differenzieren wir die Weingartenformel, und zwar gleich kovariant:
$$ D^2N(X,Y) = D^2F(X, SY) + TF\cdot D_XS\cdot Y =
           - g(SX, SY)\cdot N + TF\cdot D_XS\cdot Y.$$
Auf der linken Seite ist die Riemannsche Hesseform (der drei
Komponentenfunktionen $N=(N^1,N^2,N^3)$ ) {\it symmetrisch}. Daher mu\ss\ auch
die rechte Seite symmetrisch sein; der Normalanteil ist das von allein, beim
Tangentialanteil ergibt sich, vermutlich unerwartet, eine
{\it Bedingung an die Kr\"ummung der Fl\"ache, an die Weingartenabbildung},
n\"amlich die
\LF
{\bf Codazzi Gleichung:}\Ph{3} $D_XS\cdot Y = D_YS\cdot X.$ \hfill 26.1.01
\LF
{\bf 15.Woche.} 31.1. - 2.2.01
\lf
Wiederholung: Mir ist wichtig, da\ss\ die Produktregel: \lf
\Ph{5} $ D_X(A\cdot Y) = (D_XA)\cdot Y + A\cdot D_XY. $  \lf
ein {\it Satz} ist, nicht wie in Teilen der Literatur die {\it Definition}
von $D_XA$. Die Definition beruht auf der Riemannschen Parallelverschiebung
l\"angs Kurven und der aus dem euklidischen gewohnten Festsetzung: {\it Ein
Endomorphismenfeld hei\ss t parallel l\"angs einer Kurve $c$, wenn seine
Koeffizientenmatrix bez\"uglich einer {\bf parallelen Basis} konstant ist}.
Danach habe ich das Differenzieren der Fl\"achengleichungen und obige
Herleitung der Codazzi-Gleichung wiederholt.
\LF
{\it Eine Anwendung der Codazzi-Gleichung}: Voraussetzung: Die Eigenwerte der
Weingartenabbildung $S_x$ in $x$ h\"angen zwar von $x$, nicht aber von
der Richtung in $x$ ab, also: $S_x = f(x)\cdot \id_x$. Dann ist (Codazzi:)
$0 = (D_XS)Y - (D_YS)X = df(X)Y - df(Y)X$; da man $X(x), Y(x)$ linear
unabh\"angig w\"ahlen kann, folgt $f(x)=\lambda =const$. Die Hyperfl\"ache
wird also bei $\lambda\ne 0$ durch Sph\"aren vom Radius $1/\lambda$, sonst
von Hyperebenen, quadratisch approximiert. Tats\"achlich sind auch die
Mittelpunkte dieser Sph\"aren konstant:
$$ T_X(F - {1 \over \lambda}N) = T_XF - {1 \over \lambda}TF\cdot S(X)
       = T_XF - {1 \over \lambda}TF\cdot \lambda X = 0.$$
Daher liegt das Bild von $F$ auf einer Sph\"are vom Radius ${1 \over \lambda}$
um den {\it festen} Punkt $F - {1 \over \lambda}N$.
\LF
{\it Weitere Propaganda f\"ur die Lieklammer}. Es seien zwei Vektorfelder $X,Y$
(z.B. auf einer Untermannigfaltigkeit $M$) gegeben; wir betrachten deren
Integralkurven, die unter milden Voraussetzungen auf ganz $\BR$ definiert sind:
\lf\Ph{1}
$ f: \BR\to M,\  f(0;p):=p,\ \  f'(s;p) = X\circ f(s;p)$,
\lf\Ph{1}
$ g: \BR\to M,\  g(0;p):=p,\ \  g'(t;p) = X\circ g(t;p)$.
\lf
Aus dem Eindeutigkeitssatz f\"ur gew\"ohnliche Differentialgleichungen folgt
$ f(s+s_1;p) = f(s; f(s_1;p))$, eine wichtige Identit\"at, die den Namen
``$f$ ist Flu\ss\ des Vektorfeldes'' rechtfertigt. Wir stellen folgende Frage:
{\it Gibt es eine zweidimensionale Verallgemeinerung, also eine Abbildung
$$ F: \BR^2 \to M, \hbox{ mit }\Dd s F = X\circ F,\ \Dd t F = Y\circ F
 \hbox{ und } F(0,0) = p \  ?$$}
Notwendig ist zun\"achst $F(s,0) = f(s;p)$ und $F(0,t)=g(t;p)$. Von jeder
dieser
Anfangskurven ausgehend bekommt man zwei verschiedene Darstellungen f\"ur $F$:
$$ F(s,t) = g(t;f(s;p)) \hbox{ und } F(s,t) = f(s;g(t;p)) $$
Diese beiden werden einmal differenziert, und dann noch einmal:
\lf\Ph{0.5}
$(1) \Dd t F = Y\circ F  \hbox{ und }  \Dd s F = X\circ F;\ \ (2)
\Dd s\Dd t F = T_XY\circ F \hbox{ und } \Dd t \Dd s F = T_YX\circ F. $
Damit folgt aus dem Satz von Schwarz $[X,Y]=0$, mit anderen Worten:
{\it Notwendig f\"ur die Existenz der gew\"unschten Abbildung $F$ ist das
Verschwinden der Lieklammer $[X,Y]$ der beiden Vektorfelder}.
Ich beweise jetzt nicht die Umkehrung, da\ss\ $[X,Y]=0$ {\it hinreichend}
f\"ur die Existenz von $F$ ist -- offenbar mu\ss\ man daf\"ur beweisen, da\ss\
die beiden verschiedenen Kandidaten f\"ur $F$, n\"amlich $g(t;f(s;p))$ und
$f(s;g(t;p))$ \"ubereinstimmen. Durch diese Umkehrung wird der Name
``Integrierbarkeitsbedingung'' f\"ur die hinreichende Zusatzbedingung
$[X,Y]=0$ gerechtfertigt. Dies ist das einfachste Beispiel f\"ur die Art von
Problemen, die bei einem Existenzbeweis f\"ur die Hyperfl\"achengleichungen
bestehen; die ebenfalls mit dem Satz von Schwarz hergeleiteten
Codazzi-Gleichungen
sind n\"amlich eine erste Integrierbarkeitsbedingung.
\LF
{\it Eine wichtige Anwendung der Lieklammer}. Die kovariante Ableitung hatten
wir bisher {\it nur} f\"ur Riemannsche Metriken auf Untermannigfaltigkeiten
des $/BR^n$ definiert. Da wir einerseits mit der hyperbolischen Metrik auch
schon anders konstruierte Riemannsche Metriken kennen und da wir andererseits
die Christoffelabbildung ({\it definiert} durch $T^2F^{tang} = TF\circ \Gamma$)
allein aus der Metrik berechnen k\"onnen, ergibt sich die Frage: {\it Existiert
sogar f\"ur beliebige Riemannsche Metriken eine kovariante Ableitung}? Wir
fordern die beiden wichtigsten, im Fall von Untermannigfaltigkeiten
{\it bewiesenen} Eigenschaften nun axiomatisch: \lf
(F1) Produktregel: $T_X (g(Y,Z)) = g(D_XY, Z) + g(Y, D_XZ)$  \lf
(F2) Vertr\"aglich mit Lieklammer: $D_XY - D_YX = [X,Y]$.
\goodbreak\noindent
In (F1) vertauschen wir die Argumente zweimal zyklisch und addieren mit den
schon einmal n\"utzlichen Vorzeichen (+,+,--):
$$ \eqalign{
&T_X (g(Y,Z)) + T_Y (g(Z,X)) - T_Z (g(X,Y)) = \cr
& g(D_XY, Z) + g(Y,D_XZ) + g(D_YZ, X) + g(Z, D_YX) -  g(D_ZX,Y) - g(X,D_ZY)
=\cr
& g(D_XY,Z) + g(Y,[X,Z]) + g(X,[Y,Z]) + g(D_XY,Z) - g(Z,[X,Y])
\cr}$$
Dies Resultat k\"onnen wir so sortieren, da\ss\ der gesuchte Term $g(D_XY,Z)$
durch lauter schon bekannte Terme ausgedr\"uckt wird:
$$ \eqalign{
2g(D_XY,Z) =\ & T_X (g(Y,Z)) + T_Y (g(Z,X)) - T_Z (g(X,Y)) + \cr
             &- g(Y,[X,Z]) - g(X,[Y,Z]) + g(Z,[X,Y])
\cr}$$
Diese notwendig geltende {\bf Koszul-Formel} nehmen wir jetzt als
{\it Definition} von $D_XY$ und weisen die Forderungen (F1), (F2) nach. Alle
Terme rechts au\ss er dem letzten sind entweder in Paaren oder allein
symmetrisch
in $X,Y$. Vertauscht man daher in der Koszul-Formel $X$ und $Y$, so findet man
$ 2g(D_XY-D_YX,Z) = 2g(Z,[X,Y])$, also den Beweis von (F2). Schreibt man die
Koszul-Formel auch f\"ur $2g(Y,D_XZ)$ auf und addiert, so heben sich rechts
au\ss er $2T_X (g(Y,Z))$ alle Terme (in Paaren) heraus, d.h. auch (F1) ist
bewiesen. \hfill 31.1.01
\LF
Wiederholung der Herleitung der Koszul-Formel. Au\ss erdem differenzieren wir
euklidisch nach der Produktregel: \lf\Ph{3}
$T_X (g(Y,Z)) = (T_Xg)(Y,Z) + g(T_XY, Z) + g(Y, T_XZ)$  \lf
und ziehen das Resultat von (F1) ab: \lf\Ph{3}
$  (T_Xg)(Y,Z) = g( (D_XY -T_XY), Z) + g(Y,  (D_XZ -T_XZ)). $ \lf
Wegen (F2) ist die Differenz $D_XY -T_XY$ symmetrisch in $X,Y$, daher
k\"onnen wir diese Differenz ebenso berechnen wie fr\"uher die
Christoffelabbildung $\Gamma$: N\"amlich in der letzten Formel $X,Y,Z$
zweimal zyklisch vertauschen und mit (++--) addieren, dann mit der
Symmetrie von $D_XY -T_XY$ vereinfachen. Nicht unerwartet ergibt sich
dieselbe lokale Formel wie fr\"uher:
$$ \eqalign{
2g( (D_XY -T_XY), Z) &= -T_Z(g(X,Y)) + T_X(g(Y,Z)) +T_X(g(Y,Z)) \cr
                     &=: g( \Gamma(X,Y), Z)
\cr} $$
also  \lf\Ph{6}
                $D_XY -T_XY = \Gamma(X,Y)$ \lf
Wir finden also zu jeder Riemannschen Metrik, nicht nur zu denen, die
von Untermannigfaltigkeiten des $\BR^n$ kommen, eine durch die
Koszul-Formel eindeutig bestimmte (lokal wie bisher berechenbare)
{\it kovariante Ableitung}.
\goodbreak
\centerline{\sc 9. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten}
\lf
{\it Zusammenfassung von Erreichtem und Offenem}. F\"ur die metrischen
R\"aume, die als Untermannigfaltigkeiten von $\BR^n$ auftreten, haben
wir eine (bisher hervorragende) Anpassung der euklidischen Differentialrechnung
an die Riemannsche Metrik erreicht. Bisher sind sogar alle
Differentiationsregeln
der kovarianten Ableitung dieselben wie euklidisch, obwohl wir in beliebigen
Koordinaten rechnen k\"onnen. F\"ur gen\"ugend glatte K\"urzeste konnten wir
zeigen, da\"ss\ sie die {\it Differentialgleichung der Geod\"atischen}
erf\"ullen,
und in $\BS^n, \BH^n, SO(n)$ sind die L\"osungen dieser Differentialgleichung
(zumindest ein St\"uck weit) auch wirklich K\"urzeste. Ich hebe hervor, da\ss\
alle diese Rechnungen doppelt gef\"uhrt wurden, (a) mit anschaulicher
Motivation,
Differenzieren in $\BR^n$ und Orthogonalprojektion auf die
Untermannigfaltigkeit,
(b) durch Rechnen in lokalen Karten und Kontrolle der Vertr\"aglichkeit mit
Kartenwechseln, Bedeutung der Jacobischen der Kartenwechsel $\Psi:\tilde
B\to B$,
n\"amlich  \lf \Ph{6}
$v = T\Psi\cdot \tilde v,\ d\tilde f = df\circ T\Psi$.
\lf
Wir hatten in vollst\"andigen metrischen R\"aumen $M$, in denen benachbarte
Punkte durch ausreichned kurze Kurven verbindbar sind, eine vollst\"andige
innere Metrik definieren k\"on\-nen. Sind abgeschlossene Kugeln auch kompakt,
so existieren Arzela-Ascoli-K\"urzeste zwi\-schen je zwei Punkten. Insbesondere
liefern isometrische Gruppenoperationen mit abge\-schlossenen Bahnen auf den
genannten metrischen R\"aumen, wieder Beispiele mit vollst\"andi\-ger innerer
Metrik und Arzela-Ascoli-K\"urzesten, vgl. Aufgaben 7, 22, 27. -- Auf diesen
interessanten R\"aumen haben wir noch keinen Ansatz f\"ur eine \"Ubertragung
der Differentialrechnung. Dies geschieht, indem sie mit der Struktur einer
``Differenzierbaren Mannigfaltigkeit'' versehen werden. Motivation f\"ur die
Definition sind die erfolgreichen Rechnungen mit Kartenwechseln auf
Untermannigfaltigkeiten. (Vgl. Bredon, Geometry and Topology)
\LF
Wir betrachten zuerst eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit $M^n$,
die hausdorffsch ist und das zweite Abz\"ahlbarkeitsaxiom erf\"ullt. (Die
Hausdorff-Eigenschaft geh\"ort zu der Vorstellung von Mannigfaltigkeit
als ``lokal wie im Euklidischen'' dazu; das Abz\"ahlbar\-keitsaxiom
schlie\ss t
Beispiele wie die ``lange Gerade'' aus.) Dann besitzt also jeder Punkt
$p\in M^n$
eine Umgebung, die hom\"oomorph zu einer Kugel in $\BR^n$ ist. Hat man f\"ur
einen Punkt verschiedene solche Karten, so gibt es (hom\"oomorphe)
Kartenwechsel $\Psi: \tilde B \to B$, so da\ss\ Koordinatenpunkte
$\tilde x\in \tilde B, x\in B$, die zu demselben Punkt $p\in M$ geh\"oren,
durch $ x = \Psi(\tilde x)$ zusammengeh\"oren.

{\narrower   \noindent Vor diesem Hintergrund
hei\ss t $M^n$ {\bf Differenzierbare Mannigfaltigkeit}, wenn die Kartenwechsel
(nicht einfach Hom\"oomorphismen, sondern) {\bf Diffeomorphismen} sind.\par}
\noindent
Wir k\"onnen leicht definieren: Eine stetige Funktion $h: M\to \BR$ hei\ss t
{\it differenzierbar}, wenn sie in jeder Karte eine differenzierbare
Darstellung $f:B\to\BR$ hat; nat\"urlich sind zwei solche Darstellungen
(etwa noch $\tilde f: \tilde B\to\BR$ mit $\Psi: \tilde B \to B$) verbunden
durch \lf\Ph{7}
       $ \tilde f = f\circ\Psi$. \lf
Und eine (stetige) Kurve hei\ss t {\it differenzierbare} Kurve, wenn jede
lokale Darstellung $\gamma: I\to B$ differenzierbar ist. Diese Definition
ist mit Kartenwechseln vertr\"aglich, weil $\gamma$ und
$\tilde \gamma: I \to \tilde B$ verbunden sind durch
\lf \Ph{7}
$\gamma = \Psi\circ \tilde\gamma$. \lf
Anders als im Fall von Untermannigfaltigkeiten, in dem differenzierbare
Kurven einfach eine Ableitung in $\BR^n$ hatten, k\"onnen wir noch nicht
sagen, was der Tangentialvektor einer Kurve ist, obwohl das nat\"urlich
mit dem Verhalten bei Kartenwechseln, $\gamma' = T\Psi\tilde\gamma'$,
zusammenh\"angen sollte. Wir betrachten dazu die Menge aller Tangentialvektoren
an die Koordinatenkugeln in $\BR^n$ und erkl\"aren eine \"Aquivalenzrelation
wie folgt: \LF
Zwei Tangentialvektoren, $v$ tangential an $B$ mit Fu\ss punkt $x\in B$
und $\tilde v$ tangential an $\tilde B$ mit Fu\ss punkt $\tilde x\in \tilde B$
hei\ss en {\it \"aquivalent}, \lf
falls erstens die Fu\ss punkte denselben Punkt in $M$ beschreiben,
also $x=\Psi(\tilde x)$\lf
und falls zweitens gilt: $ v = T\Psi_{\tilde x}\cdot \tilde v$.
\LF
Ich habe vorgef\"uhrt, da\ss\ hierdurch eine \"Aquivalenzrelation definiert
wird.
Jede \"Aquivalenz\-klasse hei\ss t ein {\it Tangentialvektor} von $M$.
 \hfill 2.2.01
\LF
{\bf 16. Woche.} 7.2. - 9.2.01  \lf
Erste Anwendung: L\"osen von gew\"ohnlichen Differentialgleichungen auf
Differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$. Gegeben sei ein Vektorfeld auf $M$,
lokal beschrieben durch Abbildungen $X: B\to \BR^d$. Lokal haben wir
Integralkurven $\gamma$, also mit $\gamma'(t) = X(\gamma(t))$. Dieselbe
Kurve werde in der Karte $\tilde B$ mit $\Psi: \tilde B \to B$ beschrieben
durch $\tilde \gamma$, das Vektorfeld durch  $\tilde X: \tilde B\to \BR^d$.
Setze in die Differentialgleichung den Kartenwechsel,
$\gamma = \Psi\circ\tilde\gamma,\ X\circ\Psi = T\Psi\cdot \tilde X$, ein:
\lf\Ph{2.5}
$ T\Psi\cdot\tilde\gamma'(t) = \gamma'(t) =  X(\gamma(t))
  = X\circ\Psi(\tilde\gamma(t)) = T\Psi\cdot\tilde X(\tilde\gamma(t)) $. \lf
Man sieht: {\it Das L\"osen von gew\"ohnlichen Differentialgleichungen
ist mit Kartenwechseln vertr\"aglich, d.h. wir k\"onnen auf Mannigfaltigkeiten
Integralkurven von Vektorfeldern be\-trach\-ten}.
\LF
Warnung. Integralkurven von Vektorfeldern sind nicht unbdingt auf ganz
$\BR$ definiert. Ein Beispiel auf $M=\BR$ ist das Vektorfeld
$X(y) := (1+y^2)\cdot1_y$, denn L\"osungskurven erf\"ullen die
Differentialgleichung $y'(t) = 1+y(t)^2$ von $\tan()$, und deren maximale
Definitionsbe\-rei\-che haben die L\"ange $\pi$. Vektorfelder, deren
Integralkurven auf $\BR$ definiert sind, hei\ss en {\it vollst\"andig}.
\LF
Eine Differenzierbare Mannigfaltigkeit hei\ss t
{\bf Riemannsche Mannigfaltigkeit}, wenn auf jeder Karte $B$ ein Riemannsches
Skalarprodukt $x \to g_x(\ ,\ )$ gegeben ist; Vertr\"aglichkeit mit
Kartenwechseln bedeutet
$g_{\Psi(\tilde x)}(\ ,\ ) = \tilde g_{\tilde x}(T\psi\cdot \ ,T\psi\cdot \ )$.
Damit haben wir wie vorher bei Untermannigfaltigkeiten: \lf
Die Bogenl\"ange von Kurven, lokal:
$\La(\gamma) = \int g(\dot\gamma(t) ,\dot\gamma(t) )^{1/2} dt$.
\lf
Die innere Metrik, $d(p,q)$, ist Infimum der L\"ange von Verbindungskurven.
\lf
{\it H\"aufige Zusatzvoraussetzung:} $M$ mit der inneren Metrik ist
{\bf vollst\"andig}.
\lf
Wir haben nicht nur Differentiale von Funktionen sondern auch Gradientenfelder,
lokal: $df_x(v) = g_x(\grad_g f(x), v)$.
\lf
Mit Hilfe der Koszul-Formel haben wir eine mit Kartenwechseln vertr\"agliche
kovariante Ableitung, lokal wie vorher:
 ${D\over dt} X(t) = {d\over dt} X(t) + \Gamma(\dot\gamma(t), X(t)),
\ {D\over dt} X(t) = T\Psi\cdot{\tilde D\over dt} \tilde X(t) $.
\lf
Zwar sieht die Definition lokal komplizierter aus (euklidische Ableitung
{\it plus} $\Gamma$-Korrektur), aber global gelten die bisher behandelten
Differentiationsregeln genau wie im Euklidischen (und nat\"urlich so, wie
wir es von den Untermannigfaltigkeiten schon kennen, auf denen die
kovariante Ableitung ja eine {\it zus\"atzliche Interpretation} besitzt,
sie ist n\"amlich die {\it Tangentialkomponente} der euklidischen Ableitung
des Vektorfeldes in $\BR^n$).
\LF

\centerline{\sc 10. Riemannsche Differentialrechnung II}
\noindent
{\it Wichtige anstehende Fragen}: (1) Weiterer Ausbau der Riemannschen
Differentialrechnung. (2) Mehr geometrische Interpretation der kovarianten
Ableitung. (3) N\"utzliche Anwendungen der kovarianten Ableitung.
\lf
Ich will die am 26.1.$\!$ besprochene kovariante Ableitung von
Endomorphismenfeldern $A$, also $(D_XA)\cdot Y = D_X(A\cdot Y) - A\cdot D_XY$,
anwenden auf das kovariante Differential $DZ$ eines Vektorfeldes (lokal
$DZ = TZ + \Gamma(\ ,Z)$). Wir erhalten so das zweite kovariante Differential
$D^2Z$, und wir werden sehen, da\ss\ der Satz von Schwarz nicht mehr gilt.
\LF
Zun\"achst die Wiederholung vom \ \ 9.2.01
\lf
\"Uberpr\"ufen Sie m\"oglichst oft, da\ss\  die bisherigen Riemannschen
Differentiationsregeln {\it genau so} lauten, wie die euklidischen und da\ss\
sie sich auch in die euklidischen {\it spezialisieren}, wenn die
Riemannsche Metrik $g_x(\ ,\ )$ nicht vom Fu\ss punkt abh\"angt.
In der euklidischen Differentialrechnung haben Sie so \"uberwiegend in
Richtung {\it paralleler} (auch: {\it konstanter}) Vektorfelder $e_j$
differenziert, da\ss\ Ihnen der Unterschied zwischen \lf\Ph{3.5}
{\it iterierten Ableitungen} und {\it zweiten Ableitungen}  \lf
vielleicht nicht bewu\ss t genug ist.
Bei Funktionen $f$ hatten wir \lf\Ph{0.7}
$T_X(T_Yf) = D^2f(X,Y) + df(D_XY)$ und damit
$T_X(T_Yf) -T_Y(T_Xf) = df([X,Y])$.
\lf
Beim zweimaligen Differenzieren von Vektorfeldern $Z$, also beim Differenzieren
des Endomorphismenfeldes $ A=DZ,\ A\cdot Y = D_YZ$ haben wir
mit obiger Produktregel (mit der Bezeichnung
$DA = D^2Z,\ (D_XA)\cdot Y = D^2_{X,Y}Z$):  \lf\Ph{5}
  $ D_X(D_YZ) = D^2_{X,Y}Z + D_{D_XY}Z$
\lf
Ich hebe den Unterschied zwischen iterierten und zweiten Ableitungen hervor:
\lf  % \vfil\goodbreak\noindent %
Iteriert:\Ph{4.2}
$ D_X(D_{f\cdot Y}Z) = f\cdot D_X(D_YZ) + df(X)\cdot D_YZ$
\lf
Zweite (tensorielle) Ableitung: \Ph{0.5}
$D^2_{X,f\cdot Y}Z = f\cdot D^2_{X,Y}Z$.
\lf
Das Verhalten der zweiten Ableitung (beim Multiplizieren der
Differentiationsrichtung $Y$ mit einer Funktion) ist also besser als das der
iterierten Ableitung. Die zweite Ableitung verh\"alt sich bei dieser Regel
genau wie die euklidische zweite Ableitung, sie h\"angt {\it nicht} von der
Ableitung  $DY$ ab, w\"ahrend die iterierte Ableitung das tut.
\lf
Um den schiefsymmetrischen Anteil der zweiten Ableitung, also
$ D^2_{X,Y}Z - D^2_{Y,X}Z$, besser zu verstehen, sehen wir auch die lokale
Formel hierf\"ur an. {\it Es ist das letzte Mal, da\ss\ ich eine lokale
Rechnung zur Riemannschen Differentialrechnung f\"ur wesentlich halte}. \lf
Aus $D_YZ = T_YZ + \Gamma(Y,Z)$ folgt
$$\eqalign{
 D_X(D_YZ) = T_X\big(T_YZ + \Gamma(Y,Z)\big)
                   &+ \Gamma\big(X,(T_YZ + \Gamma(Y,Z)\big)  \cr
= T^2_{X,Y}Z + T_{T_XY}Z + (T_X\Gamma)(Y,Z) &+ \Gamma(T_XY,Z) + \Gamma(Y,T_XZ)
  \cr
    + \Gamma\big(X, \Gamma(Y,Z)\big) &+ \Gamma\big(X,T_YZ \big),
  \cr
  D_{D_XY}Z = T_{D_XY}Z + \Gamma\big(D_XY,Z  \big)  &\phantom{+}
  \cr
            = T_{T_XY+ \Gamma(X,Y)}Z + \Gamma\big(T&_XY + \Gamma(X,Y),Z  \big)
\cr}$$
Also haben wir den lokalen Ausdruck der zweiten Ableitung:
$$\eqalign{
  D^2_{X,Y}Z =\  &T^2_{X,Y}Z  + \big(\Gamma(Y,T_XZ) + \Gamma(X,T_YZ) \big)
              + T_{\Gamma(X,Y)}Z + \Gamma\big( \Gamma(X,Y),Z  \big)
  \cr
              &+ (T_X\Gamma)(Y,Z)  + \Gamma\big(X, \Gamma(Y,Z)\big)
\cr}$$
Wie es sein mu\ss, h\"angt dieser Ausdruck {\it nicht} von den Ableitungen
von $X,Y$ ab. Die Terme der ersten Zeile sind symmetrisch in $X,Y$ und fallen
daher bei der folgenden Schiefsymmetrisierung fort. Wir haben gefunden:
$$\eqalign{
  D^2_{X,Y}Z -  D^2_{Y,X}Z =
          (T_X\Gamma)(Y,Z)  - (T_Y\Gamma)(X,Z)
          + \Gamma\big(X, \Gamma(Y,Z)\big) - \Gamma\big(Y, \Gamma(X,Z)\big).
\cr}$$
Diese Formel ist nun {\bf sehr} erstaunlich: Links steht ein mit Kartenwechseln
vertr\"aglicher Ausdruck in der kovarianten zweiten Ableitung $D^2Z$; rechts
dagegen steht ein Ausdruck, dessen Verhalten unter Kartenwechseln nicht
erkennbar ist, der jedoch {\bf nicht von den Ableitungen sondern nur von
dem Wert des Vektorfeldes $Z$ abh\"angt. Daher ist der schiefsymmetrische Teil
der zweiten Ableitung von $Z$ in allen drei Argumenten $X,Y,Z$ linear sogar
bei Multiplikation mit Funktionen; oder lokal ausgedr\"uckt, bei Kartenwechseln
werden alle drei Argumente mit der Jacobi\-schen $T\Psi$ transformiert.
Damit it der schiefsymmetrische Anteil von $D^2Z$ ein dreifach kovarianter,
einfach kontravarianter Tensor, genannt Kr\"ummungstensor.}
\LF
Bezeichnung:\Ph{3}  $ R(X,Y)Z := D^2_{X,Y}Z -  D^2_{Y,X}Z $.
\LF
Symmetrien des Kr\"ummungstensors: \lf
Nach Definition:\Ph{2.4} $ R(X,Y)Z = - R(Y,X)Z)$.  \lf
Aus der lokalen Formel folgt sofort die {\it erste Bianchi Identit\"at}: \lf
\Ph{4.5}  $ R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y = 0 $.
\lf
Schiefsymmetrie von $Z\mapsto R(X,Y)Z$:  \lf
\Ph{4.5}    $ g(R(X,Y)V,\ W) = - g(V,\ R(X,Y)W)$.
\LF
Beweis. Betrachte f\"ur Vektorfelder $V,W$ die Hilfsfunktion $h:=g(V,W)$
und berechne (mit Produktregeln) die zweite Ableitung $D^2_{X,Y}h$.:
 \lf
$ D^2_{X,Y}h = g(D^2_{X,Y}V,\ W) + g(D_XV,D_YW)
               + g(D_YV, D_XW) + g(V,\ D^2_{X,Y}W) $. \lf
Die Hessesche von $h$ ist symmetrisch; beim Schiefsymmetrisieren fallen
au\ss erdem alle (n\"amlich symmetrischen) Terme mit ersten Ableitungen
weg, das Resultat ist die Behauptung $0 = g(R(X,Y)V,\ W) + g(V,\ R(X,Y)W)$.
\LF
Wir wiederholen diese Rechnung f\"ur die zweite Ableitung von Endomorphismen:
Wieder fallen beim Schiefsymmetrisieren alle Terme mit ersten Ableitungen
weg und wir sehen, da\ss\ f\"ur den schiefen Teil der zweiten Ableitung
eine {\it Produktregel} gilt.
$$ D^2_{X,Y}(A\cdot Z) = (D^2_{X,Y}A)\cdot Z + (D_XA)\cdot(D_YZ)
                         + A\cdot(D^2_{X,Y}Z) + (D_YA)\cdot(D_XZ), $$
also die angek\"undigte Produktregel:
$$ \eqalign{
( D^2_{X,Y} - D^2_{Y,X})(A\cdot Z) &=
       (( D^2_{X,Y} - D^2_{Y,X})A ) \cdot Z
                    + A\cdot(( D^2_{X,Y} - D^2_{Y,X})Z)
 \cr
    (( D^2_{X,Y} - D^2_{Y,X})A ) \cdot Z &= R(X,Y)(A\cdot Z) - A\cdot R(X,Y)Z .
 \cr}$$
\LF

\centerline{\sc 11. Theorema Egregium}
\noindent
Nun komme ich zu Interpretationen zur\"uck. Wir haben im zweidimensionalen
Fall,
von einer Kurve ausgehend, {\it geod\"atische Parallelkoordinaten}
eingef\"uhrt.
Wir werden die geod\"a\-tische Kr\"ummung der Parallelkurven berechnen, und wir
werden feststellen, da\ss\ der Kr\"um\-mungstensor {\it die Ableitung
der geod\"atischen Kr\"ummung senkrecht zu den Parallelkurven} kontrolliert.
Damit beginnen wir, die wichtigste lokale Invariante der Riemannschen
Geo\-metrie zu verstehen. \LF       %\vfill\eject\noindent
      {\it Geod\"atische Parallelkoordinaten}
In einer zweidimensinalen Riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ sei eine stetig
differenzierbare Kurve $c:I\to M$ mit $g(\dot c(t), \dot c(t)) = 1$ gegeben;
au\ss erdem l\"angs $c$ ein Einheitsvektorfeld $v:I\to TM$ mit $v(t)\perp
\dot c(t)$.
Wir definieren eine zweidimensionale Abbildung
$C:[-\epsilon,\epsilon]\times I \to M$
dadurch, da\ss\ $s\mapsto C(s,t)$ die Geod\"atischen (d.h. $\DDD s \Dd s
C(s,t) = 0$)
mit den Anfangsdaten $C(0,t):=c(t),\ \Dd s C(s,t)|_{s=0} = v(t)$ sind.
\hfill 9.2.01
\LF
{\bf Letzte Woche.} 14.2. - 16.2.01  \lf
Die Abbildung $C$ (vgl. 9.2.) hat Rang 2 und definiert daher eine recht
spezielle
Karte: $ g(\ddd s C, \ddd s C(s,t)) = 1$, denn bei $s=0$ ist $\ddd s C(0,t)
= v(t)$
mit $|v(t)|_g=1$ vorausgesetzt und
$\ddd s g(\ddd s C, \ddd s C(s,t)) = 2g(\DDD s\ddd s C, \ddd s C(s,t)) =0$
weil
$s\mapsto C(s,t)$  Geod\"atische ist. \"Ahnlich ist $ g(\ddd s C, \ddd t
C(s,t)) = 0$,
denn f\"ur $s=0$ ist das vorausgesetzt und \lf
$\ddd s g(\ddd s C, \ddd t C(s,t)) =
  g(\DDD s\ddd s C, \ddd t C(s,t)) + g(\ddd s C, \DDD s\ddd t C(s,t)) =
  g(\ddd s C, \DDD t\ddd s C(s,t)) = 1/2\cdot \ddd t g(\ddd s C, \ddd s
C(s,t)) =0$.
\lf
Wir k\"urzen ab: $G^2(s,t):= g(\ddd t C, \ddd t C(s,t))$. $G$ ist also die
L\"ange
der Tangentialvektoren der Parallelkurvenschar $t\mapsto C(s,t)$. \LF
Zu Beginn des Semesters hatten wir die geod\"atische Kr\"ummung definiert
mit Hilfe
der (infinitesimalen) L\"angen\"anderung beim (infinitesimalen) \"Ubergang zu
Parallelkurven. Da wir jetzt, wie im Euklidischen, echte (nicht nur
infinitesimale)
Parallelkurvenscharen haben, liefern die damaligen Formeln jetzt f\"ur alle
Parallelkurven
$t\mapsto C(s,t)$ auf einmal:
\lf \Ph{3} $\kappa_g(s=const, t) = \ddd s G/G(s,t)= 1/2\cdot(\ddd s
G^2)/G^2(s,t)$. \lf
Au\ss erdem k\"onnen wir inzwischen das Einheitsnormalenfeld $e_1:=\ddd s
C(s,t)$
kovariant differenzieren. Wegen $|e_1|_g = 1$ finden wir (wegen
$[e_1,e_2]=0$): \lf
$ D_{e_2}e_1 = \DDD t \ddd s C(s,t) = g( D_{e_2}e_1 ,e_2)/g(e_2,e_2)\cdot e_2
              = 1/2\cdot (\ddd s g(e_2,e_2))/g(e_2,e_2)\cdot e_2 =
\kappa_g\cdot e_2$. \lf
{\it Auch im Riemannschen Fall hat die Kurvenkr\"ummung also dieselbe
Doppelinterpretation:
Kippgeschwindigkeit des Normalenfeldes einerseits und L\"angen\"anderung in
Parallelkurvenscharen andererseits}.
\LF
Wie angek\"undigt differenzieren wir dies Resultat noch einmal,
ber\"ucksichtigen
die schon wiederholt wichtige Symmetrie
$[e_1,e_2]=D_{e_1}e_2 - D_{e_2}e_1 = \DDD s \ddd t C(s,t) - \DDD t \ddd s
C(s,t) = 0 $
und bringen wegen $D_{e_1}e_1 = 0$, also auch $D_{e_2}(D_{e_1}e_1) = 0$,
 den Kr\"ummungstensor ins Spiel:
$$ \eqalign{
D_{e_1}(D_{e_2}e_1) &= (\ddd s \kappa_g(s,t)) \cdot e_2 + \kappa_g\cdot
D_{e_2}e_1
                     = (\kappa_g' +\kappa_g^2) \cdot e_2  \cr
R(e_1, e_2) e_1 &= D^2_{e_1,e_2}e_1 - D^2_{e_2,e_1}e_1 =
                    D_{e_1}(D_{e_2}e_1) - D_{e_2}(D_{e_1}e_1)  \cr
         \kappa_g' &= -\kappa_g^2 - g(R(e_1, e_2) e_2,e_1)/ g(e_2,e_2)
\cr} $$
{\it Dies ist eine Riccatische Differentialgleichung, \"uber die der
Kr\"ummungstensor
die Ver\"ande\-rung der geod\"atischen Kr\"ummung in Parallelkurvenscharen
kontrolliert}.
\lf
Beispiele. Konzentrische Kreise in $\BR^2, \BS^2$:
Im ersten Fall ist die Kr\"ummung als Funktion des Radius $\kappa(r) = 1/r$
und
$\kappa' = - \kappa^2$, also (wie wir auch schon wegen des Satzes von
Schwarz wissen)
$g(R(e_1, e_2) e_2,e_1) = 0$.
Im zweiten Fall ist die geod\"atische Kr\"ummung als Funktion des Radius
$\kappa_g(r) = \cos r/ \sin r$ und
$\kappa_g' = - \kappa_g^2$ + 1, also $g(R(e_1, e_2) e_2,e_1) = 1$. Die
Sph\"are hat also auch in diesem Sinne Kr\"ummung $=1$, au\ss erdem ist
dies unser
erstes explizites Beispiel mit $R\ne 0$.
\LF
{\it Zusatz zur Vorlesung}. Man kann dieselbe Rechnung auf Fl\"achen im $\BR^3$
vor der Kenntnis des Kr\"ummungstensors machen; das Ergebnis unterscheidet
sich in
\"uberraschender Weise. Ausgangspunkt sind die Definitionen der
geod\"atischen Kr\"ummung
und der Weingartenabbildung, wir differenzieren nach $s$ und betrachten nur
die
Tangentialkomponente:
$$ \eqalign{
& \kappa_g(t; s=const)\cdot \Dd t F(s,t) = \left(\Dd t \Dd s F(s,t)
\right)^{tang} =
           \Dd t \Dd s F(s,t) + g(Se_2,e_1)\cdot (N\circ F).
\cr
& \Dd s \kappa_g \cdot \Dd t F(s,t) + \kappa_g \cdot \left(\Dd s \Dd t
F(s,t) \right)^{tang}
 = (\Dd s \kappa_g + \kappa_g^2)\cdot \Dd t F(s,t)
\cr
& \Ph{4}
= \left(\Dd s (\Dd t \Dd s F(s,t) + g(Se_2,e_1)\cdot (N\circ F))
\right)^{tang}
\cr
& \Ph{4}
= \left(\Dd t (\Dd s \Dd s F(s,t))\right)^{tang} + g(Se_2,e_1)\cdot \Dd s
(N\circ F)
\cr
& \Ph{4}
= \left(\Dd t (-g(Se_1,e_1)\cdot (N\circ F) )\right)^{tang}
                      + g(Se_2,e_1)\cdot TF\cdot Se_1
\cr
&\hbox{ Skalarmultiplikation mit $TF\cdot e_2 = \Dd t F $ und Division durch
$|e_2|_g^2 = |\Dd t F|^2$       ergibt:}
\cr
&  \Ph{1}
    \Dd s \kappa_g + \kappa_g^2
       = \left(-g(Se_1,e_1)g(Se_2,e_2) + g(Se_2,e_1)^2\right)/g(e_2,e_2) =
-\det S.
\cr} $$
{\bf Zus\"atzlich zu den Codazzi Gleichungen $(D_X)Y = (D_YS)X$ ist damit
ein weiterer
Zusammenhang zwischen Metrik $g$ und (Weingarten-) Kr\"ummung $S$ gefunden,
da die linke
Seite ja nur von der Metrik abh\"angt. Mit der vorhergehenden Rechnung
zusammen ergibt
das das Theorema Egregium von Gau\ss:}
$$ g(R(e_1, e_2) e_2,e_1)/ g(e_2,e_2) = -\det S.$$
Dasselbe Ergebnis erhalten wir f\"ur Hyperfl\"achen, indem wir die
Fl\"achengleichung
\lf\Ph{5}
$D^2F(Y,Z) = -g(SY,Z)\cdot (N\circ F)$  \lf
nach den Riemannschen Differentiationsregeln  differenzieren, rechts die
Produktregel,
links die Produktregel f\"ur $D^2_{X,Y} - D^2_{Y,X}$
\lf\Ph{0.6}
n\"amlich
$(D^2_{X,Y} - D^2_{Y,X})(df(Z)) = (D^3_{X,Y,Z} - D^3_{Y,X,Z})f +
                                 df(\ (D^2_{X,Y} - D^2_{Y,X})Z\ )$. \lf
Die Normalkomponente verschwindet links, beweist also erneut die Codazzi
Gleichungen.
Die Tangentialkomponente ist das endg\"ultige {\bf Theorema Egregium}:
$$ (D^3_{X,Y,Z} - D^3_{Y,X,Z})F = - TF\cdot R(X,Y)Z
         = - TF\cdot(g(SY,Z)SX - g(SX,Z)Y).  $$
{\it Ank\"undigung: Die Gau\ss- und Codazzi Gleichungen sind {\bf hinreichende}
Integrierbarkeitsbedingungen f\"ur die Hyperfl\"achengleichungen. Werden
sie von gegebenen
$g,S$ erf\"ullt, so gibt es parametrisierte Hyperfl\"achenst\"ucke, die die
gegebene
Metrik $g$ und Kr\"ummung $S$ haben.}
\LF
Als Vorbereitung zeigen wir, da\ss\ das Verschwinden der Lieklammer von zwei
Vektorfeldern $X,Y$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$
{\it hinreichend} f\"ur die (lokale) Existenz einer Abbildung $F: \BR^2 \to
M$ ist
mit $\Dd s F(s,t) = X\circ F(s,t),\ \Dd t F(s,t) = Y\circ F(s,t)$ ist. \lf
Die Fl\"usse von $X,Y$ sind definiert durch \lf\Ph{1.5}
$\ddd s f(s;p) = X\circ f(s;p),\ f(0;p)=p$ und $\ddd t g(t;p) = Y\circ
g(t;p),\ g(0;p)=p$.
\lf
Daher gilt notwendig: $F(s,t) := g(t,f(s;p))$. Wir hatten am 31.1. gesehen,
wie daraus die
Integrierbarkeitsbedingung $[X,Y]=0$ folgt. Um zu zeigen, da\ss\ das so
definierte $F$,
bei {\it vorausgesetzter} Integrierbarkeitsbedingung, unser Problem l\"ost,
m\"ussen
wir beweisen
 $$\Dd s F(s,t) = X\circ F(s,t),$$
denn
    $\Dd t F(s,t) = Y\circ F(s,t)$ gilt schon nach Definition von $F$, und
f\"ur $t=0$
gilt auch schon die Behauptung, aus $F(s,0) = g(0,f(s;p))= f(s;p)$ folgt
$\Dd s F(s,0) = X\circ F(s,0)$. Es gn\"ugt daher zu zeigen, da\ss\ $\Dd s
F$ und
$X\circ F$ dieselbe (sogar lineare) Differentialgleichnung erf\"ullen -- da die
Anfangsdaten bei $t=0$ \"ubereinstimmen, liefert der Eindeutigkeitssatz die
Behauptung.
\lf
Wir differenzieren  $\Dd t F(s,t) = Y\circ F(s,t)$ nach $s$ und erhalten
mit dem Satz
von Schwarz:
$$ \Dd t (\Dd s F(s,t)) = \Dd s \Dd t F(s,t) = \Dd s ( Y\circ F(s,t)) =
       TY\cdot \Dd s F(s,t),$$
also eine lineare Differentialgleichung f\"ur $\Dd s F(s,t)$. Andererseits
k\"onnen
wir in der Integrierbarkeitsbedingung den Term $(T_YX)\circ F$ als
Ableitung nach $t$
interpretieren, weil $Y\circ F = \Dd t F$ ist.
Wir erhalten damit {\it dieselbe} Differentialgleichung
f\"ur $X\circ F$:
$$ 0=[X,Y]\circ F \  \Rightarrow\  \Dd t (X\circ F) = (T_YX)\circ F =
(T_XY)\circ F =
     TY\cdot (X\circ F).$$
Die Hyperfl\"achengleichung wird mit derselben Strategie gel\"ost werden:
Sind auf einem
Ball $B$ Metrik und Kr\"ummung $g,S$ gegeben, so k\"onnen wir bereits
 aus der {\it vorausgesetzten} Existenz einer Hyperfl\"ache
$F:B\to\BR^{d+1}$ die $F$-Bilder der Radien von $B$ als Raumkurven {\it
durch L\"osen
gew\"ohnlicher Differentialgleichungen} konstruieren. Diese Raumkurven
setzen sich
wegen der differenzierbaren Abh\"angigkeit der L\"osungen gew\"ohnlicher
Differentialglei\-chungen von Parametern (speziell Anfangswerten) {\it zu
einer glatten
Hyperfl\"ache in $\BR^{d+1}$} zusammen. Zu zeigen bleibt, da\ss\ diese
Hyperfl\"ache in
der Tat die gegebene Metrik $g$ und Kr\"ummung $S$ hat, {\it falls die
Gau\ss- und
Codazzi Gleichungen erf\"ullt sind}. Auch das wird mit dem
Eindeutigkeitssatz f\"ur
gew\"ohnliche Differentialglei\-chungen erledigt.
\LF

\centerline
{\sc 12. Linearisierung von Differentialgleichungen}
\noindent
Daher habe ich in der letzten Vorlesung den einfachen Satz \"uber
Lipschitz-stetige
Abh\"angig\-keit der L\"osungen gew\"ohnlicher Differentialglei\-chungen
von Parametern
(bei nat\"urlichen Voraussetzungen) wiederholt und den Satz \"uber
differenzierbare
Abh\"angigkeit von Parametern bewiesen, weil die H\"orer ihn nicht kannten. Ich
schreibe ihn hier nicht auf, weil Herr Hildebrandt mir den Beweis im
Manuskript zu
seiner Vorlesung gezeigt hat.
\lf
Ich halte nur fest: Ist $t\mapsto f(t;\lambda)$ Integralkurve des
zeitabh\"angigen
Vektorfeldes $X(p,t;\lambda)$ und ist $X$ in allen Variablen stetig
differenzierbar,
so h\"angen die L\"osungen $f$ {\it differenzierbar} von $\lambda$ ab. Die
Ableitung
$v:= \Dd \lambda f$ wird dabei interpretiert als Vektorfeld $t\mapsto v(t)$
l\"angs
der Integralkurve $t\mapsto f(t;\lambda)$; und diese Ableitung approximiert
die Differenz
von L\"osungskurven:
$$ f(t;\lambda) - f(t;\lambda_0) \sim v(t)\cdot(\lambda-\lambda_0).$$
Au\ss erdem ist $v$ bestimmt als L\"osung der gew\"ohnlichen {\it linearen}
inhomogenen
Differentialgleichung, die man durch Differenzieren von
    $\dot f(t;\lambda) = X(f(t;\lambda),\ t;\lambda)$ (unter Benutzung des
Satzes von Schwarz) erh\"alt (Bezeichnung: $T_1X$ ist die partielle
Ableitung nach der
ersten Variablen $p$ von $X$ und $T_3X$ ist die partielle Ableitung nach
der dritten
Variablen $\lambda$):
$$ \Dd t \Dd \lambda f(t;\lambda)|_{\lambda_0} = \dot v(t) =
     T_1X|_{f(t;\lambda_0),t;\lambda_0)}\cdot v(t) +
     T_3X|_{f(t;\lambda_0),t;\lambda_0)}\cdot1
$$
{\it Anwendung auf die Differentialgleichung der Geod\"atischen}. Der
vorhergehende
Satz ist anwendbar, falls die Christoffelabbildung $\Gamma$ stetig ist
(also falls die
Metrik $g$ zweimal stetig differenzierbar ist). Es sei also eine Schar von
Geod\"atischen,
        $$ s\mapsto c(s;\lambda),\ \  \DDD s \ddd s c(s;\lambda) =0,$$
gegeben. Wir wissen bereits,
da\ss\ $J(s) := \Dd \lambda c(s; \lambda)|_{\lambda_0}$ eine lineare
Differentialgleichung
erf\"ullt; wie lautet sie? F\"ur die folgende Rechnung erinnere ich an die
Symmetrie
$$ \eqalign{
       \DDD s \ddd \lambda c(s; \lambda) &=  \DDD \lambda \ddd s c(s;
\lambda)
       \Ph{1} \hbox{ und die Folgerung }
\cr
    \DDD s(\DDD \lambda Z) -  \DDD \lambda(\DDD s Z)
    &= (D^2_{\ddd s c, \ddd \lambda c} - D^2_{ \ddd \lambda \ddd s c})Z
    = R(\ddd s c, \ddd \lambda c)Z.
\cr}$$
Mit $Z:=\ddd s c$ und der Voraussetzung $\DDD s \ddd s c(s;\lambda) = 0$
ergibt sich
die ber\"uhmte
\LF \Ph{3.5}
{\bf Jacobische Differentialgleichung} f\"ur $J$:
$$  \DDD s \DDD s J  = \DDD s(\DDD s \ddd \lambda c) =
   \DDD s(\DDD \lambda \ddd s c) -  \DDD \lambda(\DDD s \ddd s c)
   = - R(J, \ddd s c)\ddd s c .
$$
Aussagen \"uber das Verhalten der Geod\"atischen beruhen auf S\"atzen
\"uber diese Gleichung.
\LF  \goodbreak

\centerline
{\sc 13. Nachtr\"age: Kovariante Ableitungen in der Kurventheorie}
\LF
Es handelt sich um Anfangsbeispiele zur kovarianten Ableitung, die im
folgenden Semester
keinen Platz mehr haben, zu denen ich aber nicht mehr gekommen bin. Erstens
wird die
Kurventheorie im $\BR^n$ so erledigt, da\ss\ sich die Verallgemeinerung in
Riemannsche
Mannigfaltigkeiten von selbst versteht; dabei gen\"ugen stetige zweite
Ableitungen,
anders als in der Frenet Theorie. Und zweitens wird die beschriebene
Anwendung der
Kurventheorie zum Beweis des Hauptsatzes der Hyperfl\"achentheorie wesentlich
\"ubersichtlicher als bei unserer ersten Begegnung am 20.12. .
\lf
Erstens. Sei $c:I\to \BR^n$ eine zweimal stetig differenzierbare nach der
Bogenl\"ange
parametri\-sierte Kurve. Dann w\"ahlen wir eine ON-Basis aus Vektorfeldern
l\"angs $c$:
Erstens $e_1(t):=\dot c(t)$. $e_2(t),\dots , e_n(t)$ w\"ahlen wir als {\it im
Normalenb\"undel parallele Basis}, indem wir zu orthonormalen Anfangsdaten
    $\perp \dot c(0)$
die Differentialgleichungen
       $$ \dot e_j(t) = - \langle \ddot c(t), e_j(t) \rangle\cdot \dot c(t) $$
l\"osen. Wir haben gezeigt, da\ss\ die L\"osungen senkrecht zu $\dot c(t)$
bleiben
und au\ss erdem orthonormal (8.11.). In dieser parallelen Basis sind die
Funktionen
$k_j(t):= \langle \ddot c(t), e_j(t) \rangle$ die Komponenten des
Beschleunigungsvektors
$\ddot c(t)$, insbesondere gilt f\"ur die fr\"uher definierte Kurvenkr\"ummung
$ \kappa(t) := |\ddot c(t)| = (\sum k_j(t)^2)^{1/2}$. Daher nenne ich, im
Unterschied zu
den {\it Frenetkr\"ummungen von $c$}, den Vektor $(k_2(t),\dots,k_n(t))$ die
{\it Tr\"agheitskr\"ummung} der Kurve $c$. -- Ist umgekehrt diese
Tr\"agheitskr\"ummung
gegeben, so l\"osen wir (wie am 8.11.) die Differentialgleichung
$$ \eqalign{
  \ddot c(t) = \dot e_1(t) &= +\sum_{j=2}^n k_j(t)\cdot e_j(t)
  \cr
  \dot e_j(t) &= - k_j(t)\cdot e_1(t)
  \cr} $$
und finden -- bis auf Anfangsdaten eindeutig -- eine Kurve mit den
gegebenen Daten.
\lf
Im Riemannschen Fall kann man fast alles w\"ortlich \"ubernehmen, indem man
Ableitungen
von Vektorfeldern durch kovariante Ableitungen ersetzt. Nur im letzten Schritt
gilt nicht mehr, da\ss\ die Differentialgleichung f\"ur $e_1,\dots,e_n$
{\it unabh\"angig
von der Kurve $c$} gel\"ost werden kann, weil man lokal f\"ur die
kovariante Ableitung
$\DDD t e_j(t)$ die Christoffelabbildung $\Gamma|_{c(t)}$ braucht. Aber man
mu\ss\ nur
die Differentialgleichung ab\"andern in
$$  \eqalign{
      \dot c(t) &= e_1(t)
\cr
  \DDD t e_1(t) &= \dot e_1(t) + \Gamma|_{c(t)}(e_1(t), e_1(t))
                 = + \sum_{j=2}^n k_j(t)\cdot e_j(t)
\cr
    \dot e_j(t) &= -\Gamma|_{c(t)}(e_1(t), e_j(t)) -  k_j(t)\cdot e_1(t),
\cr}$$
um den Riemannschen Fall entsprechend behandeln zu k\"onnen.
 \goodbreak\noindent
Zweitens. Es seien in einem Ball $B\subset \BR^d$ Hyperfl\"achendaten $g,S$
gegeben
und au\ss erdem eine stetig differenzierbare Kurve $\gamma:I\to B$.
Zun\"achst wird
vorausgesetzt, da\ss\ eine parametrisierte Fl\"ache $F:B\to \BR^{d+1}$ mit
Normalenfeld $N:B\to \BS^d\subset \BR^{d+1}$ existiert. Als erstes werden
durch L\"osen
von $\DDD t e_j(t) =0, j=1\dots d $ zu $g$-orthonormalen Anfangsdaten
$g$-orthonormale
Basisfelder $e_j$ l\"angs $\gamma$ gew\"ahlt.
Dann definiere:
 $$ \eqalign{
      c:= F\circ \gamma, \ E_j(t):= TF_\gamma\cdot e_j(t),\
E_{d+1}(t):=N(\gamma(t))
 \cr
   \tau_j(t):= g(e_j(t), \dot\gamma(t)), \  \sigma_j(t):=g(S\cdot
\dot\gamma(t),e_j(t)).
    \Ph{0.5}
    \cr} $$
Die Kurve $c:I\to BR^{d+1}$ kann nun mit den hieraus abgeleiteten
Differentialgleichungen
rekonstruiert werden (ohne da\ss\ in diesem Schritt die Gau\ss- und Codazzi
Gleichungen
eine Rolle spielen):
$$ \eqalign{
   \dot c(t) &= \sum \tau_j(t)\cdot E_j(t)
\cr
   \dot E_j(t) &= - \sigma_j(t)\cdot E_{d+1}(t),  \Ph{1} j=1\dots d
\cr
   \dot E_{d+1}(t) &= TF\cdot S\dot\gamma(t) = \sum_{j=1}^d
\sigma_j(t)\cdot E_j(t).
    \cr} $$
Der Hilfssatz vom 8.11. ist auch hierf\"ur die Basis. Beachten Sie, wie
sehr unser
Aufbau durchzogen ist von der Strategie: Herleiten notwendiger Bedingungen,
bis diese
Bedingungen eindeutige Antworten ergeben UND daran anschlie\ss end der
Beweis, da\ss\
durch diese Antwort das urspr\"ungliche Problem auch wirklich gel\"ost wird.
Zum Beispiel haben wir auch die Differentialgleichung der Geod\"atischen als
notwendige Eigenschaft daf\"ur, da\ss\ eine glatte Kurve lokal K\"urzeste ist,
hergeleitet, aber wir haben bisher nur in Beispielen bewiesen, da\ss\ diese
Geod\"atischen wirklich (zumindest ein St\"uck weit) {\it auch K\"urzeste
sind}.


\bye