% From kramer@math.uni-bonn.de  Tue Oct 15 10:09:00 1996

\input makro_kgb
\def\lf{\ \hfill\break}
\def\grad{\rm grad}

\def\Titel{Differentialgeometrie I}    % Titel der Vorlesung, bei
                                       % Bedarf auch Algebra V oder
                                       % entsprechend ekliges.
%\def\Datum{17. Oktober 1996}           % Aktuelles Datum
\def\Datum{20. Oktober 2000}
\def\Blatt{1}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97, 00/001}        % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren

\Machtitel

\Aufgabeno=0                           % Nummer der ersten Aufgabe auf
                                       % dem Zettel minus 1. 


\rm
\aufg{Kreise}
\ta 
Geben Sie einen parametrisierten Kreis~$c(t)\in\R 2$ vom Radius~$r>0$ an, 
der mit konstanter Geschwindigkeit~$v\in\Bbb R$ durchlaufen wird.  Wie gro"s ist
die Beschleunigung~$a\in\Bbb R$?
%  c(t) = r (cos vt, sin vt),  a = rv^2
\ta 
Es seien $v\perp a\in \R 3$ zwei orthogonale Vektoren mit $v,a\not=0$.
Geben Sie einen Kreis~$c(t)$ an mit $\dot c(0)=v$, ${\ddot c}(0)=a$,
$|\dot c(t)|=$ const. 
%
% allg. Form   c(t) = r v/|v| cos phi t + r a/|a| sin phi t
%   c'(0) = - r phi v/|v|   ==> - r phi = |v| 
%   c"(0) = - r phi^2 a/|a| ==> - r phi^2 = |a|
%  ==> phi = |a|/|v|   und  r = -|v|^2 / |a|
% also   c(t) = -|v|v/|a| cos (|a|/|v|)t - |v|^2 a/|a|^2 sin (|a|/|v|)t
% 
\ta
Wie lautet ein Kreis $c(t)$ mit $\dot c(0)=v$, $\ddot c(0) = a$ wenn  
$v,a\in\R 3$ nur noch linear unabh"angig vorausgesetzt sind? 
% Ansatz: wie zuvor aber mit  (t+t^2/2) an Stelle von t
% schreiben wir die Formel mit b an Stelle von a auf (wobei b in der
% a,v Ebene liegt, aber senkrecht auf v steht).  Dann ist die zweite 
% Ableitung 
%  c"(0) = sv + b ==>  waehle s so, dass dies a gibt


\aufg{Zykloide}

\ta Skizzieren Sie die {\it Zykloide}
$$ c(t):= \left(\matrix { t \cr 0 }\right)
       + r \left(\matrix{ \sin t \cr -\cos t } \right)  $$
% allg Tex syntax: a & b & c \cr d ...
f"ur $0\le t \le 4\pi$, mit $r={1\over 2}$, 1, und 2.  Geben Sie auch
einige Tangenten an und erkl"aren deren Konstruktion.
Wieso kann eine differenzierbare Kurve Spitzen haben?
Wie kann man die Kurve f"ur $r=1$ als Bahn 
eines Punktes des Einheitskreises auffassen, und welche Interpretation
gibt es f"ur andere Werte von $r$?
\ta
Berechnen Sie die Bogenl"ange von $c(t)$ f"ur $r=1$ und  $t\in[0,2\pi]$.
\aufgtab  Auf der R"uckseite finden Sie ein anderes Beispiel f"ur
Rollkurven.
%\ta 
%Skizzieren Sie die {\it Hypozykloide}
%$$ c(t):= R\left(\matrix { \cos \phi \cr \sin\phi }\right)
       %+ r \left(\matrix{ \cos n\phi \cr \sin n\phi } \right)  $$
%f"ur $n=-5$, und folgende Wertepaare: $R=1$, $r=0$; $R=$  $r={1\over 4}$, und f"ur $n=-5$ 
%und geben Sie eine geometrische Interpretation 

\aufg{Gitter in $\R 2$}
   
Zwei linear unabh"angige Vektoren $u,v\in\R 2$ definieren ein {\it Gitter}  
$$G:=\{nu+mv \mid n,m\in\Bbb Z \}.$$  Man kann~$G$ auch als
Translations-Untergruppe des~$\R 2$ auffassen.  Wir definieren eine
"Aquivalenzrelation auf $\R 2$ durch
$$   p \sim q  \iff  p-q\in G.$$
Die vollen "Aquivalenzklassen der Form $G+q$ hei"sen {\it Bahnen} von~$q$.
Skizzieren Sie zwei Bahnen.  Definieren Sie eine Metrik
auf der Menge der "Aquivalenzklassen (zeigen Sie die Dreiecksungleichung).
Warum kann man je zwei Klassen durch eine rektifizierbare Kurve verbinden?
% dist(p,q) = min {g \in G | dist(p,q+g) }


\aufg{Einheitskreise in Banachebenen}

\ta
Eine Norm f"ur den $\R 2$ wird durch ein regelm"a"sigen Sechseck 
mit Mittelpunkt~$0$ definiert.  Wie gro"s ist der Umfang dieses Einheitskreises?
Bestimmen Sie weniger symmetrische Sechsecke mit dem selben Umfang.
% 6, durch Parallelverschiebung einer Seite.
\ta
Auch ein Parallelogramm (symmetrisch um $0\in\R 2$) f"uhrt auf die gleiche 
Weise eine Norm ein.  Wie gro"s ist sein Umfang?
% Summe der Seitenlaengen, wieder durch Parallelverschiebung
\ta
Zeigen Sie, da"s eine Ellipse mit Mittelpunkt $0\in\R 2$ 
eine Norm definiert, die der Ellipse Umfang~$2\pi$ gibt.
\ta
Es sei $C$ eine beliebige symmetrische konvexe Kurve, die wiederum
eine Norm definiert.  Finden Sie ein
einbeschriebenes Sechseck, dessen Seitenl"angen in dieser Norm
alle 1 sind.  Zeigen Sie, da"s der Umfang jedes umbeschriebenen Parallelogramms 
wenigstens~8 ist.  Warum gibt es fl"achenkleinste~$C$ umschriebene
Parallelogramme?  (Also gilt $6\le 2\pi\le 8$ in jeder Banachebene.)
% Umfang \ge 8 : Das Lot durch 0 an jede Parallelogrammseite schneidet
%   den Einheitskreis im Inneren des Parallelogramms.  Also ist der
%   Abstand der Seite von 0 wenigstens 1.  Dies gibt die halbe Seitenlaenge
%   der anliegenden beiden Seiten.  
% Umfang = 8 : Das gilt wenn das Lot die Parallelogrammseite nicht im
%   Inneren, sonderen am Rande schneidet.  Es gibt wenigstens vier solcher
%   Punkte, denn die Funktion alpha(phi), die einer Lotrichtung phi die
%   Abweichung der Tangentenrichtung von  R^90(phi)  zuordnet, erfuellt
%   alpha(phi)=alpha(-phi).  Sie verschwindet entweder identisch, oder
%   hat beide Vorzeichen (Begruendung?)



%\aufgtab  Das waren die Teile
%\Kommentar{Hinweis.}{Stelle den Zettel auf den Kopf.}

\eject

% From kramer@math.uni-bonn.de  Tue Oct 15 10:09:00 1996

\input makro_kgb

\def\Titel{Differentialgeometrie I}    % Titel der Vorlesung, bei
                                       % Bedarf auch Algebra V oder
                                       % entsprechend ekliges.
\def\Datum{27. Oktober 2000}           % Aktuelles Datum
\def\Blatt{2}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren

\Machtitel

\Aufgabeno=4                           % Nummer der ersten Aufgabe auf
                                       % dem Zettel minus 1. 


\rm
\aufg{Ellipsen}
Die Kurve $c(t)=(a\cos t, b\sin t)$, f"ur $a>b>0$ und $0\le t < 2\pi$,
hei"st {\it Ellipse}, die beiden Punkte $F_{\pm}=(\pm\sqrt{a^2-b^2},0)$
sind ihre {\it Brennpunkte}.
\ta 
Zeigen Sie, da"s die Summe der Abst"ande zu den Brennpunkten konstant ist,
und zwar $|c(t)-F_+|+|c(t)-F_-|=2a$.  Hierauf beruht die
sogenannte G"artnerkonstruktion, die eine Ellipse durch einen Faden mit
Endpunkten $F_{\pm}$ erzeugt.
\ta
Rechnen Sie nach, da"s die Winkel zwischen Kurventangente und 
{\it Brennstrahlen} konstant sind, 
$\angle(c(t)-F_+,-\dot c(t)) = \angle(c(t)-F_-,\dot c(t))$.
Daher werden von $F_+$ ausgehende Lichtstrahlen an der Ellipse nach $F_-$
reflektiert.  Spiegelt man $F_-$ an allen Tangenten, so erh"alt man einen
Kreis vom Radius $2a$ um $F_+$, den {\it Leitkreis}.
\ta
Evtl.~eine Woche sp\"ater: Der kleinste Kr"ummungskreis (Def.~nach Ende der
Bogen\-l\"angendiskussion)  liegt innerhalb, der gr"o"ste au"serhalb der
Ellipse ${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$. 


\aufg{Projektion auf konvexe Mengen}

Es sei $K\subset \R d$ eine abgeschlossene konvexe Menge.  
F"ur einen Punkt $p\in\R d\setminus K$ sei $\pi(p)$ der n"achste Punkt in
$K$.  
\ta 
Es sei $H$ die Hyperebene durch $\pi(p)$, die senkrecht auf der 
Verbindungsstrecke von $p$ nach $\pi(p)$ steht.
Dann liegt $K$ auf einer Seite von~$H$; daher hei\ss t $H$ St\"utzhyperebene.
% K"urzeste: ein Kreis um p schneidet int K nicht
% Konvexitaet: kein weiterer Punkt kann zu einer Seite liegen
\ta
Zeige: Durch jeden Randpunkt von $K$ geht eine St\"utzhyperebene.
\ta
Zeige, da"s die Projektion $\pi$ den Abstand verringert, es gilt also
$|\pi(p)-\pi(q)|\le |p-q|$ f"ur alle $p,q\in\R d\setminus K$.
(Also: $c:I\to \R d$ rektifizierbar $\Rightarrow \pi\circ c$ rektifizierbar.)
% Betrachte die beiden Geraden.  Offenbar liegt das Gebiet im
% Schnitt der Halbebenen.  Aber wenn der Abstand sich vergroessert
% liegt \pi(q)\in K  nicht mehr in der Halbebene, die von p erzeugt wird


\aufg{Bahnenabstand f"ur isometrische Gruppenoperationen}

Falls man (wie in Aufgabe~3) einen metrischen Raum $M$ hat, eine Gruppe~$G$
und eine Abbildung $*: G\times M \to M$ mit $(g,m)\mapsto g*m$, so sagt man
$G$ {\it operiert} auf~$M$, wenn $(gh)*m= g*(h*m)$ f"ur alle $g,h\in G$
und $m\in M$ gilt.  
Die Teilmengen $G*m:=\{g*m\mid g\in G\}$ f"ur festes $m\in M$ hei"sen
{\it Bahnen} oder Orbiten. Wir setzen weiter voraus, da"s 
$G$ {\it isometrisch} operiert, d.h.~es gilt
$d(m,n)=d(g*m,g*n)$ f"ur alle $g\in G$ und $m,n\in M$.
\ta
Wenn $M$ vollst"andig ist, kompakte Abstandskugeln besitzt und die Bahnen 
ab\-ge\-schlossen sind, gibt
es einen Punkt $m_0\in G*m$ mit $d(m_0,n)=\inf\{d(g*m,n) \mid g\in G\}$. 
%
% Betrachte eine Folge g_k\in G, so dass sie gegen das Infimum konvergiert.
% Weil M vollstaendig und kompakte Einheitskugeln hat, konvergiert g_k m 
% gegen ein m_0, weil die
% Bahnen abgeschlossen sind, ist m_0 = g m  fuer ein  g\in G .
\ta
Folgern Sie, da"s
$d(G*m,G*n):=\min\{d(g*m,n) \mid g\in G\}$ 
eine Metrik auf der Menge der Bahnen definiert.
% isometrische Aktion ==> d(g*m,h*n)=d((h^-1 g)m,n)  ==> Symmetrie
% Dreiecksungl:
% d(G*m,G*n)+d(G*n,G*l) = d(m_0,n)+d(n,l_0) fuer passende m_0,l_0 \in M
%                       \ge d(m_0,l_0)      gew. Dreiecksungl.
%                       \ge d(G*m,G*l)      Def. des Minimums
% d=0 nur fuer gleiche Orbits folgt von Eig. fuer d
\ta
Falls $c:[0,1]\to M$ eine rektifizierbare Kurve von $m$ nach $n$
ist, so ist $t \mapsto G*c(t)$ eine rektifizierbare Kurve im
Raum der Bahnen von $G*m$ nach $G*n$.
Benutzen Sie Teil a), um L"ange($c)\ge$ L"ange($G*c$) zu zeigen. 
% weil  min d(g*m,n) \le d(m,n) ist, zieht sich dies in die Summe durch:
% Laenge(G*c) = sup \sum d(G*c(t_k),G*c(t_k+1))
%             = sup \sum (min d(g*c(t_k),c(t_k+1)))
%             \le sup \sum (d(c(t_k),c(t_k+1)))  = Laenge(c)
%
\ta
Betrachten Sie die Rotationen in $\R 2$ um 0.  Was ist der Orbitraum und
seine Metrik?
% Raum=[0,\infty), Metrik Standard


%\aufgtab  Das waren die Teile
%\Kommentar{Hinweis.}{Stelle den Zettel auf den Kopf.}

\eject


\def\Titel{Differentialgeometrie I}    % Titel der Vorlesung, bei
                                       % Bedarf auch Algebra V oder
                                       % entsprechend ekliges.
%\def\Datum{31. Oktober 1996}           % Aktuelles Datum
\def\Datum{2. November 2000}           % Aktuelles Datum
\def\Blatt{3}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Empfaenger fuer Beschwerden

\Machtitel

\Aufgabeno=7                           % Nummer der ersten Aufgabe auf
                                       % dem Zettel minus 1. 
\rm

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Evoluten}
Es sei $c(t)$ eine regul"are ebene $C^2$-Kurve mit {\it innerer} Normale 
$n(t)= D^{90}\dot c(t)/|\dot c(t)|$, Kr"ummung $\kappa(t)\not=0$, 
und Kr"ummungsradius $r(t)=1/\kappa(t)$.  Die Kurve der
Kr"ummungsmittelpunkte $\gamma(t):=c(t)+r(t)n(t)$ hei"st {\it Evolute}
von~$c$.  
\ta
Zeigen Sie, da"s die Gerade $\lambda\mapsto c(t)+\lambda n(t)$ 
in Normalenrichtung durch $c(t)$ die Tangente der Evolute in
$\gamma(t)$ bildet.
%
% Berechne \gamma' = c' + r'n + r n' 
%                  = r'n  ,  da  n' = -kappa c'  ist
% 
\ta
Wenn $(t_1,t_2)$ ein Intervall ist, auf dem $r(t)$ w"achst 
(oder $\dot\kappa(t)<0$), dann gilt
L"ange($\gamma|_{[t_1,t_2]})=r(t_2)-r(t_1)$.
%
% \int |r'n| = \int |r'| = \int r' = r(t_2)-r(t_1)
\ta
Folgern Sie daraus, da"s f"ur $t_1<t_2$ der Kr"ummungskreis $K_{t_1}$
innerhalb von $K_{t_2}$ liegt. 
% also |\gamma(t_2)-\gamma(t_1)|\le |r(t_2)-r(t_1)|

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{$\SO(4)$-Aktion und Aktion von Untergruppen}
\ta
Zeigen Sie, da"s die Abbildung 
$$ (s,t) \mapsto 
 U_{s,t}:=\left( \matrix{\cos s & -\sin s & 0 & 0 \cr 
                         \sin s & \cos s & 0 & 0 \cr 
                         0 & 0 & \cos t & -\sin t \cr 
                         0 & 0 & \sin t & \cos t \cr } \right) 
$$
ein Gruppenhomomorphismus von $(\R 2,+)$ nach $\SO(4)$ ist.
\ta 
F"ur alle $a,b\in{\Bbb R}$ ist auch die Abbildung 
$t\mapsto A_t: = U_{at,bt}$ ein Gruppenhomomorphismus, und zwar von 
$({\Bbb R},+)$ nach $\SO(4)$.  
\ta
Warum haben die Bahnkurven $c(t):=A_t p$ f"ur $p\in \R 4$ konstante Kr"ummung?
% Offenbar gilt  |c"(t)| = |[A(t) c(0)]"| = |A"(t)| |c(0)| = |c(0)|

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Schraubenlinien und Schraubungen}
\ta 
Zeigen Sie, da"s die Abbildung 
$$t\mapsto S_t(p):=\left( \matrix{0\cr 0\cr t} \right)
     + \left( \matrix{\cos t & -\sin t & 0 \cr
		      \sin t &  \cos t & 0 \cr
		      0      &  0      & 1 } \right) p $$
ein Gruppenhomomorphismus von $({\Bbb R},+)$ in die Isometrien des $\R 3$ ist
und da"s jede Bahnkurve (Schraubenlinie oder {\it Helix}) 
$c(t)=S_t(p)$ konstante Kr"ummung hat.
\ta
Zu jeder regul\"aren Kurve $c$ hei\ss t die Kurve $\dot c/|\dot c|$  in
${\Bbb S}^2$ {\it Tangentenbild} von $c$. 
Was ist das Tangentenbild einer Schraublinie $t \mapsto S_t(p)$? 
Unter welcher Bedingung an $p$ enth"alt das Tangentenbild ein Paar
aufeinander  senkrechter Punkte 
    $\dot c/|\dot c| (\tau_1) \perp \dot c/|\dot c| (\tau_2)$ ?
%
% Ein Kreis in der Nordhalbkugel um den Nordpol von S^2. 
% Wenn der Oeffnungswinkel wenigstens 90 Grad ist, dann gibt es solche Punkte.
% Also muss die Tangente wenigstens Winkel 45 Grad mit der z-Achse machen
% Dies gilt offenbar f"ur |p|\ge 1.  F"ur  |p|=1   tut es die Tangente
% an "gegenueberliegenden" Punkten einer Helix.
%
\ta
Finden Sie damit zwei aufeinander senkrechte Ebenen
$E_1\perp E_2$, die eine Helix senkrecht schneiden.  Verwenden
Sie diese beiden Ebenen, um eine geschlossene Kurve {\it konstanter} Kr"ummung
in 
$\R 3$ anzugeben, die kein Kreis ist ($\ddot c$ stetig, $\dddotc$ nicht).
%
% Durch Spiegeln.  Rechne nach, da"s c" definiert ist.  Wenn z.B. an
% der y,z-Ebene gespiegelt wird, setzt sich c fort mit
%  c(-t) = (-c_1(-t), c_2(-t), c_3(-t))
% aber nach Vorraussetzung is  c'_2(0) und  c'_3(0) = 0
% c" kriegt zwei Minuszeichen, ist also wieder stetig:
%  c"(0)=(c"_1,c"_2,c"_3)(0), insbesondere konstant

%-----------------------------------------------------------------------
\aufg{Kr"ummungsberechnung}
\ta
Berechnen Sie die Kr"ummung $\kappa(t)$ der Parabel 
$c(t)=(t,t^2)$.  ("Uberzeugen Sie sich, da"s die auf der R"uckseite 
gezeigte Evolute dem Ergebnis entspricht.)
% c' = (1,2t), c" = (0,2) ==>  kappa = 2 / (1+4t^2)^{3/2}

\ta 
Berechnen Sie die Kr"ummungsradien der Zykloide 
$c(t):=(t+\sin t,-\cos t)$ von Aufgabe~2.  Was passiert in den Spitzen?
Pr"ufen Sie die Gleichung $\gamma(t)=c(\pi+t)+(-\pi,2)$ f"ur die 
Evolute $\gamma$ nach.  Was stellt die Evolute also dar?
%
% (c(0)=(0,-1) Min., c(pi)=(pi,1) Spitze)
% c' = ( 1+cos t, sin t),  c" = (-sin t, cos t)
% |c'| = sqrt(2+2cos t) = 2 |cos t/2|
% |det(c',c")| = |1+cos t| = 2 cos^2 t/2
% |1/kappa| = |2 cos t/2|^3 / 2 cos^2 t/2 = 4 |cos t/2|
%
% Spitzen: c' wechselt Vorz., Rot(90)c' auch, daher tatsaechlich 
%   kappa hat nur ein Vorzeichen und ist stetig fortsetzbar 
%   durch 4 cos pi/2 = 0
%
% Normale: n = (-sin t, 1+cos t)  mit |n|= 2|cos t/2|  (n(0)=(0,2),n(pi)=(0,0))
% ==> 1/|(kappa)|n|| = 2  
% Evolute  c+n/[(kappa)|n|] = (t + sin t - 2 sin t , -cos t + 2 + 2 cos t)
%                           = (t - sin t , 2 + cos t) 
%                           = (pi+t+sin(pi+t), -cos(pi+t)) + (-pi, 2)
% (insbes. gamma(0)=(3,0) Spitze, gamma(pi)=(1,pi) Min.)
% Fuer t=pi und weitere Spitzen muss natuerlich stetig ergaenzt werden.
% Die Evolute ist also die Zykloide.
 
\ta
Haben die auf der R"uckseite von Blatt 2 abgebildeten Torusknoten \lf
\phantom{.}\hskip2cm
$c(t)=\left( (R+r\cos mt)\cos nt,\, (R+r\cos mt)\sin nt,\, r\sin mt\right) $
\lf
konstante Kr"ummung ($m,n\in\Bbb~N$, $r,R>0$)?

\eject
\def\Titel{Differentialgeometrie I}    % Titel der Vorlesung, bei
                                       % Bedarf auch Algebra V oder
                                       % entsprechend ekliges.
%\def\Datum{7. November 1996}           % Aktuelles Datum
\def\Datum{8. November 2000}           % Aktuelles Datum
\def\Blatt{4}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  
				       % Empfaenger fuer Beschwerden
\Machtitel

\Aufgabeno=11                          % Nummer der ersten Aufgabe auf
                                       % dem Zettel minus 1. 
\rm

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Frenet-Theorie}
Es sei $c(t)$ %=\int_0^s e_1(\sigma) d\sigma$ 
eine Kurve mit Kr"ummung $\kappa(t)$ und Torsion $\tau(t)$. 
\ta
Falls $\tau(t)=0$, aber $\kappa\not=0$, so ist $c$ eine {\it ebene} Kurve,
d.h.~es gibt einen konstanten Vektor $v$ mit $\langle v,c(t)-c(0)\rangle =0$.
\ta
Falls $\kappa(t)\not=0$ und $\tau(t)/\kappa(t)=\cot\alpha$ f"ur ein festes 
$\alpha\not=0$, 
so ist $c$ eine {\it B"oschungslinie}.  Das hei"st, es gibt einen 
(vertikalen) Vektor $v$ mit $\langle \dot c(t), v \rangle = \sin \alpha$.
% \ta
% Wenn wie in Aufgabe 11 $e, v, w$ ein orthonormales Dreibein
% mit den Ableitungsgleichungen 
% $$ 
%   {d\over ds}\left( \matrix{e \cr v \cr w} \right)
%   = 
%  \left( \matrix{ 0 & a & b     \cr 
%                 -a & 0 & 0  \cr 
%                  -b & 0 & 0         } \right)
%  \left( \matrix{e \cr v \cr w} \right) \quad.
%$$
%ist (mit stetig differenzierbaren Funktionen $a,b$),  was ist
%dann $\kappa$ und $\tau$?


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Parallele Kurven}
%
%WS8889, hier modifiziert
%
Es sei $c: [a,b] \to \R{2}$ eine mit Bogenl"ange parametrisierte Kurve
und $n(t) = {\rm Rot}(90^\circ) \dot c(t)$  ihr Einheitsnormalenfeld.
Wir definieren die {\it Parallelkurvenschar}
$ f: \Bbb R \times [a,b]  \to \Bbb R^2$ durch
$ (s,t)  \mapsto  c(t) + s n(t)$.
\ta
Charakterisieren Sie die {\it kritischen Punkte} von $f$ -- das sind 
diejenigen Punkte $(s,t)$, in denen $df(s,t)$ nicht den H"ochstrang~2 hat -- 
durch die Kr"ummung $k(t)$ der Kurve~$c$.  Welche Kurve beschreiben deren 
Bilder (die {\it kritischen Werte} von $f$)?
%
% df/ds = n, df/dt = (c'+sn') = (1-sk)c'.  Weil n & c' senkrecht sind,
% muss  s=1/k  in einem kritischen Punkt sein.  ==> Evolute = krit.Werte

\ta
Es sei $c_{\e}(t)=f(\e,t)$ die {\it Parallelkurve} von $c$ im Abstand~$\e$. 
Bestimmen Sie die Kr"ummungsradien $1/\k_{\e}$ von $c_{\e}$ und zeigen Sie, da"s
alle Kurven $c_{\e}$ dieselbe Evolute besitzen.
%
%  c_e' = c'+sn' = (1-sk)c'
%  c_e" = (1-sk)c" - sk'c' = (1-sk)kn - sk'c'
%   ==> 1/kappa_e = |c_e'|^3 /|det (c_e",c_e')| =  (1-sk)/k = 1/k - s

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Evolventen}
%
%WS8485,8889, hier modifiziert
%
{\it Evolventen} einer nach der Bogenl"ange
parametrisierten regul"aren ebenen Kurve $c$ sind die Kurven
$ c_{\a} (t) := c(t) - (t-\a) \dot c(t)$.
Diese Kurven beschreiben die Bahn des freien Endpunkts eines undehnbaren,
straff gespannten Fadens beim Abwickeln von~$c$.

\ta
Zeigen Sie, da"s zwei Evolventen $c_{\a}$ und $c_{\b}$ parallel sind und
alle Evoluten die Ausgangskurve $c$ ergeben.
%
% c_a' = c' - c' -(t-a)c" = -(t-a)c"
% Wegen Bogenlaengenparametrisierung ist c'.c"=0 und daher n_a = c' 
% ==> c_a - c_b = (a-b)c' = (a-b)n_a   (Parallelitaet)
% Also Evoluten nach voriger Aufgabe dieselben

\ta
Geben Sie die Evolventen $c_{\alpha}$ des Einheitskreises $(\cos t,\sin t)$
explizit an, und berechnen Sie den Kr"ummungsradius $1/\kappa_{\alpha}$ von
$c_{\alpha}$; wo ist die Kr"ummung definiert?  Skizzieren Sie zwei
Kreisevolventen.  \Kommentar{Hinweis:}{In einer sp"ateren Aufgabe werden wir
Kreisevolventen zur Beschreibung von Zahnr"adern benutzen.}
%
% f"ur den Einheitskreis ist  c_a'= (t-a)c , also  c_a" = (t-a)c'+c
% ==> 1/kappa_a = |c_a'|^3 / det(c_a',c_a") 
%               = (t-a)^3 / (t-a)^2 
%               = t-a

%--------------------------------------------------------------------------

\aufg{Mengen von Geraden bzw. von Ebenen als metrische R"aume}

\ta
Definieren Sie eine Metrik auf der Menge der 
(i) Ursprungsgeraden des $\R 3$, (ii) Ebenen des $\R 3$ durch 0,
(iii) Geraden des $\R 3$.
\Kommentar{Hinweis:}{Beschreiben Sie zun"achst diese Mengen in 
  "ubersichtlicher Weise.  Es ist erw"unscht, aber nicht verlangt, Metriken
  zu finden, die mit den Isometrien des $\R 3$ vertauschen.  Im Fall
  (iii) ist uns eine solche Metrik in expliziter Form nicht bekannt, wir 
  werden sp"ater aber deren Existenz beweisen.} 
%
% (i) Winkel in [0,90 Grad] = Distanz auf P^2 R 
% (ii) Winkel der Normalen in [0,90 Grad], dto.
% (iii): eine nur O(3)-, nicht aber translationsinvariante Art ist, 
%        die Summe der Abstaende zum Ursprung zu nehmen, plus die
%        P^2 R Metrik auf den in den Ursprung verschobenen Geraden.
%        Die Dreiecksungleichung gilt dann in beiden Summanden.
%        Leider erfuellt Laenge des gemeinsamen Lotes plus Winkel
%        der (verschobenen) Geraden die Dreiecksungleichung nicht.
\ta 
Geben Sie z.B.~f"ur (ii) eine rektifizierbare Verbindung zwischen 
zwei Elementen an.  Sind die abgeschlossenen Kugeln kompakt?
% z.B. Kuerzeste in P^2 R
% Klar.

\eject

\baselineskip=14true pt     % Zeilenabstand

\voffset-1.6cm

\def\Titel{Differentialgeometrie I}    % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{14. November 1996}          % Aktuelles Datum
\def\Datum{15. November 2000}           % Aktuelles Datum
\def\Blatt{5}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  
				       % Empfaenger fuer Beschwerden
\Machtitel
\Aufgabeno=15                          % Nummer der vorhergenden Aufgabe
\rm

\vskip-5mm

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Begleitende Dreibeine und R"ohren}
Es sei $B(t):=(\dot c(t),v(t),w(t))$ ein begleitendes orthonormales
Dreibein einer regul"aren $C^2$-Kurve~$c:I\to\R 3$.
\ta
F"ur kleines $\varepsilon$ hat die {\it R"ohre} 
$F_{\varepsilon}(t,\varphi):= 
    c(t)+\varepsilon(\cos\varphi\,v(t) + \sin\varphi\, w(t))$
regul"are Parameterlinien $t\mapsto f_{\varepsilon}(t,\varphi)$ und
$\varphi\mapsto f_{\varepsilon}(t,\varphi)$.  Zeigen Sie, da"s diese
Linien genau dann f"ur alle $(t,\varphi)$ senkrecht aufeinander stehen,
wenn die Differentialgleichungen $\dot v(t)=a(t)\dot c(t)$ und 
$\dot w(t)=b(t)\dot c(t)$ gelten f"ur zwei
Funktionen $a,b:I\to\Bbb R$.
%
% Elementare Rechnung
%
\ta
Konstruieren Sie f"ur eine gegebene Kurve $c$ ein begleitendes orthonormales
Dreibein $B$, das eine R"ohre mit senkrechten Parameterlinien erzeugt.  
Als Ansatz w"ahlen Sie dazu $v,w$ beliebig und erf"ullen dann durch
Basiswechsel die Differentialgleichungen.



%-----------------------------------------------------------------------
\aufg{Eingebettete Tori in $\R 3$ {\rm und Satz des Pythagoras} }
Der Standardtorus $T^2={\Bbb S}^1\times {\Bbb S}^1$ wird durch 
$$F_{r,R}(s,t):= 
  \left( \matrix{(R+r\cos s)\cos t  \cr
                 (R+r\cos s)\sin t  \cr
		    r\sin s            } \right)
$$
f"ur $R>r>0$ nach $\R 3$ abgebildet.
\ta
Zeigen Sie da"s die Tori $F_{r,\sqrt{1+r^2}}$ disjunkt sind.
Welche Teilmenge des $\R 3$ ist das Bild der
Schar $(r,s,t)\mapsto F_{r,\sqrt{1+r^2}}(s,t)$ 
f"ur $r>0$, $s,t\in T^2$? (Siehe auch die n\"achste Frage)
% disjunkt: die x,z-Ebene schneidet jeder Torus in zwei Kreisen,
% mit Mittelpunkt sqrt(1+r^2) auf der x-Achse.  BEide Schnittpunkte mit 
% der x-Achse sind monoton in r: r+sqrt(1+r^2) waechst, waehrend sqrt(1+r^2)-r
% faellt (tatsaechlich ist  [sqrt(1+r^2)-r]'= r/sqrt(1+r^2) < 0 ).
% DAs Bild ist R^3 ohne S^1 in x,y-Ebene und ohne die z-Achse.  Das sieht man 
% aus den Kreisen in x,z-Ebene: fuer r-->0 gehen sie gegen die z-Achse.
%
\ta
Pr"ufen Sie nach, da"s die Tori $F_{r,\sqrt{1+r^2}}$ Niveaufl"achen 
$ \{f = R^2\}$ der au"serhalb der $z$-Achse definierten Funktion 
$f(x,y,z):=(x^2+y^2+z^2+1)^2/(4(x^2+y^2))$ sind.
Berechnen Sie, wo $\grad f\not=0$ ist; gehen Tori durch diese Punkte?
% F"ur den Gradienten reicht es, y=0 zu setzen
% grad f(x,0,z) = (x^2+z^2+1)( (x^3-(x^2+z^2+1)/2)/x^4 , z/2x^2 )
% also bis auf den Einheitskreis definiert (das entspricht F_{0,1}).
% 
\ta
Die Sph"aren $\{x^2+y^2+(z-m)^2=1+m^2\}$ 
enthalten den Einheitskreis in der $x,y$-Ebene.
Warum werden die Tori $F_{r,\sqrt{1+r^2}}$ von diesen Sph"aren
senkrecht geschnitten?
% \Kommentar{Hinweis:}{Wir werden die Aussagen dieser beiden Teile sp"ater durch
% Eigenschaften der stereographischen Projektion von ${\Bbb S}^3$ nach
% $\R 3$ einfacher beweisen.}
%
% Der Punkt (0,0,m) hat von den Punkten auf der Torusseele, 
% z.B. (sqrt{1+r^2},0,0), den Abstand  sqrt{1+m^2+r^2} .  
% Daher bilden Strecken der Laenge: der letzte Abstand, sqrt{1+r^2} und  r
% ein rechtwinkliges Dreieck.  Das bedeutet, dass die Strecke der
% Laenge sqrt{1+r^2} durch (0,0,m) in ihrem Endpunkt tangential an den Torus 
% gelegt werden kann.
%
\ta 
Wir betrachten f"ur eine beliebige Banachraum-Metrik $d$ auf $\R 3$ die
induzierte Metrik auf $F_{r,R}(T^2)$ oder direkt auf $T^2$.  Warum lassen
sich je zwei Punkte durch eine K"urzeste verbinden?
\ta
Warum sind die folgenden drei Metriken auf $T^2$ "aquivalent:
(i) die von $\R 3$ "uber $F$ induzierte Metrik, (ii) die zur induzierten
Metrik geh"orende innere Metrik, sowie 
(iii)~$d((s,t),(\sigma,\tau)):=|(s-\sigma)\bmod 2\pi|+|(t-\tau)\bmod 2\pi|$?
% Metriken d_1, d_2 aequivalent: 1/c d_1(x,y) < d_2(x,y) < c d_1(x,y)
% Ein Kompaktheitsargument zeigt letztlich diese Aufgabe, aber
% sie soll natuerlich konkret erledigt werden; die Abschaetzungen 
% haengen von r,R ab.


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Bahnen von Isometrien}

Die orientierungstreuen Isometrien der Ebene $(A,a)\in\SO(2)\times\R 2$
operieren auf $\R 4$ durch $(A,a)*(x,y):=(Ax+a,Ay+a)$, f"ur
$(x,y)\in\R 2\times\R 2=\R 4$.
\ta
Beschreiben Sie die Bahnen als eine {\it Quadrik} in $\R 4=\R 2\times\R 2$,
d.h.~als Niveaufl"ache einer quadratischen Funktion.
% Sei (p_1,...,p_4) = (A,a)*(x,y) ein Punkt im R^4
% Dann ist f(p) := (p_1-p_3)^2+(p_2-p_4)^2 = |(p_1,p_2)-(p_3,p_4)|^2
%                = |Ax-Ay|^2 = |A(x-y)|^2 = |x-y|^2
% und daher konstant auf einer Bahn.
% Seien andererseits zwei Bahnen gegeben, von (x,y) und (xi,eta) erzeugt.
% Ist das Niveau gleich, so ist |x-y|^2 = |xi-eta|^2 und die Paare stimmen
% bis auf eine Bewegung  ueberein: wir koennen x und xi auf den Ursprung
% translatieren, und  dann y, eta auf die x-Achse drehen.   Also gibt es
% ein (A,a) mit (A,a)(x,y)=(xi,eta), und beide Paare liegen im selben Orbit.
% 
\ta
Die Operation ist isometrisch in $\R 4$ (bez"uglich einer geeignet
zu w"ahlenden Metrik).
% dist^2((A,a)*(x,y), (A,a)*(xi,eta)) 
%  = |Ax+a-(Axi+a)|^2 + |Ay+a-(Aeta+a)|^2
%  = |A(x-xi)|^2+ |A(y-eta)|^2
%  = |x-xi|^2+|y-eta|^2
%  = dist^2((x,y), (xi,eta))
%  
\ta
Bestimmen Sie den Abstand zweier Bahnen.
% Die Bahnen von (x,y) und (xi,eta) sind ||x-y|-|xi-eta|| entfernt.
% Durch Wahl von (A,a) wie in Teil a) sieht man, dass sie nicht weiter
% als das entfernt sein koennen.  
% Wieso nicht weniger weit?  Vielleicht so: wenn wir fuer gegebene A,x,xi
% die Translation a:=xi-Ax waehlen 
% (sqrt(|Ax+a-xi|^2+|Ay+a-eta|^2)) \ge |Ay+(xi-Ax)-eta|
% Diese Ungleichung muss man beweisen, sie ist geometrisch klar
% oder man rechnet sie nach, indem man a(t)=(1-t)a-t(xi-Ax) setzt.  Weiter
%                                   =  |A(y-x)+xi-eta| 
%                                  \ge ||A(y-x)|-|xi-eta|| = ||y-x|-|xi-eta||
% 
\ta
Wie kann man die Menge aller Bahnen beschreiben?
% als Interval [0,infty) parametrisiert durch |x-y|

 
%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Zahnr"ader}
Auf der R"uckseite sind Kreisevolventen-Zahnr"ader skizziert.  
Im letzten Jahr\-hundert wurden f"ur schwere Maschinen Zahnr"ader eingesetzt,
die konstante Winkelgeschwindigkeit erhalten; solche Zahnr"ader vermeiden
Schwingungen.  Eine andere Anforderung stellt man an Zahnr"ader von Uhren:
ihre Flanken sollen
ohne Rutschen aneinander abrollen, um den Verschlei"s klein zu halten. 
\ta 
Zeigen Sie: f"ur Kreisevolventen-Zahnr\"ader ist das "Ubersetzungsverh"altnis 
$\omega_1:\omega_2$ zeitlich konstant, und zwar ist es $R_2:R_1$ .
%Diskutiere hierzu die Win\-kel\-ge\-schwin\-dig\-keit $\omega_2$ des zweiten
% Rades als Funktion des Drehwinkels $\theta$ und der Winkelgeschwindigkeit
%$\omega_1$ des ersten Rades.
\ta
Mit welcher (ver\"anderlichen) Geschwindigkeit rutschen die Flanken aufeinander?
\ta
Falls die Flanken sich so gleichm"a"sig abnutzen, da"s sie Evolventen
bleiben, kann man dann durch "Anderung des Achsabstandes die Zahnr"ader
nachjustieren?



\eject
\baselineskip=16true pt     % Zeilenabstand
\voffset-1cm
 
\def\Titel{Differentialgeometrie I}    % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{21. November 1996}          % Aktuelles Datum
\def\Datum{22. November 2000}           % Aktuelles Datum
\def\Blatt{6}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  
				       % Empfaenger fuer Beschwerden
\Machtitel
\Aufgabeno=19                          % Nummer der vorhergenden Aufgabe
\rm

\vskip-2mm

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Einschaliges Hyperboloid als Rotationsfl"ache}

Es sei $c=(c_1,c_2,c_3): [a,b]\to\R 3$ eine Kurve mit $\dot c_3>0$, 
$c_1^2+c_2^2>0$.

\ta
Wir betrachten die {\it Rotationsfl"ache}, die durch
Drehung von~$c$ um die $z$-Achse entsteht.  Der Schnitt der Fl"ache
mit der $x,z$-Ebene ($x>0$) hei"st {\it Meridiankurve}.
Geben Sie die die Meri\-{dian}\-kurve $m(t)$ an sowie eine Parametrisierung
der Rotationsfl"ache.
%
% m(t) = (sqrt(c_1^2+c_2^2), c_3) (t)
% F(phi,t) = (cos phi m_1(t), sin phi m_1(t), m_2(t))

\ta
Als Beispiel betrachten wir die Gerade $c(t)=e_2+t(e_1+e_3)$.  
Die Rotation von $c$ erzeugt eine Schar von Geraden auf der Rotationsfl"ache; 
bestimmen Sie eine weitere Schar von Geraden.  Bestimmen Sie die Meridiankurve,
und  beschreiben Sie die Fl"ache auch als Niveau einer quadratischen 
Funktion $f:\R 3 \to \Bbb R$.
%
% Siehe auch Rueckseite!
% m(t) = (\sqrt(t^2+1), t)
% die Geraden erzeugt von e_2+t(e_1-e_3)  .
%   Die Rotationsflaeche ist symmetrisch bezueglich Spiegelungen in 
%   senkrechten Ebenen.  Also liegt auch die Spiegelung von  c  in der 
%   Flaeche und entsprechend die rotierten Geraden.
% x^2+y^2-z^2 = 1

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Differentialgleichungen f"ur H"ohen- und B"oschungslinien}

Eine Funktion $f:U\subset\R 3\to\Bbb R$ definiert eine
Fl"ache als Niveau $\{f(x,y,z)=0\}\subset \R 3$.
Wir setzen grad$f\not=0$ auf der Fl"ache voraus.

\ta
Definieren Sie ein ein horizontales Vektorfeld $H$ auf $U$,
das tangential an die Fl"ache ist.  Welche Differentialgleichung
beschreibt dann die {\it H"ohenlinien} $f(x,y,$const.$)=0$?  Ist sie l"osbar?
%
% Sei  grad f = (f_x,f_y,f_z)
% Dann ist  H = (f_y,-f_x,0)  ein auf  grad f  und auf  e_3  senkrechtes
%   Feld mit |H|^2 = f_x^2 + f_y^2
% Natuerlich kann man H ausserhalb der Flaeche abaendern wie man will.
% ODE ist loesbar fuer f in C^2,0

\ta
Um die {\it Fallinien} der Fl"ache analog zu beschreiben, definieren
Sie ein an die Fl"ache tangentiales Vektorfeld~$F$, das
senkrecht auf~$H$ steht.
%
% Dies muss auf  e_3  und  H  senkrecht stehen.
% F = (-f_x f_z, -f_y f_z, f_x^2 + f_y^2)   mit  |F|^2 = (1+f_z^2)(f_x^2+f_y^2)
% (laengs F steigen z-Werte, also sollte man -F nehmen)

\ta
Kurven auf einer Fl"ache,
deren Tangente einen konstanten Winkel $90^\circ-\alpha$ mit der 
Vertikalen~$e_3$ einschlie"st, hei"sen {\it B"oschungslinien}.  
Diese Kurven haben konstante Steigung~$\tan\alpha$ und wurden fr"uher 
m"oglichst zur Trassierung steiler Eisen- und Zahnradbahnen benutzt.
Geben Sie das entsprechende Vektorfeld $B(\alpha)$ an.
%
% Wir nehmen  F  und  H  normalisiert an.  
% Es sei  90-beta  der Winkel zwischen Fallinie und  e_3 , also 
%   cos(90-beta) = F.e_3 = f_z/|grad f| .
%   und damit  beta = arcsin (f_z/|grad f|)
% Wir betrachten  B := cos phi F + sin phi H  und rechnen die Bedingung
%   fuer  phi  nach.  Der Winkel von  B  mit der (x,y)-Ebene ist
%   cos phi * beta  =!= alpha 
%   ==> phi = arccos (alpha/beta) = arccos (|grad f| alpha/f_z)
% Mittels  sin(arccos s) = sqrt(1-s^2)  folgt nun 
% B(alpha) = |grad f| alpha/f_z  F + sqrt(1-|grad f|^2 alpha^2 /f_z^2) H
%   

\ta 
Als Beispiel rechnen Sie bitte $f(x,y,z)=z-xy$.  W"ahlen Sie eine geeignete
Normalisierung der Vektorfelder zur Integration.
%
% grad f = (-y, -x, 1),  |grad f| = sqrt(1+x^2+y^2)
% H = (-x, y, 0),  |H| = sqrt(x^2+y^2)
%   also ist zu loesen  c_1 ' = -c_1
%                       c_2 ' =  c_2
%                       c_3 ' = 0
%   ==> c_1(s) = a e^-s ,  c_2(s) = b e^s ,   c_3(s) = c , 
%   und, anders parametrisiert, damit  c(t) = (at, -b/t, c)
%   Fuer c=ab (durch Anfangsbed.) ist dies eine Hoehenlinie auf dem Niveau f=0.
%   (sieht man natuerlich einfacher direkt aus f)
% F = (y,x,x^2+y^2) ,  |F| = sqrt( (1+x^2+y^2)(x^2+y^2) )
%   Wir normalisieren  F = (1, x/y, x^2/y +y) 
%   Dann loest  c_1(s) = t-a , c_2(s) = t-a , c_3(s) = 4(t-a)^2+b
%   also c(t) = (t,t,t^2+b)  liegt im Niveau  b
% B =  alpha/sqrt(x^2+y^2) (y,x,1) 
%                       + sqrt( 1-alpha^2(1+x^2+y^2)/(x^2+y^2) ) (-x,y,0)
%   Integration??

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Hopf-Kreise in ${\Bbb S}^3$}

Auf $\R 4$ operiert $\Bbb C$ durch Multiplikation, wenn wir $\R 4$ als
den $\Bbb C$-Vektorraum $\C 2$ auffassen.  
\ta 
Welche $4\times4$-Matrix stellt die Multiplikation mit~$i$ bez"uglich der
$\Bbb R$-Basis $e_1=(1,0)$, $e_2=(i,0)$, $e_3=(0,1)$, $e_4=(0,i)$ dar?
% ${{\rm Rot}(90) \; \quad 0 \quad \choose \quad 0 \quad\; {\rm Rot}(90)}$, 
% wobei  Rot$(90)$ die Blockmatrix ${0 \;\; -1 \choose 1 \quad 0}$ ist.

\aufgtab
Wir schreiben ${\Bbb S}^1={\Bbb R}$ mod $2\pi$ und betrachten 
${\Bbb S}^3$ mit der inneren Metrik.
\ta 
Zeigen Sie, da"s ${\Bbb S}^1$ durch die {\it Hopf-Operation} 
$\varphi*p := e^{i\varphi}p = p\cos \varphi + (ip) \sin \varphi$ isometrisch
auf\ ${\Bbb S}^3$ operiert.  
Ihre Bahnen sind die {\it Hopf-Kreise} (oder {\it -Fasern}) in ${\Bbb S}^3$.
Wie operiert $\varphi=\pi/2\in{\Bbb S}^1$?  
% Operation klar wegen e^{i(t+s)} = e^it e^is
% isometrisch, da Aktion durch SO(4)-Matrix  (Rot(t), 0 // 0, Rot(t)) gegeben
% pi/2-Aktion ist Multiplikation mit i wie oben

\ta
Betrachten Sie ein $q\in {\Bbb S}^3$, das als $\R 4$-Vektor senkrecht 
auf $p,ip\in{\Bbb S}^3$ steht.  Geben Sie alle solchen $q$ an.
Zeigen Sie, da"s jeder Gro"skreis $c(s)=p\cos s+q\sin s$
von den Hopf-Kreisen $\varphi* c(s)=e^{i\varphi}\c(s)$ senkrecht 
geschnitten wird (in wievielen Punkten?).  
% q und iq ergaenzen p und ip zu einer ONB.  
%   Wegen der Isometrie der pi/2-Aktion gilt
%            q senkrecht p  ==>  iq senkrecht ip  
%       und  q    "      ip ==>  iq     "     -p 
%   Daher ist iq auch senkrecht zu (p,ip) und natuerlich ist es senkrecht zu q.
% Es gibt eine S^1 von solchen q's, gamma(psi) = q cos(psi) + iq sin(psi)
% d/dt[e^it c] = cos s ip + sin s iq  ist senkrecht auf  p,q  und damit auf c .
% Zwei Grosskreise, die sich schneiden, schneiden sich in 2 Antipodenpunkten.

\ta 
Verl"auft $c:I\to{\Bbb S}^3$ senkrecht zu den Hopf-Kreisen, so ist
die L"ange von $c$ gleich der L"ange von $\varphi*c$ im Bahnenraum
(mit innerer Metrik).
% Sicher ist die L"ange von  phi*c  hoechstens kleiner.
% Andererseits werden lokal immer zwei Mengen durch 
% rechtwinklig auftreffende Kurven am k"urzesten verbunden 
% (1. Variation), so dass f"ur gen"ugend nahe St"utzstellen die L"angen 
% "ubereinstimmen

\ta
Folgern Sie aus c) und d), da"s  
zwei Hopf-Kreise h"ochstens $\pi/2$ voneinander entfernt sind und es zu 
jedem Hopf-Kreis genau einen im Abstand $\pi/2$ gibt.
% Weil gamma die Bahnen senkrecht trifft, wird die Metrik im Orbitraum
%   durch gamma gegeben. 
% Der Abstand zwischen zwei Orbits  phi * gamma(0)  und  phi * gamma(s)  
%   ist damit hoechstens der Abstand von  gamma(0)  zu  
%   gamma(s) oder gamma(pi+s), also  min(s,pi-s) \le pi/2 .

\ta
Beschreiben Sie die Menge der Hopf-Kreise, die von einem gegebenen Hopf-Kreis
den Abstand $r\in(0,\pi/2]$ haben, als stetige Kurve.  Bestimmen Sie den
Umfang dieses Abstandskreises.  Wie k"onnen Sie also die Menge der Bahnen
als eine 2-Sph"are auffassen?  (Wenn die 2-Sph"are die Bahnen isometrisch
repr"asentiert, welchen Radius hat sie?)  Daher spricht man
"ublicherweise von 
der {\it Hopf-Faserung} "uber ${\Bbb S}^2$ mit Fasern~${\Bbb S}^1$.
%
% Der gegebene Hopf-Kreis enthalte p,ip.  Dann stellen wir die Vereinigung
% aller gamma's durch  p  als eine S^2 mit Polarkoordinaten dar:
% s(r,phi)= p cos(r) + sin(r) (q cos(phi) + iq sin(phi))
% Der ganze Aequator  s(pi/2,phi)  (mit phi in S^1)  liegt auf ein und 
% demselben Orbit; trifft ein Orbit  s(pi/2+rho,phi)  f"ur ein  0<rho\le pi/2 ,
% so trifft er auch den Antipodenpunkt  -s(pi/2+rho,phi) = s(pi/2-rho,-phi) .  
% Ein Kreis mit Radius  r  in dieser S^2 repraesentiert also die Bahnen 
% im Abstand  r .  Auf S^2 hat solch ein Kreis die Laenge  2 pi sin r .
% Weil die Orbits die S^2 mit Winkel  cos(r)  treffen (nachrechnen!), 
% so ist seine L"ange im Bahnenraum gegeben durch
% 2 pi sin r cos r = pi sin 2r .
% Dies ist aber genau die Laenge eines Kreises auf einer 2-Sphaere
% mit Radius 1/2.  Die also repr"asentiert den Bahnenraum sogar metrisch
% korrekt.

\eject 

\baselineskip=15 true pt 
\def\Titel{Differentialgeometrie I}    % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{28. November 1996}          % Aktuelles Datum
\def\Datum{29. November 2000}           % Aktuelles Datum
\def\Blatt{7}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren
\Machtitel
\Aufgabeno=22                          % Nummer der vorhergenden Aufgabe
\rm

\vskip-4mm

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Stereographische Projektion}

Wir definieren zwei Abbildungen 
${\rm St}_{\pm}: \R n \to {\Bbb S}^n - \{(0,\pm 1)\} \subset \R {n+1}$ durch 
$x\mapsto (f(x)x,\,\pm(f(x)-1))$ f"ur $f(x):=2/(1+|x|^2)$.
Die Umkehrabbildung ${{\rm St}_{\pm}}^{-1}$ projiziert
${\Bbb S}^n\pm(0,1)\subset\R {n+1}$ von einem Pol nach
$\R n = \R n\times \{0\}\subset \R {n+1}$.

\ta
Bestimmen Sie den {\it Kartenwechsel}
${{\rm St}_-}^{-1} \circ {\rm St}_+: \R n-0 \to \R n - 0$.

\ta
Es sei $x(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\R n$.  Wir schreiben
$T{\rm St}_+ \dot x(t)$ f"ur ${d \over dt}({\rm St}_+ \circ x(t))$.
Bestimmen Sie $\lambda(x)$ in 
$\langle T {\rm St}_+ \dot x(t), 
		       T {\rm St}_- \dot x(t) \rangle_{\R {n+1}}
 = \lambda(x(t)) \langle  \dot x(t), \dot x(t) \rangle_{\R {n}}          $.
Folgern Sie die Winkeltreue von ${\rm St}_+$.
%
% Mit der Parallelogrammgleichung folgt die Winkeltreue.


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{$\O(n)$ und Satz "uber implizite Funktionen}

\ta
Zun"achst beweisen wir einen Hilfssatz. 
Wir bezeichnen die Endomorphismen des $\R n$ mit End, die 
symmetrischen Endomorphismen mit Sym und die schiefsymmetrischen mit Skew.
F"ur $X,Y\in \rm End$ definieren wir
$\langle X,Y\rangle := {\rm Spur}(X^t Y) = 
	       \sum_{i=1}^n \langle X e_i, Y e_i \rangle$,
wobei $e_i$ f"ur eine Orthonormalbasis des $\R n$ steht.
Zeigen Sie, da"s $\langle.,.\rangle$ ein Skalarprodukt ist, und
$\rm End = Sym \oplus Skew$ eine orthonormale 
Zerlegung darstellt; welche Dimensionen haben die Summanden?
%
% Skalarprodukt:
%   <X,Y> = x^ij y^ij = <Y,X> (Summenkonvention),  
%   entweder <X,X> = |x^ij|^2 > 0 oder X=0
%   Linearitaet klar.
% X in Sym <==> x^ij = x^ji,  Y in Skew <==> y^ij = -y^ji
%   ==> <X,Y> = x^ij y^ij = -x^ji y^ji = -<X,Y>  und daher gleich 0
% n^2 = n(n+1)/2 + n(n-1)/2
% 
\aufgtab
Durch $F(A):=A^t A$ wird eine Abbildung 
$F: {\rm End} \to {\rm Sym}$ definiert.
\ta
${\rm Kern}(T F |_{\rm id}) = {\rm Skew}$ und
${\rm Bild}(T F |_{\rm id}) = {\rm Sym}$.
%
% DF(A)|_id = d/dt (F(id+tA)) |_{t=0} = d/dt ((1+tA)^t (1+tA))|_{t=0}
%           = A^t + A

\ta
Aus welchen Endomorphismen besteht die Niveaumenge $F^{-1}({\rm id})$?
Wir m"ochten Teil~b) auf diese Menge ausdehnen. 
Schreiben Sie dazu durch $U\in F^{-1}({\rm id})$ eine 
differenzierbare Kurve der Form $UX(t)\in \rm End$ mit $X(0)={\rm id}$ und 
$X(t)\in {\rm End}$ vor; folgern Sie 
${\rm rang}(T F) = {\rm dim}({\rm Sym})$ l"angs $F^{-1}(\rm id)$.
%
% F^{-1}(id) = {A^t A = id} = O(n) 
% DF(X')|_U = d/dt ((UX)^t (UX))|_{t=0} =  d/dt (X^t X)
%           =  DF(X')|_id
% Jede Kurve  U(t)  mit  U(0) \in O(n)  laesst sich 
%   mit  X(t): = U(0)^-1 U(t)  als  U(0)X(t)  schreiben.   
%   Daher folgt das Ergebnis aus Teil a).

\ta
Benutzen Sie den Satz "uber implizite Funktionen, um lokal die
Niveaumenge $F^{-1}({\rm id})\subset {\rm End}$
differenzierbar zu parametrisieren.  Verwenden Sie dabei den Hilfs\-satz.
(Vielleicht hilft es Ihnen, zun"achst alles in $\R {n^2}$ zu betrachten?)
% 
% 
% Da  Kern dF = Skew  hat  dF vollen Rang auf der Menge  Sym .
% Also koennen wir  F^-1(id) = O(n) als Funktion von Skew schreiben
% d.h. O(n) = {f(Skew)} f"ur ein f: Skew --> Sym 
% Hierzu koennen wir den Satz ueber implizite Funktionen in
%   End=R^{n^2} verwenden, wobei wir, gemaess der Zerlegung des Hilfssatzes,
%   y fuer die ersten n(n+1)/2 Koordinaten aus Sym schreiben, und x fuer die 
%   letzten n(n-1)/2 aus Skew.  Natuerlich ist  F: R^{n^2} --> R^{n^2}  
%   stetig diff.bar, und nach dem letzten Teil ist dF/dy invertierbar auf der 
%   Menge  F = id .   Es gibt also eine  Funktion f(x) mit  F(f(x),x) = id  
%   in der Umgebung jedes Punktes aus {F=id}.
% 

% In der Uebung vielleicht auf folgendes hinweisen:
% 1. das Skalarprodukt auf End(n) erhaelt man durch Identifizieren von
%    End(n) mit R^{n^2}, wenn man in R^{n^2} das Standard-Skalarprodukt nimmt.
% 2. Der Satz fuer implizite Funktionen braucht normierte Raeume 
%    (Beweis ist Banachscher Fixpunktsatz).
% 3. Im letzten Teil zeigt man in spaeterer Sprechweise
%    dass O(n) = F^-1(id) diff.bare Untermannigfaltigkeit von End ist.
%    Wenn Zeit ist, kann man auch auf die Kompaktheit von O(n) in End 
%    hinweisen (Abgeschlossenheit klar durch Aufgabe, Beschraenktheit
%    z.B. in Norm  sqrt(Spur(U^t U)) = sqrt n  klar oder durch
%    Operatornorm ||U||=|U(x)|/|x| = 1 ).  Schliesslich auch auf
%    die Tatsache, dass O(n) zwei Zusammenhangskomponenten hat,
%    SO(n) und O(n)-SO(n) (beachte: det ist stetige Funktion).

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{L"angentreue der Veroneseabbildung}

Die Isometriegruppe $G=\{$id,$-$id$\}$ von ${\Bbb S}^n$ ergibt als
Bahnenraum den $n$-dimensionalen {\it projektiven Raum} ${\Bbb R}P^n$.  Er
besteht aus der Menge von Antipodenpunkten der Sph"are, oder aus den
eindimensionalen Untervektorr"aumen des $\R {n+1}$.  Durch 
$p_x\in {\rm Sym}(n+1)$, $p_x(v):=\langle v, x \rangle x$ wird auf den durch
$x\in{\Bbb S}^n$ aufgespannten Unterraum projiziert.

\ta
Die Abbildung $V: {\Bbb R}P^n\to{\rm Sym}(n+1)$,
$[x]\mapsto p_x$ ist wohldefiniert und injektiv. 
%
% p_x  wohldef. da  p_-x = p_x
% p_x  injektiv:  [x]\not=[y] ==> Bild von p_x und p_y verschieden
%                             ==> verschieden als Endomorphismen
% p_x \in Sym: Matrix ist a^ij = x^i x^j

\ta
F"ur jedes $U\in\O(n+1)$ gilt $p_{Ux}=U\circ p_x \circ U^{-1}$,
und die Abbildung $S\mapsto \tilde U(S):=U\circ S\circ U^{-1}$ von
Sym$(n+1)$ in sich selbst ist eine Isometrie bez"uglich des Skalarprodukts
$\langle A,B \rangle_{\rm End} =$ Spur$(A^t B)$.  
%
% p_Ux(v) = <v,Ux> Ux = <U^-1 v,x> Ux = U o p_x o U^-1(v)
% Isometrie: <tilde U S, tilde U T> = Spur ( (U S U^-1)^t (U T U^-1) )
%            = Spur ( U S^t U^t U T U^-1 ) = Spur ( U S^t T U^-1 )
%            = Spur ( S^t T ) = < S , T >
Daher gibt es zu jeder Isometrie $U\in\O(n+1)$ von ${\Bbb R}P^n$ 
eine Isometrie $\tilde U$ von Sym$(n+1)$ mit $V[U(x)]=\tilde U(V[x])$.

\ta 
Es sei $x(t)$ eine $C^1$-Kurve in ${\Bbb S}^n$.  Berechnen Sie
$D V \dot x(t)$, und zeigen Sie, da"s
$V$ eine Einbettung ${\Bbb R}P^n\hookrightarrow{\rm Sym}(n+1)$ ist, 
die bis auf eine Konstante l"angentreu ist, 
d.h.~$\langle {d \over dt}p_x, {d \over dt}p_x \rangle_{\rm End} 
  = {\rm const} \langle \dot x, \dot x \rangle_{\R {n+1}}$.
Sie hei"st {\it Veronese-Einbettung}.  Nach dem vorigen Teil 
wird jede Isometrie von ${\Bbb R}P^n$ auf der Einbettung durch eine 
Isometrie des umgebenden Raums Sym$(n+1)$ realisiert.
% 
% d/dt a^ij = x'^i x^y + x^i x'^j
% ==>  < d/dt p_x, d/dt p_x > = 2 |x'|^2 |x|^2 + <x,x'>^2
%                             = 2 |x'|^2
% Beachte: laengentreu & injektiv ==> Isometrie (im Sinne der
%   der inneren Metrik!)

\ta
Statt nach Sym$(n+1)$ wollen wir nun nach $\R {(n+1)(n+2)/2-1}$ einbetten.  
Aus ${\rm Sym}(n+1)\to\R {(n+1)(n+2)/2}$ 
gewinnt man f"ur das Beispiel des ${\Bbb R}P^2$ zun"achst eine l"angentreue
Abbildung $(x,y,z)\mapsto(x^2/\sqrt 2,y^2/\sqrt 2,z^2/\sqrt 2\, ,yz,xz,xy)$
in die Sph"are ${\Bbb S}^5(1/\sqrt 2)$ vom Radius $1/\sqrt 2$.
Das Bild liegt sogar in einer Hyperebene des $\R 6$,
so da"s es eine isometrische Einbettung 
${\Bbb R}P^2 \hookrightarrow {\Bbb S}^4(1/\sqrt 3)\subset\R 5$ gibt,
f"ur die alle Isometrien von ${\Bbb R}P^2$ durch $\O(5)$ repr"asentiert 
werden.  K"onnen Sie die Zwischenschritte angeben?
%
% Matrix von p_x ist  x^i x^j
% Wir fassen die Matrix als Element von R^{n^2} auf, das zu tun ist isometrisch
%   bezueglich des Standardskalarprodukts.
%   Wir hatten gezeigt, dass  <.,.>_End * 1/2  ein Skalarprodukt ist,
%   das  V  isometrisch macht.  Dies beides zusammen gibt (fuer n=2):
%   (x,y,z)-->(x^2,y^2,z^2,xy,xy,yz,yz,yz,yz)/sqrt 2
%   ist isometrisch von RP^2 nach R^9.
% Den gleichen Wert f"ur das R^6 Skalarprodukt erhaelt man durch
%   (x,y,z)-->(x^2,y^2,z^2,sqrt 2 xy,sqrt 2 xz, sqrt 2 yz)/sqrt 2
%   und dies gibt also die isometrische Einbettung in den R^6!
%
% Zunaechst hat das Bild von (x,y,z) den Betrag
%   sqrt( x^4 /2 + y^4 /2 + z^4 /2 + x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 ) 
%      = sqrt(1/2 (x^2 + y^2 + z^2)^2 ) = 1/sqrt 2
%   und liegt daher in S^5_1/sqrt 2.
% Die Summe der ersten drei Komponenten ist konstant,
%   ( x^2 + y^2 + z^2 )/2 = 1/sqrt 2 .
%   Diese Hyperebene schneidet die Sphaere S^5(1/sqrt 2) in einer S^4
%   Was ist ihr Radius?  
%   Betrachte das gleichseitige ebene Dreieck p_1=(1/sqrt 2,0,0,0,0,0), 
%   p_2=(0,1/sqrt 2,0,0,0,0), p_3=(0,0,1/sqrt 2,0,0,0,0).
%   Der Mittelpunkt ist die Konvexkombination 
%   m= (p_1+p_2+p_3)/3 = (1/3sqrt2,1/3sqrt2,1/3sqrt2,0,0,0)
%   Damit ist der Radius als Abstand des Mittelpunktes von einer Ecke 
%   gegeben, also  |m-p_1|= 1/sqrt 3
%   (Ausserdem ist die Parallelverschiebung als (-|m|,-|m|,-|m|,0,0,0)
%    mit |m| = 1/sqrt 6 bestimmt)
% Die Einschr"ankung von Elementen von  O(6) , die die Hyperebene invariant
%   lassen, laesst sich darstellen als  O(5)  in der paralellen Ursprungsebene 
%   zu dieser Ebene, und Identitaet in der Normalenrichtung.  Nach 
%   Verschiebung in den Ursprung durch 
%   erhalten wir also jede Isometrie von  RP^2  druch ein
%   ein Element von  O(5)  realisiert.
%
% Alles geht genauso, um den  RP^n  nach  R^N  mit  N=(n+1)(n+2)/2-1  
%   isometrisch so einzubetten, dass alle Isometrien umgebende Isometrien sind.
%   Wieder liegt das Bild in der Sphaere S^{N-1}, diesmal ist
%   der Radius der Sphaere  sqrt( n/2(n+1) )

\eject


\def\Titel{Differentialgeometrie I}    % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{5. Dezember 1996}           % Aktuelles Datum
\def\Datum{6. Dezember 2000}           % Aktuelles Datum
\def\Blatt{8}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren
\Machtitel
\Aufgabeno=25                          % Nummer der vorhergehenden Aufgabe
\rm

\vskip-2mm

%-----------------------------------------------------------------------
\aufg{Geod"atische auf Rotationsfl"achen, {\rm wichtige Rechen\"ubung}}

Eine Kurve $u\mapsto(r,h)$ in $\Bbb R_+\times \Bbb R$, die nach Bogenl"ange
parametrisiert ist (es gilt also~$r'^2+h'^2=1$), definiert eine 
{\it Rotationsfl"ache} $f:{\Bbb R}\times [0,2\pi) \to \R 3$ durch
$f(u,\varphi)=(r(u)\cos \varphi,\,r(u)\sin \varphi,\, h(u))$.

\ta 
Warum sind die {\it Meridiane} $u\mapsto f(u,\varphi)$ geod"atische Linien?
% Weil c" aus Symmetriegr"unden keine Komponente in Richtung Rot(90)c' 
%   haben kann.  (Anders: wenn eine Geod"atische mit Startrichtung auf 
%   einem Meridian nicht darauf bliebe, dann w"are auch ihr Gespiegeltes
%   Geod"atische -- Widerspruch zur Eindeutigkeit.)

\ta 
Berechnen Sie die geod"atische Kr"ummung der {\it Breitenkreise}
$\varphi\mapsto f(u,\varphi)$.
%
% Der Breitenkreis c(t)=f(u,phi/r(u)) hat 
%   Geschwindigkeit (-sin phi, cos phi, 0), also |c'| = 1
% c" = (-cos phi, -sin phi, 0) /r 
% Die Tangentialkomponente erhalten wir als <c",f_u>f_u /|f_u|^2  .
%   <c",f_u> = -r'/r , |f_u|^2 = 1 
% Also ist                           ( - r'^2 /r * cos phi/r )
%             kappa = -r'/r * f_u =  ( - r'^2 /r * sin phi/r )
%                                    (      - r'h'/r         )
 
\ta
Es sei $c(t):=(u(t),\varphi(t))$ eine Kurve im Parametergebiet.
Berechnen Sie die Riemannsche Metrik 
$g({\dot u \choose \dot \varphi},
   {\dot u \choose \dot \varphi}  )$ und
$\Gamma({\dot u \choose \dot \varphi},
   {\dot u \choose \dot \varphi})$
(zur Erinnerung: $Tf\cdot\Gamma:=T^2\!f^{\,\rm tan}$).
%
% f_u = (r'cos phi, r' sin phi, h')
% ==> g(f_u,f_u) = r'^2 + h'^2 = 1
% f_phi = (-r sin phi, r cos phi, 0)
% ==> g(f_phi,f_phi) = r^2
% und g(f_u,f_phi) = 0
% Also g( ) = u'^2 + phi^2 r^2
%
% f_uu = (r" cos phi, r" sin phi, h")
% f_phi phi = (-r cos phi, -r sin phi, 0) 
% f_u phi = (-r' sin phi, r' cos phi, 0)
% 
% n = (h' cos phi, h' sin phi, -r')  hat  |n|=1
% Nun schreibe f_uu = Gamma_11^1 f_u + Gamma_11^2 f_v + c*n
% ojottojott

\ta
Der {\it vertikale Drehimpuls} einer nach Bogenl"ange parametrisierten 
Kurve $c(t)$ ist durch 
$I_3(t)=\langle f\circ c(t)\times {d \over dt} (f\circ c)(t)\,, 
		 \; (0,0,1) \rangle = r(c(t)) \cos \psi(t)$ 
gegeben ($\psi$ Schnittwinkel mit Breitenkreis).  
Zeigen Sie den {\it Satz von Clairaut}: $c$ ist Geod"atische
genau dann, wenn $I_3$ konstant ist.
Schneidet eine  Geod"atische also {\it einen} Breitenkreis mit einem bekannten
Winkel, so kennt man den Schnittwinkel f"ur {\it jeden} Breitenkreis.
%
% d/dt I_3 = < f o c  X  d^2/dt^2 ( f o c ) , (0,0,1) >  
% fuer Geod. ist  d^2/dt^2 (f o c)  senkrecht auf dem Tangentialraum
% ==> f  und  d^2/dt^2 f liegen in einer vertikalen Ebene
% ==> Kreuzprodukt horizontal ==> Skalarprodukt = 0
% Umkehrung genauso

\ta
Folgern Sie den {\it Sinussatz der sph"arischen Geometrie}
${\sin\alpha \over\sin a} = {\sin\beta \over \sin b} 
			  = {\sin\gamma \over \sin c}$
f"ur ein Dreieck in ${\Bbb S}^2$, dessen Winkel $\alpha,\beta,\gamma$
den Seiten mit L"ange $a,b,c$ gegen\-"uber\-liegen.
Legen Sie dazu eine Ecke des Dreiecks auf die Drehachse.
%
% Wir legen die gamma-Ecke auf die Achse
% der Abstand r der beta-Ecke zur Achse ist sin a, psi ist dort |90-beta|
%                   alpha                       b,              |90-alpha|
% Also  sin a cos|90-beta| = sin b cos|90-alpha|
%   ==>     sin a sin beta = sin b sin alpha 
%   (Betragsstriche belanglos fuer  alpha,beta in [0,180] )
% Durch zyklische Vertauschung ==> Beh.
% Beachte, dass der singulaere Punkt auf der Achse nicht betrachtet wird.

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Geod"atische in $\SO(n)$, {\rm Wiederholung}}

Wir definieren 
${\rm Exp}A:=\sum_{k=0}^{\infty}{1\over k!}A^k$ (dabei sei 
$A^0:={\rm id}$).

\ta
Die Reihe ${\rm Exp}A$ konvergiert f"ur jedes $A\in{\rm End}$,
so da"s ${\rm Exp}: {\rm End\to\End}$.
% Wenn a^ij < C/n  gilt, so ist  (A^k)^ij < n C^k.  Also
% (Exp A)^ij <  sum C^k/k! < e^C  ==> Kvgz.

\aufgtab
Wir definieren durch 
$c(t)={\rm Exp}\,tA:=\sum_{k=0}^{\infty}{1\over k!}(tA)^k$
eine Kurve $c:{\Bbb R}\to \End$.

\ta
Berechnen Sie $\dot c$, $\ddot c$, und zeigen Sie mit der
Differentialgleichung von $\dot c$ die Identit"at $c(s+t)=c(s)c(t)$.  
%
% c'(t) = sum d/dt t^k * A^k/k! = sum t^{k-1} * A^k/(k-1)! = c(t) A
% c" = (c A)' = c' A = c A^2 
%
% Additionstheorem
%   wegen c(0)=id gilt fuer t=0 die Identitaet c(s+t)=c(s)c(t) 
%   Differentialgleichungen fuer beide Seiten:
%   d/dt c(s+t) |_t = d/dT c(T) |_{s+t} = c(s+t) A ,
%   d/dt c(s)c(t) |_t = c(s) d/dt c(t) = c(s) c(t) A
%   Also erf"ullen f"ur alle t beide Seiten die gleiche gew. Diff.glg.
%   Die Diff.glg. erf"ullt Lipschitz-Bedingung und hat eindeutige Loesung
%   ==>  Identitaet
% Die Reihenmuliplikationsloesung ist auch in Ordnung:
%   c(s+t) = \sum_k (s+t)^kA^k/k!
%          = \sum_k [ \sum_{m+n=k} t^m s^n /m!n! ] A^k
%          = \sum_m (t)^m/m! A^m \sum_n t^n/n! A^n
%          = c(s)c(t)
%   Dabei den Binomialkoeffizienten-Satz benutzt
%

\ta
F"ur $A\in{\rm Skew}$ folgern Sie nun aus dem letzten Teil die folgenden
Behauptungen.\par
\tta Die Kurve $c(t)$ liegt in der Drehgruppe, ${\rm Exp}\,tA\in\SO(n)$, \par
\tta $|\dot c|$ ist konstant bez"uglich der Metrik 
     $\langle A,B \rangle = {\rm Spur}(A^t B)$, und \par
\tta {\it neu: } $c$ ist Geod"atische in $\SO(n)$, d.h. L\"osung der
Differentialgleichung.
%
% (i) id = c(0) = c(t)c(-t) = Exp tA Exp(-tA)
%       ==> Exp(A)^-1 = Exp(-A) = Exp(A^t) = (Exp A)^t
%       ==> Exp A * (Exp A)^{-1} = id  ==> Exp A \in O(n)
%     Also det(Exp A) = +-1 .  Aber c(s) ist stetig und daher ist auch
%     die Determinante stetig.  Wegen  det(c(0)) = det(id) = 1
%     liegt  Exp A  in  SO(n)
% (ii) c' = A c ==> |c'| = |Ac| = Spur (A c c^t A^t) = Spur (A A^t) = const
%     denn c^t = c^-1 f"ur SO(n)
% (iii) A\in Skew ==> A^2 \in Sym.  S\in SO(n)==> S\in Skew
%     nach Aufg. 24 ist Skew und Sym orthog. ==> A^2 ist senkrecht auf SO(n)
%     Also (c")^tan = 0  ==> Geod. 


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{${\Bbb S}^3$ als Gruppe von Einheitsquaternionen und $\SO(3)$, {\rm
Interpretations\"ubung}. }

Es gibt eine nicht-kommutative Multiplikation,
die $\R 4$ zum Schiefk"orper der {\it Quaternionen} $\Bbb H$ macht.
Es sei $\{1,i, j, k\}$ eine Basis des ${\Bbb R}$-Vektorraumes $\R 4$.  Die
Multiplikation wird durch die $\Bbb R$-lineare Fortsetzung der folgenden
Regeln erkl"art:  $1u=1$ f"ur $u\in\{1,i,j,k\}$, $i^2=j^2=k^2 =-1$, sowie
$ij=-ji=k$, $jk=-kj=i$, $ki=-ik=j$.  Analog zu ${\Bbb C}={\Bbb R}^2$
definieren wir auch eine Konjugation durch die $\Bbb R$-lineare Fortsetzung
von $\bar 1 = 1$ und $\bar u=-u$ f"ur $u\in\{i,j,k\}$. Schlie"slich setzen
wir ${\rm Re}\, x :=(x+\bar x)/2$ und ${\rm Im}\, x:=x-{\rm Re}\, x$;
wir identifizieren den Imagin"arteil ${\rm Im}\,{\Bbb H}=\R 3$.

\ta
Es gilt $\overline{xy}=\bar y \bar x$ und $x\bar x=\bar x x=|x|^2$,
wobei die Norm von demjenigen Skalarprodukt 
auf $\R 4$ induziert wird, das $\{1,i,j,k\}$ zu einer Orthonormalbasis macht.
% 
% Wegen der Linearitaet reicht es auf einer Basis nachzurechnen.  
%   Wenn x = 1, y = irgendwas ist die Behauptung klar, ebenso umgekehrt
%   Fuer  x = i, y = i  ist  bar(ii) = 1 = (-1)^2 = bar(i)bar(i)
%     ebenso fuer  j  und  k 
%   Fuer  x = i, y = j  ist  bar(ij) = -k = -ji = -(-j)(-i) = bar(i)bar(j)
%     ebenso auf jedem anderen verschiedenen Paar aus {i, j, k}
% 
% x bar x = bar(x bar x)  nach letztem Teil.
%   Also ist  Im( x bar x ) = 0
% Re (x bar x) = Re( (Re x + Im x) (Re x - Im x) )
%     = Re x Re x + <Im x, Im x>_R^3 
%     = < x , x >_R^4
% Dies ist natuerlich auch gleich  bar(x) x

\ta
Zeigen Sie $|xy|=|x||y|$ (Teil a) benutzen) und folgern Sie, da"s die 
{\it Einheitsquaternionen} ${\Bbb S}^3=\{x\in{\Bbb H} \mid |x|=1\} $
eine Gruppe bilden.  
% Anders als ${\Bbb S}^1\subset\Bbb C$ ist diese Gruppe nicht kommutativ.
% 
% |xy|^2 = xy bar(xy) = xy bar(y) bar(x) = x |y|^2 bar x = |y|^2 |x|^2
%   Wurzelziehen (Betraege sind >= 0)  ==> Behauptung
% Gruppe: das Inverse von x  ist  x^-1 = bar(x)/|x|^2  (definiert fuer x in S^3)
%   denn  x x^-1 = x bar(x) / |x|^2 = |x|^2 / |x|^2 = 1

\ta
Zu $x\in{\Bbb S}^3$ definieren wir $K_x:{\Bbb H}\to {\Bbb H}$ durch
$K_x(y):=x y x^{-1}$.  Zeigen Sie zun"achst, da"s 
$y^2=-|y|^2$ genau f"ur $y\in {\rm Im}\,{\Bbb H}$
(also $y={\rm Im}\,y$) gilt.  Folgern Sie 
$K_x({\rm Im}\,{\Bbb H})={\rm Im}\,{\Bbb H}$.
Warum ist $K_x$ eine Isometrie von ${\rm Im}\,\Bbb H=\R 3$?
%
% Wenn z=Im z ==> bar(z) = -z ==> -|z|^2 = - z bar(z) = -z (-z) = zz
%   Umgekehrt: wenn z \not= Im z  kriegen wir auch ungleich raus
% Damit folgt  (xyx^-1)^2 = x y^2 x^-1 = -|y|^2  in  R_-
%   und nach dem ersten Schritt liegt  xyx^-1  in  Im H
% Die Abbildung K_x ist linear, und normerhaltend: |xyx^-1| = |y|
%   also Isometrie (sogar Isometrie von ganz H=R^4)

\ta
Also wird durch $x\mapsto K_x$ eine stetige Abbildung von ${\Bbb S}^3$ 
nach $\O(3)$ gegeben.  Wieso liegt $K_x$ sogar in $\SO(3)$?  
Warum spannt ${\rm Im}\,x\in\R 3$ die Drehachse von $K_x$ auf 
(f"ur $x\not=\pm 1$)?
Wie gro"s ist der Drehwinkel (rechnen Sie nur $x=a+bi$, $y=j$ und 
argumentieren dann)?  Damit ist $\SO(3)$ hom"oomorph zu ${\Bbb R}P^3$.

% K_x  f"ur x reell (ungleich 0)  ist  x y x^-1 = y , also die Identitaet
%   Also hat  K_{+-1}  Determinante 1 .  Weiter ist  K_x  stetig in  x ,
%   und damit auch det(K_x) , aber weil K_x Isometrie ist, ist die Determinante
%   nur plusminus 1.  ==> also  det(K_x) = 1  ==> K_x in SO(3)
%   Stetigkeitsargument fuer det und
% Aus  0 = x bar(x) - bar(x) x = x (Re x - Im x) - (Re x - Im x) x
%        = - x (Im x) + (Im x) x
%   also  x Im x = (Im x) x  folgern wir  x (Im x) x^-1 = Im x
%   und damit ist  Im x  invariant unter  K_x  und damit Drehachse.
%   Beachte, dass nur f"ur x reell die Drehachse nicht definiert ist
%   aber auch nur f"ur x reell  K_x  die Identitaet ist.
% Der orientierte Winkel  theta in (-pi,pi)  erfuellt  tan(theta/2) = Im x/Re x
% fuer  Re x not= 0  und  theta=pi  falls  Re x = 0
%   Wir zeigen das zunaechst fuer eine Drehung um die i-Achse, 
%   also x = a + bi .  Es reicht, die Drehung senkrecht zur i-Achse 
%   auszuwerten, z.B. fuer  y=j
%   Wenn  a=0 , so ist  K_{bi}(j) = bij(bi)^-1 = -iji = -ki =  -j  
%   und daher der Drehwinkel = pi .
%   Sonst ist K_x(y) = (a+bi)j(a+bi)^-1 = (a+bi)j(a-bi)/(a^2+b^2)
%                    = ((a^2-b^2)j+2abk) / (a^2+b^2)
%   Also  tan(theta) = 2ab / (a^2-b^2) = 2ab / (1- (b/a)^2)
%   Den orientierten Winkel theta in (-pi,pi) muss man durch 
%   Fallunterscheidung definieren (dazu  sign(alpha*beta), sign(alpha^2-beta^2)
%   angucken ).  Die Fallunterscheidung entfaellt, wenn man vereinfacht
%   tan(theta/2) = b/a ,   wie behauptet.  Ich hoffe das stimmt so.
%   Fuer den allgemeinen Fall betrachten wir K_{zxz^-1} = K_z K_x (K_z)^-1 .
%   Diese Drehung hat also offenbar den selben Winkel wie K_x.
%   Tatsaechlich gibt es ein z mit zxz^-1 = i, denn zxz^-1  ist ja
%   eine (transitive) Drehung auf S^2.  Durch Skalieren
%   von x aendert sich weiter nichts, so dass dies der allgemeine Fall ist.
% Offenbar f"uhren nur Antipodenpunkte von S^3 zur selben Drehung
%   (Beachte, dass die selbe Drehung wie folgt beschrieben wird:
%   Drehung um Achse durch x mit orentiertem Winkel theta
%   =                     -x                       -theta)  
%   und nur f"ur Antipodenpunkte kriegen wir entsprechend gleiche 
%   Winkel & Achse raus.
%   Daher is SO(3) = S^3 / +- id = P^2 R

% In der Uebung vielleicht darauf hinweisen, dass eine Parametrisierung
% von SO(3) nicht trivial ist - die Eulerwinkel sind ein anderer Weg
% (und ergeben relativ komplizierte Kompositionsregeln).
% Schoen waere es auch auf die topologischen Konsequenzen hinzuweisen,
% insbesondere das Bild auf der Rueckseite zu erkl"aren.
% Schliesslich sagen, dass man all dies als Gruppenisomorphismen
% auffassen kann.

%-----------------------------------------------------------------------

\eject


\def\Titel{Differentialgeometrie I}    % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{12. Dezember 1996}           % Aktuelles Datum
\def\Datum{13. Dezember 2000}           % Aktuelles Datum
\def\Blatt{9}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren
\Machtitel
\Aufgabeno=28                          % Nummer der vorhergehenden Aufgabe
\rm

\vskip+4mm

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Riemannsche Metrik einer Fl"ache in Gau"sscher Form}

% $F:U\to\R 3$ eine Fl"ache, deren 
Eine Riemannsche Metrik $g$ sei auf $U\subset\R 2$ 
in {\it Gau"sscher Form} 
$$ g_{(u,v)}({X_1 \choose X_2},\, {Y_1 \choose Y_2})
  = X_1 Y_1 + G^2(u,v) X_2 Y_2 $$
gegeben; dabei sei $G: U \to \Bbb R_+$ stetig differenzierbar.
Wie wir sp"ater noch sehen werden, l"a"st sich jede Metrik auf hinreichend 
kleinen Fl"achenst"ucken in Gau"ssche Form bringen.

\ta 
Rechnen Sie mit 
$2g(\Gamma(X,Y), Z) = -(T_Z g)(X,Y) + (T_X g)(Y,Z) + (T_Y g)(Z,X)$ 
die Christoffelabbildung $\Gamma(X,Y)$ aus. 
%
% Wir benutzen wieder
% 2g(\Gamma(X,Y), Z) = -(D_Z g)(X,Y) + (D_X g)(Y,Z) + (D_Y g)(Z,X)
% zunaechst: (D_Z g)(X,Y) = Z^1 2 G G_u X^2 Y^2 + Z^2 2 G G_v X^2 Y^2
%                         = 2 G  grad G*Z  X^2 Y^2 
% mit * dem Standard Skalarprodukt, ^1, ^2 Indices bei X,Y,Z,
% und grad G = (G_u, G_v).  DAmit
% -(D_Z g)(X,Y) + (D_X g)(Y,Z) + (D_Y g)(Z,X)
%   = - 2 G grad G*Z X^2 Y^2 + 2 G grad G*X Y^2 Z^2 + 2 G grad G*Y X^2 Z^2
%   = - Z *grad G 2 G X^2 Y^2 + Z^2 ( grad G*(X Y^2 + Y X^2) )
% Also 
% Gamma(X,Y) =  
%                (               - G_u G X^2 Y^2                  )
%                ( G_u (X^1 Y^2 + Y^1 X^2) / G + G_v X^2 Y^2 / G  )

\ta
Die $u$-Parameterlinien $u\mapsto(u,{\rm const})$ sind geod"atisch.
%
% Geodaetische: c"+Gamma(c',c')=0  fuer c'  mit c'^2 = 0, c'^1 = v
% Gamma(c',c') = 0 , denn alle Terme enthalten c'^2 ==> ok

\ta
Was ist die geod"atische Kr"ummung der $v$-Linien?  
\Kommentar{Hinweis.}{Es ist leichter, ein Einheitsnormalenfeld $n\perp \dot c$
zu bestimmen als die Para\-meterlinien nach Bogenl"ange umzuparametrisieren.}
%
% Zur v-Linie (const,v) mit normalisiertem Tangentialvektor (0,1/G)
%   ist (1,0) ein senkrechtes Normalenfeld 
% Gamma ( (0,1/G), (1,0) ) = ( 0 , G_u / G^2 )
% Also ist  D_c' n = partial_c' n + Gamma(c', n)  = 0 + (0, G_u/G^2)
% Nach Def. ist  kappa = g(D/dt c', n)  (mit  n = Rot(90)c'  Konormale)
% Wegen  <c', n> = 0  ==>  kappa = g(D/dt c', n) = -g(c',D/dt n)  
%   und  g(D/dt n,n) = 0 .   Daher  D/dt n = - kappa c' .  Es folgt
%   (0, G_u/G^2) = G_u/G * (0, 1/G)  ==>   kappa = -G_u/G
% (In  D/dt Rot(90)c' = - kappa c'  braucht man  c'  nicht zu normalisieren)


%-----------------------------------------------------------------------
\aufg{Geod"atische auf dem Rotationstorus}

Gegeben sei eine Drehfl"ache
$F(u,\varphi)=\big(r(u)\cos \varphi, r(u)\sin \varphi, h(u)\big)$
mit $r'^2+h'^2 = 1$ und $r>0$.  Weiter sei $c(t)=(u(t),\varphi(t))$ 
eine nach Bogenl"ange parametrisierte Geod"atische 
in dieser Fl"ache mit $r'(u(0))<0$ und $r(u(0))\cos\psi(0)=\lambda>0$.
Wir nehmen an, da"s die Menge $\{u>u(0)\mid r(u)=\lambda \}$ nicht leer ist,
und bezeichnen mit $m$ ihr Minimum. Der entsprechende Breitenkreis 
sei $F\circ b$ mit $b:\varphi\mapsto(m,\varphi)$. 

\ta
Zeigen Sie unter Benutzung des Satzes von Clairaut, da"s
$F\circ c$ dem Breitenkreis $F\circ b$ beliebig nahe kommt.
%
% Achtung; es reicht nicht zu zeigen, dass jeder Breitenkreis, den
% die Geod"atische zwischen u(0) und b schneidet, auch transversal 
% geschnitten wird (warum?).
% 
% F"ur kleine epsilon gibt es eine Umgebung von b, so da"s jeder 
%   Breitenkreis zwischen u(0) und b, der ausserhalb der Umgebung liegt,
%   Radius > lambda+epsilon  hat.  
% Wenn aber r > lambda+epsilon , so ist nach dem Satz von Clairaut  
%   cos psi < lambda/(lambda+epsilon) und damit  psi  von  0  weg beschraenkt.
%   (Wegen r > 0  ist  psi  natuerlich auch von 90 Grad weg beschraenkt)
% Daher ist fuer alle Breitenkreise aus obiger Menge
%   die Meridiankomponente der Geschwindigkeit, c'_u = sin psi  von null weg 
%   beschraenkt.  Jeder der Breitenkreise wird also in
%   endlicher Zeit geschnitten, und die Umgebung von  c  tatsaechlich erreicht. 
%   Die Zeit ist durch die Laenge der Kurve  (r(u),h(u))  zwischen  0
%   und m, also  m-u(0) , sowie durch  epsilon  abschaetzbar.
% 

\ta
Falls $b$ geod"atisch ist, schneiden sich $F\circ c$ und $F\circ b$ nicht, so
da"s $F\circ c$ asymptotisch zum geod"atischen Breitenkreis $F\circ b$ wird.
Welche Eigenschaft hat der Radius eines solchen geod"atischen Breitenkreises?
%
% Geod"atische sind Lsgn. gew. Dgln. und daher eindeutig zu gegebenen
%   Anfangsdaten (c,c').  Deshalb k"onnen sich zwei Geod"atische sich nicht 
%   tangential ber"uhren.  
%   Wegen  psi = 0  auf  b  ist der Schnitt nicht transversal.  
%   Also schneiden sich  b  und  c  gar nicht.
% r' = 0 ; in der betrachteten Situation ist r(u)  ein einseitiges
%   Minimum (also kann es Sattel oder Minimum sein)

\ta
Diskutieren Sie nun die Geod"atischen auf dem Rotationstorus mit
$r(u) = R+\rho\cos u$, $h(u)=\rho\sin u$ f"ur  $R>\rho>0$.
Zeigen Sie, da"s genau die drei auf der R"uckseite von Blatt~8 
angegebenen F"alle vorkommen.
%
% Es kann sein
% (i) m > R-rho : dann oszilliert offenbar eine Geod. um den
%     aeusseren Breitenkreis
% (ii) m = R-rho : dann wird die Geodaetische asymptotisch an den
%      inneren Breitenkreis, und zwar in beiden Richtungen. 
%      psi > 0 fuer alle Zeiten
% (iii) m < R-rho : dann bleibt psi positiv f"ur alle Zeiten
%       und von 0 weg beschraenkt ==> die Geod"atische laeuft um.

\ta
Geben Sie eine Rotationsfl"ache an, f"ur die eine Geod"atische 
asymptotisch zu zwei verschiedenen Breitenkreisen wird (vorw\"arts und
r\"uckw\"arts).
%
% Der Fall tritt ein f"ur zwei disjunkte (geod"atische) Breitenkreise
%   von minimalem Radius,
%   z.B. fuer eine vom Graphen von  2+sin x erzeugte Rotationsflaeche.


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Konform "aquivalente Metriken und harmonische Funktionen}

Zwei Riemannsche Metriken $g,h$ auf einem Gebiet $U\subset\R n$ hei"sen 
{\it konform "aquivalent}, wenn eine Funktion $\lambda:U\to\Bbb R_+$ existiert 
mit $g_p(X,Y)=\lambda^2(p)h_p(X,Y)$.  

\ta
An jeder Stelle $p\in U$ stimmen die f\"ur die beiden Skalarprodukte
$g|_p$ und $h|_p$ definierten Begriffe {\it Winkel, symmetrischer 
(bzw. schiefsymmetrischer) Endomorphismus} "uberein; Eigenwerte dagegen
\"andern sich, wie?
%
% cos {Winkel_g}(X,Y) = g(X,Y)/sqrt(g(X,X))sqrt(g(Y,Y)) 
%                   = f h(X,Y)/sqrt(g~(X,X))sqrt(g~(Y,Y))
%                   = {Winkel_g~}(X,Y)

\aufgtab
Im folgenden sei $h=\langle\;,\;\rangle$ die Standardmetrik 
des $\R n$ und $g$ dazu konform "aquivalent.

\ta
Berechnen Sie ${\rm grad}_g f$ aus ${\rm grad}_h f$.  Verifizieren Sie, da"s 
die Christoffelabbildung f"ur $g$ gegeben ist durch:
$\lambda\, \Gamma(X,Y) 
  = T_X \lambda\; Y + T_Y \lambda \; X 
     - \langle X,Y\rangle \grad_{\langle,\rangle} \lambda\,$.
Finden Sie die Formel f"ur die Spur der Christoffelabbildung,
${\rm Spur}\,\Gamma(X,.)
       =\sum_i  g(\Gamma(X, e_i), e_i)$, wobei 
$e_i$ eine Orthonormalbasis (besser f\"ur $ g$ oder f\"ur $h$?) durchl"auft.
%
% Die folgenden Bezeichnungen sind leider genau umgekehrt:
%   Tilden werden fuer g verwendet, keine Tilden fuer < , >
% Ich verwende die Notation  partial_X f  = X(f), und schreibe g( , )=< , >.
% Die R^n Christoffelsymbole verschwinden.  Also  D_X Y = partial_X Y,
%   und damit  (D_X g) (Y,Z) = 2 lambda X(lambda) <Y,Z>
% ALso 2<~Gamma~(X,Y),Z>~ 
%     = 2 lambda ( -Z(lambda)<X,Y> + X(lambda)<Y,Z> + Y(lambda)<X,Z> )
%     = 2 lambda ( -<grad lambda, Z> <X,Y> + <X(lambda)Y+Y(lambda)X, Z>)
%     = 2/lambda ( -<~grad lambda, Z>~ <X,Y> + <~X(lambda)Y+Y(lambda)X, Z>~)
% ==>
% Gamma~(X,Y) = 1/(lambda) * { X(lambda)Y + Y(lambda) X - <X,Y> grad lambda } 
%
% Mit Summenkonvention:
% Spur <~ Gamma~(. ,X) , . >~
%     = <~ 1/lambda{X(lambda)e~_i + e~_i(lambda)X - <X,e~_i>grad lambda},e~_i>~
%     = 1/lambda X(lambda) n 
%            + <~ e~_i(lambda) X, e~_i>~ - <X,e~_i><~grad lambda, e~_i>~
% Aber die letzten beiden Terme sind gleich, denn im ersten ist
%   e~_i(lambda) = <~ grad~ lambda, e~_i >~
% und wegen  grad~ f = 1/lambda^2 grad f  ist der zweite
%   <X,e~_i><~grad lambda, e~_i>~
%     = <~ X, e~_i >~ <~1/lambda^2 grad lambda, e~_i>~
%     = <~ X, e~_i >~ <~ grad~ lambda, e~_i>~
% Also  
% Spur <~ Gamma~(. ,X) , . >~  = n/lambda X(lambda)  
%                              = n/lambda <X,grad lambda>

\ta
Es sei $n=2$; die (positive) $90^\circ$-Drehung k\"urzen wir zur Erinnerung
an die Multi\-plikation mit $i\in\C{}$ ab mit $J$. Eine Funktion $f:U\subset\R{2}
\to\R{}$ hei\ss t {\it $g$-harmonisch}, falls die Ableitung
$TV$ des Vektorfeldes $V:=J\cdot \grad_g f$ an jeder Stelle $p\in U$ \break
$g$-symmetrisch ist. 
Zeige: F\"ur $g=h$ gilt $\Delta f=\hbox{Spur }T\grad f =0$, und: Die Definition
``$f$ ist $g$-harmonisch''
sagt f\"ur alle zu $h$ konformen Metriken $g=\lambda^2\cdot h $ dasselbe.

%% Mit dem letzten Teil k"onnen Sie nun den Laplace-Beltrami-Operator 
%% $\Delta_g f={\rm Spur}\, \nabla^2 f
%% 	        = {\rm Spur}(\nabla\,\grad_g f)$ angeben.
%% Warum bleiben in Dimension 2 harmonische 
%% Funktionen~$f:~U\to\Bbb R$ (also $\Delta_{\langle,\rangle} f =0$) 
%% auch harmonisch f"ur den Laplace-Beltrami-Operator einer zur Ebene 
%% konform "aquivalenten Metrik ($\Delta_g f = 0$)?
%
% Wegen grad~f = 1/lambda^2 grad f
% Spur D~ grad~f = Spur( partial grad~ f + Gamma~(grad~f, .) )
%                = Spur( partial (1/lambda^2 grad f)) + Spur(Gamma~(grad~f, .))
%                = 1/lambda^2 Delta f + <~e~_i, grad f e~_i(1/lambda^2) >~
%                                         + n/lambda <grad~f, grad lambda>
% aber <~e~_i, grad f e~_i(1/lambda^2) >~
%                = < e_i, grad f e_i(1/lambda^2) >
%                = < e_i, grad f (-2)/lambda^3 e_i(lambda) >
%                = -2/lambda^3 <grad f, grad lambda>
% und dies stimmt fuer n=2 mit minus  n/lambda <grad~f, grad lambda>  ueberein.
%_______________________________________________________________________________
%
% Alternativ: die Divergenz in der Schlange-Metrik:
% Wenn e_i eine ONB fuer <,> ist, dann ist e~_i:=e_i/sqrt(phi) ONB  fuer <~,>~ 
%    div~ Z = <~ e~_i, D~_{e~_i}Z >~ 
%           = <~ e~_i, Z(e~_i) >~ + <~ e~_i, Gamma~(e~_i,Z) >~
%           = < e_i, Z(e_i) > + < e_i, Gamma~(e_i,Z) >     (Linearitaet)
%           = div Z + <e_i, 1/2phi (e_i(phi)Z+Z(phi)e_i-<Z,e_i>grad phi) >
%           = div Z + 1/2phi <e_i,Z(phi)e_i> 
%                     +1/2phi( <e_i,e_i(phi)Z> - <Z,e_i><grad phi, e_i>  )
%           = div Z + n/(2 phi) Z(phi)          
%
% Wir brauchen die drei Formeln
% 1. div~ Z = div Z + n/2phi Z(phi)  von zuvor
% 2. grad~ f = 1/phi grad f
% 3. div(uZ) = u div Z + Z(u)
% 
% Laplace~ f = div~ (grad~ f)
%            = div (grad~ f) + n/(2 phi) grad~ f (phi)                mit 1.
%            = div (1/phi grad f) + n/(2 phi^2) grad f (phi)          mit 2.
%            = 1/phi div(grad f) + grad f (1/phi) + n/2phi^2 grad f   mit 3.
%            = 1/phi Laplace f 
% (denn grad f(1/phi) = - 1/phi^2 grad f (phi) )
% 
% Jetzt die Beweise von 2., 3.
% 3. div(uZ) = g(e_i,D_{e_i} uZ) = g(e_i,u D_{e_i}Z + e_i(u) Z)
%            = u div Z + g(e_i,e_i(u)Z^k e_k) = u div Z + Z(u)
% 2. < grad f, X > = X(f) 
%                  = <~ grad~ f, X >~ = < phi grad~ f, X >
%_______________________________________________________________________________

\eject


\def\Titel{Differentialgeometrie I}     % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{19. Dezember 1996}           % Aktuelles Datum
\def\Datum{20. Dezember 2000}           % Aktuelles Datum
\def\Blatt{10}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                 % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren
\Machtitel
\Aufgabeno=31                           % Nummer der vorhergehenden Aufgabe

\rm \vskip-2mm

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Geod\"atische auf dem Kegel}

Es sei $C(\alpha)\subset \R 3$ ein Rotationskegel 
mit "Offnungswinkel $2\alpha$.  
\ta
Bilde einen Sektor in $\R 2$ l\"angentreu auf den Kegel ab (``Abwicklung'')
und beschreibe damit die Geod"atischen auf dem Kegel
(ohne den Punkt an der Spitze).
%
% Es gibt eine Karte
%   phi: {Sektor des R^2 mit Winkel 2 pi sin(alpha)} --> C(alpha),
%   die isometrisch ist.  Also stimmen die Geod"atischen "uberein,
%   d.h. Geod"atische sind  phi(Geraden).

\ta
Wirf ein Lasso \"uber die Kegelspitze, dessen Schlinge L"ange~$l$
hat.  Nimm ideali\-sierend an, da"s das Seil keine Dicke hat (und daher gewichtslos ist), 
da"s es reibungslos auf dem Kegel gleitet (auch in der "Ose);
wir ziehen genau radial von der Spitze weg.  F"ur welche Werte von $\alpha$ 
sitzt das Lasso fest, f\"ur welche rutscht es nach oben ab?
%
% Unter unseren Annahmen verl"auft die Schnur (ausser in der Oese)
%   geodaetisch.  Offensichtlich l"asst sich das Lasso verk"urzen,
%   wenn der Sektor Winkel groesser als pi hat, also gilt
%   2 pi sin(alpha) < pi , also  sin(alpha) < 1/2  oder  alpha < 30 Grad
%   (f"ur Gleichheit l"auft das Lasso instabil durch die Spitze)

\ta
Betrachte in dem ebenen Sektor das Urbild eines Breitenkreises des Kegels
und w\"ahle ein paralleles Einheitsvektorfeld l\"angs dieser Urbildkurve.
Bilde dies parallele Vektorfeld mit der (Ableitung der) Abwicklung auf ein
Vektorfeld l\"angs des Breitenkreises ab. Wie gro\ss\ ist der Winkel zwischen
dem Anfangsvektor und dem Endvektor (glei\-cher Fu\ss punkt)? Zeige, da\ss\ die
Ableitung des Vektorfeldes proportional zum Tangentialfeld des Breitenkreises ist.

%
% Das Feld dreht um 2pi(1-sin(alpha))

%-----------------------------------------------------------------------


\aufg{Katenoid und Helikoid}

Wir definieren zwei Fl"achen $K,W:\Bbb R \times \Bbb R = \R 2 \to \R 3$ durch 
$$ K(\p,h)= \pmatrix{\cosh h \cos \p \cr \cosh h \sin\p \cr h}
  \quad {\rm und} \quad
  W(\p,h)= \pmatrix{\sinh h\sin \p \cr -\sinh h\cos \p \cr \p}.$$
$K$ ist injektiv auf $[0,2\pi)\times\Bbb R$
und Rotationsfl"ache der Kettenlinie, weshalb die Fl"ache als
{\it Kettenfl"ache} oder {\it Katenoid} bezeichnet wird.  
$W$ hei"st {\it Wendelfl"ache} oder {\it Helikoid}.

\ta
$K$ und $W$ definieren dasselbe Riemannsche Skalarprodukt auf $\R 2$
und dieses ist winkeltreu zum Standardskalarprodukt auf $\R 2$.
%
%                ( -cosh h sin phi )                    ( sinh h cos phi )
% K_phi = -W_h = (  cosh h cos phi )  ,   K_h = W_phi = ( sinh h sin phi )
%                (        0        )                    (       1        )
%
% K_phi K_phi = K_h K_h = W_phi W_phi = W_h W_h =  cosh^2 h
% K_phi K_h =  W_psi W_d =  0    
% also  g_K = g_W = cosh^2 h < , >   ==> winkeltreu

\ta
Beide Fl"achen haben dieselbe Normalenabbildung $N:\R 2\to{\Bbb S}^2$.
%
%                   1    (  cos phi  )
% N (phi, h) =  -------- (  sin phi  )
%                cosh h  ( - sinh h  )

\ta
Berechnen Sie die Weingartenabbildungen $S_K$ und $S_W$ und zeigen Sie
${\rm Spur}\,S_K= {\rm Spur}\,S_W$ und ${\rm det}\,S_K= {\rm det}\,S_W$.
Welche Beziehung besteht zwischen $S_K$ und $S_W$?
%
% d/d phi N_K = 1/cosh^2 h K_phi (ausrechnen)
%    d/dh N_K = -1/cosh^2 h K_h  
% ==> Spur S_K = 0,  det S_K = 1/cosh^4 h
% aehnlich S_W, so dass  S_W = Rot(90) S_K  
%
% auf der Rueckseite sieht man die Schar von Flaechen, die durch
% Integration von  S_phi = Rot(phi) S_K  entsteht


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Kr"ummungslinien auf R"ohren {\rm vgl. Aufgabe 16}}

\ta
Auf jeder Fl"ache gilt: 
Eine ebene nicht gerade Geod"atische ist Kr"ummungslinie.
%
% geodaetisch ==>  c" = a n ,  nach Voraussetzung  a  nicht gleich  0 
% eben ==> c" in Ebene der Kurve  
% zusammen:  n  in Ebene der Kurve
%   ==> c', n  spannen Ebene in jedem Punkt auf
%   ==> n' liegt auch in der Ebene, ist aber auch senkrecht c'
%   ==> n' = lambda c'  fuer eine Funktion lambda

\aufgtab
Betrachte nun die R"ohre 
$F_\epsilon (t,\varphi):=c(t)+\varepsilon(\cos\varphi\,v(t)+\sin\varphi\,w(t))$
wobei $\dot c,v,w$ ein $c$ begleitendes orthonormales Dreibein sei, das
wie in Aufgabe~16 $\dot v=a\dot c$, $\dot w=b\dot c$ erf"ullt.

\ta
Die Kreise $\varphi\mapsto F_\varepsilon(t,\varphi)$ sind Geod"atische
und Kr"ummungslinien der R"ohre.
%
% Offenbar liegt die Normale  N  laengs des Kreises in dessen 
% Ebene.  Also ist  c"  parallel zu  N  und damit jeder Kreis geodaetisch.
%   Tatsaechlich ist  
%   F_t = c' + epsilon( cos phi v' + sin phi w')
%       = c' ( 1 + epsilon (a cos phi + b sin phi)                   (*)
%   F_phi = epsilon (-sin phi v + cos phi w )
%   ==> N = cos phi v + sin phi w  ( beachte |v|=1 ==> v v' = 0 , dto. w)
% 

\ta
Warum sind die Linien $t\mapsto F_\varepsilon(t,\varphi)$ 
Kr"ummungslinien?  Welchen Winkel bilden sie mit den Kreisen?
Was ist ihr Kr"ummungs\-radius als Funktion von $a,b,\varepsilon,\varphi$?
%
% $\ddot c=\varepsilon(\cos\varphi \ddot v + \sin\varphi \ddot w)$
%
% Nach a) sind die Kreise  phi --> F(u,phi)  Kruemmungslinien.
% Da nach Aufgabe 11 die u-Lininen darauf senkrecht stehen,
% sind dies ebenfalls Kr"ummungslinien.
% 
% Wir suchen kappa mit  N_t = kappa F_t
% < F_tt, N > = - < F_t, N_t > = - kappa < F_t, F_t > 
% also kappa = - <F_tt, N> / |F_t|^2
% Von oben (*) erhalten wir  |F_t| = | 1 + epsilon (a cos phi + b sin phi)|
% Weiter
% <d^2/dt^2 F, N> = 
%   = < c" + epsilon ( cos phi v" + sin phi w" ), cos phi v + sin phi w > 
%   = < c" + epsilon ( cos phi (ac')' + sin phi (bc')') , ... >
%   = < c" + epsilon ( cos phi ac" + sin phi bc" , ... > 
%               (dabei c' senkrecht v, w benutzt)
%   =  (1+epsilon(a cos phi + b sin phi)) (cos phi <c",v> + sin phi <c",w>)
%   =  - |F_t| (a cos phi + b sin phi)
%   denn  <c',v> = 0  ==>  0 = <c",v> + <c',v'> = <c",v> + a ,  dto fuer b
% Es folgt insgesamt
%  kappa =  - <F_tt, N> / |F_t|^2
%        =  (a cos phi + b sin phi) / |F_t|
%        =  1 / { 1/(a cos phi + b sin phi) + epsilon } 
% oder 1/kappa = epsilon + 1/(a cos phi + b sin phi) 
% (bis aufs Vorzeichen: nochmal daraufhin angucken) 

\ta
Geben Sie {\it ohne weitere Rechnung} die Weingartenabbildung der R"ohre an.
% S(F_phi) = 1/epsilon^2 F_phi
% S(F_t) = kappa F_t


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Rotationsfl"achen konstanter Kr"ummung 
      {\rm( $\det S $ bzw. \hbox{Spur }$S$)}}

% vgl. DoCarmo: 3.3, Aufg.7 & G. Fischer, Math.Models, 4.2

$F(u,\varphi):= (r(u)\cos\varphi, r(u)\sin\varphi, h(u))$ sei
eine  Rotationsfl"ache wie in Aufgabe~26. 
Die Relation $h'^2=1-r'^2$ erlaubt es, die
Weingartenabbildung $S$ in eine Form zu bringen,
die nur Ableitungen von $r$ enth"alt (laut Vorlesung oder durch Rechnen). 
%
%       (r' cos phi) )          (-r sin phi)       ( sqrt{1-r'^2} cos phi)
% F_u = (r' sin phi) )  F_phi = ( r cos phi)   N = ( sqrt{1-r'^2} sin phi)
%       (sqrt{1-r'^2})          (    0     )       (         r'          )
%
% Es folgt  N_u = - r"/sqrt{1-r'^2} F_u ,  N_phi = sqrt{1-r'^2}/r F_phi

\ta
Schreiben Sie $\det\, S={\rm const}$ und ${\rm Spur}\,S ={\rm const}$
als Differentialgleichung f"ur $r(u)$.
% det S = - r"/r
% Spur S = ( 1-r"r-r'^2 ) / ( r sqrt{1-r'^2} )

\ta
L"ose die Differentialgleichung f"ur $r$ im Fall
$\det\, S=0$, skizziere die Rotationsfl"achen.  
%
% Natuerlich ist det S die Gausskruemmung, so dass wir 
% Rotationsfl"achen konstanter Kruemmung bestimmen
% Im folgenden lasse ich die uninteressante Translation in u fort 
%   (d.h. im allgemeinen ist u durch u+c zu ersetzen)
%
% det S = 0   ==>  r"=0  ==>  r' und  h' = const
%   Kurve ist Gerade und existiert solange r>0  
%   ==>  Flaeche ist Kegel oder Zylinder

\ta
L"ose die Differentialgleichung f"ur $r$, falls $\det\, S = \pm 1$.
Verstehe $h$ gut genug, um die Meridiankurven skizzieren zu k"onnen
(f"ur jedes Vorzeichen von ${\rm det}\,S$ nur ein Beispiel).
%
% det S = 1   ==>  r=r" ==>  r(u) = a cos u  , a>0
%   ==> r' = -a sin u ==> h' =  sqrt (1-a^2 sin^2 u )
%   also  h' = 0  fuer  |sin u| = a 
%   a=1:  h = sin u  und Loesung laesst sich
%     durch Punkte auf der Achse zu einer Sphaere ergaenzen.
%   Im allgemeinen ist  h(u)  nicht mit elementaren Funktionen ausdrueckbar
%     (elliptisches Integral)
%   Wir haben zwei Bedingungen: r>0 und  sin^2 u < 1/a^2
%   Wegen  r>0  ist  u  (beispielsweise) hoechstens auf dem Intervall
%   (-pi/2,pi/2) definiert.  Als Funktion von u waechst r erst, dann
%   faellt es.
%   a<1: h' > 0 auf  [-pi/2,pi/2], also h monoton  
%     und r w"achst von 0 auf max, faellt danach.
%     Dies sind die "Spindelflaechen" (sehen wie ein Baseball aus),
%     sie haben zwei singulaere Punkte auf der Achse, in deren Umgebung sie
%     wie ein Kegel aussehen (man koennte den Oeffnungswinkel wohl noch 
%     ausrechnen). 
%   a>1: nur auf [-arcsin(1/a),arcsin(1/a)] ist h' definiert, in den
%     Randpunkten 0.  Auf diesem Interval ist h monoton.
%     Also ist  r  von 0 weg beschraenkt, die Flaeche sieht wie der
%     Rand einer Tonne aus.  Dies sind die sogannten Wulstflaechen.
%
% det S = -1  ==>  r=-r" ==>   (i) r(u) = a e^u,  (ii)  r(u) = a sinh u,  
%   oder  (iii)  a cosh u  (wegen r>0 ist immer a ungleich 0)
%   (i) r' = a e^u  ==>  h' = sqrt (1-a^2 e^2u)
%   also definiert fuer u < 0 , wieder  h monoton, und h'(0) = 0
%   Fuer  u --> -infty  geht  r --> 0
%   ==> Pseudosphaere (Meridian ist Traktrix)
%   (ii) natuerlich  u>0.  r' = a cosh u ==> h' = sqrt(1-a^2 cosh^2 u)
%   Macht nur Sinn fuer |a|1.  Also DEfinitionsintervall ist 
%   [0,arccosh(1/a)].  In 0 ist r=0, am anderen Endpunkt h'=0 (aber r>0)
%   dazwischen r,h beide monoton.
%   (iii) r' = a sinh u ==> h' = sqrt(1-a sinh^2 u)
%   Definitionsintervall [-arcsinh(1/a),arcsinh(1/a)]
%   Die Loesung ist symmetrisch in +- u .
%   In den Randpunkten ist h'=0, r ueberall von 0 weg beschraenkt, monoton 
%   auf u>0.  

%-----------------------------------------------------------------------
\eject 

\def\Titel{Differentialgeometrie I}     % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{9. Januar 1997}              % Aktuelles Datum
\def\Datum{10. Januar 2001}             % Aktuelles Datum
\def\Blatt{11}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                 % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren
\Machtitel
\Aufgabeno=35                           % Nummer der vorhergehenden Aufgabe

\rm \vskip-2mm

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Asymptotenlinien {\rm auf Fl\"achen im $\R 3$}}
%
% 12.1 von 92/93

Auf einer parametrisierten Fl"ache $F$ sei eine Kurve $c=F\circ\gamma$ gegeben. 
Der Tangentialvektor $\dot c(t)$ ist {\it Asymptotenrichtung}, 
wenn die Normalkr"ummung in $t$ verschwindet, d.h.~ 
$0 = \langle \ddot c,\,N\circ\gamma \rangle 
    = \langle D^2\! F_{\gamma} (\dot \gamma, \dot\gamma), \,N\circ\gamma \rangle
    = -\langle D F\,\dot \gamma, \, D F \cdot S \dot \gamma \rangle 
    = -g(\dot \gamma, S \cdot\dot \gamma) $. \hfill\break
Gilt dies f"ur alle $t$, so hei"st $c$ {\it Asymptotenlinie}.

\ta 
Geraden auf Fl"achen sind stets Asymptotenlinien, und geod"atische 
Asymptotenlinien sind Geraden.
%
% Gerade ==> c" = 0 ==> Beh.
% 
% Geod"atische ==> c"^{tan} = 0
% Asymptotenl. ==> c"^{vert} = 0
% also insgesamt  c" = 0

\ta 
In Punkten mit $\det\,S>0$ gibt es keine Asymptotenrichtung. 
% 
% Wir k"onnen  S  diagonalisieren, mit Hauptkr"ummungen  kappa_1,2 .
% Wenn wir bezueglich dieser Eigenrichtungen  v  in  v = v_1 + v_2  zerlegen,
% erhalten wir
% g(Sv,v) =  kappa_1 g(v_1,v_1) + kappa_2 g(v_2,v_2)
% Falls  det S > 0  haben beide kappa dasselbe Vorzeichen, und
% damit ist  g(Sv,v) > 0  fuer  |v| > 0

\ta
In Punkten mit $\det\,S<0$ gibt es genau zwei Asymptotenrichtungen,
deren Winkel\-halbierende die beiden Kr"ummungsrichtungen sind.
Der Winkel zwischen den Asymptotenrichtungen bestimmt das Verh\"altnis
$\kappa_1/\kappa_2$ der Hauptkr\"ummungen.
%
% Ist det S < 0  so ist ein kappa groesser, eins kleiner 0.
% Die quadratische Form koennen wir als  a^2x^2-b^2y^2  (mit a,b > 0) 
% schreiben,  mit  x = g(v_1,v_1) ,  y = g(v_2,v_2) , und oBdA. 
% a^2 = kappa_1 > 0 , b^2 = kappa_2 < 0 ). 
% Wegen ax^2-by^2 = (ax - by) * (ax + by)  hat die Form  g(Sv,v)   genau 
% zwei 0-Richtungen, und zwar  a/b = plusminus x/y  (Bildchen!);  
% Der eine Winkel  phi  zwischen den zwei Richtungen  erfuellt  tan phi/2 = y/x
% (der andere ist  pi - phi) , also  tan^2 phi/2 = -kappa_2/kappa_1

%\ta
%Was passiert in Punkten mit $\det\,S=0$?
% Hauptkr"ummungen sind  0, kappa.
% Ist  kappa  ungleich 0 , so gibt es eine As.rtg.,
% ist kappa = 0  sind alle Rtgn. As.rtgn. 


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Schnitt zweier Fl"achen l"angs Kr"ummungslinien}
% oder: Satz von Terquem-Joachimsthal
%
% 12.3 von 92, Spivak III p.296

Wir nehmen an, da"s sich zwei parametrisierte Fl"achen 
$F_1$ und $F_2$ l"angs einer Kurve $c(t),\ c=F_i\circ\gamma_i$ 
(f"ur $i=1,\!2$) {\it unter konstantem Winkel schneiden}.
$N_i$ sei ein Normaleneinheitsfeld von $F_i$ und 
$\tilde N_i(t):=N_i\circ\gamma_i(t)$ die Einschr\"ankung l\"angs der Schnittkurve.
Ist $c$ nun Kr"ummungslinie in der einen Fl"ache, dann auch in der anderen.
Um diesen Satz zu beweisen, zeigen Sie bitte die folgenden Schritte.

\ta
Die Kurve $c$ ist genau dann Kr"ummungslinie auf $F_i$, wenn es Funktionen
$\kappa_i$ gibt mit ${d \over dt}\tilde N_i(t) = \kappa_i(t) \dot c(t)$.
\aufgtab
% 
% v Krgs.rtg. ==> Sv = kappa_i v 
% nach Def. ist dF Sv = dN v .  Es folgt  kappa_i dF v = dN v .
% Wegen dF v = c'  und  v = d/dt  gilt also  kappa_i c' = d/dt N
% Umgekehrt genauso.

\ta
${d \over dt}\langle \tilde N_1(t),\, \tilde N_2(t) \rangle  = 0$.
%
% <N_1~,N_2~> = cos(Schnittwinkel) = const  ==>  d/dt ... = 0
 
\ta
Zum Beweis der Behauptung zerlegen Sie ${d\over dt} \tilde N_2$
bez"uglich des Dreibeins $\{ \dot c, \tilde N_1, \tilde N_2 \}$.
%
% Wir schreiben   d/dt N_2~ = a c' + b N_1~ + c N_2~
% Nun ist  |N_2~| = 1  ==>  2<d/dt N_2~, N_2~> = 0 ==> c=0
% Nehmen wir an, dass  c  Krgs.linie bzgl  F_1  ist, so gilt nach a)
%   kappa_i c' = d/dt N .  Also  folgt aus  b)
%   <N_1~,d/dt N_2~> = -<d/dt N_1~,N_2~> =  -<kappa_1 c',N_2~> = 0
%   ==> b = 0
% Damit ist  d/dt N_2~ = a c'  und nach a) folgt die Behauptung.

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Das Poincar\'e-Modell des $\Bbb H^n$}
%
% 11.2 (93)
 
Es sei 
$H=\{x\in\R {n+1} \mid \langle x,x\rangle^L = -1, \,\,x_0 > 0 \}$ 
der $n$-dimensionale hyperbolische Raum mit der von der
Lorentz-Bilinearform
$\langle x,y \rangle^L:=\sum_{i=1}^n x_iy_i - x_0y_0$ 
induzierten Metrik.

\ta
Wir hatten die {\it stereographische Projektion} $St$
des offenen Einheitsballes $B^n$ in der Hyperebene $\{x_0=0\} \subset \R {n+1}$  
vom  Punkt $(0,\ldots 0,-1)$ nach $H$ definiert durch
$$ St(x) := {1 \over 1-\langle x, x\rangle^L}\cdot(2 x; 1+\langle x, x\rangle^L).$$
Geben Sie die Umkehrabbildung an.
%
% Gerade durch  x in H  und  p:= (0,...,0,-1)  ist  t x + (1-t) p  .
% Fuer  t=1/(x_0+1)  wird  letzte Komponente  0 ,
%                  (x^1,...,x^n,0)
% also  Pi^-1(x) = ---------------
%                       1+x_0
% 
% Umgekehrt, Pi(x) = tx + (1-t)(0,...,0,-1) 
% Finde  t  mit  <Pi(x),Pi(x)>^L = -1 , also 
%   t^2 |x|^2 -(t-1)^2 = -1  <==>  t(|x|^2 - 1) = -2  
%   ==>  Pi(x) = (2x_1,...,2x_n,1+|x|^2) /(1-|x|^2)

\ta
Das Poincar\'e-Modell ist winkeltreu (konform):
es gibt eine Funktion $\lambda:B^n\to\Bbb R$ mit
$\langle TSt\ X, TSt\ X \rangle^L = \lambda^2(p) \langle X,X \rangle$
f"ur $p\in B^n$ und $X$ Tangentialvektor an $B^n$ in $p$.
%
% Wegen Rotationssymmetrie reicht es  X = d/dx_1  zu betrachten.  Es ist 
%
% dPi     (2,0,...,0,2x_1)     (2x_1,...,2x_n,1+|x|^2)*2x_1 
% ----  = ---------------   +  -----------------------------
% dx_1        1-|x|^2                   (1-|x|^2)^2
%           
%          2 * (1-|x|^2+2x_1^2, 2x_1x_2, ... , 2x_1x_n, 2x_1 ) 
%       = -----------------------------------------------------
%                              (1-|x|^2)^2
% Also  
% < dPi/dx_1, dPi/dx_1 >^L
%   = 4*[(1-|x|^2)^2 + 4x_1^4 + 4x_1^2(1-|x|^2) + 
%           + 4 x_1^2 x_2^2 + ... + 4 x_1^2 x_n^2 - 4 x_1^2   ] / (1-|x|^2)^4
%   = 4*[(1-|x|^2)^2 + 4x_1^2(1-|x|^2) + 4x_1^2|x|^2 - 4x_1^2 ] / (1-|x|^2)^4
%   = 4/(1-|x|^2)^2  
% Mit der Parallelogramm-Gleichung folgt daraus die Konformitaet


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Pflasterungen der hyperbolischen Ebene}
%
% 12.4 (93)

\ta
Es seien $0<\alpha,\beta<\pi$, $\gamma=\pi/2$ die Winkel eines
rechtwinkeligen hyperbolischen Dreiecks.  
Berechnen Sie die Seitenl"angen und zeigen 
Sie, da"s das Dreieck genau dann existiert, wenn $\alpha+\beta<\pi/2$. 
%
% Winkelkosinussatz  
% cos gamma = -cos alpha * cos beta + sin alpha * sin beta * cosh c
% gibt
% cosh c = cot alpha * cot beta 
% Nun muss  rechte Seite >= 1  sein
%   <==> cos alpha * cos beta - sin alpha * sin beta = cos(alpha+beta) >= 0
%   Also geht es genau wenn  alpha+beta < pi/2  (c=0 bei Gleichheit).
%   Wegen des Sinussatzes sind dann auch  a,b  definiert und positiv.
% Wir koennen  a,b  aber auch als Funktionen von  alpha, beta  ausrechnen:
% cos alpha = -cos beta * cos gamma + sin beta * sin gamma * cosh a
% ==> cosh a = cos alpha / sin beta
% und durch Vertauschen   cosh b = cos beta / sin alpha
%
Es gibt daher f"ur alle $m,n$ mit $1/m + 1/n < 1/2$ ein Dreieck mit
Winkeln $\alpha=\pi/m$, $\beta=\pi/n$, das die hyperbolische Ebene pflastert.
% Ubrigens: Falls  alpha = beta  pflastern auch Dreiecke mit  2pi/k  

\ta
Betrachten Sie nun ein regelm"a"siges hyperbolisches $n$-Eck mit 
Seitenl"ange $a$ und (Innen-)Winkel $\varphi$.  Berechnen Sie $a(\varphi)$,
sowie Inkreisradius $r$ und Umkreisradius $R$, indem Sie das $n$-Eck in
$2n$ Dreiecke zerlegen.  F"ur welche $n,k\ge 3$ finden Sie eine Pflasterung
mit $n$-Ecken, so da"s sich $k$ verschiedene $n$-Ecke in den Ecken treffen?
Vergleichen Sie mit der euklidischen Situation.
%
% Aus a): 
% cosh a/2 = cos pi/n / sin phi/2
% cosh R   = cot pi/n * cot phi/2
% cosh r   = cos phi/2 / sin pi/n   (beschraenkt fuer a --> infty)
% und Existenz erhalten wir genau f"ur  pi/n + phi/2 < pi/2 , also
%   fuer jedes  phi  mit  phi < pi(n-2)/n .
% Damit es pflastert, muss phi von der Form  2 pi/k, k>3  sein.  
% Dann treffen in jeder Ecke  k  verschiedene  n -Ecke aufeinander.  
% Also ist  k > 2n /(n-2) .  Die Gleichheit darin kommt nur fuer n=3,4,6
%   zu Stande und gibt die euklidischen Dreieckspflasterungen an.
% k(n) explizit:
%   n=3 ==> k>6, n=4 ==> k>4, n=5,6 ==> k>3 , und fuer alle  n>7 ==> n>=3

\eject


\baselineskip14 true pt
\def\Titel{Differentialgeometrie I}     % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{23. Januar 1997}             % Aktuelles Datum
\def\Datum{17. Januar 2001}             % Aktuelles Datum
\def\Blatt{12}                          % Blattnummer (1997: 13)
\def\Semester{WS 96/97}                 % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren
\Machtitel
\Aufgabeno=43                     % Nummer der vorhergehenden Aufgabe 1997
\Aufgabeno=39                           % Nummer der vorhergehenden Aufgabe


\rm \vskip-4mm

%-----------------------------------------------------------------------
\aufg{Normalenfl"achen mit $\det\,S=0$ von Kurven}
%
% 13.1 von 92/93

Es sei $c$ eine nach Bogenl"ange parametrisierte Kurve
und $v$ ein zu $c$ normales Einheitsvektorfeld
also $|v|=1$, $\langle v,\dot c \rangle = 0$.
Zus"atzlich sei die Parallelit"atsbedingung 
$\dot v(t) = a(t) \dot c(t)$ erf\"ullt.
Die {\it v-Normalenfl"ache} von $c$ sei durch $F(s,t):=c(t)+sv(t)$ definiert.  

\ta
F"ur welche $(s,t)$ ist $F$ regul"ar? 
Zeigen Sie, da"s alle $s$-Linien von $F$ Kr"ummungslinien sind. $\det S=$?
Die anderen Kr"ummungslinien? Bestimmen Sie $g(.,.):=\langle TF., TF.\rangle$. 
%
% d/ds F = v
% d/dt F = c' + sv' = (1+s a) c' 
% ==> g  ist in Gaussscher Form mit  |F_t|^2 = (1+s a)^2 
%   die Flaeche ist also regulaer fuer s  ungleich -1/a
% Es sei  N(t)  das Feld, das  c', v  zum orthonormalen Dreibein macht.
% Dann ist  N(t)  auch die Flaechennormale im Punkt (s,t), 
% und daher  d/ds N = 0 .
% Krgs.linien senkrecht ==> die t-Linien sind auch welche

\ta
Bestimmen Sie die Kr"ummungslinien mit den Ergebnissen der Aufgaben~16, 
34, 37.
%
% Vorueberlegung: N'v = -N v' und N'N=0  ==>  N'=bc'
%   Also erfuellt auch  w:= N  die Voraussetzung  w' = bc'  von Aufgabe 11.
% Jede Roehre  F_epsilon  um  c  trifft die Normalenflaeche senkrecht.
% Tatsaechlich stimmen die t-Linien ueberein, die s-Linien der 
% Normalenflaechle sind senkrecht auf den t-Linien, und laut Aufgabe 11
% sind auch die phi-Linien der Roehre senkrecht auf den t-Linien.
% Also stimmt der (dihedrale) Winkel zwischen der Roehre und der
% Normalenfl"ache mit dem Winkel der Vektoren  d/dphi F_epsilon = w  der 
% Roehre (in der Schnittmenge mit der Normalenflaeche, also fuer phi = 0 )
% und d/ds F = v  ueberein.   Die beiden stehen also senkrecht.
% 
% Nach Aufgabe 34c) sind die t-Linien der Roehre Kruemmungslinien, also
% nach Aufgabe 36 auch die t-Linien der Normalenflaeche.

% \ta
% Die {\it Tangentenfl"ache} von $c$ sei durch 
% $F(s,t):=c(t)+(s-\mu t)\dot c(t)$ gegeben. 
% Zeigen Sie da"s die Linien $s\mapsto F(s,t)$ Kr"ummungslinien zur 
% Hauptkr"ummung~0 sind.  Was ist die andere Hauptkr"ummung?



%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Absch"atzungen f"ur Kurven mit Kr"ummungsschranken}
%
% Karcher Vorlesungsmitschrift 92/93, Seite 45/46

Es sei $c: [0,l] \to \R n$ eine nach Bogenl"ange parametrisierte $C^2$-Kurve, 
deren Kr"ummung durch $|\kappa(t)|:=|\ddot c(t)|\le 2K$ beschr"ankt sei.  

\ta
Zeigen Sie, da"s f"ur die Bogenl"ange $l$ %=\int_0^l |\dot c| dt$ 
und die Sehnenl"ange $s:= |c(l)-c(0)|=\big|\!\int_0^l \dot c(t) dt\big|$ 
die (f"ur kleine $l$ interessante) Absch"atzung $0\le l-s \le K l^2$ gilt.
\Kommentar{Hinweis:}{Schreiben Sie $l=|\int_0^l c'(0)|$.}

% Natuerlich ist  l-s >= 0  klar .
%  l - s  =  | int c' | - | c(0)+c(l) |
%         =  | int c'(0) dt  | -  | \int c' dt |  
%         =< int |c'-c'(0)| dt
%               Dreiecksungl. fuer Integral
%         =  int |int_0^t c"(s) ds| dt
%         =< int int_0^t |c"(s)| ds dt
%         =< int_0^l int_0^t K ds dt
%         =  2 K l^2/ 2 = K l^2

\ta
Welche Absch"atzung gewinnen Sie aus a) f"ur den Einheitskreis?
%
% Falls Bogenl"ange l, dann ist Sehnenl"ange = 2 sin l/2 und es folgt
% 0 =< l - 2 sin l/2 =< l^2 


\ta
Sind $v,w\in\R n$ und ist $v\not=0$, $|w|=1$, so gilt 
% $\sphericalangle$ $\angle$ 
$|\sin\measuredangle(v,w)|\le|v-w|$.
% Das von v, w aufgespannte Dreieck hat Hoehe  sin (angle(v,w))
% Mit Pythagoras folgt Beh.

\ta
Es sei $\varphi:=\measuredangle\big(c(l)-c(0),\,\dot c(0)\big) \in (-\pi,\pi]$
der Winkel zwischen Sehne und Tangente.
Zeigen Sie die f"ur hinreichend kleine $l>0$ g"ultige
Absch"atzung $|\varphi|\le \arcsin(Kl)$.
\Kommentar{Hinweis:}{Benutzen Sie c) mit $v= \big(c(l)-c(0)\big)/l$.}
%
% l klein ==> 1. c(l) ungleich c(0),  ==> v ungleich 0
%             2. phi in [-pi/2,pi/2] .
%             3. Mit w=c'(0)  gilt  |v-w| =< 1 
% Dann kann man c) schreiben als  |angle(v,w)| =< arcsin |v-w|
% 
% |phi| =< arcsin |int c'/l dt - c'(0) |
%       =  arcsin |[ int c'- c'(0) dt]/l |
%       =< arcsin ( int |c'-c'(0)| dt /l ) 
%       =  arcsin ( int int |c"| ds dt /l )
%       =< arcsin ( 2 K l /2 )
 
%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Hyperbolische Isometrien, {\rm Drehungen um Fernpunkte}}
%
% 14.3 (93)

Wir betrachten die hyperbolische Ebene 
$\Bbb H^2\subset (\R 3,\langle.,.\rangle^L)$.  
Es seien
$$D(\varphi):=\left( \matrix{\cos \varphi & -\sin \varphi & 0  \cr
			  \sin \varphi & \cos \varphi & 0  \cr
                         0 & 0 & 1 \cr } \right)
\quad {\rm und} \quad
S(r):=\left( \matrix{-\cosh r & 0 &  \sinh r  \cr
                            0 & 1 & 0         \cr
  	             -\sinh r & 0 & \cosh r   \cr} \right)
$$ 
Drehung um $p=(0,0,1)$ und Spiegelung, die $p$ mit
$c(r):=(\sinh r, 0, \cosh r)$ vertauscht.

\ta
Berechnen Sie die Drehung $R_{r,\varphi}=S(r)D(\varphi)S^{-1}(r)$ 
um $c(r)$ mit Winkel $\varphi$.
%
% Matrix ist (immer mit phi Argument von sin und cos , und r von sinh und cosh) 
%
%          ( cos cosh^2 - sinh^2     sin cosh      (1-cos)sinh cosh    )
%     R =  (     -sin cosh             cos             sin sinh        )
%          ( -(1-cos)sinh cosh       sin sinh      cosh^2 - cos sinh^2 )

\ta
Bestimmen Sie $\varphi(t,r)$ so, da"s die Bahnkurve 
$t\mapsto R_{r,\varphi(t,r)} (0,0,1)$ nach Bogenl"ange parametrisiert ist.
%
%                       ( sin phi * sinh r * cosh r )
%  d/dt R(0,0,1) = phi' (     cos phi * sinh r      )
%                       (    sin phi * sinh^2 r     )
% 
% und damit  <  ,  >^L = phi'^2 * sinh^2 r
% Es folgt  phi(t,r) = t/sinh r
%

\ta 
Sie k"onnen nun die Schar 
$P(t)=\lim_{r\to\infty} R_{r,\varphi(t,r)}$ von Lorentz-Isometrien ausrechnen.
%
% Berechne lim R  durch  lim r --> unendlich, also  phi = t/sinhr --> 0.
% Beachte  sinh r/cosh r --> 1,  cos x = 1 - x^2/2 + O(x^4)
%
%        (  1-t^2/2   t   t^2/2  )
%   P =  ( -t         1   t      )
%        ( -t^2/2     t   1+t^2/2)
%
Zeigen Sie, da"s die Isometrien $P(t)$ die von der Geod"atischen $c(r)$
auf\-ge\-spannte Ebene in $\R 3$ auf Ebenen abbilden, die alle die Asymptote
$\Bbb R (1,0,1)$ des Hyperboloids enthalten.  In diesem Sinne ist $P(t)$
eine Lorentz-Drehung um den {\it Fernpunkt} $\lim_{r\to\infty}(\sinh r, 0,
\cosh r)$.  "Ubrigens ist der entsprechende Grenzwert von Drehungen in 
$\R 2$ eine Translation.
%
% P (1,0,1) = (1,0,1)  (Eigenvektor)
% Die Ebene der Geod"atischen wird von diesem Eigenvektor und einem
% weiteren Vektor aufgespannt, und daher enthaelt das Bild den
% Eigenvektor.  

% \ta 
% Zeigen Sie, da"s $F(u,v):=P(v) c(u)$ eine Parametrisierung
% von $H\subset (\R 3,\langle.,.\rangle^L)$ darstellt, deren Metrik 
% die Gau\ss sche Form $\dot u^2+ e^{2u} \dot v^2$ hat.  Also ist
% $F$ lokal isometrisch zur Pseudosph"are (Aufgabe 35 c) und R"uckseite
% Blatt 10). 


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Platonische Polyeder, speziell W"urfel in $\Bbb H^3$}
%
% 12.4 (93)

Betrachte im {\it Tangentialraum} eines Punktes $p \in\Bbb H^3$ ein
Platonisches Polyeder mit Mittelpunkt $0$; die Vektoren zu den Eckpunkten
seien die Anfangsrichtungen von Geod\"atischen. Jede Kugel um $p$ in
$\Bbb H^3$ schneidet diese Geod\"atischen in den Ecken eines 
{\it hyperbolischen Platonischen Polyeders} mit Mittelpunkt $p$.
Die Symmetriegruppen des euklidischen und des hyperbolischen Polyeders
stimmen also \"uberein.
Die Symmetrieebenen zerlegen z.B. einen hyperbolischen W"urfel $W$ in 48
gleiche ( nicht regelm"a"sige) hyperboli\-sche  Tetraeder.  
% Denn ein Achtelwuerfel zerfaellt in sechs.
Dessen Kantenl"angen sind: Inkugelradius~$r$, Umkugelradius $R$;
Inkreisradius $\rho$, halbe Kantenl\"ange $a/2$ und halbe Diagonale $D/2$ 
eines Seitenquadrates von $W$, schlie\ss lich die halbe Diagonale $d/2$
eines Mittenquadrates.  
Die Winkel der Tetrae\-derdreiecke sind am
W"urfelmittelpunkt bekannt und stimmen mit denen des euklidschen
W"urfels "uberein (wieso?), daneben tauchen viele rechte Winkel auf.
Berechnen Sie, als Funktionen von $R$, die \"ubrigen L\"angen sowie
die Winkel der Seiten- und Mittenquadrate. 
% 
% Dreieck, das halbe Kante enthaelt, hat Seitenl"angen R & a/2, 
%   und Winkel  arcsin(1/sqrt 3).
% Sinussatz: sinh R/sin pi/2 = sinh a/2 / (1/sqrt 3)
%   ==> sinh a/2 = sqrt 3 * sinh R 
%
% Dreieck, das halbe Raumdiagonale enthaelt, hat Seiten r & R,
%   und Winkel ist   arcsin(sqrt 2/sqrt 3).
% Die fehlende Seite f ist nach Kosinussatz (fuer R)
%   cosh R = cosh r cosh f  ==>  cosh r = cosh R / cosh f
% Sinussatz: sinh f / (sqrt 2/sqrt 3)) = sinh R / sin pi/2
%   ==> sinh f = sinh R * sqrt 2/sqrt 3
% Wegen  cosh f = sqrt(1+sinh^2 f) gibt das zusammen:
%
%                     cosh R 
%   cosh r = ------------------------------
%            sqrt[ 1 + sinh^2 R * 2 / 3 ]
% 
% Offenbar hat  d/dR cosh r  keine Nullstelle fuer  R>0  und damit
% ist  f(R)  monoton.  Weiter ist  cosh r = 1  fuer  R=0 .  Das
% Bildinterval ist also  (0,lim_{R-->infty} r) . 
% Dieser limes ist gegeben durch 
%
%             cosh R          3            3
% cosh r --> -------- * sqrt(---)  = sqrt(---)
%             sinh R          2            2
%

% Bemerkung: 
% Der Diederwinkel des Wuerfels ist stetig und
%   90 Grad   fuer  R=0  (euklidisch)
%   60 Grad   fuer  R-->infty  (kann man z.B. durch Quadratberechnung
%             fuer ein den Wuerfel halbierendes Quadrat (mit
%             Inkreis  lim r  feststellen: das hat genau 60 Grad Eckwinkel)
% Der einzig pflasternde endliche Wuerfeln hat daher Diederwinkel 72 Grad.

\eject
\baselineskip16 true pt

\def\Titel{Differentialgeometrie I}     % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{16. Januar 1997}             % Aktuelles Datum
\def\Datum{24. Januar 2001}              % Aktuelles Datum
\def\Blatt{13}                          % Blattnummer (1997: 12)
\def\Semester{WS 96/97}                 % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren
\Machtitel
\Aufgabeno=43                      % Nummer der vorhergehenden Aufgabe
                                   % (1997: 39)

\rm \vskip-2mm


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Tangentenfl"ache einer Kurve,
                       {\rm R\"uckseite: einer Schraubenlinie}}
%
% 13.1a) von 92/93

Die Fl"ache $F(s,t) = c(t) + s \dot c(t)$ bezeichnen wir als 
{\it Tangentenfl"ache} der nach Bogenl"ange parametrisierten 
zweimal stetig differenzierbaren Kurve $c$ mit $\ddot c(t)\ne 0$.

\ta 
F"ur welche $(s,t)$ ist $F$ regul"ar? Warum wohl hei\ss t die Kurve $c$
{\it Gratlinie} der Tangentenfl\"ache?
Zeigen Sie, da"s die $s$-Linien Kr"ummungslinien mit Hauptkr"ummung~0
sind und damit $\det\,S=0$ gilt. Wie h\"angt das Normalenfeld $N$ von $F$
l\"angs dieser Kr\"ummungslinien mit der Frenetbasis von $c$ zusammen? 

% F_s = c'
% F_t = c'+sc"
% ==> |F_s|^2 = 1
%     F_s F_t = 1 
%     |F_t|^2 = 1 + s^2 kappa^2
% Nicht-regul"ar: Fuer (s,t)  mit  c"(t) = 0  oder  s = 0 .
% N = binormale(t)  der Kurve, also etwa = c' x c" / kappa
%   (Vorzeichen von  kappa  und  tau  an Vorlesungskonventionen angleichen!)
% Da  N  nur von  t  abhaengt, ist  d/ds N(t) = 0  und damit ist die 
%   s-Linie  Kruemmungslinie mit Krg. 0

\ta
Berechnen Sie die andere Hauptkr"ummung aus den Frenetdaten von $c$. 
Erleichtern Sie sich die Rechnung, indem Sie die reparametrisierte
Fl"ache $\tilde F(s,t): = F(s-t,t)$  betrachten.  
Aus welcher anderen Aufgabe 
folgt das Ergebnis l"angs jeder $s$-Linie bis auf eine Konstante?

% F~  hat orthogonale Koordinatenlinien
% Wir muessen also die t-Linien betrachten und  tilde F_tt  berechnen.
% F~_s = c'   ==> |F~_s|^2 = 1
% F~_t = (s-t)c"  ==> |F~_t|^2 = (s-t) kappa^2  und  F~_s F~_t = 0   
%  (Gausssche F.)
% 
% F~_tt =  (s-t) c'" - c"
% Weil  N(t)  auch Normale von  F~  ist und senkrecht auf  c"  steht, folgt  
%   < N , F~_tt > = < N , (s-t) c'" > = s kappa tau
%   (denn  c`" N~ = <c'", c' x c" / kappa> = kappa < c'", c' x c" >/kappa^2
%                                         = kappa tau )
% Daher hat die t-Linie Hauptkruemmung   kappa(t) tau(t) / (s-t)
% Dies ist auch die andere Hauptkr"ummung von  F(s-t,t) , denn
%   Hauptkr"ummungen sind von der Parametrisierung unabh"angig
%
% Aufgabe 40 c)

\ta
Wie lautet die Riemannsche Metrik f\"ur $\tilde F$?


\ta
Im Falle einer ebenen Kurve $c$ stellen die $t$-Linien von $\tilde F$
(Reparametrisierung von $F$) Ihnen bekannte zu $c$ geh\"orende Kurven dar,
welche? 
% Evolventen, siehe Aufg. 14


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Kommutierende ebene Vektorfelder}

Die Lieklammer zweier Vektorfelder in $\R 2$
ist stets von der Form $[X,Y]=aX+bY$, warum? Wir setzen $a,b:\R 2\to\Bbb R$ 
als Lipschitz-stetige Funktionen voraus.

\ta
Wir nehmen an, da"s in $p\in\R 2$ gilt $[X,Y]_p \not= 0$. 
L"osen Sie eine Differentialgleichung, um 
die Vektorfelder so zu reskalieren, da"s sie in 
einer Umgebung $U(p)$ {\it kommutieren}; zeigen Sie also, da"s
es (nicht identisch verschwindende) Funktionen $f,g:U(p)\to \Bbb R$ gibt mit
$[fX,gY]=0$.
%
% [fX,gY] = f[X,gY] - g(Yf)X
%         = fg[X,Y] + f(Xg)Y - g(Yf)X
%         = (fga-g(Yf))X + (fgb+f(Xg))Y
% Also suchen wir Loesungen der Dgln.
%       Yf = fa    und     Xg = -gb
% Wir koennen dazu  f  auf einer X Integralkurve beliebig vorschreiben 
% (z.B. f(x,0)=1/|X(x,0)|), 
% und dann die Dgln. laengs der y-Linien loesen; entsprechend f"ur  g . 
% Das geht solange gut, wie sich die Linien nicht wieder schneiden.
% Ein Stetigkeitsargument zeigt, da"s dies in einer Umgebung von  p  gilt.

\ta 
Kann man auch zwei gegebene Vektorfelder in $\R 3$ so reskalieren, da"s sie
kommutieren?
% Da sich die Integralkurven nicht treffen muessen: nein

%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Beispiel nicht-integrabler Daten f"ur eine Fl"ache}

Wir definieren rotationssymmetrische Daten f"ur eine Fl"ache, und
zwar w"ahlen wir die Standardmetrik als vom Fu\ss punkt unabh\"angige
Riemannsche Metrik $g_{r,\varphi}:=\langle.,.\rangle$ und
die nur vom Radius $r$ abh"angige Weingartenabbildung 
$S_{r,\varphi}:=(1+r^2)\,\id$.  
Spezialisieren Sie die Fl\"achengleichungen hierf\"ur
und zeigen Sie, da"s diese Daten 
l"angs radialer Strahlen zu einer Fl"ache integriert werden k"onnen, 
die jedoch, au"ser im Aufpunkt ($r=0$), nicht $g,S$ als Metrik
und Weingartenoperator hat. \par
Diese Aufgabe soll Ihnen belegen, wie
das Verfahren zum Beweis von Bonnets Hauptsatz der 
Fl"achentheorie stets eine Fl"ache liefert; sie besitzt die gew"unschten 
Daten allerdings nur dann, wenn die Integrabilit"atsbedingungen erf"ullt
sind; diesen Existenzbeweis zeige ich noch. 
%
% Die Fl"ache ist Rotationsfl"ache, und es reicht daher, eine ebene
%   Kurve  c(t)  zu betrachten, die wir nach Bogenlaenge parametrisiert
%   annehmen (dieser Schritt sollte auch mit der Vorlesungsmethode,
%   die Flaechengleichungen auf Frenetgleichungen zu reduzieren, heraus-
%   kommen)
% c'(t) = (cos phi(t), sin phi(t))
% n(t) = (-sin phi(t), cos phi(t))
% ==>  n'(t) = phi' (-cos phi(t), -sin phi(t))
% Es soll sein  S(c') = dN(c') = (1+t^2) c'  (modulo Vorzeichen)
% ==>  phi' = 1 + t^2  ==>  -phi(t) = t + 1/3 t^3
% c(t) = int_0^t c'
% 
% Die Metrik in radialer Richtung ist nur dann euklidisch, wenn
% die x-Komponente von  c(t) = t  ist (denn sie ist fuer eine
% Rotationsflaeche konstant, und daher  int d/dphi = 2pi c_1 =!= 2pi t ).
% Das gilt natuerlich ausser fuer t=0  nicht (kann man z.B. abschaetzen)
%
% Auch die Weingartenabbildung in radialer Richtung stimmt nicht,
% kann man fuer eine Rotationsflaeche ausrechnen und (hoffentlich)
% durch Abschaetzung zeigen.
%


\eject


\def\Titel{Differentialgeometrie I}     % Titel der Vorlesung
%\def\Datum{30. Januar 1997}             % Aktuelles Datum
\def\Datum{31. Januar 2001}             % Aktuelles Datum
\def\Blatt{14}                          % Blattnummer
\def\Semester{WS 96/97}                 % Zur Zeit noch sinnlos
\def\Prof{Prof.~Karcher/Dr.~Gro"se-Brauckmann}  % Autoren
\Machtitel
\Aufgabeno=46 %1997: 47                 % Nummer der vorhergehenden Aufgabe

\rm \vskip-2mm

\centerline{Letztes Aufgabenblatt des WS, 
            nicht alle Voraussetzungen am 31.1. vorhanden.}
%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Dreifach orthogonale Fl"achenscharen {\rm vgl. R\"uckseite}}
%
% 13.2 von 93

Auf einer offenen Teilmenge des $\R 3$ seien drei Fl"achenscharen gegeben,
die sich paarweise senk\-recht schneiden.
% Ein Beispiel auf $\R 3$ ohne eine Gerade sind konzentrische Zylinder um
% diese Gerade, alle die Gerade enthaltende Ebenen und die dazu senkrechte
% Schar von Ebenen.
Es sei $N_i$ das Normalenfeld an die $i$-te Fl"achenschar, $i=1,2,3$.

\ta
An die Schnittkurve zweier Fl"achen aus verschiedenen Scharen
ist das Normalenfeld der dritten Schar tangential.
%
% Da Fl"achen aufeinander senkrecht ist  N_i  eine ONB. ==> Beh.

\ta
Zeigen Sie mit der Symmetrie der Weingartenabbildung
$\langle D_{N_i}N_j,\,N_k\rangle = 0$ f"ur $i\not=j,k$.
%
% Auf der ersten Flaechenschar ist  N_2, N_3  eine Orthonormalbasis
% Wegen |N_1|=1  gilt  <D_{N_2} N_1, N_1 > =0
% Nun ist einerseits wegen der Symmetrie von S
%   <D_{N_2} N_1, N_3> = <D_{N_3} N_1, N_2 >
%   und andererseits wegen  <N_2,N_3>=0  auch
%   <D_{N_2} N_1, N_3> = - <D_{N_3} N_1, N_2 >
% Also verschwinden diese Ausdruecke.

\ta
Beweisen Sie nun Dupins Satz:
Zwei Fl"achen einer dreifach orthogonalen Fl"achenschar schneiden
sich in Kr"ummungslinien.
%
% Nach b) muss daher  D_{N_2} N_1 = a * N_2  sein.
% Dies ist genau die Characterisierung der N_2 Linien als Kr"ummungslinien.
% Andererseits sind das nach a) gerade die Schnittlinien.
\ta
{\it Beispiele}: Die R\"ohren um eine Raumkurve $c$ (Aufg. 16, 34) und die
Normalebenen von $c$ schneiden sich in Kr\"ummungslinien (Aufg. 37). Die von
im Normalenb\"undel {\it parallelen} Vektorfeldern l\"angs $c$
 erzeugten Fl\"achen (Aufg. 40) schneiden die beiden anderen orthogonal, also
in Kr\"ummungslinien. (Man kann sogar jedes orthogonale Netz in einer 
Normalebene normal-parallel verschieben.)


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Eine Konsequenz der Codazzi-Gleichungen}

Wir betrachten eine Fl"ache mit zwei unterschiedlichen Hauptkr"ummungen
$\lambda_1\not=\lambda_2$.

\ta
Zeigen Sie durch kovariantes Differenzieren
von $Se_i=\lambda_ie_i$ (f"ur $i=1,2$) und unter Benutzung der
Codazzi-Gleichungen, da"s die geod"atische Kr"ummung der Kr"ummungslinien
zur Hauptkr"ummung $\lambda_2$ erf"ullt
$\kappa_{g,2} =  D\lambda_2(e_1) /(\lambda_1-\lambda_2)$.
Geben Sie auch die entsprechende Formel f"ur die geod"atische
Kr"ummung $\kappa_{g,1}$ der anderen Schar von Kr"ummungslinien an.
Welchen Ausdruck erhalten Sie f"ur die Lieklammer $[e_1,e_2]$?
%
% S e1 = lambda1 e1
% ==>  (nabla_e2 S) e1 = dlambda1(e2) e1 + lambda1 nabla_e2 e1 - S nabla_e2 e1
% Da  |e1| = 1  ist  nabla_e2 e1  senkrecht auf  e1 , also
%   S nabla_e2 e1 = lambda2 nabla_e2 e1 .  Weiter ist
%   nabla_e2 e1 = kappa_g2 e_2  und  daher insgesamt
% (nabla_e2 S) e1 = dlambda1(e2) e1 + (lambda1 - lambda2) nabla_e2 e1
%                 = dlambda1(e2) e1 + (lambda1 - lambda2) kappa_g2 e2   (*)
% Fuer den Ausdruck  (nabla_e1 S) e2  aehnlich, jedoch gilt wegen
%   nabla_e2 e1 = - kappa_g1  die Gleichung
% (nabla_e1 S) e2 = dlambda2(e1) e2 - (lambda2 - lambda1) kappa_g1 e1   (*)
%
% Die Codazzi-Gleichung  dS = 0  sagt   (nabla_e2 S) e1 = (nabla_e1 S) e2 .
% Also stimmen die rechten Seiten beider Gleichungen (*) ueberein, und
%   wir erhalten zwei Gleichungen durch Aufspalten in  e1  und  e2 -Komponente.
% Fuer  e1:
%   dlambda1(e2) e1 = (lambda1 - lambda2) kappa_g1 e1
% und fuer e2:
%   dlambda2(e1) e2 = (lambda1 - lambda2) kappa_g2 e2
%
% Die Lieklammer  [e1,e2] = nabla_e1 e2 - nabla_e2 e1
%                         = kappa_g2 e1 + kappa_g1 e2

\aufgtab
Wir setzen von nun an Rang$(S)=1$ voraus, also z.B.~$\lambda_1=0$,
$\lambda_2\not=0$.
\ta
Warum sind die entsprechenden Kr"ummungslinien Geraden und
die Kr"ummungslinien zu $\lambda_2$ Parallelkurven?
%
% nach Teil a) ist  kappa_g1 = 0 ,  also  c"^{tan} = 0
% wegen  lambda_1 = 0  ist  c"^{vert} = 0
% insgesamt  c" = 0  und sogar
% dN c' = dF Sc' = dF lambda_1 c' = 0  ==>  N = const laengs der Geraden
%
% Da die Geraden senkrecht von den 2-Linien geschnitten werden, sind
% diese nach der 1.Variation parallel

\ta
In der Vorlesung wurde (evtl. sp"ater) f"ur Parallelkurven die 
{\it Ricatti-Gleichung} $\kappa_g'=-\kappa_g^2 - \det\,S$ gezeigt.
Folgern Sie, da"s % entweder $lambda_2$ konstante Ableitung hat oder
 (wie bei jedem Kegel) $1/\lambda_2$ linear ist.
%
% Entweder ist lambda_2  konstant laengs einer 1-Linie  (dann ist kappa_g = 0 )
% Wenn  kappa_g = 0  an einer Stelle ist, so nach der Gleichung auch
%   kappa_g' , und nach dem Eindeutigkeitssatz ist  kappa  identisch null.
% Sonst gilt:
% (1/kappa)' = - kappa'/kappa^2 = -1 nach Riccati-Glg.
%   ==>  1/kappa = -t  oder  kappa = -1/t
% Mit  d(log lambda2) = dlambda2(e1) / lambda2 = -kappa_g2  von Teil a)
%   folgt  d(log lambda2) = -1/t  und daher mit Integration
%   int_1^t -1/s ds = int_1^t log lambda_2(s) ds
%                   = log lambda_2(t) -  log lambda_2(1)
%   also exponentiert:
%   ==>   -1/t = lambda_2(t) * const


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Eine Symmetrie des Kr"ummungstensors $R$}
%
Benutzen Sie {\bf nur}, da\ss\ der $R$ in seinen drei Argumenten
$X,Y,Z \mapsto R(X,Y)Z$ linear ist und da\ss\  die Identit"aten
({\it i}) $R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$,
({\it ii}) $R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y = 0$
und ({\it iii}) $g(R(X,Y)U,V)=-g(R(X,Y)V,U)$ gelten,
um $g(R(X,Y)U,V) = g(R(U,V)X,Y)$ zu zeigen.
%
% Lsg. z.B. GKM p.92
%
% Die Gleichung zeigt, dass der Kruemmungstensor eine symmetrische
% Abbildung auf den Ebenen  Lambda^2(TM)  induziert.


%-----------------------------------------------------------------------

\aufg{Vergleich von Jacobifeldern auf Fl"achen {\rm (Definition bis 7.2.)}}
%
% vgl. Sturmscher Vgl.satz, z.B. Spivak IV p.333

Es seien zwei nach Bogenl"ange parametrisierte
Geod"atische $c_1,c_2$ auf Fl"achen gegeben.
Wir betrachten normale Jacobifelder $J_1=a\;{\rm Rot}(90^\circ)\,\dot c_1$
und $J_2=b\;{\rm Rot}(90^\circ)\,\dot c_2$ l"angs dieser Geod"atischen,
und nehmen f"ur die jeweiligen Gau"s-Kr"ummungen $K(t)\ge L(t)$ an.

\ta
Zeigen Sie den Vergleichssatz:
Ist $a(0)=b(0)$, $a'(0)=b'(0)$ und $a> 0$ auf $(0,T)$,
so folgt $a(t)\le b(t)$ auf $[0,T]$.
Dazu betrachten Sie logarithmische Ableitungen von $a$ und $b$,
nachdem Sie $a'b-ab'$
unter Benutzung der Jacobifeldgleichung differenziert haben.
%
% Jacobifeldgleichung: a"+kappa a = 0  und  b"+lambda b = 0
%
% ==> (a b' - a'b)' = ab" - a"b
%                   = ab(K-L)
% Wenn ab>=0  und  kappa>=lambda  folgt also  aus
%   f(0):=a b'(0) - a'b(0)  >= 0  und  f'>=0
%   offenbar  f(t) >= 0  fuer alle  t , fuer die noch  a b >= 0  gilt  .
% Wir nehmen zunaechst  a,b > 0  an
% Dann ist  (log a)' =< (log b)'
%   und daher  a(t) =  e^{log a(t)}
%                   =  e^{int_0^t log'a(s) ds) }
%                   =< e^{int_0^t log'b(s) ds) }
%                   =  e^{log b(t)} = b(t)
% Also ist entweder  b >= a  oder  b=0.  Weil aber  a > 0  und  b  stetig
%   muss auch  b > 0  sein, und alles ist gezeigt.
%
% Die Ungleichung sogar wenn nur  a >= 0:
% Sie ist gewiss richtig, wenn  a  identisch verschwindet.
% Die Nullstellen von  a  sind sonst isoliert, und koennen wegen  a  in  C^2
%   und  a >= 0  nur in  0  und  T  auftauchen.  Ebenso f"ur  b  und
%   die Ungleichung folgt im allgemeinen Fall durch Grenzwertbildung.

\ta
Eine L"osung, die nicht identisch verschwindet, hat h"ochstens einfache
Nullstellen (das hei"st die Ableitung ist von 0 verschieden in jeder
Nullstelle).
%
% Eindeutigkeitssatz

% \ta
% Es sei $[\sigma,\tau]\subset[0,T]$ ein Intervall mit
% $a(\sigma)=b(\sigma)$, $a(\tau)=b(\tau)$
% und $0<a\not=b>0$ in $(\sigma,\tau)$.
% Integrieren Sie $a'b-ab'$ auf, um $a>b$ in $(\sigma,\tau)$ zu zeigen.
%
% Weil  a,b>0  ist, wieder (ab'-a'b)' >= 0  ==>
% 0 =< int (ab'-a'b)'
%   =  a(t)b'(t)-a'(t)b(t) - a(s)b'(s)+a'(s)b(s)
%   =  [ b'(t) - a'(t) ] a(t) -  [ b'(s) - a'(s) ] a(s)
% Ist a ungleich b , aber a=b  in den Randpunkten, so muss nach dem
%   Eindeutigkeitssatz die Ableitung in den Randpunkten von  0  verschieden
%   sein.
% Waere  a<b , so waere die erste Klammer negativ, die zweite positiv
%   und Widerspruch folgt.  Also  a>b .

% \ta
% Folgern Sie nun den Vergleichsatz:
% Ist $a(0)=b(0)$, $a(T)=b(T)$, $a'(0)>0$ und $b>0$ auf $(0,T)$,
% so folgt $a(t)\ge b(t)$ auf $[0,T]$.
%
% Entweder verschwindet  a-b  identisch und alles ist gezeigt.
% Oder  a-b  hat isolierte Nullstellen.
% Auf jedem kleinsten Teilintervall zwischen zwei solchen Nullstellen
% gilt nach b)  a>b .  Also gilt sogar insgesamt  a>b

%-----------------------------------------------------------------------


\bye