%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PlainTex mit allen Macros %%%%%%%%%%%%%%%%% \input amssym.def % small letters for UNIX, not: AMSsym.def \magnification=\magstep1 \baselineskip=16 true pt % Zeilenabstand \rightskip=-0.1cm %\nopagenumbers \def\lf{\ \hfil\break} % Neue Zeile ohne Einr"ucken, 'linefeed' \def\LF{\medskip\noindent} % Neue Zeile mit breiterem Zwischenraum \def\const{{\rm const}} % F\"ur Benutzung in Mathe-Mode \def\Const{{\rm Const}} \def\span{{\rm span}} \def\sign{{\rm sign\,}} \def\Abb{{\rm Abb}} \def\id{{\rm id}} \def\Hom{{\rm Hom}} \def\Aut{{\rm Aut}} \def\Bil{{\rm Bil}} \def\Spur{{\rm Spur}} \def\End{{\rm End}} \def\Re{{\rm Re\;}} \def\Im{{\rm Im\;}} \def\Abst{{\rm Abst}} \def\mod{{\rm \;mod\;}} \def\rang{{\rm \;rang\;}} \def\grad{{\rm grad\,}} \def\Log{{\rm Log\;}} \def\sag{\hbox{s\"ag}\,} % hbox wg Umlaut \def\floor{{\rm floor}\,} \def\ceil{{\rm ceil}\,} \def\BR{\Bbb R} % Besondere Buchstaben \def\BC{\Bbb C} \def\BN{\Bbb N} \def\BQ{\Bbb Q} \def\BS{\Bbb S} \def\BZ{\Bbb Z} \def\epd{$\epsilon$-$\delta$} \def\CB{{\hbox{\eu B}}} \def\SS{\hbox{\eu S}} \def\ST{\hbox{\eu T }} \def\SRS{\hbox{\eu RS}} \def\e{\hbox{{\bf e}}} \def\i{\hbox{{\bf i}}} \def\kgt{\buildrel{k}\over >} % Relationen mit Verzierung \def\klt{\buildrel{k}\over <} \font\sc=cmcsc10 scaled \magstep0 %% or: at 10 pt \font\eu=eusb10 %at 10 pt \font\small=cmr8 at 8 pt \font\cmrX=cmbx10 scaled \magstep 1 %% 12 point CM \font\cmrXX=cmbx12 scaled \magstep 1 %% %\input epsf % for UNIX %\input epsf.def %\input epsf.def for MAC f"ur BILDER!! \def\Ph#1{\phantom{\vrule width #1 true cm height 0.125 true cm depth 0 pt}} %% horizontaler Leerraum in cm \bigskip \centerline{\cmrX Vorschl\"age zur Anf\"angerausbildung} \LF Im Akademischen Jahr 99/00 habe ich in einer 6-st\"undigen Anf\"angervorlesung Analysis und Lineare Algebra gemeinsam behandelt. Zu der Frage, ob 6- oder 8-st\"undig, hatte es kontroverse Diskussionen gegeben, die r\"uckblickend nicht mehr so wichtig sind, weil der begrenzende Faktor die bei vielen Studierenden ungen\"ugende Auseinandersetzung mit den Hausaufgaben war. Ich habe auch in 6 Stunden mehr erz\"ahlt als nachgearbeitet worden ist, obwohl die Studierenden nicht den Eindruck hatten, ich st\"unde unter Zeitdruck. \lf Verschiedene Abweichungen von der Standardliteratur sind in dieser Vorlesung gut ange\-kom\-men, so da\ss{} ich dar\"uber berichten m\"ochte.\LF In der Linearen Algebra handelt es sich um zwei \"Anderungen, die sich auf die Beweisstruktur der Theorie nicht auswirken, wohl aber auf die Koordination mit der Analysis und auf den Transfer des Gelernten. Ich will sehr nachdr\"ucklich daf\"ur pl\"adieren, die Skalarprodukte {\bf vor} den Determinaten zu behandeln, und ich will schildern, warum es g\"unstig war, als h\"aufigste Beispiele Polynomvektorr\"aume auftreten zu lassen und nicht haupts\"achlich die Standardr\"aume $K^n$ zum \"Uben zu nehmen.\LF In der Analysis bin ich einem Konzept gefolgt, da\ss{} in der Beweisstruktur (im ersten Semes\-ter) stark vom Standardaufbau abweicht. Ich pl\"adiere f\"ur eine ge\"anderte Reihenfolge der Hauptbegriffe, n\"amlich:\ {\bf Differenzierbarkeit, Vollst\"andigkeit, Stetigkeit.} \lf Auch hier bekommen die Polynome ein st\"arkeres Gewicht, und die Zeit, die f\"ur Aufgaben zur Differentialrechnung zur Verf\"ugung steht, wird verl\"angert. Da\ss{} diese Reihenfolge \"uberhaupt m\"oglich ist, liegt im wesentlichen an zwei mathematischen Tatsachen:\LF 1.) Der Monotoniesatz: ``$f' \ge 0 \Rightarrow f$ schwach wachsend'' (und die \"ublichen Folgerungen) l\"a\ss{}t sich f\"ur Polynome schon beweisen, wenn man nur die rationalen Zahlen kennt. (Der Beweis des sonst verwendeten Mittelwertsatzes -- \"uber den Maximumsatz f\"ur stetige Funktionen -- ist wesentlich verwickelter.) \LF 2.) Die Eigenschaften von Grenzfunktionen, Differenzierbarkeit vor allem, k\"onnen mit gleichm\"a\ss{}igen Fehlerabsch\"atzungen ebensogut hergeleitet werden, wie mit gleichm\"a\ss{}iger Konvergenz. (Die Argumente sind sogar einfacher und k\"urzer.) \LF F\"ur die Vorteile einer so ge\"anderten Reihenfolge werde ich mit Beispielen argumentieren. \bigskip \centerline{\bf Lineare Algebra Vorschl\"age} \LF {\sc Warum hilft es, Skalarprodukte vor Determinanten zu behandeln?} \LF 1.) Anwendungen der Skalarprodukte in der Analysis liegen weit vor Anwendungen der Determinaten in der Analysis. \LF 2.) Die Analysis braucht Skalarprodukte fr\"uher als die Lineare Algebra die charakteristi\-schen Polynome. \LF 3.) Die Bedeutung der Funktionaldeterminante ist konzeptionell schwieriger als das charakteristische Polynom. Daher scheint es mir hilfreich, die Eigenschaften der Determinante (multilinear + alternierend) durch anschauliche Volumeneigenschaften (Cavalieri) nahe zu legen. Zumindest in Anf\"angervorlesungen m\"ussen dazu Einheitsw\"urfel schon bekannt sein. \LF 4.) Die Normalformen der selbstadjungierten, der orthogonalen oder der schiefen Endomorphismen werden h\"aufiger ben\"otigt und k\"onnen leichter hergeleitet werden als (auch Abschw\"achungen) der Jordanschen Normalform. Um diese spezielleren Normalformen auch eher behandeln (und l\"anger \"uben) zu k\"onnen, m\"ussen Skalarprodukte vorhergehen. \LF 5.) In Dimension 2 ist es leicht, die Gleichung $(a_{11} - \lambda) \cdot (a_{22} - \lambda) - a_{12} \cdot a_{21} = 0$ durch Gau\ss{}elimination als notwendige und hinreichende Bedingung f\"ur rang $(a-\lambda \id) < 2$ auftreten zu lassen. \lf Ein guter Tip f\"ur h\"ohere Dimensionen: $a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$ ist der (signierte) Fl\"acheninhalt des Parallelogramms aus den Spaltenvektoren. \LF 6.) Die Dreiecksungleichung f\"ur die Norm $|x|^2=\sum(x_j)^2$ f\"uhrt auf Skalarprodukte. \LF 7.) Da Linearformen, z.~B.\ die Auswertungsabbildungen $P \mapsto P(a)$ auf dem Vektorraum der Polynome vom Grad $\le d$ schon bekannt sind, hat man {\bf viele} euklidische Normen, w\"ahle z.~B. $n\ge d+1$ Stellen $a_1,\dots,a_n$ und definiere $$\Vert P\Vert^2 := P(a_1)^2 + P(a_2)^2 + \ldots + P(a_n)^2, $$ die entsprechenden Skalarprodukte sind: $$\langle P,Q\rangle := P(a_1) \cdot Q(a_1) + P(a_2) \cdot Q(a_2) + \ldots\ + P(a_n) \cdot Q(a_n).$$ Im Gegensatz dazu kann man Determinanten nicht direkt hinschreiben, sondern erst nach Kenntnis des Vorzeichens von Permutationen. \LF {\sc Warum sind Polynomvektorr\"aume oft bessere Beispiele als die Standardvektorr\"aume?} \LF 1.) Basiswechsel in $K^n$ wirken auf viele Anf\"anger als Verschlechterung gegen\"uber der Standardbasis. Demgegen\"uber sind bei Polynomen die verschiedenen Taylorbasen $$\{P_k(X):=(X-a)^k;\ \ 0 \le k \le n \}$$ viel gleichberechtigter. Auch die Interpolationsbasen $$ \{P_k(X):= \prod_{j\in\{0,\dots,n\}\setminus\{k\}} (X-a_j)/(a_k-a_j);\ \ k=0,\dots,n \}$$ sind optimal f\"ur naheliegende Interpolationsprobleme, aber ung\"unstig zum Differenzieren. \LF 2.)Man hat mit den Auswertungen $P\mapsto P(a)$ einen gro\ss en Vorrat an Linearformen, die nicht so leicht wie bei $n$-Tupeln mit Elementen des Vektorraums verwechselt werden k\"onnen. Aber nicht alle interessanten Linearformen sind Auswertungen, vgl.~etwa die numerische Integration: $P\mapsto (P(a)+P(b))\cdot(b-a)/2$. \LF 3.) Die grundlegende Aufgabe: \centerline{\it Zeige, da\ss\ die folgenden Elemente linear (un)abh\"angig sind!}\noindent kann nat\"urlicher als bei $K^n$-Beispielen variiert werden. Zum Beispiel sind die Polynome $P_k$ einer Interpolationsbasis linear unabh\"angig, weil man nur die Auswertungen $P\mapsto P(a_j)$ auf eine Linearkombination $\sum\lambda_k\cdot P_k=0$ anwenden mu\ss, um $\lambda_j=0$ zu erhalten. Auch die Frage: \centerline{\it Sind $\{X\cdot(X-1)\cdot(X-2),\ X\cdot(X-1)\cdot(X-3),\ X\cdot(X-1)\cdot(X-4)\}$ linear abh\"angig?} \noindent zeigt den Nutzen des Einsatzes linearer Abbildungen bei derartigen Problemen. \lf Hier: $ L_Q(P):=Q\cdot P,\ \ (Q(X):=X\cdot(X-1)\ )$. \LF 4.) Ein ganz sicherer Umgang mit Polynomen ist so wichtig, da\ss\ sie in Analysis und Linearer Algebra ge\"ubt werden sollten. \LF \centerline{\bf Analysis Konzept} \LF I. {\sc Warum k\"onnte man w\"unschen die Differentialrechnung vor der Stetigkeit zu beginnen?} \LF I.1. Historisch war das 200 Jahre lang so. \LF I.2. In der Differentialrechnung ist einerseits ein Kalk\"ul einzu\"uben, andererseits mu\ss\ Verst\"andnis daf\"ur geweckt werden, wie Ableitungsinformationen zu guten Informationen \"uber $f$ f\"uhren und warum man das \"uberhaupt will. Bei der Stetigkeit gibt es keinen Kalk\"ul: Linearkombinationen, Produkte, Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig -- ``{\it wie soll es denn sonst sein??}'' Auch Haupts\"atze wie Zwischenwertsatz und Maximumsatz sind {\bf viel} leichter zu glauben und anzuwenden als zu beweisen. Kurz: In der Differentialrechnung mu\ss\ viel mehr Technik ge\"ubt werden. \LF I.3. Wenn zu Beginn der Behandlung der Stetigkeit schon Erfahrungen mit Dreiecksun\-glei\-chung und konvergenten Funktionenfolgen vorliegen, kommt man erstens bei der Behandlung der Stetigkeit schneller voran, und zweitens kann man die zu dem Begriff geh\"orenden Beispiele von Anfang an mit auftreten lassen. \LF II. {\sc Warum kann man die Differentialrechnung vor der Stetigkeit beginnen?} \LF II.1. Die Polynome erlauben bez\"uglich der Stetigkeit eine explizite Behandlung: \centerline{ Aus $x^n-a^n = (x-a)\cdot(x^{n-1}+\dots +a^{n-1})$ und $ x,a\in[-R,\ R]$ folgt:} \centerline{$|x^n-a^n|\ \le nR^{n-1}\cdot |x-a|$.} \noindent Daher kann man f\"ur Polynome aus den Funktionsdaten {\it auf jedem Intervall Dehnungs\-schran\-ken ausrechnen}: \centerline{ Aus $P(X):=\sum_0^n a_kX^k$ und $x,a\in[-R,\ R]$ folgt:} \centerline{ $|P(x)-P(a)| \le \left(\sum|a_k|k\cdot R^{k-1}\right)\cdot|x-a|$.} \noindent II.2. Nicht notwendig, aber aus meiner Sicht w\"unschenswert, ist die Beobachtung, da\ss\ die Graphen quadratischer Funktionen {\bf zwischen} Kreisen und deren Tangenten verlaufen. Man kann also mit demselben Recht von Tangenten sprechen wie bei Kreisen. \LF II.3. Das Argument aus (II.1) kann wiederholt werden, um Polynome mit quadratischen Funktionen zu vergleichen: \lf{ Aus $|x^n-a^n - na^{n-1}\cdot(x-a)| = |(x-a)\cdot(x^{n-1}+\dots +a^{n-1}) - (x-a)\cdot na^{n-1}|$ } \lf{ und $x,a\in[-R,\ R]$ folgt:} \centerline{ $|x^n-a^n - na^{n-1}\cdot(x-a)| \le {n(n-1) \over 2} \cdot|x-a|^2$.} \noindent und dies setzt sich wieder auf Polynome $P(X):= \sum a_kX^k$ und $x,a\in[-R,\ R]$ fort: $$|Px)-P(a)-P'(a)\cdot(x-a)| \le \left(\sum |a_k|{k(k-1) \over 2} \cdot R^{k-2}\right )\cdot|x-a|^2. $$ Die Abweichung von der Tangentenapproximation $x\mapsto P(a)+P'(a)\cdot(x-a)$ wird also durch einen quadratischen Fehler kontrolliert, {\it der wieder auf jedem Intervall aus den Funktionsdaten berechenbar ist}. \LF II.4. Die \"ublichen Beweise der {\it Differentiationsregeln} haben folgende Eigenschaft: Versch\"arft man die Voraussetzungen -- zum Beispiel wie in (II.3): ``Die Abweichung von der Tangente sei gleichm\"a\ss ig quadratisch kontrolliert'' --, so ergeben sich auch die entsprechend versch\"arften Behauptungen. \LF II.5. Die {\it rationalen Funktionen} sind wegen der Kettenregel zug\"anglich, weil man $x\mapsto 1/x$ als weiteres Beispiel ohne Theorie behandeln kann: $$ 00 \Rightarrow f> 0$ in $[a-\delta,\ a+\delta]$ ist eine neuartige Schwierigkeit. Wir kommen zur \epd-Definition. \LF V.3. Abschlu\ss\ des Semesters sind die Haupts\"atze \"uber stetige Funktionen, mit Beispielen von Cantor, Hilbert, Koch, Weierstra\ss. Das macht die Haupts\"atze eindrucksvoller. \LF {\it Vom zweiten Semester an steht auch den so Ausgebildeten die Standardliteratur zur Verf\"u\-gung. Ein 60-Seiten Manuskript liegt auf meiner homepage}. \bye