Quadratische Formen: S1G1 Bachelor Seminar (SS 2019)
Prof. Dr. D. Huybrechts
, Isabell Grosse-Brauckmann
E-mail: huybrech@math.uni-bonn.de ,
igb@math.uni-bonn.de
Ort und Zeit:
Donnerstag 14:00-16:00 im Seminarraum 0.008 (Endenicher Allee 60)
VORBESRECHUNG zur Vortragsvergabe: Freitag 25.1. nach der Vorlesung, im GHS
Inhalt:
Resultate der Linearen Algebra I zeigen, dass alle nichttrivialen
Linearformen die selbe Normalform besitzen. In der Linearen Algebra
II werden wir sehen, dass über algebraisch abgeschlossenen Körpern
alle nichtausgearteten quadratischen Formen ebenfalls die selbe
Normalform besitzen. Ziel des Seminars ist es nun, die Situation
über anderen Körpern und über dem Ring der ganzen Zahlen zu studieren.
Grundlage des Seminars ist der Klassiker:
J.-P. Serre: A course in arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7. Springer.
Vortragsliste:
Beschreibung der Vortragsthemen:
Quadratische Formen, orthogonale Zerlegungen
Geben Sie einen ausführlichen Überblick über Kapitel 4.1 bis einschliesslich
Theorem 1. Versuchen Sie dies mit Abschnitt 1.6 aus Kapitel 4 zu
mischen, wobei Theorem 4 zunächst weggelassen wird. Ziehen
Sie Konsequenzen aus Theorem 1, indem sie die quadratischen Formen
über den komplexen und den reellen Zahlen klassifizieren,
wobei wir den Trägheitssatz von Sylvester ohne Beweis verwenden.
Quadratische Formen über endlichen Körpern
Geben Sie den Inhalt von Kapitel 1.1 und 1.2 möglichst vollständig wieder.
Klassifizieren Sie anschliessend alle quadratischen Formen über endlichen Körpern, so wie es im Kapitel 4.1, Abschnitt 1.7 beschrieben ist.
Grundlagen der p-adischen Zahlen
Stellen Sie den Körper der p-adischen Zahlen vor, und zwar so, wie es
im Kapitel 2.1 und 2.2 beschrieben ist. Eventuell mag ein Vergleich
mit den Laurent- bzw. Taylorreihen zur Veranschaulichung sehr hilfreich sein.
Die multiplikative Gruppe der p-adischen Zahlen
Beschreiben Sie die multiplikative Gruppe der
p-adischen Zahlen, indem Sie sich an Kapitel 2.3
orientieren. Sie werden dafür die Notation aus Kapitel 1.3
brauchen, den sie daher auch kurz vorstellen sollen.
Auf den Beweis des Reziprozitätsgesetzes (Theorem 6) wird verzichtet,
doch auf die Bemerkung im Anschluss zur Berechnung des
Legendre-Symbols sollte eingegangen werden.
Das Hilbert-Symbol, Teil 1
Stellen Sie Kapitel 3.1 so ausführlich wie möglich vor.
Besonders die Bemerkung zum Schluss mag recht hilfreich sein.
Quadratische Formen über den p-adischen Zahlen
Geben Sie eine Klassifikation aller quadratischen Formen über
den p-adischen Zahlen. Alles, was Sie dafür benötigen, finden Sie
in Kapitel 4.2. Da der Abschnitt vergleichsweise umfangreich ist,
wird man an der ein oder anderen Stelle wohl kürzen müssen.
Der Abschnitt 2.4 wird weggelassen.
Das Hilbert-Symbol, Teil 2, und lokale Invarianten
Diskutieren Sie zunächst die "globalen" Eigenschaften des
Hilbert-Symbols, so wie in Kapitel 3.2 beschrieben. Definieren
Sie anschliessend die lokalen Invarianten einer quadratischen Form über
Q. (Kapitel 4, Abschnitt 3.1) Hierfür brauchen wir auch
die Begriffe und Ergebnisse aus Kapitel 4, Abschnitt 2.4.
Fassen Sie alles noch einmal zusammen, so wie in der Bemerkung im Abschnitt 3.3 geschehen.
Quadratische Formen über den rationalen Zahlen
Stellen Sie das Hasse Prinzip vor und klassifizieren Sie die
quadratischen Formen über Q. Alles Wichtige finden Sie in den Abschnitten 3.2 und 3.3 im Kapitel 4.
Der (Grothendieck) Witt-Ring
Stellen Sie das Monoid der quadratischen Formen vor.
Schildern Sie nun, wie man aus einem Monoid eine Gruppe
macht und veweisen Sie in diesem Zusammenhang das Wittsche Theorem. Definieren Sie nun den Grothendieck-Witt-Ring und den Witt-Ring. Interpretieren Sie deren Elemente und geben Sie Erzeuger an. Als Literatur empfiehlt sich Serre: Kapitel 4, Abschnitt 1.5, aber man vergleiche Kapitel 2.1 sowie das Kapitel 1 für das Wittsche Theorem im Buch
'Introduction to Quadratic Forms over Fields' von T.Y. Lam.
Unimodulare Gitter, Beispiele
Geben Sie den Inhalt von Kapitel 5.1 so gut wie möglich
wieder. Wichtig sind vor allem die Beispiele. Der Abschnitt 5 kann
stark gekürzt werden, weil analog schon
Vortrag 9 gemacht.
Klassifikation indefiniter Gitter
Klassifizieren Sie alle indefiniten Gitter und beschreiben Sie die Grothendieck-Witt-Gruppe, so wie in Kapitel 5.2 und 5.3 beschrieben. Der Abschnitt 2.3
wird weggelassen.
Dank an Sven Meinhardt. Das Programm folgt einem von ihm im SS 2012 abgehaltenen S1G1 Seminar.