Hauptseminar Knotentheorie (WS 08/09)

Beschreibung

Knotentheorie ist ein wichtiger Zweig der Topologie. Dieses Seminar ist für Interessenten ohne topologische Vorkenntnisse gedacht, es wird nicht mehr als der Stoff des Grundstudiums vorausgesetzt. Das Seminar bietet auch einen guten Einstieg in die algebraischen Topologie.

Ein Knoten ist eine Einbettung einer Kreislinie in den dreidimensionalen Raum.

Zwei Knoten sind äquivalent, wenn sie durch stetige Verformung ineinander überführt werden können. Ziel der Knotentheorie ist es, mathematisch zu entscheiden, ob zwei Knoten äquivalent sind, oder (wichtiger und schwieriger) mit Knoteninvarianten zu beweisen, daß sie nicht äquivalent sind.

Um Knoten zweidimensional darzustellen, verwenden wir Knotendiagramme:

Je zwei Knotendiagramme von äquivalenten Knoten lassen sich durch Reidemeister-Bewegungen ineinander überführen:

Die Knotentheorie stellt wichtige Techniken und Werkzeuge bereit für

• die geometrische Topologie, weil jede geschlossene 3-dimensionale Mannigfaltigkeit durch Dehn-Chirurgie an einem Knoten oder einer Verschlingung (der Vereinigung verschiedener Knoten) erzeugt werden kann,
• die hyperbolische Geometrie, weil die Komplemente der meisten Knoten in der 3-dimensionalen Sphäre eine vollständige hyperbolische Metrik tragen,
• die Biochemie bzw. Strukturbiologie, mit denen überprüft werden kann, ob komplizierte Faltungen von Proteinen mit anderen Proteinen übereinstimmen, und
• die theoretische Physik, genauer für die Quantenfeldtheorie, wo es um Pfade in Feynmandiagrammen geht.

Ziele des Seminars:

1. Die exakte Modellierung.
2. Strukturen und Operationen.
3. Die Knotengruppe.
4. Das Jones-Polynom.
5. Weitere mögliche Themen je nach Interesse der Studenten. Z.B. Verschlingungszahl, Seifertfläche, Knotengeschlecht, Primzerlegung von Knoten, Dehn Chirurgie und 3-Mannigfaltigkeiten, Quanteninvarianten, Khovanov-Homologie, Knoten-Floer-Homologie, Signatur, "Slice"-Knoten, topologische Quantenfeldtheorie u.v.m.

Literatur:

• Colin C. Adams: Das Knotenbuch
• R.H. Crowell und R.H. Fox: Introduction to Knot Theory
• W.B. Raymond Lickorish: An Introduction to Knot Theory
• Charles Livingston: Knotentheorie für Einsteiger
• Alexei Sossinsky: Mathematik der Knoten

Zeit & Ort

Besprechung

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