Einführung in die Algebra, Wintersemester 2020/21
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Vorlesungsform
Wenn möglich, werde ich eine normale Präsenzvorlesung halten. Beim jetzigen
Stand der Dinge scheint es mir aber wahrscheinlich, daß stattdessen eine
Onlinevorlesung stattfinden muß.
Inhalte der Vorlesung
Hauptziel der Vorlesung ist es, eine Einführung
in die Galois-Theorie zu geben. Die dafür erforderlichen Resultate aus der
Theorie der Gruppen, Ringe und Körper sind auch grundlegende Voraussetzung
für die weiterführenden Vorlesungen auf dem Gebiet der Algebra. Im einzelnen
sind dies:
- Euklidische Ringe, Hauptidealringe und Moduln darüber
- Eindeutige Primfaktorzerlegung
- Polynomringe
- Operationen auf Moduln über Ringen: Faktormodul, Lokalisierung
- Allgemeine, algebraische und endliche Körpererweiterungen
- Der algebraische Abschluß eines Körpers
- Normale und separable Erweiterungen.
- Galois-Erweiterungen und der Hauptsatz der Galois-Theorie
- Anwendungen der Galois-Theorie: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal,
Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale.
- Endliche Körper
- Bahnkombinatorik von Gruppen, Sylow-Gruppen.
Notwendiges Vorwissen
Lineare Algebra 1 und 2. Einsemestrige
Vorlesungen zur linearen Algebra, wie sie etwa für Lehrämtler gehalten werden,
sind meist unzureichend. Aus der Analysis wird der Umgang mit komplexen Zahlen
sowie rudimentäre Beherrschung der Differentialrechnung vorausgesetzt, für
einige Übungen möglicherweise auch der Zwischenwertsatz der Analysis und der
Satz über Extremwerte stetiger Funktionen auf Kompakta.
Vorlesungen der letzten Wochen