Differentialgeometrie Seminar '05/'06

Ränder Gromov hyperbolischer Räume

Einem Gromov hyperbolischen Raum X läßt sich ein topologischer Rand im Unendlichen X' zuordnen, von dem man zeigen kann, daß er metrisierbar ist.

Anders als die Topologie auf X' ist die Metrik auf X' allerdings nicht eindeutig durch die auf X bestimmt. In der Tat zeichnet die Metrik auf X eine kanonische Klasse sogenannter visueller Metriken auf X' aus.

Eine Quasi-Isometrie f von X nach Y zwischen geodätischen hyperbolischen Räumen X und Y induziert auf kanonische Weise eine Abbildung f' zwischen deren Rändern. Versieht man diese Ränder X' und Y' mit visuellen Metriken, so läßt sich zeigen, daß die Abbildung f' eine Quasi-Symmetrie ist. Andererseits gilt unter relativ schwachen Voraussetzungen auch die Umkehrung: Jede Quasi-Symmetrie zwischen Rändern visueller hyperbolischer Räume wird von einer Quasi-Isometrie zwischen den Räumen selber induziert. D.h. also, daß man Quasi-Symmetrien zwischen den Rändern ins Innere fortsetzen kann, so daß die Abbildungen im Innern Quasi-Isometrien sind.

Analog kann man zeigen, daß Rough-Isometrien im Innern Bi-Lipschitz Homöomorphismen der Ränder entsprechen.

Diese Theorie kombiniert mit einem Einbettungssatz von Assouad führt beispielsweise zu fogendem erstaunlichen Resultat:

Satz: (Bonk / Schramm 1999) Sei X ein geodätischer, Gromov hyperbolischer Raum von beschränktem Wachstum. Dann gibt es eine natürliche Zahl n und ein negatives, reelles k, so daß X rough-isometrisch zu einer konvexen Teilmenge des reell hyperbolischen Raumes der Dimension n und der Krümmung k ist.

Ziel des Seminars wird es sein, diesen Einbettungssatz zu beweisen. Desweiteren werden wir die Ränder sogenannter hyperbolischer Produkte studieren.

Literaturangaben: