Dozent: Fabian Hebestreit
Büro: 3.023
Sprechstunde: nach Vereinbarung
eMail: f.hebestreit at math.uni-bonn.de
Zeit des Seminars: donnerstags, 14:15 - 15:45 Uhr
Ort des Seminars: N0.003

Reelle Divisionsalgebren

Seminar S1G1

Übersicht

Wir wollen im Seminar untersuchen, welche interessanten Zahlerweiterungen die reellen Zahlen zulassen (wir werden als präzise Definition hiervon 'endlich dimensional' und 'nullteilerfrei' benutzen). Wir werden schnell sehen, dass es für ein kommutatives und assoziatives Zahlsystem nur die komplexen Zahlen in Frage kommen, deren Kenntnis wir voraussetzen.
Wenn man aber die Forderung der Kommutativität fallen lässt, gibt es ein weiteres wichtiges Beispiel: die Quaternionen, die wir gründlich untersuchen werden, bevor wir zeigen, dass wir die assoziativen Algebren nun alle gefunden haben. Dieser KLassifikationssatz von Frobenius ist an vielen Stellen der Mathematik enorm mützlich, auch in Bereichen, zu denen es auf den ersten Blick keine Verbindung zu geben scheint, etwa die Theorie der Darstellungen endlicher Gruppen auf reellen Vektorräen (der einfachere komplexe Fall wird in zwei parallelen Seminaren gerade behandelt): Irreduzible Darstellungen gibt es in drei Typen, reell, komplex und quaternionisch.
Lässt man auch die Forderung der Assoziativität fallen (was eine absurde Idee), so gibt es noch ein weiteres wichtiges Beispiel, das f&uamlr allerlei exotische Phänomene in der Mathematik verantwortlich ist: die Oktonionen. Auch diese werden wir studieren und abschließend den Klassifikationssatz von Zorn für sogenannte alternative Algebren beweisen, der wiederum zeigt, dass es keine weiteren Beispiele gibt.
Verzichtet man auch noch auf die Alternativität stellt sich heraus, dass keine weiteren Beispiele hinzukommen, doch bis heute ist für diese Verallgemeinerung kein elementarer Beweis bekannt. Die bestehenden Beweise nach Adams, Bott und Milnor benutzen deutlich tiefliegendere Methoden der algebraischen Topologie.


Vortragsplan

Wir folgen dem Buch 'Zahlen' von Ebbinghaus et alii, das es auch ein paarmal in der Bibliothek gibt.

Vortrag 1, 12.04. (Jonas, 4): Der Fundamentalsatz der Algebra
Die Quaternionen
Vortrag 2, 19.04. (Anastasia, 7.1): Elementare Eigenschaften
Vortrag 3, 26.04. (Florian, 7.2): Die imaginären Quaternionen
Vortrag 4, 03.05. (Vincent, 7.3): Die Gruppen O(3) und O(4)
Klassifikationssätze I:
Vortrag 5, 17.05. (Jakob, 8.1): Klassifikation assoziativer Divisionsalgebren I
Vortrag 6, 07.06. (Anna, 8.2): Klassifikation assoziativer Divisionsalgebren II
Vortrag 7, 14.06. (Miezko, 8.3): Klassifikation kommutativer Divisionsalgebren
Vortrag 8, 28.06. (Elbrus, 8.4): Klassifikation normierter Divisionsalgebren
Die Oktonionen:
Vortrag 9, 28.06. (Max, 9.1):
16:00- 18:00, Raum N0.008
Alternative Algebren
Vortrag 10, 12.07. (Sophia, 9.2): Elementare Eigenschaften
Klassifikationssätze II:
Vortrag 11, 12.07. (Marcel, 9.3):
16:00- 18:00, Raum N0.008
Klassifikation alternativer Divisionsalgebren
Vortrag 12, ... (Fabian, 11): Klassifikation beliebiger Divisionsalgebren