Derzeit bin ich noch an der Universität Bonn, ab September in Augsburg.

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Darstellungstheorie endlicher Gruppen

Das Seminar soll einen Einblick in Darstellungstheorie endlicher Gruppen geben. Eine K-Darstellung einer Gruppe G ist nichts weiter als ein Gruppenhomomorphismus

G ---> Aut(V),

wo V ein Vektorraum über einem Körper ist. Viele Gruppen sind per Definition mit so einer Darstellung ausgestattet: Als Beispiel betrachte man ein konvexes Polyeder P im R^3. Um dieses möglichst gut zu verstehen, kann etwa seine Symmetriegruppe betrachten, also all diejenige Isometrien f des R^3, mit f(P) = P.

Beim abgebildeten Dodekaeder D sind dies beispielsweise Rotationen um Mittelpunkte von Flächen, Kanten oder Ecken um 2π/5, π bzw. 2π/3 und Spiegelungen. Ist P weiterhin um 0 zentriert, so liefert das eine injektive Abbildung

Sym(P) ---> O(3)

und damit eine reelle Darstellung. Die Symmetriegruppe des Dodekaeders ist schon reichlich kompliziert (sie besitzt 120 Elemente!) und die Darstellung spielt eine große Rolle bei ihrer Analyse. Insgesamt haben wir einem geometrischen Objekt (dem Polyeder P) ein algebraisches zugeordnet (seine Symmetriegruppe Sym(P) mitsamt ihrer Darstellung), welches wir zu seinem Studium von P benutzen können. Im Seminar wollen wir den Spieß umdrehen: Wir werden eine abstrakt gegebene (endliche) Gruppe G durch ihre Darstellungen untersuchen, also durch alle Arten, wie sie sich als Gruppe von linearen Transformationen eines Vektorraums realisieren lässt. Wir werden uns hierbei auf den Fall komplexer Darstellungen beschränken, da deren Strukturtheorie deutlich einfacher ist, als die von Darstellungen über einem beliebigen Körpers.

Neuigkeiten

Unsere Zeit wurde noch einmal geändert: Das Seminar soll beginnend am 18.10. mittwochs, 10:00 - 11:30 Uhr, in Raum 3008 L1 stattfinden. Funktioniert das für alle?
Das Seminarprogramm findet sich hier. Ich habe eine mögliche Quelle für die lila Teile des Programms hinzugefügt. Die Vortragenden für Tensorprodukte und den Satz von Artin-Wedderburn, sollten sich aber am besten im Voraus noch einmal direkt mit mir in Verbindung setzen.

Desweiteren habe ich nen relativ dämlichen Fehler gemacht (danke für den Hinweis): Wir haben den Raum zwar 17mal reserviert, aber 2 der Termine sind in den Weihnachtsferien... wir haben also nur 15 Sitzungen. Für den Extratermin müssen wir uns dann am Anfang des Semesters etwas überlegen.

Literaturvorschläge

J.P. Serre: Linear representations of finite groups
L. Dornhoff: Group representation theory
J.C. Jantzen & J. Schwermer: Algebra