Darstellungstheorie endlicher Gruppen

Das Ziel dieses Seminares ist es die klassische (das heißt in Charakteristik Null) Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und die assoziierte Charaktertheorie in einer Reihe von Vorträgen zu entwickeln/wiederholen und zu verstehen.


Contact

Prof. Dr. Catharina Stroppel email
Dr. Daniel Tubbenhauer email


Wann und wo?

  • Raum und Uhrzeit:
    • Seminarraum 1.007, Mathematik-Zentrum, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn
    • Jeden Dienstag von 10:00-12:00
    • Erster Termin: 18.04.2017
  • Vorbesprechung:
    • 03.02.2017, Seminarraum 1.007, Mathematik-Zentrum, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn


Regeln für die Vorträge

Folgendes ist umbedingt zu beachten:
  • Regeln: Hier die Liste von Dingen, welche Sie für die Vorträge beachten sollten.
  • Notation: Hier eine Liste von Notation, welche abweichend von der Literatur benutzt werden soll.


Terminplan

  1. 18.04.2017, Vortragende: Franziska Fischer, Titel: Lineare Darstellungen
  2. 25.04.2017, Anmerkung: Bleibt frei
  3. 02.05.2017, Vortragender: Edgar Krill, Titel: Zerlegbarkeit
  4. 09.05.2017, Vortragender: Tobias Görgen, Titel: Produkte I
  5. 16.05.2017, Vortragender: Jan Lukas Uerz, Titel: Charaktere
  6. 23.05.2017, Vortragender: Alexander Ochs, Titel: Orthogonalität
  7. 30.05.2017, Vortragender: Sebastian Peter Schwick, Titel: Zerlegungen
  8. 13.06.2017, Vortragende: Lukas Bonfert, Titel: Induzierte Darstellungen I
  9. 20.06.2017, Vortragender: Christian Schumacher, Titel: Gruppenalgebra
  10. 27.06.2017, Anmerkung: Bleibt frei
  11. 04.07.2017, Vortragender: Lars Friederichs, Titel: Produkte II
  12. 11.07.2017, Vortragender: Lukas Schembecker, Titel: Darstellungen der symmetrischen Gruppe I
  13. 18.07.2017, Vortragende: Susanne Armbruster, Titel: Darstellungen der symmetrischen Gruppe II
  14. 25.07.2017, Vortragende: Luise Puhlmann, Titel: Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppen $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$

Teilnehmerliste: Siehe hier.


Details zu den Vorträgen

Allgemeine Bemerkungen zu den Vorträgen:
  • Die Hauptreferenz ist [Ser]. Bitte hierbei die deutsche Version verwenden. Die anderen Referenzen sind vor allem zur weiteren Unterstützung und Ausarbeitung vorgesehen.
  • Die Vorträge sollten möglichst frei gehalten werden.
  • Hier auch eine hilfreiche Seite, welche einige Tipps bezüglich ihres Vortrages gibt.
  • Eine hilfreiche Referenz für die Vorträge im Bezug auf algebraische Definitionen ist [KaMe].
  • Bitte zögern Sie nicht uns auch direkt anzusprechen!

Einzelne Details:
    • Titel: Lineare Darstellungen.
    • Themen: Ordnung von Elementen endlichen Gruppen (Definition und Beweis der Existenz), Darstellungen, Beispiele (reguläre Darstellung, Permutationsdarstellungen und assoziierte lineare Darstellungen, etc.). Einschränkungen auf Untergruppen, invariante Unterräume, Unterdarstellungen, Skalarprodukte.
    • Literatur: [FuHa, 1.1], [Ser, 1.1 - 1.3]
    • Anmerkung: Bleibt frei.
    • Titel: Zerlegbarkeit.
    • Themen: Direkte Summen, Zerlegbarkeit bzw. Irreduzibilität, Satz von Maschke, Lemma von Schur. Beispiel: $G$ abelsch.
    • Literatur: [FuHa, 1.2 + 1.3], [JaLi, 8,9,10], [Ser, 1.4 + 2.2 + 3.1]
    • Titel: Produkte I.
    • Themen: Tensorprodukt, äußeres und symmetrisches Produkt von Vektorräumen und von Darstellungen. Beispiel: $G = S_3$.
    • Literatur: [FuHa, 1.1 + 1.3], [JaLi, 19], [Ser, 1.5 + 1.6]
    • Titel: Charaktere.
    • Themen: Definition und Beispiele. Formeln für Produkte. Klassenfunktionen $C(G)$ auf $G$.
    • Literatur: [FuHa, 2.1], [JaLi, 13], [Ser, 2.1]
    • Titel: Orthogonalität.
    • Themen: Skalarprodukt, Projektoren, Darstellungsring $R(G)$ einer Gruppe. Beispiele: $G = S_4$ und $G = A_4$.
    • Literatur: [FuHa, 2.2 - 2.4], [JaLi, 16], [Ser, 2.3]
    • Titel: Zerlegungen.
    • Themen: Zerlegung der regulären Darstellung. Kanonische Zerlegung einer beliebigen Darstellung.
    • Literatur: [Ser, 2.4 - 2.6], auch [JaLi, 10]
    • Titel: Induzierte Darstellungen I.
    • Themen: Hochinduzieren einer Darstellung einer Untergruppe $H< G$ zu einer Darstellung von $G$, Konstruktion und Charaktere. (Sätze von Frobenius, Artin, Brauer und Mackey vorstellen.)
    • Literatur: [FuHa, 3.3], [JaLi, 21], [Ser, 3.3 (7, 9, 10 + 11)]
    • Titel: Gruppenalgebra.
    • Themen: $\mathbb{C}$-Moduln mit $G$-Operation, Zerlegung und Zentrum von $\mathbb{C}(G)$, Induzieren via Tensorprodukt (d.h. $\mathbb{C}[G]\otimes_{\mathbb{C}[H]}-$).
    • Literatur: [Bro, III.5], [FuHa, 3.4], [JaLi, 6], [Ser, 6.1 - 6.5], Blog
    • Anmerkung: Bleibt frei.
    • Titel: Produkte II.
    • Themen: Semidirekte Produkte, Kranzprodukte, Gruppoidenansatz.
    • Literatur: [MaSt, 2.1 - 2.4], [Ser, 9.2]
    • Titel: Darstellungen der symmetrischen Gruppe I.
    • Themen: Partitionen, Young-Untergruppen, Young-Tableaux, Young-Symmetrisator. Irreduzible Darstellungen.
    • Literatur: [FuHa, 4.1 + 4.2], [JaLi, 29]
    • Titel: Darstellungen der symmetrischen Gruppe II.
    • Themen: Specht-Moduln. Beweis [FuHa, Problem 4.47]. Youngs orthogonale Form.
    • Literatur: [CSST, 3.4.2], [FuHa, 4.3], [JaLi, 29]
    • Titel: Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppen $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$.
    • Themen: Darstellungen der allgemeinen und der Gruppe von invertierbaren $2\times 2$ Matrizen über einem endlichen Körper $\mathbb{F}_q$.
    • Literatur: [FuHa, 5.1], [JaLi, 12, S. 111-113]

Literatur

  • [Bro] K.S. Brown. Cohomology of groups. Corrected reprint of the 1982 original. Graduate Texts in Mathematics, 87. Springer-Verlag, New York, 1994.
  • [CSST] T. Ceccherini-Silberstein, F. Scarabotti, F. Tolli. Representation theory of the symmetric groups. The Okounkov-Vershik approach, character formulas, and partition algebras. Advanced Mathematics, 121. Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
  • [FuHa] W. Fulton, J. Harris. Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, 129. Readings in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991.
  • [JaLi] G. James, M. Liebeck. Representations and characters of groups. Second edition. Cambridge University Press, New York, 2001.
  • [KaMe] C. Karpfinger, K. Meyberg. Gruppen - Ringe - Körper. Dritte Auflage. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2013.
  • [Lei] T. Leinster. Basic category theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 143. Cambridge University Press, Cambridge, 2014.
  • [MaSt] V. Mazorchuk, C. Stroppel. $G(\ell,k,d)$-modules via groupoids. J. Algebraic Combin. 43 (2016), no. 1, 11-32. arXiv
  • [Ser] J.P. Serre. Linear representations of finite groups. Translated from the second French edition by Leonard L. Scott. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. Wichtig: Dieses Buch existiert auch in einer deutschen Übersetzung. Die Literaturverweise oben sind im Bezug auf diese (1972ger Version) angegeben und weichen von der Nummerierung in den neueren Version ab.