Dirichletsche Reihen und Primzahlverteilung
Prof. Dr. W. Müller, Dr. J. MüllerSeminar zum Studiengang Bachelor of Science Mathematik (S1G1)
Beschreibung
Die Primzahlen erzeugen die natürlichen Zahlen multiplikativ. Die Verteilung der Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen ist eine zentrale Frage der Mathematik. Die Anfänge der Untersuchung der Primzahlverteilung gehen bis auf Euklid zurück, der bekanntlich gezeigt hat, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Das Ziel des Seminares ist es, einige wichtige analytische Methoden zur Untersuchung der Verteilung der Primzahlen kennenzulernen. Es handelt sich dabei um die Anwendung der Theorie der Dirichletschen Reihen auf Probleme der Zahlentheorie.
Das Hauptziel des Seminars sind der Beweis des Primzahlsatzes und des Satzes von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen.
Vorträge
| 1) | Elementare Eigenschaften von Primzahlen: Primfaktorzerlegung, Satz von Euklid, Satz von Euler, etc. |
| 2) | Die Primzahlzählfunktion π(x): einfache Eigenschaften; Satz von Tschebyschev, Primzahlsatz, äquivalente Formulierung |
| 3) | Dirichletsche Reihen: Konvergenzeigenschaften, absolute Konvergenz, Satz von Landau |
| 4) | Riemannsche Zetafunktion I: Eulersches Produkt, Zusammenhang mit Primzahlsatz |
| 5) | Riemannsche Zetafunktion II: Analytische Fortsetzung, Funktionalgleichung, Poissonsche Summationsformel |
| 6) | Riemannsche Zetafunktion III: Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion |
| 7) | Der Beweis des Primzahlsatzes |
| 8) | Endliche Fourieranalysis: Endliche abelsche Gruppen, Charaktere, etc. |
| 9) | Dirichletsche L-Reihen |
| 10) | Analytische Fortsetzung und Funktionalgleichung von Dirichletschen L-Reihen |
| 11) | Beweis des Satzes von Dirichlet I |
| 12) | Beweis des Satzes von Dirichlet II |
| 13) | Anwendungen |
Literatur
- J. Brüdern, Einführung in die analytische Zahlentheorie, Springer-Verlag, Berlin 1995.
- K. Chandrasekharan, Introduction to analytic number theory, Springer, 1968.
- H. Koch, H. Pieper, Zahlentheorie, Deutscher Verlag der Wiss., Berlin, 1976.
- H. Davenport, Multiplicative number theory. Third edition. Graduate Texts in Mathematics, 74. Springer-Verlag, New York, 2000.
- K. Prachar, Primzahlverteilung, Springer-Verlag, Berlin, 1978.
- R. Remmert, P. Ullrich, Elementare Zahlentheorie, Third Edition, Birkhäuser, Basel, 2008.
- E.M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis, Princeton Lectures in analysis I, Princeton Univ. Press, Princeton, 2003.
- E.C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta function, Second edition, Oxford Univertsity Press, New York, 1986.
- D. Zagier, Die ersten 50 Millionen Primzahlen, Math. Miniaturen 1, Birkhäauser, Basel-Boston, Mass., 1981.
- J. Derbyshire, Prime obsession: Bernhard Riemann and the graetest unsolved problem in Mathematics, Joseph Henry Press, Washington, D.C., 2003.*
- Marcus du Sautoy, The Music of the Primes: Searching to solve the greatest Mystery in Mathematics, Harper Collins, 2003.*
Weitere Informationen
Seminarmodul (S1G1) Gruppe B.Informationen
Zeit und Ort
- Donnerstags von 14:15-15:45
- im Seminarraum LWK 007 Endenicher Allee 60
Organisation
- Bei Fragen zur Vorträgen oder Organisation wenden Sie sich per Email an Jörn Müller.
- Die Seminarteilnehmer melden sich bitte rechtzeitig bei den Betreuern um den Vortrag genau festzulegen und um Fragen frühzeitig zu klären.
Betreuer
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