Mathematische Logik - Sommersemester 2014

Übungsaufgaben  Prof. Dr. Peter Koepke
Serie 6  Dr. Philipp Schlicht

Aufgabe 20. (4 Punkte)

(1) Es sei S eine erststufige Sprache, Φ eine konsistente Menge von S-Formeln mit der Eigenschaft, dass jede Formel φ in Φ von der Form

∀x_{1} … ∀x_{n−1} s ≡ t

für S-Terme s und t mit frei(s), frei(t) ⊆ {x_{0}, …, x_{n−1}} ist, und 𝔗^{Φ} das zugehörige Termmodell. Beweisen Sie 𝔗^{Φ} ⊧ Φ.

(2) Es sei S_{K} = {·,^{−1}, 1, +, −, 0} die erweiterte Sprache der Körpertheorie und Φ_{K} ⊆ L^{S_{K}} die Menge der Axiome der Körpertheorie. Die erste Teilaufgabe zeigt, dass 𝔗^{Φ_{K}} ein Körper ist. Zeigen Sie, dass 𝔗^{Φ_{K}} einen Unterkörper K hat, der isomorph zu ℚ ist, und dass 𝔗^{Φ_{K}} unendlichen Transzendenzgrad über K hat-

Aufgabe 21 (4 Punkte). Es sei S_{K} die Sprache der Körpertheorie und φ eine S_{K}-Formel, die in jedem unendlichen Körper gilt. Beweisen Sie, dass es eine natürliche Zahl N gibt, so dass φ in jedem endlichen Körper mit mindestens N Elementen gilt.

Aufgabe 22. (4 Punkte) Es sei U ein Ultrafilter auf I, S eine erststufige Sprache und Ł_{U} die in Aufgabe 16 definierte Menge von S-Formeln. Beweisen Sie, dass Ł_{U} abgeschlossen unter Negation ist. Zusammen mit Aufgabe 16 zeigt dies, dass Ł_{U} in diesem Fall gleich der Menge aller S-Formeln ist. Dieses Resultat ist der Satz von Łos.

Aufgabe 23. (6 Punkte) Es sei S eine erststufige Sprache.

(1) Konstruieren Sie eine Menge Φ von S-Formeln, so dass

(⋆)  𝔐 ⊧ Φ ⟺ |𝔐| ist unendlich

für alle S-Modelle 𝔐 gilt.

(2) Beweisen Sie mit Hilfe des Kompaktheitssatzes, dass es keine endliche Menge von S-Formel gibt, die (⋆) erfüllt.

Abgabe: Montag, den 26. Mai 2014, vor der Vorlesung.