Die Vorlesung behandelt die Konstruktibilitätstheorie,
d.h. die Theorie des von Kurt Gödel
[Consistency-proof for the generalized continuum hypothesis. Proc.
Nat. Acad. U.S.A. 25: 220-224, 1939] definierten Modells L
der konstruktiblen Mengen und verwandter Modelle. Angesichts
der Unvollständigkeit der Zermelo-Fraenkelschen
Axiome der Mengenlehre, die auch einfache Fragen der unendlichen
Kombinatorik wie die Cantorsche
Kontinuumhypothese betreffen, studiert man die Familie aller
inneren Modelle der Theorie ZF. Das Modell L nimmt
eine besondere Rolle ein, weil es das ⊆-minimale innere Modell
ist. Gödel zeigte, dass das Auswahlaxiom AC
und die verallgemeinerte Kontinuumhypothese GCH in L gelten,
und somit, dass diese Hypothesen relativ konsistent zum System ZF
sind. Ronald Jensen [The fine structure of the
constructible hierarchy. Annals of Mathematical Logic, 4:
229-308, 1972] setzte die Untersuchungen des Modells L fort und
bewies mit Hilfe seiner Feinstrukturtheorie starke
kombinatorische Prinzipien in L, die Anwendungen in
verschiedenen Bereichen der ,,überabzählbaren
Mathematik” haben.
In der Vorlesung stellen wir die Theorie von Gödel
und Jensen von der Definition des Modells
L bis zu den Beweisen von Prinzipien wie □ und des
Jensenschen Überdeckungssatzes dar. Dies
entspricht etwa der Standard-Monografie über
Konstruktibilitätstheorie von Keith Devlin
[Constructibility. Springer-Verlag, 1984]. Als
Feinstrukturtheorie wird die wesentlich einfachere
Hyperfeinstrukturtheorie [Sy D.
Friedman und Peter Koepke. An Elementary
Approach to the Fine Structure of L. Bulletin of Symbolic
Logic, 3: 453-468, 1997] eingesetzt. Einige der Resultate stehen
in Beziehung zu Erzwingungskonstruktionen (forcing) im
Seminar über Mengenlehre, die Veranstaltungen sind aber
unabhängig voneinander. Zu der Vorlesung werden Übungen
angeboten.
Last changed: March 14th, 2007