Mengenlehre II

Dozent

Zeit und Ort

Vorlesung: Montag 14:00-16:00 (Kl HS) und Mittwoch 13:00-15:00 (ZS).
Übungsgruppe: Montag 10:00-12:00 SR A.

Vorläufiges Vorlesungsskript

Übungsaufgaben

Inhalt

Die Vorlesung behandelt die Konstruktibilitätstheorie, d.h. die Theorie des von Kurt Gödel [Consistency-proof for the generalized continuum hypothesis. Proc. Nat. Acad. U.S.A. 25: 220-224, 1939] definierten Modells L der konstruktiblen Mengen und verwandter Modelle. Angesichts der Unvollständigkeit der Zermelo-Fraenkelschen Axiome der Mengenlehre, die auch einfache Fragen der unendlichen Kombinatorik wie die Cantorsche Kontinuumhypothese betreffen, studiert man die Familie aller inneren Modelle der Theorie ZF. Das Modell L nimmt eine besondere Rolle ein, weil es das ⊆-minimale innere Modell ist. Gödel zeigte, dass das Auswahlaxiom AC und die verallgemeinerte Kontinuumhypothese GCH in L gelten, und somit, dass diese Hypothesen relativ konsistent zum System ZF sind. Ronald Jensen [The fine structure of the constructible hierarchy. Annals of Mathematical Logic, 4: 229-308, 1972] setzte die Untersuchungen des Modells L fort und bewies mit Hilfe seiner Feinstrukturtheorie starke kombinatorische Prinzipien in L, die Anwendungen in verschiedenen Bereichen der ,,überabzählbaren Mathematik” haben.

In der Vorlesung stellen wir die Theorie von Gödel und Jensen von der Definition des Modells L bis zu den Beweisen von Prinzipien wie □ und des Jensenschen Überdeckungssatzes dar. Dies entspricht etwa der Standard-Monografie über Konstruktibilitätstheorie von Keith Devlin [Constructibility. Springer-Verlag, 1984]. Als Feinstrukturtheorie wird die wesentlich einfachere Hyperfeinstrukturtheorie [Sy D. Friedman und Peter Koepke. An Elementary Approach to the Fine Structure of L. Bulletin of Symbolic Logic, 3: 453-468, 1997] eingesetzt. Einige der Resultate stehen in Beziehung zu Erzwingungskonstruktionen (forcing) im Seminar über Mengenlehre, die Veranstaltungen sind aber unabhängig voneinander. Zu der Vorlesung werden Übungen angeboten.

Last changed: March 14th, 2007