Seminarvortrag: Erzwingen von 2^{κ} = λ

Katrin Illner

Sei M Grundmodell, κ beliebige reguläre Kardinalzahl mit 2^{<κ} = κ und sei λ unendliche Kardinalzahl größer als κ, sodass λ^{κ} = λ Ziel: Adjungiere λ-viele Teilmengen von κ zu M, man erhält M[G] ⊧ 2^{κ} ≥ λ.

Sei P Menge aller Funktionen λ × κ → 0, 1 mit |dom(p)| < κ und sei p ≤ q gdw. p ⊇ q. Sei G M-generisch bzgl. P. Definiere f := ⋃ G. f ist eine Funktion mit dom(f) = λ × κ. Für α < κ definiere a_{α} := {ξ < κ|f(α, ξ) = 1} ⊂ κ. Dann gilt für α ≠ β: a_{α} ≠ a_{β}. In M[G] existiert also injektive Abbildung α ↦ a_{α}. Es soll nun gezeigt werden: κ und λ bleiben in M[G] erhalten, dh: M[G] ⊧ 2^{κ} ≥ λ.

(1) κ-chain-condition (κ-cc)

Definition 15.2: Sei P Forcing-Halbordnung, κ unendliche Kardinalzahl. P erfüllt die κ-chain-condition, falls für jede Antikette W in P gilt: |W | < κ.

Theorem 15.3: Sei κ reguläre Kardinalzahl und P habe die κ-cc. Dann ist κ auch regulär in der generischen Erweiterung.

Lemma 15.4: Sei κ reguläre Kardinalzahl mit 2^{<κ} = κ. Sie S beliebige Menge und sei |C| ≤ κ. Sei P Menge aller Funktionen p : dom(p) → C mit dom(p) ⊆ S, |dom(p)| < κ. p ≤ q gdw. p ⊇ q. Dann erfüllt P die κ^{+}-chain-condition.

Aus (1) folgt insgesamt: In M[G] bleiben alle Kardinalzahlen ≥ κ^{+} erhalten. Insbesondere bleibt λ erhalten.

(2) Distributivität

Definition 15.5: Eine Forcing-Halbordnung P heißt κ-distributiv, falls der Durchschnitt von κ offenen dichten Mengen wieder offen und dicht ist. (P ist < κ-distributiv, falls P λ-distributiv für alle λ < κ)

Theorem 15.6: Sei κ unendliche Kardinalzahl und sei (P, <) κ-distributiv. Dann: Falls f ∈ M[G] eine Funktion von κ nach M ist, dann gilt f ∈ M. Insbesondere: κ hat keine neuen Teilmengen in M[G].

Definition 15.7: P heißt κ-abgeschlossen, falls für alle λ ≤ κ jede absteigende Folge p_{0} ≥ p_{1} ≥ … ≥ p_{α} ≥ … (α < λ) eine untere Schranke hat. (P heißt < κabgeschlossen, falls P λ-abgeschlossen für alle λ < κ).

Lemma 15.8: Wenn P κ-abgeschlossen, dann ist P κ-distributiv.

Aus (2) folgt insgesamt: κ bleibt in M[G] erhalten. ⇒ M[G] ⊧ 2^{κ} ≥ λ Zum Schluss soll noch gezeigt werden, dass in der anfangs definerten generischen Erweiterung M[G] auch 2^{κ} ≤ λ gilt:

Definition: Sei M^{P} die Menge aller P -Namen in M. Sei ẋ ∈ M^{P}. Ein nice name für eine Teilmenge von ẋ ist ein Element τ ∈ M^{P} der Form ⋃{{π} × A_{π} : π ∈ dom(ẋ)}, wobei A_{π} Antikette in P ist.

Lemma: Seien ẋ, ẏ ∈ M^{P}. Dann existiert ein nice name τ̇ ∈ M_{P} für eine Teilmenge von ẋ, sodass gilt: 1_{P} ⊧ (ẏ ⊂ ẋ → ẏ = τ̇)

Man kann nun zeigen, dass es in M[G] höchstens λ-viele nice names für Teilmengen von κ̌ gibt. Nach dem Lemma wird jede Teilmenge κ′ ⊂ κ durch einen nice name τ̇ ∈ M^{P} repräsentiert, sodass in M[G] gilt: κ′ ⊂ κ → κ′ = τ. Dh. ℘(κ)^{M[G]} ⊂ {nice names von κ̌}.

⇒ M[G] ⊧ 2^{κ} ≤ λ