Seminarvortrag: Erzwingen von 2^{κ} = λ

Katrin Illner

Problemstellung aus der Vorlesung: Sei M Grundmodell, λ unendliche Kardinalzahl Ziel: Adjungiere λ-viele Teilmengen von ω zu M; man erhält M[G] ⊧ 2^{ℵ_{0}} ≥ λ

jetzt: Sei weiter M Grundmodell, κ beliebige reguläre Kardinalzahl mit 2^{<κ} = κ (eben: κ = ω) und sei λ unendliche Kardinalzahl größer als κ, sodass λ^{κ} = λ Ziel: Adjungiere λ-viele Teilmengen von κ zu M; man erhält M[G] ⊧ 2^{κ} ≥ λ

(∗) \{ \begin{matrix}Sei P Menge aller Funktionen λ × κ → \{0, 1\} mit |dom(p)| < κ \\ und sei p ≤ q gdw. p ⊇ q. \end{matrix}

Sei G M-generisch bzgl. P. Definiere f := ⋃ G. Dann gilt:

(i) f ist eine Funktion Denn: G ist Filter, dh. die Elemente von G sind paarweise kompatibel.

(ii) dom(f) = λ × κ Denn: Sei (α, β) ∈ λ × κ. D := {p ∈ P | (α, β) ∈ dom(p)}. Dann ist D dicht in P. [Sei p ∈ P. Fall 1: p ∈ D. Fertig Fall 2: p ∉ D, dh. (α, β) ∉ dom(p). Ergänze p zu p ∪ (α, β, 0) =: d. Dann d ≤ p und d ∈ D.] Da G M-generisch, existiert p ∈ G ∩ D. Also (α, β) ∈ dom(p) ⊂ dom(f).

Für α < κ definiere a_{α} := {ξ < κ | f(α, ξ) = 1} ⊂ κ. Dann gilt für α ≠ β: a_{α} ≠ a_{β}. Denn: Sei α ≠ β und sei D = {p ∈ P | p(α, ξ) ≠ p(β, ξ)}. Dann ist D dicht in P. [Sei p ∈ P mit p ∉ D. Wähle ξ < κ mit (α, ξ) ∉ dom(p). (Ein solches ξ existiert, da |dom(p)| < κ.) Ergänze p zu

d := \begin{cases}p ∪ (α, β, 0), & falls p(β, ξ) = 1 \\ p ∪ (α, β, 1), & falls p(β, ξ) = 0 \\ p ∪ (α, β, 0) ∪ (α, β, 1), & falls (β, ξ) ∉ dom(p) \end{cases}

Dann d ≤ q und d ∈ D.] Da G M-generisch, ist G ∩ D ≠ ∅. Sei p ∈ G ∩ D. Dh. es existiert ξ < κ mit p(α, ξ) ≠ p(β, ξ) und damit f(α, ξ) ≠ f(β, ξ). Also ξ ∈ a_{α} ⇔ ξ ∉ a_{β}.

⇒ In M[G] existiert injektive Abbildung α ↦ a_{α}. Im weiteren wird gezeigt, dass sowohl λ als auch κ in M[G] erhalten bleiben. ⇒ M[G] ⊧ (2^{κ})^{M[G]} ≥ λ.

(1) κ-chain-condition (κ-cc)

Definition 15.2: Sei P Forcing-Halbordnung, κ unendliche Kardinalzahl. P erfüllt die κ-chain-condition, falls für jede Antikette W in P gilt: |W | < κ.

Theorem 15.3: Sei κ reguläre Kardinalzahl und P habe die κ-cc. Dann ist κ auch regulär in der generischen Erweiterung.

Beweis: Sei κ regulär in M, sei λ < κ. zu zeigen: Jede Funktion f : λ → κ, f ∈ M[G], ist beschränkt. Sei f ∈ M[G], dh. f hat Namen ḟ ∈ M. Sei p ∈ P mit p ⊩ ḟ ist Fkt. von λ̌ → κ̌. Für alle α < λ betrachte die Menge

A_{α} = {β < κ | ∃q < p mit q ⊩ ḟ(α̌) = β̌}

Behauptung: Alle A_{α} haben Kardinalität kleiner als κ. Beweis: Für alle β ∈ A_{α} wähle ein q_{β} mit q_{β} ⊩ ḟ(α̌) = β̌. Sei W = {q_{β} | β ∈ A_{α}}. Dann gilt: |W | = |A_{α}|. [Für jedes β ∈ A_{α} wähle ein q_{β} ⇝ |A_{α}| ≥ |W |. Umgekehrt kann für β_{1} ≠ β_{2} nicht dasselbe q gewählt werden, da sonst q ⊩ ḟ(α̌) = β̌_{1} und q ⊩ ḟ(α̌) = β̌_{2} ≠ β̌_{1}. Widerspruch.] W ist eine Antikette. [Seien q_{1}, q_{2} ∈ W, dh. q_{1} ⊩ ḟ(α̌) = β̌_{1} und q_{2} ⊩ ḟ(α̌) = β̌_{2}. ⇒ β_{1} ≠ β_{2} bzw. β̌_{1} ≠ β̌_{2}, da für jedes β nur ein q_{β} in W aufgenommen wird. Dh. q_{1}⊥q_{2}.] Da P die κ-chain-condition erfüllt, folgt |W | < κ. Und damit |A_{α}| = |W | < κ. qed(Beh) Da κ regulär ist, ist A_{α} beschränkt durch ein γ_{α} < κ: |A_{α}| = γ_{α} < κ. ⇒ existiert γ mit | ⋃_{α<κ} A_{α}| = γ < κ, z.B. γ = sup {γ_{α} | α < λ} Damit folgt für alle α < λ: p ⊩ ḟ(α̌) < γ̌, dh. p ⊩ ḟ : λ̌ → κ̌ ist beschränkt unterhalb von κ̌. In M[G] gilt also: f : λ → κ ist beschränkt und damit ist κ regulär in M[G]. □

Folgendes Lemma zeigt, dass die Forcing-Halbordnung (*) die κ^{+}-chain-condition erfüllt.

Lemma 15.4: Sei κ reguläre Kardinalzahl mit 2^{<κ} = κ. Sie S beliebige Menge und sei |C| ≤ κ. Sei P Menge aller Funktionen p : dom(p) → C mit dom(p) ⊆ S, |dom(p)| < κ. p ≤ q gdw. p ⊇ q. Dann erfüllt P die κ^{+}-chain-condition.

Beweis: Sei W ⊂ P Antikette. Konstruiere Folgen A_{0} ⊂ A_{1} ⊂ … ⊂ A_{α} ⊂ … (α < κ) Teilmengen von S

W_{0} ⊂ W_{1} ⊂ … ⊂ W_{α} ⊂ … (α < κ) Teilmengen von W

(Dabei ist W_{α} Menge von Funktionen und W_{α} die Vereinigung ihrer Definitionsbereiche.) Ind.Anfang: Sei oBdA W ≠ ∅, dh. existiert p ∈ W. W_{0} := {p}, A_{0} := dom(p). Nachfolger: Seien W_{α} und A_{α} gegeben. Für alle p ∈ P mit dom(p) ⊂ A_{α} wähle q_{p} ∈ W (falls existiert!) mit p = q_{p} ↾ A_{α}.

W_{α+1} = W_{α} ∪ {q_{p} | dom(p) ⊂ A_{α} und p = q_{p} ↾ A_{α}}

A_{α+1} = ⋃{dom(q) : q ∈ W_{α+1}}

Limesschritt: W_{α} = ⋃_{β<α} W_{β}, A_{α} = ⋃_{β<α} A_{β}

Sei A := ⋃_{α<κ} A_{α}

Behauptung: W = ⋃_{α<κ} W_{α} Beweis: ”⊆”: Klar, da W_{α} Teilmengen von W für alle α < κ ”⊇”: Sei q ∈ W. Dann existiert α < κ mit dom(q) ∩ A = dom(q) ∩ A_{α}. [” ⊇ ” : Klar, da für alle α ≤ κ: A_{α} ⊂ A ” ⊇ ” : Sei dom(q) ∩ A = {x_{β} | β < λ} mit λ < κ. (dom(q) < κ !) Sei f : dom(q) ∩ A → κ, x_{β} ↦ α mit α minimal, sodass x_{β} ∈ A_{α}. ⇒ |f[dom(q) ∩ A]| ≤ λ < κ Da κ regulär, folgt: f[dom(q) ∩ A] ist beschränkt, dh. es existiert α < κ mit x_{β} ∈ A_{α}, ∀β < λ ⇒ dom(q) ∩ A ⊆ A_{α} und damit dom(q) ∩ A ⊆ dom(q) ∩ A_{α}.] Sei q ↾ A_{α} = p. ⇒ Existiert q′ ∈ W_{α+1} mit q′ ↾ A_{α} = p. dom(q′) ⊂ A_{α} (da q′ ∈ A_{α}) ⇒ q und q′ sind kompatibel [Auf A_{α} stimmen q und q′ überein. (q ↾ A_{α} = p = q′ ↾ A_{α}) dom(q′) ⊂ A_{α}: dh. dom(q′) enthält sonst nur Elemente aus A dom(q) ∩ A = dom(q) ∩ A_{α}: dh. dom(q) enthält keine weiteren Elemente aus A ⇒ existiert gemeinsame Erweiterung von q und q′ ]

\begin{matrix}q ∈ W (nach Voraussetzung) \\ q′ ∈ W (da q′ ∈ W_{α+1} ⊂ ⋃_{α<κ} W_{α} ⊂ W) \end{matrix}\} ⇒ q = q′, da W Antikette

Dh. q = q′ ∈ W_{α+1}. qed(Beh)

zeigen als nächstes: |A_{α}| ≤ κ und |W_{α}| ≤ κ für alle α < κ Induktion über α: Falls |W_{α}| ≤ κ, dann auch |A_{α}| ≤ κ, da A_{α} = ⋃{dom(q) : q ∈ W_{α+1}}. (|dom(q)| < κ, Vereinigung über |W_{α}| ≤ κ Elemente ⇒ |A_{α}| ≤ κ)

Ind.Anfang: W_{0} = {p} für ein p ∈ P. ⇒ |W_{0}| = 1 < κ Nachfolger: Sei |W_{α}| ≤ κ. zu zeigen: |W_{α+1}| ≤ κ Man erhält W_{α+1}, indem man zu W_{α} höchstens ein q ∈ W hinzufügt, für alle p ∈ P mit dom(p) ⊂ A_{α}. |A_{α}| ≤ κ, dh. höchstens κ^{<κ} Teilmengen X von A_{α} mit |X| < κ. Da κ regulär und 2^{<κ} = κ, folgt κ^{<κ} = κ

[Begründung: κ ≤ κ^{<κ} ≤^{!} 2^{κ} = κ κ^{<κ} = |{f : λ → κ mit λ < κ}|

2^{<κ} = |{f : λ → {0, 1} mit λ < κ}|

Sei f : λ → κ mit λ < κ}. Da κ regulär, ist f beschränkt. Dh. existiert γ < κ mit f : λ → γ. Betrachte g : λ → {0, 1} mit g(α, β) = 1 gdw. f(α) = β. Dann gilt:

• die Abbildung f ↦ g ist injektiv

• |λ × γ| = λ ∗ γ = max{λ, γ} < κ (da λ, γ < κ)

Dh. κ^{<κ} ≤ 2^{κ} ] ⇒ existieren κ^{<κ} = κ Teilmengen X Für jedes X existieren |C|^{|X|} = κ^{<κ} = κ Funktionen mit Werten in C ⇒ höchstens κ ∗ κ = κ Elemente p ∈ P mit dom(p) ⊂ A_{α} ⇒ |W_{α+1}| ≤ |W_{α}| + κ ≤ κ + κ = max{κ, κ} = κ. Limesschritt: Sei |W_{β}| ≤ κ für alle β < α. Dann |W_{α}| = | ⋃_{β<α} W_{β}| ≤ κ.

Damit folgt insgesamt: |W_{α}| = | ⋃_{α<κ} W_{α}| ≤ κ bzw. |W | < κ^{+}, dh. P erfüllt die κ^{+}-chain-condition. □

Damit bleiben in M[G] alle Kardinalzahlen ≤ κ^{+} erhalten, insbesondere bleibt λ aus (*) erhalten. Begründung: P erfüllt nach 15.4 die κ^{+}-cc, dh. P erfüllt auch die λ-cc für alle λ ≥ κ^{+}. ⇒ alle regulären Kardinalzahlen ≥ κ^{+} bleiben erhalten In M gilt: Card = {ℵ_{α} | α ∈ Ord}, insbesondere sind die Kardinalzahlen ≥ κ^{+} durch Ordinalzahlen indiziert ⇝ Induktion: Ind.Anfang: κ^{+} ist regulär und bleibt damit erhalten Nachfolger: κ_{α+1} = κ_{α}^{+}, dh. regulär Limesschritt: Angenommen, alle κ_{α} ≥ κ^{+} mit α < λ bleiben in M[G] erhalten. zu zeigen: κ_{λ} bleibt erhalten Sei oBdA κ_{λ} singulär (sonst fertig). Angenommen, κ_{α} keine Kardinalzahl in M[G]. ⇒ existiert κ_{α} < κ_{λ} und eine Funktion f : κ_{α} → κ_{λ} surjektiv Da κ_{λ} singulr, gilt (in M): κ_{α}^{+} ≠ κ_{λ}, dh. κ_{α}^{+} < κ_{λ} ⇒ existiert f̄ : κ_{α} → κ_{α}^{+} surjektiv. Widerspruch, da κ_{α}^{+} nach Voraussetzung Kardinalzahl in M[G].

(2) Distributivität

Definition 15.5: Eine Forcing-Halbordnung P heißt κ-distributiv, falls der Durchschnitt von κ offenen dichten Mengen wieder offen und dicht ist. (P ist < κ-distributiv, falls P λ-distributiv für alle λ < κ)

Theorem 15.6: Sei κ unendliche Kardinalzahl und sei (P, <) κ-distributiv. Dann: Falls f ∈ M[G] eine Funktion von κ nach M ist, dann gilt f ∈ M. Insbesondere: κ hat keine neuen Teilmengen in M[G]. (Für eine Teilmenge A von κ in M[G] liegt die Indikatorfunktion f : κ → {0, 1} schon in M, dh. auch in M ist A Teilmenge von κ.)

Beweis: Sei f : κ → M und f ∈ M[G]. Dann existiert ein A ∈ M mit f : κ → A [f : κ → M, dh. f[κ] ∈ M[G] nach Ersetztung in M[G] ⇒ f[κ] ⊆ V_{α}^{M[G]} für ein α. f[κ] = f[κ] ∩ M ⊆ V_{α}^{M[G]} ∩ M = V_{α}^{M} ∈ M, da”Ordnungstyp” definit ist.] Sei ḟ ∈ M ein Name für f. Dann existiert ein p_{0} ∈ G mit p_{0} ⊩ ḟ ist Fkt. von κ̌ nach Ǎ. Für alle α < κ ist die Menge

D_{α} = {p ≤ p_{0} : ∃x ∈ A mit p ⊩ ḟ(α̌) = x̌}

offen und dicht unter p_{0}:

• dicht: Sei p ≤ p_{0}. zu zeigen: ex. q ∈ D_{α} mit q ≤ p Sei H M-generischer Filter mit p ∈ H. Da p ≤ p_{0}, gilt: p ⊩ ḟ : κ̌ → Ǎ. In M[H] erhält man f : κ → A. Sei f(α) = x_{α} in M[H]. ⇒ ∃r ∈ H : r ⊩ ḟ(α̌) = x̌_{α}. Da r, q ∈ H existiert gemeinsame Verstärkung q ≤ r, p mit q ⊩ ḟ(α̌) = x̌_{α}, dh. q ∈ D_{α}.

• offen: Sei p ≤ p_{0}, p ∈ D_{α}, dh. ∃x ∈ A : p ⊩ ḟ(α̌) = x̌ ⇒ ∀q′ ≤ p : q′ ⊩ ḟ(α̌) = x̌ Sei q ≤ p, q ∈ P. Dann q ⊩ ḟ(α̌) = x̌ und damit q ∈ D.

Da P κ-distributiv ist, folgt D = ⋂_{α<κ} D_{α} ist (offen und) dicht unter p_{0}, dh. p ∈ D ∩ G. In V: Für alle α < κ existiert ein x_{α} ∈ A, sodass p ⊩ ḟ(α̌) = x̌_{α}. (Da p ∈ D_{α} für alle α < κ.) Sei g : κ → A definiert durch g(α) = x_{α}. Dann gilt für alle α < κ: f(α) = x_{α} = g(α), da p ∈ G und damit f(α) = x_{α} in M[G]. Dh. f ∈ V. □

Definition 15.7: P heißt κ-abgeschlossen, falls für alle λ ≤ κ jede absteigende Folge p_{0} ≥ p_{1} ≥ … ≥ p_{α} ≥ … (α < λ) eine untere Schranke hat. (P heißt < κ-abgeschlossen, falls P λ-abgeschlossen für alle λ < κ).

Lemma 15.8: Wenn P κ-abgeschlossen, dann ist P κ-distributiv.

Beweis: Sei D_{α} für alle α < κ offene dichte Menge. D := ⋂_{α<κ} D_{α} ist offensichtlich offen. [Sei p ∈ P, q ≤ p. Für alle α < κ gilt: p ∈ D_{α} und damit auch q ∈ D_{α}, da D_{α} offen. ⇒ q ∈ ⋂_{α<κ} D_{α} = D.] noch zu zeigen: D ist dicht. Sei p ∈ P beliebig. Konstruiere abesteigende κ-Folge p_{0} ≥ p_{1} ≥ … ≥ p_{α} ≥ … (α < κ) mit p ≤ p_{α} ≤ p_{ξ} für alle ξ < α und p_{α} ∈ D_{α}. Da p κ-abgeschlossen, existiert untere Schranke q mit q ≤ p_{α}, für alle α < κ. ⇒ q ∈ D_{α}, da D_{α} offen (∀α < κ) ⇒ q ∈ ⋂_{α<κ} D_{α} = D Dh. q ≤ p und q ∈ D, damit ist D dicht und P κ-distributiv. □

Die Forcing-Halbordnung (*) ist < κ-abgeschlossen: Sei λ < κ und p_{0} ≥ p_{1} ≥ … ≥ p_{α} ≥ … (α < λ) absteigende Folge in P. A := {|dom(p_{α})| : α < λ} ⊂ κ, |A| = λ < κ. Da κ regulär ist, ist A beschränkt durch ein κ′ < κ mit κ′ ≥ |dom(p_{α})|, ∀α < λ. ⇒ existiert untere Schranke p mit |dom(p)| = κ′:

Fall 1: Es existiert p_{α} mit |dom(p_{α})| = κ′ ⇝ p = p_{α}

Fall 2: für alle α < λ gilt |dom(p_{α})| < κ′ ⇝ ergänze zu p mit |dom(p)| = κ′

Also ist P < κ-abgeschlossen. ⇒^{15.8} P ist < κ-distributiv. noch zu zeigen: κ bleibt in M[G] erhalten Angenommen, κ ist keine Kardinalzahl in M[G]. ⇒ existiert f : λ → κ surjektiv, f ∈ M[G], für ein λ < κ ⇒^{15.6} f ∈ M, da P λ-distributiv. Widerspruch, da κ Kardinalzahl in M.

Insgesamt folgt: M[G] ⊧ 2^{κ} ≥ λ, da sowohl κ als auch λ in M[G] erhalten bleiben.

Zum Schluss soll noch gezeigt werden, dass in der anfangs definierten generischen Erweiterung M[G] auch 2^{κ} ≤ λ gilt:

Definition: Sei M^{P} die Menge aller P -Namen in M. Sei ẋ ∈ M^{P}. Ein nice name für eine Teilmenge von ẋ ist ein Element τ ∈ M^{P} der Form ⋃{{π} × A_{π} : π ∈ dom(ẋ)}, wobei A_{π} Antikette in P ist.

Lemma: Seien ẋ, ẏ ∈ M^{P}. Dann existiert ein nice name τ̇ ∈ M_{P} für eine Teilmenge von ẋ, sodass gilt: 1_{P} ⊧ (ẏ ⊂ ẋ → ẏ = τ̇)

Dh. jede Teilmenge κ′ ⊂ κ in M[G] wird durch einen nice name τ̇ ∈ M^{P} repräsentiert, da in M[G] gilt: κ′ ⊂ κ → κ′ = τ̇^{G}.

Nachweis von 2^{κ} ≤ λ:

P hat Kardinalität λ, denn es gilt: λ ≤^{(1)} λ^{<κ} ≤^{(2)} λ^{κ} =^{(3)} λ.

(1): λ^{<κ} = |{f : α → λ | α < κ}| ≤ |{f : α → λ | α < κ und f konstant}| = λ (2): λ^{<κ} = ⋃_{α<κ} |^{α}λ| ≤ ⋃_{α<κ} |^{κ}λ| = |^{κ}λ| = λ^{κ} (3): nach Voraussetzung

Außerdem erfüllt P die κ^{+}-chain-condition, dh. jede Antikette in P hat Kardinalität ≤ κ. ⇒ höchstens λ^{κ} = λ Antiketten in P κ̌ = {(ξ̌, 1) | ξ < κ}, dh. dom(κ̌) = {ξ̌ | ξ < κ} und damit |dom(κ̌)| = κ. ⇒ höchstens λ^{κ} = λ nice names für Teilmengen von κ̌ Sei τ_{α} (α < λ) eine Auflistung dieser nice names in M. In M[G] existiert eine Funktion f : λ → ℘(κ) mit f(α) = τ_{α}^{G} ⊂ κ, nämlich f = π^{G} mit π = {(op(α̌, τ_{α}), 1) : α < λ}. Dabei ist

op(τ, σ) = up(up(σ, σ), up(σ, τ)) ⇝^{G−int} (σ^{G}, τ^{G}) geordnetes Paar up(σ, τ) = {(σ, 1), (τ, 1)} ⇝^{G−int} {σ^{G}, τ^{G}} ungeordnetes Paar.

π^{G} = {(op(α̌, τ_{α}), 1) : α < λ}^{G}

= {op(α̌, τ_{α})^{G} : α < λ} = {(α̌^{G}, τ_{α}^{G}) : α < λ} = {(α, τ_{α}^{G}) : α < λ} = f

Da nach dem Lemma jede Teilmenge von κ durch einen nice name repräsentiert wird, ist f surjektiv, dh. 2^{κ} ≤ λ-

⇒ M[G] ⊧ 2^{κ} ≤ λ