Kardinalzahlarithmetik ist das Studium von Eigenschaften der arithmetischen Operationen im Bereich der unendlichen Kardinalzahlen. Da Addition und Multiplikation wegen m+n=mn=max{m,n} für unendliche Kardinalzahlen m und n trivial sind, handelt es sich im wesentlichen um eine Analyse der Exponentiation mn . Ist M eine Menge der Mächtigkeit m und [M]n die Menge aller Teilmengen von M der Mächtigkeit n, so ist mn die Mächtigkeit von [M]n . Die Exponentiation steht also in einem engen Zusammenhang mit der Potenzmengenbildung.
Klassische Ergebnisse der Kardinalzahlarithmetik sind aus den Mengenlehrevorlesungen bekannt. Ein Beispiel ist der Satz von Silver: Ist k eine singuläre Kardinalzahl mit überabzählbarer Konfinalität und gilt GCH unter k, so gilt GCH auch an der Stelle k. Moderne Ergebnisse liefert die von Shelah entwickelte pcf-Theorie. Ihre zentrale Definition ist die Menge pcf(A) der möglichen Konfinalitäten (possible cofinalities) einer Menge A von regulären Kardinalzahlen als die Menge aller Konfinalitäten von Ultraprodukten von A. Dies ermöglicht ähnliche Ergebnisse wie den Satz von Silver auch an Stellen mit abzählbarer Konfinalität.
Gegenstand des Seminars wird die pcf-Theorie sein. Als Grundlage soll ein noch unveröffentlichter, einführender Artikel von U. Abraham und M. Magidor dienen. Wer sich schon mal informieren will, kann sich folgenden Artikel ansehen:
M. R. Burke, M. Magidor: Shelah's pcf theory and its applications. Annals of Pure and Applied Logic, 50(3) (1990), 207 - 254.