Teil IV. Forcing.

25 Forcing-Halbordnungen und generische Filter.

In diesem Kapitel stellen wir die fundamentalen Begriffe der Forcing-Methode vor. Die Grundlage dieser Methode bilden spezielle schwache partielle Ordnungen und spezielle Filter auf diesen. Von nun an setzen wir ZFC voraus.

25.1 Forcing-Halbordnungen und die Existenz generischer Filter.

25.1 Definition Ein Dreitupel (P, ≤, 1_{P}) heißt Forcing-Halbordnung, falls folgendes gilt: (i) (P, ≤) ist eine schwache partielle Ordnung,^{196} (ii) 1_{P} ist größtes Element von (P, ≤).^{197}

Im Fall p ≤ q sagen wir auch, p verstärkt q. Sind q_{1}, …, q_{n} ∈ P und ist p ≤ q_{i} für i < n, so sagen wir, p ist eine gemeinsame Verstärkung von q_{1}, …, q_{n}.

25.2 Definition Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung.

(a) Sei D ⊂ P. D ist dicht in P :≡ ∀p ∈ P ∃q ∈ D q ≤ p.

(b) Sei D eine Menge und G ein Filter^{198} auf (P, ≤).

G ist P -generisch über D:≡ ∀D ∈ D (D dicht in P ⟶ D ∩ G ≠ ∅).

Wir interpretieren die soeben eingeführten Begriffe wie folgt: Eine Forcing-Halbordnung ist eine Menge von Bedingungen p. p ≤ q bedeutet, daß p die durch q festgelegte Bedingung umfaßt und gegebenenfalls verschärft.^{199} Bedingungen p, q sind kompatibel, wenn sich die durch p und q geforderten Eigenschaften nicht widersprechen. Ein Filter G entspricht einer Konstruktion: durch die Bedingungen in G wird ein gewisses Objekt festgelegt, das diesen Bedingungen genügt. Ist G P -generisch über D, so werden die durch die dichten Mengen in D ”codierten“ Eigenschaften bei der Konstruktion durch G berücksichtigt.

Zur Erläuterung der neu eingeführten Begriffe stellen wir ein paar Beispiele vor, die zum Teil später noch von Bedeutung sein werden.

25.3 Beispiel Seien a, b ∈ V und P ⊂ {f | f: a ⊃→ b} mit ∅ ∈ P.^{200} Dann ist (P, ⊃, ∅) eine Forcing-Halb-ordnung. Wir nennen ⊃ auch die kanonische partielle Ordnung von P. Eine Verstärkung eines p ∈ P ist eine partielle Funktion q: a ⊃→ b mit q ∈ P, die p erweitert: dom(q) ⊃ dom(p) und q ↾ dom(p) = p. Sind p, q ∈ P und sind p und q kompatibel, d.h., es gibt ein r ∈ P mit r ⊃ p und r ⊃ q, so gilt p(i) = q(i) für alle i ∈ dom(p) ∩ dom(q), da die Werte beider Funktionen an diesen Stellen mit dem Funktionswert von r an der entsprechenden Stelle übereinstimmen. Da die Elemente eines jeden Filters auf P paarweise kompatibel sind, folgt: Ist G ein Filter auf (P, ⊃), so ist ⋃ G eine partielle Funktion von a nach b und für p ∈ G ist p = (⋃ G) ↾ dom(p). Als Spezialfall erhalten wir für μ ∈ Card die Menge der partiellen Funktionen von a nach b, deren Definitionsbereich kleinere Mächtigkeit als μ hat:

Fn(a, b, μ) :≡ \{f | f: a ⊃→ b ∧ \overline{\overline{f}} < μ\}.

Für p, q ∈ Fn(a, b, μ) gilt p ∥ q ⟷ Fun(p ∪ q) und p ⊥ q ⟷ ∃i ∈ dom(p) ∩ dom(q) p(i) ≠ q(i).

Existiert für jedes D ein P -generischer Filter über D? Wir können zeigen:

25.4 Satz (Existenzsatz für generische Filter) Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung und D sei höchstens abzählbar. Dann existiert zu jedem p_{0} ∈ P ein P -generischer Filter G über D mit p_{0} ∈ G.

196vgl. 2.33.

197vgl 2.34.

198vgl 12.2.

199Man kann dann p ≤ q so interpretieren, daß p eine höchstens gleich große ”Unsicherheit“ oder ”Unschärfe“ induziert wie q.

200zu f: a ⊃→ b vgl. 2.46.

222 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Logic Group Uni Bonn 11.3.97 TEIL IV FORCING.

Beweis. Sei {D_{n} | n < ω} eine Aufzählung derjenigen Elemente von D, die dicht in P sind. Definiere rekursiv eine bzgl. ≤ absteigende Folge (p_{n} | n < ω) wie folgt: p_{0} sei das im Satz genannte Element von P; ist p_{n} bereits definiert, so sei p_{n+1} ∈ D_{n} mit p_{n+1} ≤ p_{n}; p_{n+1} existiert, da D_{n} dicht in P ist. Setze G :≡ {p ∈ P | ∃n < ω p_{n} ≤ p}. Dann gilt p_{0} ∈ G und P ∩ D ≠ ∅ für jedes D ∈ D, das dicht in P ist. Da ≤ transitiv ist, ist G nach oben abgeschlossen: ist nämlich p ∈ G und p ≤ q, so wähle n < ω mit p_{n} ≤ p; aus p_{n} ≤ p und p ≤ q folgt p_{n} ≤ q, d.h., q ∈ G. Schließlich sind je zwei Elemente p, q ∈ G kompatibel in G: wähle zu p, q nämlich k, l < ω mit p_{k} ≤ p und p_{l} ≤ q; da (p_{n} | n < ω) absteigend und ≤ transitiv ist, ist p_{max{k,l}} ≤ p und p_{max{k,l}} ≤ q. Damit ist G als Filter nachgewiesen. QED

Die Beschränkung auf höchstens abzählbare Mengen D im Existenzsatz kann nicht fallengelassen werden:

25.5 Beispiel Gegenbeispiel für \overline{\overline{D}} = 2^{ℵ_{0}}. Sei P :≡ Fn(ω, 2, ℵ_{0}) und ≤ die kanonische partielle Ordnung von P. Für a ⊂ ω sei

D_{a} :≡ {p ∈ P | ∃i ∈ dom(p) (p(i) = 0 ⟷ i ∈ a)}.

p ∈ D_{a} bedeutet demnach, daß p keine Einschränkung der charakteristischen Funktion χ_{a} von a ist: p ⊄ χ_{a}.

(1) D_{a} ist dicht in P.

Beweis. Sei p ∈ P. Wegen \overline{\overline{p}} < ℵ_{0} existiert ein n < ω mit n ∉ dom(p). Definiere q ∈ P durch

q(i) :≡ \{ \begin{matrix}p(i), & falls i ∈ dom(p); \\ 0, & falls i = n und i ∈ a; \\ 1, & falls i = n und i ∉ a. \end{matrix}

Es gilt q ≤ p und q ∈ D_{a}. Also ist D_{a} dicht in P. qed(1)

Sei D :≡ \{D_{a} | a ⊂ ω\}. Dann ist \overline{\overline{D}} = 2^{ℵ_{0}}: sind nämlich a, b ⊂ ω mit a ≠ b, so existiert o.E. ein i ∈ a \ b, und es ist {(i, 0)} ∈ D_{a} \ D_{b}, also D_{a} ≠ D_{b} für a ≠ b. Angenommen nun, es existiert ein Filter G, der P -generisch über D ist. Sei g :≡ ⋃ G. Wie in 25.3 gesehen gilt dann g: ω ⊃→ 2. Sei b :≡ {i ∈ dom(g) | g(i) = 1}. Da G P -generisch über D ist, existiert p ∈ G ∩ D_{b}. Dann ist einerseits p ⊂ g ⊂ χ_{b} wegen p ∈ G, andererseits impliziert p ∈ D_{b}, daß p keine Einschränkung von χ_{b} ist. Der Widerspruch zeigt, daß es kein derartiges G geben kann. Als Folgerung erhalten wir nochmals das folgende bekannte Resultat:

2^{ℵ_{0}} > ℵ_{0}.

Im Fall 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{0} müßte nach dem Existenzsatz 25.4 nämlich ein P -generischer Filter über D existieren.

25.6 Beispiel Gegenbeispiel im Fall \overline{\overline{D}} = ℵ_{1}. Sei P :≡ Fn(ω, ω_{1}, ℵ_{0}) und ≤ sei die kanonische partielle Ordnung von P. Wir zeigen, daß wir durch Wahl eines geeigneten D mit \overline{\overline{D}} = ℵ_{1} im Fall der Existenz eines P -generischen Filters über D eine Surjektion von einer Teilmenge von ω auf ω_{1} konstruieren können, was der Definition von ω_{1} widerspricht. Für α < ω_{1} sei D_{α} :≡ {p ∈ P | α ∈ ran(p)}.

(1) D_{α} ist dicht in P.

Beweis. Sei p ∈ P. Wegen \overline{\overline{p}} < ℵ_{0} existiert ein n < ω mit n ∉ dom(p). Definiere q ∈ P durch

q(i) :≡ \{ \begin{matrix}p(i), & falls i ∈ dom(p); \\ α, & falls i = n. \end{matrix}

Dann ist q ≤ p und q ∈ D_{α}. qed(1)

Sei D :≡ \{D_{α} | α < ω_{1}\}. Es ist \overline{\overline{D}} = ℵ_{1}, denn für α < β < ω_{1} ist \{(0, α)\} ∈ D_{α} \ D_{β}. Angenommen, es existiert ein P -generischer Filter G über D. Sei g :≡ ⋃ G. Dann ist g: ω ⊃→ ω_{1}. Wir zeigen, daß g surjektiv ist. Sei also α < ω_{1}. Wähle p ∈ G ∩ D_{α}. Dann ist p ⊂ ⋃ G = g, also α ∈ ran(p) ⊂ ran(g), und dies war zu zeigen.

Das letzte Beispiel gibt einen sehr guten Eindruck davon, wie mit Hilfe generischer Filter ”mathematische Objekte“ konstruiert werden können: zur Konstruktion eines solchen Objektes wähle zunächst eine geeignete Forcing-Halbordnung P. ”Codiere“ dann die gewünschten Eigenschaften des Objektes mit Hilfe einer Familie D von in P dichten Teilmengen, so daß die Eigenschaften durch Anwendung mengentheoretischer Operationen (z.B. Vereinigungbildung, Durchschnittbildung, Projektion) aus jedem P -generischen Filter G über D ”decodiert“ werden können. Existiert dann ein derartiger Filter G, so liefert die Anwendung der entsprechenden mengentheoretischen Operationen das gewünschte mathematische Objekt. Wir zeigen einige weitere Anwendungen.

25.2 Eine Anwendung in der Rekursionstheorie: Turing-Grade.

Wir skizzieren kurz den Aufbau einer Turing^{201}-Maschine. Eine Turing-Maschine M besteht aus einer endlichen Kontrolle, einem beidseitig (potentiell) unendlich langen Band als Speichermedium und einem Schreib-Lese-Kopf. Das Band ist in Abschnitte (Bandquadrate) eingeteilt, jedes Bandquadrat enthält genau genau eines der Symbole 0, 1, ␣, wobei ␣ für das Blank steht. Der Schreib-Lese-Kopf befindet sich stets über genau einem der Bandquadrate, dieses wird auch als aktuelles Bandquadrat bezeichnet. M besitzt endlich viele ”Zustände“; einer dieser Zustände ist als Startzustand ausgezeichnet. In der endlichen Kontrolle von M ist in endlich vielen Befehlen eindeutig festgelegt, wie die Maschine zu reagieren hat, wenn sie sich im Zustand z befindet und der Schreib-Lese-Kopf im aktuellen Bandquadrat das Symbol s liest. Es sind genau zwei Fälle möglich:

(1) Zu z und s existiert kein Befehl in der endlichen Kontrolle. In diesem Fall hält die Maschine an.

(2) Zu z und s existiert in der endlichen Kontrolle genau ein Befehl. Dieser spezifiziert genau ein Symbol s′ ∈ {0, 1, ␣}, genau einen Zustand z′ und genau ein v ∈ {−1, 0, +1}. Dann wird s′ in das aktuelle Bandquadrat geschrieben, die Maschine geht in den Zustand z′ über und der Schreib-Lese-Kopf wird wie folgt bewegt: ist v = −1 um genau ein Bandquadrat nach links, im Fall v = +1 um genau ein Bandquadrat nach rechts, im Fall v = 0 findet keine Bewegung statt.

Zu Beginn befindet sich auf dem Band die Eingabe w ∈ {0, 1}^{∗}, alle anderen Felder sind leer; die Maschine befindet sich im Startzustand, der Schreib-Lese-Kopf befindet sich auf dem Bandquadrat unmittelbar rechts von der Eingabe.^{202}

Für unsere Zwecke modifizieren wir das allgemeine Konzept der Turing-Maschine wie folgt: wenn die Maschine stoppt, befindet sich auf dem aktuellen Bandquadrat genau eines der Symbole 0 bzw. 1. Dies können wir z.B. erreichen, indem wir für jeden Zustand z, der nicht auf das Symbol ␣ reagieren kann, die Anweisung, ␣ zu schreiben, in den Zustand z überzugehen und keine Kopfbewegung durchzuführen, hinzufügen. Im Falle des Haltens von M interpretieren wir den Inhalt (also 0 oder 1) des aktuellen Bandquadrates als Ausgabe von M. Wir betrachten nur Turing-Maschinen, deren Eingaben natürliche Zahlen sind. Hierbei stellen wir die natürliche Zahl n durch den String aus {0, 1, ␣}^{∗} dar, der der Binärdarstellung bin(n) von n entspricht.

201Alan Mathison Turing (23.6.1912, London–7.6.1954, Wilmslow (bei Manchester)) ab 1931 Mathematikstudium am King’s College in Cambridge, nach seinem Abschluß 1935 Mitglied dieses Colleges; 1936–1938 am Princeton College, dort 1938 Promotion; Rückkehr nach England; dort 1938/39 erneut Lehrer am King’s College; im 2.Weltkrieg Dienst in der Informationsabteilung des britischen Außenministeriums; 1945–1948 am National Laboratory of Physics mit Bau und Einsatz einer Großrechenanlage (ACE) beschäftigt; ab 1948 an der Universität Manchester Leiter der mathematischen Arbeiten beim Bau einer Rechenanlage. Turings Hauptarbeitsgebiet ist die Theorie der berechenbaren Funktionen. Zur Formalisierung des intuitiv gegebenen Begriffes der ”berechenbaren Funktion“ entwickelt er das Konzept der Turing-Maschine.

202Eine formale Definition des Begriffes ”Turing-Maschine“, die sich ggf. in Details von der hier vorgestellten Charakterisierung unterscheiden mag, findet man z.B. in [17] oder [18].

Ist f ∈ ω2 so modifizieren wir eine Turing-Maschine zu einer Turing-Maschine mit Orakel f, indem wir die Berechnung für jede Eingabe n mit dem Bandinhalt

↓^{(Schreib−Lese−Kopf)}
… ␣bin(n)f(0)f(1)f(2) …

starten. Eine Turing-Maschine M mit Orakel f induziert eine partielle Abbildung g_{M,f}: ω ⊃→ 2 durch

g_{M,f}(n) :≡ \{ \begin{matrix}0, & falls M bei Eingabe n stoppt mit Ausgabe 0; \\ 1, & falls M bei Eingabe n stoppt mit Ausgabe 1; \\ undefiniert, & falls M bei Eingabe n nicht stoppt. \end{matrix}

Wir definieren die zweistellige Relation ≤_{T} auf ω2 durch

g ≤_{T} f :≡ es gibt eine Turingmaschine M mit g = g_{M,f}.

Gilt g ≤_{T} f, so sagen wir, g ist auf f Turing-reduzierbar, oder auch, g hat höchstens denselben Turing-Grad wie f. Intuitiv bedeutet g ≤_{T} f, daß g aus f (durch eine Turing-Maschine) berechnet werden kann.

In der Rekursionstheorie wird u.a. die Relation ≤_{T} analysiert. Eine der hierbei zu untersuchenden Fragen ist, ob es Funktionen f, g ∈ ω2 gibt, die bzgl. ≤_{T} unvergleichbar sind. Mit Hilfe eines generischen Filters zeigen wir, daß dies der Fall ist. Wir benötigen den folgenden Begriff.

25.7 Definition Sei F: ω2 ⊃→ ω2. F ist stetig :≡ ∀f ∈ dom(F) ∀m < ω ∃n < ω ∀g ∈ dom(F) (f ↾ n = g ↾ n ⟶ F (f) ↾ m = F (g) ↾ m).

Jede Turing-Maschine M induziert eine partielle Funktion F_{M}: ω2 ⊃→ ω2 durch

F_{M}(f) :≡ \{ \begin{matrix}g_{M,f}, & falls g_{M,f} total ist; \\ undefiniert, & sonst. \end{matrix}

Dann gilt g ≤_{T} f genau dann, wenn es eine Turing-Maschine M gibt mit g = F_{M}(f). Ferner:

25.8 Lemma F_{M} ist stetig.

Beweis. Sei f ∈ dom(F_{M}) und m < ω. Für die Berechnung der Werte F_{M}(f)(0), …, F_{M}(f)(m − 1) werden nur endlich viele Bandquadrate benutzt. Wähle ein n < ω, so daß bei Berechnung dieser Werte von den mit dem Orakel f belegten Bandquadraten nur die mit f(0), …, f(n−1) beschrifteten verwendet werden. Ist dann g ∈ dom(F_{M}) mit g ↾ n = f ↾ n, so sind die bei der Berechnung von F_{M}(g) ↾ m und bei der Berechnung von F_{M}(f) ↾ m verwendeten Bandquadrate gleich beschriftet, so daß F_{M}(g) ↾ m = F_{M}(f) ↾ m gilt. QED

25.9 Lemma Für i < ω sei F_{i}: ω2 ⊃→ ω2 eine stetige partielle Funktion. Dann existieren f, g ∈ ω2 mit

∀i < ω (f ≠ F_{i}(g) ∧ g ≠ F_{i}(f)).

Beweis. Sei P :≡ Fn(ω, 2, ℵ_{0}) × Fn(ω, 2, ℵ_{0}). Für (p_{0}, p_{1}), (q_{0}, q_{1}) ∈ P sei

(p_{0}, p_{1}) ≤ (q_{0}, q_{1}) :≡ p_{0} ⊃ q_{0} ∧ p_{1} ⊃ q_{1}.

Ferner sei 1_{P} :≡ (∅, ∅). Dann ist (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung. Für i < ω sei

D_{i} :≡ {(p_{0}, p_{1}) | ∀h_{0}, h_{1} ∈ ω2 ((p_{0} ⊂ h_{0} ∧ p_{1} ⊂ h_{1} ∧ h_{0} ∈ dom(F_{i})) ⟶ h_{1} ≠ F_{i}(h_{0}))}.

(1) D_{i} ist dicht in P.

Beweis. Wir unterscheiden zwei Fälle. Fall 1. ¬ ∃h_{0} ∈ ω2 (p_{0} ⊂ h_{0} ∧ h_{0} ∈ dom(F_{i})). In diesem Fall ist (p_{0}, p_{1}) ∈ D_{i} und (1) bewiesen. Fall 2. ∃h_{0} ∈ ω2 (p_{0} ⊂ h_{0} ∧ h_{0} ∈ dom(F_{i})). Wähle h_{0}^{∗} ∈ ω2 mit p_{0} ⊂ h_{0}^{∗} und h_{0}^{∗} ∈ dom(F_{i}). Setze h_{1}^{∗} :≡ F_{i}(h_{0}^{∗}). Wähle ein m < ω und ein q_{1}: m → 2 mit q_{1} ⊃ p_{1} und q_{1} ⊄ h_{1}^{∗}. Da F_{i} stetig ist, existiert ein n < ω mit

(∗) ∀h_{0} ∈ dom(F_{i}) (h_{0} ↾ n = h_{0}^{∗} ↾ n ⟶ F_{i}(h_{0}) ↾ m = F_{i}(h_{0}^{∗}) ↾ m).

Indem wir gegebenenfalls n vergrößern, können wir o.E. dom(p_{0}) ⊂ n annehmen, so daß p_{0} ⊂ h_{0}^{∗} ↾ n gilt. Setze q_{0} :≡ h_{0}^{∗} ↾ n. Dann ist (q_{0}, q_{1}) ≤ (p_{0}, p_{1}). Wir zeigen (q_{0}, q_{1}) ∈ D_{i}. Seien also h_{0}, h_{1} ∈ ω2 mit p_{0} ⊂ h_{0}, p_{1} ⊂ h_{1} und h_{0} ∈ dom(F_{i}). Wegen h_{0} ⊃ q_{0} = h_{0}^{∗} ↾ n ist h_{0} ↾ n = h_{0}^{∗} ↾ n, so daß nach (∗) F_{i}(h_{0}) ↾ m = F_{i}(h_{0}^{∗}) ↾ m gilt. Da q_{1} ⊄ F_{i}(h_{0}^{∗}) und dom(q_{1}) = m nach Wahl von q_{1} gilt, folgt hieraus q_{1} ⊄ F_{i}(h_{0}). Da wir nach Voraussetzung q_{1} ⊂ h_{1} haben, ergibt sich h_{1} ≠ F_{i}(h_{0}). Dies war zu zeigen. Also ist (q_{0}, q_{1}) ∈ D_{i}. qed(1)

Wir setzen für i < ω

D′_{i} :≡ {(p_{0}, p_{1}) | ∀h_{0}, h_{1} ∈ ω2 ((p_{0} ⊂ h_{0} ∧ p_{1} ⊂ h_{1} ∧ h_{1} ∈ dom(F_{i})) ⟶ h_{0} ≠ F_{i}(h_{1}))}.

Wie (1) beweist man dann

(2) D′_{i} ist dicht in P.

Schließlich setzen wir für n < ω

D′′_{n} :≡ {(p_{0}, p_{1}) | n ∈ dom(p_{0}) ∧ n ∈ dom(p_{1})}.

(3) D′′_{n} ist dicht in P.

Beweis. Sei (p_{0}, p_{1}) ∈ P. Definiere für k < 2

q_{k} :≡ \{ \begin{matrix}p_{k}, & falls n ∈ dom(p_{k}); \\ p_{k} ∪ \{(n, 0)\}, & falls n ∉ dom(p_{k}). \end{matrix}

Dann ist (q_{0}, q_{1}) ∈ D′′_{n} und (q_{0}, q_{1}) ≤ (p_{0}, p_{1}). qed(3)

Sei G ein P -generischer Filter über {D_{i} | i < ω} ∪ {D′_{i} | i < ω} ∪ {D′′_{n} | n < ω}. Setze

f :≡ ⋃{p_{0} | ∃p_{1} (p_{0}, p_{1}) ∈ G} und g :≡ ⋃{p_{1} | ∃p_{0} (p_{0}, p_{1}) ∈ G}.

Dann gilt f, g: ω ⊃→ 2. f und g sind totale Funktionen: für n < ω wähle nämlich (p_{0}, p_{1}) ∈ G ∩ D′′_{n}. Dann ist n ∈ dom(p_{0}) ⊂ dom(f) und n ∈ dom(p_{1}) ⊂ dom(g). Ferner gilt für i < ω:

(4) f ≠ F_{i}(g), g ≠ F_{i}(f).

Beweis. Es genügt aus Symmetriegründen, die erste Ungleichung zu verifizieren. Ist g ∉ dom(F_{i}), so ist F_{i}(g) = V nach Definition des Termes F_{i}(g), siehe 2.49. Insbesondere ist f ≠ F_{i}(g) wegen f ∈ V. Sei nun g ∈ dom(F_{i}) angenommen. Wähle (p_{0}, p_{1}) ∈ G ∩ D′_{i}. Dann ist p_{0} ⊂ f und p_{1} ⊂ g, und nach Definition von D′_{i} (mit h_{0} :≡ f und h_{1} :≡ g) folgt f ≠ F_{i}(g). qed(4)

Damit ist das Lemma bewiesen. QED

Nun erhalten wir das folgende, auf Post^{203} zurückgehende Resultat:

203Emil Leon Post (11.2.1897, Augustów–21.4.1954, New York) Mathematikstudium bis 1917 am City College in New York, danach an der Columbia University; 1920 Promotion; Lehrtätigkeit an New Yorker Hochschulen, ab 1935 am City College. Post arbeitet zunächst im Bereich der mathematischen Logik, dann auch im Bereich der formalen Sprachen.

25.10 Satz Es gibt f, g ∈ ω2 mit f ≰_{T} g und g ≰_{T} f.

Beweis. Wegen 25.9 genügt es zu zeigen, daß {F_{M} | M ist Turing-Maschine} abzählbar ist. Dann existieren nach 25.9 nämlich f, g ∈ ω2 mit f ≠ F_{M}(g) und g ≠ F_{M}(f) für alle Turing-Maschinen M. Dies bedeutet gerade g ≰_{T} f und f ≰_{T} g. Da jede Turing-Maschine durch ihre Befehle eindeutig bestimmt ist, kann sie aufgefaßt werden als eine endliche Teilmenge von

X :≡ \underbrace{ω}_{alter Zustand} × \underbrace{\{0, 1, ␣\}}_{gelesenes Zeichen} × \underbrace{\{0, 1, ␣\}}_{neues Zeichen} × \underbrace{ω}_{neuer Zustand} × \underbrace{\{−1, 0, +1\}}_{Kopfbewegung} .

Wegen \overline{\overline{X}} = ℵ_{0} ist \overline{\overline{[X]^{<ω}}} = ℵ_{0}, d.h., es gibt (modulo Umbenennung der Zustände) nur abzählbar viele Turing-Maschinen, und dies war zu zeigen. QED

25.3 Eine Anwendung in der Modelltheorie: der Typenübergehungssatz.

Wir fixieren eine abzählbare Sprache L = (I, J, K, t) und eine Theorie Φ ⊂ Fml_{0}(L).

25.11 Definition Ein L-Typ ist eine konsistente Teilmenge Σ(x_{0}, …, x_{n−1}) von Fml(L).

Ein Typ Σ(x_{0}, …, x_{n−1}) legt gewisse Eigenschaften für die (Belegungen der) Variablen x_{0}, …, x_{n−1} fest. Ist Φ ∪ Σ konsistent, so existieren ein Modell 𝔄 von Φ und a_{0}, …, a_{n−1} ∈ |𝔄|, die den durch Σ spezifizierten Eigenschaften genügen. Um zu zeigen, daß ein solches Modell existiert, genügt es nach dem Endlichkeitssatz zu zeigen, daß Φ ∪ Σ_{0} erfüllbar ist für jedes endliche Σ_{0} ⊂ Σ. Was aber ist, wenn wir durch einen Typ Σ Eigenschaften spezifizieren wollen, die nicht gelten sollen? Genauer: wir fixieren einen Typen Σ und suchen ein Modell 𝔄 von Φ, in dem Σ nicht realisiert wird.

25.12 Definition Sei Σ(x_{0}, …, x_{n−1}) ein L-Typ und 𝔄 eine L-Struktur. Σ(x_{0}, …, x_{n−1}) wird von 𝔄 übergangen :≡ ∀a_{0}, …, a_{n−1} ∈ |𝔄| ¬ 𝔄 ⊧ Σ[a_{0}, …, a_{n−1}].

Wir geben ein Kriterium dafür an, wann es zu Φ und Σ ein Modell 𝔄 von Φ gibt, das Σ übergeht. Der Schlüsselbegriff hierzu ist

25.13 Definition Sei Σ(x_{0}, …, x_{n−1}) ein L-Typ und Φ eine L-Theorie. Φ übergeht Σ lokal, falls es zu jeder Formel φ(x_{0}, …, x_{n−1}) ∈ Fml(L), für die Φ ∪ {φ} erfüllbar ist, ein σ ∈ Σ gibt, so daß Φ ∪ {φ, ˙¬σ} erfüllbar ist.

Mit Hilfe eines generischen Filters beweisen wir:

25.14 Satz (Typenübergehungssatz; Omitting-Types-Theorem) Sei L = (I, J, K, t) eine abzählbare Sprache und Φ eine L-Theorie. Für i < ω sei Σ_{i}(x_{0}, …, x_{n_{i}−1}) ein L-Typ, der von Φ lokal übergangen wird. Dann existiert ein abzählbares Modell 𝔄 von Φ, in dem für i < ω Σ_{i} übergangen wird.

Beweis. Sei K_{0} eine abzählbare Menge mit K_{0} ∩ (I ∪ J ∪ K) = ∅. Setze K′ :≡ K ∪ K_{0} und L′ :≡ (I, J, K′, t).^{204} Unser Ziel ist es, Φ zu einer Henkin-Menge^{205} Ψ ⊂ Fml(L′) zu erweitern, so daß in dem für Henkin-Mengen im Abschnitt Mathematische Logik konstruierten Modell (von Ψ) jeder der Typen (Σ_{i}|i < ω) übergangen wird. Sei

P :≡ {p ⊂ Fml(L′) | p ⊃ Φ ∧ p \ Φ endlich ∧ Kon^{L′}(p)}.

204D.h., wir fügen zu L abzählbar viele neue Konstantensymbole hinzu.

205siehe 17.9.

Für p, q ∈ P sei p ≤ q :≡ p ⊃ q. Um (H0) und (H1) zu erhalten setzen wir für jedes φ ∈ Fml(L′)

D_{φ} :≡ {p ∈ P | Kon^{L′}(p ∪ {φ}) ⟶ φ ∈ p}.

(1) D_{φ} ist dicht in P.

Beweis. Sei p ∈ P. Ist q :≡ p ∪ {φ} inkonsistent, so ist p ∈ D_{φ} und wir sind fertig. Ist q konsistent, so ist q ∈ D_{φ}. Wegen q ≤ p ist auch in diesem Fall alles gezeigt. qed(1)

Um (H2) zu bekommen setzen wir für k ∈ K′, φ ∈ Fml(L′) und x ∈ Vbl

D_{k,φ,x} :≡ \{p ∈ P | Kon^{L′}(p ∪ \{ ˙∀xφ\}) ⟶ φ\frac{ċ_{k}}{x} ∈ p\}

und für φ ∈ Fml(L′) und x ∈ Vbl

D_{φ,x} :≡ \{p ∈ P | Kon^{L′}(p ∪ \{ ˙∃xφ\}) ⟶ ∃k ∈ K′ φ\frac{ċ_{k}}{x} ∈ p\}.

(2) D_{k,φ,x} und D_{φ,x} sind dicht in P.

Beweis. zu D_{k,φ,x}. Sei p ∈ P. Ist p ∪ { ˙∀xφ} inkonsistent, so ist p ∈ D_{k,φ,x}. Ist p ∪ { ˙∀xφ} konsistent, so ist q :≡ p ∪ \{φ\frac{ċ_{k}}{x} \} konsistent: wähle 𝔄 und β mit 𝔄 ⊧ (p ∪ \{ ˙∀xφ\})[β]; dann gilt 𝔄 ⊧ ˙∀xφ[β], also speziell

𝔄 ⊧ φ [β \frac{ċ_{k}^{𝔄}}{x} ] .

Letzteres ist nach 16.4 gleichwertig mit

𝔄 ⊧ φ\frac{ċ_{k}}{x} [β].

Somit ist q ∈ D_{k,φ,x} und q ≤ p. zu D_{φ,x}. Sei p ∈ P. Ist p ∪ { ˙∃xφ} inkonsistent, so ist p ∈ D_{φ,x}. Ist p ∪ { ˙∃xφ} konsistent, so wähle ein k ∈ K_{0}, so daß ċ_{k} in p nicht vorkommt. Dies ist möglich, da p \ Φ nur endlich viele Formeln enthält und in Φ keine der über K_{0} indizierten Konstanten vorkommt (K_{0} ∩ K = ∅!). q :≡ p ∪ \{φ\frac{ċ_{k}}{x} \} ist konsistent. Um dies zu sehen wähle 𝔄 und β mit 𝔄 ⊧ (p ∪ { ˙∃xφ})[β]. Dann existiert ein a ∈ |𝔄| mit

(∗) 𝔄 ⊧ φ [β \frac{a}{x}].

Die L′-Struktur 𝔅 habe dieselbe Trägermenge wie 𝔄 und entstehe aus 𝔄, indem wir das Konstantensymbol ċ_{k} durch a interpretieren und die anderen Konstanten-, Relations- und Funktionsinterpretationen von 𝔄 übernehmen. Nach dem Koinzidenzlemma 15.7 gilt 𝔅 ⊧ p (beachte, daß ċ_{k} in p nicht vorkommt). Wegen (∗) gilt ferner 𝔅 ⊧ φ\frac{ċ_{k}}{x} [β]. Also ist q erfüllbar. Somit ist q ∈ D_{φ,x} und q ≤ p. Dies war zu zeigen. qed(2)

Um (H3) sicherzustellen, setzen wir für s ∈ Tm(L′)

D_{s} :≡ {p ∈ P | ∃k ∈ K_{0} s ≐ ċ_{k} ∈ p}.

(3) D_{s} ist dicht in P.

Beweis. Sei p ∈ P. Wie im Beweis zu (2) sieht man, daß es ein k ∈ K_{0} gibt, so daß ċ_{k} in p nicht vorkommt, und daß dann q :≡ p ∪ {s ≐ ċ_{k}} konsistent ist. Es ist q ≤ p und q ∈ D_{s}. qed(3)

Um sicherzustellen, daß im konstruierten Modell jeder der Typen Σ_{i} übergangen wird, setzen wir für i < ω und f ∈ n^{i}K_{0}

D_{i,f} :≡ {p ∈ P | ∃σ(x_{0}, …, x_{n_{i}−1}) ∈ Σ_{i} ˙¬ σ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)}) ∈ p}.

(Hierbei steht natürlich σ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)}) für diejenige L′-Formel, die man erhält, wenn man in σ jede Variable x_{j} durch ċ_{f(j)} ersetzt.) Es gilt (4) D_{i,f} ist dicht in P. Beweis. Sei p ∈ P. Dann existieren m < ω und θ_{0}, …, θ_{m−1} ∈ Fml(L′) mit p = Φ ∪ {θ_{j} | j < m}. Sei θ :≡ ⋀_{j<m} θ_{j}. Dann ist Φ ∪ {θ} konsistent. Wähle w_{0}, …, w_{n_{i}−1} ∈ Vbl mit

{w_{0}, …, w_{n_{i}−1}} ∩ ({x_{0}, …, x_{n_{i}−1}} ∪ var(θ)) = ∅ und setze

θ′ :≡ θ \frac{w_{0}}{x_{0}} ⋯ \frac{w_{n_{i}−1}}{x_{n_{i}−1}} .

Wegen fr(Φ) = ∅ sind Φ ∪ {θ} und Φ ∪ {θ′} äquikonsistent.^{206} Da L′ aus L durch Hinzufügen neuer Konstantensymbole entsteht und die x_{i} nicht unter den freien Variablen von θ′ vorkommen, existiert eine L-Formel

θ̄(x_{0}, …, x_{n_{i}−1}, y_{0}, …, y_{r−1}, z_{0}, …, z_{s−1}) und ein g ∈ s(K_{0} \ ran(f)) so daß

θ′ = θ̄(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)}, y_{0}, …, y_{r−1}, c_{g(0)}, …, c_{g(s−1)}). (Dies bedeutet natürlich, daß x_{j} durch ċ_{f(j)} und z_{j} durch ċ_{g(j)} ersetzt wird, ferner {w_{0}, …, w_{n_{i}−1}} ⊂ {y_{0}, …, y_{r−1}}.) Aus der Konsistenz von

Φ ∪ \{\underbrace{θ̄(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)}, y_{0}, …, y_{r−1}, c_{g(0)}, …, c_{g(s−1)})}_{=θ′}\}

folgt die Konsistenz von

Φ ∪ \{\underbrace{˙∃y_{0} … ˙∃y_{r−1} ˙∃z_{0} … ˙∃z_{s−1}θ̄(x_{0}, …, x_{n_{i}−1}, y_{0}, …, y_{r−1}, z_{0}, …, z_{s−1})}_{≡: φ(x_{0},...,x_{n_{i}−1}}\}.

Da Σ_{i} von Φ lokal übergangen wird, existiert ein σ ∈ Σ_{i}, so daß Φ ∪ {φ, ˙¬ σ} konsistent ist. Da in dieser Formelmenge keine Konstanten aus K_{0} vorkommen, ist auch

Φ ∪ {φ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)}), ˙¬ σ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)})} konsistent. Da hierin die Konstantensymbole ċ_{g(0)}, …, ċ_{g(s−1)} nicht vorkommen, folgt die Konsistenz von

Φ ∪ { ˙∃y_{0} … ˙∃y_{r−1}θ̄(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)}, y_{0}, …, y_{r−1}, ċ_{g(0)}, …, ċ_{g(s−1)}), ˙¬ σ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)})} und somit von

Φ ∪ \{\underbrace{θ̄(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)}, y_{0}, …, y_{r−1}, ċ_{g(0)}, …, ċ_{g(s−1)})}_{=θ′}, ˙¬ σ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)})\}.

Da fr(Φ ∪ { ˙¬ σ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)})}) = ∅ gilt, ist dies äquikonsistent mit

Φ ∪ {θ, ˙¬σ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)})}. Nach Definition von θ ist dies äquikonsistent mit q :≡ p ∪ { ˙¬ σ(ċ_{f(0)}, … ċ_{f(n_{i}−1)})}. Also ist q ≤ p und q ∈ D_{i,f}. Dies war zu zeigen. qed(4)

206Zwei L′-Formelmengen Φ_{0} und Φ_{1} heißen äquikonsistent, wenn Kon^{L′}(Φ_{0}) ⟷ Kon^{L′}(Φ_{1}) gilt.

Sei

D :≡ {D_{φ} | φ ∈ Fml(L′)} ∪
{D_{k,φ,x} | k ∈ K′ ∧ φ ∈ Fml(L′) ∧ x ∈ Vbl} ∪
{D_{φ,x} | φ ∈ Fml(L′) ∧ x ∈ Vbl} ∪
{D_{s} | s ∈ Tm(L′)} ∪
{D_{i,f} | i < ω ∧ f ∈ n^{i}K_{0}}.

Da L′ abzählbar ist, ist D abzählbar. Also existiert ein P -generischer Filter über D. Sei Ψ :≡ ⋃ G. Wegen Φ ⊂ p für alle p ∈ P ist Φ ⊂ Ψ. Ferner gilt:

(5) Ψ ist eine Henkin-Menge. Außerdem existiert zu jedem s ∈ Tm(L′) ein k ∈ K_{0} mit s ≐ ċ_{k} ∈ Ψ.^{207}

Beweis. zu (H0) und (H1). Ψ ist konsistent: Zu jedem endlichen p ⊂ Ψ existieren ein n < ω und p_{0}, …, p_{n−1} ∈ G mit p ⊂ ⋃_{i<n} p_{i}. Da G wie jeder Filter ℵ_{0}-vollständig ist, existiert ein q ∈ G mit q ≤ p_{0}, …, p_{n−1}, d.h., q ⊃ ⋃_{i<n} p_{i}. Aus q ∈ G folgt insbesondere, daß q konsistent ist. Wegen p ⊂ q ist folglich p konsistent. Also ist jeder endliche Teil von Ψ konsistent und damit Ψ als konsistent nachgewiesen. Ψ ist maximal konsistent. Ist nämlich φ ∈ Fml(L′), so daß Ψ ∪ {φ} konsistent ist, so wähle p ∈ D_{φ} ∩ G. Dann ist p ∪ {φ} konsistent, also φ ∈ p ⊂ Ψ. Somit ist Ψ als maximal L′-konsistent nachgewiesen, so daß nach 17.10 (H0) und (H1) gelten.

zu (H2). Sei φ ∈ Fml(L′) und x ∈ Vbl. Es ist ˙∀xφ ∈ Ψ ⟷ ∀k ∈ K′ φ\frac{ċ_{k}}{x} zu zeigen. zu ”⇒“. Sei ˙∀xφ ∈ Ψ und k ∈ K′. Wähle p ∈ D_{k,φ,x} ∩ G. Dann ist p ∪ { ˙∀xφ} ⊂ Ψ, also konsistent. Nach Definition von D_{k,φ,x} ist φ\frac{ċ_{k}}{x} ∈ p. Wegen p ⊂ Ψ folgt die Behauptung. zu ”⇐“. Sei ˙∀xφ ∉ Ψ. Nach (H1) ist dann ˙∃x ˙¬φ ∈ Ψ. Ist p ∈ D_{˙¬ φ,x} ∩ G, so ist p ∪ { ˙∃x ˙¬φ} ⊂ Ψ, also konsistent. Nach Definition von D_{˙¬φ,x} existiert ein k ∈ K′, so daß ˙¬φ\frac{ċ_{k}}{x} ∈ p, also ˙¬φ\frac{ċ_{k}}{x} ∈ Ψ gilt. Nach (H1) ist φ\frac{ċ_{k}}{x} ∉ Ψ, so daß wir ∃k ∈ K′ φ\frac{ċ_{k}}{x} ∉ Ψ nachgewiesen haben. Dies war zu zeigen.

zu (H3). Sei s ∈ Tm(L′). Wähle p ∈ D_{s} ∩ G. Dann existiert ein k ∈ K_{0} mit s ≐ ċ_{k} ∈ p. Wegen p ⊂ Ψ folgt s ≐ ċ_{k} ∈ Ψ.

Damit ist (5) bewiesen. qed(5)

Sei nun 𝔄 das im Abschnitt Mathematische Logik für Ψ konstruierte Modell. Wegen Φ ⊂ Ψ ist das L-Redukt von 𝔄 ein Modell von Φ. Aus der Definition von 𝔄 folgt wegen \overline{\overline{L′}} = ℵ_{0} sofort, daß 𝔄 abzählbar ist, vgl. z.B. 17.27. Sei nun i < ω. Es ist zu zeigen, daß Σ_{i}(x_{0}, …, x_{n_{i}−1}) von 𝔄 übergangen wird. Angenommen, es gibt a_{0}, …, a_{n_{i}−1} ∈ |𝔄| mit

(∗) 𝔄 ⊧ Σ_{i}[a_{0}, …, a_{n_{i}−1}].

Nach Definition von 𝔄 existiert dann für j < n_{i} ein s_{j} ∈ Tm(L′), so daß a_{j} = \overline{s_{j}}, wobei \overline{s} die Äquivalenzklasse von s ∈ Tm(L′) unter der Äquivalenzrelation r ≈ s :≡ r ≐ s ∈ Ψ ist. Nach (5) existiert für j < n_{i} ein k_{j} ∈ K_{0}, so daß \overline{s_{j}} = \overline{ċ_{k_{j}}} ist. Nach Definition von 𝔄 ist außerdem \overline{ċ_{k}} gerade die Interpretation c_{k} des Konstantensymbols ċ_{k} in 𝔄. Also ist a_{j} = c_{k_{j}} für j < n_{i}. Setze nun f :≡ (k_{j} | j < n_{i}) und wähle p ∈ G ∩ D_{i,f}. Dann ist p ⊂ Ψ und es existiert σ(x_{0}, …, x_{n_{i}−1}) ∈ Σ_{i}, so daß ˙¬ σ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)}) ∈ p gilt. Folglich ist ˙¬ σ(ċ_{f(0)}, …, ċ_{f(n_{i}−1)}) ∈ Ψ, d.h.,

𝔄 ⊧ ˙¬ σ[\underbrace{c_{f(0)}}_{=a_{0}}, …, \underbrace{c_{f(n_{i}−1)}}_{=a_{n_{i}−1}}].

Dies widerspricht (∗). Also ist (∗) falsch und Σ_{i} wird in 𝔄 übergangen. Damit ist der Satz bewiesen. QED 25.15 Bemerkung Das Omitting-Types-Theorem kann nicht ohne weiteres auf überabzählbare Sprachen übertragen werden. Betrachte hierzu in einer Sprache L, die die Konstantensymbole {ċ_{α} | α < ω_{1}} ∪ {ċ′_{n} | n < ω} besitzt, die Theorie Φ :≡ { ˙¬ ċ_{α} ≐ ċ_{β} | α < β < ω_{1}} und den Typen Σ(x) :≡ { ˙¬ x ≐ ċ′_{n} | n < ω}. Σ wird von Φ lokal übergangen: Ist nämlich φ(x) ∈ Fml(L), so daß Φ∪{φ} konsistent ist, so wähle ein n < ω, so daß ċ′_{n} in φ nicht vorkommt. Dann ist Φ ∪ {φ(x), x ≐ ċ′_{n}} erfüllbar. Σ wird aber von keinem Modell 𝔄 von Φ übergangen. Jedes solche ist nämlich überabzählbar, so daß es ein a ∈ |𝔄| gibt, das keine Interpretation eines der Konstantensymbole {ċ′_{n} | n < ω} ist. Dann gilt 𝔄 ⊧ Σ[a].

207Dies ist eine etwas schärfere Form von (H3), die wir benötigen, um zu zeigen, daß die Σ_{i} im Henkinschen Modell von Ψ übergangen werden.

Mehr zum Omitting-Types-Theorem findet man z.B. in [4], pp.77 ff. und [29], pp.127 ff.

26 Antiketten und Martin’s Axiom.

Nach 25.4 gibt es zu jeder abzählbaren Menge D von Mengen, die in einer Forcing-Halbordnung (P, ≤, 1_{P}) dicht sind, einen P -generischen Filter über D. 25.5 und 25.6 zeigen, daß dies ist dies bei überabzählbarem D i.a. nicht der Fall ist. Wir können also ZFC nicht konsistent durch die Forderung erweitern, daß für jede Forcing-Halbordnung P und jede Familie D in P dichter Teilmengen ein P -generischer Filter über D existiert. Es wird sich jedoch erweisen, daß diese Forderung so modifiziert werden kann, daß das so entstehende Axiom einerseits mit ZFC konsistent, andererseits genügend ausdrucksstark ist, um interessante, über ZFC hinausgehende Resultate zu implizieren. Die Modifikation setzt an zwei Stellen an:

(1) Statt aller Forcing-Halbordnungen werden nur noch solche betrachtet, die eine geeignete ”Kleinheitsbedingung“ erfüllen. Es handelt sich hierbei um die ”abzählbare Antiketten-Eigenschaft“.

(2) Die Kardinalität von D wird auf ein (möglichst großes) Intervall beschränkt.

26.1 Antiketten und die Antiketten-Eigenschaft.

26.1 Definition Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung und κ ∈ Card.

(a) A ist eine Antikette in P :≡ A ⊂ P ∧ ∀p, q ∈ A (p ≠ q ⟶ p ⊥ q).^{208}

(b) A ist maximale Antikette in P :≡ A ist Antikette in P ∧ ∀A′(A′ ⊃ A ∧ A′ ist Antikette in P ⟶ A′ = A).

(c) (P, ≤, 1_{P}) hat die κ-Antiketten-Eigenschaft :≡ ∀A (A ist Antikette in P ⟶ \overline{\overline{A}} < κ).

(d) (P, ≤, 1_{P}) hat die abzählbare Antiketten-Eigenschaft :≡ (P, ≤, 1_{P}) hat die ℵ_{1}-Antiketten-Ei-genschaft.

26.2 Bemerkung (a) Statt ”κ-Antiketten-Eigenschaft“ sagen wir auch κ-cc; ”cc“ steht für chain condition. Statt ”abzählbare Antiketten-Eigenschaft“ sagen wir auch ccc; ”ccc“ steht für countable chain condition. Statt ”P ist eine Forcing-Halbordnung, die ccc erfüllt“ sagen wir auch ”P ist eine ccc-Forcing-Halbordnung“.

(b) Man sieht leicht, daß die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:

(i) A ist maximale Antikette in P.

(ii) A ist ⊂ -maximales Element in {B | B ist Antikette in P }.

(iii) A ist Antikette in P ∧ ∀p ∈ P \ A ∃q ∈ A p ∥ q.

(c) A hat genau dann ccc, wenn jede Antikette in A höchstens abzählbar ist. Speziell: ist P abzählbar, so hat P die ccc.

26.3 Beispiel Fn(κ, 2, ℵ_{0}) hat ccc. Dies folgt aus dem folgenden, allgemeineren Resultat.

208Genauer müßten wir sagen: Antikette in (P, ≤, 1_{P}).

26.4 Satz Fn(a, b, μ) hat die (\overline{\overline{b}}^{<μ})^{+} − cc.

Beweis. Sei λ :≡ \overline{\overline{b}} und θ :≡ (λ^{<μ})^{+}. Wegen λ^{<μ} ≥ μ, siehe 11.5, folgt

(1) μ < θ.

Wir müssen nun zeigen, daß keine Folge (p_{i}|i < θ) ∈ θP eine Antikette in P ist. Sei also (p_{i}|i < θ) ∈ θP. Wir unterscheiden zwei Fälle.

Fall 1. μ ist regulär. Idee: Wir dünnen die Folge mit Hilfe des Δ-System-Satzes 11.20 soweit aus, bis es eine Menge d gibt, so daß für je zwei verschiedene Indices i, j gilt dom(p_{i}) ∩ dom(p_{j}) = d. Eine Anwendung eines Schubfachprinzipes zeigt dann, daß zwei derartige Indices existieren mit p_{i} ↾ d = p_{j} ↾ d; dann stimmen p_{i} und p_{j} auf demjenigen Teil ihres jeweiligen Definitionsbereiches überein, den sie gemeinsam haben, d.h., p_{i} ∪ p_{j} ist eine partielle Funktion, die p_{i} und p_{j} erweitert, so daß p_{i} und p_{j} kompatibel sind, die ursprüngliche Folge also keine Antikette war. Ausführung: Wir überprüfen, ob die Voraussetzungen des Δ-System-Satz für die Familie {dom(p_{i}) | i < θ} erfüllt sind.

Es gilt μ < θ nach (1); ferner sind μ und θ regulär; außerdem gilt \overline{\overline{dom(p_{i})}} < μ. Es bleibt zu zeigen:

(2) ∀α < θ ∀β < μ \overline{\overline{α}}^{\overline{\overline{β}}} < θ.

Beweis. Sei α < θ und β < μ. Dann gilt \overline{\overline{α}} ≤ λ^{<μ} und \overline{\overline{β}} < μ. Ferner gilt

(∗) \overline{\overline{β}} \overline{\overline{α}} ⊂ ⋃_{κ∈Cd ∩μ} \overline{\overline{β}} (λ^{κ});

ist nämlich f: \overline{\overline{β}} → \overline{\overline{α}}, so definiere für γ < \overline{\overline{β}} ein κ_{γ} < μ derart, daß f(γ) < λ^{κ_{γ}} ist; κ_{γ} existiert, da

ran(f) ⊂ λ^{<μ} ist. Da μ regulär und \overline{\overline{β}} < μ ist, gilt κ :≡ sup_{γ<\overline{\overline{β}}} κ_{γ} < μ. Offenbar ist f ∈ \overline{\overline{β}} (λ^{κ}). Also ist (∗) bewiesen. Nun folgt

\overline{\overline{α}}^{\overline{\overline{β}}} = \overline{\overline{\overline{\overline{β}} \overline{\overline{α}}}} ≤^{(∗)} ∑_{κ∈Cd ∩μ} \underbrace{\overline{\overline{\overline{\overline{β}} (λ^{κ})}}}_{=λ^{κ·\overline{\overline{β}}} ≤λ^{<μ}} ≤ μ · λ^{<μ} <^{(1)} θ.

Dies war zu zeigen. qed(2)

Aus dem Δ-System-Satz, angewendet auf (dom(p_{i}) | i < θ), folgt die Existenz eines J ⊂ θ mit \overline{\overline{J}} = θ und eines d ⊂ a mit dom(p_{i}) ∩ dom(p_{j}) = d für alle i, j ∈ J mit i ≠ j. Dann ist \overline{\overline{d}} < μ (da d ⊂ dom(p_{i})), so daß

\overline{\overline{\{p_{i} ↾ d | i ∈ J\}}} ≤ \overline{\overline{b}}^{\overline{\overline{d}}} ≤ λ^{\overline{\overline{d}}} ≤ λ^{<μ} < θ

gilt. Wegen \overline{\overline{J}} = θ müssen also i, j ∈ J existieren mit i ≠ j und p_{i} ↾ d = p_{j} ↾ d. Dann stimmen p_{i} und p_{j} auf dem Teil ihres jeweiligen Definitionsbereiches überein, den sie gemeinsam haben, d.h., es gilt p_{i} ∪ p_{j} ∈ Fn(a, b, μ) und somit p_{i} ∥ p_{j}. Also ist (p_{i} | i < θ) keine Antikette. Dies war zu zeigen.

Fall 2. μ ist singulär. Wir führen diesen Fall auf Fall 1 zurück. Angenommen, (p_{i} | i < θ) ist eine Antikette.

(3) Es existiert ein reguläres μ′ < μ, so daß J :≡ \{i < θ | \overline{\overline{p_{i}}} < μ′\} Kardinalität θ hat.

Beweis. Wir wenden das Schubfachprinzip 11.1 an. Definiere hierzu f: θ → μ durch f(i) :≡ \overline{\overline{p_{i}}}. Da μ < θ und θ regulär ist, existiert nach dem Schubfachprinzip ein J ⊂ θ mit \overline{\overline{J}} = θ, so daß f ↾ J konstant ist. Sei ν dieser Funktionswert und μ′ :≡ ν^{+}. Dann ist μ′ regulär. Ferner ist μ′ < μ: da ν < μ gilt und μ als singuläre Kardinalzahl eine Limeskardinalzahl und überabzählbar ist, ist auch ν^{+} < μ. Indem wir ggf. J vergrößern, können wir J = \{i < θ | \overline{\overline{p_{i}}} < μ′\} erreichen. (Aus der Definition von J folgt nur, daß hier ”⊂“ gilt.) qed(3)

Nun ist (p_{j} | j ∈ J) eine Antikette in Fn(a, b, μ′). Nach dem in Fall 1 gezeigten hat Fn(a, b, μ′) die (λ^{<μ′})^{+}-cc. Also muß \overline{\overline{J}} < (λ^{<μ′})^{+} sein. Nach (3) gilt aber

\overline{\overline{J}} = (λ^{<μ})^{+} ≥^{μ>μ′} (λ^{<μ′})^{+}.

Der Widerspruch zeigt, daß (p_{i} | i < θ) keine Antikette in Fn(a, b, μ) sein kann. Damit ist der Satz bewiesen. QED

26.5 Beispiel Fn(ω, ω_{1}, ω) hat nicht ccc, da A :≡ \{\{(0, α)\} | α < ω_{1}\} eine Antikette mit \overline{\overline{A}} = ℵ_{1} ist. A ist eine maximale Antikette in P: ist nämlich p ∈ P beliebig, so gilt {(0, p(0))} ∥ p im Fall 0 ∈ dom(p) und {(0, 0)} ∥ p im Fall 0 ∉ dom(p).

26.2 Martins Axiom.

Mit Hilfe der ccc können wir das oben angesprochene Axiom formulieren. Es geht zurück auf Donald A. Martin und Robert M. Solovay (ca. 1970):

26.6 Definition (a) Sei κ ∈ Card

MA(κ) :≡ ∀P, D ∃G ((P ist Forcing-Halbordnung ∧ P hat ccc ∧ \overline{\overline{D}} ≤ κ)

⟶ G ist P -generischer Filter über D).

MA(κ) heißt Martin’s Axiom für κ.

(b) MA :≡ ∀κ < 2^{ℵ_{0}} MA(κ). MA heißt Martin’s Axiom.

26.7 Lemma (a) Es gilt MA(ℵ_{0}).

(b) Es gilt ¬ MA(2^{ℵ_{0}}) und somit ∀κ ≥ 2^{ℵ_{0}} ¬ MA(κ). Dies erklärt die Beschränkung der Laufvariable des Quantors in MA auf den Bereich κ < 2^{ℵ_{0}}.

(c) CH ⟶ MA.

Beweis. zu (a). Dies folgt sofort aus dem Existenzsatz für generische Filter 25.4. zu (b). Nach 26.3 ist P :≡ Fn(ω, 2, ℵ_{0}) eine ccc-Forcing-Halbordnung. Nach 25.5 gibt es eine Familie D von in P dichten Mengen mit \overline{\overline{D}} = 2^{ℵ_{0}}, so daß kein P -generischer Filter über D existiert. zu (c). Gilt CH, so ist [ℵ_{0}, 2^{ℵ_{0}}[ ∩ Card = {ℵ_{0}}. Also gilt MA ⟷ MA(ℵ_{0}). (a) liefert dann die Behauptung. QED

26.8 Bemerkung Aus 26.7 folgt: ist ZFC + CH konsistent, so trivialerweise auch ZFC + CH + MA. In 35.7 zeigen wir, daß im Fall der Konsistenz von ZFC auch ZFC + ¬ CH + MA konsistent ist.

26.3 Implikationen von MA.

Welche Auswirkungen hat die Hinzunahme von MA zu ZFC? Wie wir gleich an einigen Beispielen verdeutlichen werden, ermöglicht es MA, Konstruktionsprinzipien des Abzählbaren auf den Bereich des Überabzählbaren unterhalb von 2^{ℵ_{0}} zu übertragen. Alle Kardinalzahlen im Intervall [ℵ_{0}, 2^{ℵ_{0}}[ verhalten sich unter MA gleich. MA bewirkt somit Ähnliches wie CH, aber auf wesentlich subtilere Weise (CH schließt einfach die Existenz von Kardinalzahlen im Bereich ]ℵ_{0}, 2^{ℵ_{0}}[ aus). Beachten Sie auch, daß das in 26.8 angesprochene Konsistenzresultat 35.7 impliziert, daß MA und CH (unter ZFC) nicht äquivalent sind.

26.3.1 Ein Beispiel aus der Maßtheorie.

Definiere μ: Pot(ℝ) ⊃→[0, ∞[ durch μ(]a, b]) :≡ b−a. Aus dem Fortsetzungssatz von Carathéodory^{209} folgt, daß sich μ eindeutig zu einem Maß auf die Borelsche σ-Algebra B von ℝ fortsetzen läßt. B ist hierbei die ⊂ -kleinste σ-Algebra A ⊂ Pot(ℝ), die alle offenen Teilmengen von ℝ umfaßt. Dabei heißt A σ-Algebra, falls gilt:

(i) ∅ ∈ A.

(ii) ∀A ∈ A ℝ \ A ∈ A.

(iii) ∀Z ⊂ A (\overline{\overline{Z}} ≤ ℵ_{0} ⟶ ⋃ Z ∈ A). Dieses Maß auf B sei wiederum mit μ bezeichnet. Es heißt Lebesgue-Maß. Das System

L :≡ {B ∪ M | B ∈ B ∧ ∃N ∈ B (M ⊂ N ∧ μ(N) = 0)}

ist eine σ-Algebra. Sie heißt Lebesguesche σ-Algebra. Die Elemente von L heißen Lebesgue-meßbare Mengen. μ läßt sich eindeutig zu einem Maß auf L erweitern durch die Zuordnung B ∪M ↦ μ(B), wobei B ∈ B und M Teilmenge eines N ∈ B mit μ(N) = 0 ist. Dieses Maß sei erneut mit μ bezeichnet. N ⊂ ℝ heißt Lebesgue-Nullmenge, falls N ∈ L und μ(N) = 0 gilt. Dies ist äquivalent mit

(∗) ∀ε > 0 ∃ U ⊂ ℝ (U ist offen ∧ U ⊃ N ∧ μ(U) < ε).

Die Lebesgue-Nullmengen bilden ein Ideal I(μ) ⊂ Pot(ℝ). Hierbei heißt I ⊂ Pot(ℝ) ein Ideal in Pot(ℝ), falls gilt

(i) ∅ ∈ I.

(ii) ∀A ∈ I ∀B ⊂ ℝ A ∩ B ∈ I. (iii) ∀A, B ∈ I A ∪ B ∈ I.

Ein Ideal I heißt κ-vollständig, falls gilt ∀Z ⊂ I (\overline{\overline{Z}} < κ ⟶ ⋃ Z ∈ I). Statt ℵ_{1}-vollständig sagt man auch σ-vollständig. I ist offenbar genau dann ein Ideal in Pot(ℝ), wenn F :≡ {ℝ \ A | A ∈ I} ein Filter auf ℝ ist. I ist genau dann κ-vollständig, wenn F es ist.

Aus der σ-Additivität des Lebesgue-Maßes folgt sofort, daß I(μ) ein σ-vollständiges Ideal in Pot(ℝ) ist. Wir zeigen:

26.9 Satz Sei κ ∈ Card und es gelte MA(κ). Dann gilt:

(a) I(μ) ist κ^{+}-vollständig.

(b) μ ist κ^{+}-additiv.

(c) ∀A ⊂ ℝ (\overline{\overline{A}} ≤ κ ⟶ A ist Lebesgue-Nullmenge).

Beweis. Im Fall κ = ℵ_{0} ist die Gültigkeit von (a), (b) und (c) wohlbekannt; wir können also κ > ℵ_{0} annehmen. Offenbar folgt (c) sofort aus (a), denn im Fall A ⊂ ℝ, \overline{\overline{A}} ≤ κ, ist durch Z :≡ \{\{x\} | x ∈ A\} eine Teilmenge von I(μ) definiert ist, deren Kardinalität höchstens κ beträgt, und es gilt A = ⋃ Z. Wir leiten nun (b) aus (a) ab und beweisen danach (a). Für i < κ sei A_{i} eine Lebesgue-meßbare Teilmenge von ℝ und es sei A_{i} ∩ A_{j} = ∅ für i < j < κ (1) I :≡ {i < κ | μ(A_{i}) > 0} ist höchstens abzählbar.

209Constantin Carathéodory (13.9.1873, Berlin–2.2.1950, München) entstammt einer griechischen Familie, sein Vater war Diplomat in türkischem Dienst; nach einer Ausbildung zum Ingenieur 1898–1900 in englischem Dienst bei Staudammbauten am Nil beschäftigt; danach Mathematikstudium 1900–1902 in Berlin und 1902–1904 in Göttingen; 1905 Promotion; 1909 Professor an der TH Hannover, 1910 an der TH Breslau; 1913 Nachfolger von Felix Klein in Göttingen; 1918 an der Universität Berlin; 1920 wechselt er an die Universität im griechisch besetzten Smyrna, nach der Rückgabe Smyrnas an die Türkei an der Universität in Athen; ab 1924 an der Universität München. Carathéodory arbeitet besonders in den Bereichen Variationsrechnung, Differentialgleichungen und Funktionentheorie.

Beweis. Aus den Eigenschaften des Maßes μ folgt für i ∈ I die Existenz eines n_{i} ∈ ℕ mit

μ(A_{i} ∩ [−n_{i}, n_{i}]) > 0.

Sei \overline{\overline{I}} > ℵ_{0} angenommen. Dann gibt es nach dem Schubfachprinzip 11.1 ein n ∈ ℕ mit n_{i} = n für alle i aus einer Teilmenge I_{0} von I mit \overline{\overline{I_{0}}} = ℵ_{1}. O.E. sei I_{0} = ω_{1}. Für i < ω_{1} existiert dann ein m_{i} ∈ ℕ \ \{0\} mit

μ(A_{i} ∩ [−n, n]) ≥ \frac{1}{m_{i}} .

Wiederum nach dem Schubfachprinzip existiert ein m ∈ ℕ mit μ(A_{i} ∩ [−n, n]) ≥ \frac{1}{m} für alle i aus einer abzählbaren Teilmenge I_{1} von ω_{1}. Dann folgt

2n = μ([−n, n]) ≥ μ( ⋃_{i∈I_{1}}(A_{i} ∩ [−n, n])) = ∑_{i∈I_{1}} \underbrace{μ(A_{i} ∩ [−n, n])}_{≥ \frac{1}{m}} ≥ \frac{1}{m}\overline{\overline{I_{1}}} = ℵ_{0},

ein Widerspruch. Also muß doch \overline{\overline{I}} ≤ ℵ_{0} sein. qed(1)

Nach (a) ist ⋃_{i∈κ\I} A_{i} eine Lebesgue-Nullmenge, ferner ist ⋃_{i∈I} A_{i} ∈ L, da L als σ-Algebra unter abzählbarer Vereinigung abgeschlossen ist. Somit ist ⋃_{i<κ} A_{i} = (⋃_{i∈I} A_{i}) ∪ (⋃_{i∈κ\I} A_{i}) ∈ L. Ferner gilt

μ( ⋃_{i<κ} A_{i}) = μ(⋃_{i∈I} A_{i}) + μ( \underbrace{⋃_{i∈κ\I} A_{i}}_{ist Nullmenge!}) (wegen der Additivität von μ)

= ∑_{i∈I} μ(A_{i}) + 0 (wegen der σ-Additivität von μ)
= ∑_{i∈I} μ(A_{i}) + ∑_{i∈κ\I} \underbrace{μ(A_{i})}_{=0}

= ∑_{i∈κ} μ(A_{i}).

Damit ist (b) bewiesen. Wir beweisen jetzt (a). Sei (A_{i} | i < κ) eine Folge von Lebesgue-Nullmengen und A :≡ ⋃{A_{i}|i < κ}. Es ist A ∈ I(μ) zu zeigen. Hierzu konstruieren wir zu jedem ε > 0 mit Hilfe eines generischen Filters eine offene Menge U ⊂ ℝ mit U ⊃ A und μ(U) ≤ ε, indem wir jedes A_{i} mit einer ”hinreichend“ kleinen offenen Menge überdecken und dann U als Vereinigung dieser offenen Mengen wählen. Sei

P :≡ {p ⊂ ℝ | p ist offen ∧ μ(p) < ε}.

Für p, q ∈ P sei p ≤ q :≡ p ⊃ q. Dann ist (P, ≤, ∅) eine Forcing-Halbordnung. Um MA(κ) ausnutzen zu können zeigen wir

(2) P hat ccc.

Beweis. Sei (p_{α} | α < ω_{1}) eine Sequenz mit Werten in P. Es sind zwei kompatible Glieder dieser Folge anzugeben. Idee: Wir dünnen (p_{α}|α < ω_{1}) zu einer noch immer ℵ_{1} langen Folge so aus (diese Folge sei o.E. wieder mit (p_{α}|α < ω_{1}) bezeichnet), daß ein offenes p^{∗} ⊂ ℝ existiert, das Teil eines jeden p_{α} ist und den größten Teil von dessen Masse trägt. Dann hat p_{0} ∪ p_{1} im wesentlichen dieselbe Masse wie p_{0}, nämlich μ(p^{∗}), woraus p_{0} ∪ p_{1} ∈ P folgt, was p_{0} ∥ p_{1} impliziert.

Ausführung: Zu α < ω_{1} existiert wegen μ(p_{α}) < ε ein n_{α} < ω mit

μ(p_{α}) < ε − \frac{1}{n_{α}} .

Nach dem Schubfachprinzip existiert ein J_{0} ⊂ ω_{1} mit \overline{\overline{J_{0}}} = ℵ_{1} und ein n < ω mit n_{α} = n für alle α ∈ J_{0}. Durch Übergang zu einer Teilfolge der ursprünglichen Folge können wir J_{0} = ω_{1} erreichen. Da die Menge

J_{0} :≡ {]a, b[| a, b ∈ ℚ ∧ a < b}

eine abzählbare Basis der Topologie von ℝ ist,^{210} existiert zu jedem α < ω_{1} eine Folge (I_{α,k} | k < ω) mit I_{α,k} ∈ J_{0} für k < ω, so daß p_{α} = ⋃_{k<ω} I_{α,k} gilt. Da μ ein Maß ist, gilt μ(p_{α}) = lim_{m→ω} μ(⋃_{k=0}^{m} I_{α,k}). Da μ(p_{α}) endlich ist, existiert ein m_{α} < ω, so daß für p_{α}^{∗} :≡ ⋃_{k=0}^{m_{α}} I_{α,k} gilt μ(p_{α} \ p_{α}^{∗}) < \frac{1}{n}. Da die Menge {p_{α}^{∗} | α < ω_{1}} höchstens abzählbar ist (p_{α}^{∗} korrespondiert zu einem Element von < ωJ_{0}, und diese Menge ist abzählbar wegen \overline{\overline{J_{0}}} = ℵ_{0}), existiert nach dem Schubfachprinzip ein J_{1} ⊂ ω_{1} mit \overline{\overline{J_{1}}} = ℵ_{1} und ein p^{∗} mit p_{α}^{∗} = p^{∗} für alle α ∈ J_{1}. Wieder können wir o.E. J_{1} = ω_{1} annehmen. Betrachte nun p_{0}, p_{1}. p_{0} ∪ p_{1} ist offen. Wegen

p_{0} ∪ p_{1} = p_{0} ∪ ( \underbrace{p_{1}^{∗}}_{=p^{∗}⊂p_{0}} ∪ (p_{1} \ p_{1}^{∗})) = p_{0} ∪ (p_{1} \ p_{1}^{∗})

folgt

μ(p_{0} ∪ p_{1}) ≤ μ(p_{0}) + μ(p_{1} \ p_{1}^{∗}) < (ε − \frac{1}{n}) + \frac{1}{n} = ε.

Somit ist p_{0} ∪ p_{1} ∈ P; außerdem gilt p_{0} ∪ p_{1} ≤ p_{0}, p_{1}. Also p_{0} ∥ p_{1}. qed(2)

Für i < κ sei D_{i} :≡ {p ∈ P | p ⊃ A_{i}}. D_{i} sorgt dafür, daß A_{i} von unserem zu konstruierenden Objekt überdeckt wird. Es gilt

(3) D_{i} ist dicht in P.

Beweis. Sei p ∈ P beliebig. Wähle ein n < ω mit μ(p) < ε − \frac{1}{n}. Da A_{i} eine Lebesgue-Nullmenge ist, existiert ein offenes p′ ⊂ ℝ mit p′ ⊃ A_{i} und μ(p′) < \frac{1}{n}. Dann ist p ∪ p′ ∈ D_{i} und p ∪ p′ ≤ p. qed(3)

Nach MA(κ) existiert ein P -generischer Filter G über {D_{i} | i < κ}. U :≡ ⋃ G ist als Vereinigung offener Mengen selbst offen. Für i < κ ist A_{i} ⊂ U: wähle nämlich p ∈ G ∩ D_{i}; dann ist A_{i} ⊂ p ⊂ ⋃ G = U. Es ist noch μ(U) ≤ ε zu zeigen. Angenommen, μ(U) > ε.

(4) Es gibt eine kompakte Menge K ⊂ ℝ mit K ⊂ U und μ(K) > ε.

Beweis. Da U offen ist, existiert zu jedem x ∈ U ein kompaktes Intervall I(x) ⊂ U, das rationale Endpunkte hat, so daß x ∈ I(x) gilt. Sei X :≡ \{I(x) | x ∈ U\}. Dann ist U = ⋃ X. Da es wegen \overline{\overline{ℚ × ℚ}} = ℵ_{0} nur abzählbar viele Intervalle mit rationalen Endpunkten gibt, existieren x_{k} ∈ U (k < ω) mit X = {I(x_{k}) | k < ω}. Also ist U = ⋃_{k<ω} I(x_{k}). Da μ ein Maß ist, gilt ε < μ(U) = lim_{m→ω} μ(⋃_{k=0}^{m} I(x_{k})). Also existiert ein m < ω mit μ(⋃_{k=0}^{m} I(x_{k})) > ε. Als Vereinigung endlich vieler kompakter Mengen ist K :≡ ⋃_{k=0}^{m} I(x_{k}) kompakt. Ferner ist K ⊂ U und μ(K) > ε. qed(4)

Sei nun K wie in (4). Dann ist G eine Überdeckung von K mit offenen Mengen. Da K kompakt ist, wird K bereits von einer endlichen Teilmenge E von G überdeckt. Da G als Filter ℵ_{0}-vollständig ist, existiert ein q ∈ G mit q ⊃ p für jedes p ∈ E. Dann gilt K ⊂ ⋃ E ⊂ q. Wegen q ∈ P ist μ(q) < ε, so daß auch μ(K) < ε sein muß. Dies widerspricht der Wahl von K. Also muß unsere Annahme μ(U) > ε falsch sein und der Satz ist bewiesen. QED Aus 26.9 folgt sofort das folgende Resultat, welches unsere Behauptung stützt, daß sich unter MA die Kardinalzahlen im Intervall [ℵ_{0}, 2^{ℵ_{0}}[ gleich verhalten.

210D.h., jede offene Menge ist Vereinigung von Elementen aus J_{0}. Da J_{0} abzählbar ist, ist jede offene Menge Vereinigung von höchstens abzählbar vielen Elementen von J_{0}.

26.10 Corollar Es gelte MA. Dann gilt

(a) Die Vereinigung von weniger als 2^{ℵ_{0}} vielen Nullmengen ist eine Nullmenge.

(b) Das Lebesgue-Maß ist 2^{ℵ_{0}}-additiv.

(c) Jede Teilmenge von ℝ, die von kleinerer Kardinalität als ℝ ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

26.3.2 Ein Beispiel aus der Topologie.

Sei (X, O) ein topologischer Raum, d.h., X ist eine Menge und O ist eine Topologie auf X, also eine Teilmenge von Pot(X), die ∅ und X als Elemente enthält und gegen endliche Schnitte und beliebige Vereinigungen abgeschlossen ist. Die Elemente von O heißen offen, die Komplemente der Mengen von O heißen abgeschlossen. Für A ⊂ X sei

\overline{A} :≡ ⋂\{B | A ⊂ B ∧ B ist abgeschlossen\}

der Abschluß von A (d.h., \overline{A} ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von A) und

A^{∘} :≡ ⋃{B | B ⊂ A ∧ B ∈ O}

das Innere von A (d.h., A^{∘} ist die größte offene Teilmenge von A).

26.11 Definition Sei A ⊂ X.

(a) A ist dicht in X :≡ \overline{A} = X.

(b) A ist nirgends dicht in X :≡ \overline{A}^{∘} = ∅.

(c) A ist mager^{211} :≡ ∃Z(\overline{\overline{Z}} ≤ ℵ_{0} ∧ ∀B ∈ Z (B ⊂ X ∧ B ist nirgends dicht) ∧ A = ⋃ Z).

26.12 Beispiel Bezüglich der kanonischen Topologie von ℝ sind alle endlichen Teilmengen von ℝ nirgends dicht und alle höchstens abzählbaren mager. ℚ ist mager aber nicht nirgends dicht, da \overline{ℚ} = ℝ. ℕ ist mager und nirgends dicht.

26.13 Lemma Sei A ⊂ X. Dann gilt

(a) A ist dicht in X ⟷ ∀B ∈ O (B ≠ ∅ → A ∩ B ≠ ∅).

(b) A ist nirgends dicht in X ⟷ ∃D ∈ O (D ⊂ X \ A ∧ D ist dicht in X).

(c) A ist mager ⟷ ∃Z ⊂ O (\overline{\overline{Z}} ≤ ℵ_{0} ∧ ∀D ∈ Z D ist dicht in X ∧ A ∩ ⋂ Z = ∅).

Beweis. zu (a). zu ”⇒“. Sei B ∈ O mit B ≠ ∅ und A ∩ B = ∅. Dann ist X \ B eine abgeschlossene Obermenge von A, die von X verschieden ist. Also ist \overline{A} ≠ X, d.h., A ist nicht dicht in X. zu ”⇐“. Sei A nicht dicht in X, d.h., \overline{A} ≠ X. Dann ist B :≡ X \ \overline{A} ∈ O \ \{∅\} und wegen X \ \overline{A} ⊂ X \ A ist A ∩ B = ∅.

zu (b). zu ”⇒“. Sei A nirgends dicht in X, also \overline{A}^{∘} = ∅. Sei D :≡ X \ \overline{A}. Dann ist D offen und es gilt D ⊂ X \A. Ist B ⊃ D eine abgeschlossene Menge, so ist X \B offen und es gilt X \B ⊂ \overline{A}. Da A nirgends

dicht ist, ist \overline{A}^{∘} = ∅, also B = X. Also ist X die einzige abgeschlossene Obermenge von D, d.h., \overline{D} = X. zu ”⇐“. Sei D ⊂ X \ A offen und dicht. Dann ist A ⊂ X \ D und X \ D ist abgeschlossen. Folglich ist \overline{A} ⊂ X \ D. Ist also B ⊂ \overline{A} eine offene Menge, so gilt B ⊂ X \ D. Es folgt D ⊂ X \ B und somit, da X \ B abgeschlossen ist, \overline{D} ⊂ X \ B. Wegen \overline{D} = X ergibt sich X \ B = X, also B = ∅. ∅ ist also die

einzige Teilmenge von \overline{A}, die offen ist, d.h., \overline{A}^{∘} = ∅. zu (c). zu ”⇒“. Sei A = ⋃_{i<ω} A_{i}, wobei A_{i} für i < ω nirgends dicht in X ist. Nach (b) existiert ein offenes D_{i} ⊂ X \ A_{i}, das dicht in X ist. Dann ist A ∩ ⋂_{i<ω} D_{i} = ∅, d.h., Z :≡ {D_{i} | i < ω} ist wie benötigt. zu ”⇐“. Sei Z = {D_{i} | i < ω}. Für i < ω sei A_{i} :≡ A ∩ (X \ D_{i}). Nach (b) ist A_{i} nirgends dicht in X (beachte D_{i} ⊂ X \ A_{i}). Ferner ist

211Es wird auch die Bezeichnung von erster Kategorie verwendet; ist A nicht mager, so sagt man auch, A ist von zweiter Kategorie.

A ⊃ ⋃_{i<ω} A_{i} = A ∩ ⋃_{i<ω}(X \ D_{i}) = A ∩ (X \ ⋂_{i<ω} D_{i}) ⊃ A ∩ (X \ (X \ A)) = A;

beachte daß ⋂_{i<ω} D_{i} ⊂ X \ A gilt wegen A ∩ ⋂ Z = ∅. Somit ist A Vereinigung von abzählbar vielen nirgends dichten Mengen, also mager. Damit ist das Lemma bewiesen. QED

26.14 Corollar Ist D eine endliche, nicht-leere Menge von in X dichten, offenen Mengen, so ist ⋂ D dicht und offen in X.

Beweis. Durch Induktion nach n < ω zeigen wir

(1) Sind D_{0}, …, D_{n} dicht und offen in X, so ist ⋂_{i<n+1} D_{i} dicht und offen.

Beweis. Die Behauptung ist für n = 0 klar. Sei nun n > 0. Die Offenheit von D :≡ ⋂_{i<n+1} D_{i} ist klar. In Hinblick auf 26.13(a) bleibt zu zeigen, daß jede offene Menge B ≠ ∅ mit D einen nicht-leeren Schnitt hat. Nach Induktionsvoraussetzung ist D′ :≡ ⋂_{i<n} D_{i} dicht und offen. Nach 26.13(a) ist B′ :≡ B ∩ D′ ≠ ∅. Ferner ist B′ offen. Wiederum nach 26.13(a) ist B′ ∩ D_{n} ≠ ∅. Wegen B′ ∩ D_{n} = B ∩ D ist damit alles gezeigt. qed(1)

Aus (1) ergibt sich sofort die Behauptung des Corollars. QED

26.15 Corollar ℝ ist nicht mager.

Beweis. Wegen 26.13(c) genügt es zu zeigen, daß der Schnitt von je abzählbar vielen offenen, dichten Teilmengen von ℝ nicht leer ist. Sei also für i < ω D_{i} eine offene, dichte Teilmenge von ℝ. Definiere eine Folge (I_{i} | i < ω) nicht-leerer, kompakter Intervalle von ℝ mit I_{i} ⊂ D_{i} und I_{i+1} ⊂ I_{i} wie folgt: Da D_{0} offen und nicht leer ist, existiert ein kompaktes Intervall I_{0} ⊂ D_{0} mit I_{0} ≠ ∅.

Sei nun I_{i} definiert. Da D_{i} dicht ist, existiert x_{i} ∈ D_{i} ∩ I_{i}^{∘}. Da D_{i} ∩ I_{i}^{∘} offen ist, existiert ein kompaktes

Intervall I_{i+1} ⊂ D_{i} ∩ I_{i}^{∘} mit x_{i} ∈ I_{i+1}.

Nach dem Satz über Intervallschachtelungen der reellen Analysis ist ⋂_{i<ω} I_{i} ≠ ∅. Wegen ⋂_{i<ω} I_{i} ⊂ ⋂_{i<ω} D_{i} ist damit alles bewiesen. QED

Wir zeigen nun mit Hilfe eines generischen Filters:

26.16 Satz Sei κ ∈ Card und es gelte MA(κ). Dann ist jede Vereinigung von höchstens κ vielen mageren Teilmengen von ℝ eine magere Menge.

Beweis. Sei (A_{α} | α < κ) eine Sequenz magerer Teilmengen von ℝ und A :≡ ⋃_{α<κ} A_{α}. Da jedes A_{α} Vereinigung von abzählbar vielen nirgends dichten Mengen ist, ist A Vereinigung von κ vielen nirgends dichten Mengen. Es genügt also zu zeigen:

(∗) Jede Vereinigung von κ vielen nirgends dichten Teilmengen von ℝ ist mager.

Wir können deshalb annehmen, daß jedes A_{α} eine nirgends dichte Teilmenge von ℝ ist. Wir konstruieren mit Hilfe eines generischen Filters eine Familie {O_{i} | i < ω} von offenen, dichten Teilmengen von ℝ, so daß A ∩ ⋂_{i<ω} O_{i} = ∅ gilt. Mit

J_{0} :≡ \{]a, b[| a, b ∈ ℚ ∧ a < b\} und J :≡ \{⋃ E | E ⊂ J_{0} ∧ \overline{\overline{E}} < ℵ_{0}\} definieren wir hierzu

P :≡ \{((U_{i}, E_{i})|i < n + 1) | n < ω ∧ ∀i < n + 1 (U_{i} ∈ J ∧ E_{i} ⊂ κ ∧ \overline{\overline{E_{i}}} < ℵ_{0} ∧ U_{i} ∩ ⋃_{α∈E_{i}} A_{α} = ∅)\}.

Auf P definieren wir eine schwache partielle Ordnung durch

((U′_{i}, E′_{i}) | i < m + 1) ≤ ((U_{i}, E_{i}) | i < n + 1) :≡ m ≥ n ∧ ∀i < n + 1 (U′_{i} ⊃ U_{i} ∧ E′_{i} ⊃ E_{i}).

(Größtes Element von P ist 1_{P} :≡ ((∅, ∅)).) Um MA(κ) ausnutzen zu können, zeigen wir:

(1) P hat ccc.

Beweis. Sei S :≡ (p_{α} | α < λ) eine Antikette in P. Sei p_{α} = ((U_{α,i}, E_{α,i}) | i < n(α) + 1). Definiere f: λ → ω × < ωJ durch α ↦ (n(α), (U_{α,i}|i < n(α) + 1)). f ist injektiv: aus f(α) = f(β) folgt nämlich n(α) = n(β) ≡: n und U_{α,i} = U_{β,i} ≡: U_{i} für i < n + 1, so daß ((U_{i}, E_{α,i} ∪ E_{β,i}) | i < n + 1) ≤ p_{α}, p_{β}, also p_{α} ∥ p_{β} gilt, was α = β bedeutet, da S eine Antikette ist. Es folgt

λ ≤ \overline{\overline{ω × < ωJ}} ≤ ℵ_{0} · ℵ_{0} · \overline{\overline{J}} = ℵ_{0}.

Also ist jede Antikette höchstens abzählbar. qed(1)

Für i < ω und I ∈ J_{0} sei

D_{i,I} :≡ {p ∈ P | dom(p) > i ∧ U_{i} ∩ I ≠ ∅};

für α < κ sei

D_{α} :≡ {p ∈ P | α ∈ ⋃_{i∈dom(p)} E_{i}}.

(2) D_{i,I} und D_{α} sind dicht in P

Beweis. Sei p = ((U_{i}, E_{i}) | i < n + 1) ∈ P. zu D_{i,I}. Definiere p′ ∈ P durch

p′ :≡ \{ \begin{matrix}p; & falls i ∈ dom(p), \\ p ∪ \{(j, (∅, ∅)) | dom(p) ≤ j ≤ i\}; & sonst. \end{matrix}

Dann ist p′ ≤ p und i ∈ dom(p′), so daß wir o.E. annehmen können, daß bereits i ∈ dom(p) gilt. Sei nun α ∈ E_{i} beliebig. Da A_{α} nirgends dicht ist, existiert nach 26.13 eine offene, dichte Menge B_{α} ⊂ ℝ \ A_{α}. B :≡ ℝ ∩ ⋂_{α∈E_{i}} B_{α} ist dicht und offen: im Fall E_{i} ≠ ∅ folgt dies aus 26.14; im Fall E_{i} = ∅ ist B = ℝ ∩ V = ℝ. Da B dicht und I offen sowie nicht leer ist, ist B ∩ I ≠ ∅ und offen. Also existiert ein J ∈ J_{0} mit J ⊂ B ∩ I. Dann ist J ⊂ B_{α} ⊂ ℝ \ A_{α} für α ∈ E_{i} und somit J ∩ ⋃_{α∈E_{i}} A_{α} = ∅. Somit ist durch

q(j) :≡ \{ \begin{matrix}p(j); & falls j ∈ dom(p) \ \{i\}, \\ (U_{i} ∪ J, E_{i}); & falls i = j, \end{matrix}

ein Element von P definiert. Es ist q ≤ p, ferner q ∈ D_{i,I} wegen J ∩ I = J ≠ ∅. q ist also wie benötigt. zu D_{α}. Es ist q :≡ p ∪ {(n + 1, (∅, {α}))} ∈ D_{α} und q ≤ p. Dies war zu zeigen. qed(2)

Wegen MA(κ) existiert ein P -generischer Filter G über {D_{i,I} | i < ω ∧ I ∈ J_{0}} ∪ {D_{α} | α < κ}. Sei

O_{i} :≡ ⋃{U | ∃p ∈ P (p = ((U_{j}, E_{j}) | j < n + 1) ∧ i < n + 1 ∧ U_{i} = U)}.

O_{i} ist als Vereinigung offener Mengen offen.

(3) O_{i} ist dicht in ℝ.

Beweis. Sei B eine beliebige, nicht-leere offene Menge. Dann existiert ein I ∈ J_{0} mit I ⊂ B. Wähle p ∈ G ∩ D_{i,I}, p = ((U_{j}, E_{j}) | j < n + 1). Dann ist U_{i} ⊂ O_{i} und U_{i} ∩ I ≠ ∅. Also ist O_{i} ∩ B ≠ ∅. Dies war zu zeigen. qed(3)

Für α < κ und i < ω gilt

(4) A_{α} ∩ O_{i} = ∅.

Beweis. Sei p = ((U_{j}, E_{j}) | j < n + 1) ∈ G beliebig mit i < n + 1. Es ist A_{α} ∩ U_{i} = ∅ zu zeigen. Wähle hierzu p′ = ((U′_{j}, E′_{j}) | j < n′ + 1) ∈ G ∩ D_{α} und p′′ = ((U′′_{j}, E′′_{j}) | j < n′′ + 1) ∈ G mit p′′ ≤ p, p′. Dann ist i < n + 1 ≤ n′′ + 1 und α ∈ E′_{i} ⊂ E′′_{i}. Nach Definition von P ist also U′′_{i} ∩ A_{α} = ∅. Wegen p′′ ≤ p gilt U′′_{i} ⊃ U_{i}, so daß sich U_{i} ∩ A_{α} = ∅ ergibt. qed(4)

Aus (4) folgt sofort (⋃_{α<κ} A_{α}) ∩ ⋂_{i<ω} O_{i} = ∅. Also ist ⋃_{α<κ} A_{α} mager. QED

26.17 Corollar Gilt MA, so ist die Vereinigung von weniger als 2^{ℵ_{0}} vielen mageren Teilmengen von ℝ wiederum mager.

26.3.3 Ein Beispiel aus der Kombinatorik.

Um kardinalzahlarithmetische Implikationen von MA zu beweisen, verwenden wir hier almost disjoint forcing. Grundlage dieses Verfahrens sind fast-disjunkte Familien.

26.18 Definition F ist fast-disjunkt :≡ ∀x, y ∈ F (x ≠ y ⟶ \overline{\overline{x ∩ y}} < ℵ_{0}).

26.19 Satz Es gibt ein fast-disjunktes F ⊂ [ω]^{ℵ_{0}} mit \overline{\overline{F}} = 2^{ℵ_{0}}.

Beweis. Es genügt, ein fast-disjunktes F ⊂ [T]^{ℵ_{0}} mit \overline{\overline{F}} = 2^{ℵ_{0}} zu finden, wobei T eine beliebige, zu ω gleichmächtige Menge ist. Wir wählen T :≡ < ω2 = {f | ∃n < ω f: n → 2} und setzen für f: ω → 2 x_{f} :≡ {f ↾ n | n < ω}. Dann ist x_{f} ∈ [T]^{ℵ_{0}}. {x_{f} | f ∈ ω2} hat Kardinalität 2^{ℵ_{0}} und ist fast-disjunkt: zu f, g ∈ ω2 mit f ≠ g existiert ein m < ω mit f ↾ m = g ↾ m und f(m) ≠ g(m); dann ist x_{f} ∩ x_{g} = {f ↾ n | n ≤ m} eine endliche Menge. QED

26.20 Satz Sei κ ∈ Card und (x_{α}|α < κ) eine Sequenz fast-disjunkter, unendlicher Teilmengen von ω. Gilt MA(κ), so ist durch x ↦ {α < κ | x ∩ x_{α} ist unendlich} eine Surjektion h: [ω]^{ℵ_{0}} → Pot(κ) definiert.

Beweis. Sei A ∈ Pot(κ). Es ist ein x ⊂ ω mit \overline{\overline{x}} = ℵ_{0} anzugeben, so daß für alle α < κ gilt:

(∗) α ∈ A ⟶ x ∩ x_{α} unendlich α ∉ A ⟶ x ∩ x_{α} endlich.

Wir konstruieren die charakteristische Funktion χ_{x} von x m.H. eines generischen Filters. Unsere Bedingungen sind Paare (f, E), wobei f ∈ < ω2 Kandidat für ein Anfangsstück von χ_{x} und E ⊂ κ eine endliche Menge ist, die diejenigen α festlegt, für die (∗) bereits erfüllt ist. Setze also

P :≡ \{(f, E) | f ∈ < ω2 ∧ E ⊂ κ ∧ \overline{\overline{E}} < ℵ_{0}\}.

Für (f, E), (f′, E′) ∈ P setze

(f′, E′) ≤ (f, E) :≡ f′ ⊃ f ∧ E′ ⊃ E ∧ (f′ ≠ f ⟶ ∀α ∈ E (α ∈ A ↔ ∃i ∈ dom(f′ \ f) ∩ x_{α} f′(i) = 1)).

Dann ist (P, ≤, (∅, ∅)) eine Forcing-Halbordnung.

(1) P hat ccc.

Beweis. Da je zwei Elemente von P der Art (f, E_{1}), (f, E_{2}) in (f, E_{1} ∪E_{2}) eine gemeinsame Verstärkung haben, unterscheiden sich je zwei inkompatible Elemente schon in ihren ersten Komponenten. Wegen der Abzählbarkeit von < ω2 existieren nur abzählbar viele verschiedene erste Komponenten, so daß jede Antikette höchstens abzählbar ist. qed(1)

Für α < κ setze D_{α} :≡ {(f, E) ∈ P | α ∈ E}. D_{α} sorgt dafür, daß α in der Konstruktion in Hinblick auf (∗) berücksichtigt wird. Wegen (f, E ∪ {α}) ≤ (f, E) gilt

(2) D_{α} ist dicht in P.

Für n < ω sei D′_{n} :≡ {(f, E) ∈ P | n ∈ dom(f)}. D′_{n} sorgt dafür, daß n in den Definitionsbereich von χ_{x} aufgenommen wird. Weiter sei D′′_{n} :≡ {(f, E) | ∃k ∈ dom(f) (k > n ∧ f(k) = 1)}. D′′_{n} bewirkt, daß χ_{x}(k) = 1 gilt für ein k > n und wir insgesamt \overline{\overline{x}} = ℵ_{0} bekommen.

(3) D′_{n} und D′′_{n} sind dicht in P.

Beweis. Sei p = (f, E) ∈ P. Sei m :≡ dom(f). Wir verlängern f zu einem f′ wie folgt (also f′ ↾ m :≡ f): Da E endlich und die Familie {x_{α} | α ∈ E} fast-disjunkt ist, existiert ein m′ > max{m, n} mit x_{α}∩x_{β} ⊂ m′ für alle α, β ∈ E mit α ≠ β (wähle etwa m′ :≡ m + n + ⋃{x_{α} ∩ x_{β} | α, β ∈ E ∧ α ≠ β} + 1). Um ein geeignetes k für D′′_{n} zu bekommen, zeigen wir

(3.1) Es gibt ein k > m′ mit k ∉ ⋃_{α∈E} x_{α}.

Beweis. Wenn dies nicht der Fall ist, ist ]m′, ω[ ⊂ ⋃_{α∈E} x_{α}. Da E endlich ist, existiert ein β ∈ κ \ E. Dann ist x_{β}∩]m′, ω[ ⊂ ⋃_{α∈E}(x_{α} ∩ x_{β}), d.h., eine Vereinigung endlich vieler endlicher Mengen und somit endlich. Also ist x_{β} = (x_{β} ∩ (m′ + 1)) ∪ (x_{β}∩]m′, ω[) endlich im Widerspruch zur Voraussetzung des Satzes. Also muß (3.1) doch richtig sein. qed(3.1)

Wir setzen für m ≤ i ≤ k

f′(i) :≡ \{ \begin{matrix}0, & falls i < k; \\ 1, & falls i = k. \end{matrix}

Da die x_{α} unendlich sind und E endlich ist, existiert ein m′′ > k, so daß x_{α}∩]k, m′′[ ≠ ∅ für alle α ∈ E gilt; setze etwa m′′ :≡ ⋃_{α∈E} min(x_{α}∩]k, ω[ ) + 1. Wir definieren für k < i < m′′

f′(i) :≡ \{ \begin{matrix}1, & falls ∃α ∈ E ∩ A i ∈ x_{α}; \\ 0, & sonst. \end{matrix}

Sei p′ :≡ (f′, E). Offenbar ist p′ ∈ P, p′ ∈ D′_{n} und p′ ∈ D′′_{n}. Ferner:

(3.2) p′ ≤ p.

Beweis. Es ist die Gültigkeit von ∀α ∈ E (α ∈ A ↔ ∃i ∈ dom(f′ \ f) ∩ x_{α} f′(i) = 1) zu zeigen. Sei also α ∈ E. zu ”⇒“. Sei α ∈ A. Nach Wahl von m′′ existiert ein i ∈]k, m′′[ ∩x_{α}; nach Definition von f′ ist f′(i) = 1. Wegen ]k, m′′[ ⊂ dom(f′ \ f) ist i wie benötigt. zu ”⇐“. Sei α ∉ A. Es ist f′(i) = 0 für alle i ∈ x_{α} mit i ∈ dom(f′ \ f) = [m, m′′[ zu zeigen. Gilt m ≤ i ≤ k, so folgt dies sofort aus der Definition von f′; beachte, daß k ∉ x_{α} gilt. Sei k < i < m′′. Wenn dann f′(i) = 1 gilt, so gibt es ein β ∈ A ∩ E mit i ∈ x_{β}. Dann ist β ≠ α wegen α ∉ A. Da nach Wahl von m′ gilt x_{α} ∩ x_{β} ⊂ m′ < k, ist i ∉ x_{α}. M.a.W., für i ∈]k, m′′[ ∩x_{α} ist f′(i) = 0. qed(3.2)

p′ ist also wie benötigt. qed(3)

Sei nun G ein P -generischer Filter über {D_{α} | α < κ} ∪ {D′_{n} | n < ω} ∪ {D′′_{n} | n < ω}. Setze

χ :≡ ⋃{f | ∃p ∈ G ∃E p = (f, E)}.

Dann gilt χ: ω ⊃→ 2. Es ist dom(χ) = ω: ist n < ω beliebig, so wähle p = (f, E) ∈ G ∩ D′_{n}; dann ist n ∈ dom(f) ⊂ dom(χ). Sei x :≡ χ^{−1}[{1}]. x ist unendlich: zu n < ω wähle p = (f, E) ∈ G ∩ D′′_{n}; dann existiert ein k > n mit k ∈ dom(f) und p(k) = 1, so daß χ(k) = 1 wegen p = χ ↾ dom(f) gilt; x ist also in ω nicht beschränkt. Es verbleibt (∗) zu zeigen.

(4) α ∈ A ⟶ x ∩ x_{α} unendlich.

Beweis. Sei α ∈ A fixiert. Es ist zu zeigen, daß ]n, ω] ∩ (x ∩ x_{α}) ≠ ∅ für alle n < ω gilt. Fixiere also n < ω. Wähle je ein Element aus G ∩ D_{α} und ein Element aus G ∩ D′_{n} und zu diesen beiden eine gemeinsame Verstärkung p = (f, E) ∈ G. Aus der Definition von ≤, D_{α} und D′_{n} folgt p ∈ G ∩ D_{α} ∩ D′_{n}. Sei m :≡ dom(f). Dann ist n < m wegen p ∈ D′_{n}. Wähle ein Element aus G ∩ D′_{m} und zu diesem sowie p eine gemeinsame Verstärkung p′ = (f′, E′) ∈ G. Dann gilt p′ ∈ D′_{m} und p′ ≤ p. Insbesondere ist f′ ≠ f wegen dom(f) = m ∈ dom(f′). Wegen α ∈ E ⊂ E′ existiert nach Definition von ≤ ein i ∈ dom(f′\f)∩x_{α} mit f′(i) = 1. Dann ist i ≥ dom(f) = m > n. Ferner ist χ(i) = 1, da f′ = χ ↾ dom(f′) gilt wegen p′ ∈ G. Somit ist i ∈]n, ω[ ∩(x ∩ x_{α}), wie benötigt. qed(4)

(∗) folgt aus

(5) α ∉ A ⟶ x ∩ x_{α} endlich.

Beweis. Sei α ∈ κ\A fixiert. Wähle p = (f, E) ∈ G∩D_{α} und setze n :≡ dom(f). Wir zeigen x∩x_{α} ⊂ n. Hierzu sei i ∈ x_{α} ∩ [n, ω[ beliebig fixiert. Es ist χ(i) = 0 zu zeigen. Wähle ein Element von G ∩ D′_{i} und zu diesem sowie p eine gemeinsame Verstärkung p′ = (f′, E′) ∈ G. Dann ist p′ ≤ p, und wie man leicht sieht gilt p′ ∈ D_{α} ∩ D′_{i}. Wegen dom(f′) > i ≥ n = dom(f) und i ∈ x_{α} folgt

i ∈ \underbrace{dom(f′) \ dom(f)}_{=dom(f′\f)} ∩ x_{α}.

Wegen α ∈ E′ folgt f′(i) = 0 aus p′ ≤ p. Folglich ist χ(i) = 0 wegen χ ↾ dom(f′) = f′. Dies war zu zeigen. qed(5)

Damit ist der Satz bewiesen. QED

Als Folgerung erhalten wir die folgenden Resultate den Wert von 2^{ℵ_{0}} betreffend:

26.21 Satz Es gelte MA(κ). Dann gilt 2^{ℵ_{0}} = 2^{κ} und cf(2^{ℵ_{0}}) > κ.

Beweis. Da nach dem Lemma von König 10.29 cf(2^{κ}) > κ gilt, genügt es, 2^{ℵ_{0}} = 2^{κ} zu zeigen. Wegen ℵ_{0} ≤ κ ist hier ”≤“ klar. zu ”≥“. Sei F :≡ (x_{α} | α < 2^{ℵ_{0}}) die fast-disjunkte Familie unendlicher Teilmengen von ω aus 26.19. Da MA(κ) gilt, muß κ < 2^{ℵ_{0}} sein. Nach 26.20 (mit der Teilfamilie F ↾ κ von F) existiert eine Surjektion h: [ω]^{ℵ_{0}} → Pot(κ). Also gilt

2^{κ} = \overline{\overline{Pot(κ)}} ≤ \overline{\overline{[ω]^{ℵ_{0}}}} ≤ \overline{\overline{Pot(ω)}} = 2^{ℵ_{0}}.

Dies war zu zeigen. QED

26.22 Corollar Es gelte MA. Dann ist 2^{κ} = 2^{ℵ_{0}} für alle κ < 2^{ℵ_{0}} und 2^{ℵ_{0}} ist regulär.

Beweis. Da MA(κ) für alle κ < 2^{ℵ_{0}} gilt, ist nach 26.21 2^{κ} = 2^{ℵ_{0}} und κ < cf(2^{ℵ_{0}}) für κ < 2^{ℵ_{0}} für alle κ < 2^{ℵ_{0}}. Somit ist 2^{ℵ_{0}} ≤ cf(2^{ℵ_{0}}), woraus cf(2^{ℵ_{0}}) = 2^{ℵ_{0}} folgt, da stets cf(λ) ≤ λ ist. Also ist 2^{ℵ_{0}} regulär.

QED

Wir analysieren abschließend die fast-disjunkten Teilmengen von Pot(ω) unter MA etwas genauer.

26.23 Definition F ⊂ Pot(ω) sei fast-disjunkt. F ist maximal :≡ ¬∃x ∈ [ω]^{ℵ_{0}} \ F F ∪ {x} ist fast-disjunkt.

26.24 Lemma Es gelte MA(κ) und (x_{α}|α < κ) sei fast-disjunkt. Ferner seien im Fall κ = ℵ_{0} unendlich viele der x_{α} unendlich. Dann ist (x_{α}|α < κ) nicht maximal.

Beweis. Sei F′ :≡ F \ [ω]^{<ℵ_{0}}. Dann gilt \overline{\overline{F′}} = κ: dies folgt im Fall κ = ℵ_{0} sofort aus der Zusatzvor-

aussetzung, im Fall κ > ℵ_{0} aus \overline{\overline{[ω]^{<ℵ_{0}}}} = ℵ_{0} < \overline{\overline{F}}. Da nicht-Maximalität von einer unendlichen Menge bezeugt wird, ist F genau dann maximal, wenn F′ maximal ist. Es ist also zu zeigen, daß F′ nicht maximal ist. Sei {x_{α} | α < κ} eine injektive Aufzählung der Elemente von F′. Nach 26.20 ist durch x ↦ {α < κ | x ∩ x_{α} unendlich} eine Surjektion h: [ω]^{ℵ_{0}} → Pot(κ) gegeben. Sei x ∈ h^{−1}[{∅}]. Dann ist x unendlich und {α < κ | x ∩ x_{α} unendlich} = ∅, also x ∩ x_{α} endlich für alle α < κ. x ist also wie benötigt.

QED

26.25 Bemerkung Ohne die Zusatzvoraussetzung an F im Fall κ = ℵ_{0} ist das Lemma falsch: betrachte etwa

x_{n} :≡ \{ \begin{matrix}ω; & falls n = 0, \\ n; & falls n > 0. \end{matrix}

Dann ist F :≡ {x_{n} | n < ω} fast-disjunkt. Da jede unendliche Teilmenge x von ω mit x_{0} einen unendlichen Schnitt hat, ist F maximal.

26.26 Satz Es gelte MA. Ist dann F ⊂ Pot(ω) fast-disjunkt und maximal, so gilt \overline{\overline{F}} ∈ (ω \ \{0\}) ∪ {ℵ_{0}, 2^{ℵ_{0}}}, und jeder der Fälle ist möglich. Sind unendlich viele der Elemente von F unendlich, so ist \overline{\overline{F}} = 2^{ℵ_{0}}.

Beweis. F = ∅ ist nicht maximal, da F ∪{ω} fast-disjunkt ist. Also hat jedes maximale, fast-disjunkte F positive Kardinalität. Da MA(κ) für κ ∈]ℵ_{0}, 2^{ℵ_{0}}[ gilt, ist nach 26.24 kein fast-disjunktes F ⊂ Pot(ω) mit \overline{\overline{F}} = κ maximal. Also ist \overline{\overline{F}} ∈ (ω \ \{0\}) ∪ \{ℵ_{0}, 2^{ℵ_{0}}\} für jedes maximale, fast-disjunkte F ⊂ Pot(ω). Sind unendlich viele Elemente eines solchen F unendlich, so ist einerseits \overline{\overline{F}} ≥ ℵ_{0}, andererseits kann \overline{\overline{F}} = ℵ_{0} nicht gelten, da nach 26.24 ein solches F nicht maximal sein kann. Also muß \overline{\overline{F}} = 2^{ℵ_{0}} sein. Wir zeigen abschließend, daß alle Werte aus (ω \ {0}) ∪ {ℵ_{0}, 2^{ℵ_{0}}} als Kardinalität eines maximalen, fast-disjunkten F in Frage kommen: Für 1 ≤ k < ω ist F :≡ {ω} ∪ (k − 1) fast-disjunkt und maximal. Ein maximales, fast-disjunktes F mit \overline{\overline{F}} = ℵ_{0} ist in 26.25 angegeben worden. Ein maximales, fast-disjunktes F mit \overline{\overline{F}} = 2^{ℵ_{0}} erhält man durch Wahl eines ⊂ -maximalen Elementes in {F ⊂ Pot(ω) | F_{0} ⊂ F ∧ F fast-disjunkt}, wobei F_{0} die fast-disjunkte Teilmenge von [ω]^{ℵ_{0}} mit \overline{\overline{F_{0}}} = 2^{ℵ_{0}} aus 26.19 ist. QED

26.27 Bemerkung Der letzte Satz liefert ein ”CH-ähnliches“ Resultat. Besagt CH, daß jede Teilmenge von Pot(ω) höchstens abzählbar oder gleichmächtig zu Pot(ω) ist, so impliziert MA, daß jede maximale, fast-disjunkte Teilmenge von Pot(ω) höchstens abzählbar oder gleichmächtig zu Pot(ω) ist.

27 Generische Erweiterungen.

Wir wollen mit Hilfe generischer Filter auf geeigneten Forcing-Halbordnungen relative Konsistenzbeweise führen. Es sei eine Liste T von ∈-Formeln vorgelegt, die ZFC umfaßt. T′ sei eine weitere Liste von ∈ -Sätzen. Wir wollen zeigen

(∗) Kon(T) ⇒ Kon(T′).

Nach 23.14 genügt es hierfür zu zeigen, daß für jedes endliche Teilsystem T′_{0} von T′ gilt

T_{M} ⊢ ∃M′ ((T′_{0})^{M′} ∧ M′ ≠ ∅);

hierbei ist M ein neues Konstantensymbol und T_{M} :≡ T + M ist abzählbar und transitiv + T^{M}. Wir erhalten also (∗), wenn wir folgendes zeigen können:^{212}

Wenn T gilt und M ein abzählbares, transitives Modell von T ist, so existiert für jedes endliche Teilsystem T′_{0} von T′ ein (nicht-leeres) Modell von T′_{0}.

27.1 Das Grundmodell.

Da jedes von uns zu betrachtende M wegen T ⊃ ZFC zumindest ein Modell von ZFC sein muß, definieren wir:

27.1 Definition M ist ein Grundmodell :≡ M ist abzählbar und transitiv ∧ ZFC^{M}.

Wir skizzieren informell die Konstruktion von M′: Die Gültigkeit von T′ in einer Struktur M′ bedingt i.a. das Vorhandensein gewisser Objekte in M′. Ziel ist es, diese Objekte zu einem Grundmodell M hinzuzufügen und so M′ zu erhalten. Hierzu codieren wir deren Eigenschaften in Form gewisser dichter Mengen D ∈ M auf einer (der Fragestellung angemessenen) Forcing-Halbordnung (P, ≤, 1_{P}) ∈ M, so daß diese Eigenschaften aus einem P -generischen Filter G über M m.H. mengentheoretischer Operationen (z.B. Vereinigungsmengenbildung) ”decodiert“ werden können. Im allgemeinen ist G ∉ M, da G sämtliche Elemente von M, die dichte Teilmenge von P sind, schneiden muß, und dies i.a. bedeutet, daß für ”fast jedes“ D ∈ M ein anderes Element in G aufgenommen werden muß. Der Fall G ∈ M ist für unsere Zwecke auch uninteressant: i.a. wird nämlich M noch kein Modell von T′ sein, im Fall G ∈ M würden jedoch mengentheoretische Operationen keine neuen Objekte zu M hinzufügen, da diese wegen ZFC^{M} aus M nicht hinausführen.

Da M abzählbar ist, existiert nach 25.4 ein P -generischer Filter über M. Wir wählen ein ⊂ -minimales Grundmodell M[G] ⊃ M mit G ∈ M[G]. Kombinatorische Eigenschaften von P gestatten es wegen der Minimalität von M[G], die Eigenschaften von M[G] zu kontrollieren. In M[G] können wir wegen ZFC^{M[G]} die mengentheoretischen Operationen an G durchführen und erhalten die codierten Objekte. Die Kontrolle, die wir über die Eigenschaften von M[G] haben, ermöglicht es uns nachzuweisen, daß die generierten Objekte in M[G] die von T′ verlangten Eigenschaften haben. Was bedeutet dies? Angenommen, T′ enthält eine Formel der Art φ(t_{0}(x⃗), …, t_{n−1}(x⃗), y⃗, z), wobei φ(u_{0}, …, u_{n−1}, y⃗, z) eine ∈-Formel ist und t_{0}(x⃗), …, t_{n−1}(x⃗) gewisse Klassenterme sind. Nach dem Relativierungslemma 22.22 gilt

∀x⃗, y⃗, z ∈ M[G] (M[G] ⊧ φ(t_{0}(x⃗), …, t_{n−1}(x⃗), y⃗, z) ⟷ φ^{M[G]}(t_{0}^{M[G]}(x⃗), …, t_{n−1}^{M[G]}(x⃗), y⃗, z)).

Um also zu zeigen, daß z ∈ M[G] in M[G] die Eigenschaft φ(t_{0}(x⃗), …, t_{n−1}(x⃗), y⃗, z) erfüllt, ist

∀x⃗, y⃗ ∈ M[G] φ^{M[G]}(t_{0}^{M[G]}(x⃗), …, t_{n−1}^{M[G]}(x⃗), y⃗, z)

zu zeigen.

27.2 Beispiel Um die relative Konsistenz von ZFC+CH zu beweisen starten wir mit einem Grundmodell M und haben M[G] ⊧ ∃f (f: ω_{1} ⟶^{surj.} Pot(ω)), also ∃f ∈ M[G] f: ω_{1}^{M[G]} ⟶^{surj.} Pot(ω)^{M[G]} zu zeigen. (Beachten Sie, daß ω = ω^{M} ∈ M ist, da (Inf)^{M} + (Aus)^{M} gilt, vgl. 22.30.) Hierzu wählen wir eine geeignete Forcing-Halbordnung P ∈ M, bezüglich der wir m.H. dichter Teilmengen von P die Eigenschaften einer Surjektion mit Definitionsbereich ω_{1}^{M} und Wertebereich (Pot(ω))^{M} codieren können. Dann wählen wir einen P -generischen Filter G über M und bilden M[G]. In M[G] gibt es dann eine Surjektion von ω_{1}^{M} auf (Pot(ω))^{M}, d.h., es gilt ∃f ∈ M[G] f: ω_{1}^{M} ⟶^{surj.} Pot(ω)^{M}. Es bleibt zu verifizieren, daß ω_{1}^{M} = ω_{1}^{M[G]}

und (Pot(ω))^{M} = (Pot(ω))^{M[G]} gilt. Dies gelingt uns, da wir ”Kontrolle“ über das Verhalten von M[G] haben. In 31.2 führen wir diese Überlegungen detailliert aus.

212vgl. 23.15

Wir fixieren ein Grundmodell M.

27.3 Definition (P, ≤, 1_{P}) ist eine Forcing-Halbordnung für M :≡ (P, ≤, 1_{P}) ∈ M ∧

((P, ≤, 1_{P}) ist eine Forcing-Halbordnung)^{M}.

27.4 Lemma Wenn (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M ist, so ist P ∈ M, ≤ ∈ M, 1_{P} ∈ M und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung (in V). Ferner gilt für p, q ∈ P, und D, A ∈ M:

(a) (p ∥ q in P )^{M} ⟷ p ∥ q in P.

(b) (p ⊥ q in P )^{M} ⟷ p ⊥ q in P.

(c) (D ist dicht in P )^{M} ⟷ D ist dicht in P.

(d) (A ist Antikette in P )^{M} ⟷ A ist Antikette in P.

(e) (A ist maximale Antikette in P )^{M} ⟷ A ist maximale Antikette in P. Beweis. P, ≤, 1_{P} ∈ M folgt leicht aus (P, ≤, 1_{P}) ∈ M und der Transitivität von M. Wegen

(P, ≤, 1_{P}) ist Forcing-Halbordnung ⟺ 1_{P} ∈ P ∧ ≤ ⊂ P × P ∧
∀x ∈ P (x, x) ∈ ≤ ∧
∀x, y, z ∈ P (((x, y) ∈ ≤ ∧ (y, z) ∈ ≤) ⟶ (x, z) ∈ ≤ ) ∧
∀x ∈ P (x, 1_{P}) ∈ ≤

folgt aus dem Relativierungslemma

((P, ≤, 1_{P}) ist Forcing-Halbordnung)^{M} ⟺ 1_{P} ∈ P ∧ ≤⊂ (P × P)^{M} ∧
∀x ∈ P (x, x)^{M} ∈ ≤ ∧
∀x, y, z ∈ P
(((x, y)^{M} ∈ ≤ ∧ (y, z)^{M} ∈ ≤) ⟶ (x, z)^{M} ∈ ≤ ) ∧
∀x ∈ P (x, 1_{P})^{M} ∈ ≤ .

Auf der rechten Seite können nach 22.24 alle Relativierungen entfernt werden (beachte, daß P eine Variable ist und P ∈ M gilt). Die rechte Seite ist also äquivalent zu (P, ≤, 1_{P}) ist Forcing-Halbordnung. Um (a) – (e) zu beweisen, wählen wir jeweils eine geeignete, unter ZFC äquivalente Formulierung der jeweiligen Eigenschaft. Dann folgt wegen P, ≤ ∈ M und der Transitivität von M: zu (a).

(p ∥ q in P )^{M} ⟺ (∃r ∈ P ((r, p) ∈ ≤ ∧ (r, q) ∈ ≤))^{M}
⟺ ∃r ∈ P ((r, p)^{M} ∈ ≤ ∧ (r, q)^{M} ∈ ≤) (Relativierungslemma)
⟺ ∃r ∈ P ((r, p) ∈ ≤ ∧ (r, q) ∈ ≤)
⟺ p ∥ q in P.

zu (b).

(p ⊥ q in P )^{M} ⟺ (¬ (p ∥ q in P))^{M}
⟺ ¬ (p ∥ q in P) (nach (a))
⟺ p ⊥ q in P.

zu (c).

(D ist dicht in P )^{M} ⟺ (∀p ∈ P ∃q ∈ D (q, p) ∈ ≤ )^{M}
⟺ ∀p ∈ P ∃q ∈ D (q, p)^{M} ∈ ≤
⟺ ∀p ∈ P ∃q ∈ D (q, p) ∈ ≤
⟺ D ist dicht in P.

zu (d).

(A ist Antikette in P )^{M} ⟺ (A ⊂ P ∧ ∀p, q ∈ A ¬ (p ∥ q in P))^{M}
⟺ A ⊂ P ∧ ∀p, q ∈ A (p ⊥ q in P)^{M}
(da x ⊂ y als Σ_{0}^{EML}-Formel M-absolut ist)
⟺ A ⊂ P ∧ ∀p, q ∈ A (p ⊥ q in P) (nach (b))
⟺ A ist Antikette in P.

zu (e)

(A ist maximale Antikette in P )^{M} ⟺ (A ist Antikette in P ∧ ∀p ∈ P ∃q ∈ A (p ∥ q in P))^{M}
⟺ (A ist Antikette in P)^{M} ∧ ∀p ∈ P ∃q ∈ A (p ∥ q in P)^{M}
⟺ A ist Antikette in P ∧ ∀p ∈ P ∃q ∈ A p ∥ q in P

(wegen (a), (d))

⟺ A ist maximale Antikette in P.

Damit ist alles gezeigt. QED

27.5 Corollar Sei φ(p, x⃗) eine ∈-Formel. Dann gilt für alle x⃗ ∈ M:

({p ∈ P | φ(p, x⃗)} ist dicht in P )^{M} ⟷ {p ∈ P | φ^{M}(p, x⃗)} ist dicht in P,

wobei {p ∈ P | φ^{M}(p, x⃗)} ∈ M ist.

Beweis. {p ∈ P | φ^{M}(p, x⃗)} ∈ M folgt wegen P ∈ M, und x⃗ ∈ M sofort aus (Aus)^{M}. Wir haben also

(1) {p ∈ P | φ(p, x⃗)}^{M} = {p ∈ P | φ^{M}(p, x⃗)} ∈ M,

so daß nach 22.31(a)

({p ∈ P | φ(p, x⃗)} ist dicht in P )^{M} ⟷ {p ∈ P | φ(p, x⃗)}^{M} ist dicht in P

gilt; beachte, daß die ∈-Formel ”z ist dicht in P“ M-V -absolut ist. Nach (1) ist die rechte Seite gerade die rechte Seite der behaupteten Äquivalenz. QED

Wir fixieren eine Forcing-Halbordnung für M (P, ≤, 1_{P}). Da (P, ≤, 1_{P}) nach 27.4 eine Forcing-Halb-ordnung ist, ferner M abzählbar ist, existiert nach dem Existenzsatz für generische Filter 25.4 ein P - generischer Filter über M. Sei G ∈ V ein solcher Filter. Bei den von uns zu betrachtenden Forcing-Halb-ordnungen gilt G ∉ M; wir zeigen hierzu:

27.6 Satz Sei (P, ≤, 1_{P}) verzweigt, d.h., es gilt ∀p ∈ P ∃q, r ∈ P (q ≤ p ∧ r ≤ p ∧ q ⊥ r). Dann ist G ∉ M.

Beweis. Angenommen, G ∈ M. Sei D :≡ P \ G. Wegen D = {p ∈ P | p ∉ G} = {p ∈ P | (p ∉ G)^{M}} ist D ∈ M nach (Aus)^{M}.

(1) D ist dicht in P.

Beweis. Sei p ∈ P. Wähle q, r ∈ P mit q ≤ p, r ≤ p und q ⊥ r. Ist q ∉ G, so ist q ∈ D und wir sind fertig. Ist q ∈ G, so ist r ∉ G, da die Elemente von G paarweise kompatibel sind. Folglich ist r ∈ D. Damit ist (1) gezeigt. qed(1)

Da G P -generisch über M ist, folgt D ∩ G ≠ ∅ aus (1) und D ∈ M. Dies widerspricht der Definition von D. QED

27.7 Bemerkung Wie man leicht sieht, gilt:

(a) ((P, ≤, 1_{P}) ist verzweigt)^{M} ⟷ (P, ≤, 1_{P}) ist verzweigt.

(b) Für p ∈ P sei C_{p} :≡ {r ∈ P | r ≤ p} der Kegel unter p. (P, ≤, 1_{P}) ist genau dann verzweigt, wenn zu jedem p ∈ P Verstärkungen q, r ∈ C_{p} existieren mit C_{q} ∩ C_{r} = ∅.

27.2 Die Definition der generischen Erweiterung.

Die generische Erweiterung M[G] von M mit G soll das ⊂ -kleinste ∈ -Modell von ZFC sein, das M umfaßt und G enthält. Um Kontrolle darüber zu haben, wie M und G die Eigenschaften von M[G] steuern, ist es zweckmäßig, M[G] explizit zu definieren. Dabei verfolgen wir die folgende Idee: die Elemente von M[G] sollen – ähnlich wie die des Henkinschen Modells in der Mathematischen Logik – geeignete Interpretationen von Konstanten sein. Zu diesem Zweck erweitern wir die Sprache der Mengenlehre um neue Konstantensymbole, indem wir für jedes Element x von M ein Konstantensymbol ẋ wählen. Die entstehende Sprache bezeichnen wir als Forcing-Sprache; ẋ heißt M-Name. Wir identifizieren x mit ẋ. Nun definieren wir eine Interpretation ẋ^{G} von ẋ, so daß

(ẏ, p) ∈ ẋ ∧ p ∈ G ⟶ ẏ^{G} ∈ ẋ^{G}

gilt. Um den Term ẋ^{G} formal definieren und Eigenschaften dieses Termes beweisen zu können, benötigen wir folgendes Lemma:

27.8 Lemma Definiere eine Relation R durch yRx :≡ y ∈ M ∧ x ∈ M ∧ y ∈ dom(x). Dann gilt SF(M, R). Ferner folgt rg(y) < rg(x), falls yRx.

Beweis. R ⊂ M × M ist klar. Wegen

\{y | yRx\} = \{ \begin{matrix}dom(x), & falls x ∈ M; \\ ∅, & falls x ∉ M; \end{matrix}

sind alle Klassen von Vorgängern Mengen. Gilt yRx, also y ∈ dom(x), so existiert ein p mit (y, p) ∈ x und wir haben

(1) y ∈ {y} ∈ (y, p) ∈ x.

Jede absteigende R-Kette induziert also eine absteigende ∈ -Kette. Da es keine unendlich lange, absteigende ∈ -Kette gibt, gibt es also keine unendlich lange, absteigende R-Kette. Damit ist SF(M, R) verifiziert. Aus (1) folgt ferner rg(y) < rg({y}) < rg((y, p)) < rg(x). QED

Nun macht folgende Definition Sinn:

27.9 Definition Definiere durch R-Rekursion auf M für ẋ ∈ M die G-Interpretation ẋ^{G} von ẋ durch

ẋ^{G} :≡ {ẏ^{G} | ∃p ∈ G (ẏ, p) ∈ ẋ}.

27.10 Definition M[G] :≡ {ẋ^{G} | ẋ ∈ M} heißt generische Erweiterung von M durch P und G.

27.3 Fundamentale Eigenschaften von M[G].

27.11 Satz M[G] ist transitiv. Beweis. Sei u ∈ v ∈ M[G]. Dann ist v = ẋ^{G} für ein ẋ ∈ M. Aus u ∈ ẋ^{G} folgt nach Definition von ẋ^{G} die Existenz eines ẏ ∈ dom(ẋ) ⊂ M mit u = ẏ^{G}. Folglich ist u ∈ M[G]. QED 27.12 Satz Die Elemente von M werden durch G ”nach unten“ interpretiert: ∀ẋ ∈ M rg(ẋ^{G}) ≤ rg(ẋ). Beweis. Wir führen eine R-Induktion durch.

rg(ẋ^{G}) = rg(\{ẏ^{G} | ∃p ∈ G (ẏ, p) ∈ ẋ\}) = lub\{rg(ẏ^{G}) | \underbrace{∃p ∈ G (ẏ, p) ∈ ẋ}_{⇒ẏRẋ}\}
≤ lub{rg(ẏ) | ẏRẋ} (Ind.Vor.)
< rg(ẋ) (wegen ẏRẋ ⟶ rg(ẏ) < rg(ẋ)).

Damit ist der Satz bewiesen. QED Um M ⊂ M[G] zu zeigen, müssen wir zu jedem x ∈ M einen M-Namen x̌ so zuordnen, daß die G-Interpretation von x̌ gerade x ist. 27.13 Definition Definiere durch ∈ -Rekursion: x̌ :≡ {(y̌, 1_{P}) | y ∈ x}. Für x ∈ M heißt x̌ kanonischer Name für x. 27.14 Lemma Der Term x̌ ist M-V -absolut. Insbesondere ist x̌^{M} = x̌ ∈ M für x ∈ M. Beweis. x̌ ist der kanonische Term, der durch ∈ -Rekursion auf V gemäß der Rekursionsvorschrift

H(x, f) :≡ \{ \begin{matrix}ran(f) × \{1_{P} \}, & falls f: x → V; \\ ∅, & sonst; \end{matrix}

definiert ist. Nach 22.33 ist zum Nachweis der M-Absolutheit von x̌ zu zeigen

(1) (H: V × V → V )^{M} und ∀x, f ∈ M H^{M}(x, f) = H(x, f). Beweis. Wegen ZFC ⊢ H: V × V → V und ZFC^{M} gilt (H: V × V → V )^{M} nach dem Modell-Lemma 22.6. Wegen

ZFC ⊢ (f: x → V ⟶ H(x, f) = ran(f) × {1_{P} }) ∧ (¬ f: x → V ⟶ H(x, f) = ∅) folgt nach dem Modell-Lemma und 22.25 für alle x, f ∈ M:

(f: x → M ⟶ H^{M}(x, f) = ran(f) × {1_{P} }) ∧ (¬ f: x → M ⟶ H^{M}(x, f) = ∅). Also H^{M}(x, f) = H(x, f). qed(1) Damit ist das Lemma bewiesen. QED 27.15 Satz Für x ∈ M gilt x̌^{G} = x. Beweis. Wir führen eine ∈ -Induktion über x ∈ M durch.

x̌^{G} = {ẏ^{G} | ∃p ∈ G (ẏ, p) ∈ x} = {ẏ^{G} | (ẏ, 1_{P}) ∈ x} = {y̌^{G} | y ∈ x} = {y | y ∈ x} (Ind.Vor.)
= x.

Damit ist alles gezeigt. QED Aus 27.15 und 27.14 ergibt sich sofort:

27.16 Corollar M ⊂ M[G].

M und M[G] haben dieselbe ordinale Höhe:

27.17 Corollar On^{M} = On^{M[G]}. M.a.W.:^{213} M ∩ On = M[G] ∩ On.

Beweis. Es genügt, die zweite Identität zu zeigen zu ⊂“. Dies folgt sofort aus M ⊂ M[G]. zu ”⊃“. Sei α ∈ M[G] ∩ On. Wähle ein x ∈ M mit α = ẋ^{G}. Da rg M-V -absolut ist, siehe 22.35, gilt rg(x) = rg(x)^{M} ∈ M ∩ On. Wegen 27.12 gilt α = rg(α) = rg(ẋ^{G}) ∈ rg(x). Da M ∩ On als Schnitt transitiver Terme transitiv ist, folgt α ∈ M ∩ On. QED

Um G ∈ M[G] zu zeigen, benötigen wir einen Namen für den generischen Filter. Wir setzen:

27.18 Definition Ġ :≡ {(p̌, p) | p ∈ P } heißt kanonischer Name für P -generische Filter über P.

27.19 Lemma Ġ ∈ M.

Beweis. Sei φ(p, y) :≡ ∃x (x = p̌ ∧ y = (x, p)). Da der Term p̌ (27.14) und die Formel y = (x, p) (22.20) M-V -absolut sind, ist nach 22.31 die Formel φ(p, y) ebenfalls M-V -absolut. Ferner verhält sich φ(p, y) ”funktional“:

∀p, y, y′ ∈ M ((φ(p, y) ∧ φ(p, y′)) ⟶ y = y′).

Wegen (Paar)^{M} folgt

Ġ = {y | ∃p ∈ P y = (p̌, p)} = {y ∈ M | ∃p ∈ P y = (p̌, p)} = {y ∈ M | ∃p ∈ P φ(p, y)}
= {y ∈ M | ∃p ∈ P φ^{M}(p, y)} ∈ M (wegen (Ers)^{M}).

Dies war zu zeigen. QED

Nun können wir die Bezeichnung von Ġ als ”kanonischer Name für P -generische Filter über M“ rechtfertigen.

27.20 Satz Sei H ein P -generischer Filter über M. Dann gilt Ġ^{H} = H. Insbesondere ist H ∈ M[H].

Beweis.

Ġ^{H} = {ẏ^{H} | ∃p ∈ H (ẏ, p) ∈ Ġ} = {ẏ^{H} | ∃p ∈ H ((p̌, p) ∈ Ġ ∧ ẏ = p̌)}
= {ẏ^{H} | ∃p ∈ H ẏ = p̌} = {p̌^{H} | p ∈ H} = {p | p ∈ H} (27.15)
= H.

Dies war zu zeigen. QED

27.21 Corollar G ∈ M[G]. Ist P verzweigt, so ist M ⫋ M[G].

Aus 27.11, 27.12, 27.16, 27.17 und 27.21 folgt: M[G] eine (falls P verzweigt echte) Erweiterung von M, die G enthält und dieselbe ordinale Höhe wie M hat. M[G] wächst ”seitwärts“ über M hinaus. In 29.12 werden wir sehen, daß M[G] das ⊂ -kleinste transitive ZFC-Modell N ist, das M ⊂ N und G ∈ N erfüllt. Zunächst beginnen wir mit dem Nachweis von ZFC^{M[G]}. einige einfache Axiome können wir bereits jetzt zeigen.

[figure: \underbrace{M[G]}; M; V; G]

213siehe 22.24

27.22 Satz Es gilt (Ex)^{M[G]}, (Ext)^{M[G]}, (Paar)^{M[G]}, (Inf)^{M[G]} und (Fund)^{M[G]}.

Beweis. Da M[G] transitiv und nicht-leer ist, gelten (Ex)^{M[G]}, (Ext)^{M[G]} und (Fund)^{M[G]} nach 22.8. Wegen ω ∈ M ⊂ M[G] gilt (Inf)^{M[G]}. Um (Paar)^{M[G]} zu zeigen fixiere a, b ∈ M[G]. Seien x, y ∈ M mit a = ẋ^{G} und b = ẏ^{G}. Setze ż :≡ {(ẋ, 1_{P}), (ẏ, 1_{P})}. Dann gilt ż^{G} = {ẋ^{G}, ẏ^{G}} = {a, b}. Also ist {a, b} ∈ M[G], d.h., (Paar)^{M[G]} nach 22.8. QED

Wir haben damit genug Informationen, um zeigen zu können, daß ẋ^{G} M[G]-V -absolut ist, wenn man ẋ aus M wählt. Genauer:

27.23 Lemma Es gilt (ẋ^{G})^{M[G]} = ẋ^{G} für alle ẋ ∈ M.

Beweis. Wir zeigen (ẋ^{G})^{M[G]} = ẋ^{G} durch R-Induktion. Es ist

ẋ^{G} = {z | ∃p ∈ G ∃ẏ ((ẏ, p) ∈ ẋ ∧ z = ẏ^{G})}.

Wegen G ∈ M[G] ist z ∈ (ẋ^{G})^{M[G]} also gleichwertig mit

(1) z ∈ M[G] ∧ ∃p ∈ G ∃ẏ ∈ M[G] ((ẏ, p)^{M[G]} ∈ ẋ ∧ z = (ẏ^{G})^{M[G]}).

Wegen (Paar)^{M[G]} gilt (ẏ, p)^{M[G]} = (ẏ, p), siehe 22.24. (1) ist also gleichwertig mit

(2) z ∈ M[G] ∧ ∃p ∈ G ∃ẏ ∈ M[G] ((ẏ, p) ∈ ẋ ∧ z = (ẏ^{G})^{M[G]}).

Wegen (ẏ, p) ∈ ẋ ∈ M ⊂ M[G] und der Transitivität von M[G] kann hier die Beschränkung des Quantors ∃ẏ auf M[G] weggelassen werden. (2) ist also äquivalent zu

(3) z ∈ M[G] ∧ ∃p ∈ G ∃ẏ ((ẏ, p) ∈ ẋ ∧ z = (ẏ^{G})^{M[G]}).

Da (ẏ, p) ∈ ẋ ∈ M impliziert ẏRẋ, gilt nach Induktionsvoraussetzung (ẏ^{G})^{M[G]} = ẏ^{G}. Wegen ẏ^{G} ∈ M[G] ist (3) dann gleichwertig mit

(4) ∃p ∈ G ∃ẏ ((ẏ, p) ∈ ẋ ∧ z = ẏ^{G}).

Dies ist gleichwertig mit z ∈ ẋ^{G}. Also (ẋ^{G})^{M[G]} = ẋ^{G}. QED

27.24 Corollar (a) Es gilt (ẋ_{0}^{G} = ẋ_{1}^{G})^{M[G]} ⟷ ẋ_{0}^{G} = ẋ_{1}^{G} und (ẋ_{0}^{G} ∈ ẋ_{1}^{G})^{M[G]} ⟷ ẋ_{0}^{G} ∈ ẋ_{1}^{G} für alle

ẋ_{0}, ẋ_{1} ∈ M.

(b) Sei φ(v_{0}, …, v_{n−1}) eine ∈-Formel und seien ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1} ∈ M. Dann gilt φ^{M[G]}(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}) ⟷ (φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}.

Beweis. zu (a). (ẋ_{0}^{G} = ẋ_{1}^{G})^{M[G]} ⟺ (ẋ_{0}^{G})^{M[G]} = (ẋ_{1}^{G})^{M[G]} ⟺ ẋ_{0}^{G} = ẋ_{1}^{G}; analog ergibt sich die Aussage über ẋ_{0}^{G} ∈ ẋ_{1}^{G}. zu (b). Dies folgt aus (a) durch eine Induktion über den Aufbau der ∈-Formeln. QED

27.25 Corollar Sei φ(v_{0}, …, v_{n−1}) eine M[G]-V -absolute ∈-Formel und seien ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1} ∈ M. Dann gilt (φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]} ⟷ φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}).

Beweis. Da φ M[G]-V -absolut ist, gilt

∀v_{0} ∈ M[G] … ∀v_{n−1} ∈ M[G] (φ^{M[G]}(v_{0}, …, v_{n−1}) ⟷ φ(v_{0}, …, v_{n−1}));

setzt man hier v_{i} :≡ ẋ_{i}^{G}, so folgt φ^{M[G]}(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}) ⟷ φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}). Mit 27.24(b) ergibt sich die Behauptung. QED

Um die weiteren ZFC-Axiome nachweisen zu können, müssen wir einen Begriff entwickeln, der es uns ermöglicht, genauere Aussagen über die Eigenschaften von M[G] treffen zu können: die Forcing-Relation.

28 Forcing.

Sei M ein Grundmodell und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Sei G ein beliebiger P -generischer Filter über M. Um Namen für komplizierte mathematische Objekte aus M[G] angeben zu können, benötigen wir ein Verfahren, das es uns ermöglicht, die Eigenschaften von M[G] aufgrund der Kenntnis von M und P kontrollieren zu können. Wollen wir etwa (Aus)^{M[G]} beweisen, so ist für jedes a ∈ M[G], a = ȧ^{G} mit ȧ ∈ M, und jede ∈-Formel φ zu zeigen, daß b :≡ {x ∈ a | φ^{M[G]}(x)} ∈ M[G] gilt. Ein erster Ansatz für die Wahl eines Namens ḃ wäre

ḃ :≡ \{(ẋ, p) | ẋ ∈ dom(ȧ) ∧ \underbrace{p ∈ G ∧ M[G] ⊧ φ(ẋ^{G})}_{(∗)}\}.

Dies ist jedoch nicht notwendig ein Element von M, da in (∗) der außerhalb von M lebende Parameter G vorkommt. Auf den Bezug zu G können wir verzichten, wenn wir uns nicht nur auf G sondern auf alle P -generischen Filter über M beziehen: wir ersetzen (∗) durch

(∗∗) ∀H ((H ist P -generischer Filter über M ∧ p ∈ H) ⟶ φ^{M[H]}(ẋ^{H})).

Wenn (∗∗) gilt, sagen wir, p erzwingt φ(ẋ) und schreiben p ⊩ φ. Der Name für b sieht damit wie folgt aus:

ḃ :≡ {(ẋ, p) | ẋ ∈ dom(ȧ) ∧ p ⊩ φ(ẋ)}.

Wir haben noch ein weiteres Problem zu lösen: um m.H. von (Ers)^{M} zu zeigen, daß diese Menge ein Element von M ist, müssen wir sicherstellen, daß ihre definierende Formel eine auf M relativierte ∈-For-mel ist, also

p ⊩ φ(ẋ) ⟺ (p ⊩^{∗} φ(x⃗))^{M}

für ein gewisses ⊩^{∗} gilt. Wir werden sehen, daß dies der Fall ist. Damit haben wir die folgenden Aufgaben zu erledigen:

(1) Angabe einer formalen Definition von p ⊩ φ für jedes p ∈ P und jede Formel φ der Forcing-Sprache.

(2) Angabe einer Relation ⊩^{∗}, so daß für alle p ∈ P und jede Formel φ der Forcing-Sprache gilt: p ⊩ φ ⟺ (p ⊩^{∗} φ)^{M}.

Wir fixieren ein Grundmodell M und eine Forcing-Halbordnung für M (P, ≤, 1_{P}).^{214}

28.1 Die Forcingrelation ⊩.

28.1 Definition Sei φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) eine Formel der Forcing-Sprache, d.h., φ(v_{0}, …, v_{n−1}) ist eine ∈- Formel und ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1} ∈ M sind M-Namen. Für p ∈ P setzen wir

p ⊩_{P} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) :≡ ∀G ((G ist P -generischer Filter über M ∧ p ∈ G) ⟶ φ^{M[G]}(ẋ_{0}^{G} …, ẋ_{n−1}^{G})).

In diesem Fall sagen wir, p erzwingt φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}). Ist P aus dem Zusammenhang bekannt, so schreiben wir ⊩ statt ⊩_{P}.

28.2 Bemerkung Aus 27.24 folgt

p ⊩_{P} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ⟷ ∀G((G ist P -generischer Filter über M ∧ p ∈ G) ⟶ (φ(ẋ_{0}^{G} …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}).

Erzwingen vererbt sich von schwächeren auf stärkere Bedingungen:

214Unsere Darstellung in diesem Kapitel fußt auf [25].

28.3 Lemma (a) Wenn p ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) gilt, so gilt q ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) für alle q ≤ p.

(b) Aus p ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{m−1}) und p ⊩ ψ(ẏ_{0}, …, ẏ_{n−1}) folgt p ⊩ (φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{m−1}) ∧ ψ(ẏ_{0}, … ẏ_{n−1})).

(c) Gilt (ẋ, p) ∈ ẏ mit p ∈ P, so gilt p ⊩ ẋ ∈ ẏ.

Beweis. zu (a). Sei q ≤ p. Ist G ein P -generischer Filter über M mit q ∈ G, so ist p ∈ G wegen des Abschlusses des Filters nach oben. Wegen p ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) gilt φ^{M[G]}(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}). Also gilt q ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}). zu (b). Ist G ein P -generischer Filter über M mit p ∈ G, so gilt unter den Voraussetzungen von (b) nach 28.2 (φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{m−1}^{G}))^{M[G]} und (ψ(ẏ_{0}^{G}, …, ẏ_{n−1}^{G}))^{M[G]}, d.h, (φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{m−1}^{G}) ∧ ψ(ẏ_{0}^{G}, …, ẏ_{n−1}^{G}))^{M[G]}. Nach 28.2 haben wir p ⊩ (φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{m−1}) ∧ ψ(ẏ_{0}, … ẏ_{n−1})) nachgewiesen. zu (c). Ist G ein P -generischer Filter über M mit p ∈ G, so gilt unter den Voraussetzungen von (c) ẋ^{G} ∈ ẏ^{G} nach Definition von ẏ^{G}. Dies ist nach 27.24 gleichwertig mit mit (ẋ^{G} ∈ ẏ^{G})^{M[G]}. QED

28.2 Die Forcingrelation ⊩^{∗}.

Um ⊩^{∗} zu definieren, benötigen wir die folgende Abschwächung des Begriffes der dichten Teilmenge von P. Da dieser und viele weitere Begriffe dieses Kapitels bereits dann Sinn machen, wenn (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung ist, setzen wir in diesem Kapitel von nun an – sofern nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird – nur voraus, daß (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung ist.

28.4 Definition Sei p ∈ P und D ⊂ P. D ist dicht in P unter p :≡ ∀q ≤ p ∃r ≤ q r ∈ D.

Die Eigenschaft ”D ist dicht in P unter p“ ist M-V -absolut:

28.5 Lemma Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, D ∈ M und p ∈ P. Dann gilt: (D ist dicht in P unter p)^{M} ⟷ D ist dicht in P unter p.

Beweis. Dies folgt wegen

D ist dicht in P unter p ⟺ ∀q ∈ P ∃r ∈ P ((q, p) ∈ ≤ ⟶ ((r, q) ∈ ≤ ∧ r ∈ D))

leicht m.H. der üblichen Absolutheitsargumente aus 22.24, dem Relativierungslemma 22.22 und 22.15. QED

Analog zu 27.5 beweist der Leser leicht:

28.6 Corollar Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Sei φ(p, x⃗) eine ∈-Formel. Dann gilt für alle x⃗ ∈ M und p ∈ P:

({q ∈ P | φ(q, x⃗)} ist dicht in P unter p)^{M} ⟷ {q ∈ P | φ^{M}(q, x⃗)} ist dicht in P unter p,

wobei {q ∈ P | φ^{M}(q, x⃗)} ∈ M ist.

Unter bestimmten Voraussetzungen verhält sich eine unter p dichte Menge relativ zu einem generischen Filter wie eine dichte Menge:

28.7 Satz Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, D ∈ M, p ∈ P und D sei dicht in P unter p. Sei G ein P -generischer Filter über M mit p ∈ G. Dann existiert ein q ∈ D ∩ G mit q ≤ p.

Beweis. Sei D′ :≡ {r ∈ D | r ≤ p} ∪ {r ∈ P | r ⊥ p}. Es ist D′ ∈ M: da r ⊥ p M-V -absolut und P ∈ M ist, gilt {r | r ∈ P ∧ r ⊥ p} = {r ∈ P | (r ⊥ p)^{M}} ∈ M nach (Aus)^{M}. Wegen (Aus)^{M} ist ferner {r ∈ D | r ≤ p} = {r ∈ D | (r ≤ p)^{M}} ∈ M. Schließlich ist M gegen Vereinigungen abgeschlossen wegen (⋃-Ax)^{M}, vgl. 22.8.

(1) D′ ist dicht in P.

Beweis. Sei q ∈ P beliebig. Gilt q ⊥ p, so ist q ∈ D′ und wir sind fertig. Ist q ∥ p so wähle ein q′ ≤ q, p. Da D dicht unter p ist, existiert ein r ∈ D mit r ≤ q′. Dann ist r ≤ q und r ∈ D′, also wie benötigt.

qed(1)

Wegen (1) und D′ ∈ M existiert r ∈ G ∩ D′. Dann kann nicht r ⊥ p gelten, da die Elemente von G paarweise kompatibel sind. Also ist r ∈ D und r ≤ p. QED

Wir beginnen nun mit der recht umfangreichen Definition von p ⊩^{∗} φ. Wir definieren diese Relation für jede ∈-Formel, indem wir eine Rekursion über den Aufbau von φ durchführen. Hierbei ist der atomare Fall der komplizierteste. Wir behandeln zunächst den Fall, daß φ die Gleichheit ist:

28.8 Definition p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2} :≡

(α) ∀(y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1}(s_{1} ∈ P ⟶

\underbrace{\{q ∈ P | q ≤ s_{1} → ∃(y_{2}, s_{2}) ∈ x_{2}(s_{2} ∈ P ∧ q ≤ s_{2} ∧ q ⊩^{∗} y_{1} = y_{2})\}}_{≡: D_{(α)}(y_{1},s_{1},x_{2})} ist dicht in P unter p)∧

(β) ∀(y_{2}, s_{2}) ∈ x_{2}(s_{2} ∈ P ⟶

\underbrace{\{q ∈ P | q ≤ s_{2} → ∃(y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1}(s_{1} ∈ P ∧ q ≤ s_{1} ∧ q ⊩^{∗} y_{1} = y_{2})\}}_{≡: D_{(β)}(x_{1},y_{2},s_{2})} ist dicht in P unter p).

28.9 Bemerkung Wie später deutlich werden wird, steht hier der α -Teil für die Beziehung x_{1}^{G} ⊂ x_{2}^{G} und der β -Teil für die Beziehung x_{1}^{G} ⊃ x_{2}^{G}.

Diese Definition beinhaltet erneut eine Rekursion. Um diese zu präzisieren und zu rechtfertigen, zeigen wir:

28.10 Lemma Definiere auf A :≡ P × V × V eine Relation R durch

(q, y_{1}, y_{2})R(p, x_{1}, x_{2}) :≡ q ∈ P ∧ p ∈ P ∧ y_{1} ∈ dom(x_{1}) ∧ y_{2} ∈ dom(x_{2}).

Dann gilt SF(A, R). Sei F der kanonische Term, der durch R-Rekursion auf A durch die Rekursionsvorschrift H: A × V → 2 bestimmt ist, wobei H(x, f) ∈ 2 für (x, f) ∈ A × V definiert ist durch H(x, f) :≡ 1 genau dann, wenn

∃p, x_{1}, x_{2} (p ∈ P ∧ x = (p, x_{1}, x_{2}) ∧ f: P × dom(x_{1}) × dom(x_{2}) → 2 ∧
∀(y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1}(s_{1} ∈ P ⟶
{q ∈ P | q ≤ s_{1} → ∃(y_{2}, s_{2}) ∈ x_{2}(s_{2} ∈ P ∧ q ≤ s_{2} ∧ f(q, y_{1}, y_{2}) = 1)} ist dicht in P unter p) ∧
∀(y_{2}, s_{2}) ∈ x_{2}(s_{2} ∈ P ⟶
{q ∈ P | q ≤ s_{2} → ∃(y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1}(s_{1} ∈ P ∧ q ≤ s_{1} ∧ f(q, y_{1}, y_{2}) = 1)} ist dicht in P unter p)).

gilt. Ist (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, so ist der Term F (x) M-V -absolut.

Beweis. SF(A, R) beweist man analog zu 27.8. Sei nun (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Um die Absolutheit des Termes F (x) zu zeigen, ist nach 22.33 folgendes zu verifizieren:

(1) (a) (SF(A, R) ∧ H: A × V → 2)^{M}.

(b) Die ∈-Formeln x ∈ A und yRx sind M-V -absolut.

(c) ∀x ∈ A^{M} ∀f ∈ M (H(x, f))^{M} = H(x, f).

(d) ∀x ∈ M ∀y (yRx ⟶ y ∈ M).

Beweis. zu (a). Da wir unter der Voraussetzung ZFC gezeigt haben, daß SF(A, R) gilt, ferner unter ebendieser Voraussetzung auch H: A × V → V gilt, folgt (a) sofort aus ZFC^{M}. Insbesondere hat man (H: (P × V × V) × V → 2)^{M}, was nach 22.25 und 22.24 zu H^{M}: (P × M × M) × M → 2 gleichwertig ist. zu (b). Mit den üblichen Absolutheitsargumenten folgt für x, y ∈ M:

(x ∈ A)^{M} ⟺ (∃p ∈ P ∃x_{1}, x_{2} x = (p, x_{1}, x_{2}))^{M} ⟺ ∃p ∈ P ∃x_{1}, x_{2} ∈ M x = (p, x_{1}, x_{2})^{M}
⟺ ∃p ∈ P ∃x_{1}, x_{2} ∈ M x = (p, x_{1}, x_{2})
⟺ ∃p ∈ P ∃x_{1}, x_{2} x = (p, x_{1}, x_{2}) (da (p, x_{1}, x_{2}) = x ∈ M ⟶ x_{1}, x_{2} ∈ M)
⟺ x ∈ A.
(yRx)^{M} ⟺ (∃p, q ∈ P ∃x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}
(y = (q, y_{1}, y_{2}) ∧ x = (p, x_{1}, x_{2}) ∧ y_{1} ∈ dom(x_{1}) ∧ y_{2} ∈ dom(x_{2})))^{M}
⟺ ∃p, q ∈ P ∃x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} ∈ M
(y = (q, y_{1}, y_{2})^{M} ∧ x = (p, x_{1}, x_{2})^{M} ∧ y_{1} ∈ dom(x_{1})^{M} ∧ y_{2} ∈ dom(x_{2})^{M})
⟺ ∃p, q ∈ P ∃x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} ∈ M
(y = (q, y_{1}, y_{2}) ∧ x = (p, x_{1}, x_{2}) ∧ y_{1} ∈ dom(x_{1}) ∧ y_{2} ∈ dom(x_{2}))
⟺ ∃p, q ∈ P ∃x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}
(y = (q, y_{1}, y_{2}) ∧ x = (p, x_{1}, x_{2}) ∧ y_{1} ∈ dom(x_{1}) ∧ y_{2} ∈ dom(x_{2}))
(beachte x, y ∈ M)
⟺ yRx.

zu (c). Es genügt, (H(x, f) = 1)^{M} ⟺ H(x, f) = 1 zu zeigen. Es gilt ZFC ⊢ (H(x, f) = 1 ⟷ φ) mit

φ :≡ ∃p, x_{1}, x_{2} (p ∈ P ∧ x = (p, x_{1}, x_{2}) ∧ f: P × dom(x_{1}) × dom(x_{2}) → 2 ∧

∀y ∈ x_{1} ∀y_{1} ∀s_{1} ∈ P (y = (y_{1}, s_{1}) ⟶

{q ∈ P | (q, s_{1}) ∈ ≤ → ∃z ∈ x_{2}∃s_{2} ∈ P (z = (y_{2}, s_{2}) ∧ (q, s_{2}) ∈ ≤ ∧ f(q, y_{1}, y_{2}) = 1)}

ist dicht in P unter p) ∧

∀y ∈ x_{2} ∀y_{2} ∀s_{2} ∈ P (y = (y_{2}, s_{2}) ⟶

{q ∈ P | (q, s_{2}) ∈ ≤ → ∃z ∈ x_{1}∃s_{1} ∈ P (z = (y_{1}, s_{1}) ∧ (q, s_{1}) ∈ ≤ ∧ f(q, y_{1}, y_{2}) = 1)}

ist dicht in P unter p)).

Nach dem Modell-Lemma gilt dann (H(x, f) = 1)^{M} ⟷ φ^{M}. M.H. von 22.20, 22.25, 22.30, 28.6 und dem Relativierungslemma 22.22 zeigt man mit den üblichen Absolutheitsargumenten, daß φ M-V -absolut ist. Also gilt φ^{M} ⟷ φ (⟷ H(x, f) = 1). Dies war zu zeigen. zu (d). Sei x ∈ M und y ∈ V mit yRx. Dann existieren p, q ∈ P und x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} mit x = (p, x_{1}, x_{2}) und y = (q, y_{1}, y_{2}). Wegen x ∈ M sind x_{1}, x_{2} ∈ M, also auch dom(x_{1}), dom(x_{2}) ∈ M. Wegen yRx gilt y_{1} ∈ dom(x_{1}) und y_{2} ∈ dom(x_{2}), so daß die Transitivität von M y_{1}, y_{2} ∈ M impliziert. Aus q, y_{1}, y_{2} ∈ M folgt (q, y_{1}, y_{2}) ∈ M wegen (Paar)^{M}. Also ist y ∈ M. qed(1)

Damit ist das Lemma bewiesen. QED

Es folgt sofort der wichtige Satz:

28.11 Satz (a) p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2} ist wohldefiniert durch p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2} :≡ F (p, x_{1}, x_{2}) = 1, wobei F der

kanonische Term aus 28.10 ist.

(b) p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2} ⟷ p ⊩^{∗} x_{2} = x_{1}. Ist (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, so gilt weiter:

(c) Die Formel p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2} ist M-V -absolut: (p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2})^{M} ⟺ p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2} für alle x_{1}, x_{2} ∈ M, p ∈ P.

(d) Für p ∈ P, x_{1}, x_{2} ∈ M sind die in der Definition von p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2} vorkommenden Klassen D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2}) und D_{(β)}(x_{1}, y_{2}, s_{2}) Elemente von M. Es gilt D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2})^{M} = D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2}) und D_{(β)}(x_{1}, y_{2}, s_{2})^{M} = D_{(β)}(x_{1}, y_{2}, s_{2}).

Beweis. zu (a). Aus der Definition von F folgt unmittelbar

F (p, x_{1}, x_{2}) = H(x, (F (q, y_{1}, y_{2}) | q ∈ P ∧ y_{1} ∈ dom(x_{1}) ∧ y_{2} ∈ dom(x_{2}))).

Also bedeutet F (p, x_{1}, x_{2}) = 1 nach Definition von H gerade

∀(y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1}(s_{1} ∈ P ⟶
{q ∈ P | q ≤ s_{1} → ∃(y_{2}, s_{2}) ∈ x_{2}(s_{2} ∈ P ∧ q ≤ s_{2} ∧ F (q, y_{1}, y_{2}) = 1)} ist dicht in P unter p) ∧
∀(y_{2}, s_{2}) ∈ x_{2}(s_{2} ∈ P ⟶
{q ∈ P | q ≤ s_{2} → ∃(y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1}(s_{1} ∈ P ∧ q ≤ s_{1} ∧ F (q, y_{1}, y_{2}) = 1)} ist dicht in P unter p).

Ersetzen wir hier F (q, y_{1}, y_{2}) = 1 durch p ⊩^{∗} y_{1} = y_{2}, so erhalten wir die Mengen D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2}) bzw. D_{(β)}(x_{1}, y_{2}, s_{2}) aus 28.8. zu (b). Dies folgt leicht durch R-Induktion. zu (c). Die Absolutheit des Termes F (x) impliziert in Verbindung mit (a) offenbar die Absolutheit von p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2}. zu (d). Es folgt mit Hilfe von (c) sofort, daß die definierenden Formeln dieser Klassen M-V -absolut sind, also durch ihre Relativierungen auf M ersetzt werden können. Also gilt D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2}) = D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2})^{M} und D_{(β)}(x_{1}, y_{2}, s_{2}) = D_{(β)}(x_{1}, y_{2}, s_{2})^{M}. Wegen (Aus)^{M} sind diese Klassen somit Elemente von M. Damit ist der Satz bewiesen. QED

Nun führen wir unsere rekursive Definition von p ⊩^{∗} φ fort.

28.12 Definition (i) p ⊩^{∗} x_{1} ∈ x_{2} :≡ {q ∈ P | ∃(y, s) ∈ x_{2} (s ∈ P ∧ q ≤ s ∧ q ⊩^{∗} x_{1} = y)} ist dicht in P unter p; (ii) p ⊩^{∗} (φ(x⃗) ∧ ψ(x⃗)) :≡ (p ⊩^{∗} φ(x⃗) ∧ p ⊩^{∗} ψ(x⃗)); (iii) p ⊩^{∗} ¬ φ(x⃗) :≡ ¬ ∃ q ≤ p q ⊩^{∗} φ(x⃗); (iv) p ⊩^{∗} ∃v φ(v, x⃗) :≡ {q ∈ P | ∃y q ⊩^{∗} φ(y, x⃗)} ist dicht in P unter p.

28.13 Bemerkung Mit Hilfe der oben angegebenen Definition läßt sich für jede ∈-Formel φ und jedes p ∈ P in endlich vielen Schritten entscheiden, ob p ⊩^{∗} φ gilt oder nicht.

Aus der Absolutheit von p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2} folgt:

28.14 Lemma Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Seien x_{1}, x_{2} ∈ M, p ∈ P. Dann gilt (p ⊩^{∗} x_{1} ∈ x_{2})^{M} ⟷ p ⊩^{∗} x_{1} ∈ x_{2}. Die in der Definition von p ⊩^{∗} x_{1} ∈ x_{2} vorkommende Klasse ist ein Element von M.

28.15 Bemerkung Während die Forcing-Relation ⊩ zur Analyse von Modellen korrespondiert, entspricht ⊩^{∗} eher der Berechnung in einem Kalkül: durch Zurückführen auf den atomaren Fall kann man berechnen, ob p ⊩^{∗} φ gilt oder nicht. Somit ist ⊩ eher verbunden mit der Relation ⊧ der Mathematischen Logik wohingegen ⊩^{∗} eher mit der Relation ⊢ vergleichbar ist. Man bezeichnet deshalb die Relation ⊩ auch als semantisches Forcing und die Relation ⊩^{∗} als syntaktisches Forcing.

Wir leiten einige Eigenschaften von ⊩^{∗} her. Dabei benötigen wir folgendes Lemma:

28.16 Lemma Sei p ∈ P und D ⊂ P. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) D ist dicht in P unter p; (ii) ∀r ≤ p (D ist dicht in P unter r); (iii) D′ :≡ {r ∈ P | D ist dicht in P unter r} ist dicht in P unter p.

Beweis. ”(i)⇒(ii)“. Dies folgt leicht aus der Transitivität von ≤. ”(ii)⇒(iii)“. Dies folgt sofort aus (ii), da jedes r ≤ p in D′ liegt. ”(iii)⇒(i)“. Sei q ≤ p beliebig. Da D′ dicht in P unter p ist, existiert ein r ≤ q mit r ∈ D′. Letzteres impliziert die Existenz eines r′ ≤ r mit r′ ∈ D. Aus der Transitivität von ≤ folgt r′ ≤ p. r′ ist also wie benötigt. QED

28.17 Satz Folgende Aussagen sind äquivalent:

(i) p ⊩^{∗} φ(x⃗);

(ii) ∀r ≤ p r ⊩^{∗} φ(x⃗); (iii) {r ∈ P | r ⊩^{∗} φ(x⃗)} ist dicht in P unter p.

Beweis. Wir führen eine Induktion über den Aufbau von φ durch. Fall 1. φ ≡ x_{1} = x_{2}. Unter Verwendung von 28.16 folgt: ”(i)⇒(ii)“.

p ⊩^{∗} x_{1} = x_{2} ⟺ ∀(y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1} (s_{1} ∈ P → D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2}) ist dicht in P unter p) ∧
∀(y_{2}, s_{2}) ∈ x_{2} (s_{2} ∈ P → D_{(β)}(x_{1}, y_{2}, s_{2}) ist dicht in P unter p)
⟺ ∀(y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1} (s_{1} ∈ P → ∀r ≤ p (D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2}) ist dicht in P unter r)) ∧
∀(y_{2}, s_{2}) ∈ x_{2} (s_{2} ∈ P → ∀r ≤ p (D_{(β)}(x_{1}, y_{2}, s_{2}) ist dicht in P unter r)
⟹ ∀r ≤ p
(∀(y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1} (s_{1} ∈ P → D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2}) ist dicht in P unter r) ∧
∀(y_{2}, s_{2}) ∈ x_{2} (s_{2} ∈ P → D_{(β)}(x_{1}, y_{2}, s_{2}) ist dicht in P unter r))
⟹ ∀r ≤ p r ⊩^{∗} x_{1} = x_{2}.

”(ii)⇒(iii)“. trivial. ”(iii)⇒(i)“. Sei {r ∈ P | r ⊩^{∗} x_{1} = x_{2}} dicht in P unter p. Sei (y_{1}, s_{1}) ∈ x_{1} mit s_{1} ∈ P. Dann gilt nach Definition von r ⊩^{∗} x_{1} = x_{2}:

{r ∈ P | D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2}) ist dicht in P unter r} ⊃ {r ∈ P | r ⊩^{∗} x_{1} = x_{2}}.

Da Obermengen von unter p dichten Mengen offenbar wieder dicht unter p sind, folgt, daß die links stehende Menge dicht unter p ist. Nach 28.16 ist dann D_{(α)}(y_{1}, s_{1}, x_{2}) dicht unter p. Also gilt (α) aus 28.8. Analog sieht man, daß auch (β) erfüllt ist.

Fall 2. φ ≡ x_{1} ∈ x_{2}. Diesen Fall behandelt man analog zu Fall 1. Fall 3. φ(x⃗) ≡ (ψ(x⃗) ∧ χ(x⃗)). ”(i)⇒(ii)“.

p ⊩^{∗} φ(x⃗) ⟺ p ⊩^{∗} ψ(x⃗) ∧ p ⊩^{∗} χ(x⃗)
⟹ ∀r ≤ p (r ⊩^{∗} ψ(x⃗) ∧ r ⊩^{∗} χ(x⃗)) (nach Ind.Vor.)
⟺ ∀r ≤ p r ⊩^{∗} (ψ(x⃗) ∧ χ(x⃗)).

”(ii)⇒(iii)“. trivial. ”(iii)⇒(i)“. Da Obermengen dichter Mengen dichte Mengen sind, folgt:

{r ∈ P | r ⊩^{∗} φ(x⃗)} ist dicht unter p ⟺ {r ∈ P | r ⊩^{∗} ψ(x⃗) ∧ r ⊩^{∗} χ(x⃗)} ist dicht unter p
⟹ {r ∈ P | r ⊩^{∗} ψ(x⃗)} ist dicht unter p ∧
{r ∈ P | r ⊩^{∗} χ(x⃗)} ist dicht unter p
⟺ p ⊩^{∗} ψ(x⃗) ∧ p ⊩^{∗} χ(x⃗) (Ind.Vor.)
⟺ p ⊩^{∗} φ(x⃗).

Fall 4. φ ≡ ¬ ψ(x⃗). ”(i)⇒(ii)“.

p ⊩^{∗} φ(x⃗) ⟺ ¬ ∃q ≤ p q ⊩^{∗} ψ(x⃗) ⟺ ∀q ≤ p ¬ q ⊩^{∗} ψ(x⃗)
⟺ ∀r ≤ p ∀q ≤ r ¬ q ⊩^{∗} ψ(x⃗) (da ≤ transitiv ist)
⟺ ∀r ≤ p ¬ ∃q ≤ r q ⊩^{∗} ψ(x⃗) ⟺ ∀r ≤ p r ⊩^{∗} φ(x⃗).

”(ii)⇒(iii)“. trivial. ”(iii)⇒(i)“. Sei {r ∈ P | r ⊩^{∗} φ(x⃗)} = {r ∈ P | ¬ ∃q ≤ r q ⊩^{∗} ψ(x⃗)} dicht in P unter p.

(1) ¬ ∃q ≤ p q ⊩^{∗} ψ(x⃗).

Beweis. Angenommen, dies gilt nicht. Dann existiert ein q ≤ p mit q ⊩^{∗} ψ. Nach Induktionsvoraussetzung für ψ gilt dann

(∗) ∀r ≤ q r ⊩^{∗} ψ.

Wegen der Dichtheit von {r ∈ P | ¬ ∃q′ ≤ r q′ ⊩^{∗} ψ(x⃗)} und q ≤ p existiert andererseits ein r ≤ q mit ¬ ∃q′ ≤ r q′ ⊩^{∗} ψ. Insbesondere gilt also ¬ r ⊩^{∗} ψ, was (∗) widerspricht. Also muß (1) doch richtig sein.

qed(1)

Da (1) gleichwertig ist mit p ⊩^{∗} φ(x⃗), ist (i) bewiesen. Fall 5. φ(x⃗) ≡ ∃vψ(v, x⃗). Diesen Fall behandelt man analog zu Fall 1. QED

Es folgt sofort:

28.18 Corollar Es gelte p ⊩^{∗} φ(x⃗).

(a) Ist q ≤ p, so gilt q ⊩^{∗} φ(x⃗).

(b) Gilt q ⊩^{∗} ¬φ(x⃗), so sind p und q inkompatibel.

In Hinblick auf unser angestrebtes Resultat p ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ⟺ (p ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} notieren wir:

28.19 Corollar Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Ist φ(v_{0}, …, v_{n−1}) eine ∈-Formel und sind ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1} ∈ M, so sind äquivalent:

(i) (p ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}; (ii) ∀r ≤ p (r ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M};

(iii) {r ∈ P | (r ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}} ist dicht in P unter p.

Beweis. Da unter ZFC die Aussagen (i) – (iii) von 28.17 äquivalent sind und ZFC^{M} gilt, sind diese Aussagen äquivalent, wenn man sie auf M relativiert und nur Parameter aus M zuläßt. M.H. von 28.6 sieht man leicht, daß die im Corollar angegebenen Aussagen gerade diese relativierten Aussagen des Satzes sind. QED

28.20 Lemma Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Sei φ(v_{0}, …, v_{n−1}) eine ∈-Formel und es seien ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1} ∈ M. Dann ist die Menge

D_{φ(ẋ_{0},...,ẋ_{n−1})} :≡ {p ∈ P | (p ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} ∨ (p ⊩^{∗} ¬φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}}

ein Element von M und dicht in P.

Beweis. D ∈ M folgt wegen P ∈ M sofort aus (Aus)^{M}. Sei nun p ∈ P. Gilt (p ⊩^{∗} ¬φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}, so sind wir fertig. Gilt dies nicht, so gilt

(¬ \underbrace{p ⊩^{∗} ¬φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})}_{↔¬ ∃q≤p q⊩^{∗}φ(ẋ_{0},...,ẋ_{n−1})})^{M},

also (∃q ≤ p q ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}, was, wie man leicht sieht, zu ∃q ≤ p (q ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} äquivalent ist. Dies war gerade zu zeigen. QED

28.3 Das Forcing-Theorem.

Der erste Schritt zur Nachweis der Äquivalenz p ⊢ φ ⟺ (p ⊩^{∗} φ)^{M} ist:

28.21 Satz Sei M ein Grundmodell, (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M und G ein P -generischer Filter über M. Dann gilt für alle ẋ_{1}, ẋ_{2} ∈ M:

(a) Ist p ∈ G mit p ⊩^{∗} ẋ_{1} = ẋ_{2}, so gilt ẋ_{1}^{G} = ẋ_{2}^{G}.

(b) Gilt ẋ_{1}^{G} = ẋ_{2}^{G}, so existiert ein p ∈ G mit p ⊩^{∗} ẋ_{1} = ẋ_{2}.

Beweis. zu (a). Wir machen eine R-Induktion.^{215} Seien also p ∈ G und ẋ_{1}, ẋ_{2} ∈ M mit p ⊩^{∗} ẋ_{1} = ẋ_{2}. Für alle (q, ẏ_{1}, ẏ_{2})R(p, ẋ_{1}, ẋ_{2}) gelte (q ∈ G ∧ q ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2}) ⟶ ẏ_{1}^{G} = ẏ_{2}^{G}. Aus Symmetriegründen genügt es, ẋ_{1}^{G} ⊂ ẋ_{2}^{G} zu zeigen. Hierzu fixiere z ∈ ẋ_{1}^{G} = {ẏ_{1}^{G} | ∃s_{1} ∈ G (ẏ_{1}, s_{1}) ∈ ẋ_{1}}. Wähle ẏ_{1} ∈ dom(ẋ_{1}) und ein s_{1} ∈ G, so daß (ẏ_{1}, s_{1}) ∈ ẋ_{1} und z = ẏ_{1}^{G} ist. Nach Definition von p ⊩^{∗} ẋ_{1} = ẋ_{2} ist

D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) = {q ∈ P | q ≤ s_{1} → ∃(ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2}(s_{2} ∈ P ∧ q ≤ s_{2} ∧ q ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2})}

dicht in P unter p.

(1) ∃q ∈ D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) ∩ G q ≤ s_{1}.

Beweis. Sei r ∈ G mit r ≤ p, s_{1}. Da D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) dicht unter p ist, ist D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) auch dicht unter r. Da nach 28.11 D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) ∈ M gilt und r ∈ G ist, existiert nach 28.7 ein q ∈ D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) ∩ G mit q ≤ r. Wegen r ≤ s_{1} ist q wie benötigt. qed(1)

Sei nun q wie in (1). Wegen q ∈ D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) und q ≤ s_{1} existiert nach Definition von D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) ein (ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2} mit s_{2} ∈ P, q ≤ s_{2} und q ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2}. Nach Induktionsvoraussetzung gilt ẏ_{1}^{G} = ẏ_{2}^{G}. Wegen q ≤ s_{2} und q ∈ G ist s_{2} ∈ G. Aus (ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2} folgt also ẏ_{2}^{G} ∈ ẋ_{2}^{G} nach Definition von ẋ_{2}^{G}. Insgesamt ergibt sich z = ẏ_{1}^{G} ∈ ẋ_{2}^{G} und dies war zu zeigen. zu (b). Wir führen wieder eine R-Induktion durch. Seien also ẋ_{1}, ẋ_{2} ∈ M und s ∈ P und für alle (q, ẏ_{1}, ẏ_{2})R(s, ẋ_{1}, ẋ_{2}) gelte ẏ_{1}^{G} = ẏ_{2}^{G} ⟶ ∃p ∈ G p ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2}. Es gelte ẋ_{1}^{G} = ẋ_{2}^{G}. Setze

215vgl. 28.10.

D :≡ {p ∈ P | p ⊩^{∗} ẋ_{1} = ẋ_{2}
∨ ∃(ẏ_{1}, s_{1}) ∈ ẋ_{1}(s_{1} ∈ P ∧ ∀q ≤ p  (¬α)
(q ≤ s_{1} ∧ ∀(ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2}((s_{2} ∈ P ∧ q ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2}) → ¬ q ≤ s_{2})))
∨ ∃(ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2}(s_{2} ∈ P ∧ ∀q ≤ p  (¬β)
(q ≤ s_{2} ∧ ∀(ẏ_{1}, s_{1}) ∈ ẋ_{1}((s_{1} ∈ P ∧ q ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2}) → ¬ q ≤ s_{1})))}.

Mit ähnlichen Argumenten, die auf D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) ∈ M und D_{(β)}(ẋ_{1}, ẏ_{2}, s_{2}) ∈ M geführt haben und die M-V -Absolutheit der Formel r ⊩^{∗} ż_{1} = ż_{2} ausnutzen, zeigt man leicht:

(2) D ∈ M. Wir zeigen:

(3) D ist dicht in P. Beweis. Sei r ∈ P. Gilt dann r ⊩^{∗} ẋ_{1} = ẋ_{2}, so ist r ∈ D und wir sind fertig. Gelte also ¬ r ⊩^{∗} ẋ_{1} = ẋ_{2}. Dann ist eine der Bedingungen (α) bzw. (β) aus der Definition von r ⊩^{∗} ẋ_{1} = ẋ_{2} nicht erfüllt. O.E. sei (α) nicht erfüllt, d.h.,

∃(ẏ_{1}, s_{1}) ∈ ẋ_{1}(s_{1} ∈ P ∧

\underbrace{\{q ∈ P | q ≤ s_{1} → ∃(ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2}(s_{2} ∈ P ∧ q ≤ s_{2} ∧ q ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2})\}}_{=D_{(α)}(ẏ_{1},s_{1},ẋ_{2})} ist nicht dicht in P unter r).

Da eine Menge C genau dann nicht dicht unter r ist, wenn es ein p ≤ r gibt, so daß für alle q ≤ p gilt q ∉ C, ist die letzte Formel gleichwertig zu

∃(ẏ_{1}, s_{1}) ∈ ẋ_{1}(s_{1} ∈ P ∧ ∃p ≤ r ∀q ≤ p q ∉ D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2})). Wähle dementsprechend p ≤ r mit ∃(ẏ_{1}, s_{1}) ∈ ẋ_{1}(s_{1} ∈ P ∧ ∀q ≤ p q ∉ D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2})). Es ist leicht zu sehen daß q ∉ D_{(α)}(ẏ_{1}, s_{1}, ẋ_{2}) gleichwertig ist mit q ≤ s_{1} ∧ ∀(ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2}((s_{2} ∈ P ∧ q ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2}) → ¬ q ≤ s_{2}). Also gilt (¬α) für p und somit p ∈ D. Wegen p ≤ r ist p wie benötigt. qed(3)

Da G P -generisch über M ist, existiert wegen (2) und (3) ein p ∈ G ∩ D. Der Satz ist bewiesen, wenn wir gezeigt haben:

(4) p ⊩^{∗} ẋ_{1} = ẋ_{2}. Beweis. Wenn dies nicht gilt, gilt (¬α) oder (¬β) wegen p ∈ D. Aus Symmetriegründen können wir o.E. annehmen, daß (¬α) für p erfüllt ist. Wähle (ẏ_{1}, s_{1}) ∈ ẋ_{1} mit s_{1} ∈ P wie in (¬α). Setzt man in (¬α) q :≡ p, so folgt p ≤ s_{1}, so daß (4.1) s_{1} ∈ G wegen p ∈ G folgt. Nach Definition von ẋ_{1}^{G} ist dann ẏ_{1}^{G} ∈ ẋ_{1}^{G}, also ẏ_{1}^{G} ∈ ẋ_{2}^{G} = {ẏ_{2}^{G} | ∃s_{2} ∈ G (ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2}} wegen ẋ_{1}^{G} = ẋ_{2}^{G}. Wähle ein (ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2} mit (4.2) s_{2} ∈ G und ẏ_{1}^{G} = ẏ_{2}^{G}. Dann gilt (s_{2}, ẏ_{1}, ẏ_{2})R(s, ẋ_{1}, ẋ_{2}), so daß ẏ_{1}^{G} = ẏ_{2}^{G} nach Induktionsvoraussetzung die Existenz eines (4.3) q′ ∈ G impliziert, so daß

(4.4) q′ ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2}

gilt. Wähle q ∈ G mit q ≤ p, s_{1}, s_{2}, q′. (Beachte: nach (4.1) – (4.4) gilt s_{1}, s_{2}, q′ ∈ G; nach Wahl von p ist p ∈ G.) Wegen q ≤ q′ und (4.4) folgt q ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2}, so daß für q gilt

q ≤ p ∧ q ≤ s_{1} ∧ (ẏ_{2}, s_{2}) ∈ ẋ_{2} ∧ s_{2} ∈ P ∧ q ⊩^{∗} ẏ_{1} = ẏ_{2} ∧ q ≤ s_{2}.

Dies widerspricht (¬α). Also muß (4) doch richtig sein. qed(4)

Damit ist der Satz bewiesen. QED

28.22 Satz Sei M ein Grundmodell, (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M und G ein P -generischer Filter über M. Sei φ(v_{0}, …, v_{n−1}) eine ∈-Formel und seien ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1} ∈ M. Dann gilt:

(a) Ist p ∈ G mit (p ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}, so gilt (φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}.

(b) Gilt (φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}, so existiert ein p ∈ G mit (p ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}.

Beweis. Wir führen eine Induktion über den Formelaufbau durch. Fall 1. φ ≡ v_{0} = v_{1}. zu (a). Sei p ∈ G mit (p ⊩^{∗} ẋ_{0} = ẋ_{1})^{M}. Da p ⊩^{∗} v_{0} = v_{1} eine M-V -absolute Formel ist, kann man hier die Relativierung auf M ignorieren und erhält dann nach Teil (a) des letzten Satzes ẋ_{0}^{G} = ẋ_{1}^{G}. Nach 27.24 ist dies gleichwertig mit (ẋ_{0}^{G} = ẋ_{1}^{G})^{M[G]}. zu (b). Dies folgt analog unter Verwendung von Teil (b) des letzten Satzes. Fall 2. φ ≡ v_{0} ∈ v_{1}. zu (a). Sei p ∈ G und (p ⊩^{∗} ẋ_{0} ∈ ẋ_{1})^{M}. Nach 28.14 gilt dann p ⊩^{∗} ẋ_{0} ∈ ẋ_{1} und die in der Definition von p ⊩^{∗} ẋ_{0} ∈ ẋ_{1} vorkommende unter p dichte Menge

D :≡ {q ∈ P | ∃(ẏ, s) ∈ ẋ_{1} (s ∈ P ∧ q ≤ s ∧ q ⊩^{∗} ẏ = ẋ_{0})}

ist ein Element von M. Da G P -generisch über M ist und p ∈ G gilt, existiert nach 28.7 ein q ∈ D ∩ G mit q ≤ p. Wähle (ẏ, s) ∈ ẋ_{1}, so daß

(1) q ≤ s und q ⊩^{∗} ẏ = ẋ_{0}

gilt. Wegen q ∈ G ist dann s ∈ G und somit ẏ^{G} ∈ ẋ_{1}^{G}. Des weiteren impliziert die zweite Aussage von (1) nach Induktionsvoraussetzung, daß ẏ^{G} = ẋ_{0}^{G} ist, so daß wir insgesamt ẋ_{0}^{G} ∈ ẋ_{1}^{G} nachgewiesen haben. Nach 27.24 ist dies mit (ẋ_{0}^{G} ∈ ẋ_{1}^{G})^{M[G]} gleichwertig.

zu(b). Gelte (ẋ_{0}^{G} ∈ ẋ_{1}^{G})^{M[G]}, also ẋ_{0}^{G} ∈ ẋ_{1}^{G}. Nach Definition von ẋ_{1}^{G} existiert ein (ẏ, s) ∈ ẋ_{1} mit s ∈ G, so daß

ẋ_{0}^{G} = ẏ^{G}

gilt. Nach Teil (b) des letzten Satzes existiert ein r ∈ G mit r ⊩^{∗} ẋ_{0} = ẏ. Wähle p ∈ G mit p ≤ r, s. Dann gilt

(2) ∀q ≤ p q ⊩^{∗} ẋ_{0} = ẏ,

denn q ≤ p impliziert q ≤ r, so daß q ⊩^{∗} ẋ_{0} = ẏ nach 28.18 aus r ⊩^{∗} ẋ_{0} = ẏ folgt. Nach 28.17 folgt aus (2), daß {q ∈ P | q ⊩^{∗} ẋ_{0} = ẏ} dicht in P unter p ist. Wegen p ≤ s folgt hieraus

{q ∈ P | q ≤ s ∧ q ⊩^{∗} ẋ_{0} = ẏ} ist dicht in P unter p.

Da Obermengen von unter p dichten Mengen wieder dicht unter p sind, impliziert dies

{q ∈ P | ∃(ẏ, s) ∈ ẋ_{0} (s ∈ P ∧ q ≤ s ∧ q ⊩^{∗} ẋ_{0} = ẏ)} ist dicht in P unter p, was p ⊩^{∗} ẋ_{0} ∈ ẋ_{1} impliziert. Hieraus folgt (p ⊩^{∗} ẋ_{0} ∈ ẋ_{1})^{M} wegen der M-V -Absolutheit der Formel p ⊩^{∗} ẋ_{0} ∈ ẋ_{1}. Damit ist Fall 2 abgeschlossen. Fall 3. φ ≡ (ψ ∧ χ). zu (a). Sei p ∈ G. Dann gilt

(p ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} ⟺ (p ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ∧ p ⊩^{∗} χ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}
⟺ (p ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} ∧ (p ⊩^{∗} χ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}
⟹ (ψ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]} ∧ (χ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]} (Ind.Vor.)
⟺ (ψ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}) ∧ χ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}
⟺ (φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}.

zu (b). Es gilt:

(φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]} ⟺ (ψ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}) ∧ χ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}
⟺ (ψ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]} ∧ (χ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}
⟹ ∃q, r ∈ G ((q ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} ∧ (r ⊩^{∗} χ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}),

nach Induktionsvoraussetzung. Sei p ∈ G mit p ≤ q, r. Dann folgt

(p ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} ∧ (p ⊩^{∗} χ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}.

Dies bedeutet (p ⊩^{∗} (ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ∧ χ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})))^{M} also (p ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}. Dies war zu zeigen. Fall 4. φ ≡ ¬ ψ. zu (a). Sei p ∈ G mit (p ⊩^{∗} ¬ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}, d.h.,

(3) ∀q ≤ p ¬(q ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}.

Angenommen, es gilt (ψ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}. Nach Induktionsvoraussetzung existiert dann ein r ∈ G mit

(4) (r ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}.

Wähle q ∈ G mit q ≤ p, r. Nach (3) gilt dann ¬(q ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}, wohingegen aus (4) und q ≤ r folgt (q ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}, ein Widerspruch.

zu (b). Es gelte (¬ ψ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}. Nach 28.20 ist

D :≡ {p ∈ P | (p ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} ∨ (p ⊩^{∗} ¬ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}}

ein Element von M und dicht in P. Sei p ∈ D ∩ G. Falls (p ⊩^{∗} ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} zutrifft, so gilt nach

Induktionsvoraussetzung (ψ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}, was der Voraussetzung von (b) widerspricht. Also muß (p ⊩^{∗} ¬ψ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} gelten und p ist wie benötigt. Fall 5. φ ≡ ∃vψ(v, w_{0}, …, w_{n−1}). zu (a). Sei p ∈ G mit (p ⊩^{∗} ∃vψ(v, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}. Dies bedeutet

({q ∈ P | ∃x q ⊩^{∗} ψ(x, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ist dicht unter p)^{M},

also

\underbrace{\{q ∈ P | ∃x ∈ M (q ⊩^{∗} ψ(x, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}\}}_{≡: D} ist dicht unter p.

Wegen (Aus)^{M} ist D ∈ M. Da p ∈ G ist, existiert also ein q ≤ p mit q ∈ D ∩ G. Wähle ein ẋ ∈ M mit (q ⊩^{∗} ψ(ẋ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}. Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann (ψ(ẋ^{G}, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]} was

natürlich (∃v ψ(v, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]} impliziert. Dies war zu zeigen.

zu (b). Es gelte (∃v ψ(v, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}. Wähle ẋ ∈ M mit (ψ(ẋ^{G}, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}. Nach Induktionsvoraussetzung existiert dann ein p ∈ G mit (p ⊩^{∗} ψ(ẋ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}. Nach 28.17 bedeutet dies

({q ∈ P | q ⊩^{∗} ψ(ẋ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ist dicht in P unter p)^{M}.

Da Obermengen von unter p dichten Mengen wiederum dicht unter p sind, impliziert dies

({q ∈ P | ∃v q ⊩^{∗} ψ(v, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ist dicht in P unter p)^{M}.

Dies bedeutet gerade (p ⊩^{∗} ∃vψ(v, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}. Damit sind alle Fälle abgehandelt und der Satz ist bewiesen. QED

Wir können nun das von uns angestrebte Resultat beweisen.

28.23 Satz (Forcing-Theorem) Sei M ein Grundmodell und (P ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Ferner seien φ(v_{0}, …, v_{n−1}) eine ∈-Formel und ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1} ∈ M. Dann gilt:

(a) ∀p ∈ P (p ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ⟷ (p ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}).

(b) Ist G ein P -generischer Filter über M, so gilt ((φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]} ⟷ ∃p ∈ G p ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})).

Beweis. zu (a). ”⇒“. Es gelte

(∗) p ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}).

Sei D :≡ {q ∈ P | (q ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}}. Dann gilt

(1) {q ∈ P | (q ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}} ist dicht unter p.

Beweis. Sei r ≤ p. Sei G ein P -generischer Filter über M mit r ∈ G; G existiert nach dem Existenzsatz für generische Filter 25.4. Dann ist auch p ∈ G und (∗) impliziert (φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]} nach der Definition von ⊩. Nach 28.22 existiert dann ein s ∈ G mit

(1.1) (s ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}.

Wähle q ∈ G mit q ≤ r, s. Wegen (1.1) und q ≤ s gilt dann (q ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}. Also ist q ∈ D. Außerdem ist q ≤ p. qed(1)

Nach 28.19 impliziert (1), die Behauptung. ”⇐“. Sei p ∈ P mit (p ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}. Sei G ein beliebiger P -generischer Filter über M. Nach

28.22 gilt dann (φ(ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}, und dies war zu zeigen. zu (b). Dies folgt sofort aus (a) und 28.22. Damit ist das Forcing-Theorem bewiesen. QED

28.24 Bemerkung Das Forcing-Theorem hat zwei Aspekte:

(1) Es kann in M entschieden werden, ob eine Eigenschaft erzwungen wird oder nicht.

(2) Jede Eigenschaft einer generischen Erweiterung von M wird durch eine Bedingung aus dem zu dieser Erweiterung gehörenden generischen Filter erzwungen.

28.4 Eigenschaften der Forcing-Relation ⊩.

28.25 Satz Sei M ein Grundmodell und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Ferner sei φ eine ∈-Formel und ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1} ∈ M. Dann gilt:

(a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(i) p ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}); (ii) ∀r ≤ p r ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}); (iii) {r ∈ P | r ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ist dicht in P unter p.

(b) {p ∈ P | p ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ∨ p ⊩ ¬φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ist dicht in P und Element von M.

(c) p ⊩ ¬φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ⟷ ¬ ∃q ≤ p q ⊩ φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}).

(d) p ⊩ ∃v φ(v, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ⟷ {q ∈ P | ∃ẏ ∈ M q ⊩ φ(ẏ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ist dicht in P unter p.

(e) p ⊩ ∃v (v ∈ ẋ ∧ φ(v, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})) ⟶ ∃q ≤ p ∃ẏ ∈ dom(ẋ) q ⊩ (ẏ ∈ ẋ ∧ φ(ẏ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})).

Beweis. zu (a). Dies folgt aus 28.19 indem man dort gemäß des Forcing-Theorems die Formeln der Art (s ⊩^{∗} ψ)^{M} durch s ⊩ ψ ersetzt.

zu (b). Die in (b) vorkommende Menge ist gerade die Menge D_{φ(ẋ_{0},...,ẋ_{n−1})} aus 28.20.

zu (c). Nach Definition gilt p ⊩^{∗} ¬φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ⟷ ¬ ∃q ∈ P ((q, p) ∈ ≤ ∧ q ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})). Also gilt diese Äquivalenz, wenn man sie auf M relativiert. Nach Definition der Relativierung und dem Relativierungslemma ist die entstehende Formel äquivalent zu

(p ⊩^{∗} ¬φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} ⟷ ¬ ∃q ∈ P ((q, p)^{M} ∈ ≤ ∧ (q ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}).

Wegen (q, p)^{M} = (q, p) ist dies gleichwertig mit

(p ⊩^{∗} ¬φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} ⟷ ¬ ∃q ≤ p (q ⊩^{∗} φ(ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}.

Das Forcing-Theorem impliziert, daß dies gerade die in (c) behauptete Äquivalenz ist.

zu (d). Es gilt

p ⊩ ∃v φ(v, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) ⟺ (p ⊩^{∗} ∃v φ(v, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M} (Forcing-Theorem)
⟺ ({q ∈ P | ∃ẏ q ⊩^{∗} φ(ẏ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ist dicht in P unter p)^{M}

(Definition von ⊩^{∗} )

⟺ {q ∈ P | (∃ẏ q ⊩^{∗} φ(ẏ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}} ist dicht in P unter p

(nach 28.6)

⟺ {q ∈ P | ∃ẏ ∈ M (q ⊩^{∗} φ(ẏ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}} ist dicht in P unter p
⟺ {q ∈ P | ∃ẏ ∈ M q ⊩ φ(ẏ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ist dicht in P unter p

(Forcing-Theorem).

zu (e). Wähle einen P -generischen Filter G über M mit p ∈ G. Wegen p ⊩ ∃v (v ∈ ẋ ∧φ(v, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})) gilt dann (∃v (v ∈ ẋ^{G} ∧ φ(v, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G})))^{M[G]}. Wähle ż ∈ M mit

(1) (ż^{G} ∈ ẋ^{G} ∧ φ(ż^{G}, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}.

Dann gilt insbesondere (ż^{G} ∈ ẋ^{G})^{M[G]}, also ż^{G} ∈ ẋ^{G}. Nach Definition von ẋ^{G} existiert nun ein (ẏ, s) ∈ ẋ

mit s ∈ G, so daß ż^{G} = ẏ^{G} ist. Dann gilt also ẏ^{G} ∈ ẋ^{G} ∧ ẏ^{G} = ż^{G}, d.h., (ẏ^{G} ∈ ẋ^{G} ∧ ẏ^{G} = ż^{G})^{M[G]}. (1) impliziert somit

(ẏ^{G} ∈ ẋ^{G} ∧ φ(ẏ^{G}, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}.

Nach dem Forcing-Theorem existiert dann ein q′ ∈ G mit q′ ⊩ (ẏ ∈ ẋ ∧ φ(ẏ^{G}, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G})). Sei q ∈ G eine gemeinsame Verstärkung von p, q′. Dann gilt nach 28.3

q ⊩ (ẏ ∈ ẋ ∧ φ(ẏ^{G}, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G})).

Wegen q ≤ p und ẏ ∈ dom(ẋ) ist also q wie benötigt. QED

Das folgende ”Maximalitätsprinzip“ besagt, daß jede Bedingung, die eine Existenzaussage erzwingt, auch eine Instanz dieser Aussage erzwingt.

28.26 Satz (Maximalitätsprinzip) Sei M ein Grundmodell, (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, φ(v, v_{0}, …, v_{n−1}) eine ∈-Formel, p ∈ P und seien ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1} ∈ M. Gilt p ⊩ ∃y φ(y, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}), so existiert ein ẋ ∈ M mit p ⊩ φ(ẋ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}).

Beweis. Wir benötigen

(1) Sei A ∈ M mit (A ist Antikette in P )^{M} und es sei (ẏ_{q} | q ∈ A) ∈ M. Dann existiert ein ẋ ∈ M mit q ⊩ ẋ = ẏ_{q} für alle q ∈ A.

Beweis. Setze

ẋ :≡ ⋃{{(ẏ, r) | ẏ ∈ dom(ẏ_{q}) ∧ r ≤ q ∧ r ⊩ ẏ ∈ ẏ_{q}} | q ∈ A}.

Da in {(ẏ, r) | ẏ ∈ dom(ẏ_{q}) ∧ r ≤ q ∧ r ⊩ ẏ ∈ ẏ_{q}} die definierende Formel (nach Übergang von ⊩ zu (⊩^{∗})^{M}) ohne Veränderung der Aussage auf M relativiert werden kann und die beteiligten Parameter Elemente von M sind, liegt diese Menge nach (Aus)^{M} in M. Nach (Ers)^{M} gilt dann

{{(ẏ, r) | ẏ ∈ dom(ẏ_{q}) ∧ r ≤ q ∧ r ⊩ ẏ ∈ ẏ_{q}} | q ∈ A} ∈ M;

beachte, daß A ∈ M ist. (⋃-Ax)^{M} impliziert dann ẋ ∈ M. Wir zeigen, daß ẋ das Gewünschte leistet, d.h., q ⊩ ẋ = ẏ_{q} für alle q ∈ A. Fixiere also q ∈ A. Sei G ein P -generischer Filter über M mit q ∈ G; es ist ẋ^{G} = ẏ_{q}^{G} zu zeigen. ”⊂“. Sei v ∈ ẋ^{G}. Dann ist v = ẏ^{G}, wobei (ẏ, r) ∈ ẋ für ein r ∈ G. Nach Definition von ẋ existiert dann ein q′ ∈ A mit

(1.1) r ≤ q′ ∧ r ⊩ ẏ ∈ ẏ_{q′}.

Wegen r ≤ q′ und r ∈ G ist q′ ∈ G, so daß wir q, q′ ∈ G ∩ A haben. Da je zwei Elemente von G kompatibel aber je zwei verschiedene Elemente der Antikette A inkompatibel sind, muß q = q′ sein. Die zweite Aussage von (1.1) impliziert also r ⊩ ẏ ∈ ẏ_{q}. Dies impliziert v = ẏ^{G} ∈ ẏ_{q}^{G} wegen r ∈ G. Das war zu zeigen. ”⊃“. Sei v ∈ ẏ_{q}^{G}. Dann ist v = ẏ^{G}, wobei (ẏ, s) ∈ ẏ_{q} für ein s ∈ G. Aus ẏ^{G} ∈ ẏ_{q}^{G} folgt nach dem Forcing-Theorem die Existenz eines r′ ∈ G mit r′ ⊩ ẏ ∈ ẏ_{q}. Sei r ∈ G eine gemeinsame Verstärkung von r′ und q. Dann gilt (ẏ, r) ∈ ẋ, beachte 28.3. Wegen r ∈ G folgt ferner v = ẏ^{G} ∈ ẋ^{G}. Damit ist (1) bewiesen. qed(1)

Sei nun D :≡ {q ∈ P | q ≤ p ∧ ∃y ∈ M q ⊩ φ(y, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})}. Wegen D = {q ∈ P | (q ≤ p ∧ ∃y q ⊩^{∗} φ(y, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}))^{M}} und (Aus)^{M} ist D ∈ M.

(2) Es gibt A ∈ M mit (A ⊂ D ∧ A ist Antikette in P ∧ A ist maximal mit diesen Eigenschaften)^{M} und (ẏ_{q} | q ∈ A) ∈ M mit q ⊩ φ(ẏ_{q}, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) für alle q ∈ A.

Beweis. Die zu zeigende Behauptung ist gleichwertig mit

( ∃A ∃(ẏ_{q} | q ∈ A)

((A ⊂ {q ∈ P | q ≤ p ∧ ∃y q ⊩^{∗} φ(y, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ∧ A ist Antikette in P ∧

A ist maximal mit diesen Eigenschaften) ∧

∀q ∈ A q ⊩^{∗} φ(ẏ_{q}, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})))^{M}.

Wir arbeiten in M.^{216} Nach dem Lemma von Zorn existiert eine ⊂ -maximales Element A in

A :≡ {A | A ⊂ {q ∈ P | q ≤ p ∧ ∃y q ⊩^{∗} φ(y, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ∧ A ist Antikette in P };

beachte, daß z.B. {p} ∈ A und die Vereinigung einer jeden ⊂ -Kette von Antiketten wieder eine Antikette ist. Für q ∈ A ist dann {y | q ⊩^{∗} φ(y, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})} ≠ ∅. Mit Scotts Trick^{217} verkleinern wir diese Klasse zu einer nicht-leeren Menge F (q). Nach (AC) existiert (ẏ_{q} | q ∈ A) ∈ ×_{q∈A} F (q). A und diese Folge sind dann wie benötigt. qed(2)

Nach (1) existiert ein ẋ ∈ M mit q ⊩ ẋ = ẏ_{q} für alle q ∈ A. Aus (2) folgt also

(3) ∀q ∈ A q ⊩ φ(ẋ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}).

Wir zeigen, daß ẋ das Gewünschte leistet, daß also

(4) p ⊩ φ(ẋ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1})

gilt. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann existiert ein P -generischer Filter G über M mit p ∈ G und (¬ φ(ẋ^{G}, ẋ_{0}^{G}, …, ẋ_{n−1}^{G}))^{M[G]}. Nach dem Forcing-Theorem existiert ein r ∈ G mit r ⊩ ¬ φ(ẋ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}). Indem wir ggf. von r zu einer gemeinsamen Verstärkung von r und p in G übergehen, können wir r ≤ p erreichen. Aus p ⊩ ∃y φ(y, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) folgt nach 28.25, daß D dicht in P unter p ist. Also existiert ein q ∈ D mit q ≤ r. Da (in M) A ⊂ D eine maximale Antikette ist, existiert ein q′ ∈ A mit q ∥ q′. Sei s ≤ q, q′. Dann ist einerseits s ≤ r, so daß s ⊩ ¬ φ(ẋ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}) gilt. Aus s ≤ q′ und (3) (beachte, daß q′ ∈ A gilt) folgt andererseits s ⊩ φ(ẋ, ẋ_{0}, …, ẋ_{n−1}). Beides kann nicht gelten. Also ist unsere Annahme, daß (4) nicht gilt, falsch, was das Maximalitätsprinzip beweist. QED

29 ZFC in M[G].

Fixiere ein Grundmodell M, eine Forcing-Halbordnung für M(P, ≤, 1_{P}) und einen P -generischen Filter G über M. Wir verifizieren, daß M[G] das kleinste transitive ZFC-Obermodell von M ist, das G als Element enthält, insbesondere also ZFC^{M[G]} gilt. Nach 27.22 gilt:

29.1 Lemma Es gilt (Ex)^{M[G]}, (Ext)^{M[G]}, (Paar)^{M[G]}, (Inf)^{M[G]} und (Fund)^{M[G]}.

Wir beweisen nun zunächst (Aus)^{M[G]}, da wir dann beim Nachweis der anderen Axiome ggf. nur M[G]- Obermengen der dort als Elemente von M[G] zu identifizierenden Klassen angeben müssen.

29.2 Lemma Es gilt (Aus)^{M[G]}.

Beweis. Sei φ(v, w⃗) eine ∈-Formel und seien y, z⃗ ∈ M[G]. Nach 22.8 haben wir zu zeigen:

(1) {v ∈ y | φ(v, z⃗)^{M[G]}} ∈ M[G].

216vgl. 22.7.

217siehe z.B. die Fußnote auf Seite 71.

KAPITEL 29 ZFC IN M[G]. 265

Beweis. Wähle Namen ẏ, ż ∈ M mit y = ẏ^{G} und z⃗ = ż^{G} und setze

t :≡ {(ẋ, p) | ẋ ∈ dom(ẏ) ∧ p ∈ P ∧ p ⊩ (ẋ ∈ ẏ ∧ φ(ẋ, ż))}.

Es gilt t ∈ M, denn

t = {z ∈ dom(ẏ) × P | ∃ẋ ∃p (z = (ẋ, p) ∧ p ⊩ (ẋ ∈ ẏ ∧ φ(ẋ, ż)))}
= {z ∈ dom(ẏ) × P | ∃ẋ ∈ M ∃p ∈ M (z = (ẋ, p) ∧ p ⊩ (ẋ ∈ ẏ ∧ φ(ẋ, ż)))}

(wegen dom(ẋ), P ⊂ M)

= {z ∈ dom(ẏ) × P | ∃ẋ ∈ M ∃p ∈ M ((z = (ẋ, p))^{M} ∧ (p ⊩^{∗} (ẋ ∈ ẏ ∧ φ(ẋ, ż)))^{M})}

(Absolutheit der Formel u = (v, w), siehe 22.20, und Forcing-Theorem 28.23)

= {z ∈ dom(ẏ) × P | (∃ẋ ∃p (z = (ẋ, p) ∧ p ⊩^{∗} (ẋ ∈ ẏ ∧ φ(ẋ, ż))))^{M}} ∈ M (wegen (Aus)^{M});

beachten Sie, daß hierbei aber auch die Gültigkeit weiterer Axiome in M gebraucht wird, da wir auch dom(ẏ) × P ∈ M benötigen; dies ergibt sich aus (dom(ẋ) × P )^{M} = dom(ẋ) × P,^{218} da wegen ZFC ⊢ ∀u, v ∃w w = dom(u) × v und ZFC^{M} gilt ∀u, v ∈ M ∃w ∈ M w = (dom(u) × v)^{M}. (1) folgt nun sofort aus

(1.1) t^{G} = {v ∈ ẏ^{G} | φ(v, ż^{G})^{M[G]}}.

Beweis. zu ”⊂“. Sei v ∈ t^{G}. Nach Definition von M[G] gilt dann v = ẋ^{G}, wobei (ẋ, p) ∈ t für ein p ∈ G. Aus (ẋ, p) ∈ t folgt p ⊩ (ẋ ∈ ẏ ∧ φ(ẋ, ż)), was wegen p ∈ G nach dem Forcing-Theorem auf (ẋ^{G} ∈ ẏ^{G} ∧ φ(ẋ^{G}, ż^{G}))^{M[G]}, also ẋ^{G} ∈ ẏ^{G} ∧ φ(ẋ^{G}, ż^{G})^{M[G]} führt. Wegen v = ẋ^{G} bedeutet dies gerade, daß v Element der Menge auf der rechten Seite von (1.1) ist. zu ”⊃“. Es gelte v ∈ ẏ^{G} ∧ φ(v, ż^{G})^{M[G]}. Wegen v ∈ ẏ^{G} existiert nach Definition von ẏ^{G} ein (ẋ, q) ∈ ẏ mit q ∈ G, so daß v = ẋ^{G} ist. Nach 28.3 gilt

(∗) q ⊩ ẋ ∈ ẏ.

Wegen φ(ẋ^{G} ż^{G})^{M[G]} existiert nach dem Forcing-Theorem ein r ∈ G mit

(∗∗) r ⊩ φ(ẋ, ż).

Sei p ∈ G eine gemeinsame Verstärkung von q, r. Dann gelten (∗) und (∗∗), wenn man q bzw. r durch p ersetzt, so daß (ẋ, p) ∈ t ist. Wegen p ∈ G ist dann v = ẋ^{G} ∈ t^{G}. qed(1.1)

Damit ist (1) bewiesen. qed(1)

Aus (1) ergibt sich (Aus)^{M[G]}. QED

29.3 Lemma Es gilt (⋃-Ax)^{M[G]}.

Beweis. Sei a ∈ M[G]; wir haben ⋃ a ∈ M[G] zu verifizieren. Sei a = ȧ^{G} mit ȧ ∈ M. Aus dom(ȧ) ∈ M (vgl. 22.26) und (⋃-Ax)^{M} folgt, daß t :≡ ⋃ dom(ȧ) ∈ M ist. Wir zeigen:

(1) ⋃ a ⊂ t^{G}.

Beweis. Sei c ∈ ⋃ a. Dann existiert ein b ∈ a mit c ∈ b. Aus b ∈ ȧ^{G} folgt die Existenz eines ḃ ∈ M und eines p ∈ G mit (ḃ, p) ∈ ȧ und b = ḃ^{G}. Analog folgt wegen c ∈ ḃ^{G} die Existenz eines ċ ∈ M und eines q ∈ G mit (ċ, q) ∈ ḃ und c = ċ^{G}. Also gilt (ċ, q) ∈ ḃ ∈ dom(ȧ), d.h., (ċ, q) ∈ ⋃ dom(ȧ) = t. Wegen q ∈ G folgt hieraus ċ^{G} ∈ t^{G}, also c ∈ t^{G}. Dies war zu zeigen. qed(1)

218siehe hierzu 22.24.

Aus (1) folgt nun, da z ∈ ⋃ a eine Σ_{0}-Formel ist, ⋃ a = {z ∈ t^{G} | z ∈ ⋃ a} = {z ∈ t^{G} | (z ∈ ⋃ a)^{M[G]}}. Wegen (Aus)^{M[G]} ist die rechts stehende Klasse ein Element von M[G]. Also ist ⋃ a ∈ M[G]; dies war zu zeigen. QED Aus 29.1 und 29.3 folgt

29.4 Corollar Es gilt EML^{M[G]}.

29.5 Lemma Es gilt (Pot)^{M[G]}. Beweis. Sei a ∈ M[G], etwa a = ȧ^{G} mit ȧ ∈ M. Nach 22.8 ist Pot(a) ∩ M[G] ∈ M[G] zu zeigen. Setze

s :≡ {ẏ ∈ M | ẏ ⊂ dom(ȧ) × P }. Wegen (Pot)^{M} und dom(ȧ) × P ∈ M ist s ∈ M. s ist die Menge von kanonischen Namen für Teilmengen von a. Wir setzen t :≡ {(ẏ, 1_{P}) | ẏ ∈ s}. Wegen s ∈ M und (Ers)^{M} ist t ∈ M: t = {z ∈ M | ∃ẏ ∈ s (z = (ẏ, 1_{P}))^{M}}.

(1) Pot(a) ∩ M[G] ⊂ t^{G}. Beweis. Sei z ⊂ a, z ∈ M[G]. Sei ż ∈ M mit ż^{G} = z. Wir definieren einen ”kanonischen Namen“ für z durch ẏ :≡ {(ẋ, p) ∈ dom(ȧ) × P | p ⊩ (ẋ ∈ ż)}. Wegen dom(ȧ) × P ∈ M und (Aus)^{M} ist ẏ ∈ M; beachte, daß p ⊩ ẋ ∈ ż nach dem Forcing-Theorem durch (p ⊩^{∗} ẋ ∈ ż)^{M} ersetzt werden kann. Folglich ist ẏ ∈ s und somit (ẏ, 1_{P}) ∈ t, was (1.1) ẏ^{G} ∈ t^{G} impliziert. Es verbleibt zu zeigen, daß ẏ tatsächlich ein Name für z ist, daß also gilt (1.2) ż^{G} = ẏ^{G}. Beweis von (1.2). zu ”⊂“. Sei x ∈ ż^{G}. Wegen ż^{G} ⊂ a = ȧ^{G} ist dann auch x ∈ ȧ^{G}, so daß nach Definition von ȧ^{G} ein Paar (ẋ, q) ∈ dom(ȧ) × P mit q ∈ G existiert, so daß x = ẋ^{G} gilt. Wir haben dann ẋ^{G} ∈ ż^{G}, was auf (ẋ^{G} ∈ ż^{G})^{M[G]} führt. Nach dem Forcing-Theorem existiert ein p ∈ G mit p ⊩ (ẋ ∈ ż). Dann ist (ẋ, p) ∈ ẏ. Wegen p ∈ G folgt hieraus ẋ^{G} ∈ ẏ^{G}, was x ∈ ẏ^{G} bedeutet. Dies war zu zeigen. zu ”⊃“. Sei x ∈ ẏ^{G}. Dann existiert nach Definition von ẏ^{G} und ẏ ein Paar (ẋ, p) ∈ dom(ȧ) × P mit p ⊩ (ẋ ∈ ż) und p ∈ G, so daß x = ẋ^{G} ist. Aus p ⊩ (ẋ ∈ ż) folgt (ẋ^{G} ∈ ż^{G})^{M[G]} nach dem Forcing-Theorem. Letzteres ist mit ẋ^{G} ∈ ż^{G}, also x ∈ ż^{G} gleichwertig. Dies war zu zeigen. qed(1.2) Aus (1.1) und (1.2) folgt sofort z ∈ t^{G}; dies war zu zeigen. qed(1) Da z ⊂ a eine Σ_{0}-Formel ist, folgt aus (1): Pot(a) ∩ M[G] = {z ∈ t^{G} | z ⊂ a} = {z ∈ t^{G} | (z ⊂ a)^{M[G]}}. Wegen (Aus)^{M[G]} ist die rechts stehende Klasse ein Element von M[G]. Dies war zu zeigen. QED Um (Ers)^{M[G]} beweisen zu können, benötigen wir das folgende Lemma.

29.6 Lemma Sei φ(u, v, w⃗) eine ∈-Formel. Seien ȧ, ż ∈ M. Dann existiert ein S ∈ M, so daß

∀ẋ ∈ dom(ȧ) ∀p ∈ P ((∃ẏ ∈ M p ⊩ φ(ẋ, ẏ, ż)) ⟶ ∃ẏ ∈ S p ⊩ φ(ẋ, ẏ, ż)) gilt.

Beweis. Es ist

∀ȧ ∈ M ∀ż ∈ M ∃S ∈ M ∀ẋ ∈ dom(ȧ) ∀p ∈ P ((∃ẏ ∈ M p ⊩ φ(ẋ, ẏ, ż)) ⟶ ∃ẏ ∈ S p ⊩ φ(ẋ, ẏ, ż))

zu zeigen. Mit Hilfe der üblichen Absolutheitsargumente und des Forcing-Theorems folgt, daß dies äquivalent ist zu

( \underbrace{∀a ∀z⃗ ∃S ∀x ∈ dom(a) ∀p ∈ P ((∃y p ⊩^{∗} φ(x, y, z⃗)) ⟶ ∃y ∈ S p ⊩^{∗} φ(x, y, z⃗))}_{≡: χ(P,≤,1_{P})} )^{M}.

Wir arbeiten in M und beweisen χ. Seien hierzu a, z⃗ beliebig vorgegeben. Wir definieren f: dom(a)×P → On durch

f(x, p) :≡ \{ \begin{matrix}min\{α ∈ On | ∃y ∈ V_{α} p ⊩^{∗} φ(x, y, z⃗)\}, & falls ∃y p ⊩^{∗} φ(x, y, z⃗); \\ 0, & sonst. \end{matrix}

Wegen (Ers) ist ran(f) ∈ V.^{219} Setze S :≡ ⋃{V_{α} | α ∈ ran(f)}. Dann ist S ∈ V und S ist wie für χ benötigt. QED

Wir kehren zum Nachweis der ZFC-Axiome für M[G] zurück.

29.7 Lemma Es gilt (Ers)^{M[G]}.

Beweis. Sei φ(u, v, w⃗) eine ∈-Formel. Seien a, z⃗ ∈ M[G], so daß

(∗) ∀x, y, y′ ∈ M[G] ((φ(x, y, z⃗)^{M[G]} ∧ φ(x, y′, z⃗)^{M[G]}) ⟶ y = y′)

gilt. Es ist zu zeigen, daß s :≡ {y ∈ M[G] | ∃x ∈ a φ(x, y, z⃗)^{M[G]}} ∈ M[G] ist. Wegen (Aus)^{M[G]} genügt es, ein t ∈ M zu finden, so daß s ⊂ t^{G} gilt. Sei a = ȧ^{G}, z⃗ = ż^{G}. Wähle gemäß 29.6 ein S ∈ M, so daß für alle ẋ ∈ dom(ȧ) gilt

(1) ∀p ∈ P ((∃ẏ ∈ M p ⊩ φ(ẋ, ẏ, ż)) ⟶ ∃ẏ ∈ S p ⊩ φ(ẋ, ẏ, ż)).

Sei nun t :≡ {(r, 1) | r ∈ S}. Mit den üblichen Argumenten folgt t ∈ M. Wir zeigen s ⊂ t^{G}. Hierzu sei y ∈ s. Dann existiert ein x ∈ a mit

(2) φ(x, y, z⃗)^{M[G]}.

Wegen x ∈ a = ȧ^{G} existiert ein Paar (ẋ, q) ∈ ȧ mit q ∈ G, so daß x = ẋ^{G} ist. Sei ẏ ∈ M mit y = ẏ^{G}. (2) bedeutet dann

(3) φ(ẋ^{G}, ẏ^{G}, ż^{G})^{M[G]}.

Nach dem Forcing-Theorem existiert ein p ∈ G mit p ⊩ φ(ẋ, ẏ, ż). Nach (1) existiert ein ẏ′ ∈ S mit p ⊩ φ(ẋ, ẏ′, ż). Wegen p ∈ G impliziert das Forcing-Theorem

φ(ẋ^{G}, ẏ^{G}, ż^{G})^{M[G]} ∧ φ(ẋ^{G}, ẏ′^{G}, ż^{G})^{M[G]},

was nach (∗) ẏ^{G} = ẏ′^{G} impliziert. Da aus ẏ′ ∈ S folgt ẏ′^{G} ∈ t^{G}, haben wir y = ẏ^{G} = ẏ′^{G} ∈ t^{G} nachgewiesen. Dies war zu zeigen. QED

29.8 Corollar Es gilt ZF^{M[G]}.

Um die Gültigkeit des Auswahlaxioms und die ⊂ -Minimalität von M[G] zeigen zu können, beweisen wir:

219Beachten Sie, daß im Moment M unser mathematisches Universum V ist.

29.9 Satz Sei N ein transitives ZF -Obermodell von M, das G als Element enthält; d.h., N ist ein transitiver Term mit ZF^{N}, M ⊂ N und G ∈ N. Dann gilt

(a) (ẋ^{G})^{N} = ẋ^{G} ∈ N für alle ẋ ∈ M.

(b) Definiert man int_{G}: M → V durch int_{G}(ẏ) :≡ ẏ^{G}, so ist int_{G} ↾ x ∈ N für alle x ∈ M.

Beweis. zu (a). Wir zeigen dies durch eine Induktion über die Relation R aus 27.8. Sei ẋ ∈ M und für alle ẏRẋ sei (ẏ^{G})^{N} = ẏ^{G} ∈ N gezeigt. Dann gilt

ẋ^{G} = {z | ∃p ∈ G ∃ẏ ((ẏ, p) ∈ ẋ ∧ z = ẏ^{G})}
= ⋃{{z | ∃p ∈ G ∃ẏ ((ẏ, p) = w ∧ z = ẏ^{G})} | w ∈ ẋ}
= ⋃{{z ∈ N | ∃p ∈ G ∃ẏ ∈ N ((ẏ, p) = w ∧ z = (ẏ^{G})^{N})} | w ∈ ẋ} (nach Ind.Vor.)
= ⋃\{\underbrace{\{z ∈ N | ∃p ∈ G (∃ẏ ((ẏ, p) = w ∧ z = ẏ^{G}))^{N}\}}_{∈N wegen (Ers)^{N} und G∈N} | w ∈ ẋ\}

= ⋃{v ∈ N | ∃w ∈ ẋ v = {z ∈ N | ∃p ∈ G (∃ẏ ((ẏ, p) = w ∧ z = ẏ^{G}))^{N}}}
= ⋃ \underbrace{\{v ∈ N | ∃w ∈ ẋ (v = \{z | ∃p ∈ G ∃ẏ ((ẏ, p) = w ∧ z = ẏ^{G})\})^{N}\}}_{∈Nwegen (Ers)^{N}}

∈ N, wegen (⋃-Ax)^{N}.

(ẋ^{G})^{N} = ẋ^{G} beweist man nun genau wie (ẋ^{G})^{M[G]} = ẋ^{G} im Beweis von 27.23. zu (b). Sei x ∈ M.

int_{G} ↾ x = {u ∈ N | ∃ẏ ∈ x ∃z ∈ N (z = ẏ^{G} ∧ u = (y, z))} (wegen ẏ^{G} ∈ N und (Paar)^{N})
= {u ∈ N | ∃ẏ ∈ x (∃z (z = ẏ^{G} ∧ u = (y, z)))^{N}} (wegen (a))
∈ N, wegen (Ers)^{N}.

Damit ist der Satz vollständig bewiesen. QED

Als unmittelbare Folgerung erhalten wir:

29.10 Corollar M[G] ist das ⊂ -kleinste transitive Modell N von ZF mit M ⊂ N und G ∈ N.

Beweis. Nach Teil (a) des Satzes ist für jedes solche N ẋ^{G} ∈ N für alle ẋ ∈ M, also M[G] ⊂ N. Wegen ZF^{M[G]} ist also M[G] das ⊂ -kleinste transitive ZF -Modell, das M erweitert und G als Element enthält.

QED

Mit Hilfe von 29.9 zeigen wir außerdem, daß das Auswahlaxiom in M[G] gilt.

29.11 Lemma Es gilt (AC)^{M[G]}.

Beweis. Da bereits ZF^{M[G]} nachgewiesen ist, genügt es, eine unter ZF zu (AC) äquivalente Aussage zu beweisen. Hierzu zeigen wir zunächst

(1) ZF ⊢ (AC) ⟷ ∀x ∃x′ ∃β ∈ On ∃f (x′ ⊃ x ∧ f: β ⟶^{surj.} x′).

Beweis. Nach 8.1 gilt:

(∗) ZF ⊢ (AC) ⟷ ∀x ∃β ∈ On ∃f f: β ⟶^{bij.} x.

Hieraus folgt sofort ”⇒“.

zu ”⇐“. Sei x′ ⊃ x und f: β ⟶^{surj.} x′. Setze u :≡ {min f^{−1}[{y}] | y ∈ x}. Dann ist u ⊂ β und g :≡ f ↾ u

ist eine Bijektion g: u ⟶^{bij.} x. Sei γ der Mostowski-Kollaps von (u, <) und π: γ ⟶^{bij.} u die Inverse des Mostowski-Isomorphismus’ von (u, <). Dann ist g ∘ π: γ ⟶^{bij.} x. Also ist die rechte Seite von (∗) erfüllt.

qed(1)

(AC)^{M[G]} ist also gezeigt, wenn wir verifizieren:

(2) (∀x ∃x′ ∃β ∈ On ∃f (x′ ⊃ x ∧ f: β ⟶^{surj.} x′))^{M[G]}.

Beweis. Die zu zeigende Behauptung ist wegen On^{M[G]} = On^{M} = On ∩M (siehe 27.17) und der M[G]- V -Absolutheit von x ⊂ x′ und f: β ⟶^{surj.} x′ (siehe 22.20) gleichwertig mit

∀x ∈ M[G] ∃x′ ∈ M[G] ∃β ∈ On ∩M ∃f ∈ M[G] (x′ ⊃ x ∧ f: β ⟶^{surj.} x′).

Sei also x ∈ M[G]. Sei ẋ ∈ M mit x = ẋ^{G}. Da ZFC^{M} gilt, folgt aus (∗): (∃g ∃β ∈ On g: β ⟶^{bij.} dom(ẋ))^{M}.

Wegen (g: β ⟶^{bij.} dom(ẋ))^{M} ⟺ g: β ⟶^{bij.} dom(ẋ) bedeutet dies ∃g ∈ M ∃β ∈ On ∩M g: β ⟶^{bij.} dom(ẋ).

Sei also β ∈ On ∩M und g ∈ M mit g: β ⟶^{bij.} dom(ẋ). Nach 29.9 ist h :≡ int_{G} ↾ dom(ẋ) ∈ M[G]. Also ist x′ :≡ ran(h) ∈ M[G]; nach Definition von ẋ^{G} ist ẋ^{G} ⊂ x′. Sei f :≡ h ∘ g. Es ist ran(f) = ran(h) = x′. Es verbleibt also, f ∈ M[G] zu zeigen. Hierzu:

h ∘ g = {z ∈ dom(g) × ran(h) | ∃u, v, w ((u, v) ∈ g ∧ (v, w) ∈ h ∧ z = (u, w))}
= {z ∈ dom(g) × ran(h) | ∃u, v, w ∈ M[G] ((u, v) ∈ g ∧ (v, w) ∈ h ∧ z = (u, w))}
(wegen g, h ∈ M[G])
= {z ∈ dom(g) × ran(h) | (∃u, v, w ((u, v) ∈ g ∧ (v, w) ∈ h ∧ z = (u, w)))^{M[G]}} ∈ M[G]
(wegen (Aus)^{M[G]}).

x′, β und f sind also wie benötigt. qed(2)

Damit ist das Lemma bewiesen. QED

Aus 29.10 und 29.11 folgt sofort:

29.12 Satz M[G] ist ein Grundmodell. Es ist das ⊂ -kleinste transitive ZFC -Obermodell von M, das G als Element enthält.

30 Kardinalzahlen in Forcingerweiterungen.

Bei der Durchführung von Forcingkonstruktionen ist es von fundamentaler Bedeutung, Kardinalitäten und Konfinalitäten auf kontrollierte Art und Weise zu behandeln. Deshalb beschäftigen wir uns in diesem Kapitel mit dem Verhältnis von Kardinalitäten bzw. Konfinalitäten relativ zu M und M[G].

30.1 Bewahrung von Konfinalitäten und Kardinalitäten.

30.1 Definition Sei M ein Grundmodell, (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M und κ ∈ Card^{M} (also (κ ∈ Card)^{M}).

(a) P bewahrt Kardinalitäten ≥ κ :≡ für jeden P -generischen Filter G über M und alle δ ∈ On ∩M mit δ ≥ κ gilt δ ∈ Card^{M} ⟷ δ ∈ Card^{M[G]}.

(b) P bewahrt Kardinalitäten :≡ P bewahrt Kardinalitäten ≥ ℵ_{1}^{M}.

(c) P bewahrt Konfinalitäten ≥ κ :≡ für jeden P -generischen Filter G über M und alle δ ∈ On ∩M mit Lim(δ) gilt cf(δ)^{M} ≥ κ ⟶ cf(δ)^{M} = cf(δ)^{M[G]}.

(d) P bewahrt Konfinalitäten :≡ P bewahrt Konfinalitäten ≥ ℵ_{1}^{M}.

(e) P bewahrt Kardinalitäten ≤ κ :≡ für jeden P -generischen Filter G über M und alle δ ∈ On ∩M mit δ ≤ κ gilt δ ∈ Card^{M} ⟷ δ ∈ Card^{M[G]}.

(f) P bewahrt Konfinalitäten ≤ κ :≡ für jeden P -generischen Filter G über M und alle δ ∈ On ∩M mit Lim(δ) gilt cf(δ)^{M} ≤ κ ⟶ cf(δ)^{M} = cf(δ)^{M[G]}.

30.2 Bemerkung Wir haben in 22.38 gesehen, daß Kardinalzahlen abwärts absolut sind: ist G ein P - generischer Filter über M, so gilt Card^{M[G]} ⊂ Card^{M}. Daß P Kardinalzahlen ≥ κ bzw. ≤ κ bewahrt, bedeutet also, daß die Kardinalzahlen von M, die ≥ κ bzw. ≤ κ sind, zwischen M und M[G] aufwärts absolut sind: aus δ ∈ Card^{M} folgt δ ∈ Card^{M[G]}, falls δ ≥ κ bzw. δ ≤ κ.

30.3 Lemma Sei M ein Grundmodell und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) P bewahrt Kardinalitäten.

(ii) Für jeden P -generischen Filter G über M gilt Card^{M} = Card^{M[G]}. (iii) Für jeden P -generischen Filter G über M ist die ∈-Formel x ∈ Card M-M[G]-absolut.

Beweis. ”(i)⇒(ii)“. Da Kardinalzahlen abwärts absolut sind, siehe 22.38, gilt Card^{M[G]} ⊂ Card^{M}. Sei nun δ ∈ Card^{M} = {ℵ_{α}^{M} | α ∈ On ∩M}.^{220} Ist δ = ℵ_{0}^{M}, so ist δ ∈ Card^{M[G]} wegen ℵ_{0}^{M} = ℵ_{0}^{M[G]}, vgl. 22.38; ist δ > ℵ_{0}^{M}, so ist δ ∈ Card^{M[G]}, da P Kardinalitäten ≥ ℵ_{1}^{M} bewahrt. ”(ii)⇒(iii)“. Die Behauptung ist gleichwertig mit ∀x ∈ M ((x ∈ Card)^{M} ⟷ (x ∈ Card)^{M[G]}), also ∀x ∈ M (x ∈ Card^{M} ⟷ x ∈ Card^{M[G]}), und dies ist nach (ii) erfüllt.

”(iii)⇒(i)“. Ist δ ∈ On ∩M, δ ≥ ℵ_{1}^{M}, so gilt nach (iii) (δ ∈ Card)^{M} ⟷ (δ ∈ Card)^{M[G]}, was mit δ ∈ Card^{M} ⟷ δ ∈ Card^{M[G]} gleichwertig ist. QED

Für Konfinalitäten haben wir folgendes Resultat:

30.4 Lemma Sei M ein Grundmodell und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) P bewahrt Konfinalitäten.

(ii) Für jeden P -generischen Filter G über M gilt ∀δ ∈ On ∩M (Lim(δ) ⟶ cf(δ)^{M} = cf(δ)^{M[G]}). (iii) Für jeden P -generischen Filter G über M ist der Term cf(x) M-M[G]-absolut.^{221}

Beweis. ”(i)⇒(ii)“. Sei δ ∈ On ∩M eine Limesordinalzahl. Ist cf(δ)^{M} ≥ ℵ_{1}^{M}, so gilt cf(δ)^{M} = cf(δ)^{M[G]} nach Voraussetzung. Ist cf(δ)^{M} < ℵ_{1}^{M}, so ist cf(δ)^{M} = ℵ_{0}^{M}. Wegen ℵ_{0}^{M[G]} = ω folgt mit 22.40(b) und 22.41(a):

ℵ_{0}^{M} ≤ cf(δ)^{M[G]} ≤ cf(δ)^{M} = ℵ_{0}^{M}.

Also gilt auch cf(δ)^{M[G]} = ℵ_{0}^{M}. ”(ii)⇒(iii)“. Sei x ∈ M. Gilt ¬ Lim(x), so ist cf(x)^{M} = M ∉ M und cf(x)^{M[G]} = M[G] ∉ M[G]. Ist x eine Limesordinalzahl δ, so gilt nach (ii) cf(δ)^{M} = cf(δ)^{M[G]}; wegen ZFC ⊢ ∀α ∈ On (Lim(α) ⟶ cf(α) ∈ V ) gilt ferner cf(δ)^{M} ∈ M, cf(δ)^{M[G]} ∈ M[G]. Mit 22.28 folgt hieraus die M-M[G]-Absolutheit des Termes cf(x).

220Beachte 22.37.

221Hierbei identifizieren wir cf(x) mit dem Term \{y | Lim(x) ⟶ y ∈ min\{\overline{\overline{z}} | z ⊂ x ∧ z ist unbeschränkt in x\}\}, der für Lim(x) den in 10.17 definierten Wert liefert.

”(iii)⇒(i)“. Sei δ ∈ On ∩M eine Limesordinalzahl. Wie soeben gezeigt, gilt cf(δ)^{M} ∈ M. Aus der M-M[G]-Absolutheit des Termes cf(x) folgt nach 22.28 cf(δ)^{M} = cf(δ)^{M[G]}. QED

Wir setzen die Bewahrung von Kardinalitäten in Relation zur Nachfolgerbildung und zur ℵ -Hierarchie:

30.5 Lemma Sei M ein Grundmodell, κ ∈ Card^{M} und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, so daß P Kardinalitäten ≤ κ bewahrt. Sei G ein P -generischer Filter über M. Dann gilt:

(a) ∀λ < κ ((λ^{+})^{M} = (λ^{+})^{M[G]}).

(b) ∀λ ≤ κ ((λ ist Limeskardinalzahl)^{M} ⟷ (λ ist Limeskardinalzahl)^{M[G]}).

(c) Ist n eine metasprachliche natürliche Zahl mit ℵ_{n}^{M} ≤ κ, so gilt ℵ_{n}^{M} = ℵ_{n}^{M[G]}.

(d) Ist ℵ_{ω}^{M} ≤ κ, so gilt ℵ_{ω}^{M} = ℵ_{ω}^{M[G]}.

Beweis. zu (a). Sei λ < κ. Wegen Card^{M[G]} ⊂ Card^{M} ist (λ^{+})^{M[G]} ∈ Card^{M}. Da (λ^{+})^{M[G]} > λ, siehe 22.37(e), gilt also

(1) λ < (λ^{+})^{M} ≤ (λ^{+})^{M[G]}.

Da aus λ < κ und κ ∈ Card^{M} folgt (λ^{+})^{M} ≤ κ und da P Kardinalitäten ≤ κ bewahrt, ist (λ^{+})^{M} ∈ Card^{M[G]}. Also sind alle in (1) vorkommenden Werte in Card^{M[G]}. Da (λ^{+})^{M[G]} nach 22.37(e) das kleinste Element von Card^{M[G]} ist, das λ übertrifft, muß (λ^{+})^{M} = (λ^{+})^{M[G]} sein.

zu (b). Wegen ZFC ⊢ ∀λ ∈ On (λ ist Limeskardinalzahl ⟷ (λ ∈ Card ∧ ¬ ∃μ < λ (ω ≤ μ ∧ μ^{+} = λ)) folgt

(λ ist Limeskardinalzahl)^{M} ⟺ λ ∈ Card^{M} ∧ ¬ ∃μ < λ (ω ≤ μ ∧ (μ^{+})^{M} = λ)
⟺ λ ∈ Card^{M} ∧ ¬ ∃μ < λ (ω ≤ μ ∧ (μ^{+})^{M[G]} = λ)

(wegen (a); beachte μ < λ ≤ κ)

⟺ λ ∈ Card^{M[G]} ∧ ¬ ∃μ < λ (ω ≤ μ ∧ (μ^{+})^{M[G]} = λ)

(da P Kardinalitäten ≤ κ bewahrt; beachte λ ≤ κ)

⟺ (λ ist Limeskardinalzahl)^{M[G]}.

zu(c). Wir führen eine (metasprachliche) Induktion nach n durch. n = 0. Nach 22.38 gilt ℵ_{0}^{M} = ℵ_{0}^{M[G]} ist. n = m + 1. Sei ℵ_{n}^{M} ≤ κ. Wegen ZFC ⊢ ℵ_{m} < ℵ_{n} gilt (ℵ_{m} < ℵ_{n})^{M}, also ℵ_{m}^{M} < ℵ_{n}^{M} (≤ κ), so daß nach Induktionsvoraussetzung ℵ_{m}^{M} = ℵ_{m}^{M[G]} gilt. Sei λ :≡ ℵ_{m}^{M} = ℵ_{m}^{M[G]}. Dann folgt (λ^{+})^{M} = ℵ_{m+1}^{M} und (λ^{+})^{M[G]} = ℵ_{m+1}^{M[G]} aus 22.37(f). Nach (a) gilt also ℵ_{m+1}^{M} = ℵ_{m+1}^{M[G]}.

zu (d). Es gilt

ZFC ⊢ ∀ λ ∈ On λ = ℵ_{ω} ⟷
( λ > ℵ_{0} ∧ λ ist Limeskardinalzahl ∧  (∗)
∀μ < λ ((μ ∈ Card ∧ μ > ℵ_{0}) → ¬ μ ist Limeskardinalzahl)).

Sei nun λ :≡ ℵ_{ω}^{M}. Dann gilt (λ ∈ On)^{M} und (λ = ℵ_{ω})^{M}. Wegen ZFC^{M} folgt also

λ > ℵ_{0}^{M} ∧ (λ ist Limeskardinalzahl)^{M} ∧
∀μ < λ ((μ ∈ Card^{M} ∧ μ > ℵ_{0}^{M}) → ¬ (μ ist Limeskardinalzahl)^{M}).

Wegen (b) und weil P Kardinalitäten ≤ κ bewahrt, können hier alle Relativierungen auf M durch Relativierungen auf M[G] ersetzt werden. Wegen ZFC^{M[G]} folgt dann aus (∗) die Gültigkeit von λ = ℵ_{ω}^{M[G]}. QED 30.6 Corollar Sei M ein Grundmodell, κ ∈ Card^{M} und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, so daß P Kardinalitäten bewahrt. Sei G ein P -generischer Filter über M. Dann gilt:

(a) ∀λ ∈ On ∩M (λ^{+})^{M} = (λ^{+})^{M[G]}.

(b) ∀λ ((λ ist Limeskardinalzahl)^{M} ⟷ (λ ist Limeskardinalzahl)^{M[G]}).

(c) Ist n eine metasprachliche natürliche Zahl, so gilt ℵ_{n}^{M} = ℵ_{n}^{M[G]}.

(d) ℵ_{ω}^{M} = ℵ_{ω}^{M[G]}.

Beweis. Dies folgt aus 30.5, da P Kardinalitäten ≤ κ bewahrt für jedes κ ∈ Card^{M}. QED

In vielen Fällen kann aus der Bewahrung von Konfinalitäten ≥ κ (bzw. ≤ κ) auf die Bewahrung von Kardinalitäten ≥ κ (bzw. ≤ κ) geschlossen werden:

30.7 Satz Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, κ ∈ Card^{M} und es gelte (κ ist regulär)^{M}. Bewahrt dann P Konfinalitäten ≥ κ (bzw. ≤ κ), so bewahrt P Kardinalitäten ≥ κ (bzw. ≤ κ).

Beweis. Wir führen den Beweis für ≥ κ; den anderen Fall behandelt man analog. P bewahre also Konfinalitäten ≥ κ und κ sei in M regulär. Wenn P Kardinalitäten ≥ κ nicht bewahrt, existiert ein P -generischer Filter G über M und ein δ ∈ On ∩M, δ ≥ κ, so daß δ ∈ Card^{M} und δ ∉ Card^{M[G]} gilt, vgl. 30.2. Wähle δ minimal mit dieser Eigenschaft.

(1) δ > κ.

Beweis. Wegen δ ≥ κ, δ ∉ Card^{M[G]} genügt es, κ ∈ Card^{M[G]} zu zeigen. Da P Konfinalitäten ≥ κ bewahrt und κ = cf(κ)^{M} wegen (κ ist regulär)^{M} gilt, ergibt sich κ = cf(κ)^{M} = cf(κ)^{M[G]}. Wegen cf(κ)^{M[G]} ∈ Card^{M[G]} folgt hieraus κ ∈ Card^{M[G]}. qed(1)

Weiter gilt

(2) (¬ δ ist Limeskardinalzahl)^{M}.

Beweis. Angenommen, δ ist in M eine Limeskardinalzahl. Dann gilt wegen (1)

(δ ist Limeskardinalzahl ∧ δ > κ)^{M}.

Da ZFC ⊢ ∀λ ∃x ((λ Limeskardinalzahl ∧ λ > κ) ⟶ (x ≠ ∅ ∧ x ⊂ Card ∩]κ, λ[ ∧ λ = ⋃ x)) gilt, existiert also ein x ∈ M, x ≠ ∅, x ⊂ Card^{M} ∩]κ, δ[ mit δ = ⋃ x. Wegen der Minimalität von δ ist Card^{M} ∩]κ, δ[ ⊂ Card^{M[G]}. Also gilt δ = ⋃ x mit x ∈ M[G], x ≠ ∅ und x ⊂ Card^{M[G]}. Nach 22.39 folgt hieraus δ = ⋃ x ∈ Card^{M[G]}. Dies widerspricht der Wahl von δ. Also muß (2) doch richtig sein. qed(2)

Da nach (2) δ in M eine Nachfolgerkardinalzahl ist und ZFC ⊢ (γ Nachfolgerkardinalzahl ⟶ cf(γ) = γ) gilt, folgt cf(δ)^{M} = δ. Da P Konfinalitäten ≥ κ bewahrt, ist cf(δ)^{M} = cf(δ)^{M[G]}, also δ = cf(δ)^{M[G]} ∈ Card^{M[G]}. Dies widerspricht der Wahl von δ. Also muß der Satz doch richtig sein. QED

30.8 Corollar Wenn P Konfinalitäten bewahrt, so bewahrt P auch Kardinalitäten.

Beweis. Wegen ZFC ⊢ ”ℵ_{1} ist regulär“ gilt (κ ist regulär)^{M} für κ :≡ ℵ_{1}^{M}. QED

30.2 Kettenbedingungen und Bewahrung ”nach oben“.

Wir geben eine kombinatorische Bedingung für Forcing-Halbordnungen an, die Bewahrung von Konfinalitäten bzw. Kardinalitäten ≥ κ impliziert.

30.9 Satz Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Sei κ ∈ Card^{M} und es gelte (P hat κ − cc)^{M}. Dann bewahrt P Konfinalitäten ≥ κ. Gilt zusätzlich (κ ist regulär)^{M}, so bewahrt P Kardinalitäten ≥ κ.

Beweis. Sei κ ∈ Card^{M} und es gelte (P hat κ − cc)^{M}. Wegen 30.7 genügt es zu zeigen, daß P Konfinalitäten ≥ κ bewahrt. Sei also G ein P -generischer Filter über M und δ ∈ On ∩M eine Limesordinalzahl mit cf(δ)^{M} ≥ κ. Es ist cf(δ)^{M} = cf(δ)^{M[G]} zu zeigen. Wegen M ⊂ M[G] gilt nach 22.41 cf(δ)^{M} ≥ cf(δ)^{M[G]}, so daß noch λ :≡ cf(δ)^{M[G]} ≥ cf(δ)^{M} zu zeigen ist. Hierzu ist zu verifizieren, daß

(∗) ∃z ∈ M (\overline{\overline{z}}^{M} ≤ λ ∧ z ist unbeschränkt in δ),

also

(∗∗) (∃z (\overline{\overline{z}} ≤ λ ∧ z ist unbeschränkt in δ))^{M}

gilt. Wähle hierzu f ∈ M[G], f: λ → δ, so daß ran(f) konfinal in δ ist.^{222} Sei f = ḟ^{G} mit ḟ ∈ M. Nach dem Forcing-Theorem existiert p ∈ G mit p ⊩ ḟ: λ̌ → δ̌. Um (∗∗) zu beweisen, arbeiten wir in M; d.h., wir haben (in M) ein z anzugeben mit \overline{\overline{z}} ≤ λ, so daß z unbeschränkt in δ ist. Wir setzen (in M!) für γ < λ

z_{γ} :≡ {β < δ | ∃q ≤ p q ⊩^{∗} ḟ(γ̌) = β̌}

und definieren z :≡ ⋃{z_{γ} | γ < λ}. Dann gilt

(1) z ist unbeschränkt in δ.

Beweis. Sei α < δ beliebig.

(1.1) ∃β < δ ∃q ∈ P ∃γ < λ (α < β ∧ q ≤ p ∧ q ⊩^{∗} ḟ(γ̌) = β̌).

Beweis. Wir beweisen (1.1) in V, d.h., wir haben zu zeigen

(∃β < δ ∃q ∈ P ∃γ < λ (α < β ∧ q ≤ p ∧ q ⊩^{∗} ḟ(γ̌) = β̌))^{M}.

Durch Hineinziehen der Relativierung und Anwendung des Forcing-Theorems wird dies zu

∃β < δ ∃q ∈ P ∃γ < λ (α < β ∧ q ≤ p ∧ q ⊩ ḟ(γ̌) = β̌).

Da ran(f) unbeschränkt in δ ist, existiert ein γ < λ mit β :≡ f(γ) > α. Wegen (ḟ^{G}(γ))^{M[G]} =

(ḟ^{G})^{M[G]}(γ) (siehe 22.25) und (ḟ^{G})^{M[G]} = ḟ^{G} (siehe 27.23) folgt (ḟ^{G}(γ) = β)^{M[G]}. Nach dem Forcing-Theorem existiert ein r ∈ G mit r ⊩ ḟ(γ̌) = β̌. Sei q ∈ G eine gemeinsame Verstärkung von p und r. Dann gilt q ≤ p und q ⊩ ḟ(γ̌) = β̌. β, q und γ sind also wie benötigt. qed(1.1)

Seien β > α, q ≤ p und γ < λ wie in (1.1). Dann ist β ∈ z_{γ} ⊂ z. β ist also wie benötigt. qed(1)

Sei κ_{γ} :≡ \overline{\overline{z_{γ}}}.^{223}

(2) κ_{γ} < κ.

Beweis. Zu β ∈ z_{γ} wähle q_{β} ≤ p mit q_{β} ⊩^{∗} ḟ(γ̌) = β̌.

(2.1) Ist β ≠ β′ so ist q_{β} ⊥ q_{β′}

Beweis. Wir arbeiten in V. Dann gilt nach Wahl von β, β′: q_{β} ⊩ ḟ(γ̌) = β̌ und q_{β′} ⊩ ḟ(γ̌) = β̌′. Angenommen, q_{β} ∥ q_{β′}. Sei q eine gemeinsame Verstärkung von q_{β} und q_{β′}. Dann gilt q ⊩ ḟ: λ̌ → δ̌ (wegen p ⊩ ḟ: λ̌ → δ̌), q ⊩ ḟ(γ̌) = β̌ und q ⊩ ḟ(γ̌) = β̌′. Sei H ein P -generischer Filter über M mit q ∈ H. Dann gilt

(ḟ^{H}: λ → δ ∧ ḟ^{H}(γ) = β ∧ ḟ^{H}(γ) = β′)^{M[H]}, woraus (β = β′)^{M[H]}, also β = β′ folgt, ein Widerspruch. Also gilt q_{β} ∥ q_{β′}, nach 27.4 also (q_{β} ∥ q_{β′})^{M}. Dies war zu zeigen. qed(2.1)

222Dies gilt zunächst nur in M[G]; wegen der Absolutheit der Formel ”y ist unbeschränkt in x“ und des Termes ran(f) gilt dies nach 22.31 auch in V. Derartige Probleme zu erkennen und die entsprechenden Überlegungen durchzuführen überlassen wir im folgenden i.a. dem Leser.

223Wir arbeiten jetzt wieder in M.

Nach (2.1) ist die Zuordnung β ↦ q_{β} injektiv und A :≡ {q_{β} | β ∈ z_{γ}} eine Antikette in P. Da P κ-cc ist, ist \overline{\overline{A}} < κ. Es folgt \overline{\overline{z_{γ}}} ≤ \overline{\overline{A}} < κ. qed(2)

Mit (2) können wir zeigen:

(3) λ ≥ κ.

Beweis. Angenommen, λ < κ. Für γ < λ sei δ_{γ} :≡ ⋃ z_{γ}. Wegen κ_{γ} < κ ≤ cf(δ) ist δ_{γ} < δ. Wegen λ < κ ≤ cf(δ) gilt dann δ̄ :≡ ⋃{δ_{γ} | γ < λ} < δ. Also ist z nicht unbeschränkt in δ, denn nach Wahl der δ_{γ} gilt z ⊂ δ̄. Dies widerspricht (1). Somit muß (3) doch richtig sein. qed(3)

Wir erhalten also

\overline{\overline{z}} ≤ ∑_{γ<λ} \overline{\overline{z_{γ}}} = λ · sup_{γ<λ} κ_{γ} ≤^{(2)} λ · κ =^{(3)} λ.

Dies war zu zeigen. QED

30.10 Corollar Wenn P ccc hat, so bewahrt P Konfinalitäten und Kardinalitäten.

30.3 Abgeschlossenheit und Bewahrung ”nach unten“.

Wir analysieren Forcing-Halbordnungen, die Konfinalitäten bzw. Kardinalitäten ≤ κ bewahren. Die hierfür zuständige kombinatorische Eigenschaft der Forcing-Halbordnung ist ihre ”Abgeschlossenheit“.

30.11 Definition Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung und κ ∈ Card. P ist κ-abgeschlossen :≡ ∀λ < κ ∀p ∈ λP ∃q ∈ P (∀i, j ∈ λ (i < j → p(j) ≤ p(i)) ⟶ ∀i < λ q ≤ p(i)).

30.12 Bemerkung P ist also genau dann κ-abgeschlossen, wenn jede absteigende ≤ -Kette in P, die kürzer ist als κ, eine untere Schranke in P hat.

30.13 Beispiel Fn(a, b, μ) ist cf(μ)-abgeschlossen. Ist nämlich λ < cf(μ) und (p_{i} | i < λ) eine absteigende ≤ -Kette, so setze p :≡ ⋃_{i<λ} p_{i}. Dann gilt p: a ⊃→ b, da p_{i} ⊂ p_{j} für i < j gilt. Ferner gilt \overline{\overline{p}} = sup_{i<λ} \overline{\overline{p_{i}}} < μ, denn wegen λ < cf(μ) ist \{\overline{\overline{p_{i}}} | i < λ\} nicht unbeschränkt in μ. Es folgt p ∈ Fn(a, b, μ) und somit p ≤ p_{i} für alle i < λ.

Das folgende ”Abgeschlossenheitsresultat“ besagt, daß man zu M durch Forcing mit einer κ-abgeschlos-senen Forcing-Halbordnung für M keine neuen Funktionen zwischen Elementen von M hinzufügen kann, deren Definitionsbereich ”klein“ ist.

30.14 Satz Sei M ein Grundmodell, (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M und G ein P -generischer Filter über M. Sei κ ∈ Card^{M} und es gelte (P ist κ-abgeschlossen)^{M}. Sind dann a, b ∈ M mit \overline{\overline{a}}^{M} < κ und ist f ∈ M[G] mit f: a → b, so gilt sogar f ∈ M.

Beweis. Es genügt, den Spezialfall A = α < κ mit Lim(α) zu betrachten. Wähle nämlich ein g ∈ M mit g: \overline{\overline{a}}^{M} ⟶^{bij.} a und setze α :≡ \overline{\overline{a}}^{M}. Dann ist h :≡ f ∘ g ∈ M[G], denn ZFC ⊢ ∀f, g ∃h h = f ∘ g impliziert (f ∘ g)^{M[G]} ∈ M[G] und es gilt (f ∘ g)^{M[G]} = f ∘ g, wie man leicht verifiziert. Wegen h: α → b folgt h ∈ M aus dem Spezialfall. Dies impliziert f = h ∘ g^{−1} ∈ M, denn mit g ist auch g^{−1} in M. Es genügt also, den Spezialfall zu zeigen. Sei also α < κ, Lim(α) und f: α → b, f ∈ M[G]. Wir nehmen an, daß f ∉ M ist, und leiten einen Widerspruch her. Sei F :≡ (αb)^{M} (= αb ∩ M nach 22.25). Dann gilt (1) f: α → b ∧ f ∉ F.

Wegen ZFC ⊢ ∀u, v ∃w w = uv gilt ∀u, v ∈ M ∃w ∈ M w = (uv)^{M}, so daß wir F ∈ M haben. Sei ḟ ∈ M

ein Name für f. (1) impliziert (ḟ^{G}: α̌^{G} → b̌^{G} ∧ ḟ^{G} ∉ F̌^{G})^{M[G]} aufgrund der Absolutheit der beteiligten ∈-Formeln und Terme. Nach dem Forcing-Theorem existiert ein p ∈ G mit

(2) p ⊩ (ḟ: α̌ → b̌ ∧ ḟ ∉ F̌).

Wir arbeiten nun in M. Definiere durch simultane Rekursion eine bzgl. ≤ absteigende Folge

(p_{β} | β ≤ α) ∈ (α + 1)P

und eine Folge

g = (y_{β} | β < α) ∈ αb

wie folgt:

Setze p_{0} :≡ p. Gilt Lim(β), so sei p_{β} eine untere Schranke zu {p_{γ} | γ < β} in P. Eine derartige Schranke existiert, da P κ-abgeschlossen und β ≤ α < κ ist. Ist schließlich β < α und sind p_{β} und {y_{γ} | γ < β} bereits definiert, so sei p_{β+1} ∈ P und y_{β} ∈ b derart gewählt, daß p_{β+1} ⊩^{∗} ḟ(β̌) = y̌_{β} gilt. Wir wählen diese Elemente mit Hilfe von (AC) durch Auswahl aus der Menge {(q, y) | q ≤ p_{β} ∧ q ⊩^{∗} ḟ(β̌) = y̌ ∧ y ∈ b}. Hierzu ist zu zeigen:

(3) {(q, y) | q ≤ p_{β} ∧ q ⊩^{∗} ḟ(β̌) = y̌ ∧ y ∈ b} ≠ ∅.

Beweis. Wir beweisen dies in V. Aus der Sicht von V bedeutet (3):

({(q, y) | q ≤ p_{β} ∧ q ⊩^{∗} ḟ(β̌) = y̌ ∧ y ∈ b} ≠ ∅)^{M}.

Durch ”Hineinziehen“ der Relativierung folgt leicht m.H. der üblichen Absolutheitsargumente sowie des Forcing-Theorems, daß dies gleichwertig ist zu

(∗) A :≡ {(q, y) | q ≤ p_{β} ∧ q ⊩ ḟ(β̌) = y̌ ∧ y ∈ b} ≠ ∅.

Beweisen wir also (∗). Nach Konstruktion gilt p_{β} ≤ p, so daß aus (2) p_{β} ⊩ ḟ: α̌ → b̌ folgt. Sei H ein P -generischer Filter über M mit p_{β} ∈ H. Dann gilt (ḟ^{H}: α → b)^{M[H]}. Also existiert ein y ∈ b mit

(ḟ^{H}(β) = y)^{M[H]}. Nach dem Forcing-Theorem existiert ein r ∈ H mit r ⊩ ḟ(β̌) = y̌. Sei q ∈ H eine gemeinsame Verstärkung von p_{β}, r. Dann gilt q ≤ p_{β} und q ⊩ ḟ(β̌) = y̌. Also ist (q, y) ∈ A und (∗) bewiesen. qed(3)

Damit sind die Folgen konstruiert. Wir arbeiten nun wieder in V. Da g in M konstruiert wurde, gilt g ∈ M, also

(4) g ∈ αb ∩ M = F.

Sei H ein P -generischer Filter über M mit p_{α} ∈ H. Wegen p_{α} ≤ p und p ⊩ (ḟ: α̌ → b̌ ∧ ḟ ∉ F̌) folgt p_{α} ⊩ (ḟ: α̌ → b̌ ∧ ḟ ∉ F̌), so daß nach dem Forcing-Theorem

(5) (ḟ^{H}: α → b ∧ ḟ^{H} ∉ F )^{M[H]}

gilt. Ist andererseits β < α, so gilt nach Konstruktion in M p_{β+1} ⊩^{∗} ḟ(β̌) = y̌_{β}, also in V

(p_{β+1} ⊩^{∗} ḟ(β̌) = y̌_{β})^{M}, d.h., p_{β+1} ⊩ ḟ(β̌) = y̌_{β}. Wegen p_{α} ≤ p_{β+1} ist p_{β+1} ∈ H, so daß das Forcing-Theorem (ḟ^{H}(β) = y_{β})^{M[H]}

impliziert. Da β < α beliebig war, ergibt sich (∀β < α ḟ^{H}(β) = g(β))^{M[H]}; beachte y_{β} = g(β). Wegen

ZFC ⊢ (f_{1}: α → V ∧ f_{2}: α → V ∧ ∀β < α f_{1}(β) = f_{2}(β)) ⟶ f_{1} = f_{2}

folgt hieraus in Verbindung mit (5) (ḟ^{H} = g ∧ ḟ^{H} ∉ F )^{M[H]}, also insbesondere (g ∉ F )^{M[H]}, was zu g ∉ F äquivalent ist. Dies widerspricht (4). Unsere Annahme, daß f ∉ M gilt, muß also falsch sein. Damit ist der Satz bewiesen. QED

30.15 Corollar Sei M ein Grundmodell, (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M und G ein P - generischer Filter über M. Sei κ ∈ Card^{M} und es gelte (P ist κ-abgeschlossen)^{M}. Dann gilt

∀α < κ (α On)^{M} = (α On)^{M[G]}.

Beweis. zu ”⊂“. Es gilt

(α On)^{M[G]} = α(On ∩M[G]) ∩ M[G]
= α(On ∩M) ∩ M[G]
⊃ α(On ∩M) ∩ M  (∗)
= (α On)^{M}.

zu ”⊃“. Wegen ZFC ⊢ ∀α ∈ On ∀f ∃β ∈ On (f ∈ α On ⟶ f: α → β) folgt

∀α ∈ On ∩M[G] ∀f ∈ M[G] ∃β ∈ \underbrace{On ∩M[G]}_{=On ∩M} (f ∈ (α On)^{M[G]} ⟶ f: α → β).

Ist also f ∈ (α On)^{M[G]}, so gilt f: α → β mit β ∈ M. Nach dem Satz gilt f ∈ M wegen α < κ. Also ist

f ein Element der rechten Seite von (∗), also von (α On)^{M}. QED

Nun erhalten wir das folgende Bewahrungsresultat für Konfinalitäten bzw. Kardinalitäten:

30.16 Satz Sei M ein Grundmodell, (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Sei κ ∈ Card^{M} und es gelte (P ist κ-abgeschlossen)^{M}. Dann bewahrt P Konfinalitäten ≤ κ. Ist überdies κ regulär in M, so bewahrt P auch Kardinalitäten ≤ κ.

Beweis. Wegen 30.7 genügt es, die Aussage über die Konfinalitäten zu beweisen. Sei δ ∈ On ∩M eine Limesordinalzahl mit cf(δ)^{M} ≤ κ. Wegen M ⊂ M[G] gilt nach 22.41 cf(δ)^{M[G]} ≤ cf(δ)^{M}. Sei α :≡ cf(δ)^{M[G]}. Sei f: α → δ, f ∈ M[G], eine Funktion, deren Wertebereich unbeschränkt in δ ist. Wäre

(∗) α < cf(δ)^{M},

so wäre auch α < κ, so daß aus 30.14 f ∈ M folgt. Dann ist x :≡ ran(f) ∈ M eine in δ unbeschränkte Menge und es gilt

\overline{\overline{x}}^{M} = \overline{\overline{ran(f)}}^{M} ≤ \overline{\overline{dom(f)}}^{M} ≤ (dom(f))^{M} = α,

so daß cf(δ)^{M} ≤ α ist, was (∗) widerspricht. Also ist (∗) falsch, d.h., cf(δ)^{M[G]} = α ≥ cf(δ)^{M}. Dies war noch zu zeigen. QED

30.4 Kanonische Namen.

Wir präsentieren ein Verfahren, zu M[G]-Teilmengen von Elementen von M einen ”kanonischen Namen“ zu konstruieren. Diese Namen sind insbesondere dann von Bedeutung, wenn die betrachtete Forcing-Halbordnung eine Kettenbedingung erfüllt. Da in die Konstruktion dieser Namen gewisse Antiketten involviert sind, läßt sich dann die Anzahl dieser Namen (und damit die Anzahl der M[G]-Teilmengen eines jeden x ∈ M) leicht nach oben abschätzen.

30.17 Satz (Definition kanonischer Namen für Teilmengen von Elementen von M bzgl. P) Sei M ein Grundmodell und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Sei x ∈ M und ẏ ∈ M. Für z ∈ x sei B_{z} :≡ {p ∈ P | p ⊩ ž ∈ ẏ ∨ p ⊩ ž ∉ ẏ}. Sei A = (A_{z} | z ∈ x) ∈ M, so daß A_{z} ⊂ B_{z} eine Antikette, maximal mit dieser Eigenschaft ist.^{224} Sei ỹ :≡ {(ž, p) | z ∈ x ∧ p ∈ A_{z} ∧ p ⊩ ž ∈ ẏ}. Dann gilt ỹ ∈ M und 1_{P} ⊩ (ẏ ⊂ x̌ ⟶ ẏ = ỹ). M.a.W.: ist G ein P -generischer Filter über M, so gilt ẏ^{G} ⊂ x ⟶ ẏ^{G} = ỹ^{G}. ỹ heißt auch kanonischer Name für ẏ^{G} (bzgl. (P, ≤, 1_{P})).

Beweis. ỹ ∈ M folgt, da ⊩ in M definiert werden kann und A ∈ M gilt. Sei nun G ein P -generischer Filter über M und es gelte ẏ^{G} ⊂ x. Wir zeigen ẏ^{G} = ỹ^{G}. zu ”⊂“. Sei z ∈ ẏ^{G}. Sei D :≡ {q ∈ P | ∃p ∈ A_{z} q ≤ p}. Dann ist D ∈ M.

(1) D ist dicht in P.

Beweis. Sei r ∈ P. Da B_{z} dicht in P ist,^{225} existiert ein s ∈ B_{z} mit s ≤ r. Ist s ∈ A_{z}, so sind wir fertig: es ist s ∈ D und s ≤ r. Ist s ∉ A_{z}, so ist A_{z} ∪ {s} ⊂ B_{z} ein Element von M und eine echte Obermenge von A_{z}. Wegen der Maximalität von A_{z} kann dann A_{z} ∪{s} keine Antikette sein. Also existiert ein p ∈ A_{z} mit s ∥ p. Sei q ∈ P eine gemeinsame Verstärkung von s und p. Dann ist q ∈ D und q ≤ r. qed(1)

Sei q ∈ G ∩ D. Sei p ∈ A_{z} mit q ≤ p. Dann ist p ∈ G wegen q ∈ G, so daß p ∈ A_{z} ∩ G gilt. z ∈ ẏ^{G} impliziert (ž^{G} ∈ ẏ^{G})^{M[G]}, so daß nach dem Forcing-Theorem ein r ∈ G mit r ⊩ ž ∈ ẏ existiert. Da p und r als Elemente des Filters G kompatibel sind, kann nicht p ⊩ ž ∉ ẏ gelten. Aus p ∈ A_{z} ⊂ B_{z} folgt also p ⊩ ž ∈ ẏ. Also ist (ž, p) ∈ ỹ. Wegen p ∈ G impliziert dies z = ž^{G} ∈ ỹ^{G}. zu ”⊃“. Sei v ∈ ỹ^{G}. Dann existiert nach Definition von ỹ ein Paar (ž, p) ∈ ỹ mit z ∈ x und p ∈ G, so daß v = ž^{G} (= z) ist. Aus (ž, p) ∈ ỹ folgt p ⊩ ž ∈ ẏ. Wegen p ∈ G führt dies nach dem Forcing-Theorem auf

(ž^{G} ∈ ẏ^{G})^{M[G]}, also (v =) z ∈ ẏ^{G}. Dies war zu zeigen. QED

30.18 Bemerkung Wir konstruieren zu x ∈ M eine Funktion A: x → M, A ∈ M, mit den im Satz genannten Eigenschaften. Hierzu arbeiten wir in M. Wir setzen für z ∈ x

A_{z} :≡ {A | A ist maximale Antikette in B_{z}}.

Nach Zorns Lemma ist A_{z} ≠ ∅: {A | A ist Antikette in B_{z}} enthält ∅ als Element und die Vereinigung jeder ⊂ -Kette von Antiketten ist wieder eine Antikette; nach Zorns Lemma hat diese Menge ein maximales Element und dies gehört zu A_{z}. Betrachte die durch (A_{z} | z ∈ x) gegebene Funktion. Nach (AC) existiert ein A ∈ ×_{z∈x} A_{z}. Dann ist A wie gewünscht; beachte, daß die Eigenschaft, maximale Antikette zu sein, M-V -absolut ist, vgl. 27.4.

Wir können die Anzahl der kanonischen Namen für x ∈ M bzgl. P leicht nach oben abschätzen:

30.19 Lemma Sei M ein Grundmodell, (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, κ ∈ Card^{M} und x ∈ M. Sei Z :≡ {ỹ ∈ M | ỹ ist kanonischer Name für eine Teilmenge von x bzgl. P }. Dann gilt Z ∈ M. Ferner ergibt sich:

(a) Sei λ_{0} :≡ (2^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{P}}} )^{M}. Dann gilt \overline{\overline{Z}}^{M} ≤ λ_{0}.

224Wir zeigen in 30.18 die Existenz von A.

225siehe 28.25

(b) Es gelte (P hat κ^{+}-cc)^{M}. Sei λ_{1} :≡ (\overline{\overline{P}}^{\overline{\overline{x}} ·κ})^{M}. Dann gilt \overline{\overline{Z}}^{M} ≤ λ_{1}. Beweis. Sei Y :≡ {v ∈ M | v ⊂ {ž| z ∈ x} × P }. Dann gilt

(1) Y ∈ M. Beweis. Sei B :≡ {w | ∃z ∈ x w = ž}. Dann gilt wegen der M-V -Absolutheit des Termes ž

B = {w ∈ M | ∃z ∈ x w = ž} = {w ∈ M | ∃z ∈ x (w = ž)^{M}}, also B ∈ M nach (Ers)^{M}. Damit folgt B × P ∈ M und somit Y = Pot(B × P)^{M} ∈ M. qed(1) Wegen

Z = {ỹ | ỹ ist kanonischer Name für eine Teilmenge von x bzgl. P }
= {ỹ | ∃ẏ ∈ M ∃A ∈ ( ×_{z∈x} A_{z})^{M} ỹ = {(ž, p) | z ∈ x ∧ p ∈ A_{z} ∧ p ⊩ ž ∈ ẏ}}^{226}
= {ỹ | (∃ẏ ∃A ∈ ×_{z∈x} A_{z} ỹ = {(ž, p) | z ∈ x ∧ p ∈ A_{z} ∧ p ⊩^{∗} ž ∈ ẏ})^{M}}

ist Z in M definierbar. Wegen Z ⊂ Y ∈ M und (Aus)^{M} gilt Z ∈ M. Überdies folgt \overline{\overline{Z}}^{M} ≤ \overline{\overline{Y}} ^{M}. Wegen (Y = Pot(B × P))^{M} und (\overline{\overline{B}} = \overline{\overline{x}})^{M} gilt

(2) \overline{\overline{Y}} ^{M} ≤ λ_{0}. Es seien nun die Voraussetzungen von (b) erfüllt. Sei

Y′ :≡ \{v ∈ Y | \overline{\overline{v}}^{M} ≤ \overline{\overline{x}}^{M} · κ\} = \{v ∈ Y | (\overline{\overline{v}} ≤ \overline{\overline{x}} · κ)^{M}\}. Dann gilt

(3) Y′ ∈ M nach (Aus)^{M}. Ist ỹ ein kanonischer Name für eine Teilmenge von x, so gilt

(4) ỹ ∈ Y′. Beweis. Es ist nur zu zeigen, daß \overline{\overline{ỹ}}^{M} ≤ \overline{\overline{x}}^{M} · κ, d.h., (\overline{\overline{ỹ}} ≤ \overline{\overline{x}} · κ)^{M} gilt. Arbeite hierzu in M. Dann ist ỹ ⊂ ⋃_{z∈x}\{ž\} × A_{z}. Da P die κ^{+}-cc hat und A_{z} eine Antikette ist, gilt \overline{\overline{A_{z}}} ≤ κ, so daß

\overline{\overline{ỹ}} ≤ ∑_{z∈x} \overline{\overline{A_{z}}} ≤ ∑_{z∈x} κ ≤ \overline{\overline{x}} · κ

folgt. Dies war zu zeigen. qed(4) Aus (4) folgt Z ⊂ Y′. (b) folgt also aus

(5) \overline{\overline{Y′}}^{M} ≤ λ_{1}. Beweis. Wir arbeiten in M. Wegen ZFC ⊢ ∀a ∀ν ∈ Card \overline{\overline{\{v ⊂ a | \overline{\overline{v}} ≤ ν\}}} ≤ \overline{\overline{a}}^{ν}, siehe 11.3 und 11.6, folgt

\overline{\overline{Y′}} = \overline{\overline{B × P}}^{\overline{\overline{x}} ·κ} = (\overline{\overline{x}} · \overline{\overline{P}})^{\overline{\overline{x}} ·κ}.

226Hierbei ist A_{z} wie in 30.18.

Wegen

(\overline{\overline{x}} · \overline{\overline{P}})^{\overline{\overline{x}} ·κ} = \overline{\overline{x}}^{\overline{\overline{x}} ·κ} · \overline{\overline{P}}^{\overline{\overline{x}} ·κ} ≤ (\overline{\overline{x}} · κ)^{\overline{\overline{x}} ·κ} · \overline{\overline{P}}^{\overline{\overline{x}} ·κ} = 2^{\overline{\overline{x}} ·κ} · \overline{\overline{P}}^{\overline{\overline{x}} ·κ} = \overline{\overline{P}}^{\overline{\overline{x}} ·κ}

impliziert dies die Behauptung. qed(5)

Damit ist der Satz bewiesen. QED

Wir erhalten nun das folgende Resultat die Anzahl der Teilmengen von x ∈ M in M[G] betreffend.

30.20 Satz Sei M ein Grundmodell und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M, κ ∈ Card^{M} und x ∈ M.

(a) 1_{P} ⊩ \overline{\overline{Pot(x̌)}} ≤ λ̌_{0}.

(b) Es gelte (P hat κ^{+}-cc)^{M}. Dann gilt 1_{P} ⊩ \overline{\overline{Pot(x̌)}} ≤ λ̌_{1}.

Beweis. Sei G ein P -generischer Filter über M.

zu (a). Es ist (\overline{\overline{Pot(x)}} ≤ λ_{0})^{M[G]} zu zeigen. Hierzu zeigen wir

(∗) (∃f ∃Z (\overline{\overline{Z}} ≤ λ_{0} ∧ f: Z ⟶^{surj.} Pot(x)))^{M[G]}.

Wir wählen Z wie in 30.19. Dann gilt Z ∈ M und \overline{\overline{Z}}^{M} ≤ λ_{0}. Hieraus folgt wegen M ⊂ M[G] nach 22.38

\overline{\overline{Z}}^{M[G]} ≤ λ_{0}. Nach 29.9 (mit N :≡ M[G]) ist f :≡ int_{G} ↾ Z ∈ M[G]; hierbei ist int_{G}: M → M[G] die durch ẋ ↦ ẋ^{G} definierte Funktion. Da jedes y ∈ Pot(x) ∩ M[G] einen Namen in Z hat, und umgekehrt offenbar ẏ^{G} ∈ Pot(x) ∩ M[G] für jedes ẏ ∈ Z gilt, ist int_{G} ↾ Z eine Surjektion von Z auf Pot(x)^{M[G]}. Wir haben damit gezeigt:

∃f ∈ M[G] ∃Z ∈ M[G] \overline{\overline{Z}}^{M[G]} ≤ λ_{0} ∧ f: Z ⟶^{surj.} Pot(x)^{M[G]}.

Dies ist äquivalent zu (∗). Damit ist (a) bewiesen. zu (b). Dies beweist man anlog m.H. 30.19(b). QED

31 Cohen-Forcing.

Hauptziel dieses Kapitels ist es die relative Konsistenz von CH und ¬CH mit ZFC zu beweisen. Die hier dargestellten Forcings benutzen Forcing-Halbordnungen der Art Fn(a, b, μ) und gehen auf Paul Joseph Cohen zurück. Wir fixieren ein Grundmodell M.

31.1 Kombinatorische Eigenschaften der Cohen-Halbordnungen.

31.1 Satz Seien a, b ∈ M mit (\overline{\overline{a}} ≥ ℵ_{0})^{M}, (\overline{\overline{b}} ≥ 2)^{M}, und μ ∈ Card^{M} mit (μ ≤ \overline{\overline{a}}^{+})^{M}. Sei P :≡ Fn(a, b, μ)^{M}.

(a) Es gilt P = \{p ∈ M | p: a ⊃→ b ∧ \overline{\overline{p}}^{M} < μ\}.

(b) Für p, q ∈ P sei p ≤ q :≡ p ⊃ q, ferner sei 1_{P} :≡ ∅. Dann ist (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M.

(c) (\overline{\overline{P}} ≤ (\overline{\overline{a}} · \overline{\overline{b}})^{<μ})^{M}.

(d) Sei κ :≡ ((\overline{\overline{b}}^{<μ})^{+})^{M}. Dann gilt ((P, ≤, 1_{P}) hat κ-cc)^{M} und P bewahrt Kardinalitäten ≥ κ und Konfinalitäten ≥ κ.

(e) Ist x ∈ M, so gilt 1_{P} ⊩ \overline{\overline{Pot(x̌)}} ≤ γ̌, wobei γ :≡ (\overline{\overline{a}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}})^{M} gesetzt ist.

(f) Ist κ = ℵ_{1}^{M}, so bewahrt P Kardinalitäten und Konfinalitäten und es ist γ = (\overline{\overline{a}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}} ·ℵ_{0}})^{M}.

(g) Sei λ :≡ cf(μ)^{M}. Dann gilt ((P, ≤, 1_{P}) ist λ-abgeschlossen)^{M} und P bewahrt Kardinalitäten ≤ λ und Konfinalitäten ≤ λ.

(h) Ist G ein P -generischer Filter über M und sind x, y ∈ M mit \overline{\overline{x}}^{M} < λ und ist f ∈ M[G] mit f: x → y, so gilt bereits f ∈ M.Insbesondere gilt

∀α < λ ((α2)^{M} = (α2)^{M[G]} ∧ (αω)^{M} = (αω)^{M[G]} ∧ (α On)^{M} = (α On)^{M[G]}).

(i) ∀ν < λ (ν ∈ Card^{M} ⟶ (ν^{+})^{M} = (ν^{+})^{M[G]}).

(j) Ist n eine metasprachliche natürliche Zahl mit ℵ_{n}^{M} ≤ λ, so gilt ℵ_{n}^{M} = ℵ_{n}^{M[G]}.

(k) Ist ℵ_{ω}^{M} ≤ λ, so gilt ℵ_{ω}^{M} = ℵ_{ω}^{M[G]}. Gilt κ = ℵ_{1}^{M}, so gelten die Aussagen (i)–(k) ohne Beschränkung auf λ.

Beweis. Zunächst halten wir fest

Fn(a, b, μ)^{M} = \{p | p: a ⊃→ b ∧ \overline{\overline{p}} < μ\}^{M}
= \{p ∈ M | (p: a ⊃→ b)^{M} ∧ (\overline{\overline{p}} < μ)^{M}\}
= \{p ∈ M | p: a ⊃→ b ∧ \overline{\overline{p}}^{M} < μ\}.

Um (\overline{\overline{P}} ≤ (\overline{\overline{a}} · \overline{\overline{b}})^{M} zu beweisen, arbeiten wir in M. Da jedes p ∈ P eine Element von [a × b]^{<μ} ist, folgt nach 11.6

\overline{\overline{P}} ≤ \overline{\overline{[a × b]^{<μ}}} = \overline{\overline{a × b}}^{<μ} = (\overline{\overline{a}} · \overline{\overline{b}})^{<μ},

so daß (\overline{\overline{P}} ≤ (\overline{\overline{a}} · \overline{\overline{b}})^{<μ})^{M} gezeigt ist. Aus 25.3, 26.4 und 30.13 sowie wohlbekannten Resultaten der Kardinalzahlarithmetik folgt sofort die G ültigkeit von

ZFC ⊢ ∀ a, b ∀μ ∈ Card ∃P, ≤, 1_{P} ∃κ, κ_{1}, λ ∈ Card
( P = Fn(a, b, μ) ∧ ≤ = {z | ∃p, q ∈ Fn(a, b, μ) p ⊃ q ∧ z = (p, q)} ∧ 1_{P} = ∅ ∧
(P, ≤, 1_{P}) ∈ V ∧ (P, ≤, 1_{P}) ist eine Forcing-Halbordnung ∧
κ = (\overline{\overline{b}}^{<μ})^{+} ∧ κ ist regulär ∧ (P, ≤, 1_{P}) hat κ-cc ∧
κ_{1} = \overline{\overline{b}}^{<μ} ∧ κ = κ_{1}^{+} ∧ (P, ≤, 1_{P}) hat κ_{1}^{+}-cc ∧
λ = cf(μ) ∧ λ ist regulär ∧ (P, ≤, 1_{P}) ist λ-abgeschlossen).

Wegen ZFC^{M} folgt hieraus m.H. der üblichen Absolutheitsargumente

∀ a, b ∈ M ∀μ ∈ Card^{M} ∃P, ≤, 1_{P} ∈ M ∃κ, κ_{1}λ ∈ Card^{M}
( P = Fn(a, b, μ)^{M} ∧ ≤ = {z | ∃p, q ∈ Fn(a, b, μ)^{M} p ⊃ q ∧ z = (p, q)} ∧ 1_{P} = ∅ ∧
(P, ≤, 1_{P}) ∈ M ∧ ((P, ≤, 1_{P}) ist eine Forcing-Halbordnung)^{M} ∧
κ = ((\overline{\overline{b}}^{<μ})^{+})^{M} ∧ (κ ist regulär)^{M} ∧ ((P, ≤, 1_{P}) hat κ-cc)^{M} ∧
κ_{1} = (\overline{\overline{b}}^{<μ})^{M} ∧ κ = (κ_{1}^{+})^{M} ∧ ((P, ≤, 1_{P}) hat κ_{1}^{+}-cc )^{M} ∧
λ = cf(μ)^{M} ∧ (λ ist regulär)^{M} ∧ ((P, ≤, 1_{P}) ist λ-abgeschlossen)^{M}).

(∗)

Insbesondere gilt dies dann für die speziellen Parameter a, b ∈ M, μ ∈ Card^{M} des Satzes. Daraus ergeben sich dann in Verbindung mit den Resultaten des vorhergehenden Kapitels sofort alle weiteren Aussagen des Satzes bis auf diejenigen über die Mächtigkeit der Potenzmenge von x ∈ M in M[G]. Um

diese zu beweisen sei κ_{1} :≡ (\overline{\overline{b}}^{<μ})^{M}. Weil dann nach (∗) ((P, ≤, 1_{P}) hat κ_{1}^{+}-cc)^{M} gilt, folgt aus 30.20

1_{P} ⊩ \overline{\overline{Pot(x̌)}} ≤ λ̌_{1}, wobei λ_{1} = (\overline{\overline{P}}^{\overline{\overline{x}} ·κ_{1}})^{M} gesetzt ist. Es ist somit λ_{1} ≤ (\overline{\overline{a}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}})^{M}, also

(1) (λ_{1} ≤ \overline{\overline{a}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}})^{M}

zu zeigen. Hierzu arbeiten wir in M. Wegen \overline{\overline{P}} ≤ (\overline{\overline{a}} · \overline{\overline{b}})^{<μ} (siehe (a)) und \overline{\overline{b}}^{<μ} ≥ μ (siehe 11.5) folgt

λ_{1} ≤ ((\overline{\overline{a}} · \overline{\overline{b}})^{<μ})^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}} ≤ ((\overline{\overline{a}} · \overline{\overline{b}})^{μ})^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}} = (\overline{\overline{a}} · \overline{\overline{b}})^{μ·\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}} = (\overline{\overline{a}} · \overline{\overline{b}})^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}}
= \overline{\overline{a}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}} · \overline{\overline{b}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}} ≤ \overline{\overline{a}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}} · \underbrace{(\overline{\overline{x}} · \overline{\overline{b}}^{<μ})^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}}}_{=2^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}}} = \overline{\overline{a}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}}^{<μ}}.

Damit ist (1) bewiesen. Im Spezialfall κ = ℵ_{1}^{M}, also ((\overline{\overline{b}}^{<μ})^{+} = ℵ_{1})^{M}, gilt (\overline{\overline{b}}^{<μ} = ℵ_{0})^{M}, so daß γ die im Satz angegebene Form hat. Damit ist der Satz bewiesen. QED

31.2 Modelle von ZFC + CH.

31.2 Satz Sei a :≡ ℵ_{1}^{M}, b :≡ (ω2)^{M} und μ :≡ ℵ_{1}^{M}. Sei (P, ≤, 1_{P}) :≡ (Fn(a, b, μ)^{M}, ⊃, ∅). Sei G ein

P -generischer Filter über M. Dann gilt ∃f ∈ M[G] f: ℵ_{1}^{M[G]} ⟶^{surj.}(ω2)^{M[G]}.

Beweis. Sei f :≡ ⋃ G. Es ist f ∈ M[G] wegen (⋃-Ax)^{M[G]}.

(1) f: ℵ_{1}^{M} → (ω2)^{M}.

Beweis. Da die Elemente von G paarweise kompatible partielle Funktionen p: ℵ_{1}^{M} ⊃→(ω2)^{M} sind, folgt f: ℵ_{1}^{M} ⊃→(ω2)^{M}. Um dom(f) = ℵ_{1}^{M} zu verifizieren, fixiere α < ℵ_{1}^{M} beliebig; es ist α ∈ dom(f) zu zeigen. Setze hierzu

D :≡ {p ∈ P | α ∈ dom(p)}.

Wegen D = {p ∈ P | (α ∈ dom(p))^{M}} ist D ∈ M nach (Aus)^{M}. D ist dicht in P. Um dies zu sehen, fixiere p ∈ P. Ist α ∈ dom(p), so ist p ∈ D und wir sind fertig. Ist α ∉ dom(p), so setze q :≡ p ∪ {(α, 0)}. Offenbar ist q ∈ P und q ≤ p; ferner gilt q ∈ D. Also ist D Element von M und dicht in P. Da G generisch über M ist, existiert p ∈ G ∩ D. Dann ist p ⊂ f und es gilt α ∈ dom(p) ⊂ dom(f). Dies war zu zeigen. qed(1)

(2) ran(f) = (ω2)^{M}.

Beweis. Sei g ∈ (ω2)^{M} = ω2 ∩ M. Es ist g ∈ ran(f) zu zeigen. Die Menge

D :≡ {p ∈ P | g ∈ ran(p)}

ist ein Element von M. Um zu sehen, daß D dicht in P ist, fixiere p ∈ P beliebig. Wegen \overline{\overline{p}}^{M} < ℵ_{1}^{M} kann p nicht jedem α < ℵ_{1}^{M} einen Wert zuweisen. Also existiert α < ℵ_{1}^{M} mit α ∉ dom(p). Sei q :≡ p∪{(α, g)}. Dann gilt q: ℵ_{1}^{M} ⊃→(ω2)^{M}, \overline{\overline{q}}^{M} < ℵ_{1}^{M} und q ≤ p. Ferner ist q ∈ D. Also ist D in der Tat dicht in P. Da G ein P -generischer Filter über M ist, existiert p ∈ G ∩ D. Dann ist p ⊂ f und es gilt g ∈ ran(p) ⊂ ran(f). Dies war zu zeigen. qed(2)

Aus (1) und (2) folgt f: ℵ_{1}^{M} ⟶^{surj.}(ω2)^{M}. Da ℵ_{1}^{M} ≤ μ (= cf(μ)^{M}) gilt, ist ℵ_{1}^{M} = ℵ_{1}^{M[G]} nach 31.1. Ferner gilt:

(3) (ω2)^{M} = (ω2)^{M[G]}.

Beweis. Sei α :≡ ω. Dann gilt α = ℵ_{0}^{M} = ℵ_{0}^{M[G]} und α < μ (= cf(μ)^{M}), und es folgt

(ω2)^{M} =^{22.39(b)} (α2)^{M} =^{31.1(h)} (α2)^{M[G]} =^{22.39(b)} (ω2)^{M[G]}

Dies war zu zeigen. qed(3)

f ist also wie gewünscht. QED

31.3 Corollar (Gödel) Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + CH).

Beweis. Da wir in 24.10 bereits Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC) nachgewiesen haben, genügt es,

Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + CH)

zu beweisen. Seien hierzu (P, ≤, 1_{P}) und G wie in 31.2. Dann gilt

(1) (∃f f: ℵ_{1} ⟶^{surj.} ω2)^{M[G]}.

Unter ZFC gilt

CH ⟺ ℵ_{1} = 2^{ℵ_{0}}
⟺ ℵ_{1} ≥ 2^{ℵ_{0}} (da 2^{ℵ_{0}} > ℵ_{0})
⟺ ∃f f: ℵ_{1} ⟶^{surj.} 2^{ℵ_{0}}
⟺ ∃f f: ℵ_{1} ⟶^{surj.} ω2 (wegen 2^{ℵ_{0}} = \overline{\overline{ω2}}),

so daß wir ZFC ⊢ CH ⟷ ∃f f: ℵ_{1} ⟶^{surj.} ω2 nachgewiesen haben. (1) bedeutet wegen ZFC^{M[G]} also CH^{M[G]}. Wir haben also unter der Annahme, daß M ein abzählbares, transitives Modell von ZFC ist, ein Modell von ZFC + CH gefunden. Nach 23.15 impliziert dies die Aussage des Corollares. QED

Wir können das o.a. Forcing leicht so verallgemeinern, daß wir ”die Kontinuumshypothese auch an überabzählbaren Kardinalzahlen erhalten“. Wir zeigen hierzu

31.4 Satz Sei κ ∈ Card^{M}, a :≡ (κ^{+})^{M}, b :≡ (κ2)^{M}, μ :≡ (κ^{+})^{M}, (P, ≤, 1_{P}) :≡ (Fn(a, b, μ)^{M}, ⊃,∅).

Sei G ein P -generischer Filter über M. Dann gilt ∃f ∈ M[G] f: (κ^{+})^{M[G]} ⟶^{surj.}(κ2)^{M[G]}.

Beweis. Wir skizzieren den Beweis, der völlig analog zum ausführlich bewiesenen Spezialfall κ = ω verläuft. Sei f :≡ ⋃ G. Es ist f ∈ M[G] wegen (⋃-Ax)^{M[G]}. Mit Hilfe eines Dichtheitsargumentes zeigt man

(1) f: (κ^{+})^{M} → (κ2)^{M}

und

(2) ran(f) = (ω2)^{M}.

Aus (1) und (2) folgt f: (κ^{+})^{M} ⟶^{surj.}(κ2)^{M}. Wegen cf(μ)^{M} = μ impliziert κ < μ nach 31.1

(3) (κ2)^{M} = (κ2)^{M[G]} und (κ^{+})^{M} = (κ^{+})^{M[G]}. f ist also wie gewünscht. QED

31.4 impliziert u.a. folgende Konsistenzresultate:

31.5 Corollar Sei n eine metasprachliche natürliche Zahl. Dann gilt:

(a) Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1});

(b) Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{ω}} = ℵ_{ω+1});

(c) Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1} + 2^{ℵ_{ω}} = ℵ_{ω+1}).

Beweis. Da wir bereits Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC) bewiesen haben, genügt es, (a’) Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1}); (b’) Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{ω}} = ℵ_{ω+1}); (c’) Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1} + 2^{ℵ_{ω}} = ℵ_{ω+1}); zu beweisen. zu (a’). Wir führen eine (metasprachliche) Induktion nach n durch. n = 0. In diesem Fall wird die Aussage zu Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + CH), was nach 31.3 erfüllt ist. n = m + 1. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{m}} = ℵ_{m+1}),

so daß es genügt,

Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{m}} = ℵ_{m+1}) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1})

zu zeigen. Sei also M abzählbar und transitiv mit (ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{m}} = ℵ_{m+1})^{M}. Nach 23.15 ist zu zeigen, daß es ein M′ gibt mit (ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1})^{M′}. Sei κ :≡ ℵ_{n}^{M} und seien μ, P und G zu κ wie in 31.4. Dann gilt

(1) ∃f ∈ M[G] f: (κ^{+})^{M[G]} ⟶^{surj.}(κ2)^{M[G]}.

Weiter folgt

(2) (a) Für i < n + 1 ist ℵ_{i}^{M} = ℵ_{i}^{M[G]} und (ℵ^{i}2)^{M} = (ℵ^{i}2)^{M[G]}.

(b) (κ^{+})^{M[G]} = ℵ_{n+1}^{M[G]}.

Beweis. zu (a). Sei i ≤ n fixiert. Es ist ℵ_{i}^{M} < μ = cf(μ)^{M} wegen ℵ_{i}^{M} ≤ ℵ_{n}^{M} < ℵ_{n+1}^{M} = (κ^{+})^{M} = μ. Nach 31.1 gilt also ℵ_{i}^{M} = ℵ_{i}^{M[G]} ≡: α. Es folgt weiter

(ℵ^{i}2)^{M} =^{22.39(b)} (α2)^{M} =^{31.1(h)} (α2)^{M[G]} =^{22.39(b)} (ℵ^{i}2)^{M[G]}

Damit ist (a) bewiesen. zu (b). Dies folgt sofort aus κ = ℵ_{n}^{M} = ℵ_{n}^{M[G]} und 22.37(f). qed(2)

(3) Für i < n + 1 gilt (2^{ℵ_{i}} = ℵ_{i+1})^{M[G]}.

Beweis. Sei zunächst i < n. Dann gilt (2^{ℵ_{i}} = ℵ_{i+1})^{M} nach Wahl von M. Wegen

(3.1) ZFC ⊢ 2^{ℵ_{i}} = ℵ_{i+1} ⟷ ∃g g: ℵ_{i+1} ⟶^{surj.} ℵ^{i}2

bedeutet dies

(3.2) ∃g ∈ M g: ℵ_{i+1}^{M} ⟶^{surj.}(ℵ^{i}2)^{M}.

Nach (2) gilt ℵ_{i+1}^{M} = ℵ_{i+1}^{M[G]} und (ℵ^{i}2)^{M} = (ℵ^{i}2)^{M[G]}. Wegen M ⊂ M[G] folgt also aus (3.2)

∃g ∈ M[G] g: ℵ_{i+1}^{M[G]} ⟶^{surj.}(ℵ^{i}2)^{M[G]},

d.h., (∃g g: ℵ_{i+1} ⟶^{surj.} ℵ^{i}2)^{M[G]}. Nach (3.1) impliziert dies (2^{ℵ_{i}} = ℵ_{i+1})^{M[G]}. Sei nun i = n. Aus (1) folgt in Verbindung mit (2) ∃f ∈ M[G] f: ℵ_{n+1}^{M[G]} ⟶^{surj.}(ℵ^{n}2)^{M[G]}; beachte hierbei, daß wegen κ = ℵ_{n}^{M} = ℵ_{n}^{M[G]} gilt (κ2)^{M[G]} = (ℵ^{n}2)^{M[G]}. Wie im Fall i < n erhalten wir hieraus (2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1})^{M[G]}. Damit ist (3) gezeigt. qed(3)

Somit gilt (ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1})^{M[G]}, und dies war zu zeigen. zu (b’). Dies folgt sofort aus (c’). zu (c’). Nach (a) gilt Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1}), so daß es genügt Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1}) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1} + 2^{ℵ_{ω}} = ℵ_{ω+1}) zu zeigen. Sei M abzählbar und transitiv mit (ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1})^{M}. Es ist zu zeigen, daß es ein M′ gibt mit

(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1} + 2^{ℵ_{ω}} = ℵ_{ω+1})^{M′}. Sei κ :≡ ℵ_{ω}^{M} und seien P und G zu κ wie in 31.4. Dann gilt

(4) ∃f ∈ M[G] f: (κ^{+})^{M[G]} ⟶^{surj.}(κ2)^{M[G]}.

Analog zu (2) beweist man:

(5) (a) Für i < n + 1 ist ℵ_{i}^{M} = ℵ_{i}^{M[G]} und (ℵ^{i}2)^{M} = (ℵ^{i}2)^{M[G]}. Ferner ist ℵ_{ω}^{M} = ℵ_{ω}^{M[G]}. (b) (κ^{+})^{M[G]} = ℵ_{ω+1}^{M[G]}.

Analog zu (3), Fall ”i < n“ beweist man:

(6) Für i < n + 1 gilt (2^{ℵ_{i}} = ℵ_{i+1})^{M[G]}. Analog zu (3), Fall ”i = n“ zeigt man:

(7) (2^{ℵ_{ω}} = ℵ_{ω+1})^{M[G]}. Aus (6) und (7) folgt (ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + ⋯ + 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1} + 2^{ℵ_{ω}} = ℵ_{ω+1})^{M[G]}, und dies war zu zeigen.

QED

31.6 Bemerkung Mit dem hier präsentierten Forcing lassen sich analog zu 31.5 weitere relative Konsistenzresultate gewinnen. Ist etwa κ ein ”geeigneter“ Klassenterm, so erhält man

Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + 2^{κ} = κ^{+}). (Der Leser überlege sich zur Übung, welche Eigenschaften der Term κ erfüllen muß, um ”geeignet“ zu sein.) Mit einem Produkt verschiedener Bedingungsmengen kann man für ”geeignete“ Kardinalzahlterme χ

Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + ∀i < χ 2^{ℵ_{i}} = ℵ_{i+1}) beweisen. Das hier präsentierte Forcing versagt jedoch beim Versuch,

Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + GCH) zu verifizieren, da hierbei alle Ordinalzahlen berücksichtigt werden müssen. Hierzu ist ein Klassenforcing notwendig: man verwendet eine Klasse P von Bedingungen; der generische Filter schneidet jede definierbare, dichte Teilklasse dieser Bedingungsklasse. Der auf Gödel zurückgehende Beweis der relativen Konsistenz von GCH arbeitet ohne Forcingkonstruktion m.H. des inneren Modells L der konstruktiblen Mengen.

31.3 Modelle von ZFC + ¬ CH.

Wir konstruieren Modelle von ZFC + ¬ CH. Dabei gehen wir folgender Strategie nach : ausgehend von einem Grundmodell M fixieren wir eine Kardinalzahl κ ≥ ℵ_{2}^{M}; für jedes α < κ fügen wir zu M eine neue {0, 1} -Folge c_{α} = (ν_{n} | n < ω) hinzu und gelangen zu M[G]. Eine solche Folge wird auch als Cohen-Real bezeichnet. Hierbei bezieht sich die Bezeichnung ”real“ auf die Tatsache, daß eine {0, 1} - Folge abzählbarer Länge als Dualdarstellung einer reellen Zahl interpretiert werden kann. Cohen-Reals können also aufgefaßt werden als zu M neu hinzugefügte reelle Zahlen. Dann ist in M[G] 2^{ℵ_{0}} = \overline{\overline{ω2}} ≥ κ. Können wir κ ≥ ℵ_{2}^{M[G]} erreichen, haben wir (¬ CH)^{M[G]}.

31.7 Satz Sei κ ∈ Card^{M}. Sei a :≡ (κ × ω)^{M} (= κ × ω),^{227} b :≡ 2 und μ :≡ ω. Sei

(P, ≤, 1_{P}) :≡ (Fn(a, b, μ)^{M}, ⊃, ∅).

Sei G ein P -generischer Filter über M. Dann gilt (2^{ℵ_{0}} ≥ κ)^{M[G]}. Ist κ = ℵ_{n}^{M}, wobei n eine konkret

gegebene metasprachliche natürliche Zahl ist, so gilt (2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{n})^{M[G]}.

Beweis. Wegen ((\overline{\overline{2}}^{<ω})^{+})^{M} = ℵ_{1}^{M} gilt (P hat ccc)^{M} und bewahrt P nach 31.1 alle Kardinalitäten. Insbesondere gilt

(∗) κ ∈ Card^{M[G]} und ℵ_{n}^{M} = ℵ_{n}^{M[G]}.

Wir arbeiten nun in M[G]. Sei f :≡ ⋃ G. Für α < κ soll c_{α} :≡ f(α, .) = (f(α, n) | n < ω) gesetzt werden. Diese Definition ist sinnvoll:

(1) f: κ × ω → 2.

Beweis. Da die Elemente von G paarweise kompatible partielle Funktionen p: κ × ω ⊃→ 2 sind, folgt f: κ × ω ⊃→ 2. Um dom(f) = κ × ω zu verifizieren, fixiere (α, n) ∈ κ × ω beliebig. Wir arbeiten in V, um (α, n) ∈ dom(f) zu beweisen. Die Menge

D :≡ {p ∈ P | (α, n) ∈ dom(p)}

ist wegen (α, n) ∈ dom(p) ⟺ ((α, n) ∈ dom(p))^{M} nach (Aus)^{M} ein Element von M. D ist dicht in P. Um dies zu sehen, sei p ∈ P beliebig. Ist (α, n) ∈ dom(p), so sind wir fertig. Ist (α, n) ∉ dom(p), so setzte q :≡ p ∪ {((α, n), 0)}. Dann gilt q ∈ P und q ≤ p. Ferner ist q ∈ D. Also ist D dicht in P. Sei p ∈ G ∩ D. Dann ist p ⊂ f und es folgt (α, n) ∈ dom(p) ⊂ dom(f). Wegen der Absolutheit der Formel (α, n) ∈ dom(f) folgt ((α, n) ∈ dom(f))^{M[G]}; dies war zu zeigen. qed(1)

Wie bereits angedeutet, setzen wir für α < κ

c_{α} :≡ (f(α, n) | n < ω).

Nach (1) ist c_{α} ∈ ω2. Diese Cohen-Reals sind paarweise verschieden:

(2) ∀α < β < κ ∃n < ω c_{α}(n) ≠ c_{β}(n).

Beweis. Es ist die Existenz eines n < ω zu zeigen, so daß f(α, n) ≠ f(β, n) ist. Hierzu arbeiten wir in V. Sei

D :≡ {p ∈ P | ∃n < ω ((α, n) ∈ dom(p) ∧ (β, n) ∈ dom(p) ∧ p(α, n) ≠ p(β, n))}.

227vgl. 22.24.

Man sieht leicht, daß die definierende Formel von D ohne Veränderung der Aussage auf M relativiert werden kann; z.B. gilt im Fall (α, n), (β, n) ∈ dom(p):

(p(α, n) ≠ p(β, n))^{M} ⟺^{22.22} (p(α, n))^{M} ≠ (p(β, n))^{M} ⟺^{22.25} p^{M}(α, n) ≠ p^{M}(β, n)
⟺ p(α, n) ≠ p(β, n).

Nach (Aus)^{M} gilt also D ∈ M. D ist dicht in P. Um dies zu sehen, fixiere p ∈ P beliebig. Wegen (\overline{\overline{p}} < ℵ_{0})^{M} und (\overline{\overline{κ × ω}} = \overline{\overline{κ}} · ℵ_{0} ≥ ℵ_{0})^{M} existiert ein n < ω mit (α, n) ∉ dom(p) und (β, n) ∉ dom(p). Sei

q :≡ p ∪ {((α, n), 0), ((β, n), 1)}.

Dann ist q eine partielle Funktion von κ × ω nach 2, ferner q ∈ M und \overline{\overline{q}}^{M} < ℵ_{0}. Es gilt q ≤ p und q ∈ D. Also ist D in der Tat dicht in P. Sei nun p ∈ G ∩ D. Dann gilt p ⊂ f. Wähle n < ω mit (α, n), (β, n) ∈ dom(p) und p(α, n) ≠ p(β, n). Dann gilt

f(α, n) = p(α, n) ≠ p(β, n) = f(β, n).

Hieraus folgt (f(α, n) ≠ f(β, n))^{M[G]}; dies war zu zeigen. qed(2)

Nun folgt

2^{ℵ_{0}} = \overline{\overline{ω2}} ≥ \overline{\overline{\{c_{α} | α < κ\}}} =^{(2)} \overline{\overline{κ}} =^{(∗)} κ.

Somit gilt in V: (2^{ℵ_{0}} ≥ κ)^{M[G]}, wie behauptet. Da dies nach dem Relativierungslemma 22.22 mit κ ≤

(2^{ℵ_{0}})^{M[G]} äquivalent ist, gilt im Fall κ = ℵ_{n}^{M} in V

ℵ_{n}^{M[G]} =^{(∗)} κ ≤ (2^{ℵ_{0}})^{M[G]},

was nach dem Relativierungslemma mit (2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{n})^{M[G]} gleichwertig ist. Damit ist alles bewiesen. QED

31.8 Corollar (Cohen) Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + ¬ CH).

Beweis. Es genügt, Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC+¬ CH) zu beweisen. Wir wenden hierzu 31.7 mit n :≡ 2 an und erhalten (2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{2})^{M[G]}. Wegen ZFC ⊢ ¬ CH ⟷ 2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{2} folgt hieraus (¬ CH)^{M[G]}. QED

Welche Werte κ können für 2^{ℵ_{0}} erzwungen werden? Wenn κ = 2^{ℵ_{0}} gilt, so ist κ^{ℵ_{0}} = κ. In der Tat ist diese Bedingung auch hinreichend dafür, κ = 2^{ℵ_{0}} erzwingen zu können:

31.9 Satz Sei κ ∈ Card^{M} und es gelte (κ^{ℵ_{0}} = κ)^{M}. Seien (P, ≤, 1_{P}) und G wie in 31.7. Dann gilt

(2^{ℵ_{0}} = κ)^{M[G]}.

Beweis. Nach 31.2 gilt ”≥“. Um ”≤“ zu erhalten, genügt es wegen ZFC ⊢ 2^{ℵ_{0}} = \overline{\overline{Pot(ω)}} zu beweisen, daß (\overline{\overline{Pot(ω)}} ≤ κ)^{M[G]} gilt. Sei hierzu x die durch den Term ω definierte Menge. Dann ist x ∈ M, und da

der Term ω M-M[G]-absolut ist, gilt \overline{\overline{Pot(x̌^{G})}}^{M[G]} = \overline{\overline{Pot(ω)}}^{M[G]}. Nach 31.1 gilt 1_{P} ⊩ \overline{\overline{Pot(x̌)}} ≤ γ̌, also

(\overline{\overline{Pot(x̌^{G})}} ≤ γ)^{M[G]},

wobei γ = (\overline{\overline{a}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}} ·ℵ_{0}})^{M} ist. Es ist also γ = κ zu zeigen. Hierzu arbeiten wir in M. Wegen κ^{ℵ_{0}} = κ gilt

γ = \overline{\overline{a}}^{\overline{\overline{x}} ·\overline{\overline{b}} ·ℵ_{0}} = \overline{\overline{κ × ω}}^{ℵ_{0}·2·ℵ_{0}} = (κ · ℵ_{0})^{ℵ_{0}} = κ^{ℵ_{0}} = κ,

wie benötigt. QED

Wir erhalten das folgende Konsistenzresultat.

31.10 Corollar Sei n ≥ 1 eine konkret gegebene, metasprachliche natürliche Zahl.

(a) Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{n}).

(b) Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{ω+n}).

Beweis. Wir beweisen (a) und überlassen (b) dem Leser zur Übung. Es genügt,

Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{n})

zu zeigen. Hierzu führen wir eine (metasprachliche) Induktion nach n ≥ 1 durch. Im Fall n = 1 ist dies nichts anderes als die relative Konsistenz von CH. Sei nun n > 1. Nach Induktionsvoraussetzung gilt Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{n−1}). Es genügt also zu zeigen

Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{n−1}) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{n}).

Sei also M abzählbar und transitiv mit (ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{n−1})^{M}. Wir halten zunächst fest

(1) (ℵ_{n}^{ℵ_{0}} = ℵ_{n})^{M}.

Beweis. Arbeite in M. Nach der Hausdorffschen Rekursionsformel 10.32 gilt ℵ_{n}^{ℵ_{0}} = ℵ_{n} · ℵ_{n−1}^{ℵ_{0}}. Da ℵ_{n−1}^{ℵ_{0}} = (2^{ℵ_{0}})^{ℵ_{0}} = 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{n−1} gilt, folgt hieraus ℵ_{n}^{ℵ_{0}} = ℵ_{n}. qed(1)

Wende nun 31.7 an mit κ :≡ ℵ_{n}^{M}. Dann folgt (2^{ℵ_{0}} = κ)^{M[G]}, also (2^{ℵ_{0}})^{M[G]} = κ. Da P Kardinalitäten

bewahrt, gilt κ = ℵ_{n}^{M} = ℵ_{n}^{M[G]}, so daß wir (2^{ℵ_{0}})^{M[G]} = ℵ_{n}^{M[G]}, also (2^{ℵ_{0}} = ℵ_{n})^{M[G]} bewiesen haben. QED

31.11 Bemerkung Das letzte Resultat ist eine metasprachliche Aussage und nicht als Satz in der Sprache der Mengenlehre der Art

∀n < ω Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{n})

schreibbar, da das in 31.10 vorkommende n ein metasprachliches Objekt ist. Es lassen sich weiter Aussagen der Art

Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = τ)

zeigen, wobei τ ein ”geeigneter“ Kardinalzahlterm ist. Es ist nicht möglich, dieses ”geeignet“ syntaktisch zu erfassen; u.a. die Unlösbarkeit des Halteproblems und die Undefinierbarkeit der Wahrheit begrenzen hier unsere Möglichkeiten. Beachten Sie, daß wir z.B. τ ≡ (2^{ℵ_{0}})^{+} nicht zulassen können, da ZFC + 2^{ℵ_{0}} = (2^{ℵ_{0}})^{+} inkonsistent ist. Es bleibt nur die Möglichkeit, Beispiele von relativen Konsistenzaussagen anzugeben, wie wir es in 31.10 getan haben; die Gesamtheit aller möglichen Konsistenzen kann nicht aufgelistet werden.

31.4 Unerreichbare Kardinalzahlen und die Kontinuumshypothese.

Bei der Einführung der unerreichbaren Kardinalzahlen haben wir erwähnt, daß Große Kardinalzahlen auch in der Hoffnung studiert wurden, mit ihrer Hilfe die Kontinuumshypothese zu entscheiden. Wir haben außerdem darauf hingewiesen, daß die Kontinuumshypothese von unerreichbaren Kardinalzahlen nicht entschieden wird. Wir sind jetzt in der Lage, dies zu verifizieren. Wir benötigen das folgende Lemma.

31.12 Lemma Sei M ein Grundmodell und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. Sei κ ∈ Card^{M} und es gelte (κ ist unerreichbar)^{M} sowie (\overline{\overline{P}} < κ)^{M}. Sei G ein P -generischer Filter über M. Dann gilt

(κ ist unerreichbar)^{M[G]}.

Beweis. Da (\overline{\overline{P}} < κ)^{M} gilt, gilt trivialerweise (∀A (A Antikette in P ⟶ \overline{\overline{A}} < κ))^{M}, d.h.,

(P hat κ-cc)^{M}.

Da unerreichbare Kardinalzahlen regulär sind, gilt außerdem (κ ist regulär)^{M}. Also bewahrt P Konfinalitäten und Kardinalitäten ≥ κ, siehe 30.9. Insbesondere folgt wegen cf(κ)^{M} = κ: cf(κ)^{M[G]} = cf(κ)^{M} = κ, so daß κ in M[G] regulär ist. Es bleibt zu zeigen, daß κ unter der Operation λ ↦ 2^{λ} abgeschlossen ist, d.h.,

(∀λ ∈ Card (λ < κ ⟶ 2^{λ} < κ))^{M[G]}.

Sei also λ ∈ Card^{M[G]}, λ < κ. Nach 30.20 gilt (\overline{\overline{Pot(λ)}} ≤ λ_{0})^{M[G]} mit λ_{0} = (2^{\overline{\overline{λ}} ·\overline{\overline{P}}} )^{M}. Es ist λ_{0} < κ zu zeigen. Hierzu arbeiten wir in M. Es ist \overline{\overline{λ}} · \overline{\overline{P}} = λ · \overline{\overline{P}} < κ. Da κ unerreichbar ist, folgt hieraus λ_{0} = 2^{λ·\overline{\overline{P}}} < κ, wie benötigt. QED

31.13 Satz Die Kontinuumshypothese ist unabhängig von der Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen. D.h., es gilt

Kon(ZFC + I) ⟶ Kon(ZFC + I + CH)
Kon(ZFC + I) ⟶ Kon(ZFC + I + ¬ CH).

Hierbei ist I :≡ ∃κ κ unerreichbar.

Beweis. Sei M ein Grundmodell mit I^{M}. Sei κ ∈ Card^{M} mit (κ ist unerreichbar)^{M}. Führe mit M zum einen die Forcingkonstruktion, die Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + CH) beweist (31.2), zum anderen (mit κ :≡ ℵ_{2}^{M}) die Forcingkonstruktion, die Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC+¬ CH) (31.7) verifiziert, durch. Dann gilt

(ZFC + CH)^{M[G]} bzw. (ZFC + ¬ CH)^{M[G]}.

Nach 31.1 gilt

(\overline{\overline{Fn(ℵ_{2} × ω, 2, ℵ_{0})}} ≤ (\overline{\overline{ℵ_{2} × ω}} · 2)^{<ℵ_{0}} = ℵ_{2} ≤ 2^{ℵ_{1}})^{M}

und

(\overline{\overline{Fn(ℵ_{1}, ω2, ℵ_{1})}} ≤ (\overline{\overline{ℵ_{1}}} · \overline{\overline{ω2}})^{<ℵ_{1}} = (ℵ_{1} · 2^{ℵ_{0}})^{ℵ_{0}} = 2^{ℵ_{0}} ≤ 2^{ℵ_{1}})^{M}.

Da κ in M unerreichbar ist, gilt trivialerweise (2^{ℵ_{1}} < κ)^{M}, so daß jede der beiden verwendeten Forcing-Halbordnungen in M von kleinerer Kardinalität als κ ist. Nach 31.12 gilt also in beiden Fällen

(κ ist unerreichbar)^{M[G]},

also I^{M[G]}, so daß wir

(ZFC + I + CH)^{M[G]} bzw. (ZFC + I + ¬ CH)^{M[G]}

haben. Hieraus folgen die Aussagen des Satzes. QED

Wir können nun auch klären, ob die Begriffe ”schwach unerreichbar“ und ”(stark) unerreichbar“ unter ZFC äquivalent sind.^{228} Ist ZFC + ∃κ (κ ist schwach unerreichbar) inkonsistent, so gilt

ZFC ⊢ ¬ ∃κ κ ist schwach unerreichbar und somit auch

228Zur Erinnerung: eine Kardinalzahl heißt schwach unerreichbar, falls sie eine reguläre Limeskardinalzahl ist. Jede unerreichbare Kardinalzahl ist schwach unerreichbar.

ZFC ⊢ ¬ ∃κ κ ist unerreichbar.

Trivialerweise sind die beiden Begriffe in diesem Fall also äquivalent. Im anderen Fall ist dies nicht so:

31.14 Satz Kon(ZFC + ∃κ κ ist schwach unerreichbar) ⟶ Kon(ZFC + ∃κ (κ ist schwach unerreichbar ∧ ¬ (κ ist unerreichbar))).

Beweis. Sei M ein Grundmodell mit (∃κ κ ist schwach unerreichbar)^{M}. Sei κ ∈ Card^{M} mit

(κ ist schwach unerreichbar)^{M}.

Führe die Forcingkonstruktion 31.7 mit κ aus. Sei G ein P -generischer Filter über M. Nach 31.7 gilt (2^{ℵ_{0}} ≥ κ)^{M[G]}, so daß κ in M[G] nicht unerreichbar ist. Da andererseits (κ ist Limeskardinalzahl)^{M} gilt

und P Kardinalitäten bewahrt, gilt (κ ist Limeskardinalzahl)^{M[G]}. Da P Konfinalitäten bewahrt und (κ ist regulär)^{M} gilt, folgt κ = cf(κ)^{M} = cf(κ)^{M[G]}. Es folgt, daß κ in M[G] eine reguläre Limeskardinalzahl ist, d.h., κ ist in M[G] schwach unerreichbar. Dies war zu zeigen. QED

31.5 Reelle Zahlen im Cohen-Modell für ¬ CH.

Sei M ein Grundmodell und κ ∈ Card^{M} mit κ > ℵ_{0}. Sei G ein P -generischer Filter über M mit P :≡ Fn(κ × ω, 2, ℵ_{0}). Wie in 31.7 gesehen, erreichen wir (2^{ℵ_{0}} ≥ κ)^{M[G]}, indem wir zu M κ-viele neue Elemente c_{α} (α < κ) von ω2 hinzufügen, die sogenannten Cohen Reals

c_{α} :≡ (f(α, n) | n < ω),

mit f = ⋃ G. Die Bezeichnung ”Real“ ist dadurch gerechtfertigt, daß wir jede reelle Zahl über ihre Dualdarstellung mit einem Element von ω2 identifizieren können. Für den Rest dieses Kapitels wollen wir annehmen, daß ℝ und ω2 übereinstimmen, d.h., wir redefinieren ℝ :≡ ω2.

Auf ℝ haben wir dann eine kanonische Topologie, indem wir 2 = {0, 1} mit der diskreten Topologie ausstatten (d.h., alle Teilmengen von 2 sind offen) und auf ℝ = ×_{n<ω} 2 die Produkttopologie wählen: eine Teilmenge O von ℝ ist genau dann offen, wenn sie von der Form O = ×_{n<ω} O_{n} ist, wobei O_{n} = 2 für fast alle n < ω ist und überdies für jedes n < ω O_{n} eine offene (also hier: beliebige) Teilmenge von 2 ist.

Für s ∈ Fn(ω, 2, ω) definieren wir das durch s bestimmte Intervall I_{s} durch

I_{s} :≡ {f ∈ ℝ | s ⊂ f}.

I_{s} kann interpretiert werden als diejenige Menge reeller Zahlen, deren Dualdarstellung an von s festgelegten Stellen mit den durch s bestimmten Werten übereinstimmen. Wir ordnen jedem Intervall ein Maß μ zu durch

μ(I_{s}) :≡ \frac{1}{2\overline{\overline{s}}} .

Dann ist μ(ℝ) = μ(I_{∅}) = 1. Die Definition läßt sich wie folgt motivieren: ist s: ω ⊃→ 2 vorgelegt und n ∈ ω \ dom(s), so ist I_{s} disjunkte Vereinigung der ”gleich großen“ Intervalle I_{s∪{(n,0)}} und I_{s∪{(n,1)}}; jedes dieser Intervalle sollte also jeweils die Hälfte der Masse von I_{s} tragen. Zusammen mit der Festlegung μ(ℝ) =^{!} 1 ergibt sich hieraus, daß den I_{s} die o.a. Maße zuzuordnen sind.

Eine Teilmenge X ⊂ ℝ nennen wir Nullmenge, wenn gilt

∀ε > 0 ∃(I_{s_{n}}|n < ω) (X ⊂ ⋃_{n<ω} I_{s_{n}} ∧ ∑_{n<ω} μ(I_{s_{n}}) < ε).

(Hierbei sind die I_{s_{n}} gewisse Intervalle in ℝ. Wir verstehen ε und die oben stehende unendliche Reihe als Werte im kanonischen Körper der reellen Zahlen.) Man kann zeigen, daß aus ZFC folgt, daß ℝ keine Nullmenge ist. Ferner gilt

31.15 Lemma N :≡ {X ⊂ ℝ | X ist Nullmenge} ist ein ℵ_{1}-vollständig Ideal auf ℝ. D.h., (i) ∅ ∈ N; (ii) ∀A ∈ N ∀B (B ⊂ A ⟶ B ∈ N );

(iii) ∀Z ⊂ N (\overline{\overline{Z}} < ℵ_{1} ⟶ ⋃ Z ∈ N ).

Beweis. (i) und (ii) sind offensichtlich. Für (iii) sei {A_{i} | i < ω} ⊂ N. Zu ε > 0 seien (I_{s_{i,n}}|n < ω) Intervalle mit A_{i} ⊂ ⋃_{n<ω} I_{s_{i,n}} und ∑_{n<ω} μ(I_{s_{i,n}}) < \frac{ε}{2^{i+2}} . Dann gilt

⋃_{i<ω} A_{i} ⊂ ⋃_{(i,n)∈ω×ω} I_{s_{i,n}}

und

∑_{(i,n)∈ω×ω} μ(I_{s_{i,n}}) = ∑_{i<ω} \underbrace{∑_{n<ω} μ(I_{s_{i,n}})}_{< \frac{ε}{2^{i+2}}} < ε.

Die Folge (I_{s_{i,n}}|(i, n) ∈ ω × ω) ist wie benötigt; beachte ω × ω ∼ ω. QED

Wir zeigen nun, daß ℝ durch den Übergang von M zu M[G], also durch die Hinzufügung der Cohen-Reals wesentlich vergrößert wird. Beachten sie im folgenden, daß

ℝ^{M} = (ω2)^{M} = ω2 ∩ M = ℝ ∩ M

ist und (μ(ℝ) = 1)^{M[G]} (wegen ZFC ⊢ μ(ℝ) = 1) gilt.

31.16 Satz (ℝ ∩ M ist eine Nullmenge)^{M[G]}.

Beweis. Wir benutzen die Cohen-Reals, um eine kleine Überdeckung von ℝ ∩ M in M[G] zu finden. Fixiere zunächst N < ω beliebig; wir wollen zeigen, daß es in M[G] eine Überdeckung von ℝ ∩ M vom Gesamtmaß ≤ \frac{1}{2^{N}} gibt.

(1) ∃(A_{n}|n < ω) ∈ M ∀m, n < ω (A_{n} ⊂ ω ∧ (m ≠ n → A_{m} ∩ A_{n} = ∅) ∧ \overline{\overline{A_{n}}} = N + n + 2).

Beweis. Man sieht mit Hilfe der üblichen Absolutheitsargumente leicht, daß die zu zeigende Behauptung gleichwertig ist mit

(∗) (∃(A_{n}|n < ω) ∀m, n < ω (A_{n} ⊂ ω ∧ (m ≠ m → A_{m} ∩ A_{n} = ∅) ∧ \overline{\overline{A_{n}}} = N + n + 2))^{M}.

Um (∗) zu beweisen, arbeiten wir in M. Definiere eine Folge (k_{n}|n < ω) rekursiv durch k_{0} :≡ 0 und k_{n+1} :≡ k_{n} + N + n + 2. Definiere A: ω → Pot(ω) durch A_{n} :≡ [k_{n}, k_{n+1}[. Man sieht leicht, daß A = (A_{n}|n < ω) das Gewünschte leistet. qed(1)

Fixiere nun α < κ beliebig und setze s_{n} :≡ c_{α} ↾ A_{n}. Dann ist s_{n} ∈ M[G]. Wir zeigen

(2) (a) (ℝ ∩ M ⊂ ⋃_{n<ω} I_{s_{n}})^{M[G]};

(b) (∑_{n<ω} μ(I_{s_{n}}) < \frac{1}{2^{N}} )^{M[G]}.

Beweis. zu (a). Wegen (ℝ ∩ M)^{M[G]} = ℝ ∩ M, (⋃_{n<ω} I_{s_{n}})^{M[G]} = ⋃_{n<ω}(I_{s_{n}})^{M[G]} und

(I_{s_{n}})^{M[G]} = \{f ∈ M[G] | f ∈ \underbrace{ℝ^{M[G]}}_{=ℝ∩M[G]} \underbrace{(s_{n} ⊂ f)^{M[G]}}_{⟺ s_{n}⊂f}\} = I_{s_{n}} ∩ M[G]

ist (a) gleichwertig mit

(∗) ℝ ∩ M ⊂ ⋃_{n<ω} I_{s_{n}} ∩ M[G].

Zum Nachweis der Gültigkeit von (∗) sei x ∈ ℝ ∩ M. Sei

D :≡ {p ∈ P | ∃n < ω ∀k ∈ A_{n} (A_{n} ⊂ dom(p(α, .)) ∧ p(α, k) = x(k))}.

Es ist mit den üblichen Argumenten leicht zu sehen, daß die D definierende Formel ohne Veränderung der Aussage auf M relativiert werden kann, so daß (Aus)^{M} wegen P ∈ M, A ∈ M und x ∈ M impliziert

D ∈ M. Um zu sehen, daß D dicht in P ist, fixiere q ∈ P beliebig. Wegen lim_{n→ω} \overline{\overline{A_{n}}}^{M} = ∞ und \overline{\overline{q}}^{M} < ℵ_{0} existiert ein n < ω mit ({α} × A_{n}) ∩ dom(q) = ∅. Dann ist durch

p :≡ q ∪ {((α, k), x(k)) | k ∈ A_{n}}

eine partielle Funktion von κ × ω nach 2 definiert. Wegen x ∈ M und A ∈ M ist p ∈ M. Ferner gilt

\overline{\overline{p}}^{M} ≤ \overline{\overline{p}}^{M} + \overline{\overline{A_{n}}}^{M} < ℵ_{0}. Es ist p ≤ q und p ∈ D. Also ist D dicht in P, so daß ein p ∈ D ∩ G existiert. Wähle zu p ein n < ω mit p(α, k) = x(k) für alle k ∈ A_{n}. Wegen p ∈ G ist p(α, .) ⊂ c_{α} nach Definition der Cohen-Real c_{α}, so daß für k ∈ A_{n} ⊂ dom(p) folgt

x(k) =^{p∈D} p(α, k) = c_{α}(k) = s_{n}(k),

beachte s_{n} = c_{α} ↾ A_{n}. Also gilt s_{n} ⊂ x, d.h., x ∈ I_{s_{n}} ∩ M[G]. Dies war zu zeigen.

zu (b). Wir arbeiten in M[G]. Wegen N + n + 2 ≤ \overline{\overline{A_{n}}} gilt

\frac{1}{2\overline{\overline{A_{n}}}} ≤ \frac{1}{2^{N}} · \frac{1}{2^{n+2}}

also

∑_{n<ω} \frac{1}{2\overline{\overline{A_{n}}}} ≤ \frac{1}{2^{N}} ∑_{n<ω} \frac{1}{2^{n+2}} ≤ \frac{1}{2^{N}} · \frac{1}{2} < \frac{1}{2^{N}} .

Dies war zu zeigen. qed(2)

Wir haben somit gezeigt:

(∀N < ω ∃(I_{s_{n}}|n < ω) (ℝ ∩ M ⊂ ⋃_{n<ω} I_{s_{n}} ∧ ∑_{n<ω} μ(I_{s_{n}}) < \frac{1}{2^{N}} ))^{M[G]}.

Dies impliziert (ℝ ∩ M ist Nullmenge)^{M[G]}. QED

Wir wollen nun zeigen, daß in M[G] jede Teilmenge ”kleiner“ Kardinalität von ℝ eine Nullmenge ist, wobei ”kleine“ Kardinalitäten diejenigen sind, die unterhalb von κ liegt. Zu diesem Zweck splitten wir die Erweiterung M ⊂ M[G] durch einen Zwischenschritt in M ⊂ M[G_{0}] ⊂ M[G_{0}][G_{1}] = M[G] geeignet auf und nutzen aus, daß nach dem soeben bewiesenen Satz gilt

(ℝ ∩ M[G_{0}] ist Nullmenge)^{M[G_{0}][G_{1}]}.

Wir wählen dann für fixiertes x ∈ M[G], x ⊂ ℝ ∩ M[G] die Filter G_{0} und G_{1} derart, daß x ⊂ M[G_{0}] und somit x ⊂ ℝ ∩ M[G_{0}] gilt. Bevor wir dies detailliert durchführen können, müssen wir die benötigten Begriffe und Techniken entwickeln. Fixiere beliebige A_{0}, A_{1} ∈ M mit κ = A_{0} ∪ A_{1}, A_{0} ≠ ∅, A_{1} ≠ ∅ und A_{0} ∩ A_{1} = ∅. Sei

P_{0} :≡ Fn(A_{0} × ω, 2, ℵ_{0})^{M} und P_{1} :≡ Fn(A_{1} × ω, 2, ℵ_{0})^{M}.

Sei G_{0} :≡ G ∩ P_{0} und G_{1} :≡ G ∩ P_{1}.

31.17 Lemma (a) P_{0} ist mit der kanonischen Ordnung eine Forcing-Halbordnung für M.

(b) P_{1} ist mit der kanonischen Ordnung eine Forcing-Halbordnung für M[G_{0}].

(c) G_{0} ist M-generisch über P_{0}.

(d) G_{1} ist M[G_{0}]-generisch über P_{1}.

(e) M[G] = M[G_{0}][G_{1}].

Beweis. zu (a), (b). Dies folgt leicht aus den Definitionen und 31.1.

zu (c).

(1) G_{0} ist ein Filter auf P_{0}.

Beweis. G_{0} ist nach oben abgeschlossen. Um dies zu sehen fixiere p ∈ G_{0} und q ∈ P_{0} mit q ≥ p. Dann ist p ∈ G, q ∈ P und q ≥ p in P, so daß q ∈ G folgt. Also ist q ∈ G_{0}. Um die paarweise Kompatibilität der Elemente von G_{0} zu verifizieren, fixiere p, q ∈ G_{0}. Dann sind p, q ∈ G, so daß ein r ∈ G existiert mit r ≤ p, q. Sei r_{0} :≡ r ↾ A_{0} × ω. Dann ist r_{0} ∈ P und r_{0} ≥ r, so daß r_{0} ∈ G folgt. Wegen r_{0} ∈ P_{0} folgt r_{0} ∈ G_{0}. Da schließlich r_{0} ≤ p, q in P_{0} ist, ist r_{0} wie benötigt. qed(1)

(c) ist bewiesen, wenn wir folgendes gezeigt haben:

(2) Sei D_{0} ∈ M und D_{0} sei dicht in P_{0}. Dann ist G_{0} ∩ D_{0} ≠ ∅.

Beweis. Sei D :≡ {p ∈ P | p ↾ A_{0} × ω ∈ D_{0}}. Da die definierende Formel von D ohne Veränderung der Aussage auf M relativiert werden kann und P, A_{0}, D_{0} ∈ M gilt, folgt D ∈ M nach (Aus)^{M}. D ist dicht in P. Um dies zu sehen, fixiere q ∈ P. Sei q_{0} :≡ q ↾ A_{0} × ω. Dann ist q_{0} ∈ P_{0}, so daß die Dichtheit von D_{0} die Existenz eines r_{0} ∈ P_{0} mit r_{0} ≤ q_{0} impliziert. Dann ist r :≡ r_{0} ∪ q funktional, denn wegen dom(r_{0}) ⊂ A_{0} × ω und q ↾ A_{0} × ω = q_{0} ⊂ r_{0} stimmen die beiden vereinigten Funktionen auf dem Teil ihres Definitionsbereiches überein, den sie gemeinsam haben. Schließlich ist r ∈ D wegen r ↾ A_{0} × ω = r_{0} ∈ D_{0}; ferner ist r ≤ q. Also ist D dicht in P und D ∈ M, so daß ein p ∈ G ∩ D existiert. Sei p_{0} :≡ p ↾ A_{0} × ω. Wegen p ∈ D ist p_{0} ∈ D_{0}. Wegen p_{0} ≥ p ∈ G ist p_{0} ∈ G. Wegen D_{0} ⊂ P_{0} folgt dann p_{0} ∈ D_{0} ∩ G = D_{0} ∩ P_{0} ∩ G = D_{0} ∩ G_{0}. Dies war zu zeigen. qed(2)

Damit ist (c) gezeigt.

zu (d). Analog zu (1) beweist man

(3) G_{1} ist ein Filter auf P_{1}.

Wegen (a) ist M[G_{0}] wohldefiniert und erneut ein Grundmodell. In Hinblick auf (3) haben wir für den Nachweis von (d) noch zu zeigen:

(4) Sei D_{1} ∈ M[G_{0}] und D_{1} sei dicht in P_{1}. Dann ist G_{1} ∩ D_{1} ≠ ∅.

Beweis. Sei Ḋ_{1} ∈ M mit D_{1} = Ḋ_{1}^{G_{0}}. Da D_{1} dicht in P_{1} und die Eigenschaft ”x ist dicht in P_{1}“ M[G_{1}]- V -absolut ist, gilt (Ḋ_{1}^{G_{0}} ist dicht in P̌_{1}^{G_{0}})^{M[G_{0}]}. Nach dem Forcing-Theorem existiert dann ein p_{0} ∈ G_{0} mit

(4.1) p_{0} ⊩_{P_{0}} Ḋ_{1} ist dicht in P̌_{1}.

Sei D :≡ {p ∈ P | p ↾ A_{0} × ω ⊩_{P_{0}} p̌ ↾ A_{1} × ω ∈ Ḋ_{1}}. Nach (Aus)^{M} ist D ∈ M, denn die definierende Formel ist nach dem Forcing-Theorem zu einer auf M relativierten Formel gleichwertig und die beteiligten Parameter sind Elemente von M. Wir zeigen, daß D dicht in P unter p_{0} ist. Sei hierzu q ∈ P, q ≤ p_{0}. Sei q_{0} :≡ q ↾ A_{0} × ω. Wegen dom(p_{0}) ⊂ A_{0} × ω und q ⊃ p_{0} folgt q_{0} ≤ p_{0}. (4.1) impliziert also

q_{0} ⊩_{P_{0}} Ḋ_{1} ist dicht in P̌_{1}.

Setzen wir q_{1} :≡ q ↾ A_{1} × ω, so gilt q_{1} ∈ P_{1} und damit trivialerweise q_{0} ⊩ q̌_{1} ∈ P̌_{1}, so daß wir insgesamt q_{0} ⊩_{P_{0}} q̌_{1} ∈ P̌_{1} ∧ Ḋ_{1} ist dicht in P̌_{1} haben, was q_{0} ⊩_{P_{0}} ∃r_{1} (r_{1} ∈ P̌_{1} ∧ r_{1} ˇ≤q̌_{1} ∧ r_{1} ∈ Ḋ_{1}) impliziert. Nach 28.25 existiert dann ein r_{0} ∈ P_{0} mit r_{0} ≤ q_{0} und ein r_{1} ∈ dom(P̌_{1}) = P_{1} mit

(4.2) r_{0} ⊩_{P_{0}} ř_{1} ˇ≤q̌_{1} ∧ ř_{1} ∈ Ḋ_{1}.

Dann gilt insbesondere r_{1} ≤ q_{1}: wähle nämlich einen P_{0}-generischen Filter H über M mit r_{0} ∈ H; dann folgt aus (4.2) (r_{1} ≤ q_{1})^{M[H]}, also aus Absolutheitsgründen r_{1} ≤ q_{1}. Sei r :≡ r_{0} ∪ r_{1}. Wegen r_{0} ∈ P_{0} und r_{1} ∈ P_{1} ist die Vereinigung disjunkt, r eine Funktion, r ∈ P und r ↾ A_{0} × ω = r_{0} sowie r ↾ A_{1} × ω = r_{1}. (4.2) impliziert also

r ↾ A_{0} × ω ⊩_{P_{0}} ř ↾ A_{1} × ω ∈ Ḋ_{1},

so daß r ∈ D gilt. Wegen r_{0} ≤ q_{0} und r_{1} ≤ q_{1} ist ferner r ≤ q. Damit ist gezeigt, daß D dicht in P unter p_{0} ist. Wegen p_{0} ∈ G und weil G P -generisch über M ist, existiert dann ein p ∈ G ∩ D. Es gilt

(4.3) p ↾ A_{0} × ω ⊩_{P_{0}} p̌ ↾ A_{1} × ω ∈ Ḋ_{1}

nach Definition von D. Da p ↾ A_{0} × ω ≥ p ≥ p_{0} ∈ G gilt, folgt p ↾ A_{0} × ω ∈ G, so daß wir p ↾ A_{0} × ω ∈ G ∩ P_{0} = g_{0} haben. (4.3) impliziert also p ↾ A_{1} × ω ∈ Ḋ_{1}^{G_{0}} = D_{1}. Dasselbe Argument, das auf p ↾ A_{0} × ω ∈ G_{0} geführt hat, führt auch auf p ↾ A_{1} × ω ∈ G_{1}. Wir haben damit p ↾ A_{1} × ω ∈ G_{1} ∩ D_{1} nachgewiesen, was (4) beweist. qed(4)

Damit ist (d) gezeigt. zu (e). ”⊂“. Wir zeigen

(5) G = {p ∈ P | p ↾ A_{0} × ω ∈ G_{0} ∧ p ↾ A_{1} × ω ∈ G_{1}}.

Beweis. ”⊂“. Sei p ∈ G. Dann sind wegen p ≤ p ↾ A_{0} × ω, p ↾ A_{1} × ω auch p ↾ A_{0} × ω ∈ G und p ↾ A_{1} × ω ∈ G, was sofort p ↾ A_{0} × ω ∈ G_{0} und p ↾ A_{1} × ω ∈ G_{1} impliziert. ”⊃“. Sei p ∈ P mit p ↾ A_{0} × ω ∈ G_{0} und p ↾ A_{1} × ω ∈ G_{1}. Dann gilt insbesondere p ↾ A_{0} × ω ∈ G und p ↾ A_{1} × ω ∈ G. Sei q ∈ G eine gemeinsame Verstärkung von p ↾ A_{0} × ω und p ↾ A_{1} × ω. Dann gilt q ⊃ p ↾ A_{0} × ω ∪ p ↾ A_{1} × ω = p; beachte, daß κ = A_{0} ∪ A_{1} gilt. Somit q ≤ p, was wegen q ∈ G auf p ∈ G führt. Dies war zu zeigen. qed(5)

Da man, wie man leicht sieht, die definierende Formel des Klassentermes in (5) ohne Veränderung der Aussage auf M[G_{0}][G_{1}] relativieren kann und die beteiligten Parameter in M[G_{0}][G_{1}] liegen (beachte P, A_{0}, A_{1} ∈ M ⊂ M[G_{0}] ⊂ M[G_{0}][G_{1}], G_{0} ∈ M[G_{0}] ⊂ M[G_{0}]M[G_{1}] und G_{1} ∈ M[G_{0}][G_{1}]), folgt G ∈ M[G_{0}][G_{1}] aus (Aus)^{M[G_{0}][G_{1}]}. Ferner M ⊂ M[G_{0}] ⊂ M[G_{0}][G_{1}]. Da M[G] das kleinste Grundmodell ist, daß M umfaßt und G als Element enthält, muß M[G] ⊂ M[G_{0}][G_{1}] sein. ”⊃“ Aus P_{0}, P_{1}, G ∈ M[G] folgt G_{0} = G ∩ P_{0} ∈ M[G] und G_{1} = G ∩ P_{1} ∈ M[G]. Die erste Aussage impliziert M[G_{0}] ⊂ M[G] wegen M ⊂ M[G] und der Minimalität von M[G_{0}]. Da M[G_{0}][G_{1}] das kleinste ZFC-Modell N mit G_{1} ∈ N und M[G_{0}] ⊂ N ist, folgt hieraus in Verbindung mit der zweiten Aussage die Gültigkeit von M[G_{0}][G_{1}] ⊂ M[G]. Damit ist der Satz bewiesen. QED

31.18 Beispiel Sei α < κ. Setze A_{0} :≡ κ \ {α}, A_{1} :≡ {α}. Wenn man die Erweiterung M[G] = M[G_{0}][G_{1}] betrachtet, so wird man intuitiv vermuten, daß der M[G_{0}]-Teil ”sehr groß“ sein muß, da A_{0} ”fast“ mit κ übereinstimmt, also P_{0} ”fast“ ganz P ausfüllt. Wenden wir jedoch 31.16 mit M[G_{1}] statt M an, so folgt, daß ℝ ∩ M[G_{0}] eine Nullmenge, also ”sehr klein“ in M[G] ist.

Das nächste Resultat besagt, daß jede reelle Zahl der generischen Erweiterung bereits durch einen abzählbaren Bereich festgelegt werden kann. (Beachten Sie, daß wir reelle Zahlen mit abzählbaren {0, 1}-Folgen, also (interpretiert als charakteristische Funktion) als Teilmenge von ω auffassen können.)

31.19 Satz Sei ẋ ein M-Name. Dann existiert ein A_{0} ∈ M mit A_{0} ⊂ κ, A_{0} ≠ ∅, \overline{\overline{A_{0}}}^{M} ≤ ℵ_{0} und 1_{P} ⊩_{P} (ẋ ⊂ ω ⟶ ẋ ∈ M[Ġ ∩ P̌_{0}]). Hierbei ist Ġ der kanonische Name für Filter, siehe 27.18.

Beweis. Nach 30.17 gibt es zu ẋ einen kanonischen Namen x̃ ∈ M der Art

x̃ = {(ň, p) | n < ω ∧ p ∈ A_{n} ∧ p ⊩_{P} ň ∈ ẋ},

so daß

(1) 1_{P} ⊩_{P} (ẋ ⊂ ω̌ ⟶ ẋ = x̃)

gilt. Hierbei ist für n < ω A_{n} ∈ M und eine Antikette in P. Arbeite nun in M. Da P eine ccc-Forcing-Halbordnung ist, gilt \overline{\overline{A_{n}}} ≤ ℵ_{0}. Also ist B :≡ ⋃_{n<ω} A_{n} höchstens abzählbar und B ⊂ Fn(κ × ω, 2, ℵ_{0}). Also existiert ein abzählbares A_{0} ⊂ κ mit B ⊂ Fn(A_{0} ×ω, 2, ℵ_{0}). Wir können o.E. A_{0} ≠ ∅ annehmen. Wir zeigen, daß A_{0} das im Satz verlangte leistet. Hierzu arbeiten wir wieder in V. Sei also H ein P -generischer Filter über M mit ẋ^{H} ⊂ ω. Dann gilt ẋ^{H} = x̃^{H} nach (1). Wegen (ň, p) ∈ x̃ ⟹ p ∈ A_{n} folgt andererseits

x̃^{H} = {n < ω | ∃p ∈ H (ň, p) ∈ x̃}
= {n < ω | ∃p ∈ H ∩ A_{n} (ň, p) ∈ x̃}
= {n < ω | ∃p ∈ H ∩ B (ň, p) ∈ x̃}
= {n < ω | ∃p ∈ H ∩ P_{0} (ň, p) ∈ x̃}
= x̃^{H∩P_{0}} ∈ M[H ∩ P_{0}],

so daß wir ẋ^{H} ∈ M[Ġ^{H} ∩ P̌_{0}^{H}] nachgewiesen haben. Dies war zu zeigen. QED

31.20 Corollar Sei ν ∈ Cd^{M} und (ẋ_{α}|α < ν) ∈ M. Dann existiert (A_{α}|α < ν) ∈ M mit

∀α < ν (A_{α} ⊂ κ ∧ A_{α} ≠ ∅ ∧ \overline{\overline{A_{α}}}^{M} ≤ ℵ_{0} ∧ 1_{P} ⊩ (ẋ_{α} ⊂ ω ⟶ ẋ_{α} ∈ M[Ġ ∩ P̌_{α}])),

wobei P_{α} :≡ Fn(A_{α} × ω, 2, ℵ_{0})^{M}.

Beweis. Die zu zeigende Behauptung ist äquivalent mit

( ∃A (Fun(A) ∧ dom(A) = ν ∧
∀α < ν (A(α) ⊂ κ ∧ A(α) ≠ ∅ ∧ \overline{\overline{A(α)}} ≤ ℵ_{0} ∧ 1_{P} ⊩^{∗} (ẋ_{α} ⊂ ω ⟶ ẋ_{α} ∈ M[Ġ ∩ P̌_{α}]))))^{M}.

Wir können also in M arbeiten. Definiere F: ν → Pot(Pot(ν)) durch

F (α) :≡ \{B | B ⊂ κ ∧ \overline{\overline{B}} ≤ ℵ_{0} ∧ 1_{P} ⊩^{∗} (ẋ_{α} ⊂ ω ⟶ ẋ_{α} ∈ M[Ġ ∩ P̌_{α}])\}.

(1) F (α) ≠ ∅.

Beweis. Arbeite in V. Es ist

\{B | B ⊂ κ ∧ B ≠ ∅ ∧ \overline{\overline{B}} ≤ ℵ_{0} ∧ 1_{P} ⊩^{∗} (ẋ_{α} ⊂ ω ⟶ ẋ_{α} ∈ M[Ġ ∩ P̌_{α}])\}^{M} ≠ ∅,

also

\{B ∈ M | B ⊂ κ ∧ B ≠ ∅ ∧ \overline{\overline{B}}^{M} ≤ ℵ_{0} ∧ 1_{P} ⊩ (ẋ_{α} ⊂ ω ⟶ ẋ_{α} ∈ M[Ġ ∩ P̌_{α}])\} ≠ ∅

zu zeigen. Dies ist nach 31.19 erfüllt. qed(1)

Aus 3.20 folgt also die Existenz eines A ∈ ×_{α<ν} F (α). Man sieht unmittelbar, daß A wie gewünscht ist.

QED

Wir können jetzt das angestrebte Resultat beweisen.

31.21 Satz (∀x ((x ⊂ ℝ ∧ \overline{\overline{x}} < κ) ⟶ x ist Nullmenge))^{M[G]}.

Beweis. Sei x ∈ M[G] mit (x ⊂ ℝ ∧ \overline{\overline{x}} < κ)^{M[G]}. Sei ẋ ∈ M mit x = ẋ^{G}. Es existiert ein ν ∈ Card^{M[G]},

ν < κ, und ein f ∈ M[G] mit (f: ν ⟶^{surj.} x)^{M[G]}. (Wähle ν :≡ max\{ℵ_{0}, \overline{\overline{x}}^{M[G]}\} und beachte, daß κ > ℵ_{0}

ist.) Sei ḟ ∈ M mit f = ḟ^{G}. Nach dem Forcing-Theorem existiert p ∈ G mit p ⊩ (ẋ ⊂ ℝ ∧ ḟ: ν̌ ⟶^{surj.} ẋ).

(1) ∃(ẋ_{α}|α < ν) ∈ M ∀α < ν p ⊩ (ẋ_{α} ⊂ ω ∧ \underbrace{ḟ(α̌) = \{(n, 0) | n ∈ ω \ ẋ_{α}\} ∪ \{(n, 1) | n ∈ ẋ_{α}\}}_{d.h., ḟ(α̌) ist die charakteristische Funktion von ẋ_{α}}).

Beweis. Es ist

(∃(ẋ_{α}|α < ν) ∀α < ν p ⊩^{∗} (ẋ_{α} ⊂ ω ∧ ḟ(α̌) = {(n, 0) | n ∈ ω \ ẋ_{α}} ∪ {(n, 1) | n ∈ ẋ_{α}}))^{M} zu zeigen. Hierzu arbeiten wir in M. Fixiere α < ν. Dann gilt (1.1) {ẏ | p ⊩^{∗} (ẏ ⊂ ω ∧ ḟ(α̌) = {(n, 0) | n ∈ ω \ ẏ} ∪ {(n, 1) | n ∈ ẏ})} ≠ ∅. Beweis. Wir arbeiten in V. Hier ist zu zeigen

{ẏ ∈ M | p ⊩ (ẏ ⊂ ω ∧ ḟ(α̌) = {(n, 0) | n ∈ ω \ ẏ} ∪ {(n, 1) | n ∈ ẏ})} ≠ ∅.

Ist H ein P -generischer Filter über M mit p ∈ H, so gilt ḟ^{H}: ν → ẋ^{H} und ẋ^{H} ⊂ ℝ^{M[H]} = (ω2)^{M[H]}. Jedes z ∈ ẋ^{H} ist also charakteristische Funktion eines y ∈ M[H] mit y ⊂ ω. Insbesondere gilt dies für ḟ^{H}(α), d.h.,

p ⊩ ∃y (y ⊂ ω ∧ ḟ(α̌) = {(n, 0) | n ∈ ω \ y} ∪ {(n, 1) | n ∈ y}). Nach dem Maximalitätsprinzip 28.26 existiert ein ẏ ∈ M mit

p ⊩ (ẏ ⊂ ω ∧ ḟ(α̌) = {(n, 0) | n ∈ ω \ ẏ} ∪ {(n, 1) | n ∈ ẏ}). Dies war zu zeigen. qed(1.1) Mit Hilfe von Scott’s Trick wähle eine nicht-leere Teilmenge F (α) von

{ẏ | p ⊩^{∗} (ẏ ⊂ ω ∧ ḟ(α̌) = {(n, 0) | n ∈ ω \ ẏ} ∪ {(n, 1) | n ∈ ẏ})}. Betrachte die durch α ↦ F (α) gegebene Funktion. Nach (AC) existiert

(ẋ_{α}|α < ν) ∈ ×_{α<ν} F (α).

Diese Sequenz ist wie benötigt. qed(1) Gemäß 31.20 existiert zu (ẋ_{α}|α < ν) eine Sequenz (A_{α}|α < ν) ∈ M mit

∀α < ν (A_{α} ⊂ κ ∧ A_{α} ≠ ∅ ∧ \overline{\overline{A_{α}}}^{M} ≤ ℵ_{0} ∧ 1_{P} ⊩ (ẋ_{α} ⊂ ω ⟶ ẋ_{α} ∈ M[Ġ ∩ P̌_{α}])), wobei P_{α} :≡ Fn(A_{α} × ω, 2, ℵ_{0})^{M}. Dann gilt

(2) (∀α < ν f(α) ∈ M[G ∩ P_{α}])^{M[G]}.

Beweis. Wegen 1_{P} ∈ G gilt

(ẋ_{α}^{G} ⊂ ω ⟶ ẋ_{α}^{G} ∈ M[G ∩ P_{α}])^{M[G]}. Wegen p ⊩ (ẋ_{α} ⊂ ω ∧ ḟ(α̌) = {(n, 0) | n ∈ ω \ ẋ_{α}} ∪ {(n, 1) | n ∈ ẋ_{α}}) und p ∈ G gilt

(ẋ_{α}^{G} ⊂ ω ∧ f(α) = {(n, 0) | n ∈ ω \ ẋ_{α}^{G}} ∪ {(n, 1) | n ∈ ẋ_{α}^{G}})^{M[G]}. Somit folgt (ẋ_{α}^{G} ∈ M[G ∩ P_{α}])^{M[G]}, so daß

(f(α) = {(n, 0) | n ∈ ω \ ẋ_{α}^{G}} ∪ {(n, 1) | n ∈ ẋ_{α}^{G}} ∈ M[G ∩ P_{α}])^{M[G]} gilt wegen (Ers)^{M[G∩P_{α}]}. qed(2) Sei A :≡ ⋃_{α<ν} A_{α}. Es ist A ∈ M und B :≡ κ \ A ∈ M. Ferner ist A ≠ ∅ und da in M

\overline{\overline{A}} ≤ ∑_{α<ν} \overline{\overline{A_{α}}} ≤ ν · ℵ_{0} = ν < κ

gilt, ist B ≠ ∅. Aus (2) und (x = f[ν])^{M[G]} folgt

(3) (x ⊂ ℝ ∩ ⋃_{α<ν} M[G ∩ P_{α}] ⊂ ℝ ∩ M[G ∩ Fn(A × ω, 2, ℵ_{0})^{M}])^{M[G]}.

Sei G_{A} :≡ G∩Fn(A×ω, 2, ℵ_{0})^{M} und G_{B} :≡ G∩Fn(B ×ω, 2, ℵ_{0})^{M}. Nach 31.17 gilt M[G] = M[G_{A}][G_{B}] und nach 31.16 gilt (ℝ^{M[G_{A}]} ist Nullmenge)^{M[G_{A}][G_{B}]}, so daß

(4) (ℝ^{M[G_{A}]} ist Nullmenge)^{M[G]} folgt. Da nach (3) (x ⊂ ℝ ∩ M[G_{A}])^{M[G]} gilt und Teilmengen von Nullmengen wiederum Nullmengen sind, ergibt sich hieraus die Behauptung des Satzes. QED Wählen wir im letzten Satz κ ≥ ℵ_{2}^{M} (= ℵ_{2}^{M[G]}), so folgt, daß in M[G] jede Teilmenge von ℝ, deren Kardinalität ≤ ℵ_{2}^{M[G]} ist, eine Nullmenge darstellt. Es ist verblüffend, daß in M[G] das Ideal N der Nullmengen aber nicht unter der Vereinigung von ℵ_{1}^{M[G]}-vielen Elementen abgeschlossen ist: 31.22 Satz (¬ N ist ℵ_{2}-vollständig)^{M[G]}. Mehr noch: Es gibt eine Sequenz (N_{i} | i < ℵ_{1}^{M[G]}) ∈ M[G] mit (∀i < ℵ_{1}^{M[G]} N_{i} ist Nullmenge)^{M[G]} und ℝ ∩ M[G] = ⋃{N_{i} | i < ℵ_{1}^{M[G]}}. Beweis. Für i < ℵ_{1}^{M[G]} sei B_{i} :≡ κ \ {i}. Sei N_{i} :≡ ℝ ∩ M[G ∩ P_{i}], wobei P_{i} :≡ Fn(B_{i} × ω, 2, ℵ_{0})^{M}. Dann gilt (N_{i} ist eine Nullmenge)^{M[G]}, vgl. die Argumentation für (4) im Beweis des letzten Satzes. Wir zeigen

(1) ℝ ∩ M[G] = ⋃{N_{i} | i < ℵ_{1}^{M[G]}}. Beweis. Sei x ∈ ℝ ∩ M[G]. Indem wir x analog zur Vorgehensweise im Beweis des letzten Satzes mit derjenigen Teilmenge von ω identifizieren, deren charakteristische Funktion x ist, erhalten wir ein A_{0} ⊂ κ, A_{0} ∈ M, A_{0} ≠ ∅ mit \overline{\overline{A_{0}}}^{M} ≤ ℵ_{0} und x ∈ M[G∩P_{A_{0}}], wobei P_{A_{0}} :≡ Fn(A_{0}×ω, 2, ℵ_{0})^{M} gesetzt ist. Wegen ℵ_{1}^{M[G]} > ℵ_{0} ≥ \overline{\overline{A_{0}}}^{M} existiert i ∈ ℵ_{1}^{M[G]} \ A_{0}. Dann ist A_{0} ⊂ B_{i} und somit x ∈ M[G ∩ P_{A_{0}}] ⊂ M[G ∩ P_{i}], also x ∈ N_{i}. qed(1) Wegen (¬ ℝ ist Nullmenge)^{M[G]} ist also ⋃{N_{i} | i < ℵ_{1}^{M[G]}} keine Nullmenge in M[G]. QED

KAPITEL 32 DIE RELATIVE KONSISTENZ VON ¬ (AC). 297

32 Die relative Konsistenz von ¬ (AC).

Um Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZF + ¬ (AC)) zu beweisen, haben wir nach 23.14 ZFC und die Existenz eines Grundmodells M vorauszusetzen und die Existenz eines Termes M′ zu verifizieren, so daß (ZF +

¬ (AC))^{M′} gilt. Bisher war stets M′ eine gewisse generische Erweiterung von M. Dies ist in dem nun zu behandelnden Fall nicht möglich, da in jeder generischen Erweiterung von M das Auswahlaxiom gilt. Wir wählen für M′ eine geeignete Teilklasse einer geeigneten generischen Erweiterung von M.

Beim Nachweis der relativen Konsistenz von (AC) haben wir das innere Modell HOD der erblich ordinalzahldefinierbaren Mengen betrachtet, siehe 24.6. Wir verallgemeinern diese Konstruktion wie folgt. Sei A ein Term mit A ∈ V. Sei

OD(A) :≡ {x | ∃ θ ∈ On ∃χ ∈ Fml_{4}( ˙∈) ∃α < θ ∃z ∈ < ωA
( x ∈ V_{θ} ∧ z ∈ V_{θ} ∧ A ∈ V_{θ} ∧ ∀y ∈ V_{θ} (y = x ↔ (V_{θ}, ∈) ⊧ χ[y, α, z, A]))}

die Klasse der über A ordinalzahldefinierbaren Mengen und

HOD(A) :≡ {x | TC({x}) ∈ OD(A)}

die Klasse der über A erblich-ordinalzahldefinierbaren Mengen. Entsprechend 24.8 zeigt man, daß HOD(A) ein inneres Modell der Mengenlehre ist, d.h., wir haben

32.1 Satz Es gilt ZFC ⊢ (HOD(A) ist transitiv). Ist ferner φ ein ZF -Axiom oder eine Instanz eines ZF -Schemas, so gilt ZFC ⊢ φ^{HOD(A)}.

Außerdem folgt

32.2 Lemma A ∈ HOD(A).

Beweis. Wegen A ∈ V existiert ein θ ∈ On mit TC({A}) ∈ V_{θ}. Wir können θ ≥ ω annehmen. Sei

χ(y, u, v, w) :≡ ⌜∀x (x ∈ y ⟷ x ∈ TC({w}))⌝.

Dann gilt, mit z :≡ ∅, α :≡ 1,

TC({A}) ∈ V_{θ} ∧ z ∈ V_{θ} ∧ A ∈ V_{θ} ∧ ∀y ∈ V_{θ} (y = TC({A}) ⟷ (V_{θ}, ∈) ⊧ χ[y, α, z, A]),

also TC({A}) ∈ OD(A). Dies bedeutet A ∈ HOD(A). QED

Sei nun M ein Grundmodell und P :≡ Fn(ω × ω, 2, ℵ_{0})^{M}. Sei G ein P -generischer Filter über M. Wie im letzten Kapitel gesehen, adjungiert P ℵ_{0}-viele Cohen-Reals (c_{i}|i < ω) zu M hinzu; es ist c_{i} = f(i, .) mit f = ⋃ G. Wir interpretieren c_{i} ∈ ω2 als charakteristische Funktion einer Teilmenge a_{i} von ω; d.h., für i < ω setzen wir

a_{i} :≡ {n < ω | c_{i}(n) = 1}.

Man sieht sofort a_{i} ∈ M[G] und

A :≡ {a_{i} | i < ω} ∈ M[G].

Sei M′ :≡ (HOD(A))^{M[G]}.

32.3 Satz M′ ist transitiv und es gilt ZF^{M′}.

Beweis. Wegen ZFC ⊢ ∀u ∀v ((u ∈ v ∧ v ∈ HOD(A)) ⟶ u ∈ HOD(A)) folgt

(∀u ∀v ((u ∈ v ∧ v ∈ HOD(A)) ⟶ u ∈ HOD(A)))^{M[G]},

also

∀u ∈ M[G] ∀v ∈ M[G] ((u ∈ v ∧ v ∈ HOD(A)^{M[G]}) ⟶ u ∈ HOD(A)^{M[G]}).

Da M[G] transitiv und HOD(A)^{M[G]} ⊂ M[G] gilt, kann man hier die Beschränkung der Laufvariablen auf M[G] ohne Veränderung der Aussage eliminieren. Die entstehende ∈-Formel besagt gerade, daß M′ transitiv ist. Sei nun φ ein ZF -Axiom oder eine Instanz eines ZF -Schemas. Es ist φ^{M′} zu zeigen. Nach 32.1 gilt

ZFC ⊢ φ^{HOD(A)}. Nach dem Modell-Lemma 22.6 folgt hieraus (φ^{HOD(A)})^{M[G]} wegen ZFC^{M[G]}. Es genügt also, folgendes zu zeigen:

(1) Sei φ eine ∈-Formel. Dann gilt: φ^{M′} ⟷ (φ^{HOD(A)})^{M[G]}.

Beweis. Wir machen eine Induktion über den Aufbau der ∈-Formeln. Der einzige nicht-triviale Fall ist der Fall φ ≡ ∃x ψ(x, y⃗). Hier folgt

φ^{M′} ⟺ ∃x (x ∈ M′ ∧ ψ^{M′}(x, y⃗))
⟺ ∃x (x ∈ M′ ∧ (ψ(x, y⃗)^{HOD(A)})^{M[G]}) (nach Ind.Vor.)
⟺ ∃x (x ∈ (HOD(A))^{M[G]} ∧ (ψ(x, y⃗)^{HOD(A)})^{M[G]})
⟺ ∃x ∈ M[G] (x ∈ (HOD(A))^{M[G]} ∧ (ψ(x, y⃗)^{HOD(A)})^{M[G]})
(wegen (HOD(A))^{M[G]} ⊂ M[G])
⟺ ∃x ∈ M[G] (x ∈ HOD(A) ∧ ψ(x, y⃗)^{HOD(A)})^{M[G]}
⟺ (∃x (x ∈ HOD(A) ∧ ψ(x, y⃗)^{HOD(A)}))^{M[G]}
⟺ (φ^{HOD(A)})^{M[G]}.

Dies war zu zeigen. qed(1)

Damit ist der Satz bewiesen. QED

Wir zeigen nun

32.4 Satz A hat keine Wohlordnung in M′. Insbesondere gilt also (¬ (AC))^{M′}.

Beweis. Angenommen, dies ist nicht der Fall, d.h., es gilt (A hat eine Wohlordnung)^{M′}. Da nach 8.1 die Existenz einer Wohlordnung einer Menge unter ZF gleichwertig ist zur Existenz einer Bijektion von einer Ordinalzahl auf diese Menge, folgt hieraus (∃f ∃η (η ∈ On ∧ f: η ⟶^{bij.} A))^{M′}. Durch Hineinziehen der Relativierung und Ausnutzen der üblichen Absolutheitsargumente erhält man als äquivalente Aussage die Existenz eines f ∈ M′ und eines η ∈ On ∩M′ mit f: η ⟶^{bij.} A.

(1) Es gibt eine ∈-Formel χ(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}), ein α ∈ On ∩M[G] und ein z ∈ < ωA, so daß folgendes gilt: ist i < ω, so existiert ein β < η mit (a_{i} = ιx. χ(x, α, β, z, A))^{M[G]}. Hierbei ist

ιx. ψ(x, y⃗) :≡ {z | ∀x ((ψ(x, y⃗) ∧ ∀x′ (ψ(x′, y⃗) → x = x′)) ⟶ z ∈ x)}

dasjenige eindeutig bestimmte x mit ψ(x, y⃗), falls ein solches existiert (und = V sonst).

Beweis. Wir arbeiten in M[G]. Sei i ↦ φ_{i} eine definierbare Bijektion zwischen ω und Fml_{4}( ˙∈), vgl. 24.4. Sei

φ(v, θ, i, γ, v_{3}, v_{4}) :≡ (v ∈ V_{θ} ∧ v_{3} ∈ V_{θ} ∧ v_{4} ∈ V_{θ} ∧ ∀v_{5} ∈ V_{θ} (v_{5} = v ↔ (V_{θ}, ∈) ⊧ φ_{i}[v_{5}, α, v_{3}, v_{4}])).

Wegen f ∈ HOD(A), also TC({f}) ⊂ OD(A), und f ∈ TC({f}) ist f ∈ OD(A). Also existieren θ ∈ On, i < ω, γ < θ und z ∈ < ωA mit φ(f, θ, i, γ, z, A). Man sieht leicht, daß

(1.1) ∀v (φ(v, θ, i, γ, z, A) ⟷ v = f)

gilt. Wir fassen die Parameter θ, i, γ zu einem Ordinalzahlparameter zusammen. Hierzu statten wir On × On × On mit der lexikographischen Wohlordnung ≺ aus: für (ζ_{0}, ζ_{1}, ζ_{2}), (ξ_{0}, ξ_{1}, ξ_{2}) ∈ On × On × On ist gesetzt

(ζ_{0}, ζ_{1}, ζ_{2}) ≺ (ξ_{0}, ξ_{1}, ξ_{2}) :≡ (ζ_{0} < ξ_{0} ∨ (ζ_{0} = ξ_{0} ∧ ζ_{1} < ξ_{1}) ∨ (ζ_{0} = ξ_{0} ∧ ζ_{1} = ξ_{1} ∧ ζ_{2} < ξ_{2})).

Sei h der Mostowski-Isomorphismus von ≺; dann ist h[On × On × On] = On. Sei

ψ(v, v_{1}, v_{3}, v_{4}) :≡ ∃u_{0}, u_{1}, u_{2} ((u_{0}, u_{1}, u_{2}) = h^{−1}[{v_{1}}] ∧ φ(v, u_{0}, u_{1}, u_{2}, v_{3}, v_{4})) ^{229}

und α :≡ h((θ, i, γ)). Dann gilt φ(v, θ, i, γ, v_{3}, v_{4}) ⟷ ψ(v, α, v_{3}, v_{4}), so daß aus (1.1)

(1.2) ∀v (ψ(v, α, z, A) ⟷ v = f)

folgt. Da f eine Bijektion zwischen η und A ist, existiert ein β < η mit a_{i} = f(β). Sei

χ(v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) :≡ ∃v (ψ(v, v_{1}, v_{3}, v_{4}) ∧ (v_{2}, v_{0}) ∈ v).

Aus (1.2) und (β, a_{i}) ∈ f folgt

∀v_{0} (χ(v_{0}, α, β, z, A) ⟷ v_{0} = a_{i}),

d.h., a_{i} = ιx. χ(x, α, β, z, A). Dies war zu zeigen. qed(1)

Wir konstruieren nun spezielle Namen für die an unseren Untersuchungen involvierten Elemente von M[G].

(2) Für i < ω ist ȧ_{i} :≡ {(ň, p) | n < ω ∧ p ∈ P ∧ p(i, n) = 1} ein M-Name von a_{i}. Für i, j < ω, i ≠ j, gilt 1_{P} ⊩ ȧ_{i} ≠ ȧ_{j}.

Beweis. Fixiere i < ω. Aus P ∈ M folgt leicht ȧ_{i} ∈ M. Ferner gilt

ȧ_{i}^{G} = {n < ω | ∃p ∈ G p(i, n) = 1}.

Wegen c_{i}(n) = 1 ⟺ (⋃ G)(i, n) = 1 ⟺ ∃p ∈ G p(i, n) = 1 folgt hieraus und aus der Definition von a_{i}, daß ȧ_{i}^{G} = a_{i} ist, wie behauptet. Seien nun i, j < ω mit i ≠ j. Sei H ein beliebiger P -generischer Filter über M. Wie im Beweis von 31.7 gesehen, ist

D :≡ {p ∈ P | ∃n < ω ((i, n) ∈ dom(p) ∧ (j, n) ∈ dom(p) ∧ p(i, n) ≠ p(j, n))}

ein Element von M und dicht in P. Sei p ∈ D ∩ H. Wähle n < ω mit p(i, n) ≠ p(j, n). Wir können o.E. p(i, n) = 1 und p(j, n) = 0 annehmen. Dann ist (ň, p) ∈ ȧ_{i}, so daß n ∈ ȧ_{i}^{H} folgt. Andererseits kann es kein q ∈ H geben mit (ň, q) ∈ ȧ_{j}. In diesem Fall wäre nämlich q(j, n) = 1 ≠ p(j, n), als Elemente des Filters H müssen p und q aber kompatibel sein. Es folgt n ∉ ȧ_{j}^{H}, so daß wir ȧ_{i}^{H} ≠ ȧ_{j}^{H} nachgewiesen haben. Damit ist alles gezeigt. qed(2)

Aus (2) und der Definition von A folgt sofort (3) Ȧ :≡ {(ȧ_{i}, 1_{P}) | i < ω} ist ein M-Name für A.

229Beachte, daß h definierbar ist, d.h., eine ∈-Formel μ existiert, so daß für alle x, y gilt: y = h(x) ⟺ μ(x, y); vgl. die Definition des Mostowski-Isomorphismus’ in 6.6.

Für i < ω und m < ω sei

(m, ȧ_{i})^{0} :≡ {({(m̌, 1_{P})}, 1_{P} ), ({(m̌, 1_{P}), (ȧ_{i}, 1_{P})}, 1_{P} )}.

Ferner sei m̄ :≡ |z|, und l: m̄ → ω definiert durch z = (a_{l(m)} | m < m̄).

(4) ż :≡ {((m, ȧ_{i})^{0}, 1_{P} ) | m < m̄ ∧ i < ω ∧ i = l(m)} ist ein M-Name für z.

Beweis. Es ist leicht zu sehen, daß (m, ȧ_{i})^{0} ∈ M ist für m, i < ω. Wegen m̄ < ω ist m̄ ∈ M. Da P in M ℵ_{0} -abgeschlossen ist (vgl. 31.1), folgt aus m̄ ∈ M, \overline{\overline{m̄}} < ℵ_{0}, ω ∈ M, daß l ∈ M[G] schon in M existiert. Nun ergibt sich sofort ż ∈ M. Ferner folgt

ż^{G} = {((m, ȧ_{i})^{0})^{G} | m < m̄ ∧ i < ω ∧ i = l(m)}
= {{{(m̌, 1_{P})}^{G}, {(m̌, 1_{P}), (ȧ_{i}, 1_{P})}^{G}} | m < m̄ ∧ i < ω ∧ i = l(m)}
= \{\underbrace{\{\{m\}, \{m, ȧ_{i}^{G}\}\}}_{=(m,ȧ_{i}^{G})} | m < m̄ ∧ i < ω ∧ i = l(m)\}

=^{(2)} {(m, a_{l(m)}) | m < m̄}
= z.

Dies war zu zeigen. qed(4)

Wir fixieren nun i < ω mit a_{i} ∉ ran(z). Ein solches i existiert, da z endlich und die a_{i} paarweise verschieden sind. Wegen (ȧ_{i}^{G} = ιx. χ(x, α, β, ż^{G}, Ȧ^{G}))^{M[G]} existiert nach dem Forcing-Theorem ein p_{0} ∈ G mit

(5) p_{0} ⊩ ȧ_{i} = ιx. χ(x, α̌, β̌, ż, Ȧ).

Wähle ein j < ω, j ≠ i mit a_{j} ∉ ran(z). Da p endlich ist, können wir ({j}×ω)∩dom(p_{0}) = ∅ erreichen. Sei

π: ω ⟶^{bij.} ω diejenige Permutation, die i und j vertauscht und alle anderen Elemente nicht bewegt. Offenbar gilt π ∈ M. Wir setzen π zu einer wiederum mit π bezeichneten Abbildung mit Definitionsbereich P fort durch

π(p) :≡ {((π(k), n), y) | (k, n) ∈ ω × ω ∧ y ∈ 2 ∧ ((k, n), y) ∈ p}.

π(p) weist also allen Argumenten (k, n) ∈ dom(π(p)) mit k ∉ {i, j} denselben Funktionswert wie p zu; jedem Argument (i, n) ∈ dom(π(p)) wird der Wert p(j, n) zugewiesen; jedem Argument (j, n) ∈ dom(π(p)) wird der Wert p(i, n) zugewiesen. Man verifiziert leicht:

(6) π ist eine ordnungstreue Bijektion von P und es gilt π ∈ M.

Die Bedeutung von π liegt in

(7) p_{0} ∥ π(p_{0}).

Beweis. Es ist zu zeigen, daß p_{0} und π(p_{0}) denjenigen Argumenten, die im Definitionsbereich beider Funktionen liegen, dieselben Werte zuweisen. Wegen ({j}×ω)∩dom(p_{0}) = ∅ ist ({i}×ω)∩dom(π(p_{0})) = ∅ und somit

dom(p_{0}) ∩ dom(π(p_{0})) ⊂ (ω \ {i, j}) × ω.

Nach Definition von π stimmen p_{0} und π(p_{0}) auf der rechts stehenden Menge überein. qed(7)

Wir zeigen unten:

(8) π(p_{0}) ⊩ ȧ_{j} = ιx. χ(x, α̌, β̌, ż, Ȧ). Ist dann q eine gemeinsame Verstärkung von p_{0}, π(p_{0}), so gilt

q ⊩ ȧ_{i} = ιx. χ(x, α̌, β̌, ż, Ȧ) wegen (5) und q ≤ p_{0}, sowie

q ⊩ ȧ_{j} = ιx. χ(x, α̌, β̌, ż, Ȧ) wegen (8) und q ≤ π(p_{0}), so daß sich q ⊩ ȧ_{i} = ȧ_{j} ergibt. Andererseits gilt nach (2) q ⊩ ȧ_{i} ≠ ȧ_{j} wegen i ≠ j und q ≤ 1_{P}. Beides zusammen ist nicht möglich. Der Widerspruch zeigt, daß unsere Annahme einer Wohlordnung von A in M′ falsch sein muß, was den Satz beweist. Es verbleibt, (8) zu verifizieren. Beweis von (8). Sei H ein P -generischer Filter über M mit π(p_{0}) ∈ H. Sei H′ :≡ π[H]. Man sieht leicht, daß H′ ein P -generischer Filter über M ist. Wegen π ∈ M ist H′ = π[H] ∈ M[H] und H = π^{−1}[H′] ∈ M[H′], so daß (8.1) M[H] = M[H′] gilt. Wir berechnen die Interpretationen unserer oben definierten speziellen Namen bzgl. H und H′. Ist k ∉ {i, j} so gilt

(8.2) ȧ_{k}^{H} = \{n < ω | ∃p ∈ H \underbrace{p(k, n)}_{=π(p)(k,n)} = 1\} = \{n < ω | ∃p′ ∈ π[H] p′(k, n) = 1\} = ȧ_{k}^{H′}.

Im Fall k = i folgt

(8.3) ȧ_{i}^{H} = \{n < ω | ∃p ∈ H \underbrace{p(i, n)}_{=π(p)(j,n)} = 1\} = \{n < ω | ∃p′ ∈ π[H] p′(j, n) = 1\} = ȧ_{j}^{H′}.

Aus Symmetriegründen folgt hieraus noch (8.4) ȧ_{j}^{H} = ȧ_{i}^{H′}. Ferner ergibt sich aus (8.2)–(8.4) (8.5) Ȧ^{H} = {ȧ_{k}^{H} | k < ω} = {ȧ_{k}^{H′} | k < ω} = Ȧ^{H′}. Für k ∉ {i, j} berechnen wir mit (8.2) elementar (8.6) ((m, ȧ_{k})^{0})^{H} = (m, ȧ_{k}^{H}) = (m, ȧ_{k}^{H′}) = ((m, ȧ_{k})^{0})^{H′}. Da a_{i} und a_{j} in ran(z) nicht vorkommen, ist l(m) ∉ {i, j} für m < m̄, so daß aus (8.6) folgt (8.7) ż^{H} = {((m, ȧ_{k})^{0})^{H} | m < m̄ ∧ k = l(m)} = {((m, ȧ_{k})^{0})^{H′} | m < m̄ ∧ k = l(m)} = ż^{H′}. Wegen π(p_{0}) ∈ H gilt p_{0} = π(π(p_{0})) ∈ π[H] = H′. Aus (5) folgt also

(ȧ_{i}^{H′} = χ(x, α, β, ż^{H′}, Ȧ^{H′}))^{M[H′]}. Wegen (8.3), (8.5) und (8.7) bedeutet dies

(ȧ_{j}^{H} = χ(x, α, β, ż^{H}, Ȧ^{H}))^{M[H′]}, nach (8.1) also (ȧ_{j}^{H} = χ(x, α, β, ż^{H}, Ȧ^{H}))^{M[H]}; dies war zu zeigen. qed(8)

Damit ist der Satz bewiesen. QED 32.5 Bemerkung Die Grundidee des obigen Beweises, die Arbeit mit einem Permutationsmodell, geht auf Fraenkel zurück.

Nach 23.14 folgt aus 32.4:

32.6 Corollar Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZF + ¬ (AC)).

Da wir in 24.10 Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC) bewiesen haben, erhalten wir:

32.7 Corollar Kon(ZF) ⟶ Kon(ZF + ¬ (AC)).

24.10 und 32.7 können wir so zusammenfassen:

32.8 Satz Das Auswahlaxiom ist unabhängig von ZF.

33 Iteriertes Forcing.

33.1 Warum ”iteriertes Forcing“?

Es sei φ eine ∈-Formel, die die Form ∀x⃗ ∃y⃗ ψ(x⃗, y⃗), wobei ψ eine Σ_{0}-Formel ist. Von dieser Form ist etwa MA(μ). Wir wollen ein Modell M′ der Mengenlehre konstruieren, in dem φ gilt. In der Modelltheorie haben wir gesehen, daß Formeln dieser Struktur eng mit Ketten von Modellen zusammenhängen.^{230} Ein naiver Ansatz für die Konstruktion von M′ ist also der folgende: wir starten mit einem Grundmodell M und setzen M_{0} :≡ M; ist M_{n} konstruiert, so wählen wir m.H. einer Forcingkonstruktion ein abzählbares, transitives ZFC -Modell M_{n+1} ⊃ M_{n} derart, daß für jede Wahl von x⃗ ∈ M_{n} ein Zeuge y⃗ in M_{n+1} für ∃y⃗ ψ(x⃗, y⃗) existiert, daß also

(∗) ∀x⃗ ∈ M_{n} ∃y⃗ ∈ M_{n+1} ψ(x⃗, y⃗)

gilt. (Wir wollen annehmen, daß ein solches Modell existiert.) Wir setzen dann M′ :≡ ⋃_{n<ω} M_{n}. Aus (∗) folgt in Verbindung mit der Tatsache, daß ψ absolut zwischen transitiven Strukturen ist, unmittelbar, daß φ^{M′} gilt. Unglücklicherweise ist M′ im allgemeinen kein Modell von ZFC, so daß unser naiver Ansatz nicht zum Ziel führt, z.B.:

33.1 Lemma Sei M ein Grundmodell und (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M. P sei verzweigt, siehe 27.6. Setze M_{0} :≡ M. Ist M_{n} ⊃ M bereits definiert, so sei G_{n} ein P -generischer Filter über M_{n} und M_{n+1} :≡ M_{n}[G_{n}]. Dann erfüllt M′ :≡ ⋃_{n<ω} M_{n} nicht das Potenzmengenaxiom.

Beweis. Aus der Absolutheit der Eigenschaft ”(P, ≤, 1_{P}) ist eine Forcing-Halbordnung“ folgt durch Induktion nach n leicht:

(1) Für n < ω gilt: (P, ≤, 1_{P}) ist eine Forcing-Halbordnung für M_{n} und es gilt M ⊂ M_{n} ⊂ M_{n+1}.

Die in der Formulierung des Lemmas angegebenen Strukturen (M_{n}|n < ω) sind also wohldefinierte transitive Modelle von ZFC. Angenommen nun, M′ erfüllt (Pot). D.h., ∀a ∈ M′ Pot(a) ∩ M′ ∈ M′. Speziell gilt dann Pot(P)∩M′ ∈ M′. Nach Definition von M′ existiert dann ein n < ω mit Pot(P)∩M′ ∈ M_{n}. Da M_{n} transitiv ist, ist Pot(P) ∩ M′ ⊂ M_{n}. Betrachte die Erweiterung M_{n} ⊂ M_{n+1} = M_{n}[G_{n}]. Da P verzweigt, gilt G_{n} ∈ M_{n}[G_{n}] \ M_{n}. Andererseits ist G_{n} ∈ Pot(P) ∩ M′ ⊂ M_{n}. Der Widerspruch zeigt, daß (Pot)^{M′} nicht gelten kann. QED

Wir modifizieren deshalb unseren naiven Ansatz wie folgt:

(1) Wir wählen ein hinreichend großes κ ∈ On ∩M und konstruieren eine ⊂ -Kette (M_{α}|α ≤ κ) von Grundmodellen.

230siehe 18.9 und 18.10. Wir hatten dort Formeln der Art ∀x⃗ ∃y⃗ ψ mit quantorenfreiem ψ betrachtet. Wir können im Rahmen der Mengenlehre ψ als Σ_{0}-Formel wählen, da derartige Formeln zwischen ”vernünftigen“ Strukturen von vornherein absolut sind. Im Rahmen der Modelltheorie gilt dies nur für quantorenfreie Formeln.

(2) An jeder Nachfolgerstelle α + 1 ≤ κ gilt: M_{α+1} ist eine generische Erweiterung von M_{α} mit einer geeigneten Forcing-Halbordnung für M_{α}.

(3) An jeder Limesstelle δ ≤ κ ist M_{δ} eine generische Erweiterung von M mit einer geeigneten Forcing-Halbordnung für M.

Um dies zu organisieren fixieren wir eine Familie ((Q̇_{k}, ˙≤_{k}, ˙1_{k}) | k < κ) ∈ M von M-Namen. Dann konstruieren wir eine Folge ((P_{i}, ≤_{i}, 1_{i}) | k ≤ κ) von Forcinghalbordnungen für M. Für k ≤ κ besteht P_{k} aus gewissen k -Folgen. Im Fall k = l + 1 verlangen wir (u.a.) p ↾ l ∈ P_{l} und

1_{l} ⊩_{P_{l}} (Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist eine Forcing-Halbordnung.

Im Fall Lim(k) wählen wir für P_{k} den direkten Limes der Folge ((P_{l}, ≤_{l}, 1_{l}) | l < k), d.h., wir nehmen in P_{k} diejenigen p: k → M auf, die (u.a.) ∀ l < k p ↾ l ∈ P_{l} und ∃m < k ∀ l < k (m < l ⟶ p(l) = ˙1_{l}) erfüllen. Wir betrachten dann (P_{κ}, ≤_{κ}, 1_{κ}) und wählen einen P_{κ}-generischen Filter G_{κ} auf M. Für k ≤ κ setzen wir G_{k} :≡ G_{κ} ↾ k :≡ {p ↾ k | p ∈ G_{κ}}. Wir werden sehen, daß G_{k} ein P_{k}-generischer Filter über M ist, so daß wir M_{k} :≡ M[G_{k}] bilden können. Es zeigt sich, daß (M_{k}|k ≤ κ) eine aufsteigende ⊂ -Kette von ZFC -Modellen ist. Abschließend rechtfertigen wir ”im nachhinein“, daß jedes Modell an einer Nachfolgerstelle eine generische Erweiterung des Modelles an der jeweiligen Vorgängerstelle ist, daß also M_{l+1} = M_{l}[H^{l}] ist. Hierzu ist es erforderlich, eine geeignete Forcing-Halbordnung für M_{l} zu finden. Wegen 1_{l} ⊩_{P_{l}} (Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist eine Forcing-Halbordnung, ist (Q^{l}, ≤^{l}, 1^{l}) :≡ (Q̇_{l}^{G_{l}}, ˙≤^{G_{l}}, ˙1_{l}^{G_{l}}) eine Forcing-Halbordnung für M_{l}. Wir werden sehen, daß H^{l} :≡ {p(l)^{G_{l}} | p ∈ G_{κ}} ein (Q^{l}, ≤^{l}, 1^{l})-generischer Filter über M_{l} ist, der M_{l+1} = M_{l}[H^{l}] erfüllt. Eine derartige Konstruktion führt also auf die gewünschte Kette von ZFC -Modellen. Wir untersuchen nun die Details dieser Konstruktion.

33.2 Die Forcing-Halbordnungen des iterierten Forcings.

Sei M ein Grundmodell, κ ∈ On ∩M und ((Q̇_{k}, ˙≤_{k}, ˙1_{k}) | k < κ) ∈ M eine Familie von M-Namen.

33.2 Satz Es gibt eine Sequenz ((P_{i}, ≤_{i}, 1_{i}) | k ≤ κ) ∈ M mit

(a) ∀ k ≤ κ (P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) ist eine Forcing-Halbordnung für M.

(b) (P_{0}, ≤_{0}, 1_{0}) = ({∅}, {(∅, ∅)}, ∅). Ist k ≤ κ und gilt 1_{l} ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l})ist eine Forcing-Halbordnung) sowie ˙1_{l} ∈ dom(Q̇_{l}) für alle l < k, so gilt:

(c) Ist k = l + 1, so gilt

P_{k} = {p ∈ M | p: k → M ∧ p ↾ l ∈ P_{l} ∧ p(l) ∈ dom(Q̇_{l}) ∧ p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ∈ Q̇_{l}},
1_{k} = 1_{l}^{⌢} ˙1_{l},
p ≤_{k} q ⟺ p ↾ l ≤_{l} q ↾ l ∧ p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ˙≤_{k} q(l).

(d) Ist k eine Limesordinalzahl, so gilt

P_{k} = {p ∈ M | p: k → M ∧ ∀ l < k p ↾ l ∈ P_{l} ∧ ∃m < k ∀ l < k (m ≤ l ⟶ p(l) = ˙1_{l})},
1_{k} = ⋃_{l<k} 1_{l},
p ≤_{k} q ⟺ ∀ l < k p ↾ l ≤_{l} q ↾ l.

(e) In beiden Fällen gilt 1_{k} = (˙1_{i}|i < k).

Beweis. Wir arbeiten in M und definieren rekursiv eine Folge ((P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) | k ≤ κ) wie folgt: Es sei (P_{0}, ≤_{0}, 1_{0}) :≡ ({∅}, {(∅, ∅)}, ∅). (P_{0}, ≤_{0}, 1_{0}) ist offenbar eine Forcing-Halbordnung. Ist k ≤ κ, k = l + 1, so unterscheiden wir zwei Fälle. Fall 1. ∀ i < k (1_{i} ⊩_{P_{i}}^{∗} (Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i})ist eine Forcing-Halbordnung ∧ 1_{i} ∈ dom(Q̇_{i})). Wir definieren

P_{k} :≡ {p | p: k → M ∧ p ↾ l ∈ P_{l} ∧ p(l) ∈ dom(Q̇_{l}) ∧ p ↾ l ⊩_{P_{l}}^{∗} p(l) ∈ Q̇_{l}},
p ≤_{k} q :≡ p ↾ l ≤_{l} q ↾ l ∧ p ↾ l ⊩_{P_{l}}^{∗} p(l) ˙≤_{k} q(l)
1_{k} :≡ 1_{l}^{⌢} ˙1_{l}.

Diese Setzungen sind wohldefiniert, da aus der Induktionsvoraussetzung P_{l} ⊂ lM folgt. (P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) leistet das gewünschte:

(1) (P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) ist eine Forcing-Halbordnung und 1_{k} = (˙1_{i}|i < k).

Beweis. Wir arbeiten in V. Es ist 1_{k} ∈ P_{k}, denn nach Voraussetzung gilt einerseits ˙1_{l} ∈ dom(Q̇_{l}) und andererseits

1_{l} ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l})ist eine Forcing-Halbordnung);

letzteres impliziert insbesondere 1_{l} ⊩_{P_{l}} ˙1_{l} ∈ Q̇_{l}. Da nach Induktionsvoraussetzung 1_{l} = (˙1_{i}|i < l) ist, ergibt sich sofort (e).

≤_{k} ist reflexiv. Um dies zu sehen fixiere p ∈ P_{k}. Dann ist p ↾ l ∈ P_{l}. Nach Induktionsvoraussetzung ist ≤_{l} reflexiv, so daß p ↾ l ≤_{l} p ↾ l gilt. Es bleibt zu zeigen, daß p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ˙≤_{l} p(l) gilt. Sei also H ein P_{l}-generischer Filter über M mit p ↾ l ∈ H. Es ist zu zeigen:

(1.1) (p(l)^{H} ˙≤^{H} p(l)^{H})^{M[H]}

Beweis. Aus p ∈ P_{k} folgt

(∗) p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ∈ Q̇_{l}.

Aus p ↾ l ≤_{l} 1_{l} und 1_{l} ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist Forcing-Halbordnung) folgt

(∗∗) p ↾ l ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist Forcing-Halbordnung).

Aus (∗) und (∗∗) folgt wegen p ↾ l ∈ H:

(p(l)^{H} ∈ Q̇_{l}^{H} ∧ (Q̇_{l}^{H}, ˙≤_{l}^{H}, ˙1_{l}^{H}) ist eine Forcinghalbordnung)^{M[H]}.

Arbeiten wir in M[H], so gilt also insbesondere p(l)^{H} ∈ Q̇_{l}^{H} und ˙≤^{H} ist reflexiv auf Q̇_{l}^{H}. Dies führt auf p(l)^{H} ˙≤^{H}p(l)^{H}. Da diese Argumentation in M[H] stattfand, ist (1.1) bewiesen. qed(1.1)

≤_{k} ist transitiv. Um dies zu sehen fixiere p, q, r ∈ P_{k} mit p ≤_{k} q und q ≤_{k} r. Dann gilt p ↾ l ≤_{l} q ↾ l ≤ r ↾ l nach Definition von ≤_{k}. Nach Induktionsvoraussetzung ist ≤_{l} transitiv, so daß wir

(1.2) p ↾ l ≤_{l} r ↾ l

haben. Nach Definition von ≤_{k} gilt ferner p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ˙≤_{l} q(l) und q ↾ l ⊩_{P_{l}} q(l) ˙≤_{l} r(l). Wegen p ↾ l ≤_{l} q ↾ l folgt aus letzterem p ↾ l ⊩_{P_{l}} q(l) ˙≤_{l} r(l). Da wegen 1_{l} ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist Forcing-Halbordnung) und p ↾ l ≤_{l} 1_{l} überdies p ↾ l ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist Forcing-Halbordnung) gilt, haben wir insgesamt

p ↾ l ⊩_{P_{l}} (p(l) ˙≤_{l} q(l) ∧ q(l) ˙≤_{l} r(l) ∧ (Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist Forcing-Halbordnung).

Ist H ein P_{l}-generischer Filter über M mit p ↾ l ∈ H, folgt hieraus insbesondere

(p(l)^{H} ˙≤_{l}^{H} q(l)^{H} ∧ q(l)^{H} ˙≤_{l}^{H} r(l)^{H} ∧ ˙≤_{l}^{H} ist transitiv)^{M[H]},

was (p(l)^{H} ˙≤_{l}^{H} r(l)^{H})^{M[H]} impliziert. Somit gilt p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ˙≤_{l} r(l). Zusammen mit (1.2) folgt hieraus p ≤_{k} r. Also ist ≤_{k} transitiv.

Um zu sehen, daß 1_{k} größtes Element von P_{k} ist, fixiere p ∈ P_{k}. Wegen p ↾ l ∈ P_{l} gilt nach Induktionsvoraussetzung

(1.3) p ↾ l ≤_{l} 1_{l} = 1_{k} ↾ l, wegen 1_{l} ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist Forcing-Halbordnung) also p ↾ l ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist Forcing-Halbordnung). Da aus p ∈ P_{k} folgt p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ∈ Q̇_{l}, erhalten wir insgesamt

p ↾ l ⊩_{P_{l}} (Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist Forcing-Halbordnung ∧ p(l) ∈ Q̇_{l}.

Analog zu eben durchgeführten Argumenten folgt hieraus leicht die Gültigkeit von p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ˙≤_{l} ˙1_{l}, was wegen ˙1_{l} = 1_{k}(l) zusammen mit (1.3) sofort p ≤_{k} 1_{k} impliziert.

Damit ist (1) bewiesen. qed(1)

Fall 2. Fall 1. tritt nicht ein. Dann sei (P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) :≡ ({∅}, {(∅, ∅)}, ∅). (P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) ist dann offenbar eine Forcing-Halbordnung.

Nun sei k ≤ κ eine Limesordinalzahl. Wir unterscheiden wieder zwei Fälle.

Fall 1. ∀ l < k (1_{l} ⊩_{P_{l}}^{∗} (Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist eine Forcing-Halbordnung ∧ ˙1_{l} ∈ dom(Q̇_{l})). Wir definieren

P_{k} :≡ {p | p: k → M ∧ ∀ l < k p ↾ l ∈ P_{l} ∧ ∃m < k ∀ l < k (m ≤ l ⟶ p(l) = ˙1_{l})},
p ≤_{k} q :≡ ∀ l < k p ↾ l ≤_{l} q ↾ l
1_{k} :≡ ⋃_{l<k} 1_{l}.

Diese Setzungen sind wohldefiniert, da aus der Induktionsvoraussetzung P_{l} ⊂ lM für alle l < k folgt. (P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) leistet das gewünschte:

(2) (P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) ist eine Forcing-Halbordnung und 1_{k} = (˙1_{i}|i < k).

Beweis. Wir arbeiten in V. Da nach Induktionsvoraussetzung 1_{l} = (˙1_{i}|i < l) für l < k gilt, ist 1_{k} ∈ P_{k} und es gilt (e).

≤_{k} ist reflexiv. Ist nämlich p ∈ P_{k}, so ist p ↾ l ∈ P_{l} für l < k und somit p ↾ l ≤_{l} p ↾ l für diese l wegen der Reflexivität von ≤_{l}. Dies bedeutet p ≤_{k} p.

≤_{k} ist transitiv, denn p ≤_{k} q ≤_{k} r impliziert p ↾ l ≤_{l} q ↾ l ≤_{l} r ↾ l für l < k, was wegen der Transitivität von ≤_{l} auf p ↾ l ≤_{l} r ↾ l für diese l führt. Letzteres bedeutet p ≤_{k} r.

1_{k} ist größtes Element von (P_{k}, ≤_{k}). Ist nämlich p ∈ P_{k}, so gilt p ↾ l ≤_{l} 1_{l} = 1_{k} ↾ l, da 1_{l} nach Induktionsvoraussetzung größtes Element von (P_{l}, ≤_{l}) ist. Also gilt p ≤_{k} 1_{k}. qed(2)

Fall 2. Fall 1. tritt nicht ein. Dann sei (P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) :≡ ({∅}, {(∅, ∅)}, ∅). QED

33.3 Bemerkung Die in obigem Beweis jeweils in ”Fall 2“ definierten Forcing-Halbordnungen haben nur den Zweck, die Rekursion nicht abbrechen zu lassen. In Anwendungen werden wir sicherstellen, daß die Namenfolge ((Q̇_{k}, ˙≤_{k}, ˙1_{k}) | k < κ) so beschaffen ist, daß wir uns stets in ”Fall 1“ befinden. Formal können wir das so erreichen, daß wir an jeder Stelle i, an der die Voraussetzungen von Fall 1 nicht erfüllt sind vom Namentripel (Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) übergehen zu (ω̌, ˇ≥, ˇ0), wobei ≥ die umgekehrte kanonische Ordnung von ω ist und die kanonischen Namen bezüglich P_{i} gebildet sind. Offenbar gilt ˇ0 ∈ dom(ω̌) und 1_{i} ⊩_{P_{i}} ((ω̌, ˇ≥, ˇ0) ist Forcing-Halbordnung). Wir setzen deshalb von nun an o.E. voraus, daß die Folge ((P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) | k ≤ κ) an jeder Stelle von der in 33.2 (c) – (e) angegebenen Form ist.

Fixiere eine gemäß des Satzes gebildete Folge ((P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) | k ≤ κ).

33.4 Definition Sei k ≤ κ und p ∈ P_{k}. supp(p) :≡ {l < k | p(l) ≠ ˙1_{l}} ist der Träger (engl. support) von p.

33.5 Lemma Ist k ≤ κ und p ∈ P_{k}, so ist supp(p) endlich.

Beweis. Wir führen eine Induktion nach k durch. Die Behauptung ist evident im Fall k = 0. Gilt Lim(k), so existiert ein m < k mit p(l) = ˙1_{l} für m ≤ l < k. Also ist supp(p) = supp(p ↾ m). Da p ↾ m ∈ P_{m} nach Definition von P_{k} gilt, folgt aus der Induktionsvoraussetzung die Endlichkeit von supp(p). Ist schließlich k = l + 1, so folgt \overline{\overline{supp(p)}} ≤ \overline{\overline{supp(p ↾ l)}} + 1, und da nach Induktionsvoraussetzung supp(p ↾ l) endlich ist, folgt auch hier die Endlichkeit von supp(p). QED

33.6 Bemerkung In Hinblick auf 33.5 bezeichnet man das hier vorgestellte iterierte Forcing auch als Iteration mit endlichen Trägern bzw. finite support iteration. Man kann die Kardinalität der Träger auch durch andere Kardinalzahlen nach oben beschränken und erhält z.B. Iterationen mit abzählbaren Trägern. Auch völlige Freiheit in der Kardinalität der Träger kann man zulassen. Jedes dieser iterierten Forcings zeichnet sich durch andere Eigenschaften aus. In 34.1 werden wir sehen, daß finite support iteration in Zusammenhang mit der ccc steht in dem Sinn, daß die Forcing-Halbordnungen der Folge ((P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) | k ≤ κ) ccc haben, wenn dies in jedem Schritt für die Glieder der Namenfolge ((Q̇_{k}, ˙≤_{k}, ˙1_{k}) | k < κ) erzwungen wird.

33.7 Satz Sei k ≤ κ.

(a) Für p, q ∈ P_{k} gilt: p ≤_{k} q ⟷ ∀ l < k p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ˙≤_{l} q(l).

(b) Sei p ∈ ×_{l<k} dom(Q̇_{l}) und p habe endlichen Träger. Dann gilt: p ∈ P_{k} ⟷ ∀ l < k p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ∈ Q̇_{l}.

Beweis. Wir führen eine Induktion nach k durch. Die Behauptung ist im Fall k = 0 wegen (P_{0}, ≤_{0}, 1_{0}) = ({∅}, {(∅, ∅)}, ∅) evident. Ist k = l + 1, so folgt (a) aus

p ≤_{k} q ⟺ p ↾ l ≤_{l} q ↾ l ∧ p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ˙≤_{l} q(l)
⟺ ∀ i < l p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ˙≤_{i} q(i)) ∧ p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ˙≤_{l} q(l) (Ind.Vor.)
⟺ ∀ i < k p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ˙≤_{i} q(i)).

(b) folgt, da nach Voraussetzung in (b) p: k → M und p(l) ∈ dom(Q̇_{l}) gilt, aus:

p ∈ P_{k} ⟺ p ↾ l ∈ P_{l} ∧ p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ∈ Q̇_{l}
⟺ ∀ i < l p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ∈ Q̇_{i} ∧ p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ∈ Q̇_{l} (Ind.Vor.)
⟺ ∀ i < k p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ∈ Q̇_{i}.

Es gelte nun Lim(k). Dann folgt (a) aus:

p ≤_{k} q ⟺ ∀ l < k p ↾ l ≤_{l} q ↾ l
⟺ ∀ l < k (∀ i < l p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ˙≤_{i} q(i)) (Ind.Vor.)
⟺ ∀ l < k p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ˙≤_{l} q(l)).

(b) folgt, da nach Voraussetzung in (b) supp(p) endlich ist, also ein m < k existiert mit supp(p) ⊂ m,^{231} aus:

p ∈ P_{k} ⟺ ∀ l < k p ↾ l ∈ P_{l}
⟺ ∀ l < k (∀ i < l p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ∈ Q̇_{i}) (Ind.Vor.)
⟺ ∀ l < k p ↾ l ⊩_{P_{l}} p(l) ∈ Q̇_{l}.

Damit ist das Kriterium bewiesen. QED

33.8 Corollar Sei k ≤ κ. Dann gilt:

(a) p ∈ P_{k} ⟶ ∀ l < k p ↾ l ∈ P_{l}.

231Dann ist also p(l) = ˙1_{l} für m ≤ l < k.

(b) Für p, q ∈ P_{k} gilt: p ≤_{k} q ⟶ ∀ l < k p ↾ l ≤_{l} q ↾ l. Beweis. zu (a). Für l < k gilt:

p ∈ P_{k} ⟹ ∀ i < k p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ∈ Q̇_{i} (33.7)
⟹ ∀ i < l p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ∈ Q̇_{i}
⟹ p ↾ l ∈ P_{l} (33.7).

zu (b). Seien p, q ∈ P_{k} und sei l < k. Dann gilt:

p ≤_{k} q ⟹ ∀ i < k p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ˙≤_{i} q(i) (33.7)
⟹ ∀ i < l p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ˙≤_{i} q(i)
⟹ p ↾ l ≤_{l} q ↾ l (33.7).

Dies war zu zeigen. QED

Mit Hilfe des Kriteriums und seines Corollares zeigen wir, daß man aus Elementen von P_{k} neue Elemente ”zusammenmischen“ kann. Dieses Verfahren wird später von Bedeutung sein, wenn wir zwischen P_{l} und P_{k} (l ≤ k ≤ κ) hin und her wechseln müssen. 33.9 Lemma Seien l ≤ k ≤ κ. Sei p′ ∈ P_{k} und q ∈ P_{l} mit q ≤_{l} p′ ↾ l. Definiere q′: k → M durch

q′(i) :≡ \{ \begin{matrix}q(i), & falls i < k; \\ p′(i), & falls k ≤ i < κ; \end{matrix}

also q′ :≡ q ∪ p′ ↾ k \ l. Dann gilt q′ ∈ P_{k} und q′ ≤_{k} p′. Beweis. Offenbar ist supp(q′) ⊂ supp(q) ∪ supp(p), also endlich, und für i < k ist q′(i) ∈ dom(Q̇_{i}). (Beachte, daß die entsprechenden Eigenschaften auf q bzw. p nach Definition der Forcing-Halbordnungen zutreffen.) Die Voraussetzungen von 33.7 sind also erfüllt. In Hinblick auf 33.7 zeigen wir:

(1) ∀ i < k (q′ ↾ i ⊩_{P_{i}} q′(i) ˙≤_{i} p′(i) ∧ q′ ↾ i ⊩_{P_{i}} q′(i) ∈ Q̇_{i}). Beweis. Wir führen eine Induktion nach i < k durch. Sei also i < k und für alle j < i sei

q′ ↾ j ⊩_{P_{j}} q′(j) ˙≤_{j} p′(j) ∧ q′ ↾ j ⊩_{P_{j}} q′(j) ∈ Q̇_{j} gezeigt. Wir unterscheiden zwei Fälle: Fall 1. i + 1 ≤ l. Dann gilt (1.1) q′ ↾ i + 1 = q ↾ i + 1 (∈ P_{i+1}). Aus q ≤_{k} p′ ↾ k folgt nach 33.7 q ↾ i ⊩_{P_{i}} q(i) ˙≤_{i} p′(i), was wegen (1.1) auf q′ ↾ i ⊩_{P_{i}} q′(i) ˙≤_{i} p′(i) führt. Aus (1.1) und 33.7 folgt weiter q′ ↾ i ⊩_{P_{i}} q′(i) ∈ Q̇_{i}. Damit ist Fall 1 abgeschlossen. Fall 2. k ≥ i + 1 > l. In diesem Fall gilt (1.2) q′(i) = p′(i), woraus wegen 1_{i} ⊩_{P_{i}} ((Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) ist Forcing-Halbordnung) (1.3) 1_{i} ⊩_{P_{i}} q′(i) ˙≤_{i} p′(i) folgt. Nach Induktionsvoraussetzung gilt ∀j < i q′ ↾ j ⊩_{P_{j}} q′(j) ∈ Q̇_{j}, was nach 33.7 q′ ↾ i ∈ P_{i} impliziert. Dann ist q′ ↾ i ≤_{i} 1_{i} und (1.3) impliziert q′ ↾ i ⊩_{P_{i}} q′(i) ˙≤_{i} p′(i). Um q′ ↾ i ⊩_{P_{i}} q′(i) ∈ dom(Q̇_{i}) zu zeigen, bemerken wir, daß nach Induktionsvoraussetzung

∀j < i q′ ↾ j ⊩_{P_{j}} q′(j) ˙≤_{j} p′(j) gilt, was nach 33.7 auf (1.4) q′ ↾ i ≤_{i} p′ ↾ i

führt. Wegen p′ ∈ P_{k} gilt p′ ↾ i + 1 ∈ P_{i+1}, was nach 33.7 p′ ↾ i ⊩_{P_{i}} p′(i) ∈ dom(Q̇_{i}) impliziert. Wegen (1.2) ist dies mit p′ ↾ i ⊩_{P_{i}} q′(i) ∈ dom(Q̇_{i}) gleichwertig. Aus (1.4) folgt nun q′ ↾ i ⊩_{P_{i}} q′(i) ∈ dom(Q̇_{i}). Damit ist Fall 2. abgeschlossen. qed(1)

Nach 33.7 folgt aus (1) sofort die Behauptung des Lemmas. QED

Das System ((P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) | k ≤ κ) bildet ein aufsteigendes System von Forcing-Halbordnungen in folgendem Sinn:

33.10 Satz Sei l ≤ k ≤ κ. Dann ist durch p ↦ p^{⌢}(˙1_{i}|l ≤ i < k) eine injektive Funktion

ι_{l,k}: P_{l} → P_{k}

definiert, die folgende Eigenschaften hat:

(a) ι_{l,k}(1_{l}) = 1_{k}.

(b) p ≤_{l} q ⟷ ι_{l,k}(p) ≤_{k} ι_{l,k}(q).

(c) p ∥ q in P_{l} ⟷ ι_{l,k}(p) ∥ ι_{l,k}(q) in P_{k}.

(d) p ⊥ q in P_{l} ⟷ ι_{l,k}(p) ⊥ ι_{l,k}(q) in P_{k}.

Beweis. Sei zunächst p ∈ P_{l}. Offenbar gilt ι_{l,k}(p): k → M und supp(ι_{l,k}(p)) = supp(p) endlich. ι_{l,k} ist injektiv, denn ist q ∈ P_{l}, p ≠ q, so existiert ein i < l mit p(i) ≠ q(i), und es ist ι_{l,k}(p)(i) = p(i) ≠ q(i) = ι_{l,k}(q)(i), also ι_{l,k}(p) ≠ ι_{l,k}(q). Für i < k gilt ι_{l,k}(p)(i) ∈ dom(Q̇_{i}) wegen p(i) ∈ dom(Q̇_{i}) im Fall i < l und ˙1_{i} ∈ dom(Q̇_{i}) im Fall l ≤ i < k. Wir können also im folgenden das Kriterium 33.7 anwenden. Um ι_{l,k}[P_{l}] ⊂ P_{k} zu zeigen, müssen wir dann verifizieren:

(1) ∀p ∈ P_{l} ∀ i < k ι_{l,k}(p) ↾ i ⊩_{P_{i}} ι_{l,k}(p)(i) ∈ Q̇_{i}.

Beweis. Sei p ∈ P_{l} beliebig. Wir zeigen ι_{l,k}(p) ↾ i ⊩_{P_{i}} ι_{l,k}(p)(i) ∈ Q̇_{i} durch Induktion nach i. Sei also i < k und

(1.1) ι_{l,k}(p) ↾ j ⊩_{P_{j}} ι_{l,k}(p)(j) ∈ Q̇_{j}

für alle j < i bewiesen. Wir unterscheiden zwei Fälle. Fall 1. i + 1 ≤ l. In diesem Fall ist ι_{l,k}(p) ↾ i + 1 = p ↾ i + 1. Nach 33.8 ist also ι_{l,k}(p) ↾ i + 1 ∈ P_{i+1}, so daß ι_{l,k}(p) ↾ i ⊩_{P_{i}} ι_{l,k}(p)(i) ∈ Q̇_{i} gilt. Fall 2. i + 1 > l. Aus der Induktionsvoraussetzung folgt nach 33.7 ι_{l,k}(p) ↾ i ∈ P_{i}. Dann ist insbesondere ι_{l,k}(p) ↾ i ≤_{i} 1_{i}. Da 1_{i} ⊩_{P_{i}} ˙1_{i} ∈ Q̇_{i} wegen 1_{i} ⊩_{P_{i}} ((Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) ist Forcing-Halbordnung) gilt, folgt ι_{l,k}(p) ↾ i ⊩_{P_{i}} ˙1_{i} ∈ Q̇_{i}. Wegen ι_{l,k}(p)(i) = ˙1_{i} ergibt sich hieraus die Behauptung. qed(1)

Wir beweisen nun (a)–(d). zu (a). Dies folgt sofort aus den Definitionen. zu (b). ”⇒“. Seien p, q ∈ P_{l} mit p ≤_{l} q. Wegen q = ι_{l,k}(q) ↾ l gilt dann p ≤_{l} ι_{l,k}(q) ↾ l. Nach 33.9 ist dann p ∪ ι_{l,k}(q) ↾ k \ l ≤_{k} ι_{l,k}(q). Wegen ι_{l,k}(q) ↾ k \ l = (˙1_{i}|l ≤ i < k) gilt p ∪ ι_{l,k}(q) ↾ k \ l = ι_{l,k}(p), so daß sich die Behauptung ergibt. ”⇐“. Dies folgt wegen p = ι_{l,k}(p) ↾ l und q = ι_{l,k}(q) ↾ l sofort aus 33.8. zu (c). ”⇒“. Ist r ∈ P_{l} mit r ≤_{l} p, q gilt, so gilt nach (b) ι_{l,k}(r) ≤_{k} ι_{l,k}(p), ι_{l,k}(q), d.h., ι_{l,k}(p) ∥ ι_{l,k}(q) ist. ”⇐“. Sei r′ ∈ P_{k} mit r′ ≤_{k} ι_{l,k}(p), ι_{l,k}(q). Sei r :≡ r′ ↾ l. Nach 33.8 gilt einerseits r ∈ P_{l} und andererseits r ≤_{l} ι_{l,k}(p) ↾ l, ι_{l,k}(q) ↾ l. Wegen ι_{l,k}(s) ↾ l = s für alle s ∈ P_{l} folgt hieraus die Behauptung. zu (d). Dies folgt sofort aus (c). QED 33.11 Corollar Seien l ≤ k ≤ κ. Dann gilt: ∀p ∈ P_{k} p ≤_{k} ι_{l,k}(p ↾ l). Beweis. Sei p ∈ P_{k}. Wir zeigen:

(1) ∀ i < k p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ˙≤_{i} ι_{l,k}(p ↾ l)(i). Beweis. Wir führen eine Induktion nach i < k durch und unterscheiden hierzu wie üblich zwei Fälle. Fall 1. i + 1 ≤ l. Dann gilt p ↾ i + 1 = ι_{l,k}(p ↾ l) ↾ i + 1, so daß insbesondere p ↾ i + 1 ≤_{i} ι_{l,k}(p ↾ l) ↾ i + 1 gilt, was nach 33.7 p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ˙≤_{i} ι_{l,k}(p ↾ l)(i) impliziert. Damit ist Fall 1 abgeschlossen. Fall 2. k ≥ i + 1 > l. Wegen p ↾ i + 1 ∈ P_{i+1} folgt aus 33.7 (1.1) p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ∈ Q̇_{i}. Wegen 1_{i} ⊩_{P_{i}} ((Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) ist Forcing-Halbordnung) und p ↾ i ∈ P_{i} gilt ferner (1.2) p ↾ i ⊩_{P_{i}} (Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) ist Forcing-Halbordnung. Aus (1.1) und (1.2) folgt p ↾ i ⊩_{P_{i}} p(i) ˙≤_{i} ˙1_{i}. Wegen ι_{l,k}(p ↾ l)(i) = ˙1_{i} war dies zu zeigen. qed(1) Aus (1) und 33.7 folgt die Behauptung. QED

33.12 Corollar Seien l ≤ k ≤ κ. Dann gilt: ∀p′ ∈ P_{k} ∀q ∈ P_{l} (p′ ↾ l ≤_{l} q ⟶ p′ ≤_{k} ι_{l,k}(q)). Beweis. Nach 33.11 und 33.10(b) gilt p′ ≤_{k} ι_{l,k}(p′ ↾ l) ≤_{k} ι_{l,k}(q). QED

33.3 Die Kette der Modelle im iterierten Forcing.

Sei G_{κ} ein P_{κ}-generischer Filter über M. Für k ≤ κ sei

G_{k} :≡ {p ↾ k | p ∈ G_{κ}}. Dann gilt

33.13 Lemma G_{k} ist ein P_{k}-generischer Filter über M. Beweis. Wegen 33.8(a) ist G_{k} ⊂ P_{k}.

(1) G_{k} ist ein Filter auf P_{k}. Beweis. G_{k} ist nach oben abgeschlossen. Um dies zu sehen, fixiere p ∈ G_{k} und q ∈ P_{k} mit p ≤_{k} q. Wähle p′ ∈ G_{κ} mit p = p′ ↾ k. Nach 33.12 gilt p′ ≤_{κ} ι_{k,κ}(q). Da G_{κ} als Filter nach oben abgeschlossen ist, folgt hieraus ι_{k,κ}(q) ∈ G_{κ}, so daß q = ι_{k,κ}(q) ↾ k ∈ G_{k} ist. Dies war zu zeigen. Je zwei Elemente von G_{k} sind kompatibel in G_{k}. Um dies zu verifizieren, fixieren wir p, q ∈ G_{k}. Dann existieren p′, q′ ∈ G_{k} mit p = p′ ↾ k und q = q′ ↾ k. Da p′, q′ als Elemente des Filters G_{κ} in G_{κ} kompatibel sind, existiert ein r′ ∈ G_{κ} mit r′ ≤_{κ} p′, q′. Dann ist r′ ↾ k ∈ G_{k} und nach 33.8 gilt r′ ↾ k ≤_{k} p′ ↾ k = p und r′ ↾ k ≤_{k} q′ ↾ k = q. Dies war zu zeigen. qed(1) Um zu sehen, daß der Filter P_{k}-generisch über M ist, fixiere D ∈ M, so daß D dicht in P_{k} ist. Sei

D′ :≡ {p′ ∈ P_{κ} | p′ ↾ k ∈ D}. Offenbar ist D′ ∈ M.

(2) D′ ist dicht in P_{κ}.

Beweis. Sei p′ ∈ P_{κ}. Dann ist p′ ↾ k ∈ P_{k}, so daß wegen der Dichtheit von D in P_{k} ein q ∈ D existiert mit q ≤_{k} p′ ↾ k. Sei q′ :≡ q ∪ p′ ↾ κ \ k. Nach 33.9 gilt q′ ∈ P_{κ} und q′ ≤_{κ} p′. Es ist q′ ∈ D′ wegen q′ ↾ k = q ∈ D. q′ ist also eine in D′ liegende Verstärkung von p′ und ist damit wie benötigt. qed(2)

Sei nun p′ ∈ D′ ∩ G_{κ}. Dann gilt p′ ↾ k ∈ D und p′ ↾ k ∈ G_{k} nach Definition von D′ und G_{k}. Also ist G_{k} ∩ D ≠ ∅. Dies war noch zu zeigen. QED

Für k ≤ κ setzen wir nun M_{k} :≡ M[G_{k}].

33.14 Lemma Für l ≤ k ≤ κ gilt M_{l} ⊂ M_{k}.

Beweis. Aus l ∈ M_{k} und G_{k} ∈ M_{k} folgt leicht G_{l} = {p ↾ l | p ∈ G_{κ}} = {p ↾ l | p ∈ G_{k}} ∈ M_{k}. Da M_{l} das ⊂ -kleinste Grundmodell N mit M ⊂ N und G_{l} ∈ N ist, folgt hieraus M_{l} ⊂ M_{k}. QED

Für k < κ setzen wir (Q^{k}, ≤^{k}, 1^{k}) :≡ (Q̇_{k}^{G_{k}}, ˙≤_{k}^{G_{k}}, ˙1_{k}^{G_{k}}).

33.15 Lemma (Q^{k}, ≤^{k}, 1^{k}) ist eine Forcing-Halbordnung für M_{k}.

Beweis. Es ist (Q^{k}, ≤^{k}, 1^{k}) ∈ M[G_{k}]. Wegen 1_{k} ⊩_{P_{k}} ((Q̇_{k}, ˙≤_{k}, ˙1_{k}) ist Forcing-Halbordnung) gilt ferner

((Q̇_{k}^{G_{k}}, ˙≤_{k}^{G_{k}}, ˙1_{k}^{G_{k}}) ist Forcing-Halbordnung)^{M[G_{k}]}, also ((Q^{k}, ≤^{k}, 1^{k}) ist Forcing-Halbordnung)^{M_{k}}. QED

33.4 Das Iterationstheorem.

Wir zeigen, daß M_{k+1} eine generische Erweiterung von M_{k} bzgl. der Forcing-Halbordnung (Q^{k}, ≤^{k}, 1^{k}) ist. Hierzu haben wir einen Q^{k}-generischen Filter H^{k} über M_{k} anzugeben, so daß M_{k+1} = M_{k}[H^{k}] ist. Wir setzen

H^{k} :≡ {p(k)^{G_{k}} | p ∈ G_{κ}}.

Dann gilt:

33.16 Lemma H^{k} ist ein Q^{k}-generischer Filter über M_{k}.

Beweis. Wir zeigen zunächst, daß H^{k} ein Filter auf (Q^{k}, ≤^{k}, 1^{k}) ist. Um H^{K} ⊂ Q^{k} zu sehen fixiere p ∈ G_{κ}. Dann ist p ↾ k ∈ G_{k}. Da p ↾ k ⊩_{P_{k}} p(k) ∈ Q̇_{k} gilt, folgt (p(k)^{G_{k}} ∈ Q^{k})^{M[G_{k}]}, was wegen aus Absolutheitsgründen p(k)^{G_{k}} ∈ Q^{k} impliziert. Weiter gilt:

(1) H^{k} ist nach oben abgeschlossen.

Beweis. Sei h ∈ H^{k} und q ∈ Q^{k} mit h ≤^{k} q. Wir zeigen

(1.1) Es gibt ein q̇ ∈ dom(Q̇_{k}) und ein p′ ∈ G_{κ} mit h = p′(k)^{G_{k}}, q = q̇^{G_{k}} und p′ ↾ k ⊩_{P_{k}} (q̇ ∈ Q̇_{k} ∧ p′(k) ˙≤_{k}q̇).

Beweis. Nach Definition von H^{k} existiert ein p̃ ∈ G_{κ} mit h = p̃(k)^{G_{k}}. Nach Definition von Q^{k} = Q̇_{k}^{G_{k}} existiert ein q̇ ∈ dom(Q̇_{k}) mit q = q̇^{G_{k}}. Aus q̇^{G_{k}} ∈ Q̇_{k}^{G_{k}} ∧ p̃(k)^{G_{k}} ≤^{k} q̇^{G_{k}}, also

(q̇^{G_{k}} ∈ Q̇_{k}^{G_{k}} ∧ p(k)^{G_{k}} ≤^{k} q̇^{G_{k}})^{M[G_{k}]}

aus Absolutheitsgründen, folgt nach dem Forcing-Theorem die Existenz eines r ∈ G_{k} mit

r ⊩_{P_{k}} (q̇ ∈ Q̇_{k} ∧ p̃(k) ˙≤_{k} q̇).

Nach Definition von G_{k} ist r = r′ ↾ k für ein r′ ∈ G_{κ}. Sei s′ ∈ G_{κ} eine gemeinsame Verstärkung von p̃, r′. Sei s :≡ s′ ↾ k. Dann gilt s ≤_{k} r wegen s′ ≤_{κ} r′, und somit (∗) s ⊩_{P_{k}} (q̇ ∈ Q̇_{k} ∧ p̃(k) ˙≤_{k} q̇). Sei p′ :≡ s ∪ p̃ ↾ κ \ k. Wegen s ≤_{k} p̃ ↾ k gilt nach 33.9 p′ ∈ P_{κ}. Wegen p′ ↾ k = s und p′(k) = p̃(k) folgt aus (∗) p′ ↾ k ⊩_{P_{k}} (q̇ ∈ Q̇_{k} ∧ p′(k) ˙≤_{k} q̇). Es bleibt, p′ ∈ G_{κ} zu zeigen. Hierzu zeigen wir s′ ≤_{κ} p′, indem wir (∗∗) s′ ↾ i ⊩_{P_{i}} s′(i) ˙≤_{i} p′(i). für i < κ verifizieren und dann 33.7 anwenden. Sei also i < κ. Ist i + 1 ≤ k, so ist p′(i) = s′(i) und (∗∗) gilt. Ist i + 1 > k, so gilt s′ ↾ i ⊩_{P_{i}} s′(i) ˙≤_{i}p̃(i) wegen s′ ≤_{κ} p̃; da p′(i) = p̃(i) im Fall i ≥ k gilt, führt dies auf (∗∗). Damit ist (∗∗) bewiesen. Aus (∗∗) folgt nach 33.7 s′ ≤_{κ} p′, also p′ ∈ G_{κ} wegen s′ ∈ G_{κ}. qed(1.1) Sei nun q̃ :≡ (p′ ↾ k)^{⌢}q̇. Dann ist q̃ ∈ P_{k+1}, denn es gilt q̃ ↾ k = p′ ↾ k ∈ P_{k} und aus p′ ↾ k ⊩_{P_{k}} q̇ ∈ Q̇_{k} folgt q̃ ↾ k ⊩_{P_{k}} q̃(k) ∈ Q̇_{k}. Ferner: (1.2) p′ ↾ k + 1 ≤_{k+1} q̃. Beweis. Es ist p′ ↾ k = q̃ ↾ k ≤_{k} q̃ ↾ k. Wegen p′ ↾ k ⊩_{P_{k}} p′(k) ˙≤_{k} q̇ folgt weiter p′ ↾ k ⊩_{P_{k}} p′(k) ˙≤_{k} q̃(k).

qed(1.2)

Aus (1.2) folgt nach 33.12 p′ ≤_{κ} ι_{k+1,κ}(q̃), so daß ι_{k+1,κ}(q̃) ∈ G_{κ} ist. Wegen

q = q̇^{G_{k}} = q̃(k)^{G_{k}} = ι_{k+1,κ}(q̃)(k)^{G_{k}} ist also q ∈ H^{k}. qed(1) Daß H^{k} ein Filter ist, folgt nun aus

(2) Je zwei Elemente von H^{k} haben in H^{k} eine gemeinsame Verstärkung. Beweis. Seien p(k)^{G_{k}}, q(k)^{G_{k}} ∈ H^{k} mit p, q ∈ G_{κ}. Wähle r ∈ G_{κ} mit r ≤_{κ} p, q. Dann gilt r ↾ k ∈ G_{k} und r ↾ k ⊩_{P_{k}} r(k) ˙≤_{k} p(k) sowie r ↾ k ⊩_{P_{k}} r(k) ˙≤_{k} q(k), so daß sich

(r(k)^{G_{k}} ≤^{k} p(k)^{G_{k}} ∧ r(k)^{G_{k}} ≤^{k} q(k)^{G_{k}})^{M[G_{k}]}, also aus Absolutheitsgründen r(k)^{G_{k}} ≤^{k} p(k)^{G_{k}} ∧ r(k)^{G_{k}} ≤^{k} q(k)^{G_{k}} ergibt. Wegen r ∈ G_{κ} ist schließlich r(k)^{G_{k}} ∈ H^{k}, also wie benötigt. qed(2) Wir zeigen nun, daß H^{k} Q^{k}-generisch über M_{k} ist.

(3) Sei D ∈ M_{k} dicht in Q^{k}. Dann ist H^{k} ∩ D ≠ ∅. Beweis. Wegen M_{k} = M[G_{k}] existiert ein M-Name Ḋ für D: D = Ḋ^{G_{k}}. Aus

Ḋ^{G_{k}} ist dicht in (Q̇_{k}^{G_{k}}, ˙≤_{k}^{G_{k}} ˙1_{k}^{G_{k}}) folgt aus Absolutheitsgründen (Ḋ^{G_{k}} ist dicht in (Q̇_{k}^{G_{k}}, ˙≤_{k}^{G_{k}} ˙1_{k}^{G_{k}}))^{M[G_{k}]}, so daß nach dem Forcing-Theo-rem (unter Berücksichtigung der Tatsache, daß die Elemente von G_{k} von der Form p′ ↾ k mit p′ ∈ G_{κ} sind) ein p′ ∈ G_{κ} existiert mit (3.1) p′ ↾ k ⊩_{P_{k}} Ḋ ist dicht in (Q̇_{k}, ˙≤_{k}, ˙1_{k}). Sei D′ :≡ {q′ ∈ P_{κ} | q′ ↾ k ⊩_{P_{k}} q′(k) ∈ Ḋ}. Dann ist D′ ∈ M. Wir zeigen: (3.2) D′ ist dicht in P_{κ} unter p′. Beweis. Sei r′ ≤_{κ} p′. Dann gilt r′ ↾ k ≤_{k} p′ ↾ k, so daß (3.1) r′ ↾ k ⊩_{P_{k}} Ḋ ist dicht in (Q̇_{k}, ˙≤_{k}, ˙1_{k}) impliziert. Nach Definition von P_{κ} gilt r′ ↾ k ⊩_{P_{k}} r′(k) ∈ Q̇_{k}, so daß wir insgesamt (∗) r′ ↾ k ⊩_{P_{k}} Ḋ ist dicht in (Q̇_{k}, ˙≤_{k}, ˙1_{k}) ∧ r′(k) ∈ Q̇_{k}

haben. Dies impliziert

(∗∗) r′ ↾ k ⊩_{P_{k}} ∃x (x ˙≤_{k} p′(k) ∧ x ∈ Ḋ ∧ x ∈ Q̇_{k}).

Beweis. Ist G ein P_{k}-generischer Filter über M_{k} mit r′ ↾ k ∈ G, so gilt wegen (∗) und

1_{k} ⊩_{P_{k}} (Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) ist Forcing-Halbordnung

in M_{k}[G]: (Q̇_{k}^{G}, ˙≤_{k}^{G}, ˙1_{k}^{G}) ist Forcing-Halbordnung ∧ Ḋ^{G} ist dicht in Q̇_{k}^{G} ∧ r′(k)^{G} ∈ Q̇_{k}^{G}. Dies impliziert

die Existenz eines x ∈ Q̇_{k}^{G} mit x ˙≤_{k}^{G} r′(k)^{G} ∧ x ∈ Ḋ^{G}. Also gilt (∃x (x ˙≤_{k}^{G} r′(k)^{G} ∧ x ∈ Ḋ_{k}^{G} ∧ x ∈ Q̇_{k}^{G}))^{M[G]}. Dies war zu zeigen. qed(∗∗)

Nach 28.25 folgt aus (∗∗) die Existenz eines q̄ ≤_{k} r′ ↾ k und eines q̇ ∈ dom(Q̇_{k}), so daß

q̄ ⊩_{P_{k}} q̇ ˙≤_{k} r′(k) ∧ q̇ ∈ Ḋ

gilt. Sei q̃ :≡ q̄^{⌢}q̇. Dann gilt q̃ ↾ k = q̄ ≤_{k} r′ ↾ k und

\underbrace{q̃ ↾ k}_{=q̄} ⊩_{P_{k}} \underbrace{q̃(k)}_{q̇} ˙≤_{k} r′(k),

so daß sich q̃ ≤_{k+1} r′ ↾ k + 1 ergibt. Sei q′ :≡ q̃ ∪ r′ ↾ κ \ (k + 1). Nach 33.9 gilt q′ ∈ P_{κ} und q′ ≤_{k} r′. Wegen q′ ↾ k = q̄ ⊩_{P_{k}} q′(k) ∈ Ḋ (beachte q′(k) = q̇) folgt ferner q′ ∈ D′. q′ ist also wie benötigt. qed(3.2)

Wegen p′ ∈ G_{κ} existiert nach (3.2) ein q′ ∈ D′ ∩ G_{κ} mit q′ ≤_{κ} p′. Dann gilt q′ ↾ k ⊩_{P_{k}} q′(k) ∈ Ḋ nach Definition von D′, und q′ ↾ k ∈ G_{k} nach Definition von G_{k}. Hieraus folgt (q′(k)^{G_{k}} ∈ Ḋ^{G_{k}})^{M[G_{k}]}, also q′(k)^{G_{k}} ∈ Ḋ^{G_{k}} = D. Wegen q′ ∈ G_{κ} ist q′(k)^{G_{k}} ∈ H^{k}, so daß D ∩ H^{k} ≠ ∅ nachgewiesen ist. qed(3)

Damit ist das Lemma bewiesen. QED

Wir können nun zeigen, daß M_{k+1} eine generische Erweiterung von M_{k} ist.

33.17 Satz (Iterationstheorem) Für k < κ gilt M_{k+1} = M_{k}[H^{k}].

Beweis. ”⊂“. Wir zeigen

(1) G_{k+1} = {p ∈ P_{k+1} | p ↾ k ∈ G_{k} ∧ p(k)^{G_{k}} ∈ H^{k}}.

Beweis. ”⊂“. Ist p ∈ G_{k+1}, so ist p = p′ ↾ k + 1 für ein p′ ∈ G_{κ}. Dann ist p ↾ k = p′ ↾ k ∈ G_{k} und p(k)^{G_{k}} = p′(k)^{G_{k}} ∈ H^{k}. ”⊃“. Sei p ∈ P_{k+1} mit p ↾ k ∈ G_{k} und p(k)^{G_{k}} ∈ H^{k}. Dann existieren nach Definition von G_{k} bzw. H^{k} p′_{0}, p′_{1} ∈ G_{κ} mit p ↾ k = p′_{0} ↾ k bzw. p(k)^{G_{k}} = p′_{1}(k)^{G_{k}}. Aus letzterem folgt nach dem Forcing-Theorem (unter Berücksichtigung der Tatsache, daß die Elemente von G_{k} von der Form p′ ↾ k mit p′ ∈ G_{κ} sind) die Existenz eines p′_{2} ∈ G_{κ} mit p′_{2} ↾ k ⊩_{P_{k}} p(k) = p′_{1}(k). Sei p′ ∈ G_{k} eine gemeinsame Verstärkung von p′_{0}, p′_{1}, p′_{2}. Wir zeigen

(1.1) p′ ↾ k + 1 ≤_{k+1} p,

woraus, wie benötigt, p ∈ G_{k+1} wegen p′ ↾ k + 1 ∈ G_{k+1} folgt. (1.1) erhalten wir wie folgt: wegen p′ ↾ k ≤_{k} p′_{0} ↾ k = p ↾ k gilt p′ ↾ k ≤_{k} p ↾ k. Des weiteren folgt aus p′ ↾ k ≤_{k} p′_{2} ↾ k und p′_{2} ↾ k ⊩_{P_{k}} p(k) = p′_{1}(k) zunächst p′ ↾ k ⊩_{P_{k}} p(k) = p′_{1}(k). Aus p′ ≤_{κ} p′_{1} folgt nach 33.7 insbesondere p′ ↾ k ⊩_{P_{k}} p′(k) ˙≤_{k} p′_{1}(k). Die letzten beiden Aussagen implizieren p′ ↾ k ⊩_{P_{k}} p′(k) ˙≤_{k} p(k). Nach Definition von ≤_{k+1} gilt also (1.1). Damit ist (1) gezeigt. qed(1)

Da die definierende Formel des Klassentermes in (1) sich ohne Veränderung der Aussage auf M_{k}[H^{k}] relativieren läßt und die an der Definition dieses Termes beteiligten Parameter wegen P_{k+1} ∈ M ⊂ M[G_{k}] = M_{k} ⊂ M_{k}[H^{k}], G_{k} ∈ M[G_{k}] ⊂ M_{k}[H^{k}] und H^{k} ∈ M_{k}[H^{k}] zu M_{k}[H^{k}] gehören, folgt G_{k+1} ∈ M_{k}[H^{k}], also M_{k+1} = M[G_{k+1}] ⊂ M_{k}[H^{k}]. ”⊃“. Aus G_{k} = {p ↾ k | p ∈ G_{k+1}} und H^{k} = {p(k)^{G_{k}} | p ∈ G_{k+1}} folgt, daß sich G_{k} und H^{k} innerhalb von M_{k+1} = M[G_{k+1}] berechnen lassen. Also gilt G_{k}, H^{k} ∈ M[G_{k+1}] = M_{k+1}, woraus M_{k}[H^{k}] = M[G_{k}][H^{k}] ⊂ M_{k+1} folgt. Damit ist der Satz bewiesen. QED

Damit ist die Konstruktion des iterierten Forcings der Länge κ zur Namenfolge ((Q̇_{k}, ˙≤_{k}, ˙1_{k}) | k < κ) abgeschlossen.

34 finite support iteration mit ccc-Forcing-Halbordnungen.

Wir fixieren ein Grundmodell M, κ ∈ On ∩M und eine Folge ((Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) | i < κ) ∈ M. Die Folge ((P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) | k ≤ κ) ∈ M sei die zu diesen Parametern gemäß 33.2 konstruierte finite support iteration der Länge κ. Wir nehmen o.E. an, daß die Namenfolge so beschaffen ist, daß für alle i < κ ˙1_{i} ∈ dom(Q̇_{i}) und 1_{i} ⊩_{P_{i}} (Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) ist Forcing-Halbordnung gilt. Wir haben dann:

34.1 Satz Für i < κ gelte 1_{i} ⊩_{P_{i}} (Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) hat ccc. Dann gilt ((P_{κ}, ≤_{κ}, 1_{κ}) hat ccc)^{M}.

Beweis. Wir zeigen durch Induktion nach k ≤ κ, daß ((P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) hat ccc)^{M} gilt. k = 0. In diesem Fall ist die Behauptung evident. k = l + 1. Nach Induktionsvoraussetzung hat (P_{l}, ≤_{l}, 1_{l}) ccc. Sei (p_{ξ}|ξ < ℵ_{1}^{M}) ∈ M eine Sequenz von Elementen von P_{k}.

(1) Es gibt einen P_{l}-generischen Filter G über M, so daß z :≡ {ξ < ℵ_{1}^{M} | p_{ξ} ↾ l ∈ G} unbeschränkt in ℵ_{1}^{M} ist.

Beweis. Angenommen, dies gilt nicht. Mit μ :≡ ℵ_{1}^{M} und ż :≡ {(ξ̌, p_{ξ} ↾ l) | ξ < μ} gilt dann für

jeden P_{l}-generischen Filter G über M ż^{G} ist beschränkt in μ, also (ż^{G} ist beschränkt in μ̌^{G})^{M[G]}, da die Eigenschaft ”x ist beschränkt in μ“ absolut zwischen transitiven ZFC -Modellen ist, vgl. 22.20. Dies ist gleichwertig mit 1_{l} ⊩_{P_{l}} ż ist beschränkt in μ̌. Sei

D :≡ {q ∈ P_{l} | ∃γ < μ q ⊩_{P_{l}} γ̌ = sup(ż)}.

Es gilt D ∈ M und:

(1.1) D ist dicht in P_{l}.

Beweis. Zu p ∈ P_{l} wähle einen P_{l}-generischen Filter G über M mit p ∈ G. Da ż^{G} beschränkt in μ ist, ist γ :≡ sup(ż^{G}) < μ. Aus Absolutheitsgründen gilt dann auch (γ̌^{G} = sup(ż^{G}))^{M[G]}, so daß nach dem Forcing-Theorem ein r ∈ G existiert mit r ⊩_{P_{l}} γ̌ = sup(ż). Sei q eine gemeinsame Verstärkung von p, r. (Beachte p, r ∈ G.) Dann gilt q ≤_{l} p und q ⊩_{P_{l}} γ̌ = sup(ż). Also ist q ∈ D, wie benötigt. qed(1.1)

Unter Ausnutzung der ccc von P_{l} zeigen wir:

(1.2) Es gibt ein δ < μ mit q ⊩_{P_{l}} ż ⊂ δ̌ für alle q ∈ D.

Beweis. Wir arbeiten in M. Definiere f: D → P_{l} durch f(q) :≡ {γ < μ | q ⊩_{P_{l}}^{∗} γ̌ = sup(ż)}. Nach Definition von D ist f(q) ≠ ∅ für q ∈ D. (Beachte, daß D in M die Definition

D = {q ∈ P_{l} | ∃γ < μ q ⊩_{P_{l}}^{∗} γ̌ = sup(ż)}

hat, und wir in M arbeiten.) Nach (AC) existiert eine Sequenz (γ_{q}|q ∈ D) ∈ ×_{q∈D} f(q). Sei S :≡ {γ_{q} | q ∈ D}. Dann gilt (∗) \overline{\overline{S}} ≤ ℵ_{0}.

Beweis. Seien q, q′ ∈ D mit γ_{q} ≠ γ_{q′}. Dann sind q und q′ inkompatibel: um dies zu sehen, arbeite in V; gäbe es p ∈ P_{l} mit p ≤_{l} q, q′, so würde p ⊩_{P_{l}} γ̌_{q} = sup(ż) und p ⊩_{P_{l}} γ̌_{q′} = sup(ż) gelten. Ist dann G ein P_{l}-generischer Filter über M mit p ∈ G, so gilt γ_{q} = sup(ż^{G}) = γ_{q′} im Widerspruch zur Voraussetzung über γ_{q}, γ_{q′}. [Wir arbeiten nun wieder in M.] Nach dem soeben bewiesenen kann jedem Element von S ein Element von P_{l} zugeordnet werden, so daß diese paarweise inkompatibel sind. S induziert also eine Antikette von der gleichen Kardinalität wie S. Da P_{l} ccc hat, ist diese Antikette höchstens abzählbar, so daß \overline{\overline{S}} ≤ ℵ_{0} gilt. Dies war zu zeigen. qed(∗)

Sei nun δ :≡ sup(S). Da ℵ_{1} regulär und \overline{\overline{S}} ≤ ℵ_{0} ist, ist δ < ℵ_{1} (= μ). Ist q ∈ D, so ist γ_{q} ∈ S und somit γ_{q} ≤ δ. Trivialerweise gilt dann auch q ⊩_{P_{l}}^{∗} γ̌_{q} ≤ δ̌. Nach Definition von γ_{q} gilt ferner q ⊩_{P_{l}}^{∗} sup(ż) = γ̌_{q}, was natürlich q ⊩_{P_{l}}^{∗} ż ⊂ γ̌_{q} impliziert. Hieraus und aus q ⊩_{P_{l}}^{∗} γ̌_{q} ≤ δ̌ folgt offenbar q ⊩_{P_{l}}^{∗} ż ⊂ δ̌. Da wir

in M gearbeitet haben, haben wir in V (q ⊩_{P_{l}}^{∗} ż ⊂ δ̌)^{M} nachgewiesen, also nach dem Forcing-Theorem q ⊩_{P_{l}} ż ⊂ δ̌. qed(1.2)

Sei nun G ein P_{l}-generischer Filter über M mit p_{δ} ↾ l ∈ G. Dann gilt

(1.3) δ ∈ ż^{G}.

Wegen (1.1) existiert andererseits ein q ∈ G ∩ D. Da nach (1.2) q ⊩_{P_{l}} ż ⊂ δ̌ gilt, folgt (ż^{G} ⊂ δ)^{M[G]}, also

(1.4) ż^{G} ⊂ δ.

Aus (1.3) und (1.4) ergibt sich δ ∈ δ. Der Widerspruch zeigt, daß unsere Widerspruchsannahme falsch sein muß, d.h., (1) ist gezeigt. qed(1)

Fixiere nun G und z wie in (1). Sei (Q, ≤, 1_{Q}) :≡ (Q̇_{l}^{G}, ˙≤_{l}^{G}, ˙1_{l}^{G}). Dann gilt

(2) (Q, ≤, 1_{Q}) ist eine Forcing-Halbordnung und es gilt ((Q, ≤, 1_{Q}) hat ccc)^{M[G]}. Außerdem ergibt sich: ∀ ξ ∈ z p_{ξ}(l)^{G} ∈ Q.

Beweis. Aus 1_{l} ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) ist Forcing-Halbordnung) und 1_{l} ⊩_{P_{l}} ((Q̇_{l}, ˙≤_{l}, ˙1_{l}) hat ccc) folgen

((Q, ≤, 1_{Q}) ist Forcing-Halbordnung)^{M[G]} und ((Q, ≤, 1_{Q}) hat ccc)^{M[G]}.

Hieraus ergeben sich die beiden ersten Aussagen von (2). Sei nun ξ ∈ z. Nach Definition von z ist dann p_{ξ} ↾ l ∈ G. Aus p_{ξ} ∈ P_{k} folgt p_{ξ} ↾ l ⊩_{P_{l}} p_{ξ}(l) ∈ Q̇_{l}. Beides zusammen impliziert (p_{ξ}(l)^{G} ∈ Q)^{M[G]}, woraus aus Absolutheitsgründen p_{ξ}(l)^{G} ∈ Q folgt. qed(2)

Man sieht nun leicht, daß (p_{ξ}(l)^{G} | ξ ∈ z) ∈ M[G] gilt. Die ccc von P_{l} in M und die ccc von Q in M[G] ausnutzend zeigen wir

(3) ∃ξ, ξ′ ∈ z (ξ ≠ ξ′ ∧ (p_{ξ}(l)^{G} ∥ p_{ξ′}(l)^{G})^{M[G]}).

Beweis. Da P_{l} in M ccc hat, ist ℵ_{1}^{M} = ℵ_{1}^{M[G]}. Somit ist z unbeschränkt in ℵ_{1}^{M[G]}, d.h., es gilt

(3.1) (z ist unbeschränkt in ℵ_{1})^{M[G]}.

Arbeite nun in M[G]. Da ℵ_{1} regulär ist, folgt aus (3.1) \overline{\overline{z}} = ℵ_{1}. Da Q ccc hat, kann somit (p_{ξ}(l)^{G} | ξ ∈ z) keine Antikette sein. Also existieren ξ < ξ′ mit p_{ξ}(l)^{G} ∥ p_{ξ′}(l)^{G}. Da wir in M[G] gearbeitet haben, stimmt dies mit der Behauptung überein. qed(3)

Fixiere ξ, ξ′ wie in (3). Aus (3) folgt die Existenz eines ṙ ∈ M mit

(ṙ^{G} ∈ Q ∧ ṙ^{G} ≤_{l} p_{ξ}(l)^{G} ∧ ṙ^{G} ≤_{l} p_{ξ′}(l)^{G})^{M[G]}.

Wegen Q = Q̇_{l}^{G} = {ṡ^{G} | ∃p ∈ G (ṡ, p) ∈ Q̇_{l}} können wir ṙ ∈ dom(Q̇_{l}) annehmen. Nach dem Forcing-Theorem existiert ein p ∈ G mit p ⊩_{P_{l}} (ṙ ∈ Q̇_{l} ∧ ṙ ˙≤_{l} p_{ξ}(l) ∧ ṙ ˙≤_{l} p_{ξ′}(l)). Nach Definition von z gilt p_{ξ} ↾ l, p_{ξ′} ↾ l ∈ G, so daß eine gemeinsame Verstärkung q ∈ G von p, p_{ξ} ↾ l, p_{ξ′} ↾ l existiert. Aus q ≤_{l} p folgt insbesondere

(4) q ⊩_{P_{l}} ṙ ∈ Q̇_{l} ∧ ṙ ˙≤_{l} p_{ξ}(l) ∧ ṙ ˙≤_{l} p_{ξ′}(l)).

Sei q̃ :≡ q^{⌢}ṙ.

(5) q̃ ∈ P_{k} und q̃ ≤_{k} p_{ξ}, p_{ξ′}.

Beweis. Es ist q̃ ↾ l = q ∈ P_{l}. Ferner gilt q̃ ↾ l ⊩_{P_{l}} q̃(l) ∈ Q̇_{l} wegen q ⊩_{P_{l}} ṙ ∈ Q̇_{l}. Da überdies q̃(l) = ṙ ∈ dom(Q̇_{l}) gilt, haben wir q̃ ∈ P_{k}. Wir zeigen nun q̃ ≤_{k} p_{ξ}; q̃ ≤_{k} p_{ξ′} beweist man analog. Zunächst gilt q̃ ↾ l = q ≤_{l} p_{ξ} ↾ l nach Definition von q. Wegen (4) und q̃ ↾ l = q sowie q̃(l) = ṙ gilt q̃ ↾ l ⊩_{P_{l}} q̃(l) ˙≤_{l} p_{ξ}(l). Nach Definition von ≤_{k} gilt also q̃ ≤_{k} p_{ξ}. qed(5)

Aus (5) folgt nun, daß (p_{ξ}|ξ ∈ z) keine Antikette in P_{k} ist, so daß erst recht (p_{ξ}|ξ < ℵ_{1}^{M}) keine Antikette in P_{k} sein kann. Dies war zu zeigen.

Lim(k). Sei für l < k (P_{l} hat ccc)^{M} gezeigt. Sei (p_{ξ}|ξ < ℵ_{1}^{M}) ∈ M eine Folge mit Werten in P_{k}. Es ist zu zeigen, daß diese keine Antikette in P_{k} ist. Mit Hilfe des Δ-System-Satzes 11.20 zeigen wir, daß es eine ℵ_{1}^{M}-lange Teilfolge gibt, so daß die Folge der supports ihrer Glieder in k beschränkt ist und eine gemeinsame Wurzel hat:

(6) ∃ l < k ∃z ∈ M ∃d ∈ M (\overline{\overline{z}}^{M} = ℵ_{1}^{M} ∧ d ⊂ l ∧ ∀ ξ, ξ′ ∈ z (ξ ≠ ξ′ ⟶ supp(p_{ξ}) ∩ supp(p_{ξ′}) = d)).

Beweis. Wir arbeiten in M. Wegen \overline{\overline{supp(p_{ξ})}} < ℵ_{0} < ℵ_{1} können wir den Δ-System-Satz auf das System (supp(p_{ξ}) | ξ < ℵ_{1}) anwenden und erhalten ein z ⊂ ℵ_{1} mit \overline{\overline{z}} = ℵ_{1} und ein d ⊂ k mit supp(p_{ξ}) ∩ supp(p_{ξ′}) = d für alle ξ, ξ′ < ℵ_{1} mit ξ ≠ ξ′. Dann ist d endlich, so daß wegen Lim(k) ein l < k existiert mit d ⊂ l. Dies war zu zeigen. qed(6)

Wähle l, d und z wie in (6). Dann ist (p_{ξ} ↾ l|ξ ∈ z) ∈ M eine Sequenz mit Werten in P_{l}. Da nach Induktionsvoraussetzung (P_{l} hat ccc)^{M} und nach (6) \overline{\overline{z}}^{M} = ℵ_{1}^{M} gilt, ist (p_{ξ} ↾ l|ξ ∈ z) keine Antikette. Also existieren ξ, ξ′ ∈ z mit ξ < ξ′ und p_{ξ} ↾ l ∥ p_{ξ′} ↾ l. Sei q ∈ P_{l} mit q ≤_{l} p_{ξ} ↾ l, p_{ξ′} ↾ l. Definiere q̃ = (q̃(i) | i < k) durch q̃ ↾ l :≡ q und

q̃(i) :≡ \{ \begin{matrix}p_{ξ}(i), & falls i ∈ supp(p_{ξ}); \\ p_{ξ′}(i), & falls i ∉ supp(p_{ξ}); \end{matrix}

im Fall l ≤ i < k. Dann gilt

(7) q̃ ∈ P_{k} und q̃ ≤_{k} p_{ξ}, p_{ξ′}.

Beweis. Wir wenden 33.7 an. Es ist zu zeigen:

∀ i < k (q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} q̃(i) ∈ Q̇_{i} ∧ q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} q̃(i) ˙≤_{i} p_{ξ}(i) ∧ q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} q̃(i) ˙≤_{i} p_{ξ′}(i)).

Hierzu führen wir eine Induktion nach i durch. Wir unterscheiden zwei Fälle. Fall 1. i + 1 ≤ l. Hier folgt die Behauptung sofort aus q ∈ P_{l} sowie q ≤_{l} p_{ξ} ↾ l und q ≤_{l} p_{ξ′} ↾ l. Fall 2. k ≥ i + 1 > l. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

∀ j < i (q̃ ↾ j ⊩_{P_{j}} q̃(j) ∈ Q̇_{j} ∧ q̃ ↾ j ⊩_{P_{j}} q̃(j) ˙≤_{j} p_{ξ}(j) ∧ q̃ ↾ j ⊩_{P_{j}} q̃(j) ˙≤_{j} p_{ξ′}(j)),

was nach 33.7 auf (7.1) q̃ ↾ i ∈ P_{i} ∧ q̃ ↾ i ≤_{i} p_{ξ} ↾ i ∧ q̃ ↾ i ≤_{i} p_{ξ′} ↾ i

führt. Aus p_{ξ} ↾ i + 1 ∈ P_{i+1} bzw. p_{ξ′} ↾ i + 1 ∈ P_{i+1} erhält man nach 33.7: p_{ξ} ↾ i ⊩_{P_{i}} p_{ξ}(i) ∈ Q̇_{i} und p_{ξ′} ↾ i ⊩_{P_{i}} p_{ξ′}(i) ∈ Q̇_{i}. Da q̃ ↾ i nach (7.1) stärker ist als jede der hier erzwingenden Bedingungen ergibt sich q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} p_{ξ}(i) ∈ Q̇_{i} und q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} p_{ξ′}(i) ∈ Q̇_{i}. Wegen q̃(i) ∈ {p_{ξ}(i), p_{ξ′}(i)} folgt hieraus

(7.2) q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} q̃(i) ∈ Q̇_{i}. Um den Rest zu zeigen, unterscheiden wir drei Fälle. Fall 2.1. i ∈ supp(p_{ξ}). Dann gilt i ∉ supp(p_{ξ′}) wegen supp(p_{ξ}) ∩ supp(p_{ξ′}) = d ⊂ l ⊂ i. Also ist p_{ξ′}(i) = ˙1_{i}. Da q̃ ↾ i ∈ P_{i} ist und 1_{i} ⊩_{P_{i}} ((Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) ist Forcing-Halbordnung) gilt, folgt insbesondere q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} (∀x ∈ Q̇_{i} x ˙≤_{i} ˙1_{i}). Mit (7.2) folgt dann q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} (q̃(i) ˙≤_{i} ˙1_{i}). Wegen ˙1_{i} = p_{ξ′}(i) folgt hieraus q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} (q̃(i) ˙≤_{i} p_{ξ′}(i)). Aus 1_{i} ⊩_{P_{i}} ((Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) ist Forcing-Halbordnung) und p_{ξ} ↾ i ∈ P_{i} folgt des weiteren p_{ξ} ↾ i ⊩_{P_{i}} ∀x ∈ Q̇_{i} x ˙≤_{i} x. Wegen p_{ξ} ↾ i + 1 ∈ P_{i+1} gilt nach 33.7 p_{ξ} ↾ i ⊩_{P_{i}} p_{ξ}(i) ∈ Q̇_{i}. Somit gilt p_{ξ} ↾ i ⊩_{P_{i}} p_{ξ}(i) ˙≤_{i} p_{ξ}(i). Wegen q̃(i) = p_{ξ}(i) und q̃ ↾ i ≤_{i} p_{ξ} ↾ i folgt hieraus q̃ ↾ i ⊩_{P_{i}} q̃(i) ˙≤_{i}p_{ξ}(i) und der Fall 2.1. ist abgeschlossen. Fall 2.2. i ∈ supp(p_{ξ′}). Diesen Fall behandelt man dual zu Fall 2.1. Beachte, daß in diesem Fall q̃(i) = p_{ξ′}(i) gilt. Fall 2.3. i ∉ supp(p_{ξ}) ∪ supp(p_{ξ′}). Wende das in Fall 2.1. für p_{ξ′} benutzte Argument auf p_{ξ} und p_{ξ′} an. Damit ist (7) bewiesen. qed(7)

Aus (7) folgt, daß (p_{ξ}|ξ < ℵ_{1}^{M}) keine Antikette in P_{k} ist. Damit ist der Satz bewiesen. QED

34.2 Corollar Unter den Voraussetzungen des Satzes gilt Card^{M_{k}} = Card^{M} für alle k ≤ κ. Insbesondere ist ℵ_{n}^{M_{k}} = ℵ_{n}^{M} für jede metasprachliche natürliche Zahl.

Beweis. Sei k ≤ κ. Im Beweis von 34.1 haben wir ((P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) hat ccc)^{M} gezeigt. Die Behauptung folgt dann aus 30.10 in Verbindung mit 30.3 und 30.6. QED

Für eine Anwendung im nächsten Kapitel halten wir hier folgendes fest.

34.3 Lemma Sei κ ∈ Card^{M} mit cf(κ)^{M} > ℵ_{1}^{M}. Ferner gelte ((P_{κ}, ≤_{κ}, 1_{κ}) hat ccc)^{M}. Dann gilt ℵ_{1}^{M} = ℵ_{1}^{M_{k}} für alle k ≤ κ und

Pot(ℵ_{1}^{M}) ∩ M_{κ} = ⋃_{k<κ} Pot(ℵ_{1}^{M}) ∩ M_{k}.

M.a.W.: Pot(ℵ_{1})^{M_{κ}} = ⋃_{k<κ} Pot(ℵ_{1})^{M_{k}}.

Beweis. Da (P_{κ} hat ccc)^{M} gilt, bewahrt P_{κ} Kardinalitäten, d.h.,

(1) Card^{M} = Card^{M[G_{κ}]} = Card^{M_{κ}}. Wegen M ⊂ M_{k} ⊂ M_{κ} gilt nach 22.38 Card^{M_{κ}} ⊂ Card^{M_{k}} ⊂ Card^{M}, woraus wegen (1) Card^{M} = Card^{M_{k}} folgt. Da dies nach 30.3 gleichwertig ist dazu, daß P_{k} Kardinalitäten bewahrt, folgt ℵ_{n}^{M} = ℵ_{n}^{M_{k}} aus 30.6. Sei nun μ :≡ ℵ_{1}^{M}. Wir zeigen:

(∗) Pot(ℵ_{1}^{M}) ∩ M_{κ} = ⋃_{k<κ} Pot(ℵ_{1}^{M}) ∩ M_{k}.

”⊃“. Dies ist klar wegen M_{k} ⊂ M_{κ}. ”⊂“. Sei x ∈ Pot(μ) ∩ M[G_{κ}]. Nach 30.17 hat x einen kanonischen Namen der Art

x̃ = {(α̌, p) | α < μ ∧ p ∈ A_{α} ∧ p ⊩_{P_{κ}} α̌ ∈ ẋ},

wobei ẋ ein beliebiger M -Name für x und (A_{α}|α < μ) ∈ M eine gewisse Sequenz von Antiketten in P_{κ} ist. Es gilt

(2) ∃ k < κ ∀α < μ ∀p ∈ A_{α} supp(p) ⊂ k.

Beweis. Wir arbeiten in M. Sei B :≡ ⋃_{α<μ} A_{α}. Da P_{κ} ccc hat, gilt \overline{\overline{A_{α}}} ≤ ℵ_{0}, so daß \overline{\overline{B}} ≤ μ · ℵ_{0} = μ ist. Für p ∈ B sei k_{p} :≡ max supp(p) + 1. Da supp(p) endlich und Teilmenge von κ ist, ist k_{p} < κ. Da cf(κ) > μ ist, ist k :≡ ⋃_{p∈B} k_{p} < κ. k ist offenbar wie benötigt. qed(2)

Wir setzen nun

x̄ :≡ {(α̌^{k}, p ↾ k) | α < μ ∧ p ∈ A_{α} ∧ p ⊩_{P_{κ}} α̌ ∈ ẋ};

hierbei steht α̌^{k} für den kanonischen Namen von α bezüglich der Forcinghalbordnung P_{k}. Offenbar ist x̄ ein M-Name. Wir zeigen

(3) x̃^{G_{κ}} = x̄^{G_{k}}.

Beweis. ”⊂“. Sei α ∈ x̃^{G_{κ}}. Dann existiert ein p ∈ G_{κ} mit (α̌, p) ∈ x̃. Hierbei sind α < μ, p ∈ A_{α} und

p ⊩_{P_{κ}} α̌ ∈ ẋ so, daß (α̌^{k}, p ↾ k) ∈ x̄ ist. Da aus p ∈ G_{κ} folgt p ↾ k ∈ G_{k}, ergibt sich α = α̌^{k}^{G_{k}} ∈ x̄^{G_{k}}.

”⊃“. Sei α ∈ x̄^{G_{k}}. Dann existiert ein q ∈ G_{k} mit (α̌^{k}, q) ∈ x̄. Nach Definition von x̄ ist q = p ↾ k für ein p ∈ A_{α} mit p ⊩_{P_{κ}} α̌ ∈ ẋ. Insbesondere ist dann

(3.1) (α̌, p) ∈ x̃.

Wegen supp(p) ⊂ k gilt

(3.2) p = ι_{k,κ}(q).

Aus q ∈ G_{k} folgt die Existenz eines p′ ∈ G_{κ} mit q = p′ ↾ k. Wegen p′ ≤_{κ} ι_{k,κ}(p′ ↾ k), siehe 33.11, folgt aus (3.2) p′ ≤_{κ} p. Aus p′ ∈ G_{κ} folgt also p ∈ G_{κ}. Nach (3.1) ist dann α = α̌^{G_{κ}} ∈ x̃^{G_{κ}}. Dies war zu zeigen. qed(3)

Mit (3) folgt sofort x = x̃^{G_{κ}} = x̄^{G_{k}} ∈ M[G_{k}] = M_{k}. QED

34.4 Corollar Unter den Voraussetzungen des Lemmas gilt: ist x ∈ M mit \overline{\overline{x}}^{M} = ℵ_{1}^{M}, so ist

Pot(x) ∩ M_{κ} = ⋃_{k<κ} Pot(x) ∩ M_{k}.

Beweis. ”⊃“. Dies ist evident. ”⊂“. Sei f ∈ M mit f: x ⟶^{bij.} ℵ_{1}^{M}. Sei y ∈ Pot(x)∩M_{κ}. Wegen f ∈ M ⊂ M_{κ} ist dann f[y] ∈ Pot(ℵ_{1}^{M})∩M_{κ}, so daß nach dem Lemma ein k < κ existiert mit f[y] ∈ M_{k}. Wegen f ∈ M ist f^{−1} ∈ M ⊂ M_{k} und es folgt y = f^{−1}[f[y]] ∈ M_{k}. QED

34.5 Corollar Unter den Voraussetzungen des Lemmas gilt: ist ≤ ∈ M_{κ}, ≤ ⊂ ℵ_{1}^{M} × ℵ_{1}^{M} mit

((ℵ_{1}^{M}, ≤, 0) ist eine ccc-Forcing-Halbordnung)^{M_{κ}},

so existiert ein j < κ mit

∀i ≤ κ (i ≥ j ⟶ ((ℵ_{1}^{M}, ≤, 0) ist ccc-Forcing-Halbordnung)^{M_{i}}).

Beweis. Sei μ :≡ ℵ_{1}^{M}. Wegen \overline{\overline{μ × μ}}^{M} = μ folgt aus 34.4 (mit x :≡ μ × μ) die Existenz eines j < κ mit ≤ ∈ M_{j}. Dann ist (μ, ≤, 0) ∈ M_{i} für alle i ≥ j. Fixiere i ≥ j. Da die Eigenschaft ”(P, ≤, 1_{P}) ist eine Forcing-Halbordnung“ absolut ist zwischen transitiven Modellen, die (P, ≤, 1_{P}) als Element enthalten, gilt ((μ, ≤, 0) ist Forcing-Halbordnung)^{M_{i}}. Es bleibt zu zeigen, daß jede Antikette A ∈ M_{i} von (μ, ≤, 0) in M_{i} höchstens abzählbar ist.^{232} Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann existiert ein A ∈ M_{i}, so daß

A eine Antikette in (μ, ≤, 0) ist und \overline{\overline{A}}^{M_{i}} = ℵ_{1}^{M_{i}} ist. Wegen ℵ_{1}^{M_{i}} = ℵ_{1}^{M_{κ}} existiert dann ein f ∈ M_{i} ⊂ M_{κ}

mit f: ℵ_{1}^{M_{κ}} ⟶^{bij.} A. Da wegen der vorausgesetzten ccc von (μ, ≤, 0) in M_{κ} (A ist höchstens abzählbar)^{M_{κ}}

gilt, existiert ein g ∈ M_{κ} mit g: A ⟶^{inj.} ℵ_{0}. Dann gilt g ∘ f: ℵ_{1}^{M_{κ}} ⟶^{inj.} ℵ_{0}^{M_{κ}} und g ∘ f ∈ M_{κ}. Eine solche Funktion kann aber nicht existieren. Also muß (μ, ≤, 0) doch ccc in M_{i} haben. QED

34.6 Bemerkung (a) Die Voraussetzungen von 34.3 sind insbesondere dann erfüllt, wenn die Voraus-

setzungen von 34.1 erfüllt sind.

(b) Die Aussage von 34.3 kann nicht zu M_{κ} = ⋃_{k<κ} M_{k} verallgemeinert werden: es ist z.B. G_{κ} ∈ M_{κ} aber i.a. G_{κ} ∉ M_{k} für k < κ.

35 Ein Modell von MA(ℵ_{1}) + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2}.

In 26.7 haben wir gesehen, daß Martins Axiom^{233} MA von der Kontinuumshypothese impliziert wird: in Anwesenheit von CH wird MA zu MA(ℵ_{0}), und dies ist nach dem Existenzsatz für generische Filter 25.4 trivialerweise erfüllt. Wir wollen in diesem Kapitel zeigen, daß MA auch in nicht-trivialen Situationen gelten kann, also in Situationen, in denen die Kontinuumshypothese nicht gilt.

35.1 Vorüberlegungen.

Aus der Formulierung von MA und weil ZFC ⊢ MA(ℵ_{0}) gilt, folgt, daß

ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} ⊢ MA ⟷ MA(ℵ_{1})

gilt. Um relative Konsistenz von MA+¬ CH zu zeigen, genügt es also, ein Modell von MA(ℵ_{1})+2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} anzugeben. Wir können die Situation noch weiter vereinfachen, indem wir statt MA(ℵ_{1}) eine unter ZFC zu MA(ℵ_{1}) äquivalente ”Spezialform“ von MA(ℵ_{1}) betrachten.

35.1 Lemma Sei μ ∈ Card. Setze

MA′(μ) :≡ ∀ P, D ∃G ( (P ist ccc-Forcing-Halbordnung mit Träger μ und größtem Element 0

∧ D ist eine Menge dichter Teilmengen von P ∧ \overline{\overline{D}} ≤ μ)

⟶ G ist ein P -generischer Filter über D)

Dann sind MA(μ) und MA′(μ) (unter ZFC) äquivalent.

Beweis. MA(μ) ⟶ MA′(μ) ist klar.

Gelte nun MA′(μ) und sei (P, ≤, 1_{P}) eine ccc-Forcing-Halbordnung und D eine Menge von dichten Teilmengen von P mit \overline{\overline{D}} ≤ μ. Es ist zu zeigen, daß ein P -generischer Filter über D existiert.

(1) Es genügt, den Fall \overline{\overline{P}} ≥ μ zu betrachten.

232Wir nutzen hierbei aus, daß die ∈-Formel ”x ist eine Antikette“ absolut zwischen transitiven Modellen ist, vgl. 27.4.

233siehe 26.6.

KAPITEL 35 EIN MODELL VON MA(ℵ_{1}) + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2}. 319

Beweis. Angenommen, für jede ccc-Forcing-Halbordnung (P′, ≤′, 1_{P′}) mit \overline{\overline{P′}} ≥ μ und jede Familie D′ von in P′ dichten Mengen mit \overline{\overline{D′}} ≤ μ sei die Existenz eines P′-generischen Filters über D′ bewiesen. Es ist zu zeigen, daß MA′(μ) gilt. Sei also (P, ≤, 1_{P}) eine beliebige ccc-Forcing-Halbordnung und D eine Familie von in P dichten Mengen mit \overline{\overline{D}} ≤ μ. Setze P′ :≡ (μ × \{0\}) ∪ (P × \{1\}), 1_{P′} :≡ (0, 0) und definiere ≤′ durch

(α, 0) ≤′ (β, 0) falls β ∈ α oder β = α
(p, 1) ≤′ (q, 1) falls p ≤ q
(p, 1) ≤′ (α, 0) für alle α ∈ μ und alle p ∈ P.
[figure: …; 3; 2; 1; 0; 1_{P}; P]

P′ entsteht also aus P, indem man μ mit seiner umgekehrten kanonischen Ordnung am vorderen Ende (also ”links von“ von 1_{P}) an P anfügt. Man sieht leicht, daß (P′, ≤′, 1_{P′}) eine Forcing-Halbordnung ist.

(1.1) P′ hat ccc.

Beweis. Sei A′ eine Antikette in P′. Wir können \overline{\overline{A′}} ≥ 2 annehmen. Dann ist A′ ∩ (μ × \{0\}) = ∅. Wäre nämlich (α, 0) ∈ A′, so wähle ein beliebiges (x, i) ∈ A′ mit (x, i) ≠ (α, 0). Aus der Definition von ≤′ folgt unmittelbar, daß (α, 0) ≤′ (x, i) oder (x, i) ≤′ (α, 0) gilt. A′ ist also keine Antikette. Setze A :≡ \{p ∈ P | (p, 1) ∈ A′\}. Dann gilt \overline{\overline{A′}} = \overline{\overline{A}}. Ferner ist A eine Antikette in P, denn die Existenz eines r ∈ P mit r ≤ p, q für irgendzwei verschiedene p, q ∈ A impliziert (r, 1) ≤′ (p, 1), (q, 1) im Widerspruch dazu, daß A′ eine Antikette ist. Aus der vorausgesetzten ccc von P folgt nun \overline{\overline{A′}} = \overline{\overline{A}} < ℵ_{1}. Dies war zu zeigen. qed(1.1)

Sei nun D eine Familie von in P dichten Teilmengen, \overline{\overline{D}} ≤ μ. Sei D′ :≡ \{D × \{1\} | D ∈ D\}. Ist dann D′ ∈ D′, so gilt D′ ⊂ P′. Ferner gilt

(1.2) D′ ist dicht in P′.

Beweis. Sei D′ = D × {1}. Sei p′ ∈ P′. Es ist zu zeigen, daß es ein q′ ∈ D′ gibt mit q′ ≤′ p′. Wir unterscheiden zwei Fälle. Fall 1. p′ = (α, 0). Da D dicht in P ist, existiert ein q ∈ D mit q ≤ 1_{P}. Dann gilt (q, 1) ∈ D′ und es ist (q, 1) ≤′ (α, 0). Fall 2. p′ = (p, 1). Da D dicht in P ist, existiert ein q ∈ D mit q ≤ p. Dann ist (q, 1) ∈ D′ und (q, 1) ≤′ (p, 1). Dies war zu zeigen. qed(1.2)

Wegen \overline{\overline{D′}} = \overline{\overline{D}} ≤ μ existiert nach Voraussetzung ein P′-generischer Filter G′ über D′. Setze

G :≡ {p ∈ P | (p, 1) ∈ G′}.

Dann gilt

(1.3) G ist ein P -generischer Filter über D.

Beweis. Aus p ≤ q folgt (p, 1) ≤′ (q, 1), so daß G nach oben abgeschlossen ist, weil G′ es ist. Sind ferner p, q ∈ G, so sind (p, 1), (q, 1) ∈ G′, so daß ein r′ ∈ G′ existiert mit r′ ≤′ (p, 1), (q, 1). Aus der Definition von ≤′ folgt, daß r′ = (r, 1) mit r ≤ p, q ist. Dann ist außerdem r ∈ G, so daß p und q in G kompatibel sind. Ist schließlich D ∈ D, so ist D × {1} ∈ D′, so daß ein (p, 1) ∈ G′ ∩ (D × {1} existiert. Dann ist ist offenbar p ∈ G ∩ D. Dies war zu zeigen. qed(1.3)

Nach (1.3) ist G wie benötigt. qed(1)

In Hinblick auf (1) nehmen wir nun \overline{\overline{P}} ≥ μ an. Wir konstruieren zunächst ein P̄ ⊂ P mit \overline{\overline{P̄}} = μ, das Kompatibilitäten und die Dichtheit der D ∈ D bewahrt. Hierzu zeigen wir:

(2) Zu X ⊂ P existiert ein X′ ⊂ P mit (i) ∀p, q ∈ X (∃r ∈ P (r ≤ p ∧ r ≤ q) ⟶ ∃r ∈ X′ (r ≤ p ∧ r ≤ q)). (ii) ∀D ∈ D ∀p ∈ X ∃q ∈ D ∩ X′ q ≤ p. (iii) 1_{P} ∈ X′, X ⊂ X′.

(iv) μ ≤ \overline{\overline{X′}} ≤ \overline{\overline{X}} + μ.

Beweis. Sei Y ⊂ P beliebig mit \overline{\overline{Y}} = μ. Für p, q ∈ X mit p ∥ q wähle eine gemeinsame Verstärkung r(p, q) ∈ P. Für D ∈ D, p ∈ X wähle q(D, p) ∈ D mit q(D, p) ≤ p; q(D, p) existiert, da D dicht in P ist. Definiere nun X′ ⊂ P durch

X′ :≡ {r(p, q) | p ∈ X ∧ q ∈ X ∧ p ∥ q} ∪
{q(D, p) | D ∈ D ∧ p ∈ X} ∪
{1_{P} } ∪ X ∪ Y.

Dann gelten offenbar (i)–(iii). Ferner berechnen wir

μ = \overline{\overline{Y}} ≤ \overline{\overline{X′}} ≤ (\overline{\overline{X}} · \overline{\overline{X}}) + (\overline{\overline{D}} · \overline{\overline{X}}) + 1 + \overline{\overline{X}} + \overline{\overline{Y}} ≤ \overline{\overline{X}} + \overline{\overline{D}} + \overline{\overline{Y}} ≤ \overline{\overline{X}} + μ + μ,

so daß (iv) gilt. qed(2)

Setze nun X_{0} :≡ ∅, X_{n+1} :≡ (X_{n})′ und P̄ :≡ ⋃_{n<ω} X_{n} sowie ¯≤ :≡ ≤ ∩(P̄ × P̄). Man sieht leicht, daß (P̄, ¯≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung ist. Um zu sehen, daß P̄ ccc hat, genügt es wegen der ccc von P, folgendes zu zeigen:

(3) Ist A ⊂ P̄ eine Antikette in P̄, so ist A auch eine Antikette in P.

Beweis. Angenommen, dies gilt nicht. Dann existieren p, q ∈ A, die in P kompatibel sind. Wegen A ⊂ P̄ existiert ein n < ω mit p, q ∈ X_{n}. Nach (2)(i) (mit X :≡ X_{n}) existiert ein r ∈ (X_{n})′ = X_{n+1} mit r ≤ p, q. Dann ist r ∈ P̄, d.h., p und q sind in P̄ kompatibel, im Widerspruch dazu, daß A eine Antikette in P̄ ist. Also gilt (3). qed(3)

(P̄, ¯≤, 1_{P}) hat also ccc. Setzen wir D̄ :≡ D ∩ P̄ für D ∈ D, so folgt – analog zum Beweis von (3) – aus (2)(ii), daß D̄ dicht in P̄ ist. Da sich aus (2)(iv) leicht induktiv \overline{\overline{X_{n}}} = μ für 1 ≤ n < ω ergibt, gilt ferner

\overline{\overline{P̄}} = ℵ_{0} · μ = μ. Indem wir eine Bijektion P̄ ⟶^{bij.} μ mit 1_{p} ↦ 0 wählen, können wir MA′(μ) also auf die Situation (P̄, ¯≤, 1_{P}) und {D̄ | D ∈ D} anwenden, d.h., es existiert ein {D̄ | D ∈ D}-generischer Filter über P̄. Sei Ḡ dieser Filter. Man sieht leicht, daß

G :≡ {p ∈ P | ∃q ∈ Ḡ q ≤ p}

ein Filter auf P ist. Da Ḡ ⊂ G und D̄ ⊂ D ist, folgt G ∩ D ≠ ∅ für alle D ∈ D aus der {D̄ | D ∈ D}- Generizität von Ḡ. G ist also wie für MA(μ) benötigt. QED

Wegen 35.1 genügt es, zum Nachweis der relativen Konsistenz von ZFC+MA(ℵ_{1})+2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} ein Modell von ZFC + MA′(ℵ_{1}) + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} zu konstruieren. Da Kon(ZFC) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + 2^{ℵ_{1}} = ℵ_{2}) gilt, siehe 31.10, genügt es,

Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + 2^{ℵ_{1}} = ℵ_{2}) ⟶ Kon(ZFC + MA′(ℵ_{1}) + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2})

zu zeigen. Hierzu fixieren wir ein Grundmodell M mit (2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1})^{M} und (2^{ℵ_{1}} = ℵ_{2})^{M}.

35.2 Lemma Sei (P, ≤, 1_{P}) eine Forcing-Halbordnung für M und es gelte ((P, ≤, 1_{P}) hat ccc)^{M} sowie

\overline{\overline{P}}^{M} ≤ ℵ_{2}^{M}. Dann gibt es in M höchstens ℵ_{2}^{M}-viele kanonische Namen (bzgl. P) für Teilmengen von μ×μ.

Beweis. Sei x :≡ μ × μ. In 30.19 haben wir die Anzahl der kanonischen Namen für Teilmengen von x

bzgl. P nach oben abgeschätzt durch λ_{1} = (\overline{\overline{P}}^{\overline{\overline{x}} ·ℵ_{0}})^{M}. Wir arbeiten in M, um λ_{1} ≤ ℵ_{2}^{M}, also (λ_{1} ≤ ℵ_{2})^{M} zu zeigen.

λ_{1} = \overline{\overline{P}}^{\overline{\overline{x}} ·ℵ_{0}} ≤ ℵ_{2}^{ℵ_{1}·ℵ_{0}} = ℵ_{2}^{ℵ_{1}} = (2^{ℵ_{1}})^{ℵ_{1}} = 2^{ℵ_{1}} = ℵ_{2}.

Hierbei haben wir ausgenutzt, daß in M 2^{ℵ_{1}} = ℵ_{2} gilt. QED

35.2 Konstruktion eines Modells von ZFC + MA′(ℵ_{1}) + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} mit finite support iteration: Übersicht

In Anbetracht des bisher gezeigten, gehen wir folgender Idee für den Aufbau eines Modells von MA′(ℵ_{1})+ 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} nach:^{234} Wir setzen κ :≡ ℵ_{2}^{M} und führen eine finite support iteration der Länge κ durch,^{235} so daß

(a) ((P_{κ}, ≤_{κ}, 1_{κ}) hat ccc)^{M}

gilt. Dann folgt aus 30.10, 34.3 und 34.4:

(b) Kardinalitäten und Konfinalitäten werden bewahrt,

(c) Pot(μ) ∩ M_{κ} = ⋃_{j<κ} Pot(μ) ∩ M_{j} und Pot(μ × μ) ∩ M_{κ} = ⋃_{j<κ} Pot(μ × μ) ∩ M_{j}.

Um MA′(ℵ_{1})^{M_{κ}} zu verifizieren, haben wir alle (P, ≤, 1_{P}) ∈ M_{κ} und alle D ∈ M_{κ} zu betrachten mit

( P = ℵ_{1} ∧ 1_{P} = 0 ∧ (P, ≤, 1_{P}) ist ccc-Forcing-Halbordnung ∧
D ist Familie dichter Teilmengen von P ∧ \overline{\overline{D}} ≤ ℵ_{1})^{M_{κ}}

Wir fixieren ein solches Tupel (P, ≤, 1_{P}). Dann gilt P = μ, da nach (b) ℵ_{1}^{M_{κ}} = ℵ_{1}^{M} gilt. Nach 34.5 existiert ein j_{≤} < κ mit ≤ ∈ M_{j_{≤}}, so daß ((P, ≤, 1_{P}) ist ccc-Forcing-Halbordnung)^{M_{i}} für jedes i ≥ j_{≤} gilt. Da jedes D ∈ D eine Teilmenge von P = μ ist, existiert nach (c) zu jedem D ∈ D ein j_{D} < κ mit D ∈ M_{j_{D}}. Sei

j :≡ sup({j_{≤}} ∪ {j_{D} | D ∈ D}).

Da in M cf(κ) = ℵ_{2} > ℵ_{1} ≥ \overline{\overline{D}} gilt, ist j < κ und es gilt (P, ≤, 1_{P}) ∈ M_{j}, ((P, ≤, 1_{P}) hat ccc)^{M_{j}} sowie D ⊂ M_{j}. Wir haben in 33.15, 33.16 und 33.17 gesehen, daß es zu jedem i < κ ein (Q^{i}, ≤^{i}, 1^{i}) und ein H^{i} gibt, so daß (Q^{i}, ≤^{i}, 1^{i}) eine Forcing-Halbordnung für M_{i}, H^{i} ein Q^{i}-generischer Filter über M_{i} und M_{i+1} = M_{i}[H^{i}] ist. Können wir die Iteration nun so anlegen, daß es ein i ≥ j gibt mit

(d) (P, ≤, 1_{P}) = (Q^{i}, ≤^{i}, 1^{i}),

so folgt wegen D ⊂ M_{j} ⊂ M_{i}, daß H^{i} ein P -generischer Filter über D ist. Die Existenz eines solchen Objektes ist gerade zu zeigen.

Um (d) zu erreichen, müssen wir in der Konstruktion dafür sorgen, daß jedes ≤ ∈ M_{j} mit ≤ ⊂ μ × μ, das in M_{j} eine ccc-Forcing-Halbordnung auf μ mit größtem Element 0 definiert, an einer (späteren) Stelle i der Konstruktion berücksichtigt wird, es also ein i ≥ j gibt mit

(e) ≤ =≤^{i} (= ˙≤_{i}^{G_{i}}).

234Wir raten dem Leser, während der weiter unten durchgeführten detaillierten Konstruktion immer wieder auf die folgenden Ausführungen zurück zu kommen, um sich den Sinn der einzelnen Schritte der Konstruktion klar zu machen.

235Wir benutzen für die hierbei involvierten Parameter die in den beiden vorhergehenden Kapiteln benutzten Bezeichnungen.

Können wir unsere Iteration so einrichten, daß die Forcing-Halbordnungen ((P_{k}, ≤_{k}, 1_{k}) | k ≤ κ) unserer Iteration jeweils \overline{\overline{P_{k}}} ≤ ℵ_{2}^{M} erfüllen, so gibt es nach 35.2 eine Aufzählung (x_{ξ}^{j} | ξ < κ) ∈ M der kanonischen Namen für Teilmengen von μ × μ bzgl. P_{j}. Wir bestimmen dann (s.u.) zu jedem Paar (j, ξ) ein i ≥ j, und legen unsere Iteration so an, daß

(f) ˙≤_{i}^{G_{i}} = (x_{ξ}^{j})^{G_{j}}

zumindest in dem Fall gilt, wenn (x_{ξ}^{j})^{G_{j}} in M_{j} eine ccc-Forcing-Halbordnung mit größtem Element 0 ist.

Die Verbindung zwischen (j, ξ) und i wird durch eine Surjektion B: κ ⟶^{surj.} κ×κ hergestellt, für die gilt: ist B(i) = (j, ξ), so ist i ≥ j. Eine solche Funktion wollen wir Buchführungsfunktion nennen. Wir wählen eine solche Buchführungsfunktion vor dem Start der Konstruktion. Da jedes ≤ ∈ M_{j} = M[G_{j}], ≤ ⊂ μ × μ nach 30.17 von der Form ≤ = (x_{ξ}^{j})^{G_{j}} ist, folgt dann (e) aus (f). Um nun (f) zu bekommen, müssen wir dafür sorgen, daß die unserer finite support iteration zugrunde liegende Namenfolge ((Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) | i < κ) ∈ M passend gewählt ist. Wir erreichen dies auf folgende Weise: befinden wir uns an der Stelle i der Iteration, so wählen wir (j, ξ) ∈ κ × κ mit B(i) = (j, ξ). Dann definieren wir einen Namen x_{ξ}^{j,i} ∈ M, so daß

(x_{ξ}^{j})^{G_{j}} = (x_{ξ}^{j,i})^{G_{i}}

gilt. (Wir bezeichnen diesen Vorgang als Hochheben eines P_{j}-Namen zu einem P_{i}-Namen.) Wir definieren dann ˙≤_{i} durch ”Mischen“ von x_{ξ}^{j,i} mit einem Namen für die umgekehrte kanonische Ordnung ≥ von μ, so daß für jeden P_{i}-generischen Filter G über M gilt

˙≤_{i}^{G} = \{ \begin{matrix}(x_{ξ}^{j,i})^{G}, & falls dies in M[G] ccc-Forcing-Halbordnung auf μ mit größtem Element 0 ist; \\ ≥, & sonst. \end{matrix}

Betrachten wir speziell G = G_{i}, so ergibt sich (e). Da ˙≤_{i}^{G} in jedem Fall in M[G] eine ccc-Forcing-Halb-ordnung ist, folgt außerdem

(g) 1_{i} ⊩_{P_{i}} (μ̌^{i}, ˙≤_{i}, 0) hat ccc;

hierbei ist μ̌^{i} der kanonische Name von μ beim Forcing mit P_{i}, also

μ̌^{i}= {(α̌^{i}, 1_{i}) | α ∈ μ}.

Nach 34.1 folgt aus der Gültigkeit von (g) für alle i < κ die Gültigkeit von (a).

35.3 Konstruktion eines Modells von ZFC + MA′(ℵ_{1}) + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2} mit finite support iteration: Ausführung

Wir führen die skizzierte finite support iteration en detail durch. Fixiere eine Buchführungsfunktion

B: κ ⟶^{surj.} κ×κ, B ∈ M. Wir definieren rekursiv Sequenzen ((Q̇_{i}, ˙≤_{i}, ˙1_{i}) | i < κ) ∈ M, ((P_{i}, ≤_{i}, 1_{i}) | i ≤ κ)

und ((x_{ξ}^{i}|ξ < κ) | i < κ) ∈ M, so daß für alle i ≤ κ folgendes gilt:

(1) ((P_{j}, ≤_{j}, 1_{j}) | j ≤ i) ist die finite support iteration, die durch die Namenfolge ((Q̇_{j}, ˙≤_{j}, ˙1_{j}) | j < i) bestimmt ist. Es gilt ((P_{i}, ≤_{i}, 1_{i}) hat ccc)^{M}.

(2) Ist i < κ, so gilt Q̇_{i} =μ̌^{i}, ˙1_{i} =ˇ0^{i} (= 0).

(3) Ist i < κ, so gilt 1_{i} ⊩_{P_{i}} (μ̌^{i}, ˙≤_{i}, 0) ist ccc-Forcing-Halbordnung.

(4) Ist i < κ, so gilt \overline{\overline{P_{i}}}^{M} ≤ μ.

(5) Ist i < κ, so ist (x_{ξ}^{i}|ξ < κ) eine Aufzählung der kanonischen Namen für Teilmengen von μ × μ bzgl. P_{i}.

Zur Konstruktion:

Wir führen die Rekursion in M durch. Sei also i ≤ κ und für jedes j < i seien die Parameter bereits gemäß (1)–(5) bestimmt. Durch (1) ist (P_{i}, ≤_{i}, 1_{i}) gemäß 33.2 bestimmt. Aus der Gültigkeit von (2) und (3) für die Vorgängerstellen von i folgt nach 34.1

(6) ((P_{i}, ≤_{i}, 1_{i}) hat ccc)^{M}.

Da in (2) – (4) nur Aussagen über den Fall i < κ gemacht werden, sei von nun an i < κ vorausgesetzt. Wir zeigen, daß (4) erfüllt ist, daß also gilt

(7) \overline{\overline{P_{i}}} ≤ ℵ_{1}.

Beweis. Ist p ∈ P_{i}, so ist p ∈ ×_{j<i} dom(Q̇_{j}) und es existiert eine endliche Menge x ⊂ i, nämlich x :≡ supp(p), mit ∀ j < i (j ∉ x ⟶ p(j) = ˙1_{j}). Also gilt

(7.1) P_{i} ⊂ ⋃\{\underbrace{\{p ∈ ×_{j<i} dom(Q̇_{i}) | ∀ j < i (j ∉ x ⟶ p(j) = ˙1_{j})\}}_{≡: P_{i,x}} | x ∈ [i]^{<ℵ_{0}}\}.

Für x ∈ [i]^{<ℵ_{0}} ist durch p ↦ p ↾ x eine Injektion von P_{i,x} in ×_{j∈x} dom(Q̇_{j}) gegeben, da sich zwei

verschiedene Elemente von P_{i,x} an einer Stelle j ∈ x unterscheiden müssen. Es folgt \overline{\overline{P_{i,x}}} ≤ \overline{\overline{×_{j∈x} dom(Q̇_{j})}}.

Da wegen (2) für j < i gilt dom(Q̇_{j}) = \{α̌^{j}| α < ℵ_{1}\}, folgt hieraus wegen \overline{\overline{x}} < ℵ_{0}

\overline{\overline{P_{i,x}}} ≤ \overline{\overline{xℵ_{1}}} ≤ ℵ\overline{\overline{x}} ; 1 = ℵ_{1}.

Damit erhalten wir aus (7.1)

\overline{\overline{P_{i}}} ≤ ℵ_{1} · \underbrace{\overline{\overline{[i]^{<ℵ_{0}}}}}_{≤\overline{\overline{i}} +ℵ_{0}} ≤ ℵ_{1} + \overline{\overline{i}} = ℵ_{1};

beachte, daß i < κ = ℵ_{2} gilt. qed(7)

Aus (6) und (7) folgt nach 35.2, daß es in M höchstens κ viele kanonische Namen für Teilmengen von μ × μ bzgl. P_{i} gibt. Sei (x_{ξ}^{i}|ξ < κ) eine – evtl. nicht injektive – Aufzählung dieser Namen.

Um ˙≤_{i} zu definieren, wählen wir j ≤ i und ξ ∈ κ mit B(i) = (j, ξ). Wir benutzen x_{ξ}^{j} zur Definition von ˙≤_{i}. Da x_{ξ}^{j} ein Name bzgl. P_{j} ist, heben wir x_{ξ}^{j} zu einem Namen x_{ξ}^{j,i} bzgl. P_{i} hoch. Es sei

x_{ξ}^{j,i} :≡ {( ˇ (α, β)^{i}, q) | (α, β) ∈ μ × μ ∧ q ∈ P_{i} ∧ ( ˇ (α, β)^{j}, q ↾ j) ∈ x_{ξ}^{j}}.

Wir mischen x_{ξ}^{j,i} mit einer garantiert ccc-Forcing-Halbordnung auf μ mit größtem Element 0; eine solche ist gewiß die Umkehrung der kanonischen Wohlordnung von μ. Wir bezeichnen sie mit ≥. Um Schreibarbeit zu sparen, setzen wir zunächst

ccc(v_{0}, v_{1}, v_{2}) :≡ (v_{0}, v_{1}, v_{2}) ist ccc-Forcing-Halbordnung.

Hiermit sei

˙≤_{i} :≡ {( ˇ (α, β)^{i}, q) | q ∈ P_{i} ∧ [q ⊩_{P_{i}}^{∗} (ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) ∧ ˇ (α, β)^{i}∈ x_{ξ}^{j,i}) ∨ q ⊩_{P_{i}}^{∗} (¬ ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) ∧ α̌^{i}≥β̌^{i})]}.

[M.H. der üblichen Absolutheitsargumente und dem Forcing-Theorem folgt, daß aus der Sicht von V

˙≤_{i} = {( ˇ (α, β)^{i}, q) | q ∈ P_{i} ∧ [q ⊩_{P_{i}} (ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) ∧ ˇ (α, β)^{i}∈ x_{ξ}^{j,i}) ∨ q ⊩_{P_{i}} (¬ ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) ∧ α̌^{i}≥β̌^{i})]}

gilt.] (8) Sei p ∈ P_{i}. Dann gilt

(a) p ⊩_{P_{i}}^{∗} ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) ⟶ p ⊩_{P_{i}}^{∗} ˙≤_{i} = x_{ξ}^{j,i}.

(b) p ⊩_{P_{i}}^{∗} ¬ ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) ⟶ p ⊩_{P_{i}}^{∗} ˙≤_{i} =≥.

Insbesondere gilt in jedem der beiden Fälle p ⊩_{P_{i}}^{∗} ccc(μ̌^{i}, ˙≤_{i}, 0) Beweis. Wir arbeiten in V. Sei p ∈ P_{i}. zu (a). Es gelte (p ⊩_{P_{i}}^{∗} ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0))^{M}, also

(8.1) p ⊩_{P_{i}} ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0).

Wir haben (p ⊩_{P_{i}}^{∗} ( ˙≤_{i} = x_{ξ}^{j,i} ∧ ccc(μ̌^{i}, ˙≤_{i}, 0)))^{M}, also p ⊩_{P_{i}} ˙≤_{i} = x_{ξ}^{j,i} ∧ ccc(μ̌^{i}, ˙≤_{i}, 0) nachzuweisen. Sei also G ein P_{i}-generischer Filter über M mit p ∈ G. Wir müssen (8.2) ˙≤_{i}^{G} = (x_{ξ}^{j,i})^{G} und (8.3) ccc(μ, ˙≤_{i}^{G}, 0)^{M[G]} zeigen. Wir beweisen zunächst (8.2). ”⊃“. Nach Definition von x_{ξ}^{j,i} ist jedes Element von (x_{ξ}^{j,i})^{G} von der Form (α, β) mit α, β ∈ μ. Sei also (α, β) ∈ (x_{ξ}^{j,i})^{G}. Nach dem Forcing-Theorem existiert dann ein q ∈ G mit

(8.4) q ⊩_{P_{i}} ˇ (α, β)^{i}∈ x_{ξ}^{j,i}.

Da wir von q zu einer gemeinsamen Verstärkung r ∈ G von p, q übergehen können, können wir o.E. q ≤_{i} p annehmen. Dann gilt q ⊩_{P_{i}} ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) wegen (8.1). Mit (8.4) folgt ( ˇ (α, β)^{i}, q) ∈ ˙≤_{i} aus der Definition von ˙≤_{i}. Wegen q ∈ G gilt also (α, β) ∈ ˙≤_{i}^{G}. ”⊂“. Nach Definition von ˙≤_{i} ist jedes Element von ˙≤_{i}^{G} von der Form (α, β) mit α, β ∈ μ. Sei also (α, β) ∈ ˙≤_{i}^{G}. Dann existiert ein q ∈ G mit ( ˇ (α, β)^{i}, q) ∈ ˙≤_{i}. Nach Definition von ˙≤_{i} tritt dann einer der folgenden zwei Fälle ein:

Fall 1. Es gilt q ⊩_{P_{i}} (ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) ∧ ˇ (α, β)^{i}∈ x_{ξ}^{j,i}).

Fall 2. Es gilt q ⊩_{P_{i}} (¬ ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) ∧ α̌^{i}≥β̌^{i}).

Fall 2 kann nicht eintreten. In diesem Fall hätten wir nämlich q ⊩_{P_{i}} ¬ ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0). Ist dann r ∈ G eine gemeinsame Verstärkung von p, q, so gilt einerseits r ⊩_{P_{i}} ¬ ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0), andererseits r ⊩_{P_{i}} ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) wegen (8.1), was unmöglich ist. Also tritt Fall 1 ein. Dann gilt insbesondere q ⊩_{P_{i}} ˇ (α, β)^{i}∈ x_{ξ}^{j,i}, was wegen q ∈ G auf (α, β) ∈ (x_{ξ}^{j,i})^{G} führt. Damit ist (8.2) gezeigt. Da aus (8.1) wegen p ∈ G ccc(μ, (x_{ξ}^{j,i})^{G}, 0)^{M[G]} folgt und (8.2) aus Absolutheitsgründen mit ( ˙≤_{i}^{G} = (x_{ξ}^{j,i})^{G})^{M[G]} gleichwertig ist, ergibt sich (ccc(μ, (x_{ξ}^{j,i})^{G}, 0) ∧ ˙≤_{i}^{G} = (x_{ξ}^{j,i})^{G})^{M[G]}, was sofort (8.3) impliziert. Damit ist (a) bewiesen. zu (b). In diesem Fall gilt

(8.5) p ⊩_{P_{i}} ¬ ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0)

und wir haben p ⊩_{P_{i}} ˙≤_{i} = ≥ ∧ ccc(μ̌^{i}, ˙≤_{i}, 0) nachzuweisen. Wir bemerken zunächst:

(8.6) Sind α, β ∈ On ∩M mit β ∈ α, so gilt p ⊩_{P_{i}} β̌^{i}∈α̌^{i}.

Beweis. Es gilt (β̌^{i}, 1_{i}) ∈α̌^{i}, so daß 1_{i} ⊩_{P_{i}} β̌^{i}∈α̌^{i} aus 28.3 folgt. Hieraus ergibt sich wegen p ≤_{i} 1_{i} die Behauptung. qed(8.6)

Sei nun G ein P_{i}-generischer Filter über M mit p ∈ G. Wir müssen

(8.7) ˙≤_{i}^{G} = ≥

und (8.3) zeigen. Wir beweisen zunächst (8.7).

”⊃“. Seien α, β ∈ μ mit α ≥ β. Wegen (8.5) und (8.6) gilt dann ( ˇ (α, β)^{i}, p) ∈ ˙≤_{i}. Wegen p ∈ G gilt also (α, β) ∈ ˙≤_{i}^{G}. ”⊂“. Nach Definition von ˙≤_{i} ist jedes Element von ˙≤_{i}^{G} von der Form (α, β) mit α, β ∈ μ. Sei also

(α, β) ∈ ˙≤_{i}^{G}. Dann existiert ein q ∈ G mit ( ˇ (α, β)^{i}, q) ∈ ˙≤_{i}. Nach Definition von ˙≤_{i} tritt dann einer der beiden im Beweis von (a) formulierten Fälle ”Fall 1.“ bzw. ”Fall 2.“ ein. Dual zum Beweis von (a) ergibt

sich, daß Fall 1 nicht eintreten kann. Also tritt Fall 2 ein. Dann gilt insbesondere q ⊩_{P_{i}} α̌^{i}≥β̌^{i}, was wegen q ∈ G auf α ≥ β führt. Damit ist (8.7) gezeigt. Da schließlich ZFC ⊢ ccc(μ, ≥, 0) gilt, folgt ccc(μ, ≥, 0)^{M[G]}, so daß wir

(ccc(μ, ≥, 0) ∧ ˙≤_{i}^{G} =≥)^{M[G]}

haben, was sofort (8.3) impliziert. Damit ist auch (b) bewiesen. qed(8)

Da wir in M arbeiten, folgt nun (3) aus

(9) 1_{i} ⊩_{P_{i}}^{∗} ccc(μ̌, ˙≤_{i}, 0).

Beweis. Da q ⊩_{P}^{∗} φ gleichwertig ist dazu, daß {p ∈ P | q ⊩_{P}^{∗} φ} dicht unter p ist, siehe 28.17, ist zu zeigen:

(9.1) {p ∈ P_{i} | p ⊩_{P_{i}}^{∗} ccc(μ̌, ˙≤_{i}, 0)} ist dicht (unter 1_{i}).

Beweis. Sei q ∈ P_{i}. Da nach 28.20 für jede ∈-Formel φ(v⃗) und für jedes Tupel ẋ von Namen die Menge {p ∈ P_{i} | p ⊩_{P_{i}}^{∗} φ( ẋ^{G}) ∨ p ⊩_{P_{i}}^{∗} ¬ φ( ẋ^{G})} dicht in P_{i} ist,^{236} existiert ein p ∈ P_{i} mit p ≤_{i} q,

so daß p ⊩_{P_{i}}^{∗} ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) oder p ⊩_{P_{i}}^{∗} ¬ ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0) gilt. Nach (8) gilt in jedem der beiden Fälle

p ⊩_{P_{i}}^{∗} ccc(μ̌^{i}, ˙≤_{i}, 0). p ist dann wie benötigt. qed(9.1)

Damit ist (9) gezeigt. qed(9)

Hiermit ist die rekursive Definition abgeschlossen.

35.4 Wesentliche kombinatorische Eigenschaften des Zielmodells.

35.3 Satz (MA′(ℵ_{1}))^{M_{κ}}.

Beweis. Da P_{κ} nach (1) in M ccc hat, gilt ℵ_{1}^{M_{κ}} = μ, so daß wir (MA′(μ))^{M_{κ}} zu zeigen haben. Es ist leicht zu sehen, daß dieses äquivalent ist zu

∀ ≤, D ∈ M_{κ} ∃G ∈ M_{κ}
( (((μ, ≤, 0) ist eine ccc-Forcing-Halbordnung)^{M_{κ}} ∧ ∀D ∈ D D ist dicht in (μ, ≤, 0) ∧ \overline{\overline{D}}^{M_{κ}} ≤ μ)

⟶ G ist ein (μ, ≤, 0)-generischer Filter über D)

236Beachte, daß wir in M arbeiten und wir deshalb auf die in 28.20 vorkommenden Relativierungen verzichten können.

Seien also ≤, D ∈ M_{κ} mit obigen Eigenschaften vorgegeben. Nach 34.5 existiert ein j_{≤} < κ mit

(1) ∀ j ≥ j_{≤} ((μ, ≤, 0) ist eine ccc-Forcing-Halbordnung)^{M_{j}}.

Da jedes D ∈ D eine Teilmenge von μ und (wegen D ∈ M_{κ} und der Transitivität von M_{κ}) ein Element von Pot(μ) ∩ M_{κ} ist, existiert nach 34.3 ein j_{D} < κ mit D ∈ Pot(μ) ∩ M_{j_{D}}. Sei

j :≡ sup({j_{≤}} ∪ {j_{D} | D ∈ D}).

Wegen \overline{\overline{D}} ≤ μ < κ = cf(κ)^{M} ist j < κ. Sei x_{ξ}^{j} ein kanonischer Name von ≤ bzgl. P_{j}. Dann gilt also

(2) ≤ = (x_{ξ}^{j})^{G_{j}}.

Wähle i < κ mit B(i) = (j, ξ). Es gilt:

(3) (x_{ξ}^{j})^{G_{j}} = (x_{ξ}^{j,i})^{G_{i}}.

Beweis. ”⊂“. Sei (α, β) ∈ (x_{ξ}^{j})^{G_{j}}. Dann existiert ein q ∈ G_{j} mit ( ˇ (α, β)^{j}, q) ∈ x_{ξ}^{j}; beachte, daß jeder

kanonische Name für eine Teilmenge von μ × μ nur aus Elementen der Art ( ˇ (α, β)^{j}, q) mit α, β ∈ μ und q ∈ P_{j} besteht. Nach Definition von G_{j} existiert ein p ∈ G_{κ} mit q = p ↾ j. Dann ist p ↾ i ∈ G_{i} und aus

der Definition von x_{ξ}^{j,i} folgt ( ˇ (α, β)^{j}, p ↾ i) ∈ x_{ξ}^{j,i}. Also ist (α, β) ∈ (x_{ξ}^{j,i})^{G_{i}}.

”⊃“. Dies beweist man analog. qed(3)

(4) ˙≤_{i}^{G_{i}} = ≤.

Beweis. Aus (2) und (3) folgt zunächst

(4.1) ≤ = (x_{ξ}^{j,i})^{G_{i}},

was zu (≤ = (x_{ξ}^{j,i})^{G_{i}})^{M_{i}} äquivalent ist. Da aus (1) ((μ, ≤, 0) ist eine ccc-Forcing-Halbordnung)^{M_{i}} folgt,

erhalten wir ccc(μ, x_{ξ}^{j,i}, 0)^{M_{i}}. Nach dem Forcing-Theorem existiert ein p ∈ G_{i} mit p ⊩_{P_{i}} ccc(μ̌^{i}, x_{ξ}^{j,i}, 0). Nach (8) gilt dann p ⊩_{P_{i}} ˙≤_{i} = x_{ξ}^{j,i}. (Beachte, daß (8) eine Aussage in M ist.) Wegen p ∈ G_{i} folgt hieraus

˙≤_{i}^{G_{i}} = (x_{ξ}^{j,i})^{G_{i}}, woraus in Verbindung mit (4.1) die Behauptung folgt. qed(4)

Insgesamt haben wir wegen Q̇_{i} =μ̌^{i}, ˙1_{i} = 0:

(Q^{i}, ≤^{i}, 1^{i}) = (Q̇_{i}^{G_{i}}, ˙≤_{i}^{G_{i}}, ˙1_{i}^{G_{i}}) = (μ, ˙≤_{i}^{G_{i}}, 0) =^{(4)} (μ, ≤, 0),

so daß (Q^{i}, ≤^{i}, 1^{i}) mit derjenigen Forcing-Halbordnung übereinstimmt, für die wir einen generischen Filter über D finden müssen. Nach 33.16 gibt es einen (Q^{i}, ≤^{i}, 1^{i})-generischer Filter über M_{i}, den wir dort mit H^{i} bezeichnet haben. Wegen D ⊂ M_{i} schneidet H^{i} insbesondere jede Menge aus D. H^{i} ist also wie benötigt. Damit ist der Satz bewiesen. QED

Da MA(ℵ_{1}) und MA′(ℵ_{1}) unter ZFC äquivalent sind und ZFC^{M_{κ}} gilt, erhalten wir sofort

35.4 Corollar (MA(ℵ_{1}))^{M_{κ}}.

Es bleibt noch zu zeigen:

35.5 Satz (2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2})^{M_{κ}}.

Beweis. Wegen ZFC ⊢ ∀ λ ≥ 2^{ℵ_{0}} ¬ MA(λ) folgt (2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{2})^{M_{κ}} aus 35.4. Wir zeigen (1) \overline{\overline{Pot(ℵ_{1})}}^{M_{κ}} ≤ κ. Beweis. Da P_{κ} in M ccc hat, gilt ℵ_{1}^{M_{κ}} = μ, woraus \overline{\overline{Pot(ℵ_{1})}}^{M_{κ}} = \overline{\overline{Pot(μ)}}^{M_{κ}} folgt. Mit 30.20 folgt

\overline{\overline{Pot(μ)}}^{M_{κ}} ≤ (\overline{\overline{P_{κ}}}^{\overline{\overline{μ}} ·ℵ_{0}})^{M} = (\overline{\overline{P_{κ}}}^{μ})^{M}. Um dies weiter auszurechnen, arbeiten wir in M. Analog zu (7) (in der obigen Konstruktion des iterierten Forcings) zeigt man \overline{\overline{P_{κ}}} ≤ κ. (Man muß in (7) nur i durch κ ersetzen und beachten, daß dann die dortige Identität ℵ_{1} + \overline{\overline{i}} = ℵ_{1} zu ℵ_{1} + \overline{\overline{κ}} = κ transformiert.) Also gilt

\overline{\overline{P_{κ}}}^{μ} = κ^{μ} = ℵ_{2}^{ℵ_{1}} = (2^{ℵ_{1}})^{ℵ_{1}} = 2^{ℵ_{1}} = κ aufgrund der für M vorausgesetzten Eigenschaft des Wertes von 2^{ℵ_{1}}. Damit ist (1) gezeigt. qed(1) Nach (1) gilt (2^{ℵ_{1}} ≤ ℵ_{2})^{M_{κ}}, was wegen (2^{ℵ_{0}} ≤ 2^{ℵ_{1}})^{M_{κ}} auf (2^{ℵ_{0}} ≤ ℵ_{2})^{M_{κ}} führt. Damit ist der Satz bewiesen. QED

35.5 Die relative Konsistenz von MA + ¬ CH.

Wir erhalten als Hauptresultat: 35.6 Satz (Solovay, Martin) Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + MA + 2^{ℵ_{0}} > ℵ_{1}). Beweis. Wegen Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + 2^{ℵ_{1}} = ℵ_{2}) (siehe 31.10) und

ZFC ⊢ ((MA(ℵ_{1}) + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{2})) ⟷ (MA + 2^{ℵ_{0}} > ℵ_{1})) genügt es, Kon(ZFC + 2^{ℵ_{0}} = ℵ_{1} + 2^{ℵ_{1}} = ℵ_{2}) ⟶ Kon(ZFC + MA + 2^{ℵ_{0}} > ℵ_{1}) zu zeigen. Gemäß 35.4 und 35.5 leistet dies die in diesem Kapitel dargestellte finite support iteration. QED 35.7 Corollar Kon(ZF) ⟶ Kon(ZFC + MA + ¬ CH).

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logic

is the beginning of wisedom not the end. (Spock)