Seminar zur Logik: Nichtstandardanalysis

Elementare Modelltheorie und Nichtstandardmodelle

— Alexander Sonnikow —

Die Modelltheorie ist eine Untersuchung von Axiomensystemen, deren Modellen sowie der Beziehung zwischen den beiden.

Definition 1: Seien 𝔄 und 𝔅 L-Strukturen.

(a) Th(𝔄) :≡ {φ ∈ Fml_{0}(L)|𝔄 ⊧ φ} heißt die Theorie von 𝔄.

(b) 𝔄 und 𝔅 sind elementar äquivalent :≡ 𝔄 ≡ 𝔅 :≡ Th(𝔄) ≡ Th(𝔅).

(c) Eine Funktion h heißt elementare Abbildung (d.h. h : 𝔄 ≺ 𝔅), falls gilt:

(i) h : |𝔄| → |𝔅|;

(ii) ∀n < ω∀φ ∈ Fml_{n}(L)∀a⃗ ∈ |𝔄|^{n}(𝔄 ⊧ φ[a⃗] ⟷ 𝔅 ⊧ φ[h(a⃗)]).

(d) 𝔄 heißt elementare Substruktur von 𝔅 (d.h. 𝔄 ≺ 𝔅), falls gilt:

(i) 𝔄 ⊂ 𝔅;

(ii) id : 𝔄 ≺ 𝔅.

Bemerkung 1: Seien 𝔄 und 𝔅 L-Strukturen.

(a) Für φ ∈ Fml_{0}(L) gilt: Th(𝔄) ⊧ φ ⟷ 𝔄 ⊧ φ.

(b) 𝔄 ≡ 𝔅 ⟷ ∀φ ∈ Fml_{0}(L) (𝔄 ⊧ φ ↔ 𝔅 ⊧ φ).

(c) h : 𝔄 ≺ 𝔅 ⟶ 𝔄 ≡ 𝔅.

(d) h : 𝔄 ≅ 𝔅 ⟶ h : 𝔄 ≺ 𝔅. Insbesondere sind also isomorphe Strukturen elementar äquivalent.

(e) Substruktur 𝔄 von 𝔅 ist elementar gdw. ∀φ(v_{0}, …, v_{n−1}) ∈ Fml(L) und ∀a_{0}, …, a_{n−1} ∈ |𝔄| gilt: 𝔄 ⊧ φ[a_{0}, …, a_{n−1}] ⟷ 𝔅 ⊧ φ[a_{0}, …, a_{n−1}].

Definition 2: ℝ steht sowohl für die Menge wie auch für die Struktur des angeordneten Körpers der reellen Zahlen über der Sprache L.

ZIEL: Darstellung der (ersten) Ableitung einer Funktion mit Nichtstandardmethoden.

Seien Funktionen f, g : ℝ → ℝ beliebig vorgegeben. Wir erweitern L zu L′ = L ∪ {ḟ, ġ} ∪ {ṙ|r ∈ ℝ}. Durch die Interpretation von ḟ durch f, ġ durch g und ṙ durch r haben wir eine kanonische Expansion von ℝ zu einer L′-Struktur ℝ′.

Für infinitesimale Größen wählen wir ein neues Konstantensymbol θ̇ und betrachten:

Φ = Th(ℝ′) ∪ {˙(˙0 ˙<θ̇ ˙∧θ̇ ˙<ṙ˙)|r ∈ ℝ ∧ 0 < r}.

Bemerkung 2: Jede endliche Teilmenge Φ′ von Φ ist in einer Expansion von ℝ′ erfüllbar. Nach dem Endlichkeitssatz ist dann insbesondere auch Φ erfüllbar. Sei (ℝ^{∗}, θ^{∗}) ⊧ Φ, wobei

ℝ^{∗} = (|ℝ^{∗}|, <^{∗}, +^{∗}, ·^{∗} , f^{∗}, g^{∗}, (r^{∗}|r ∈ ℝ)).

Lemma 1: ℝ^{∗} ist eine echte Erweiterung von ℝ′ zu einem angeordneten Körper.

Definition 3: Seien u, v ∈ ℝ^{∗}.

(a) u ist endlich :≡ ∃r ∈ ℝ |u| < r.

(b) Ist u endlich, so bezeichnet st(u) :≡ sup_{ℝ}{r ∈ ℝ|r < u} den Standardteil von u.

(c) u ist unendlich klein (auch: infinitesimal) :≡ st(u) = 0.

(d) u, v sind unendlich nahe :≡ u ∼ v :≡ u − v ist unendlich klein.

Lemma 2: Seien u, v ∈ ℝ^{∗}.

(a) u ist unendlich klein ⟷ ∀r ∈ ℝ (0 < r → |u| < r).

(b) Sind u und v endlich, so auch u + v, −u und u· v.

(c) Sind u und v unendlich klein, so auch u + v, −u und u· v.

(d) Ist u endlich und v unendlich klein, so ist u· v unendlich klein.

(e) Ist r ∈ ℝ, so ist st(r) = r; insbesondere ist r endlich.

Satz 1: Jedes endliche u ist eindeutig darstellbar in der Form u = r + h, so daß r ∈ ℝ und h ∈ ℝ^{∗} unendlich klein ist. Es ist dann r = st(u).

Korollar: Seien u, v ∈ ℝ^{∗} endlich. Dann gilt:

(a) st(u + v) = st(u) + st(v).

(b) st(u· v) = st(u)· st(v).

(c) st(−u) = −st(u).

(d) Wenn u ≤ v so st(u) ≤ st(v).

(e) |st(u)| = st(|u|).

Satz 2: g = f′ ⟺ ∀x ∈ ℝ ∀h ∈ ℝ^{∗} ((h ∼ 0 ∧ h ≠ 0) ⟶ g^{∗}(x) ∼ \frac{f^{∗}(x+h)−f^{∗}(x)}{h}) .

Formalisierung einiger Eigenschaften der Sprache L_{aoK}der angeordneter Körper:

”v̇_{1} = −v̇_{0}” entspricht α(v̇_{0}, v̇_{1}) :≡ v̇_{0} ˙+v̇_{1} ˙=˙0.
”v̇_{1} = v̇_{0}^{−1}” entspricht μ(v̇_{0}, v̇_{1}) :≡ v̇_{0} ˙•v̇_{1} ˙=˙1.
”|v̇_{0}| < v̇_{1}” entspricht β(v̇_{0}, v̇_{1}) :≡ ˙(˙(˙(˙0 ˙<v̇_{0} ˙∨˙0 ˙=v̇_{0}˙) ˙ ⟶v̇_{0} ˙<v̇_{1}˙) ˙∧˙(v̇_{0} ˙<˙0 ˙ ⟶ ˙∀v̇_{2}˙(v̇_{0} ˙+v̇_{2} ˙=˙0 ˙→v̇_{2} ˙<v̇_{1}˙)˙)˙).

Betrachte nun: Δ(v̇_{0}, v̇_{1}, v̇_{2}, v̇_{3}, v̇_{4}) :≡ ∀v̇_{5}∀v̇_{6}∀v̇_{7}˙(˙(α\frac{v̇_{1}}{v̇_{0}} \frac{v̇_{5}}{v̇_{1}} ˙∧˙(μ\frac{v̇_{2}}{v̇_{0}} \frac{v̇_{6}}{v̇_{1}} ˙∧α\frac{v̇_{3}}{v̇_{0}} \frac{v̇_{7}}{v̇_{1}} ˙)˙) ˙ ⟶β \frac{(v̇_{0} ˙+v̇_{5})˙•v̇_{6} ˙+v̇_{7}}{v̇_{0}} \frac{v̇_{4}}{v̇_{1}} ˙).

In jedem angeordneten Körper 𝔎 gilt: 𝔎 ⊧ Δ[a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}] ⟺ |\frac{a_{0}−a_{1}}{a_{2}} − a_{3}| < a_{4}.

Beispiel: Für 0 < n < ω ist (x^{n})′ = n· x^{n−1}, denn für h ∈ ℝ^{∗}\{0} mit h ∼ 0 gilt

\frac{(x + h)^{n} − x^{n}}{h} = \frac{∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{n−k}h^{k} − x^{n}}{h} = n· x^{n−1} + \underbrace{h· ∑_{k=2}^{n} x^{n−k}h^{k−2}}_{∼0} .