SEMINAR: NICHTSTANDARD-ANALYSIS 2. EINFACHE KONSEQUENZEN

ALEXANDER GILBERS

Nachdem wir den Erweiterungskörper ^{∗}ℝ von ℝ konstruiert haben, können wir nun jeder Funktion f : ℝ ⟶ ℝ eine Funktion ∗f : ^{∗}ℝ ⟶ ^{∗}ℝ zuordnen, die f fortsetzt.

Satz 1 (Die Funktion ^{∗}f als Fortsetzung der Funktion f). Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion. Für ᾱ ∈ ^{∗}ℝ setze

∗f(ᾱ) := β̄ mit β(i):= f(α(i)) für i ∈ ℕ. Es ist ^{∗}f(ᾱ) nicht von der speziellen Darstellung von ᾱ abhängig. Daher ist ^{∗}f : ^{∗}ℝ ⟶ ^{∗}ℝ eine Funktion, und es gilt:

(i) ^{∗}f(r) = f(r) für alle r ∈ ℝ; (ii) ^{∗}f(ᾱ) = \overline{f ∘ α} für alle ᾱ ∈ ^{∗}ℝ.

Satz 2 (Eigenschaften von f ⟶ ^{∗}f). Seien f, g : ℝ ⟶ ℝ zwei Funktionen und x_{0} ∈ ℝ. Dann gilt:

(i) ^{∗}(f + g) = ^{∗}f + ^{∗}g, ^{∗}(f − g) = ^{∗}f − ^{∗}g, ^{∗}(f · g) = ^{∗}f · ^{∗}g; (ii) ^{∗}(g ∘ f) = ^{∗}g ∘ ^{∗}f; (iii)f(x) = f(x_{0}) + (x − x_{0})g(x) für alle x ∈ ℝ ⟹ ^{∗}f(x) = f(x_{0}) + (x − x_{0})^{∗}g(x) für alle x ∈ ^{∗}ℝ.

Nach dem Nachweis dieser Eigenschaften von ^{∗}f kann man jetzt daran gehen, unter Verwendung von Elementen aus ^{∗}ℝ ein elegantes Stetigkeitskriterium für reelle Funktionen aufzustellen.

Satz 3 (Nichtstandard-Kriterium für Stetigkeit). Sei f : ℝ ⟶ ℝ eine Funktion und x_{0} ∈ ℝ. Dann sind äquivalent:

(i) f ist stetig in x_{0}. (ii) (x ∈ ^{∗}ℝ und x ≈ x_{0}) ⟹ ^{∗}f(x) ≈ f(x_{0}).

Der Nachweis einfacher Tatsachen ist bei Verwendung des Nichtstandard-Kriteriums möglich und nicht schwieriger als die Standardbeweise. Als Beispiel die Beweise der folgenden beiden Korollare:

Korollar 1. Seien f, g : ℝ ⟶ ℝ Funktionen, die in x_{0} stetig sind. Dann sind auch f + g, f − g, f · g stetig in x_{0}.

Korollar 2. Sei f : ℝ ⟶ ℝ in x_{0} stetig und g : ℝ ⟶ ℝ in f(x_{0}) stetig. Dann ist g ∘ f in x_{0} stetig.

Satz 4 (Nichtstandard-Kriterium für gleichmäßige Stetigkeit). Sei f : ℝ ⟶ ℝ eine Funktion. Dann sind äquivalent:

(i) f ist gleichmäßig stetig. (ii) (x, y ∈ ^{∗}ℝ und x ≈ y) ⟹ ^{∗}f(x) ≈ ^{∗}f(y).

Satz 5 (Nichtstandard-Kriterium für Differenzierbarkeit). Sei f : ℝ ⟶ ℝ eine Funktion und x_{0} ∈ ℝ. Sei c ∈ ℝ; dann sind äquivalent:

(i) f ist in x_{0} differenzierbar mit Ableitung f′(x_{0}) = c; (ii) \frac{^{∗}f(x_{0}+dx)−f(x_{0})}{dx} ≈ c für alle 0 ≠ dx ≈ 0.

Einen Ausblick auf das Transfer-Prinzip erlaubt diese Formulierung eines ”eingeschränkten Transfer-Prinzips“.

Satz 6 (Eingeschränktes Transfer-Prinzip). Es sei φ eine Aussage, in der Funktionen f_{1}, …, f_{m}, die Menge ℝ, reelle Zahlen sowie +, −, ·,≤, | | und die Zeichen =, ∈, ∧, ∨, ¬, ⇒, ∀\underline{x}, ∃\underline{y}, vorkommen; dabei sind \underline{x}, \underline{y} Variable. Dann ist die Aussage φ genau dann gültig, wenn die Aussage ^{∗}φ gültig ist; dabei entsteht ^{∗}φ aus φ dadurch, dass f_{1} …, f_{m} durch ^{∗}f_{1} …,^{∗} f_{m} und ℝ durch ^{∗}ℝ ersetzt werden.

Mit Hilfe des Transfer-Prinzips kann man Aussagen, die in ℝ gelten auf ^{∗}ℝ übertragen. Dabei muss man allerdings darauf achten, dass in der Aussage keine anderen Zeichen verwendet werden, als die oben aufgeführten.