MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT BONN Arbeitsgruppe Mathematische Logik Prof. Dr. Peter Koepke

Bonn, den 24.05.2002

Einführung in die Mathematische Logik SS 2002

Übungsaufgaben, Folge 6, Abgabe: 07.06.2002 nach der Vorlesung.

Aufgabe 1 Formalisieren Sie jeweils über einer geeigneten Symbolmenge S:

(a) die Gruppenaxiome;

(b) die Axiome einer Äquivalenzrelation;

(c) die Axiome der linearen Ordnungen, die dicht (d.h., zwischen je zwei Elementen liegt ein weiteres) und unberandet (d.h., zu jedem Element gibt es ein größeres und ein kleineres) sind;

(d) die Körperaxiome;

(e) für jede Primzahl p die Axiome der Körper der Charakteristik p;

(f) die Axiome der Körper der Charakteristik 0;

(g) die Axiome der algebraisch abgeschlossenen Körper;

(h) die Vektorraumaxiome.

Aufgabe 2 Geben Sie einen Kalkül an, der die Aussagen der Aussagenlogik erzeugt und eindeutige Zerlegung besitzt. Beweisen Sie diese Eigenschaft.

Aufgabe 3 Gegeben sei eine Funktion f : ℕ → ℝ. Zeigen Sie für a, b ∈ ℝ mit a < b, daß es im abgeschlossenen Intervall I = [a, b] einen Punkt c gibt mit c ∉ {f(n) | n ∈ ℕ}. Folgern Sie hieraus, daß I und damit ℝ überabzählbar sind. (Hinweis: Durch Induktion definiere man eine Folge nichtleerer, abgeschlossener Intervalle I = I_{0} ⊇ I_{1} ⊇ ⋯ mit f(n) ∉ I_{n+1} und verwende, daß ⋂_{n∈ℕ} I_{n} ≠ ∅ ist.)

Aufgabe 4 Es sei n ≥ 1 und t_{1}, ⋯, t_{n} seien Terme über einem Alphabet 𝔸. Zeigen Sie, daß an jeder Stelle im Wort t_{1} ⋯ t_{n} genau ein Term beginnt, d.h. ist 1 ≤ i ≤ Länge von t_{1} ⋯ t_{n}, so gibt es eindeutig bestimmte Wörter α, β und einen eindeutigen Term t, so daß t_{1} ⋯ t_{n} = αtβ gilt und α die Länge i − 1 hat.

Homepage der Vorlesung:

http://www.math.uni-bonn.de/people/logic/Lectures/SoSe2002/Vorlesung.html
Newsgroup: uni-bonn.math.logik