Seminar für Diplom und Staatsexamenskandidaten, SS 2001

Elementare Einbettungen und Laver-Tafeln

1 Wiederholung

1.1 I3:

Sei λ eine Limesordinalzahl. Dann existiert eine elementare Einbettung j : V_{λ} → V_{λ}.

1.2 Definition:

Ê_{λ} := {j | j : V_{λ} → V_{λ} elementar}
E_{λ} := Ê_{λ} \ (id ↾ V_{λ})

Seien j_{1}, j_{2} ∈ Ê_{λ}, dann definiere die Anwendung von j_{1} auf j_{2} durch:

j_{1}[j_{2}] := ⋃_{α<λ} j_{1}(j_{2} ↾ V_{α})

j_{1} ist Linksdivisor von j_{2} in (Ê_{λ}, [ ]) genau dann, wenn gilt:

j_{2} = j_{1}[j_{3}] mit j_{1}, j_{2}, j_{3} ∈ Ê_{λ}

1.3 Lemma:

In (Ê_{λ}, [ ]) gilt folgendes Linksdistributivitätsgesetz:

j_{1}[j_{2}[j_{3}]] = j_{1}[j_{2}] [j_{1}[j_{3}]] (LD)

In (Ê_{λ}, [ ], ∘) gelten folgende Gesetze:

(i) j_{1} ∘ (j_{2} ∘ j_{3}) = (j_{1} ∘ j_{2}) ∘ j_{3} (ii) (j_{1} ∘ j_{2})[j_{3}] = j_{1}[j_{2}[j_{3}]]

(iii) j_{1}[j_{2} ∘ j_{3}] = j_{1}[j_{2}] ∘ j_{1}[j_{3}] (iv) j_{1} ∘ j_{2} = j_{1}[j_{2}] ∘ j_{1}

1.4 Lemma:

Seien j_{1}, j_{2} ∈ E_{λ}. Dann ist crit(j_{1}[j_{2}]) = j_{1}(crit(j_{2})).

1.5 Definition:

(i) Iter(j) ist das Untersystem von (E_{λ}, [ ]), das von j erzeugt wird, i ∈ Iter(j) heißt reines Iterat von j. (ii) Îter(j) ist der LD-Untermonoid von ˆ(E_{λ}, [ ], ∘), der von j erzeugt wird, i ∈ Îter(j) heißt Iterat von j.

1.6 Satz:

Iter(j) ist ein freies LD-System und Îter(j) ist ein freier LD-Monoid.

2 Laver-Tafeln

Wir wollen nun versuchen, ein endliches System zu konstruieren, das nur einen Erzeuger besitzt und (LD) erfüllt. Wir starten mit einer unvollständigen Tafel in der wir uns die erste Spalte vorgeben und komplettieren diese, indem wir (LD) benutzen. Versuchen wir also ein System ({1, …, N}, ∗) zu konstruieren, indem jedes Element eine Linkspotenz der 1 ist, z.B. 1_{[p]}. Die Linkspotenz x_{[p]} von x ist induktiv definiert durch x_{[1]} = x und x_{[p+1]} = x_{[p]} · x. OBdA können wir annehmen, dass 1_{[p]} = p für 1 ≤ p ≤ N gilt. Nun muss nur noch der Wert von N ∗ 1 bzw. 1_{[N+1]} festgelegt werden. Wir wählen N ∗ 1 = 1, d.h. die erste Spalte bildet einen Zykel.

2.1 Notation:

(a)_{N} = a mod N

Die Bedingung an die Werte in der ersten Spalte kann nun wie folgt formuliert werden. Für jedes a aus {1, …, N} gilt:

a ∗ 1 = (a + 1)_{N}  (1)

2.2 Lemma:

(i) Für jedes N gibt es eine eindeutige Operation ∗ auf {1, …, N}, die (1) erfüllt und für alle a, b

a ∗ (b ∗ 1) = (a ∗ b) ∗ (a ∗ 1)

(ii) Die folgenden Relationen gelten:

a ∗ b \{ \begin{matrix}= b & für a = N \\ = a + 1 & für b = 1, und für a ∗ (b − 1) = N \\ > a ∗ (b − 1) & sonst \end{matrix}

Für a < N gibt es p ≤ N − a und c_{1} = a + 1 < c_{2} < … < c_{p} = N, so dass für jedes b gilt: a ∗ b = c_{i} mit i = (b)_{p}. Insbesondere gilt a ∗ b > a.

2.3 Definition:

Das konstruierte System heisse S_{N}.

2.4 Bemerkung:

Es gilt:

(N − 1) ∗ b = N
(N − 2) ∗ b = \{ \begin{matrix}N − 1 & für b ungerade \\ N & für b gerade \end{matrix}

2.5 Lemma:

Jedes LD-System S, das nur einen Erzeuger g besitzt, mit g_{[N+1]} = g und g_{[a]} ≠ g für a ≤ N, ist isomorph zu S_{N}.

2.6 Frage:

Gilt LD in S_{N}, d.h. gilt LD für beliebige Tripel aus S_{N}?

2.7 Lemma:

S_{N} ist ein LD-System, g.d.w. a ∗ N = N für jedes a gilt.

2.8 Satz:

(i) Wenn N ≠ 2^{n} für alle n gilt, so gibt es kein LD-System, das (1) erfüllt. (ii) Für jedes n gibt es ein eindeutiges System, das (1) erfüllt, nämlich S_{2^{n}}.

2.9 Definition:

(i) Für n ≥ 0 ist die n-te Laver-Tafel (A_{n}, ∗_{n}) definiert als das LD-System S_{2^{n}}. (ii) Für 1 ≤ a ≤ 2^{n} ist die Periode von a in A_{n} die Anzahl der verschiedenen Werte in der Spalte von a in A_{n}.

3 Endliche Quotienten von Einbettungsalgebren

3.1 Definition:

Seien i, j ∈ E_{λ} und γ eine Limesordinalzahl mit γ < λ . Dann heißen i und j γ-äquivalent, notiert als i =^{γ} j, wenn i(x) ∩ V_{γ} = j(x) ∩ V_{γ} für jedes x ∈ V_{γ} gilt.

3.2 Lemma:

Sei i =^{γ} j und α < γ. Dann gilt entweder i(α) < γ und somit j(α) = i(α) oder i(α) ≥ γ und damit auch j(α) ≥ γ. Insbesondere gilt entweder crit(i)=crit(j) ≤ γ oder crit(i) ≥ γ und crit(j) ≥ γ.

3.3 Lemma:

Seien j_{1}, j_{2} ∈ E_{λ}. Dann ist j_{1}[j_{2}] =^{crit(j_{1})} j_{2}.

3.4 Satz:

(i) Seien j_{1} =^{γ} j′_{1}, j_{2} =^{γ} j′_{2} und j_{1}, j′_{1}, j_{2}, j′_{2} ∈ Ê_{λ}. Dann gilt auch j_{1}(j_{2}(x)) =^{γ} j′_{1}(j′_{2}(x)) für

x ∈ V_{γ}. (ii) Seien j_{1} =^{γ} j′_{1} und j_{2} =^{γ} j′_{2} mit j_{1}(δ) ≥ γ. Dann gilt auch j_{1}[j_{2}] =^{γ} j′_{1}[j′_{2}].

3.5 Lemma:

Seien j_{0}, …, j_{p} ∈ E_{λ} und γ = crit(j_{0}).

(i) Sei j_{0}[j_{1}[j_{2}] … [j_{l}]](γ) ≥ γ′ für 1 ≤ l ≤ p−1. Dann gilt j_{0}[j_{1}][j_{2}] … [j_{p}] =^{γ′} j_{0}[j_{1}[j_{2}] … [j_{p}]].

(ii) Sei crit(j_{1}[j_{2}] … [j_{l}]) < γ für 1 ≤ l ≤ p − 1 und crit(j_{1}[j_{2}] … [j_{p}]) ≤ γ. Dann gilt crit(j_{0}[j_{1}][j_{2}] … [j_{p}]) = j_{0}(crit(j_{1}[j_{2}] … [j_{p}])).

3.6 Definition:

Die Ordinalzahl crit_{n}(j) ist definiert als das (n+1)-te Element in der wachsenden Auzählung der kritischen Punkte der Iterationen von j. Insbesondere ist crit_{0}(j) = crit(j).

3.7 Satz:

Sei j ∈ E_{λ}. Dann ist der Quotient von Iter(j) unter crit_{n}(j)-Äquivalenz die Laver-Tafel (A_{n}, ∗_{n}). Zum Beweis dieses Satzes genügt es die Voraussetzungen von Lemma 2.5 zu erfüllen.

3.8 Lemma:

Seien i_{1}, …, i_{2^{n}} Iterate von j. Dann gilt crit(i_{1}[i_{2}] … [i_{p}]) ≥ crit_{n}(j) für ein p ≤ 2^{n}.

3.9 Lemma:

Sei n fest und i ein Iterat von j. Dann existiert ein reines Iterat i′ von j, so dass i =^{crit_{n}(j)} i′ gilt.

3.10 Satz:

Sei j ∈ E_{λ}, n > 0 und i ein Iterat von j. Dann ist j_{[p]} =^{crit_{n}(j)} i für ein p ≤ 2^{n}.

3.11 Satz:

Sei j ∈ E_{λ}. Dann gilt für jedes p crit(j_{[p]}) = crit_{m}(j), wobei m die größte Zahl ist, so dass 2^{m} p teilt.

3.12 Lemma:

Die Linkspotenzen j_{[p]} und j_{[p′]} sind genau dann crit_{n}(j)-äquivalent, wenn gilt p = (p′)_{2^{n}}.